Po ceci gr cke matematike - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/SIG02.pdf · 2. Babilonci su izra cunali svoje aproksimacije s velikom to cno s cu, ali Grci su dokazali da je

Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Matea Sigurnjak

Poceci grcke matematike

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Matea Sigurnjak

Poceci grcke matemtike

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

Uvod 4

1 Geometrijska otkrica Talesa 71.1 Tales Milecanin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Mjerenja koristeci geometriju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Pitagorina Matematika 122.1 Pitagora i njegovi sljedbenici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Nikomahov Introductio Arithmeticae (Uvod u aritmetiku) . . . . . . . . 152.3 Figurativni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Zenonov paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Problem Pitagorejaca 263.1 Geometrijski dokazi pitagorejskog teorema . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Rana rjesenja Pitagorine jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Kriza neproporcionalnih kolicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Teon iz Smirne i dijagonalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Eudkos iz Cnydosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Literatura 38

3

Uvod

Grci su ucinili matematiku istaknutom disciplinom, transformirajuci raznoliku zbirkuempirijskih pravila racunanja u uredan i sustavan sklad. Iako su jasno bili nasljednicigomile istocnog znanja, Grci su vlastitim naporima oblikovali matematiku potpunije,preglednije (u smislu da su se udaljavali od koristenja u svakodnevnom zivotu) i raci-onalnije od mnogih koji su im prethodili. U starom Babilonu i Egiptu, matematika jebila obradivana uglavnom kao sredstvo, ili za neposrednu prakticnu primjenu, primje-rice, kroz korisne formule za volumene poznatih tijela i sl.

S druge strane, cini se da je grcka matematika bila odijeljen intelektualan predmetza strucnjake. Grcke navike apstraktnog razmisljanja razlikovale su ih od prethodnihmislilaca. Ova sklonost apstraktnom konceptu moze se vidjeti u stavu razlicitih kul-tura prema broju

√2. Babilonci su izracunali svoje aproksimacije s velikom tocnoscu,

ali Grci su dokazali da je taj izraz iracionalan. Platonov natpis nad vratima njegoveakademije ”Neka ne ulazi onaj koji ne zna geometriju“, nije bio primjedba ekscentrikanego pocast grckom uvjerenju da se kroz duh istrazivanja i stroge logike moze razumjetimjesto osobe u uredenom svemiru.

Cijela povijest temelji se na pisanim dokumentima. Iako je dokumentacija o egipatskoji babilonskoj matematici cesto vrlo precizna, primarni izvori koji nam mogu dati jasnusliku o ranom razvoju grcke matematike su oskudniji. U Grckoj nije postojao papiruskao sto je bio dostupan u Egiptu te nije bilo gline kao u Babilonu. Takvih ”knjiga”kakve su bile napisane bilo je vrlo malo, i s prolaznoscu vremena i s razaranjem eleme-nata, malo je originalnih materijala sacuvano. Prema tome, rana grcka povijest je baramitova, legendi, sumnjivih anegdota, sacuvanih preko pisaca koji su zivjeli stoljecimakasnije nego razmatrani dogadaji. Ovisimo o fragmentima i kopijama kopija koje sumnogo puta uklonjene iz originalnog dokumenta. Medutim, savjestan je prepisivacmozda sudjelovao u popunjavanju nepoznatih odlomaka u ranijem tekstu. Nikada nemozemo biti sigurni koliko se prepisivac morao osloniti na svoju mastu ili zaista, kolikodobro je prepisivac razumio original.

Grci nisu uvijek bili ograniceni na jugoistocni dio Europe vec su bili veliki putnici.Sve te migracije nisu samo osigurale izlaz nezadovoljnim elementima stanovnistva uzemlji, nego su takoder posluzile i kako bi se uspostavila strana trzista i kako bi se pos-tavili temelji umjetnosti, knjizevnosti i znanosti. Do 800. godine prije Krista, vladaloje, opcenito govoreci, jedinstvo jezika i obicaja u cijelom drevnom svijetu Mediterana.Val kolonizacije koji se odvio izvan Egejskog podrucja od 8. do 6. st.pr.Kr., napravio jeput za izvanredan probitak razuma i prateceg kulturnog napretka. Povjesnicari su na-

4

SADRZAJ 5

zvali taj fenomen grckim cudom. Cudo u Grckoj nije bilo jednostruko, nego dvostruko– prvo brzina bez premca i raznolikost i kvaliteta njegova postignuca, a zatim njegovuspjeh u prozimanju i nametanju svojih vrijednosti stranim civilizacijama.

Znacajno je da su sva rana grcka matematicka zvanja dosla iz izoliranih dijelova MaleAzije, juzne Italije i Afrike, a ne iz kontinentalne Grcke. To je kao da su skromnijegrcke populacije koje zive odmah do razvijenijih drustava preko tog kontakta izostrilesvoje vijuge.

Najbolja od svih grckih posudbi je umijece pisanja prikladnom fenickom abecedom.Svaki od simbola fenicke abecede stajao je za suglasnik; nije bilo znakova za samoglas-nike. Fenicka abeceda imala je vise simbola za suglasnike nego sto je grckom jezikubilo potrebno pa su Grci poceli odabirati i prilagodavati simbole suglasnika koje sutrebali. Nakon toga, oni dodjeljuju znacenja samoglasnika preostalim simbolima, do-dajuci samo neke nove znakove koji su im bili potrebni. Kao i u drugim pitanjima,grcki gradovi-drzave natjecali su se jedni s drugima u razradi abecede, s cak 10 razlicitihverzija u tijeku. Postupno, jedna od tih lokalnih abeceda, jonska, stekla je nadmoc, anakon sluzbenog usvajanja u Ateni 403. godine prije Krista, brzo se prosirila kroz osta-tak Grcke. Iako prihvacanje pisanja abecedom nije iniciralo nista poput obrazovanja,lakoca kojom se mogla nauciti ucinila je siru rasprostranjenost ucenja mogucom visenego sto je prevladavalo u starijim kulturama gdje je citanje i pisanje bilo namijenjenosvecenickoj klasi.

Otkov u plemenite metale izumljen je u grckim gradovima u Maloj Aziji oko 700.godine prije Krista, poticanje trgovine i ostvarivanje prava na novcano gospodarstvotemelji se ne samo na poljoprivredi nego i na pokretnim dobrima. U donosenju moguceakumulacije bogatstva, ovo novo novcano gospodarstvo dopustilo je formiranje slobod-nog staleza iz kojeg bi mogla proizaci intelektualna aristokracija. Aristotel je prepoznaokoliko su vazne neprakticne aktivnosti u napredovanju znanja kad je pisao u svojoj Me-tafizici:

”Kad su otkriveni svi izumi, znanosti koje se ne bave zadovoljstvima i potrebama zivotaprvo su se razvile u zemljama gdje su muskarci poceli uzivati slobodno vrijeme. Toje razlog zasto matematika potjece u Egiptu, ondje je svecenicki sloj mogao uzivati uslobodnom vremenu.”

U vecini drevnih civiliziranih drustava, obrazovana elita, obicno svecenici, usmjera-vala je aktivnosti zajednice. Poznavanje pisanja i matematike smatralo se njihovimposebnim vjestinama. U strukturi egipatske birokracije, ucen covjek drzao je pozicijuvelikih privilegija i potencijalne moci.

Grcko obrazovanje je daleko sire temeljeno i oblikovano, ali Grci nisu imali snaznosvecenstvo koje bi moglo monopolizirati ucenje kao vlastito ocuvanje; nije bilo svetihspisa ni strogih dogmi koje su zahtijevale podloznost uma. U svakom slucaju, prvigrcki intelektualci nisu bili ljudi iz viseg sloja, vec obicni ljudi kojima je njihov posaobio njihova profesija, a ucenje hobi.

SADRZAJ 6

Zemljopisni polozaj oblikovao je nacin grckog politickog zivota. Aleksandar Velikije postigao ono sto nijedan voda dotada nije. On je ujedinio Grcku i izveo grcku civi-lizaciju na granice danasnjega svijeta. Godine 323. pr. Kr., kada je Aleksandar umrou dobi od 32 godine, vladao je osvojenim podrucjima koja su se prostirala na vise oddva milijuna cetvornih milja. No, ni Grci ni grcka kultura nisu nestali s promjenomvladara. Godine koje su uslijedile – od vremena Aleksandra Velikog u prvom stoljecuprije Krista stvorile su briljantno razdoblje povijesti, ucenjacima znano kao helenizam.Helenizam je grcka kultura u svim fazama svojega razvoja, kao i prihvacanje te kulturei jezika od drugih, negrckih naroda.

Poglavlje 1

Geometrijska otkrica Talesa

1.1 Tales Milecanin

Tales je roden izmedu 625. − 547. g. pr. Kr. u Miletu, gradu Jonije, u vrijeme kadase grcka kolonija razvijala na obali Male Azije. Cini se da je proveo svoje rane godinesudjelujuci u poslovnim pothvatima. Govori se kako je on u svojim putovanjima nauciogeometriju od Egipcana i astronomiju od Babilonaca. Tales je tradicionalno odredenocem geometrije. Bio je prvi grcki filozof, znanstvenik i matematicar, iako je po zani-manju bio inzinjerske struke. Nazalost, nije ocuvano nista od njegovih pisanih djela,tako da je tesko odrediti njegove nazore ili biti potpuno siguran u njegove matematickezakljucke. Njegova su pisana djela bila izgubljena vec u Aristotelovo doba, koji nijeimao uvid u Talesova djela.

