Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskichbiofizyka.p.lodz.pl/prezentacje/WII _Kinematyka.pdfMechanika Kinematyka Dynamika Bada ruch ciał nie wnikając w przyczyny warunkujące

INZYNIERIAMATERIALOWAPLKierunek Wyróżniony przez PKA

Kinematyka

Prowadzący: dr inż. Marta Walczyńska

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich

INZYNIERIAMATERIALOWAPL

Mechanika

Kinematyka Dynamika

Bada ruch ciał nie wnikając w

przyczyny warunkujące ten ruchBada ruch w związku z jego

przyczynami (wzajemne

oddziaływanie ciał) od których

zależy charakter ruchu.

INZYNIERIAMATERIALOWAPL3

Położenie i przemieszczenie

Kierunkiem dodatnim osi jest kierunek, w którym współrzędne punktów

rosną. Kierunek przeciwny nazywamy kierunkiem ujemnym.

x [m]0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

początek osi

kierunek dodatni

kierunek ujemny

12 xxx Przemieszczenie

Δ – delta oznacza zmianę jakiejś wielkości i jest różnicą wartości końcowej i początkowej tej wielkości


Położenie i przemieszczenie

Mając trzy pary położeń początkowych i końcowych proszę podać,

które z nich dają ujemne przemieszczenie:

a) – 3m, +5m b) -3m, -7m c)7m, -3m

12 xxx

Całkowita droga, przebyta w trakcie ruchu nie ma znaczenia dla

wartości przemieszczenia – liczy się tylko położenie początkowe i

końcowe.

ZADANIE


Wektor położenia

x

z

y0

i j

kzp

xp

yp

P(x,y,z)

XYZ – układ odniesienia

r

POr

wektor położenia

kzjyixr

)(tr

wektor położenia zależy od czasu

Długość wektora położenia w kartezjańskim układzie współrzędnych

222 zyxrr


Tor ruchu, drogaTor ruchu ciała – krzywa lub prosta utworzona

przez punkty określające kolejne położenia ciała w

przestrzeni

Długością toru s nazywamy drogę. Droga

jest wielkością skalarną.

Gdy tor jest linią prostą, mówimy, że ciało porusza się ruchem

prostoliniowym, gdy zaś krzywą – ruch jest ruchem krzywoliniowym

y

x0 i

j

P1

1r

P2

2r


Wektor położenia we współrzędnych biegunowych

X

Y

0

P(r,ϕ)r

POr

wektor położenia

rrr

sin

cos

ry

rx

Oś OX pokrywająca się z osią

biegunową

Wzory przejścia ze współrzędnych kartezjańskich x, y do biegunowych r, ϕ.

x

yarctg

yxr

22

r

Wersor jednostkowy dla danego położenia wektora 1r

r

x

y

Wzory przejścia ze

współrzędnych biegunowych r, ϕ do kartezjańskich x, y


Wektor przemieszczenia

Wektor przemieszczenia zależy od czasu

P1)( 11 tr

)( 22 tr

21r

)()( 1122 trtrr

r

jest wielkością wektorową

y

x0 i

j

P2


Prędkość średnia

21

21

tt

rr

t

rvśr

t [s]

x [m]

1 2 3 4

1234

0

t [s]

x [m]

1 2 3 4-1

12

3

0

-2-3

nachylenie tej prostej =

t

xvśr

Prędkość średnia to stosunek przemieszczenia do czasu, w którym ciało

się przemieściło


Prędkość średnia

P1)( 11 tr

)( 22 tr

21r

y

x0 i

j

P2

v

12

112221

tt

trtr

t

rvśr

)()(

t

rvśr

wektor prędkości średniej


Prędkość a szybkość

t

svśr

t

sv

Prędkością średnią ciała

nazywamy stosunek wektora

przemieszczenia ciała do czasu

w którym to przemieszczenie

nastąpiło.

t

rvśr

Wartością prędkości czyli

szybkością ciała nazywamy

stosunek drogi przebytej do

czasu w jakim została przebyta.

Szybkość średnia to skalarna wielkość fizyczna równa

stosunkowi drogi przebytej przez ciało do czasu w jaki została

on przebyta.


Prędkość chwilowa

P1)( 11 tr

)( 22 tr

21r

y

x0 i

j

P2

v

012 tczylitt __dt

rdv

wektor prędkości chwilowej

dt

rd

t

rv

t

lim

0

jdt

dyi

dt

dx

td

rd

Prędkość chwilowa to prędkość w nieskończenie małym przedziale czasu


Prędkość chwilowa

jdt

dyi

dt

dx

td

rd

Wektor prędkości

chwilowej jest

zawsze styczny do toru!

y

x0 i

j

P1P2 P3 P4

P5P6

v3v2

v5

v4

v6

v1

torP1

P2 P3 P4P5

P6


Prędkość chwilowa jako granica prędkości średniej

dt

rd

t

rv

t

lim

0śr

t

vv

lim0

12

112221

tt

trtr

t

rvśr

)()(


Jednostki prędkości1

11

sms

mv][

Podstawową jednostką prędkości w

układzie SI jest 1 "metr na sekundę".

