Poco de Potencial

Queremos as solucoes de estado ligado para o poco de potencial V (x) = −V0 para|x| < a e V (x) = 0 para |x| > a, sendo V0 > 0. Naturalmente que −V0 < E e comoqueremos estado ligado, E < 0. Para E > 0 teremos ondas planas em todo espaco.

A seguinte funcao de onda (seccionada) e solucao da Eq. de Schrodinger para essepotencial:

x < a, ψ1 = Aeρx

|x| < a, ψ2 = B cos(kx) + C sin(kx)

x > a, ψ3 = De−ρx,

onde por substituicao na Eq. de Schrodinger temos que ρ e k devem satisfazer

− h2ρ2

2m= E e

h2k2

2m= E − (−V0). (1)

Continuidade de ψ e sua derivada:

Em x = −a, Ae−ρa = B cos(ka)− C sin(ka) (2)

ρAe−ρa = kB sin(ka) + kC cos(ka). (3)

Em x = a, De−ρa = B cos(ka) + C sin(ka) (4)

−ρDe−ρa = −kB sin(ka) + kC cos(ka). (5)

Portanto,

Eq.(1)

Eq.(3)→ B cos(ka)− C sin(ka)

B cos(ka) + C sin(ka)=A

D(6)

Eq.(2)

Eq.(4)→ B sin(ka) + C cos(ka)

B sin(ka)− C cos(ka)=A

D. (7)

Manipulando essas equacoes achamos que B · C = 0. Entao temos duas situacoes:

1. C = 0 → A = D e B qualquer: solucao par

Neste caso, da Eq. (1), ficamos com A = D = Beρa cos(ka) e portanto,

ψ1 = Beρa cos(ka)eρx

ψ2 = B cos(kx)

ψ3 = Beρa cos(ka)e−ρx,

1

sendo B determinada pela condicao de normalizacao∫∞−∞ |ψ(x)|2dx = 1.

Dividindo a Eq. (2) pela Eq. (1) obtemos a seguinte relacao que define as possıveisenergias do sistema:

k tan(ka) = ρ→ tan y =

√s− y2

y, (8)

onde y ≡ ka e s ≡ 2mV0a2/h2. E facil ver que y2 < s.As solucoes sao encontradas

graficamente e correspondem a interseccao das curvas tan(y) com

√s−y2

y. Veja a

Fig. 6-14 do livro do Tipler para um esboco dessas curvas. E interessante notar quepor menor que seja o produto V0a

2 (isto e, s), sempre ha uma solucao no setor par.

2. B = 0 → A = −D e C qualquer: solucao ımpar

Neste caso, da Eq. (1), ficamos com A = −D = −Ceρa sin(ka) e portanto,

ψ1 = −Ceρa sin(ka)eρx

ψ2 = C sin(kx)

ψ3 = Ceρa sin(ka)e−ρx,

sendo C determinada pela condicao de normalizacao∫∞−∞ |ψ(x)|2dx = 1.

Dividindo a Eq. (2) pela Eq. (1) obtemos a seguinte relacao que define as possıveisenergias do sistema:

−k cot(ka) = ρ→ tan(y + π/2) =

√s− y2

y. (9)

As solucoes sao tambem encontradas graficamente e correspondem a interseccao das

curvas tan(y + pi/2) com

√s−y2

y. Veja a Fig. 6-14 do livro do Tipler para um

esboco dessas curvas. Diferente do setor das solucoes pares, se o produto V0a2 for

muito pequeno nao havera solucao ımpar. Havera apenas uma solucao ımpar quandos = y2 = (π/2)2, que, pelas Eq. (1), corresponde ao nıvel E = 0.

Para V0a2 muito grande, as intersecoes das curvas correspondem aos valores y ≈

nπ/2, com n = 1, 3, 5, ... no caso do setor par. Isso, pelas E. (1), corresponde a

E =h2k2

2m− V0 =

nπ/2

2ma2− V0 =

h2π2

8ma2n2 − V0, (10)

que sao as energias do poco infinito de potencial (V0 → ∞), de largura 2a.

Observe que as solucoes ımpares se anulam na origem, isto e, ψ(0) = 0, logo essasfuncoes sao solucoes de um outro problema de potencial, no qual V (x) = ∞ parax < 0, V (x) = −V 0 para 0 < x < a e V (x) = 0 para x > a.

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