Slika 1.1: Tales Milecanin

Tales je bio poznat kao prvi od sedam mudraca Grcke, jedini matematicar koji je biotako uvazen. U principu, ti su ljudi zaradili svoje titule ne toliko kao ucenjaci, kolikokroz drzavnistvo i filozofske i eticke mudrosti.

7

Geometrijska otkrica Talesa 8

Drevno misljenje je jednoglasno u vezi Talesa kao neobicno razborita u politici i tr-govini, ne manje nego u znanosti, a mnoge zanimljive anegdote, neke ozbiljne, a nekemastovite, ispricane su o njegovoj pameti. Jednom prilikom, prema Aristotelu, na-kon nekoliko godina u kojima stabla maslina nisu dala ploda, Tales je iskoristio svojuvjestinu u astronomiji za izracun povoljnih vremenskih uvjeta koji su predodredeni zasljedecu sezonu. Predvidajuci neocekivano obilnu zetvu, pokupovao je sve prese mas-lina oko Mileta. Kad je dosla sezona, buduci da je osigurao kontrolu nad presama,mogao je postavljati svoje uvjete za njihovo iznajmljivanje i na taj nacin ostvario velikprofit. Drugi kazu da je Tales, nakon sto je dokazao da je filozofima lako obogatiti seako to pozele, prodao svoje maslinovo ulje po razumnoj cijeni.

Jos jedna prica koja potice od Platona. Jedne noci, Tales je bio u setnji i gledaozvijezde. Toliko napeto je gledao u zvijezde da je pao u jarak, nakon cega je staricakoja se brinula za njega izjavila

”Kako mozete reci sto se dogada na nebu, kad ne

mozete vidjeti sto vam je pod nogama?“ Ta anegdota cesto je citirana u antici da bi seilustrirala neprakticnost ucenjaka.

Tales se smatra prvim koji je uveo logicke zakljucke temeljene na deduktivnom ra-zumijevanju umjesto na eksperimentu i intuiciji podupiranja argumenata. Drugimrijecima, Tales je prvi naglasio da nije dovoljno samo opazati pojave, vec ih i dokazati.Pravilan razvoj teorema po rigoroznim dokazima bio je potpuno nov i stoga je bioobiljezje grcke matematike.

Proklo je (oko 450.g.) u Komentarima na Prvoj knjizi Euklidskih Elementa izjavio:

”Tales je bio prvi koji je otisao u Egipat i donio ovo ucenje (geometriju) u Grcku.Otkrio je mnoge tvrdnje sam i objavio svojim nasljednicima temeljne principe mnogihdrugih. U nekim slucajevima njegove metode su opcenitije, a u nekim drugima empi-rijske.”

Usprkos modernim predbiljezbama, ako su matematicka postignuca pripisana Talesuod strane grckih povjesnicara kao sto su Herodot i Proklo, prihvacena, moraju mu bitidodijeljene sljedece geometrijske tvrdnje:

• Kut upisan u polukrugu je pravi kut.

• Krug je prepolovljen svojim promjerom.

• Kutovi uz osnovicu jednakokracnog trokuta su jednaki.

• Ako se dva pravca sijeku, suprotni kutovi su jednaki.

• Stranice slicnih trokuta su proporcionalne.

• Dva su trokuta sukladna ako imaju jednu stranicu i dva kuta susjedna, odnosno,jednaka.


1.2 Mjerenja koristeci geometriju

Prema legendi, najpoznatije postignuce Talesa je kada je pomocu uzeta izmjerio visinuKeopsove piramide koja je bila visoka 147 m. Do nastanka Eifelovog tornja u Parizu1887. godine, bila je najveca gradevina koju je covjek sagradio na Zemlji. Zakljucio je:

”Kada duljina moje sjene bude jednaka mojoj visini, tada ce i duljina sjene piramide

biti jednaka visini piramide.“ Takoder je zakljucio:”

Koliko puta je moja visina veca

(ili manja) od duljine moje sjene, toliko je puta i visina piramide veca (ili manja) odduljine njezine sjene.“

Problem se javio kad je morao izmjeriti sjenu piramide, posto je jedan njezin dio trebaomjeriti unutar piramide. Baza Keopsove piramide je kvadrat cija je stranica duga 233m. Rijesio je problem ovako: Kada se sjena piramide pomice i postane paralelna sbazom piramide, dio sjene koji je unutar piramide biti ce dug kao pola brida baze, dokvanjsko dio lako izmjerimo.

Iz tog dogadaja, proizasao je jedan od najznacajnijih poucaka u matematici.


Talesov poucak: Ako dva pravca presjecemo paralelnim pravcima tada vrijedi:

BD : AB = CE : AC,

BD : AD = CE : AE,

BD : CE = AB : AC,

BD : CE = AD : AE.

Jos jedna prakticna primjena geometrije koja se pripisuje Talesu je odredivanje kolikoje brod na moru udaljen od obale. Kako je on iskoristio svoje znanje o geometriji zatu svrhu moze se samo nagadati. Prema Proklu, Tales je koristio teorem sukladnosti,koji tvrdi kako je trokut u potpunosti odreden ako su jedna strana i dva susjednakuta poznati. Najvjerojatnija pretpostavka je da je Tales, promatrajuci brod s vrhavidikovca (recimo od visine h) koristio proporcionalnost stranica dvaju slicnih pravihtrokutova. Sve sto je trebao je jednostavan instrument s dvjema katetama koje tvorepravi kut, tako da bi on mogao oznaciti tocku E gdje vidokrug i brod rezu katetuparalelno na zemlju. Na taj nacin dobivamo slicne trokute ACB i DCE.

Ako je x nepoznata udaljenost broda, onda prema svojstvima slicnih trokuta:

x

y=l + h

l,


x =y(l + h)

l.

Jedina zamjerka ovom pristupu je da to ne ovisi izravno o teoremu koji se tice dvajutrokuta kod kojih su odgovarajuce stranice i njihovi susjedni kutovi jednaki, kao stoProklo nalaze.

Medu svojim suvremenicima, Tales je poznatiji kao astronom nego kao matematicar.Legenda koja se ponovno pojavljuje s vremena na vrijeme je da je zadivio svoje kolegeGrke predvidjevsi pomrcinu sunca 585. g. pr. Kr. Herodot biljezi da se dogadaj do-godio tijekom bitke izmedu Lidijaca i Medejaca i kada se dan pretvorio u noc, borbaje prestala. Zaraceni kraljevi bili su toliko zadivljeni da su zakljucili trajni mir. IakoTalesov dobar glas kao znanstvenika pociva uglavnom na ovom postignucu, gotovo jenemoguce povjerovati prici. Astronomski zapisi iz tog vremena nisu bili dovoljno pre-cizni da bi omogucili nesto poput precizne prognoze. Tales je mozda imao neko znanjeo ciklusima mjeseceve pomrcine – to je vec bilo poznato Babiloncima – ali njegovonavodno predvidanje godine pomrcine sunca bilo bi samo sretan pogodak. Vjerojatnoobjasnjenje je da je on

”mudar covjek“ znan ljudima koji je vidio taj neobican feno-

men, tako da su pretpostavili da je Tales bio u stanju to predvidjeti. Iako Tales nijeostavio pisani trag bilo koje knjige ili dokumenta iza sebe, visoko je rangiran medumatematicarima zbog svog pionirskog doprinosa logicnom razvoju geometrije. On jemozda cak bio Pitagorin ucitelj; neki izvori tvrde kako je Tales prepoznao genija umladom Pitagori, kojega je naucio sve sto je znao.

Poglavlje 2

Pitagorina Matematika

2.1 Pitagora i njegovi sljedbenici

Nase znanje o zivotu Pitagore je oskudno i malo se moze reci sa sigurnoscu. Premanajboljim procjenama, Pitagora je roden oko 582. g. pr. Kr. na egejskom otoku Sa-mos, kao sin bogatog trgovca. Kao dijete, Pitagora je cesto putovao s ocem. Na timse putovanjima mladi Pitagora susreo s mnogim uciteljima i misliocima. Jedan odtih ucitelja bio je i Tales. Prema predaji je Pitagora posjetio Talesa u Miletu kadamu je bilo izmedu 18 i 20 godina. U to vrijeme Tales je bio star covjek i njegova suotkrica utjecala da se Pitagora jos vise zainteresira za matematiku i astronomiju te jesavjetovao Pitagoru da otputuje u Egipat gdje ce jos vise nauciti o podrucjima koja gazanimaju. Otprilike 535. pr. Kr. Pitagora je otputovao u Egipat. Tamo je sudjelovaou mnogim filozofskim raspravama sa svecenicima i ucenjacima te je postao hramskisvecenik u Diospolisu.

