PMCPem ELECTROMAGNETISME

Universit Paris-Sud Orsay e L2 S4 PMCP Phys206r ELECTROMAGNETISME

J.-J. LABARTHE

Phys206r ELECTROMAGNETISME

Mise ` jour de ce cours sur le site a http://www.deugs3smr.u-psud.fr/DEUGS3SMR

Dbut de rdaction : 26 octobre 2002 e e Premi`re version : 13 aot 2004 e u Cette version : 9 janvier 2007

Jean-Jacques LABARTHELaboratoire Aim-Cotton e www.lac.u-psud.fr Bt 505 CNRS II a 91405 ORSAY Cedex Tl. : 01 69 35 20 49 e Fax : 01 69 35 21 00

` TABLE DES MATIERES

3

Table des mati`res e1 Rvisions e 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Charges et courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Rpartition volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.2 Rpartition surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Rpartition linique . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1.2.4 Conservation de la charge et quation de continuit . e e 1.3 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Rpartition volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.3 Rpartition surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.4 Rpartition linique . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1.3.5 Changement de rfrentiel . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.4 Electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Champ lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.2 Potentiel lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.3 Thor`me de Gauss et quation de Maxwell-Gauss . e e e 1.4.4 Champ de vecteur conservatif . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Lois locales et intgrales de llectrostatique . . . . . e e 1.4.6 Existence et unicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.7 Diple lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 1.5 Magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.1 Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Champ de vecteur ` ux conservatif . . . . . . . . . a 1.5.4 Lois locales et intgrales de la magntostatique . . . e e 1.5.5 Diple magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 1.6 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Applications de linduction . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Equation de Maxwell-Faraday . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Cas du circuit immobile . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Cas du circuit en mouvement . . . . . . . . . . . . . 1.6.6 Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 8 9 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 14 14 15 17 17 18 21 21 21 22 23 24 28 28 28 30 30 31 31

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4

` TABLE DES MATIERES33 33 34 34 35 35 35 36 37 37 37 38 39 40 40 42 43 43 43 45 46 46 49 49 50 50 50 51 52 53 54 54 54 55 55 55 55 57 59 59 60 61 62 63 63 64 64 64

2 Les quations de Maxwell dans le vide e 2.1 Les quations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.1 Constantes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Cas statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Propagation du champ lectromagntique . . . . . . . e e 2.1.4 Rgimes quasistationnaires . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.5 Combien y a-t-il dquations de Maxwell? . . . . . . . e 2.1.6 Equations de Maxwell dans le vide et dans les milieux 2.2 Equation de Maxwell-Amp`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.1 Thor`me dAmp`re gnralis . . . . . . . . . . . . . e e e e e e 2.2.2 Exemple du condensateur en rgime quasistationnaire e 2.3 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Equation de Maxwell-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Equation de Maxwell-ux . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Equation de Maxwell-Amp`re . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.4 Equation de Maxwell-Faraday . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Autre forme des relations de passage . . . . . . . . . . 2.4 Les potentiels scalaire et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Existence des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Indtermination des potentiels . . . . . . . . . . . . . e 2.4.3 Imposition dune condition de jauge . . . . . . . . . . 2.4.4 Equations des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Energie lectromagntique e e 3.1 Puissance fournie aux charges par le champ lectromagntique e e 3.1.1 Exemple dun l conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Loi de conservation de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1 Proprits de lnergie dun syst`me en interaction . . . ee e e 3.2.2 Forme locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Le thor`me de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.2.4 Indtermination de la densit dnergie . . . . . . . . . . e e e 3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Fil conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Charge lectrique ponctuelle et diple magntique . . . e o e 3.3.3 Condensateur charg (lectrostatique) . . . . . . . . . . e e 3.3.4 Solno (magntostatique) . . . . . . . . . . . . . . . . e de e 3.4 Energie dun syst`me de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4.1 Energie dun circuit, auto-induction . . . . . . . . . . . 3.4.2 Induction mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ondes lectromagntiques dans le vide e e 4.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . 4.2 Onde plane progressive harmonique (OPPH) 4.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Importance des OPPH . . . . . . . . . 4.3 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Polarisation rectiligne . . . . . . . . . 4.3.2 Polarisation circulaire gauche . . . . . 4.3.3 Polarisation circulaire droite . . . . . 4.3.4 Polarisation elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

` TABLE DES MATIERES4.4 4.5 4.6 4.7 Energie dune OPPH . . . . . . . . . . Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . Polariseurs et loi de Malus . . . . . . . Spectre des ondes lectromagntiques . e e 4.7.1 Radiofrquences . . . . . . . . e 4.7.2 Hyperfrquences . . . . . . . . e 4.7.3 Infrarouge . . . . . . . . . . . . 4.7.4 Lumi`re visible . . . . . . . . . e 4.7.5 Ultraviolet . . . . . . . . . . . 4.7.6 Rayons X . . . . . . . . . . . . 4.7.7 Rayons gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

565 66 68 70 70 72 73 74 74 74 75 77 77 78 79 79 80 80 83 84 84 84 86 91 91 91 92 92 92 93 93 93 95 97 98 99 103 103 103 104 107 107

5 Propagation guide e 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Symtrie de translation . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.4 Un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Equation donde et quations de Maxwell . . e 5.4.3 Mode TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Mode TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Mode TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 Interprtation comme superposition dOPPH e 5.5 Deux plans conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Milieux dilectriques et aimants e e 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Champ lectromagntique microscopique et macroscopique e e 6.1.2 Charges et courants lis et libres . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2 Milieux dilectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2.1 Polarisation dilectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2.2 Polarisation dilectrique permanente . . . . . . . . . . . . . e 6.2.3 Pizolectricit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 6.2.4 Polarisation induite par un champ lectrique . . . . . . . . e 6.2.5 Condensateur plan avec un milieu dilectrique . . . . . . . e 6.2.6 Charges de polarisation dun dilectrique . . . . . . . . . . e 6.2.7 Vecteur dplacement lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.2.8 Equations de Maxwell dans les milieux dilectriques . . . . e 6.3 Milieux magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.1 Vecteur aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Diamagntisme et paramagntisme . . . . . . . . . . . . . . e e 6.3.3 Ferromagntisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.4 Courants de magntisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.5 Equations de Maxwell dans les milieux . . . . . . . . . . . .

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6

` TABLE DES MATIERES111 111 112 112 114 114 115 116 118 119 120 120 121 126 128 129 131

7 Ondes lectromagntiques dans les milieux e e 7.1 Ondes dans les milieux lhi non magntiques . . . . . . . . . . . e 7.1.1 Milieu transparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Milieu absorbant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Rexion et transmission sur un dioptre plan . . . . . . . . . . e 7.2.1 Lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Dmonstration des lois de Snell-Descartes . . . . . . . . e 7.2.3 Ondes vanescentes (cas de la rexion totale) . . . . . e e 7.2.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5 Amplitudes rchie et transmise en incidence normale . e e 7.2.6 Pouvoir recteur et pouvoir de transmission . . . . . . e 7.2.7 Exemple numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e A Corrig des exercices e B Note historique C Constantes physiques D Symboles et leurs units e Index