Inne, często używane jednostki to np.:

• km/h (kilometr na godzinę)

• 1 cm/s (centymetr na sekundę)

W transporcie morskim 1 węzeł = 1 kn = 1 mila morska/godz.

Do opisywania ruchu samolotów naddźwiękowych 1 Ma -

mach - prędkość równa prędkości dźwięku w powietrzu w

temp. 15° - 340 m/s. Stosuje się tę jednostkę do podawania

szybkości ruchu samolotów naddźwiękowych.

Ważne przeliczenia jednostek:

Przypomnienie:

1 km = 1000 m1 cm = 0,01 m1 mila morska = 1 852 m

Wnioski:1 kn = 1,852 km/godz.1 Ma = 1 224 km/h.


Droga

Długość drogi s jest to suma wszystkich odcinków toru, przebytych

przez punkt w rozpatrywanym przedziale czasu tA, tB

B

A

B

A

B

A

t

t

t

t

t

t

B

A

B

A

vdtdtvdtdt

rdrddss


Ruch jednostajnyRuch, w czasie którego wartość liczbowa v prędkości chwilowej punktu nie

zmienia się, nazywamy ruchem jednostajnym.

tvdtvsB

A

t

t

Jeżeli w równych i dowolnie krótkich odstępach

czasu punkt przebywa drogi o różnej długości, to

wartość liczbowa jego prędkości chwilowej

zmienia się z upływem czasu. Taki ruch nazywamy

niejednostajnym

v = const.


Prędkość względna


Przyspieszenie średnie i chwilowePrzyspieszenie średnie to stosunek przyrostu prędkości do odstępu

czasu, w jakim ten przyrost nastąpił.

12

12

tt

vv

t

vaśr

Przyspieszenie chwilowe to to granica, do której zmierza stosunek

prędkości do odstępu czasu, w jakim ten przyrost nastąpił, przy

nieskończenie krótkich odstępach czasu.

2

2

0lim

dt

rd

dt

vd

t

va

tch

2

211

sm

s

ma][


Wektor przyspieszeniaWektor przyspieszenia jest styczny do toru w ruchu prostoliniowym

asan

av

tor ruchu cząstki

wektor przyspieszenia

normalnego

wektor przyspieszenia

stycznego

wektor prędkości

cząstki

Promień krzywizny

toru (promień okręgu

stycznego do toru)

nsw aaa

wektor przyspieszenia wypadkowego

22

nsw aaa

Wartość wektora przyspieszenia wypadkowego


Ruchy prostolinioweRuch prostoliniowy

Ruch jednostajny

Ruch zmienny

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch niejednostajnie zmienny

constva ,0

• przyspieszony • opóźniony

• przyspieszony • opóźniony

consta


Ruch prostoliniowy jednostajnyconstv 0a

pk

pk

tt

ss

t

sv

tvss pk

α

sp

0 t

s

vt

stg

v

A

stvA

t


Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowya=const.

vp

0 t

vk

at

vtg

A

tk

tavv pk a

t

A1

tktp

2

pk

śr

vvv

2

2ta

tvss ppk

pk

pk

śrtt

vva

tvvtvsss pkppk )(2

1

savv pk 222

2

tavv pśr


Klasyfikacja ruchów ze względu na przyspieszenie

P v

a

Ruch jednostajnie przyspieszony

przyspieszenie ma zwrot zgodny z prędkością

consta

P v

a

Ruch jednostajnie opóźniony

przyspieszenie ma zwrot przeciwny do prędkości


Dyskusja znaków przyspieszenia

1. Gdy znaki (zwroty) prędkości początkowej i przyspieszenia są zgodne, wtedy ruch ciała jest ruchem przyspieszonym, gdy znaki (zwroty) tych wielkości są

niezgodne, ruch jest ruchem opóźnionym

W przypadku ruchu jednostajnie zmiennego obowiązują następujące reguły:

2. Gdy prędkość początkowa ciała jest równa zeru, mamy do czynienia z ruchem przyspieszonym, niezależnie od znaku (zwrotu) przyspieszenia.

