Poglavlje 7

Blok dijagrami

diskretnih sistema

95

96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veli-qine prikazane svojim Laplasovim transformacijama a svi vremenski neprekidnipodsistemi su prikazani svojim prenosnim funkcijama je s−blok dijagramtog sistema.

7.1 Blok dijagrami rednih sprega

1. Na slici 7.1 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dvapodsistema izme�u kojih ne postoji odabiraq.

Xu( )s Xi( )sXu( )s*T

TXi( )s

*

W1( )s W2( )s

W s =W s W s( ) ( ) ( )1 2

Slika 7.1: Diskretni sistem sa dva podsistema bez odabiraqa izme�unjih

Da bi se dobila diskretna prenosna funkcija celog sistema polazise od Laplasove transformacije Xi (s) izlaznog signala xi (t) . Naosnovu prikazanog blok dijagrama sledi:

Xi (s) = W1 (s) · W2 (s) · X∗

u (s) = W (s) X∗

u (s) =⇒

X∗

i (s) = W ∗ (s) X∗

u (s) = [W (s)]∗

X∗

u (s) =

= [W1 (s) W2 (s)]∗

X∗

u (s) = W1W∗

2 (s) · X∗

u (s)

simboliqnooznaqavanje

Napomena 7.2 W1W∗

2 (s) 6= W ∗

1 (s) W ∗

2 (s) i W1W∗

2 (s) = W2W∗

1 (s) .

SliqnoW (z) = W1W2 (z) = W1W

∗

2 (s)|z= 1T

ln z

je Z−prenosna funkcija celog sistema.

Napomena 7.3 W1W2 (z) 6= W1 (z) W2 (z) .

2. Na slici 7.2 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dvapodsistema izme�u kojih postoji odabiraq.

Da bi se dobila diskretna prenosna funkcija celog sistema polazise od Laplasove transformacije Xi (s) izlaznog signala xi (t) . Naosnovu prikazanog blok dijagrama sledi:

Xi (s) = W2 (s) · X∗

u2 (s)Xi1 (s) = W1 (s) · X∗

u (s)

}=⇒

7.2. Blok dijagrami paralelnih sprega 97

X su( ) Xu( )s Xi( )s*T

T Xi( )s*

W1( )S W2( )S

TXi1( )s Xu2( )s

*

Xi1( )s*

Slika 7.2: Diskretni sistem sa dva podsistema sa odabiraqem izme�unjih

X∗

i (s) = W ∗

2 (s) · X∗

u2 (s)X∗

i1 (s) = W ∗

1 (s) · X∗

u (s)

}=⇒

X∗

i (s) = W ∗

1 (s)W ∗

2 (s)X∗

u (s)

zbogX∗

u2 (s) = X∗

i1 (s) .

Sledi:W ∗ (s) = W ∗

1 (s) W ∗

2 (s) .

Sliqno:W (z) = W1 (z) W2 (z) .

3. Na slici 7.3 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od redneveze jednog podsistema i idealnog odabiraqa na izlazu.

Xi( )s Xi( )s*T

W1( )SXu( )s

Slika 7.3: Redna veza jednog podsistema i idealnog odabiraqa

Polazi se od Laplasove transformacije Xi (s) izlaznog signalaxi (t) podsistema. Na osnovu prikazanog blok dijagrama sledi:

Xi (s) = W1 (s) Xu (s) =⇒

X∗

i (s) = W1X∗

u (s) 6= W ∗

1 (s) X∗

u (s) =⇒

U ovom sluqaju ne mo�e se govoriti o diskretnoj prenosnoj funkciji(Z−prenosnoj funkciji) celog sistema.

7.2 Blok dijagrami paralelnih sprega

Na slici 7.4 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od paralelnospregnutih podsistema.

Da bi se dobila diskretna prenosna funkcija celog sistema polazise od Laplasove transformacije Xi (s) izlaznog signala xi (t) . Na osnovuprikazanog blok dijagrama sledi:

Xi (s) =

[n∑

k=1

Wk (s)

]X∗

u (s) =⇒

98 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

X su( ) Xu( )s

Xi( )s*T

TXi( )s

*

W1( )S

W2( )S

Wn( )S

Slika 7.4: Diskretni sistem sa paralelno spregnutim podsistemima

X∗

i (s) =

[n∑

k=1

Wk (s)

]∗

X∗

u (s) =

=

[n∑

k=1

W ∗

k (s)

]X∗

u (s) =⇒

W ∗ (s) =n∑

k=1

W ∗

k (s) .