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7

1

Rvisions e1.1 Introduction

Le champ lectromagntique est compos de deux champs vectoriels : e e e le champ lectrique E(r, t) (unit : V m1 [volt 1 par m`tre]) ; e e e 2 ]). le champ magntique B(r, t) (unit : T [tesla e e Ce premier chapitre eectue divers rappels : les dnitions des charges et des courants lectriques (section 1.2) ; e e les forces exerces par les champs E et B sur les charges (section 1.3) ; e les lois de llectrostatique (section 1.4) et de la magntostatique (sece e tion 1.5) ; la loi de linduction de Faraday 3 (section 1.6). Dans le chapitre 2, on introduira les quations de Maxwell 4 qui e forment les postulats de base de la thorie de Maxwell et permettent de e dterminer le champ lectromagntique en rgime dpendant du temps ` e e e e e a partir des charges et des courants. Le champ lectromagntique poss`de une nergie (tudie dans le chae e e e e e pitre 3), une quantit de mouvement et un moment cintique (proprits e e ee non exposes dans ce cours). e La thorie de Maxwell prvoit lexistence dondes lectromagntiques e e e e (lumi`re, ondes radio, . . . ). Le chapitre 4 tudie ces ondes lorsquelles se e e propagent dans le vide et le chapitre 5 lorsquelles sont guides par des e conducteurs. Le chapitre 6 introduit quelques notions sur les milieux dilectriques et e aimants et le chapitre 7 les ondes lectromagntiques dans les milieux. e e e1. Graf Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (1745-1827) 2. Nikola Tesla (1856-1943) 3. Michael Faraday (1791-1867) 4. James Clerk Maxwell (1831-1879)

8

1. REVISIONS

1.21.2.1

Charges et courantsRpartition volumique e

Considrons un lment de volume d contenant N particules ponctuelles e ee respectivement de charge qa et de vitesse va (a = 1, 2, . . . , N ). La charge volumique (ou densit volumique de charge) (unit : C m3 [Coue e lomb 5 par m`tre cube]) est dnie par e eN

(r, t) d =a=1

qa .

(1.1)

La valeur (r, t) ne dpend pas de la taille du volume d , du moins tant e que ce volume reste assez petit tout en contenant un tr`s grand nombre e de particules. Du point de vue des calculs, on pourra traiter d comme un innitsimal. Lquation (1.1) signie que la charge lectrique Q contenue e e e dans un volume V quelconque se calcule par Q=V

(r, t) d.

(1.2)

Cette intgrale est en eet la somme de toutes les charges qa contenues dans e le volume V . Le courant volumique (unit : A m2 [Amp`re 6 par m`tre carr]) e e e e est dni par eN

(r, t) d =a=1

qa va .

(1.3)

n

v dt

P

Justions cette expression du courant volumique. Supposons dabord que toutes les particules dans le volume d ont la mme vitesse v. Dapr`s (1.1), e e d = N qa v = d v et le courant volumique vaut a=1 = v.h

dSv dt

(1.4)

P

Fig. 1.1 Calcul du courant.

Calculons lintensit du courant lectrique qui traverse la surface innitsie e e male dS dans le sens dun vecteur unitaire n normal ` dS (cf. gure 1.1). a La charge situe en P au temps t se dplace jusquau point P (P P = v dt) e e pendant le temps dt. Elle traverse la surface dS entre les temps t et t + dt si le point P se trouve dans le cylindre de base dS et de gnratrice v dt. e e La hauteur h de ce cylindre est h = n v dt et son volume d = n v dt dS. La charge lectrique dans le cylindre dQ = d = n v dt dS est aussi la e charge qui traverse la surface dS pendant le temps dt. On en dduit que e5. Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) 6. Andr Marie Amp`re (1775-1836) e e

1.2. CHARGES ET COURANTS

9

lintensit du courant lectrique ` travers dS est dI = dQ/dt = v n dS. e e a Cette intensit est le ux lmentaire du courant volumique ` travers dS : e ee a dI = n dS. (1.5)

Lintensit algbrique I (on peut avoir I < 0) du courant qui traverse une e e surface oriente nie S sobtient comme le ux du courant volumique ` e a travers S : I=S

n dS.

(1.6)

Lexpression (1.6) reste valable lorsque toutes les charges nont pas la mme e vitesse dans le volume d . Par exemple, sil y a deux types de charges, 1 et 2, les charges de type i (i = 1 ou 2) tant toutes animes de la vitesse vi , e e dsignons par i la charge volumique et par i = i vi le courant volumique e associs aux charges de type i. La charge volumique totale est = 1 + 2 . e Le courant volumique total est = 1 + 2 = 1 v1 + 2 v2 (1.7)

ce qui implique que le ux (1.6) est la somme des ux de 1 et 2 , et donc lintensit du courant ` travers S. e a

1.2.2

Rpartition surfacique e

Supposons que les charges soient localises sur une surface S (rpartition e e surfacique de charge et de courant). La charge surfacique (ou densit e surfacique de charge) (unit : C m2 ) et le courant surfacique e (unit : A m1 ) sont dnis par e ea N N

z

r

(r, t) dS =a=1 N

qa ,

(r, t) dS =a=1

qa va

(1.8) O

o` la somme ua=1

porte sur les N particules ponctuelles qui se trouvent sur

P

Fig. 1.2 Courant surfacillment de surface dS. Noter que va et sont parall`les ` la surface. ee e a que comme limite dun courant Si toutes les charges dans llment de surface dS ont la mme vitesse v, ee e volumique. on a la relation = v (1.9)

qui est analogue ` (1.4). a Exercice 1.1 (Courant volumique et courant surfacique). Soit un cylindre conducteur creux daxe Oz, de rayon r, dpaisseur a (a r) parcouru par e un courant constant I (cf. gure 1.2).

10

1. REVISIONS

1. On suppose que le courant volumique dans lpaisseur du conducteur e est uniforme et parall`le ` Oz. En calculant lintensit du courant traversant e a e un plan P perpendiculaire ` Oz montrer que a = Iuz . 2ra (1.10)

2. On suppose que le courant I est d ` une rpartition surfacique de courant ua e situe sur la surface cylindrique de rayon r. Dterminer le courant surfacique e e sachant quil est uniforme et parall`le ` Oz. e a

1.2.3

Rpartition linique e e

udl M M

Supposons que les charges soient localises sur un l (rpartition e e linique de charge et de courant). La charge linique (ou densit linique e e e e 1 ) et le courant [linique] I (unit : A) sont de charge) (unit : C m e e e dnis par eN N

s

(r, t)dl =r N a=1

qa ,

I(r, t)dl =a=1

qa va

(1.11)

O

o` la somme uRpartition linie e

porte sur les N particules ponctuelles qui se trouvent dans que va et I = Iu sont tangents en M au l (cf.

Fig. 1.3 que.

llment ee gure 1.3).

a=1 M M . Noter

1.2.4

Conservation de la charge et quation de continuit e e

Se reporter au chapitre 3 du cours Corde vibrante & acoustique. Dans le cas dune distribution volumique de charges et de courants, lquation de continuit qui exprime la conservation de la charge est e e +=0 t ou encore (1.12)

jx jy jz + + + = 0. (1.13) t x y z Dans le cas dune distribution surfacique de charges et de courants localise dans le plan Oxy, les charges ne sortant pas du plan (feuille conductrice e tr`s ne), lquation de continuit scrit en fonction de la charge surfacique e e e e (x, y, t) et du courant surfacique (x, y, t) = (jx (x, y, t), jy (x, y, t), 0) : jy jx + + = 0. t x y (1.14)

Lorsque le conducteur nest pas rduit ` une surface tr`s mince, la variae a e tion de charge surfacique peut tre produite par des courants volumiques e

1.3. FORCE DE LORENTZ

11

qui butent contre la surface. Cest ce qui se passe sur larmature dun condensateur (cf. gure 1.4). Supposons que les courants surfaciques soient ngligeables. Laccroissement des charges portes par llment de surface e e ee S de larmature pendant le temps dt est d S = n S dt = jn S dt et la conservation de la charge se traduit par = jn . t (1.16)Fig. 1.4

S n

(1.15)

Courant a travers `

un condensateur.