Slika 2.1: Pitagora

Nakon 10 godina boravka u Egiptu, proveo je 5 godina zarobljenistva u Babilonu. Na-kon toga vraca se na Samos. Na Samosu osniva skolu, pod nazivom ”Polukrug”, koja

12

Pitagorina Matematika 13

je i stoljecima kasnije mjestanima otoka sluzila kao okupljaliste mislioca. Medutim,zbog metoda, strogosti i nacina misljenja koje su bile vrlo slicne onima koje je naucio uEgiptu, stanovnici sa Samosa, nauceni na drugaciji nacin misljenja, nisu bili zadovoljniPitagorinim poucavanjem. Zato je otplovio u juznu Italiju, u grad Krotonu (danasnjaCrotona) gdje je stekao mnoge sljedbenike. Ustanovio je matematicku skolu koju da-nas nazivamo Pitagorejskom skolom, a njegove sljedbenike Pitagorejcima. PosebnostPitagorine skole bila je da su njegovi ciljevi bili u isto vrijeme politicki, filozofski ireligiozni. Slozena od 300 mladih aristokrata, zajednica je imala karakter bratstva ilitajnog drustva: bio je to usko povezan poredak u kojem su sva zemaljska dobra bilazajednicka. Skola je pokusala cvrsto regulirati prehranu i nacin zivota svojih clanovate da se prizove uobicajena metoda odgoja. Ucenici su bili usredotoceni na cetiri pred-meta ucenja: aritmetika, harmonija (glazba), geometrija i astrologija (astronomija).Pitagora je podijelio one koji su prisustvovali njegovim predavanjima u dva kruga:

• unutrasnji krug: cinili su ucitelji i matematicari,

• vanjski krug: cinili su ucenici.

Nakon tri godine slusanja Pitagorinog glasa u slijepoj poslusnosti, iza zastora, ucenikje mogao uci u unutarnje krugove, cijim clanovima su povjerene glavne doktrine skole.Iako je zenama zakonom bilo zabranjeno pohadati javne sastanke, bile su primljene napredavanje gospodara. Jedan izvor navodi kako je bilo barem 28 zena u unutarnjemkrugu. Kad je Pitagora bio blizu svoje 60-e, ozenio je jednu od svojih ucenica, Teanu.Bila je nevjerojatno sposobna matematicarka koja nije samo inspirirala njega tijekomposljednjih godina njegova zivota nego je nastavila siriti njegove misli nakon njegovesmrti. Pisala je eseje o matematici, fizici, medicini i djecjoj psihologiji.

Pitagora je slijedio obicaj istocnjackih ucitelja prosljedivanjem svojih stajalista usme-nom predajom. Cini se da nista od svog ucenja nije zapisao. Nadalje, clanovi njegovezajednice bili su duzni ne otkrivati laicima nista sto ih je ucitelj naucio ili sto su ostaliotkrili u bratstvu kao rezultat uciteljeva poucavanja. Simbol na kojemu su clanovi Pi-tagorine zajednice prisegnuli bio je

”tetraktis“ ili cetverostrukost koja je trebala stajati

za cetiri elementa: vatru, vodu, zrak i zemlju. Tetraktis je geometrijski bio predstav-ljen jednakostranicnim trokutom koji se sastoji od 10 tocaka, a aritmeticki brojem1 + 2 + 3 + 4 = 10. Poput drugih misterioznih kultova iz tog vremena, Pitagorejci

su imali svoje cudne inicijacije, obrede i zabrane. Odbili su, primjerice, jesti grah,piti vino, podici bilo sto sto padne ili mijesati vatru sa zeljezom. Clanovi unutranjeg


kruga, medu kojima je bio i sam Pitagora, nisu imali privatnog vlasnistva i zivjeli su uzajednici.

Pitagorejci su zamisljali da dusa moze napustiti svoje tijelo, privremeno ili trajno te damoze nastaniti tijelo druge osobe ili zivotinje. Kao rezultat ove doktrine seljenja dusa,oni nisu jeli nikakvo meso ili ribu kako zaklana zivotinja ne bi bila netko od prijatelja.Pitagorejci nisu nosili odjecu od vune jer je vuna zivotinjski proizvod. Ispricana je pricau kojoj Pitagora, nakon sto je naisao na malog psa kojega su tukli, rekao: ”Zaustavitebatine jer u ovome psu zivi dusa mog prijatelja, a ja ga prepoznajem po glasu.” Stose moralnog zivota Pitagorejaca tice, i tu su imali svoja pravila. Pitagora je, naime,njegovao i promicao prijateljstvo, nesebicnost i iskrenost.

Okolnosti Pitagorine smrti se ne slazu. Oko 500. g. pr. Kr., dogodila se nasilna po-buna u kojoj je kuca u kojoj su se sastajali Pitagorejci bila okruzena i zapaljena. Maloonih koji su bili unutra uspjelo je prezivjeti. Pitagorejci su morali potraziti utocisteu bijegu. Pitagora je takoder pobjegao iz Krotone u Metapontium i mnogi autori seslazu da je vjerojatno tamo i umro. Neki cak sumnjaju u samoubojstvo iz ocaja jerje napadnuto njegovo Bratstvo. Nakon Pitagorine smrti, mnogi clanovi njegove skoleemigrirali su u kopnenu Grcku; neki su ostali jos neko vrijeme, ali do sredine cetvrtogastoljeca prije Krista svi su napustili Italiju. Iako je politicki utjecaj Pitagorejaca biounisten, postojali su jos nekoliko stoljeca kao filozofski i matematicki red.

Ono sto je razlikovalo Pitagorejce od ostalih sekti je filozofija da je”znanje najvece

prociscenje“, a za njih znanje je znacilo matematiku. Nikad prije matematika nijeimala takav bitan dio u zivotu i vjeri kao sto je kod Pitagorejaca. Vjerovali su da jesvemu, fizickom i duhovnom, dodijeljen broj i oblik, uz opcenitu tezu

”Sve je broj.“

(Pod broj mislilo se na prirodan broj). Sve je to rezultiralo idejom da bi bez pomocimatematike, racionalno razumijevanje vladajucih nacela rada u svemiru bilo nemoguce.Aristotel je pisao u Metafizici :”Pitagorejci . . . posvetili su se matematici, oni su bili prvi koji bi unaprijedili toucenje i odrastanjem u tome, mislili su da da su njihovi principi - principi svega.”

Pitagorina doktrina je prividno bila neobicna mjesavina filozofije kozmosa i misticizmabrojeva, neka vrsta supernumerologije je dodjeljivala svemu materijalnom ili duhovnomtocan cijeli broj. Medu spisima Pitagorejaca, nalazimo da je:

• 1 predstavljao razum jer razum moze proizvesti samo jedno dosljedno tijelo istine,

• 2 je stajao za muskarca,

• 3 za zenu,

• 4 je bio pitagorejski simbol za pravdu jer je bio prvi broj koji je umnozak jednakihbrojeva,

• 5 se povezuje s brakom, jer je oblikovan kao ujedinjenje 2 i 3,

• 6 je broj stvaranja itd.


Svi parni brojevi, nakon prvog parnog broja, bili su odvojivi u druge brojeve; bili suplodni i smatralo ih se zenstvenim i zemaljskim – i opcenito nesto manje visoko cije-njenima. I zato sto su Pitagorejci dominantno musko drustvo, klasificirali su neparnebrojeve, poslije prvog, kao muske i bozanske.

Iako ta nagadanja o brojevima kao modelima”stvari“ nas danas pogadaju kao da-

lekosezni i mastoviti, moramo imati na umu da su intelektualci klasicnog grckog raz-doblja bili vrlo predani filozofiji i da ti isti muskarci, jer su imali intelektualni interes,bili su oni koji su polozili temelje matematici kao sustavu razmisljanja.

Iako su Pitagorejci prvi proucavali brojeve manje za sebe nego za stvari koje su pred-stavljali, oni su vodeni da prepoznaju sve vrste novih aritmetickih svojstava.

2.2 Nikomahov Introductio Arithmeticae (Uvod u

aritmetiku)

Najkompletnije izlaganje koje je doslo do nas od Pitagorine aritmetike i njegovih nepo-srednih nasljednika sadrzano je u Introductio arithmeticae Nikomaha od Gerasa (oko100. godine). Iako Nikomah nije znacajno doprinio novim matematickim rezultatimanjegov Introductio Arithmeticae, znacajan je kao prvi sustavni rad u kojemu je arit-metika tretirana odvojeno od geometrije. Sadrzaj je slican onom koji se moze naci uKnjigama V II, V III i IX Euklidovih Elemenata.

Dok Euklid predstavlja brojeve kao pravce sa slovima, sustavom koji mu je omogucioda radi s brojevima opcenito bez da im je morao dodijeliti specificne vrijednosti –Nikomah je predstavljao brojeve slovima s odredenim vrijednostima i stoga je moraopribjeci svakakvim vrstama rjecitosti da bi se razlikovali medu neodredenim brojevima.Euklid je uvijek nudio dokaze za svoje tvrdnje, ono sto u potpunosti nedostaje kod Ni-komaha. U to vrijeme, Nikomah je jednostavno objavio opci rezultat i dao konkretneprimjere toga; u drugim prilikama ostavio je opce tvrdnje da budu zakljucene iz poje-dinih primjera koji su zasebno predstavljeni.

Euklid nije dijelio filozofske sklonosti (ili tocnije, pitagorejske tendencije) Nikomaha,ali se drzao stroze znanstvene razine. Nikomahova rasprava je vjerojatno takva jer


nije bio kreativan matematicar i jer je namijenio svoj rad da bude popularno postupa-nje s aritmetikom osmisljeno za upoznavanje pocetnika s vaznim otkricima do tog doba.

Negdje oko 450. godine prije Krista, Grci su usvojili alfabetske oznake za prikaz bro-jeva, prema kojima je prvih 9 slova grckog alfabeta odgovaralo prirodnim brojevimaod 1 do 9, iducih 9 slova se koristilo za prikaz desetica (od 10 do 90), dok je posljednjih9 slova koristeno za prikaz stotica (od 100 do 900). Kako bi raspolagali s 27 potreb-nih slova, dodana su i tri starija slova, koja se ne koriste u danasnjem grckom alfabetu.