Sliqno:

W (z) =n∑

k=1

Wk (z)

7.3 Blok dijagrami povratnih sprega

1. Na slici 7.5 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dvapodsistema povratno spregnuta sa odabiraqem u glavnoj grani naulazu u podsistem glavne grane.

W1( )S

W2( )S

T

+-

E s( ) E s( )*

X su( )

TXi( )s

*

Xi( )s

Slika 7.5: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistema iodabiraqem u glavnoj grani na ulazu u podsistem glavne grane

Da bi se dobila diskretna prenosna funkcija celog sistema polazise od Laplasove transformacije Xi (s) izlaznog signala xi (t) . Naosnovu prikazanog blok dijagrama sledi:

Xi (s) = W1 (s) · E∗ (s) =⇒

7.3. Blok dijagrami povratnih sprega 99

X∗

i (s) = W ∗

1 (s) · E∗ (s) (7.1)

Tako�e, na osnovu blok dijagrama sledi:

E (s) = Xu (s) ± W2 (s) W1 (s) E∗ (s) =⇒

E∗ (s) = X∗

u (s) ± W2W∗

1 (s) E∗ (s) =⇒

E∗ (s) =1

1 ∓ W1W∗

2 (s)X∗

u (s) . (7.2)

Na osnovu izraza 7.1 i 7.2 sledi:

X∗

i (s) =W ∗

1 (s)

1 ∓ W1W∗

2 (s)X∗

u (s) =⇒

W ∗ (s) =W ∗

1 (s)

1 ∓ W1W∗

2 (s).

Sliqno:

W (z) =W1 (z)

1 ∓ W1W2 (z).

2. Na slici 7.6 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dvapodsistema povratno spregnuta sa odabiraqem u glavnoj grani naizlazu podsistema glavne grane.

W1( )S

W2( )S

-

X su( )T

Xi( )s*

Slika 7.6: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistema iodabiraqem u glavnoj grani na izlazu podsistema glavne grane

Kompleksni lik X∗

i (s) vremenski diskretizovanog izlaznog signalax∗

i (t) i z−kompleksni lik izlaznog signala xi (t) su:

X∗

i (s) =W1X

∗

u (s)

1 + W1W∗

2 (s),

Xi (z) =W1Xu (z)

1 + W1W2 (z).

Prenosne funkcije nemaju smisla.

3. Na slici 7.7 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dvapodsistema povratno spregnuta sa odabiraqem u povratnoj granina ulazu podsistema povratne grane.

Kompleksni lik X∗

i (s) vremenski diskretizovanog izlaznog signalax∗

i (t) i z−kompleksni lik izlaznog signala xi (t) su:

X∗

i (s) =W1X

∗

u (s)

1 + W1W∗

2 (s),

100 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

W1( )S

W2( )S

-

X su( )

TXi( )s

*

T

Xi( )s

Slika 7.7: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistema iodabiraqem u povratnoj grani na ulazu u podsistem povratne grane

Xi (z) =W1Xu (z)

1 + W1W2 (z).

Prenosne funkcije nemaju smisla.

4. Na slici 7.8 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dvapodsistema povratno spregnuta sa odabiraqima u glavnoj grani ito na ulazu i na izlazu podsistema glavne grane.

W1( )S

W2( )S

-

X su( ) Xi( )s*T T

Slika 7.8: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistema iodabiraqima u glavnoj grani na ulazu i na izlazu podsistema glavnegrane

Diskretna prenosna funkcija i Z−prenosna funkcija celog sis-tema su:

W ∗ (s) =W ∗

1 (s)

1 + W ∗

1 (s) W ∗

2 (s),

W (z) =W1 (z)

1 + W1 (z)W2 (z).

5. Na slici 7.9 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od povratnespege koja u glavnoj grani ima dva podsistema i u povratnoj graniima jedan podsistem i sa dva odabiraqa u glavnoj grani i to naulazu i na izlazu prvog podsistema glavne grane.

Diskretna prenosna funkcija i Z−prenosna funkcija celog sis-tema su:

W ∗ (s) =W ∗

1 (s) W ∗

2 (s)

1 + W ∗

1 (s) W2W∗

3 (s),

W (z) =W1 (z)W2 (z)

1 + W1 (z)W2W3 (z).