Dans le cas dune distribution linique de charges et de courants localise e e sur un l , dnissons labscisse curviligne s du point M par la longueur e de la courbe OM (cf. gure 1.3). Lquation de continuit scrit en fonction e e e de la charge linique (s, t) et du courant I(s, t) : e I + = 0. t s (1.17)

1.31.3.1

Force de LorentzCharge ponctuelle

La force exerce par le champ lectromagntique sur une particule ponce e e tuelle, de charge q, de vitesse v et situe au point M (on pose r = OM ) ` e a linstant t est donne par la formule de Lorentz 7 : e F = q E(r, t) + v B(r, t) . (1.18)

1.3.2

Rpartition volumique e

Dans le cas dune rpartition volumique de charge et de courant , e la force lmentaire d3 F agissant ` linstant t sur llment de volume d ee a ee localis en r est e d3 F = (r, t)E(r, t) + (r, t) B(r, t) d. (1.19)

La formule (1.19) rsulte de (1.18) de la faon suivante. La force lectromae c e gntique totale agissant sur le volume d a linstant t est e `N

d3 F =a=1

qa E(ra , t) + va B(ra , t)N N

qa E(r, t) +a=1 a=1

qa va B(r, t) (1.20)

7. Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)

12

1. REVISIONS

o` on a remplac ra par r (volume d innitsimal). La derni`re expression u e e e dans (1.20) est identique ` (1.19) dapr`s (1.1) et (1.3). a e

1.3.3

Rpartition surfacique e

Supposons que les charges soient localises sur une surface S (rpartition e e surfacique de charge et de courant ). La force lmentaire d2 F agissant ee a ` linstant t sur llment de surface dS localis en r est ee e d2 F = (r, t)E(r, t) + (r, t) B(r, t) dS. Cette formule rsulte galement de (1.18). e e (1.21)

1.3.4

Rpartition linique e e

Supposons que les charges soient localises sur un l (rpartition e e linique de charge et de courant I). La force lmentaire dF agissant e ee a ` linstant t sur llment innitsimal M M de longueur dl est ee e dF = (r, t)E(r, t) + I(r, t) B(r, t) dl. (1.22)

Lorsque le l est parcouru par un courant dintensit constante I et que e la charge linique est nulle, lquation (1.22) se rduit ` la force magntique e e e a e 8 de Laplace dF = I dl B avec dl = M M . (1.23)

1.3.5

Changement de rfrentiel ee

La formule de Lorentz est valide dans un rfrentiel galilen quelconque ee e (principe de relativit). Soit un premier observateur galilen pour qui la e e particule est anime de la vitesse v ` linstant t. Pour cet observateur la e a particule subit la force (1.18). Soit un deuxi`me observateur galilen en e e mouvement par rapport au premier avec la vitesse constante v. Pour ce deuxi`me observateur, qui voit la particule immobile ` linstant t, la force e a de Lorentz est F = qE (1.24) o` F et q sont les mmes que pour le premier observateur (invariance de u e la force 9 et de la charge). Le deuxi`me observateur voit donc le champ e lectrique e E = E + v B. (1.25) On retiendra que les champs E et B dpendent du rfrentiel. e ee8. Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827) 9. La force nest invariante que pour v c.

1.4. ELECTROSTATIQUE

13

1.41.4.1

ElectrostatiqueChamp lectrostatique e

On rappelle lexpression du champ lectrostatique qui rsulte de la loi e e de Coulomb et du principe de superposition. Considrons N charges e ponctuelles qa (a = 1, 2, . . . , N ), la charge numro a tant localise en ra . e e e La force lectrostatique agissant sur le charge numro b est e eN

F =a=1 a=b

qa qb rb ra 40 |rb ra |3

(1.26)

o` u 0 8,854187817 1012 F m1 (1.27) est la permittivit lectrique du vide. Le champ E(r) cr en r par les N e e ee charges est dni par eN

E(r) =a=1

qa r ra . 40 |r ra |3

(1.28)

Ce champ est singulier aux points ra (a = 1, 2, . . . , N ) o` sont localises u e les charges. La force agissant sur la charge numro b est donne par e e F = qb E(rb ) (1.29)

si on calcule E(r) au point rb par passage ` la limite r rb en convenant a de poser r rb = 0. (1.30) lim rrb |r rb |3

Lutilisation dune distribution volumique de charge (r) permet dviter e les singularits du champ. Supposons que (r) soit une fonction continue ` e a support compact V . Le champ en r est E(r) =V

(r )d r r , 40 |r r |3

(1.31)

qui est continu, born et tend vers 0 lorsque r . e Une distribution de charge sur la surface S cre le champ e E(r) =S

(r )dS r r . 40 |r r |3

(1.32)

Supposons que (r) soit une fonction continue ` support compact S. Le a champ E est born, tend vers 0 lorsque r et est continu sauf au e passage de la surface S. La discontinuit de E est tudie section 1.4.5. e e e

14

1. REVISIONS

Dans le cas dune distribution de charge linique le long dune courbe , e le champ (r )dr r r (1.33) E(r) = 3 40 |r r | est singulier sur .

1.4.2

Potentiel lectrostatique e

Le champ lectrostatique E(r) drive dun potentiel, cest-`-dire quil e e a existe un champ scalaire (r) tel que E = . (1.34)

Pour une distribution volumique de charge (r) continue et ` support coma pact V , on peut prendre (r) =V

qui dnit le potentiel (r) sannulant quand r . e On vrie lquation (1.34) en intervertissant intgrale sur r et gradient e e e par rapport ` r : a =V

(r )d 40 |r r |

(1.35)

1 (r )d = 40 |r r |

V

(r )d 40

|r r |3

r r

= E. (1.36)

1.4.3

Thor`me de Gauss et quation de Maxwell-Gauss e e e

Pour la dmonstration du thor`me de Gauss 10 ` partir de la loi de e e e a Coulomb, rviser le cours dlectrostatique. e e n On se limite ` montrer lquivalence du thor`me de Gauss et de lquaa e e e e S tion de Maxwell-Gauss E = (1.37) dS 0 qui devient un postulat dans la thorie de Maxwell (cest une des quations e e V de Maxwell ; elle reste valide en rgime variable). e On utilisera la notation V pour dsigner le bord dun volume V . Soit e E V un volume de bord S = V (cf. gure 1.5). Le vecteur unitaire n normal a ` S est orient vers lextrieur du volume V . Montrons que lquation de e e e Fig. 1.5 Thor`me de e e Maxwell-Gauss implique le thor`me de Gauss. En utilisant le thor`me e e e e Gauss. dOstrogradski 11 on a en eetS

E n dS =

V

E d =

1 0

dV QV

(1.38)

10. Johann Karl (Carl) Friedrich Gauss (1777-1855) 11. Mikhail Vasilevich Ostrogradski (1801-1862)

1.4. ELECTROSTATIQUE soitS

15

E n dS =

QV 0

(thor`me de Gauss) e e

(1.39)

qui exprime le ux du champ E sortant de V en fonction de la charge lectrique QV contenue dans V . Le thor`me de Gauss reste valide en pre e e e sence de distributions de charges ponctuelles, surfaciques ou liniques sil ny e a pas de charges ponctuelles, surfaciques ou liniques sur S (mais la charge e volumique peut ne pas tre nulle sur S). e Rciproquement, montrons que le thor`me de Gauss implique lquation e e e e de Maxwell-Gauss. Nous supposerons que E et sont des fonctions continues. Le thor`me de Gauss scrit en utilisant le thor`me dOstrogradski e e e e e 1 0 soitV

d =V QV S

E n dS =

V

E d

(1.40)

E f (r)

0

d = 0.