Nije vjerojatno da su Pitagorejci imali ikakve brojcane simbole vec su vjerojatno bro-jeve zamisljali strogo vizualno, ili kao kamencice smjestene u pijesku ili kao tocke uodredenim geometrijskim uzorcima. Dakle, brojevi su bili klasificirani kao trokutasti,kvadratni, peterokutni, i tako dalje, u skladu s oblicima koji daje raspored tocaka. Bro-jevi koji mogu biti predstavljeni u geometrijskom obliku danas se zovu figurativni ilipoligonalni, i takvi su bili proucavani u Nikomahovom Introductio arithmeticae. SamPitagora susretao se barem s trokutastim brojevima i vrlo vjerojatno s kvadratnimbrojevima, a ostali poligonalni brojevi obradivani su od strane kasnijih clanova njegoveskole.

Brojevi 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, . . . primjeri su trokutastih brojeva jer svakiod njih broji broj tocaka koji se moze rasporediti ravnomjerno u jednakostranicnomtrokutu.

Slicno tome, brojevi 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... nazvani su kvadratnim brojevima jerkroz tocke mogu biti prikazani kao kvadrati. Osoba moze iscitati zapanjujuce brojne

teoretske zakone iz takvih konfiguracija. Na primjer, zbroj dvaju uzastopnih troku-tastih brojeva uvijek je jednak kvadratnom broju cija je strana jednaka strani vecegod dvaju trokuta. To moze biti geometrijski potvrdeno odvajanjem tocaka povlakom


i zatim brojanjem, kao na slici. To je jednako lako kao i dokazati rezultat algebarskimargumentom.

Medutim, prvo primijetimo kako su oblikovani trokutasti brojevi; svaki trokutasti brojdobiven je iz prethodnog trokutastog broja dodavanjem jos jednog reda koji sadrzijednu tocku vise nego sto je dodano u prethodni redak. Dakle, ako tn oznacava n-titrokutasti broj, onda jetn = tn−1 + n

= tn−2 + (n− 1) + n...= t1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n= 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n.

Ukoliko zajedno stavimo dva trokuta, od kojih svaki predstavlja tn (dakle, svaki sesastoji od n redova tocaka), dobivamo pravokutni niz cije su strane n i n + 1 . Usljedecem liku, na primjer, n = 5.

Jasno je da takav niz sadrzi n(n+ 1) tocaka tako da je

2tn = n(n+ 1)

ili ekvivalentno,

tn =n(n+ 1)

2.

Uz ovu formulu na raspolaganju, lako je uociti da je n-ti kvadratni broj s n zbroj dvajuuzastopnih trokutastih brojeva

sn = n2 =n(n+ 1)

2+

(n− 1)n

2= tn + tn−1,


odakle dobivamo izraz za zbroj prvih n brojeva

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

Isto tako, moze se odrediti i formula za zbroj prvih n neparnih brojeva. Polazimo odcinjenice da se kvadrat sastavljen od n tocaka na strani moze se podijeliti u manjekvadrate strane n− 1 i u granicu oblika slova L:

Ponavljanjem ove podjele, kao u sljedecem dijagramu, postaje ocito da razlike izmeduuzastopnih uklopljenih kvadrata stvaraju niz uzastopnih neparnih brojeva, pa stoga,

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.

Pitagorejci su mozda dokazali ovaj rezultat tako da su prvo promatrali sustav n jed-nadzbi:

12 = 1

22 − 12 = 3

32 − 22 = 5

42 − 32 = 7...

n2 − (n− 1)2 = 2n− 1.

Zbrajajuci ove jednadzbe, dobivamo

12 + (22 − 12) + (32 − 22 = 5) + · · ·+ [n2 − (n− 1)2] = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1),

odakle slijedin2 = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1).


2.3 Figurativni brojevi

Pitagorejci nisu mogli ocekivati da ce teorija figurativnih brojeva privlaciti paznjukasnijih ucenjaka najviseg ranga. Godine 1665. matematicar-filozof Pascal napisao jeTreatise on Figurative Numbers. U tom djelu tvrdio je da je svaki pozitivan broj zbrojtriju ili manje trokutastih brojeva. Na primjer,

16 = 6 + 10,

25 = 10 + 15,

43 = 1 + 6 + 36,

115 = 3 + 21 + 91.

Ovaj izuzetan rezultat je pretpostavio Fermat u pismu Merseni koje datira u 1636. iprvi ga je dokazao Gauss 1801.

Jos jedno zanimljivo pravilo mozemo primijetiti promatrajuci iduce jednakosti:

13 = 1 = t21

13 + 23 = 9 = t22

13 + 23 + 33 = 36 = t23

13 + 23 + 33 + 43 = 100 = t24.

Primijetimo kako se s desne strane nalazi ni kvadrata trokutastih brojeva. Navedenejednakosti vode pretpostavci da je zbroj kubova prvih n prirodnih brojeva jednakkvadratu n-tog trokutastog broja. Kako bi ovu tvrdnji i formalno dokazali, primijetimokako se identitet

[k(k − 1) + 1] + [k(k − 1) + 3] + [k(k − 1) + 5] + · · ·+ [k(k − 1) + (2k − 1)] = k3

moze iskoristiti za prikaz kubova u obliku odgovarajucih suma. Uzimajuci redom k =1, 2, 3, . . . , n u ovoj formuli proizlazi sljedeci niz jednakosti:

1 = 13

3 + 5 = 23

7 + 9 + 11 = 33

13 + 15 + 17 + 19 = 43

...

[n(n− 1) + 1] + [n(n− 1) + 3] + [n(n− 1) + 5] + · · ·+ [n(n− 1) + (2n− 1)] = n3.

Sumirajuci prethodne jednakosti dobivamo:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + · · ·+ [n(n− 1) + (2n− 1)] = n3


gdje se lijeva strana sastoji od uzastopnih cijelih brojeva. Preostaje srediti izraz s lijevestrane. Napisemo li posljednji sumand u obliku

n(n− 1) + (2n− 1) = n2 + n− 1 = 2

[n(n+ 1)

2

]− 1,

tako da izraz u pitanju ukljucuje zbroj svih uzastopnih cijelih brojeva od 1 do 2[n(n+1)

2

]−

1, ukupno n(n+1)2

clanova. Poznato je da je zbroj prvih n clanova uzastopnih cijelih

brojeva jednak[n(n+1)

2

]2te vrijedi

13 + 23 + 33 + 43 + · · ·+ n3 =

[n(n+ 1)

2

]2= t2n.

Ovaj neocekivani identitet, koji povezuje zbroj kocaka s trokutastim brojevima, sezedo prvog stoljeca i obicno se pripisuje samom Nikomahu.

Pronalazenje formule za zbroj kvadrata prvih n brojeva trazi malo vise truda. Prvocemo dati geometrijski argument za slucaj n = 4, koristeci obrazlozenje koje moze bitigeneralizirano za bilo koji prirodan broj n. Pocinjemo smjestanjem polja kvadrata kojisadrze 12, 22, 32 i 42 susjedne tocke.

Nadalje, dodajmo horizontalne redove koji se sastoje od 1, 3, 6 i 10 tocaka. Na tajnacin smo oblikovali pravokutnik sirine 1+2+3+4 i visine 4+1. Na slici ispod vidimogeometrijski prikaz:

Brojanjem tocaka u kvadratima i redovima dobivamo

(12 + 22 + 32 + 42) + (1 + 3 + 6 + 10) = (1 + 2 + 3 + 4)(4 + 1),

i slijedi da je

(12 + 22 + 32 + 42) = 10 · 5− 20 = 30 =4 · 5 · 9

6.


Na analogan nacin moze se dobiti formula za

12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2,

gdje je n proizvoljan. Jednostavno stavimo niz kvadrata 12, 22, 32, . . . , n2 jedne poreddrugih te zatim n redova tocaka jedne iznad drugih, pocevsi s najkracim redom na dnuda bi se dobio pravokutnik.

Dimenzije pravokutnika su 1 + 2 + 3 + · · ·+n do n+ 1 sto je jednako (1 + 2 + 3 + · · ·+n)(n + 1) tocaka. To daje jednu stranu zeljenog lika. Za drugu stranu dodamo tockeuzastopnim kvadratima i redovima te dolazimo do zbroja

(12 + 22 + 32 + · · ·+ n2) + [1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + · · ·+ (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)].

U algebarskom obliku, nas je identitet

(12+22+32+· · ·+n2)+[1+(1+2)+(1+2+3)+· · ·+(1+2+3+· · ·+n)] = (1+2+3+· · ·+n)(n+1).

Stavimo li da je S = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 dobijemo

(S+· · ·+n2)+[1+(1+2)+(1+2+3)+· · ·+(1+2+3+· · ·+n)] = (1+2+3+· · ·+n)(n+1).

Prethodni izraz mozemo pojednostaviti jer znamo da je zbroj prvih k prirodnih brojevajednak k(k+1)

2. Nakon sto napravimo odgovarajuce zamjene, dobivamo

S +

[1 · 2

2+

2 · 32

+3 · 4

2+ · · ·+ n(n+ 1)

2

]=n(n+ 1)2

2.

To mozemo napisati kao

S +1

2[1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + n(n+ 1)] =

n(n+ 1)2

2.

Time dobivamo

S +1

2[(12 + 22 + 32 + · · ·+ n2) + (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)] =

n(n+ 1)2

2.