7.3. Blok dijagrami povratnih sprega 101

W1( )S

W3( )S

-

X su( ) Xi( )sT T

W2( )S

TXi( )s

*

Slika 7.9: Diskretni sistem sa povratno spregnutim podsistema, dva uglavnoj grani i jedan u povratnoj grani, i odabiraqima u glavnoj granina ulazu i na izlazu prvog podsistema glavne grane

6. Na slici 7.10 prikazan je diskretni sistem koji se sastoji od dvapodsistema povratno spregnuta sa odabiraqima u glavnoj grani naulazu podsistema glavne grane i u povratnoj grani tako�e na ulazupodsistema povratne grane.

W1( )S

W2( )S

-

X su( ) Xi( )sT

T

Txi( )s

*

Slika 7.10: Diskretni sistem sa dva povratno spregnuta podsistemai odabiraqima u glavnoj grani na ulazu u podsistem glavne grane i upovratnoj grani na ulazu u podsistem povratne grane

Diskretna prenosna funkcija i Z−prenosna funkcija celog sis-tema su:

W ∗ (s) =W ∗

1 (s)

1 + W ∗

1 (s)W ∗

2 (s),

W (z) =W1 (z)

1 + W1 (z)W2 (z).

102

Poglavlje 8

Matematiqko modelovanje

diskretnih sistema

103

104 Poglavlje 8. Matematiqko modelovanje diskretnih sistema

8.1 Diskretizacija diferencijalne jednaqine

ponaxanja - diskretna jednaqina ponaxanja

Na slici 8.1 prikazana je redna veza idealnog odabiraqa i linearnogstacionarnog vremenski neprekidnog sistema zajedno sa fiktivnim oda-biraqem na izlazu ove redne veze.

xu xu xi

*T

i(t)

T xi*

1 2

Slika 8.1: Redna veza idealnog odabiraqa i linearnog stacionarnogvremenski neprekidnog sistema sa fiktivnim odabiraqem na izlazu

Pri tome su korix�ene slede�e oznake:

1 − idealni odabiraq

2 − linearni stacionarni vremenski neprekidan sistem.

Neka je diferencijalna jednaqina ponaxanja sistema 2:

α̂nx(n)i (t) + α̂n−1x

(n−1)i (t) + · · · + α̂1

·

xi (t) + α̂0xi (t) =

= β̂0xu (t) + β̂1

·

xu (t) + · · · + β̂mx(m)u (t) ; n ≥ m. (8.1)

Kada je u pitanju gornja konfiguracija (redna veza sa idealnim oda-biraqem pri qemu on prethodi sistemu) vremenski diskretan ulaznisignal x∗

u nije diferencijabilan u trenucima odabiranja tako da tadadesna strana diferencijalne jednaqine 8.1 nije definisana. Zbog togase pribegava opisu dinamiqkog ponaxanja samo u trenucima odabiranja,koji se dobija tz. diskretizacijom diferencijalne jednaqine ponaxanja8.1. Postupak diskretizacije sledi.

Prema definiciji prvi izvod funkcije x (t) u trenutku t je:

dx

dt= lim

∆t−→0

x (t + ∆t) − x (t)

∆t

ako ova graniqna vrednost postoji. Sliqno, k− ti izvod funkcije x (t)u trenutku t je definisan sa:

dkx (t)

dtk= lim

∆t−→0

x(k−1) (t + ∆t) − x(k−1) (t)

∆t.

Ako je ∆t dovoljno malo i razliqito od nule onda je:

dx

dt≈

∆x (t)

∆t=

x (t + ∆t) − x (t)

∆t

8.1. Diskretizacija dif. jed. ponaxanja - diskretna jednaqina ponaxanja105

i

dkx (t)

dtk≈

∆x(k−1) (t)

∆t≈

∆(

∆x(k−2)(t)∆t

)

∆t=

∆2x(k−2) (t)

∆t2≈ · · · ≈

∆kx (t)

∆tk.

Ako je perioda odabiranja dovoljno mala onda se mo�e usvojiti da je∆t = T =⇒:

dx

dt≈

∆x (t)

Todnosno

dkx (t)

dtk≈

∆kx (t)

T k.