(1.41)

La fonction continue f (r) est telle que V f (r)d = 0 pour tout volume V . Elle est donc identiquement nulle et il en rsulte lquation de Maxwelle e Gauss (1.37)

1.4.4

Champ de vecteur conservatif

Thor`me 1.1 (Champ de vecteur conservatif). Soit E(r, t) un champ de e e vecteur pouvant dpendre du temps t et dni dans tout lespace (r R3 ). e e Les proprits suivantes sont quivalentes. ee e 1. Le champ E drive dun potentiel. Cela signie quil existe un champ e scalaire (r, t) tel que E = . (1.42) 2. La circulation de E est conservative. Cela signie que la circulation le long dune courbe AB ne dpend pas de la forme de la courbe mais e seulement des positions de ses extrmits A et B. e e 3. La circulation de E le long dune courbe ferme est nulle : e E dl = 0. (1.43)

4. Le champ de vecteur est irrotationnel. Cela signie que son rotationnel est nul : E = 0. (1.44)

16

1. REVISIONS

n S

Un champ de vecteur qui vrie ces conditions est dit champ de vecteur e conservatif. Dmonstration. On va dmontrer lquivalence des quatre proprits en e e e ee montrant les implications 4 = 3 = 2 = 1 = 4. 4 = 3. On utilisera la notation = S pour dsigner le bord orient e e dune surface orientable S. Les orientations de la courbe et de la surface S se correspondent par la r`gle du tire-bouchon. Le vecteur unitaire normal e a ` S, dans le sens de lorientation de S, est not n. Le thor`me de Stokes 12 e e e appliqu ` une surface S de bord (cf. gure 1.6) donne ea E dl = ( E) n dS = 0 (1.45)

Fig. 1.6 Stokes

Thor`me de e e

S

ce qui montre la proprit 3. ee 3 = 2. Soient C1 et C2 deux courbes orientes allant du point A au e point B. Soit la courbe ferme obtenue en allant de A ` B le long de C1 , e a puis de B ` A en parcourant C2 en sens inverse. On a a 0=

E dl =

C1

E dl

C2

E dl

(1.46)

ce qui montre 2. 2 = 1. Soit r = OM et (M ) = (r) =C

E dl

(1.47)

o` C est un chemin orient allant du point M au point O (cf. gure 1.7). u e Dapr`s 2, cette intgrale ne dpend pas de la forme de la courbe et dnit e e e e bien une fonction de M (ou r). On en dduit que eC r M r O M

(M ) (M ) = (r ) (r) =

E dl

(1.48)

o` est une courbe oriente qui va de M ` M (OM = r ). Pour deux u e a points inniment voisins M et M , (r r = dr = M M ) et pour le chemin rectiligne = M M cela donne (r + dr) (r) = E dl = E(r) M M = E(r) dr. (1.49)

Fig. 1.7

Preuve de (1.49)

M M

Il en rsulte que = E et que E drive dun potentiel. e e 1 = 4. En eet, le rotationnel dun gradient est nul : E = () = 0.12. George Gabriel Stokes (1819-1903)

(1.50)


17

Remarque 1. Le potentiel (r, t) nest pas unique. On a aussi E = pour (r, t) = (r, t) + f (t) o` f (t) est une fonction arbitraire du temps. u Remarque 2. Dapr`s lquation (1.34), le champ lectrostatique poss`de e e e e la proprit 1. Cest donc un champ de vecteur conservatif dont le rotationnel ee est nul. Remarque 3. On verra plus loin quen rgime variable le champ lectrique e e nest plus un champ de vecteur conservatif. Exercice 1.2. On consid`re un exemple de champ de vecteurs qui nest e pas dni dans tout lespace et pour lequel il ny a pas quivalence entre les e e proprits 14 du thor`me 1.1. ee e e Au en coordonnes cylindriques (, , e Soit le champ de vecteur E = z). Ce champ nest pas dni sur laxe Oz (o` = 0). e u 1. Montrer que son rotationnel est nul (proprit 4). ee 2. Calculer la circulation de E sur le cercle C daxe Oz, de centre O et de rayon a orient dans le sens de u . En dduire que le champ ne vrie pas e e e la proprit 3. eex C

z z uza

u E u y

O

M

m

Fig. 1.8

Champ de vecteur E et cercle C.

1.4.5

Lois locales et intgrales de llectrostatique e e

La table 1.1 rcapitule les lois locales et intgrales de llectrostatique. e e e Les relations de passage sobtiennent ` partir des lois locales par les substia tutions n12 , E E2 E1 , . (1.51) Les notations et les justications se trouvent section 2.3.Tab. 1.1 Electrostatique :

formes locales Maxwell-Gauss E = 0 E irrotationnel E =0

formes intgrales e thor`me de Gauss e e QV E n dS = 0 S QV charge dans V ; S = V circulation conservative

relations de passage = 0

lois locales, intgrales et relae tions de passage

n12 E2 E1

E dl = 0

n12 E2 E1 = 0

1.4.6

Existence et unicit e

Llectrostatique dcoule de la loi de Coulomb et du principe de sue e perposition. Une autre approche consiste a partir des quations locales. Le ` e thor`me suivant montre en eet quelles permettent de dterminer le champ e e e

18

1. REVISIONS

lectrostatique. La thorie de Maxwell utilise une approche analogue. Le e e champ lectromagntique en rgime dpendant du temps est dtermin par e e e e e e des quations locales, les quations de Maxwell. e e Thor`me 1.2. Soit une distribution de charge volumique (r) a support e e ` compact. Il existe un et un seul champ lectrostatique E(r) qui vrie les e e quations e E = 0 E = 0 et les conditions aux limites E(r) 0 quand |r| . (1.54) (1.52) (1.53)

Dmonstration. e Existence. Le champ (1.31) est une solution des quations (1.52) et (1.53) e qui vrie les conditions aux limites (1.54). e Unicit. Soit E une autre solution. La dirence E1 = E E vrie e e e E1 = 0 (1.55) (1.56) E1 = 0.

Lquation (1.55) implique dapr`s le thor`me 1.1 lexistence dun potentiel e e e e 1 tel que E1 = 1 . En portant dans (1.56) on en dduit que e 1 = 1 = 0, (1.57) cest-`-dire que 1 est une fonction harmonique. Les conditions aux lia mites (1.54) imposent que 1 Cte quand |r| . (1.58)

Un thor`me (admis) arme quune fonction harmonique qui vrie (1.58) e e e est constante. Il en rsulte E1 = 0 et lunicit de la solution. e e Remarque. Si on nimpose pas de conditions aux limites, la solution nest pas unique. Il existe en eet des fonctions harmoniques non triviales (1 = xy, 1 = x2 y 2 , . . . ).

1.4.7

Diple lectrique o e

Moment dipolaire lectrique e Considrons un objet de dimensions d2 form de N charges ponctuelles e e qi situes respectivement en Mi (i = 1, 2, . . . , N ). Son moment dipolaire e lectrique d (unit : C m), calcul en O, est dni par e e e eN

d=i=1

qi OMi = Q+ OG+ + Q OG

(1.59)


19q q G q q d q q d2 Diple lectrique o e (charges multiples de q). G+

o` Q+ (respectivement Q ) est la somme des charges positives (respectiu vement ngatives) et G le barycentre des charges positives ou ngatives : e e Q+ OG+ =N i=1 qi >0

qi OMi ,

Q OG =

N i=1 qi e t, e 0). Elle tend ` faire circuler dans un courant dintensit positive. Un tel a e courant envoie un ux ` travers le circuit (ou la surface S) qui est positif a et soppose ` la dcroissance de B . a e

23. Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865)

33

2

Les quations de Maxwell e dans le vide2.1 Les quations de Maxwell e

La thorie de Maxwell de llectromagntisme est base sur un ensemble e e e e de quatre quations. Ces quations sont poses a priori et sont vries par e e e e e leurs consquences. Lquation de Maxwell-Gauss e e (2.1) E = 0 est famili`re puisque identique ` lquation vue en lectrostatique. On pose a e e tule quelle sapplique pour un champ lectrique E(r, t) et une charge volue mique (r, t) variables au cours du temps t. On postule de mme que lquation de Maxwell-ux, e e B = 0, (2.2)

qui est identique ` lquation vue en magntostatique, sapplique pour un a e e champ magntique B(r, t) dpendant du temps t. e e On postule ensuite deux quations qui comportent ` la fois les champs e a lectrique et magntique, lquation de Maxwell-Faraday e e e E = et lquation de Maxwell-Amp`re e e B = 0 + 0 E t . (2.4) B t (2.3)