Nadalje,

S +1

2

[S +

n(n+ 1)

2

]=n(n+ 1)2

2.


Sada to postaje pitanje rjesavanja S:

3

2S =

n(n+ 1)2

2− n(n+ 1)

4=n(n+ 1)(2n+ 1)

4,

odakle slijedi da je

S =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

Time smo pokazali sljedecu jednakost

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

Jedan od dokaza posljednje jednakosti dao je Fibonacci u 13. stoljecu. Ako u sljedeciidentitet

k(k + 1)(2k + 1) = (k − 1)k(2k − 1) + 6k2

stavimo redom za k = 1, 2, 3, . . . , n, dobivamo skup jednakosti

1 · 2 · 3 = 6 · 12

2 · 3 · 5 = 1 · 2 · 3 + 6 · 22

3 · 4 · 7 = 2 · 3 · 5 + 6 · 32

...

(n− 1)n(2n− 1) = (n− 2)(n− 1)(2n− 3) + 6(n− 1)2

n(n+ 1)(2n+ 1) = (n− 1)n(2n− 1) + 6n2.

Primijetimo kako se isti clanovi pojavljuju na razlicitim stranama uzastopnih jedna-kosti. Sumiramo li prethodnih n jednakosti i pokratimo clanove koji se pojavljuju naobje strane, dobivamo

n(n+ 1)(2n+ 1) = 6(12 + 22 + 32 + · · ·+ n2).

2.4 Zenonov paradoks

Nedaleko od Kortone bila je skola Eleatika, filozofskog pokreta koji je izazivao pita-gorejsku doktrinu da svi prirodni fenomeni mogu na neki nacin biti izrazeni cijelimbrojevima. Ova suparnicka skola dobila je ime po jonskim kolonijama na Eleji na za-padnoj obali juzne Italije i imala je svog najistaknutijeg clana Zenona (oko 450. g. pr.Kr.). Znamo malo o Zenonovom zivotu osim Platonove tvrdnje da je otisao u Atenukada je imao gotovo 40 godina, gdje je upoznao mladog Sokrata. Ocito je Zenon biozapravo Pitagorejac i imao je aktivnu ulogu u politici svog rodnog grada. Rasirena jelegenda da je bio mucen i ubijen od strane tiranina iz Eleje protiv kojega je skovaourotu da ga se svrgne.

Zenon se danas pamti po cetirima pametnim paradoksima ocuvanim u Aristotelovoj Fi-zici - paradoksima o stvarnosti pokreta. Zenon je istaknuo logicke apsurde koji proizlaze


Slika 2.2: Zenon

iz pojma ”beskonacne djeljivosti” vremena i prostora. Iako su Zenonovi argumenti zbu-njivali njegove suvremenike, zadovoljavajuce objasnjenje ukljucuje sada poznatu ideju,misao o

”konvergentnom beskrajnom nizu.“ Paradoks dijelom pociva i na pogresnoj

pretpostavci da se beskonacan broj stalnih-kracih duljina (i slicno vremena trajanja)treba dodati do beskonacnog ukupno. No, beskonacan niz moze imati konacnu sumu.

1. DihotomijaAhil: ”Ono sto je u pokretu mora prvo prijeci pola puta prije nego sto stigne docilja”. (Aristotel, Fizika V I : 9, 239b10)Zamislimo tijelo koja treba ici od tocke A do tocke B. Da bi doslo do tocke B,tijelo prvo mora doci do srednje tocke B1 koja je izmedu tocaka A i B. Ali, prijenego sto se ovo dogodi, tijelo mora doci do tocke B2, koja je izmedu tocaka A iB1. Analogno, prije nego sto moze i uspije doci do B2, mora prvo doci do tockeB3, koja je izmedu A i B2, i tako dalje. Prema tome, kretanje nikada ne mozepoceti.

2. StrijelaAhil:”Ako je sve nepomicno sto zauzima prostor, i ako sve sto je u pokretu za-uzima takav prostor u nekom vremenu, onda je leteca strijela nepokretna.” (Aris-totel, Fizika V I : 9, 239b5)Zamislimo da strijela leti neprestano naprijed tijekom jednog vremenskog inter-vala. Uzmite svaki trenutak u tom vremenskom intervalu. Nemoguce je da sestrijela mice u takvom trenutku jer trenutak ima trajanje 0 i strijela ne mozebiti na dva mjesta u isto vrijeme. Prema tome, u svakom trenutku strijela jenepomicna te je tako strijela nepomicna tokom citavog intervala.


3. StadionAhil je ukazao na relativnost gibanja, sto je jos uvijek cinjenica znanosti. Unjemu, covjeku koji je na kociji koja se mimoilazi s drugom kocijom, njezinokretanje izgleda brze nego sto izgleda gledatelju na tribinama.

4. Ahil i kornjacaZamislimo utrku Ahil i kornjace. Kako je Ahil puno brzi od kornjace utrka ne bibila zanimljiva da krenu jedno pokraj drugog pa je kornjaca dobila prednost od100 metara, a Ahil je 10 puta brzi od kornjace. Tvrdnja u paradoksu je ovo: akoAhil i kornjaca krenu u isto vrijeme Ahil nikada nece prestici kornjacu! Zasto?Kad Ahil krene on se nalazi 100 metara iza kornjace. Da bi dostigao kornjacuon prvo mora preci onih 100 metara zaostatka. Kako kornjaca ne miruje, ona ceu isto to vrijeme takoder preci neki put. Kako je Ahil 10 puta brzi, put koji cekornjaca preci je 10 puta manji, a to je u ovom slucaju 10 metara. Sada Ahil opetima zadatak doci do mjesta gdje se kornjaca nalazi, ali ni ovaj put kornjaca nemiruje pa ce dok Ahil prede novih 10 metara kornjaca preci jos 1 metar. Problemse ponavlja i u iducem koraku. Kornjaca ce biti ispred Ahila za 10 centimetara( 110

metra). Ako ovako nastavimo unedogled, kornjacina prednost ce uvijek pos-tojati ma koliko mala bila.

Ukupan broj metara koje Ahil mora proci kako bi dostigao svog sporijeg na-tjecatelja je

100 + 10 + 1 +1

10+

1

100+ · · · .

Naravno Zenon je savrseno dobro znao da bi Ahil pobijedio u utrci s kornjacom,

ali zelio je privuci paznju suprotstavljenim teorijama o prirodi prostora i vre-mena.Eleaticki matematicari filozofi drzali su da su prostor i vrijeme nedjeljive cje-line ili kontinuiteti, koji ne mogu biti rastavljeni u djeljive dijelove na sve manjevelicine. To je u suprotnosti s Pitagorinom idejom da se pravac sastoji od nizatocaka – kao sitne kuglice ili

”brojcani atomi“- i da se vrijeme takoder sastoji od

niza diskretnih trenutaka. Zenon je djelomicno odgovoran za daljnji tijek grckih


matematickih razmisljanja. Jer u srzi, njegovi slavni paradoksi bili su povezanis primjenom beskonacnih procesa na geometriju. Zbog nemogucnosti grckih ge-ometara da odgovore na njih na jasan nacin, protjerali su iz matematike koristenjemetoda koje su ukljucivale koncept beskonacnosti i

”uzas beskonacnosti“ dijelom

grcke matematicke tradicije.

Poglavlje 3

Problem Pitagorejaca

3.1 Geometrijski dokazi pitagorejskog teorema

Iako je tradicija jednoglasna u pripisivanju takozvanog Pitagorinog poucka, samom ve-likom ucitelju, vidjeli smo da su Babilonci znali rezultat za odredene specificne trokutebarem tisucljece ranije koje je glasilo:

”Povrsina kvadrata izgradenog na hipotenuzi desnog trokuta jednako je zbroju podrucja

kvadrata preostalih strana.“

Iz razloga sto nitko od razlicitih grckih pisaca koji pripisuju poucak Pitagori nije zivio urazdoblju kada i Pitagora, malo je uvjerljivih materijala da bi se potvrdilo opce uvjere-nje da je ucitelj ili cak netko od njegovih neposrednih ucenika, dao prvi rigorozan dokazo ovom obiljezju pravokutnih trokuta. Stovise, stara legenda kaze da kada je Pitagoraotkrio teorem, zrtvovao je sto volova muzama iz zahvalnosti za inspiraciju. To se cinikao nevjerojatna prica jer su pitagorejski rituali zabranjivali bilo kakve zrtve u kojimaje prolivena krv. Ono sto jest sigurno, to je da je skola koju je osnovao Pitagora ucinilamnogo da bi se povecao interes za probleme direktno povezane sa slavnim rezultatomkoji nosi njegovo ime.

Jos smo u dvojbi oko toga koji su nacin dokaza Grci izvorno ponudili za Pitagorinpoucak. Ako su metode iz Knjige II Euklidovih Elemenata koristene, vjerojatno seradi o dokazu disekcije slican sljedecem. Veliki kvadrat sa stranicama a+ b podijeljenje na dva manja kvadrata sa stranicama a i b, i dva jednaka pravokutnika sa stranicamaa i b, svaki od tih dvaju pravokutnika moze biti podijeljen na dva jednaka pravokutnatrokuta povlacenjem dijagonale c. Cetiri trokuta mogu biti smjestena unutar jos jed-nog kvadrata sa stranicama a + b kao sto je prikazano na drugoj slici. Sada povrsinaistog kvadrata moze biti predstavljeno na dva nacina:

• kao zbroj povrsina dvaju kvadrata i dvaju pravokutnika

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab;

26

Problem Pitagorejaca 27

• kao zbroj povrsina kvadrata i cetiriju trokuta

(a+ b)2 = c2 + 4(ab

2

).