Kada se izvodi u diferencijalnoj jednaqini ponaxanja zamene konaqnimrazlikama dobija se:

α̂n

Tn∆nxi (t) +

α̂n−1

Tn−1∆n−1xi (t) + · · · +

α̂1

T∆xi (t) +

α̂0

T 0xi (t) =

=β̂0

T 0xu (t) +

β̂1

T∆xu (t) + · · · +

β̂m

Tm∆mxu (t) . (8.2)

Poxto nas interesuju vrednosti izlaznog signala u trenucima oda-biranja onda se usvaja:

t ∈ Td0, tj. t = kT, k = 0, 1, 2, · · ·

Poxto je perioda odabiranja T konstantna onda je k− ti trenutak oda-biranja odre�en upravo brojem k pa se mogu koristiti oznake

xu (k) i xi (k)

za vrednost ulaznog i izlaznog signala u k− om trenutku odabiranja.Sada se jednaqina 8.2 mo�e napisati kao:

α̂n

Tn∆nxi (k) +

α̂n−1

Tn−1∆n−1xi (k) + · · · +

α̂1

T∆xi (k) +

α̂0

T 0xi (k) =

=β̂0

T 0xu (k) +

β̂1

T∆xu (k) + · · · +

β̂m

Tm∆mxu (k) . (8.3)

Jednaqina 8.3 je diferencna jednaqina ponaxanja.Uvodi se operator pomeranja:

Ex (k) = x (k + 1) =⇒

∆x (k) = x (k + 1) − x (k) = Ex (k) − x (k) = (E − 1) x (k)

∆2x (k) = ∆ [∆x (k)] = (E − 1) ∆x (k) = (E − 1) (E − 1) x (k) = (E − 1)2x (k) .

Matematiqkom indukcijom lako se pokazuje da je:

∆jx (k) = (E − 1)jx (k) .

106 Poglavlje 8. Matematiqko modelovanje diskretnih sistema

Koriste�i ovu relaciju i

Ejx (k) = x (k + j)

diferencna jednaqina ponaxanja mo�e lako da se dovede na slede�i ob-lik:

αnxi (k + n) + αn−1xi (k + n − 1) + · · · + α1xi (k + 1) + α0xi (k) =

= β0xu (k) + β1xu (k + 1) + · · · + βmxu (k + m) , ∀k = 0, 1, 2, · · ·

ili u kompaktnoj formi

n∑

r=0

αrxi (k + r) =

m∑

r=0

βrxu (k + r) (8.4)

gde su:

αn−i =

i∑

j=0

α̂n−j

T n−j (−1)i−j

(n − j

i − j

)

βm−i =

i∑

j=0

β̂m−j

T m−j (−1)i−j

(m − j

i − j

)

Cipkinovi koeficijenti

Jednaqina 8.4 je pribli�na diskretna jednaqina ponaxanja sistemana vremenskom skupu Td0

(sa periodom odabiranja T ).

8.2 Rexavanje diskretne jednaqine ponaxanja

primenom Z transformacije

Koriste�i raniji rezultat

Z {x (k + i)} = zi

X (z) −

i−1∑

j=0

x (j) z−j

i primenjuju�i ga na diskretnu jednaqinu ponaxanja 8.4 dobija se:

Z

{n∑

r=0

αrxi (k + r)

}= Z

{m∑

r=0

βrxu (k + r)

}=⇒

n∑

r=0

αr

zr

Xi (z) −

r−1∑

j=0

xi (j) z−j

=

m∑

r=0

βr

zr

Xu (z) −

r−1∑

j=0

xu (j) z−j

=⇒

n∑

r=0

αrzrXi (z)−

n∑

r=0

r−1∑

j=0

αrxi (j) zr−j =

m∑

r=0

βrzrXu (z)−

m∑

r=0

r−1∑

j=0

βrxu (j) zr−j =⇒

8.2. Rexavanje diskretne jednaqine ponaxanja primenom Z transformacije107

Xi (z) =

m∑

r=0

βrzr

n∑

r=0

αrzr

︸ ︷︷ ︸W (z)

Xu (z) +

n∑

r=0

r−1∑

j=0

αrxi (j) zr−j −m∑

r=0

r−1∑

j=0

βrxu (j) zr−j

n∑

r=0

αrzr

︸ ︷︷ ︸Y (z)

=⇒

xi (k) = Z−1 {Xi (z)}

108