Lquation (2.3) implique que si champ B varie au cours du temps, le champ e E ne peut pas tre nul. Lquation (2.4) implique de mme que si E varie e e e au cours du temps, en gnral, le champ B ne peut pas tre nul. e e e

34

2. LES EQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE

2.1.1

Constantes physiques

En crivant lhomognit de lquation de Maxwell-Faraday on obtient e e e e e que le rapport des dimensions de E et B est une vitesse [V ] : [E] = [B][V ]. (2.5)

Cette relation sobtient aussi par lhomognit de la formule (1.18). e e e 1 Lhomognit de lquation de Maxwell-Amp`re donne que e e e e e est 0 0 homog`ne ` une vitesse. Il dcoulera de la thorie de Maxwell que cette e a e e grandeur est la vitesse de la lumi`re dans le vide e c= 1 = 299 792 458 m s1 . 0 0 (2.6)

La valeur numrique de c dans (2.6) est exacte 1 . Nous avons vu que la valeur e de la permabilit magntique du vide vaut exactement 2 e e e 0 = 4 107 N A2 . (2.7)

La valeur de la permittivit lectrique du vide dcoule de ces deux valeurs ee e 0 = 1 = 8,854 187 817 . . . 1012 F m1 . 0 c2 (2.8)

2.1.2

Cas statique

En rgime variable avec le temps, les champs lectrique et magntique e e e sont interdpendants, mais, lorsque les champs E et B sont constants, les e quations de Maxwell se dcouplent. On obtient deux quations pour E, e e e E = et E = 0, (2.9) 0 et deux quations pour B, e B =0 et B = 0 . (2.10)

Llectrostatique et la magntostatique qui drivent de ces quations sont e e e e donc incluse dans la thorie de Maxwell. e Les quations de Maxwell di`rent du cas statique par la prsence du e e e B dans lquation de Maxwell-Faraday (2.3) et du courant de e terme t E dplacement 0 e dans lquation de Maxwell-Amp`re (2.4). Le sens phye e t sique de ce dernier terme est tudi dans la section 2.2. e e1. Le m`tre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumi`re pendant e e une dure de 1/299 792 458 seconde (dnition de la 17e Confrence Gnrale des Poids et e e e e e Mesures de 1983). 2. Cf. la note 15 en bas de la page 21.

2.1. LES EQUATIONS DE MAXWELL

35

2.1.3

Propagation du champ lectromagntique e e

Lorsque la charge et le courant volumique varient en un point P et ` a linstant t, cela entra une variation du champ instantane du champ au ne e point P et ` linstant t. En un autre point M , cela ne produira un eet sur a le champ lectromagntique quapr`s une dure P M/c qui correspond ` une e e e e a propagation du champ ` la vitesse de la lumi`re c. a e

2.1.4

Approximation des rgimes quasistationnaires (ARQ) e

Considrons un circuit lectrique et dsignons par L lordre de grane e e deur de sa longueur (cf. gure 2.1) et par T un temps qui caractrise e la variation des courants et des charges. En rgime alternatif, on prene dra pour T la priode. Dans un tel circuit, le temps de propagation du e champ lectromagntique est de lordre de = L/c. On pourra ngliger les e e e phnom`nes de propagation si le temps est tr`s petit par rapport ` T : e e e a L T. c (2.11)

L On dit alors quon applique lapproximation des rgimes quasistatione naires (ARQ). La condition de validit de lARQ dans le cas des courants e Fig. 2.1 Approximation alternatifs peut scrire en introduisant la longueur donde = cT : e des rgimes quasistationnaires. e

L .

(2.12)

Par exemple, pour des courants alternatifs de frquence = 50 Hz, la e longueur donde est = 6000 km et lapproximation est valable pour des rseaux de quelques kilom`tres de long. e e Dans lARQ on admet les approximations suivantes. Lintensit du courant est la mme tout le long dune branche du e e circuit. Le champ magntique B peut tre calcul par la loi de Biot et Sae e e E dans vart. Cela revient ` ngliger le courant de dplacement 0 a e e t lquation de Maxwell-Amp`re. Toutefois, ` lintrieur des condene e a e sateurs, ce terme nest pas ngligeable, mais remplace le courant de e conduction (cf. section 2.2.2). On tient compte des phnom`nes dinduction (cf. section 1.6), par exemple e e pour expliquer le fonctionnement du transformateur dans le circuit de la gure 2.1. Dans lARQ, lquation de Maxwell-Faraday est donc utilise e e sans approximations.

2.1.5

Combien y a-t-il dquations de Maxwell? e

Il y a deux quations scalaires et deux quations vectorielles, soit en e e tout huit quations scalaires, mais ces quations ne sont pas indpendantes. e e e

36


Ecrivons les sous la forme B 0 0 0 E t E 0 B E+ t B = 0 = 0 = 0 = 0 (2.13) (2.14) (2.15) (2.16)

Deux combinaisons de ces quations sont identiquement nulles. Lune est e [quation (2.15)] e [quation (2.16)] = 0 e t (2.17)

puisque on a, en utilisant div rot = 0, : E + Lautre est [quation (2.13)] + 0 0 e puisque B 0 0 0 E + 0 0 E =0 t t 0 (2.20) [quation (2.14)] = 0 e t (2.19) B B = 0. t t (2.18)

rsulte de lquation de continuit + e e e = 0. On peut aussi dire que t lquation de continuit rsulte des quations de Maxwell. e e e e

2.1.6

Equations de Maxwell dans le vide et dans les milieux

Les quations de Maxwell (2.12.4) dcrivent le champ lectromagne e e e tique dun syst`me comportant des charges et des courants plongs dans e e le vide. On les appelle quations de Maxwell dans le vide. Elles dcrivent e e aussi le champ lectromagntique ` lchelle microscopique dans les milieux e e a e matriels. Toutefois, on prf`re dcrire les phnom`nes lectromagntiques e ee e e e e e dans les milieux ` laide de quatre champs macroscopiques E, B, D et H a qui vrient les quations de Maxwell dans les milieux (cf. chapitre 6). e e

` 2.2. EQUATION DE MAXWELL-AMPERE

37

2.22.2.1

Equation de Maxwell-Amp`re eThor`me dAmp`re gnralis e e e e e e

Soit un circuit et S une surface oriente de bord = S (cf. e gure 2.2). Lorientation du circuit correspond ` celle de la surface S a (r`gle du tire-bouchon). En utilisant le thor`me de Stokes et lquation e e e e de Maxwell-Amp`re (2.4) on a e B dr = ( B) n dS = 0 n dS + 0 E n dS . t (2.21)

n S

S

S

S

Il appara le courant de dplacement (unit : A) ` travers S t e e a ISd = 0S

E de n dS = 0 t dt E n dS

Fig. 2.2

Circulation de B

(2.22)

le long de

o` u e =S

(2.23)

est le ux du champ lectrique ` travers la surface S. Notant e a IS =S

n dS

(2.24)

le courant qui traverse la surface S ` linstant t, lquation (2.21) scrit a e e B dr = 0 (IS + ISd ). (2.25)

Cest le thor`me dAmp`re gnralis dont le thor`me dAmp`re est e e e e e e e e e un cas particulier (ISd = 0 en rgime indpendant du temps). e e Remarque. Pour un circuit donn, les valeurs de IS et ISd dpendent e e en gnral de la forme de la surface S, mais la somme IS + ISd en est e e indpendante. e