Kada se cetiri trokuta oduzmu od veceg kvadrata u svakom liku, rezultat su jednakepovrsine; ili ekvivalentno c2 = a2 + b2 . Stoga, kvadrat na c jednak je zbroju kvadratana a i b.

Takvi dokazi dodavanjem povrsina su toliko jednostavni da su mozda mogli biti izmisljeniranije i neovisno od drugih kultura jer nema zapisa o Pitagorinom teoremu u bilo kojemod prezivjelih dokumenata iz drevnog Egipta. Zapravo, suvremena kineska civilizacija,koja je rasla u izolaciji i od grcke i od babilonske civilizacije, imala je urednije i mnogoranije dokaze. To se nalazi u najstarijem sacuvanom kineskom tekstu koji sadrzi for-malne matematicke teorije, Arithmetic Classic of the Gnomon and the Circular Pathsof Heaven. Tesko je odrediti kada datira ovaj rad. Astronomski dokazi upucuju na toda su najstariji dijelovi datiraju iz 600. godine prije Krista, ali ne postoji razlog da sevjeruje da je proslo znatne promjene otkad je prvi put napisano. Prvi cvrsti datumikoje mozemo povezati s tim vise su od stoljeca kasniji nego datumi za Nine Chapterson the Mathematical Art. Dijagram u Artihmetic Classic predstavlja najstariji poznatidokaz Pitagorina poucka.

Dokaz inspiriran ovim likom bio je vrlo cijenjen zbog svoje jednostavne elegancije, akasnije je pronasao svoje mjesto u knjizi Vijaganita (Izracuni korijena) indijskog ma-tematicara Bhaskare, rodenog 1114. godine.

Bhaskara smjesta pravokutan trokut cetiri puta u kvadrat hipotenuze tako da je usredini preostao kvadrat cije su stranice jednake razlici izmedu dvaju stranica pravo-kutnog trokuta. Ovaj zadnji kvadrat i cetiri trokuta su onda razmjesteni da nadomjeste


podrucje dvaju kvadrata, cija duzina stranica odgovara kateti pravokutnog trokuta.

”Gledajte“, rekao je Bhaskara bez dodavanja daljnjih objasnjenja.

3.2 Rana rjesenja Pitagorine jednadzbe

Geometrijsko otkrice da su stranice pravokutnog trokuta povezane zakonom izrazenimu brojevima vodilo je do odgovarajuceg aritmetickog problema, koji cemo nazvati pita-gorejskim problemom. Ovaj problem, jedan od najranijih problema u teoriji brojeva,trazi da se nadu svi pravokutni trokuti cije su stranice sastavne duljine, tj. pronalazenjesvih rjesenja prirodnih brojeva Pitagorine jednadzbe

x2 + y2 = z2.

Trojku (x, y, z) prirodnih brojeva koji zadovoljavaju tu jednadzbu nazvali su Pitagori-nom trojkom.Drevna tradicija pripisuje samom Pitagori djelomicno rjesenje problema, izrazeno s

x = 2n+ 1, y = 2n2 + 2n, z = 2n2 + 2n+ 1

gdje je n ≥ 1 proizvoljan cijeli broj. Kao sto je mozda i cesce pravilo nego iznimka utakvim slucajevima, pripisivanje imena moze se lako dovesti u pitanje.Pitagora je navodno dosao do svog rjesenja povezivanjem koje je proizvelo kvadratnibroj od prvog manjeg kvadratnog broja na iduci nacin

(2k − 1) + (k − 1)2 = k2. (3.1)

Strategija je bila pretpostaviti da je 2k−1 potpuni kvadrat. (To se dogada beskonacnocesto. Na primjer, ako je k=5, tada 2k − 1 = 32). Dopustanjem da je 2k − 1 = m2 ipo k dobivamo

k =m2 + 1

2i k − 1 =

m2 − 1

2.

Kada se ove vrijednosti zamjene u izrazu (3.1), slijedi da je

m2 +

(m2 − 1

2

)2

=

(m2 + 1

2

)2

.

Dakle,

x = m, y =m2 − 1

2, z =

m2 + 1

2, (3.2)


zadavoljavaju Pitagorinu jednadzbu za bilo koji neparni m > 1 (m mora biti neparanjer je m2 = 2k−1 neparan). Kada je m = 2n+1, gdje je n ≥ 1, brojevi u (3.2) postaju

x = 2n+ 1, y = 2n2 + 2n, z = 2n2 + 2n+ 1, (3.3)

sto je Pitagorin rezultat. Neke od Pitagorinih trojki koje se mogu dobiti iz (3.3) suprikazani u sljedecoj tablici. Kao sto se vidi, Pitagorino rjesenje ima posebne znacajke

za izvodenje pravokutnih trokuta koji imaju obiljezja da im hipotenuza prelazi vecukatetu za 1.

Drugo posebno rjesenje u kojem se hipotenuza i kateta razlikuju za dva pripisanaje grckom filozofu Platonu,

x = 2n, y = n2 − 1, z = n2 + 1. (3.4)

Ovu formulu mozemo dobiti kao i druge, uz pomoc izraza (3.1), ali sada ga primjenju-jemo dva puta:

(k + 1)2 = k2 + (2k + 1) = [(k − 1)2 + (2k − 1)] + 2k + 1 = (k − 1)2 + 4k.

Uvrstavanjem n2 za k bi 4k bio kvadrat, stizemo do Platonove formule

(2n)2 + (n2 − 1)2 = (n2 + 1)2.

Primjetite da je iz jednadzbi (3.4) moguce proizvesti Pitagorinu trojku (8, 15, 17) kojune mozemo dobiti iz (3.3).

Niti jedno od navedenih pravila ne vazi za sve Pitagorine trojke i dok Euklid nijenapisao Elemente nije postojalo potpuno rjesenje za Pitagorin problem. U Knjizi XEuklidovih Elemenata, pise da je

x = 2mn, y = m2 − n32, z = m2 + n2. (3.5)

gdje su m i n prirodni brojevi, takvi da je m > n.

U svojoj Arithmetici, Diofant (3.st.) je takoder izjavio da bi on mogao dobiti pra-vokutne trokute

”uz pomoc” dvaju brojeva m i n prema formulama u jednadzbi (3.5).

Cini se da je Diofant dosao do tih formula iducim rezimiranjem. Krenuvsi od jednadzbex2 + y2 = z2, stavio je y = kx− z, gdje je k bilo koji racionalan broj. Zatim

z2 − x2 = y2 = (kx− z)2 = k2x2 − 2kxz + z2,


sto vodi do−x2 = k2x2 − 2kxz,

ili−x = k2x− 2kz.

Kada izlucimo x, dobijemo

x =2k

k2 + 1z,

odakle proizlazi

y = kx− z =k2 − 1

k2 + 1z.

No, k = mn

, s tim da su m i n prirodni brojevi (nije pogreska ako se uzme da je m > n),takvi da je

x =2mn

m2 + n2z, y =

m2 − n2

m2 + n2z.

Definiramo li z = m2 + n2 kako bi dobili rjesenje u cijelim brojevima, slijedi da je

x = 2mn, y = m2 − n2, z = m2 + n2.

3.3 Kriza neproporcionalnih kolicina

Najvaznije postignuce Pitagorine skole i njen najveci utjecaj na evoluciju konceptabrojeva bilo je otkrice

”iracionalnog“. Pitagorejci su intuitivno osjecali da bilo koja

dva segmenta imaju zajednicki mjeru, tj. uzmemo li dva segmenata, trebalo bi se mocipronaci treci segment, mozda vrlo malen, koji moze

”stati“ mnogo puta na svakom od

danih segmenata. Iz ovoga slijedi da se omjer duljina segmenata polaznog pravca mozeizraziti kao omjer brojeva ili kao racionalan broj. (Sjetimo se da je racionalan brojdefiniran kao kvocijent dvaju cijelih brojeva a

b, gdje je b veci od 0). Mozete zamisliti

potresni ucinak otkrica da postoje neki omjeri koji se ne mogu predstaviti kao cijelibrojevi. Tko je to prvi ustanovio, ili na koji nacin je to bilo ucinjeno (aritmetickim iligeometrijskim metodama), vjerojatno ce ostati zauvijek tajna.

Najstariji poznati dokaz koji se bavi neproporcionalnim segmentima u svojoj biti od-govara modernom dokazu da je

√2 iracionalan. To je dokaz neproporcionalnosti dija-

gonale kvadrata sa svojom stranom, a moze se naci u Knjizi X Euklidovih Elemenata.Referenca u jednom od Aristotelovih djela jasno pokazuje da je dokaz bio poznat davnoprije Euklidova vremena.

Ako su dijagonala AC i stranica AB kvadrata ABCD sumjerljive s omjerom δ, tadapostoje prirodni brojevi m i n koji zadovoljavaju

AC = mδ, AB = nδ.

Odnos tih segmenata jeAC

AB=m

n.


Jednostavnosti radi, pretpostavimo da su m i n relativno prosti (nemaju zajednickihdjelitelja vecih od 1). Tada je

(AC)2

(AB)2=m2

n2.

Primjenom Pitagorina poucka na trokut ABC, slijedi da je (AC)2 = 2(AB)2 tako daprethodna jednakost postaje

2 =m2

n2

ili 2n2 = m2. Nas cilj je pokazati da se to ne moze dogoditi.