2

2ta

tvss ppk

PRZYKŁAD

21053 tts

2103 ts

21053 tts

2103 ts

wszystkie równania opisują ruchy jednostajnie przyspieszone

21053 tts

21053 tts

równania opisują ruchy jednostajnie opóźnione


Wykresy drogi, prędkości i przyspieszenia dla ruchu jednostajnie przyspieszonego a) i jednostajnie opóźnionego b)

a)

b)


Klasyfikacja rzutów

Założenia:

• jednorodność pola grawitacyjnego

• zaniedbanie sił oporu powietrzaga

W zależności od kierunku wektora prędkości początkowej wyrzuconego ciała względem wektora rozróżniamy następujące rodzaje rzutów:

ov

g

1. Rzut pionowy

2. Swobodny spadek

3. Rzut poziomy

4. Rzut ukośny

ov

g

ov

g

ov

g

dowolny kąt między wektorami i ov

g

0ov


Spadek swobodny

v

maxv

0v

ga

Do

da

tni z

wro

t o

si

Ho

Warunki początkowe:

Początkowe

położenie ciała

- na wysokości H0

Początkowe położenie ciała

- na wysokości H0

Prędkość

początkowa o

wartości: v0 = 0

W podstawowym wariancie spadku

swobodnego ciało jest puszczane bez

pchnięcia.

Działa przyspieszenie

ziemskie o wartości g

Przyspieszenie jest cały czas skierowane

w dół

ogHv 2max wartość prędkości końcowej

gtv prędkość

2

2gt

hy o położenie ciała w pewnej dowolnej chwili t

ysavv pk 2

22


Rzut pionowy

v

maxv

0v

ga

Do

da

tni z

wro

t o

si

hmax

ov

v

Położenie początkowe

h0 = 0

Najczęstszy warunek, do wielu rozważań

można z niego zrezygnować

Prędkość początkowa

o wartości: v0

Prędkość początkowa jest skierowana do

góry

Działa przyspieszenie

ziemskie o wartości g =

9,81 m/s2

Działa przyspieszenie ziemskie o wartości g =

9,81 m/s2

gtvv o Prędkość po upływie czasu t od wyrzucenia w górę

2

2gt

tvh o Wysokość na jakiej znajduje się ciało po upływie czasu t od

wyrzucenia w górę:

g

vH o

2

2

maxMaksymalna osiągnięta wysokość

g

vt ow Czas wznoszenia do osiągnięcia

maksymalnej wysokości

savv pk 222

0kv


Rzut poziomy

sa

Wysokość

początkowa: H0Ciało rzucamy z pewnej wysokości

Prędkość

początkowa v0

Prędkość początkowa jest skierowana

poziomo. Później prędkość się zakrzywia

Przyspieszenie ma

wartość gPrzyspieszenie w tym ruchu jest stałe i cały

czas jest skierowane pionowo w dół

.constvv ox

tgvy

22 )( tgvv o

oo gHvv 22

Wartość prędkości poziomej

Wartość prędkości pionowej

Wartość prędkości całkowitej

Prędkość w momencie uderzenia o ziemię

oH

2

2gt

Hh o

Wysokość na jakiej znajduje się ciało po czasie t

g

Ht o

2

Czas jaki upływa do momentu upadku

Zasięg rzutu poziomego(odległość przebyta w poziomie domomentu upadku)g

HvZ oo

2

Z

xv

Do

da

tni z

wro

t o

si v

ov

),( yxP

yv

na

g

X0

Y


Rzut ukośnyD

od

atn

i zw

rot

osi

g

na

X0

Y

ov

),( yxP

Z

Przyspieszenie w tym ruchu jest stałe i jest skierowane

pionowo w dół i ma wartość g


Rzut ukośny

xv0

yv00v

x

y

cos00 vv x

sin00 vv y

składowe wektora prędkości w chwili początkowej

składowe wektora

prędkości w dowolnej chwili t

cos0vvx

współrzędne ciała w dowolnej chwili t

costvtvx x 0

gtvvy sin022

2

0

2

0

gttv

gttvy y sin

Czas wznoszenia do osiągnięcia maksymalnej wysokości g

v

g

vt

y

w

sin00

Zasięg rzutu poziomego

22

22

sincossin

g

v

g

vZ oo

Maksymalna osiągnięta wysokość:

g

vH o

2

22 sinmax

Równanie toru ruchu 2

0

2

)cos(2

v

gxxtgy Eliminując czas

cossin22sin


Ruch po okręgu

Ruch po okręgu jest to ruch, w którym ciało porusza się po torze, który

jest okręgiem.


Ruch jednostajny po okręgu

Przyspieszenie dośrodkowe

r

va

2

Okres obiegu

v

rT

2

Documents

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskichbiofizyka.p.lodz.pl/prezentacje/WII _Kinematyka.pdfMechanika Kinematyka Dynamika Bada ruch ciał nie wnikając w przyczyny warunkujące