A S S

B I

2.2.2

Exemple du condensateur en rgime quasistationnaire e

Considrons le circuit de la gure 2.3 comportant une source de tene U sion variable U (t) et un condensateur plan darmatures A et B. En rgime e quasistationnaire, on peut faire les approximations suivantes : Fig. 2.3 Courant a travers ` lintensit I(t) du courant est la mme en tous points des ls du circuit ; un condensateur. e e le champ lectrique est ngligeable, sauf entre les armatures A et B. e e Soit un cercle entourant un l du circuit. Appliquons lui le thor`me e e dAmp`re gnralis (2.25) en utilisant dune part le disque S qui a pour e e e e

38


bord le cercle et dautre part une surface S , de bord , mais qui ne coupe pas les ls du circuit en passant entre les armatures A et B du condensateur. B dr = 0 ( IS + ISd ) = 0 ( IS +IS d ).=I(t) =0 =0

(2.26)

Lintensit du courant qui traverse le disque S est IS = I(t). Sur le disque e S, le champ lectrique est ngligeable et le courant de dplacement ISd = 0. e e e e Aucun courant ne traverse la surface S (IS = 0). Lquation (2.26) implique que IS d = I(t). Expliquons le nom de courant de dplacement (volumique) qui a t e ee E donn par Maxwell ` lexpression 0 e a dans lquation (2.4). Son ux ` e a t donne le courant I(t) qui circule dans le circuit (cela explique le travers S nom courant). Il est d aux variations du champ lectrique E, qui elle-mmes u e e sont dues aux variations de la charge Q(t) du condensateur produites par le dplacement des charges lectriques dune armature du condensateur ` e e a lautre le long des ls du circuit et ` travers le gnrateur de tension. a e e Exercice 2.1. 1. On note la surface de larmature A ou B du condensateur et C la capacit du condensateur. Dterminer la charge lectrique du e e e condensateur Q(t) (porte par larmature A), lintensit I(t) du courant et e e le champ lectrique entre les armatures A et B en fonction de C, , U (t) et e dU (t) . On ngligera la rsistance des ls et les eets de bord e e de sa drive e e dt dans le condensateur. 2. Calculer le ux e du champ lectrique ` travers S et en dduire le e a e courant de dplacement IS d . Vrier quon retrouve IS d = I(t). e e

2.3

Relations de passage

On consid`re un syst`me comportant une surface S avec des charges e e et courants surfaciques. Le champ lectromagntique prsente une discone e e tinuit en traversant la surface. Le champ ainsi que ses drives dans des e e e directions parall`les ` la surface restent borns. e a e Soit O un point quelconque de la surface S et n12 un vecteur unitaire normal ` la surface en O et allant du ct 1 vers le ct 2 de la surface. Soit Oxyz a oe oe un rfrentiel cartsien orthogonal avec uz = n12 . On se place au voisinage ee e de O de sorte que la surface S est assimile au plan Oxy (cf. gure 2.4). e Notant le champ lectromagntique dans ce rfrentiel par E(x, y, z, t) et e e ee B(x, y, z, t), on pose pour les valeurs du champ de part et dautre de la surface au voisinage de O E1 = lim E(0, 0, , t),0

E2 = lim E(0, 0, , t),0+

(2.27)

2.3. RELATIONS DE PASSAGE B1 = lim B(0, 0, , t)0

39 B2 = lim B(0, 0, , t).0+

et

(2.28)

x S n12 O ct 1 o e y

z

` A chaque quation de Maxwell correspond une relation de passage vrie e e e par les sauts du champ E2 E1 , B2 B1 , la charge surfacique ou le courant surfacique = jx ux + jy uy en O.

ct 2 o e

2.3.1

Equation de Maxwell-GaussFig. 2.4 Rfrentiel Oxyz. ee

La relation de passage associe ` lquation de Maxwell-Gauss e a e E = 0 peut sobtenir de deux faons. c ` A partir de la forme locale

(2.29)

Nous considrons la rpartition de charge surfacique (x, y, t) comme e e tant la manifestation macroscopique (` lchelle du mm) dune rpartition e a e e de charge volumique (x, y, z, t) (` une chelle microscopique) non nulle pour a e 0 z a, avec a 1 mm. La relation entre et esta

(0, 0, z, t)

1 A

z O a (0, 0, z, t) 1 mm a0 O z

(x, y, t) =0

(x, y, z, t) dz.

(2.30)

Mathmatiquement, le passage de la rpartition volumique ` la rpartition e e a e surfacique correspond ` a a0 et (x, y, z, t) 0 si z = 0 si z = 0 (2.31)

Fig. 2.5

Distribution surfacique comme limite a 0 dune distribution volumique.

lintgrale (2.30) restant nie (cf. gure 2.5). Ecrivons lquation de Maxwelle e Gauss (2.29) sous la forme Ez Ex Ey + + = x y z 0 et intgrons la sur z de 0 ` a. On obtient e aa 0

(2.32)

Ex Ey + x yaM

dz +Ez (x, y, a, t) Ez (x, y, 0, t) =

(x, y, t) . 0

(2.33)

Le terme vaut aM o` M reste born dans la limite a 0. On obtient u e la relation de passage en prenant la limite a 0 de (2.33) (avec E2 = lima0 E(0, 0, a, t), E1 = E(0, 0, 0, t) et = (0, 0, t)) : E2z E1z = 0 soit n12 E2 E1 = . 0 (2.34)

1er

Elle signie que le saut de la composante normale ` la surface E2z E1z est a gal ` la densit surfacique divise par 0 . e a e e

40


` A partir de la forme intgrale (thor`me de Gauss) e e eS M22 ct 2 o e

z

S M1 ct 1 o e

O

On utilise pour surface de Gauss une bo cylindrique, de bord B, de te centre O, daxe Oz, dpaisseur 2 et de section S (cf. gure 2.6). On e sintresse au cas limite 0. Les dimensions de la bo sont assez petites e te pour considrer que la charge lectrique dans le volume de Gauss est e e Q = S + O(), (2.35)

Fig. 2.6

Surface de Gauss.

le premier terme tant d aux charges surfaciques situes sur llment e u e ee de surface innitsimal S et le second terme, qui tend vers zro quand e e 0, reprsentant les charges volumiques dans la bo Le ux du champ e te. lectrique sortant de B est e =B

E n dS = [Ez (0, 0, , t) Ez (0, 0, , t)] S + O()

(2.36)

o` le champ lectrique, considr comme uniforme sur chacun des disques du u e ee bord B de la bo est valu en M1 = (0, 0, ) ou M2 = (0, 0, ) de part te, e e et dautre de la surface S et o` le terme O() reprsente le ux sortant par u e la surface latrale de la bo qui tend vers zro quand 0. Le thor`me e te e e e de Gauss, = Q/0 , scrit apr`s division par S e e Ez (0, 0, , t) Ez (0, 0, , t) = + O() 0 (2.37)

qui donne la relation de passage (2.34) dans la limite 0.

2.3.2

Equation de Maxwell-ux

On obtient la relation de passage associe ` lquation de Maxwell-ux e a e B =0 (2.38)

a ` partir du cas prcdent par la substitution formelle E B, 0 qui e e transforme lquation (2.29) en (2.38) : e n12 B2 B1 = 0. (2.39)

Cette relation signie que B , la composante du champ magntique normale e a ` la surface, est continue.

2.3.3

Equation de Maxwell-Amp`re e

La relation de passage associe ` lquation de Maxwell-Amp`re e a e e B = 0 + 0 0 peut sobtenir de deux faons. c E t (2.40)

2.3. RELATIONS DE PASSAGE ` A partir de la forme locale

41jx (0, 0, z, t)

1 A

Nous considrons le courant surfacique (x, y, t) comme tant la manie e festation macroscopique (` lchelle du mm) dune rpartition de courant voa e e lumique (x, y, z, t) (` une chelle microscopique) non nulle pour 0 z a, a e avec a 1 mm. La relation entre et est :a

z O a jx (0, 0, z, t) 1 mm a0 O z

(x, y, t) =0

(x, y, z, t) dz.