2n2 je visekratnik broja 2 i cijeli je broj, stoga je i m2 paran. Sto je sa samim m?Ako je m neparan, onda ce m2 biti neparan jer kvadrat bilo kojeg neparnog cijelogbroja mora biti neparan. Tada slijedi da je m paran, recimo m = 2k. Uvrstavanjemove vrijednosti u jednadzbu m2 = 2n2 i pojednostavljivanjem, dobili smo

2k2 = n2.

Argumentom slicnim gornjem, moze se zakljuciti da je n paran broj. Ukupni rezultatje da su i m i n parni brojevi, sto je suprotno s nasom pocetnom pretpostavkom - dasu relativno prosti.

Pitagorejci nisu bili prvi koji su razmatrali brojcanu vrijednost√

2. Stara kamenaplocica (sada u Yale babilonskoj zbirci) sadrzi crtez kvadrata s dijagonalama kao stoje prikazano na sljedecoj slici. U seksagezimalnom brojevnom sustavu (tj. u sustavu s

bazom 60) broj 1; 24, 51, 10 jednak je

1 +24

60+

51

602+

10

603,

sto daje 1.414213 kada se prevede u decimalni sustav. To je vrlo dobra aproksimacija od√2 = 1.414213562. Znacenje drugih brojeva na crtezu postaje jasno kada pomnozimo

1; 24, 51, 10 do 30. Rezultat je 42; 25, 35, duljina dijagonale kvadrata stranice 30. Dakle,cini se da Babilonci nisu samo znali da je dijagonala kvadrata

√2 puta duljine svoje

stranice nego su takoder znali aritmeticke tehnike da aproksimiraju√

2.


3.4 Teon iz Smirne i dijagonalni brojevi

Teon iz Smirne (oko 130. godine) osmislio je postupak za postizanje sve tocnije aprok-simacije od

√2 racionalnim brojevima. Izracuni ukljucuju dvije sekvence brojeva,

”bocni brojevi” i ”dijagonalni brojevi”. Mi pocinjemo s dva broja, jedan broj se zoveprvi bocni i oznacen je s x1, a drugi broj se zove prva dijagonala i oznacen je s y1. Drugibocni i druga dijagonala (x2 i y2) formiraju se iz prvih. Treci bocni i treca dijagonala(x3 i y3) iz drugih, i tako dalje, u skladu sa shemom.

x2 = x1 + y1, y2 = 2x1 + y1,

x3 = x2 + y2, y3 = 2x2 + y2,

......

Opcenito su xn i yn dobiveni iz prethodnog para bocnih i dijagonalnih brojeva formu-lama

xn = xn−1 + yn−1, yn = 2xn−1 + yn−1.

Ako uzmemo x1 = y1 = 1 kao pocetne vrijednosti, a zatim

x2 = 1 + 1 = 2, y2 = 2 · 1 + 1 = 3,

x3 = 2 + 3 = 5, y3 = 2 · 2 + 3 = 7,

x4 = 5 + 7 = 12, y4 = 2 · 5 + 7 = 17.

......

Imena bocni brojevi i dijagonalni brojevi daju naslutiti da kvocijenti ynxn

povezanihparova tih brojeva dolaze do pribliznog omjera dijagonale i stranice kvadrata.

y1x1

= 1,y2x2

=3

2,

y3x3

=7

5,

y4x4

=17

12, · · ·

Ovo slijedi iz jednakostiy2n = 2x2n ± 1. (3.6)

Iz jednakosti (3.6) slijedi (ynxn

)2

= 2±(

1

xn

),

odnosnoynxn

=

√2± 1

xn.

Kako xn raste, prethodni izraz tezi prema√

2. Mozemo vidjeti kako to funkcionirapromatrajuci slucaj n = 4.(

y4x4

)2

=

(17

12

)2

=289

144=

288

144+

1

144= 2 +

(1

12

)2

,

odnosno

y4x4

=

√2±

(1

12

)2

.


Vrijednost y4x4

=√

2.006944444 priblizna je vrijednosti√

2.

Sada jednakost (3.6), koju mozemo zapisati u obliku y2n − 2x2n = ±1, mozemo zapisatii algebarskim identitetom

(2x+ y)2 − 2(x+ y)2 = 2x2 − y2. (3.7)

Ako je x = x0 i y = y0 bilo koje rjesenje jednadzbe y2 − 2x2 = ±1, tvrdimo da jex = x0 + y0 i y = 2x0 + x0 takoder rjesenje. Iz svojstva (3.7) imamo

y2 − 2x2 = (2x0 + y0)2 − 2(x0 + y0)

2 = −(y20 − 2x20) = −(±1) = ∓1.

Znaci, kada je poznato jedno rjesenje y2 − 2x2 = ±1, koristenjem identiteta (3.7)moguce je pronaci beskonacno mnogo rjesenja.

Zbog nacina na koji se formiraju bocni i dijagonalni brojevi, slijedi da ako za nekuvrijednost n vrijedi y2 − 2x2 = ±1, tada vrijedi i za n + 1, ali sa suprotnim predzna-kom. Stavimo li da x1 = y1 = 1, vidimo da y2n − 2x2n = ±1 vrijedi za n = 1, stoga ovajednadzba vrijedi za svaki sljedeci n. Zakljucujemo da jednakost (3.6) vrijedi za sven ≥ 1.

Postavlja se pitanje moze li se prikaz bocnih i dijagonalnih brojeva koristiti da bise dobila racionalna aproksimacija na proizvoljnom korijenu. Teonovo izvorno pravilooblikovanja bilo je

xn = xn−1 + yn−1, yn = 2xn−1 + yn−1, n ≥ 2.

Zamijenimo broj 2 u drugoj jednadzbi nekim pozitivnim cijelim brojem a (koji nijepotpun kvadrat) kako bismo razvili sljedecu shemu:

x2 = x1 + y1, y2 = ax1 + y1,

x3 = x2 + y2, y2 = ax2 + y2,

x4 = x3 + y3, y2 = ax3 + y3,

......

xn = xn−1 + yn−1, yn = axn−1 + yn−1,

......

Uocimo da je

y2n = (axn−1 + yn−1)2 = a2x2n−1 + 2axn−1yn−1 + y2n−1,

ax2n = a(xn−1 + yn−1)2 = a2x2n−1 + 2axn−1yn−1 + ay2n−1.

Oduzmemo li ove dvije jednadzbe, dobivamo

y2n − ax2n = (a2 − a)x2n−1 + (1− a)y2n−1 = (1− a)(y2n−1 − ax2n−1).

Ponavljanjem ovog postupka, dolazimo do niza jednakosti:


y2n − ax2n = (1− a)(y2n−1 − ax2n−1)= (1− a)2(y2n−2 − ax2n−2)= (1− a)3(y2n−3 − ax2n−3)...

= (1− a)n−1(y21 − ax21),

i rjesenja (ynxn

)2

= a+(1− a)n−1(y21 − ax21)

x2n, n ≥ 2.

Mozemo zakljuciti da ce, ako se n povecava, desna strana jednakosti teziti u 0, dok cevrijednost yn

xnteziti iracionalnom broju

√2.

Radi ilustracije, razmotrimo slucaj√

3, tj. a = 3. Ako za pocetne bocne i dijago-nalne brojeve uzmemo x1 = 1 i y1 = 2, navedena formula se svodi na(

ynxn

)2

= 3 +(−2)n−1

x2n, ≥ 2.

Uzastopne racionalne aproksimacije√

3 su

y1x1

=2

1,y2x2

=5

3,y3x3

=7

4,y4x4

=19

11,y5x5

=26

15, · · ·

Razlika obzirom na gore navedeni izraz jest dani pocetni algebarski identitet

(y2 + 3x2)2 − 3(2xy)2 = (y2 − 3x2)2. (3.8)

Ako je poznato jedno rjesenje jednadzbe

y2 − 3x2 = 1,

recimo, x = x0, y = y0 tada jednadzba (3.8) pokazuje da se drugo rjesenje moze lakonaci ako stavimo x = 2x0y0, y = y20 + 3x20. Doista, uvrstavanjem dobijemo

y2 − 3x2 = (y20 + 3x20)2 − 3(2x0y0)

2 = (y20 − 3x20)2 = 12 = 1.

Prema tome, imamo postupak kojim generiramo rjesenja jednadzbe y2 − 3x2 = 1 izjednog rjesenja. Prema rekurzivnom pravilu

xn = 2xn−1yn−1, yn = 2xn−1 + yn−1,

novo rjesenje xn, yn mozemo izvesti iz prethodnog rjesenja xn−1, yn−1. Kako xn, ynzadovoljava

y2n − 3x2n = 1,

odnosno (ynxn

)2

= 3 +1

x2n,


slijedece vrijednosti(

ynxn

)2ce teziti u 3, odnosno, niz yn

xndaje ”vrlo dobru” aproksima-

ciju√

3 racionalnim brojevima.

Jasno je da jednadzba y2 − 3x2 = 1 ima barem jedno rjesenje u skupu prirodnihbrojeva, i to x1 = 1, y1 = 2. Vidimo da je

x2 = 2x1y1 = 2 · 1 · 2 = 4,

y2 = y21 + 3x21 = 22 + 3 · 12 = 7.