(2.41)

Mathmatiquement, le passage de la rpartition volumique ` la rpartition Fig. 2.7 Courant surfacie e a e surfacique correspond ` a 0 comme dans (2.31) (cf. gure 2.7). La com- que comme limite a 0 dun a courant volumique. posante suivant x de lquation de Maxwell-Amp`re (2.40) donne e e By Ex Bz = 0 jx + 0 0 . y z t On obtient, en intgrant cette expression sur z de 0 ` a, e aa 0

(2.42)

Bz dz By (x, y, a, t)+By (x, y, 0, t) = 0 jx +0 0 yK1

a 0

Ex dz . (2.43) tK2

Les intgrales K1 et K2 tendent vers 0 dans la limite a 0. On obtient une e relation de passage en prenant la limite a 0 de (2.43) : B2y + B1y = 0 jx . (2.44)

De mme, en partant de la composante suivant y de lquation de Maxwelle e Amp`re (2.40) on obtient e B2x B1x = 0 jy . (2.45)

ou sous forme vectorielle

La composante suivant z de lquation de Maxwell-Amp`re (2.40) ne donne e e pas de relation de passage (rappelons que jz = 0 puisque est parall`le e a ` la surface S). Les deux quations (2.44) et (2.45) scrivent sous forme e e matricielle 0 B2x B1x jx 0 B2y B1y = 0 jy (2.46) 1 B2z B1z 0

n12 B2 B1 = 0 .

(2.47)

42


z P O 1 Q y R N 2 2 y

` A partir de la forme intgrale (thor`me dAmp`re gnralis) e e e e e e e Soit un rectangle N P QR de centre O trac dans le plan Oyz et de cts e oe parall`les aux axes (cf. gure 2.8). La longueur des cts P Q et RN est e oe 2 et celle des cts N P et QR, y. On applique le thor`me dAmp`re oe e e e gnralis ` la surface de ce rectangle, oriente suivant ux , et on prend la e e e a e limite 0. Les dimensions du rectangle sont assez petites pour considrer e que lintensit du courant lectrique ` travers le rectangle est e e a I = jx y + O(). (2.48)

Fig. 2.8 Rectangle N P QR.

Le terme O() reprsente le courant d au courant volumique , qui peut e u exister en plus du courant surfacique. Ce terme ainsi que le courant de dplacement e y/2 Ex (0, y, z, t) (2.49) dy dz Id = 0 t y/2 tendent vers zro quand 0. La circulation du champ magntique le long e e du contour rectangulaire N P QR est B dr = [By (0, 0, , t) By (0, 0, , t)] y + O() (2.50)N P QRN

o` le champ magntique est considr comme uniforme sur chacun des cts u e ee oe N P et QR de part et dautre de la surface S et o` le terme O() reprsente u e la circulation le long des cts P Q et RN qui tend vers zro quand 0. oe e Le thor`me dAmp`re gnralis (2.25) implique e e e e e e [By (0, 0, , t) By (0, 0, , t)] y = 0 jx y + O() qui, dans la limite 0, donne la relation de passage B1y B2y = 0 jx (2.52) identique ` (2.44). La relation de passage (2.45) sobtient de mme en a e considrant un rectangle dans le plan Oxz. e (2.51)

2.3.4

Equation de Maxwell-Faraday

On obtient la relation de passage associe ` lquation de Maxwelle a e Faraday B (2.53) E = t a ` partir du cas prcdent par la substitution formelle B E, 0, e e 0 0 E B qui transforme lquation (2.40) en (2.53) : e n12 E2 E1 = 0. (2.54)

Cette relation signie que E , la composante du champ lectrique parall`le e e a ` la surface, est continue.

2.4. LES POTENTIELS SCALAIRE ET VECTORIEL

43

2.3.5

Autre forme des relations de passage

Les quatre relations de passage obtenues sont rcapitules dans la dere e ni`re colonne de la table 2.1. Ces relations se retrouvent facilement ` partir e a de la premi`re colonne par les substitutions e n12 , 0, t E E2 E1 , B B2 B1 , , .

(2.55) Cette r`gle sexplique quand on examine la dmonstration des relations de e e passage ` partir de la forme locale. Les termes contenant des drives par a e e rapport x, y et t disparaissent et les termes contenant la drive par rapport e e z font appara la discontinuit du champ, comme dans les quations (2.33) tre e e et (2.43). Les relations de passage ont la mme forme quen lectrostatique (cf. e e table 1.1) et magntostatique (cf. table 1.2). e Les deux relations de passage pour le champ lectrique peuvent tre e e regroupes en e E2 E1 = n12 (2.56) 0S

B2 B1

n12

et celles pour le champ magntique en (cf. gure 2.9) e B2 B1 = 0 n12 . (2.57)ct 1 o e 0 ct 2 o e

Fig. 2.9

Relations de pas-

2.4

Les potentiels scalaire et vectoriel

sage.

En rgime dpendant du temps, la loi de Coulomb et la loi de Biot e e et Savart ne sont plus valables. Il faudra utiliser dautres mthodes pour e dterminer le champ lectromagntique. Une de ces mthodes est la mthode e e e e e des potentiels.

2.4.1

Existence des potentiels

Tout comme en magntostatique, lquation de Maxwell-ux (2.2) ime e plique lexistence dun potentiel vecteur A(r, t) (cf. thor`me 1.3) e e B = A. (2.58)

On obtient, en portant cette expression du champ B dans lquation de e Maxwell-Faraday (2.3), E = A B = t t (2.59)


Tab. 2.1 Equations de Maxwell : formes locales, intgrales et relations de passage. On suppose que le volume V e

et la surface S sont immobiles (cf. section 1.6.5).

formes locales Maxwell-Gauss E = 0

formes intgrales e thor`me de Gauss e eV

relations de passage 0

E n dS =V

QV 0

n12 E2 E1 =

QV = Maxwell-ux B =0 Maxwell-Faraday E = B t

d

ux de B conservatifS

B n dS = 0

n12 B2 B1 = 0

loi de Faraday (induction) e= dB E dl = dt SS

n12 E2 E1 = 0

B = Maxwell-Amp`re e B = 0 + 0 0 E t

B n dS

thor`me dAmp`re gnralis e e e e e e B dl = 0 (I + Id ) I=S

S

n12 B2 B1 = 0

n dS E n dS t

Id = 0 44S

2.4. LES POTENTIELS SCALAIRE ET VECTORIEL soit E+ A t = 0.

45

(2.60)

Il existe donc (cf. thor`me 1.1) un potentiel scalaire V (r, t) tel que e e E+ A = V. t (2.61)

Nous avons obtenu le rsultat suivant. e Thor`me 2.1 (potentiels). Les champs E et B sexpriment a laide de e e ` potentiels A(r, t) et V (r, t) par E= A V t et B = A. (2.62)

2.4.2

Indtermination des potentiels e

On va montrer que les potentiels ne sont pas uniques et quil y a une innit de choix possibles. Soient A1 et V1 deux autres potentiels tels que e E= A1 V1 t et B = A1 . (2.63)

Par dirence des expressions B = A et B = A1 on obtient e A A1 = 0. (2.64)

Il existe donc (cf. thor`me 1.1) une fonction f1 (r, t) tel que A A1 = f1 e e soit A1 = A + f1 . (2.65) Portons cette expression dans lquation (2.63) e E= A f1 V1 . t t (2.66)

Il vient par dirence avec le champ E donn dans (2.62) e e V V1 g

f1 t

= 0.