Stoga je i par (4, 7) rjesenje. Na ovaj nacin nova rjesenja generiraju iz danih. Sljedeceje

x3 = 2x2y2 = 2 · 4 · 7 = 56,

y3 = y22 + 3x22 = 72 + 3 · 42 = 97,

i tako dalje. Niz racionalnih aproksimacija iracionalnog broja√

3 je

y1x1

=2

1,y2x2

=7

4,y3x3

=97

56,y4x4

=18817

10864, · · ·

3.5 Eudkos iz Cnydosa

Otkrice iracionalnih brojeva izazvalo je veliku pomutnju medu Pitagorejcima jer je os-poravalo adekvatnost njihove filozofije da je broj bit svih stvari. Ovaj logicki skandalohrabrio ih je da odrze jamstvo stroge tajnosti. Zaista, njihovoj odlucnosti se svjedoci isamim imenom: ”neiskazani”. Kao dokaz tome, Grci su koristili termin logos, sto znaci”rijec” ili ”govor”, za odnos dvaju cijelih brojeva, a neproporcionalne duljine opisanesu kao alogos, sto nosi dvostruko znacenje: ”nije omjer” i ”ne treba o njemu govoriti”.Posjedovanje znanja o postojanju iracionalnih brojeva bila je opasna tajna. Popularnalegenda kaze da je prvi Pitagorejac koji je izustio neizustivo strancu bio ubijen tj. bioje bacen s broda da se utopi.

Postojanje neproporcionalnih geometrijskih kolicina iziskivalo je temeljito preradivanjetemelja matematike, s povecanom pozornoscu na logicku strogost. To je bio tezakzadatak i angazirali su se najznacajnijih matematicari cetvrtog stoljeca prije Krista:Teodor, Theaetetus, Arhite i Eudoks.

Teodor Cirenac roden je 470. godine prije Krista. On je bio ucitelj matematike ve-likog filozofa Platona. Tvrdi se kako je dokazao da su stranice kvadrata predstavljenes√

3,√

5,√

6,√

7,√

8,√

10,√

11,√

12,√

13,√

14,√

15 i√

17 neproporcionalne sjedinicom duljine. On je dokazao iracionalnosti kvadratnog korijena prirodnih brojevakoji nisu potpuni kvadrati od 3 do 17, ”te je u tom trenutku iz nekog razloga stao“,rekao je Platon.

Theaetetus iz Atene roden je 415. godine prije Krista. On je bio ucenik Teodora iclan Platonove skole u Ateni, prosirio je rezultat, pokazujuci da je kvadratni korijensvakog nekvadrata cijelog broja iracionalan. Sam Platon dodao je to teoriji pokazavsida racionalan broj moze biti zbroj dvaju iracionalnih.


Arhit iz Terenta Atene roden je 428. godine prije Krista. On je jedan od malo Pi-tagorejaca koji su ostali u juznoj Italiji nakon Pitagorine smrti. Bio je predstojnikpitagorejskog drustva svog doba. Poznat je kao prvi koji je proucavao geometriju nakruznom cilindru, otkrivajuci pri tome neke od svojstava njegova kosa presjeka, elipse.On je takoder osmislio genijalno rjesenje problema

”duplikacije kocke“ pomocu cilin-

dricnih dijelova.

Mozda najbrilijantniji grcki matematicar prije Arhimeda bio je Eudoks iz Cnydosa.Roden oko 408. godine prije Krista u Knidu na Crnom moru. Krenuo je u dobi od 23godine nauciti geometriju od Arhita iz Terenta i nekoliko mjeseci filozofiju od Platonau Ateni. Eudoks, presiromasan da bi zivio u Ateni, jeftino se smjestio na luckom graduPireju, gdje se prvo iskrcao. Svaki dan je hodao dvije milje do Platonove akademije.Kasnije je putovao u Egipat gdje je ostao 16 mjeseci. Nakon toga za zivot je zaradivaokao ucitelj, osnovavsi skolu u Cyzicusu u sjeverozapadnoj Maloj Aziji koja je privlacilamnogo ucenika. Kada je bio star oko 40 godina, Eudoks je drugi put posjetio Atenu upratnji znatnog broja svojih studenata; tu je otvorio jos jednu skolu, koja je u to vri-jeme parirala Platonovoj. Eudoksova reputacija pociva na tri razloga: njegovoj opcojteoriji proporcionalnosti, dodatku brojnih rezultata o proucavanju zlatnog reza (po-djela segmenta u ekstremnim i srednjim omjerima) i po izumu postupka poznatog podnazivom metoda ekshaustije. Postupak koji je Eudoks predlozio kasnije je usavrsio Ar-himed u mocni alat za utvrdivanje krivocrtnih podrucja, povrsina i volumena -vaznihpreteca integralnog racuna.

Slika 3.1: Eudoks

Tijekom ovog razdoblja, grcka matematika pocela se organizirati deduktivno na te-melju eksplicitnih aksioma. Njen konacni aksiomatski oblik naveden je u Knjizi XIIIEuklidovih Elemenata koju je Euklid napisao oko 300. godine prije Krista. Sastav-


ljanje Elemenata, Euklid je gradio na iskustvu i postignucima svojih prethodnika uprotekla tri stoljeca. Theaetetusova razradena klasifikacija visih tipova iracionalnihbrojeva predmet je Knjige X Euklidovih Elemenata, iako Euklid mora biti zasluzan stoju je slozio u logicnu cjelinu. Eudoksova teorija razmjera, koja je zapravo teorija realnihbrojeva, ukomponirana je u Knjigu V, a Knjiga II je uglavnom geometrijska izvedbaPitagorine aritmetike, u kojoj Euklid predstavlja brojeve po segmentima umjesto poslikovnoj metodi s tockama koju su favorizirali Pitagorejci.

Bibliografija

[1] F. M. Brueckler, Povijest matematike 1, Odjel za matematiku, Sveuciliste J. J.Strossmayera u Osijeku, 2007.

[2] D. Burton, The History of Mathemathics: An Introduction, 6th Edition,Prirodoslovni-matematicki fakultet, The McGraw-Hill 1 Companies, 2007.

[3] D. Glasnovic Gracin, Nove tendencije u nastavi matematike, Pogled kroz prozor,digitalni casopis za obrazovane strucnjake, 3(2009)

[4] D. Glasnovic, Tales iz Mileta, dostupno na:http://www.hazu.hr/~duda/tales.html

[5] Z. Zene u matematici, Hrvatski matematicki elektronski casopis math.r, 4(2005)

[6] Povijest matematike, online prirucnik o matematici, dostupno na:http://ahyco.uniri.hr/seminari2007/povijestmatematike/5-1.htm

[7] The Mac Tutor History of Mathematics archive, dostupno na:http://www.history.mcs.st-and.ac.uk

38

Sazetak

Cilj ovog rada je reci nesto o pocecima grcke matematike. Stari Grci su uvelike utjecalina znanost, posebno na matematiku, a njihov utjecaj je od velike vaznosti cak i danas.Rad je podijeljen na tri dijela. U prvom dijelu se upoznajemo s Talesom i njegovimgeometrijskim otkricima. Drugi dio nam donosi pricu o Pitagori i njegovim sljedbeni-cima. Saznat cemo nesto i o Nikomahu i njegovom ”Uvodu u arimtetiku”. Zatim slijedefigurativni brojevi, a drugo poglavlje zavrsavamo s Zenonovim paradoksom. Posljednji,treci dio bavi se problemom Pitagorejaca. Vidjet cemo geometrijski dokaz pitagorinogteorema, a saznat cemo nesto i o ranim rjesenjima Pitagorine jednadzbe. Kroz trecidio upoznat cemo jos Teona iz Smirne i dijagonalne brojeve, a rad zavrsava pricom oEudkosu iz Cnydosa.

Kljucne rijeci: Tales, Pitagora, figurativni brojevi, Zenon, Teon, dijagonalni brojevi,Eudkos

39

Summary

The aim of this paper is to say something about the beginnings of Greek mathematics.Ancient Greeks had a large influence on science, especially on mathematics, and theirinfluence is very important even nowadays. The paper consists of three chapter. Thalesand his geometrical discoveries are introduced in the first chapter. The second chapterbrings a story about Pythagoras and his followers. We will find out something aboutNicomachus and his work ”Introduction to arithmetics”. The chapter is followed byfigurative numbers and second part is closed by Zeno’s paradox. The last, third chapterdeals with the Pythagorean problem. We’ll see geometric proof of the Pythagoreantheorem and we will find out something about the early solutions of Pythagoreanequation. In this chapter we will be introduced to Theon of Smyrna and diagonalnumbers, and paper closes with a story about Eudoxus of Cnidos.

Key words: Thales, Pythagoras, figurative numbers, Zeno, Theon, diagonal numbers,Eudoxus

40

Zivotopis

Zovem se Matea Sigurnjak. Rodena sam 31. srpnja 1987. godine u Osijeku. Od 1994.do 2002. godine pohadala sam Osnovnu skolu

”August Harambasic“ u Donjem Mi-

holjacu. Po zavrsetku osnovne skole, upisala sam se u Srednju skolu Donji Miholjac,smjer komercijalist. 2006. godine upisala sam Sveucilisni nastavnicki studij matema-tike i informatike na Odjelu za matematiku u Osijeku. Trenutno radim u Osnovnojskoli

”August Harambasic“, Donji Miholjac kao uciteljica informatike i matematike.

41

Documents

Po ceci gr cke matematike - mathos.unios.hrmdjumic/uploads/diplomski/SIG02.pdf · 2. Babilonci su izra cunali svoje aproksimacije s velikom to cno s cu, ali Grci su dokazali da je