(2.67)

Comme g = 0 implique que g ne dpend pas de x, y, z, on obtient e V1 = V f f1 g(t) = V t t (2.68)

46


en posant f = f1 + G(t) o` G(t) est une primitive de g(t) (G (t) = g(t)). u Remarquons quon peut crire f1 = f dans (2.65). e Nous avons ainsi montr que, si A et V dune part, A1 et V1 dautre part e sont des potentiels, alors il existe une fonction f (r, t) (fonction de jauge) telle que f (2.69) A1 = A + f et V1 = V t Rciproquement, si A et V sont des potentiels et f (r, t) est une fonction e arbitraire, alors les expressions (2.69) sont aussi des potentiels. En eet on vrie facilement que les quations (2.63) sont satisfaites. Le thor`me e e e e suivant rcapitule ces rsultats. e e Thor`me 2.2 (transformation de jauge). Les potentiels A et V sont dtere e e mins a une transformation de jauge pr`s. Une transformation de jauge est e ` e la transformation A A + f et V V f t (2.70)

o` la fonction de jauge f (r, t) est une fonction arbitraire. Une transformau tion de jauge ne modie pas les champs E et B.

2.4.3

Imposition dune condition de jauge

On peut proter de lindtermination des potentiels pour leur imposer e certaines conditions (conditions de jauge) qui simplient les quations e dans certains probl`mes. Nous admettrons les thor`mes suivants e e e Thor`me 2.3 (jauge de Coulomb). On peut imposer la condition e e A = 0. Thor`me 2.4 (jauge de Lorenz 3 ). On peut imposer la condition e e A + 0 0 V = 0. t (2.72) (2.71)

2.4.4

Equations des potentiels

Portons les expressions (2.62) dans les quations de Maxwell (2.12.4). e Les quations de Maxwell-ux et de de Maxwell-Faraday sont automatiquee ment vries (ces quations nous ont permis de montrer lexistence des e e e potentiels).3. Ludwig Valentin Lorenz (1829-1891)

2.4. LES POTENTIELS SCALAIRE ET VECTORIEL Lquation de Maxwell-Gauss (2.1) donne e A V t = 0

47

(2.73)

soit, en introduisant le laplacien scalaire V = V , V + A + = 0. t 0 (2.74)

Lquation de Maxwell-Amp`re (2.4) donne e e A = 0 + 0 0 t A V t (2.75)

soit, en introduisant le laplacien vectoriel A = A A , A A + 0 0 V t 0 0 2A + 0 = 0. t2 (2.76)

En jauge de Coulomb (2.71), les quations des potentiels (2.74) et (2.76) e deviennent V + A 0 0 0 = 0 (2.77) (2.78)

V 2A 0 0 + 0 = 0. 2 t t

On reconna dans (2.77) lquation de Poisson 4 qui est aussi lquation t e e vrie par le potentiel en lectrostatique. e e e En jauge de Lorenz (2.72), les quations des potentiels (2.74) et (2.76) e deviennent V 0 0 A 0 0 Il appara le dAlembertien 5 t = 1 2 c2 t2 o` u c= 1 0 0 (2.81) 2V + 2 t 0 = 0 (2.79) (2.80)

2A + 0 = 0. t2

4. Simon Denis Poisson (1781-1840) e 5. Jean le Rond dAlembert (1717-1783)

48


est la vitesse de la lumi`re dans le vide (2.6). Les quations (2.79) et (2.80) e e scrivent e V = (2.82) et A = 0 . 0 Dans une rgion sans charge ni courant on obtient des quations dondes de e e A = 0. Les ondes lectromagntiques correspone e dAlembert V = 0, dantes se propagent ` la vitesse c (cf. chapitre 4). a

49

3

Energie lectromagntique e e Vecteur de Poynting3.1 Puissance fournie aux charges par le champ lectromagntique e e

La force exerce ` linstant t par le champ lectromagntique sur une e a e e particule ponctuelle, situe en r, de charge qa et de vitesse va est donne par e e la formule de Lorentz (1.18) Fa = qa E(r, t) + va B(r, t) . Le champ lectromagntique fournit ` la charge la puissance e e a Pa = Fa va = qa va E(r, t). (3.2) (3.1)

La puissance fournie par le champ aux N particules ponctuelles de charges qa et vitesses va (a = 1, 2, . . . , N ) qui se trouvent dans un lment de ee volume d situ en r est eN

dPc =a=1

qa va E(r, t) = (r, t) E(r, t) d

(3.3)

o` on a utilis la dnition (1.3) du courant volumique u e eN

(r, t)d =a=1

qa va .

(3.4)

La puissance par unit de volume fournie par le champ lectromagntique e e e aux charges est donc dPc =E d (unit : W m3 ) e (3.5)

50

3. ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE

dPc Remarque. On peut avoir < 0 et les charges fournissent de la puissance d au champ. Cest ce qui se passe dans une antenne mettrice. e

3.1.1Fig. 3.1 A Fil conducteur. r

Exemple dun l conducteurB

z E

L

Soit un l conducteur de forme cylindrique daxe Oz de rayon r et de longueur L parcouru par un courant dintensit constante I (cf. gure 3.1). e Soit U = UA UB la dirence de potentiel entre ses extrmits A et B. Le e e e champ lectrique dans le conducteur e U ez L est constant et uniforme. Le courant volumique dans le conducteur E= = I ez r 2 (3.6)

(3.7)

est constant et uniforme. La puissance par unit de volume (3.5) est e UI dPc =E = . (3.8) d Lr 2 La puissance totale fournie par le champ lectromagntique aux charges dans e e le l est donc P = U I. En rgime de courant permanent les porteurs de e charge ont la mme vitesse moyenne. La puissance fournie par le champ aux e charges est cde par les charges au solide conducteur au cours de collisions e e inlastiques ce qui produit un chauement du conducteur (eet Joule 1 ). e e

3.23.2.1

Loi de conservation de lnergie eProprits de lnergie dun syst`me en interaction e e e e

Considrons un syst`me de N particules ponctuelles charges en interace e e tion. La particule numro a (a = 1, 2, . . . , N ), de masse ma et de charge qa , e1. James Prescott Joule (1818-1889)

3.2. LOI DE CONSERVATION DE LENERGIE

51

se trouve, ` linstant t, en ra (t) et sa vitesse est va (t). Nous voulons expria mer la loi de conservation de lnergie pour ce syst`me. Nous allons en fait e e tablir, ` partir des lois fondamentales de la mcanique et des quations de e a e e Maxwell, une loi de conservation pour une grandeur que nous identierons avec lnergie du syst`me. Pour eectuer cette identication, examinons les e e proprits souhaitables de lnergie du syst`me. ee e e Lnergie du syst`me doit tre la somme des nergies de chaque partie e e e cule et de lnergie du champ lectromagntique. Lnergie de la partie e e e 1 2 e cule a consiste seulement en son nergie cintique ma va , en ngligeant e e 2 lnergie interne de chaque particule qui est suppose rester constante. e e Lnergie du syst`me Esyst`me est donc de la forme e e eN

Esyst`me = Epart + Echamp e

o` u

Epart =a=1

1 2 ma va . 2

(3.9)

Remarquer que nous nintroduisons pas explicitement dnergie poe tentielle dinteraction entre les particules dans cette expression. Cela est conforme ` la faon dont nous traitons linteraction entre les para c ticules : nous la traitons par lintermdiaire du champ (les particules e crent le champ qui agit sur les particules). Dans ce point de vue, e lnergie dinteraction (ou potentielle) est prise en compte dans lnere e gie du champ lectromagntique Echamp . e e Nous voulons une formulation locale de la loi de conservation de le nergie. Si au mme instant une nergie de 1 J appara sur la Terre et e e t une nergie de 1 J dispara sur la Lune, il y a conservation de lnergie e t e totale. Toutefois cela est impossible : lnergie passe dun point ` un e a autre en un temps ni (existence dune densit dnergie et dun coue e rant dnergie). e

3.2.2

Forme localen S

Nous nous proposons de rechercher la forme locale de la loi de conservation de lnergie. Introduisons la densit dnergie lectromagntique e e e e e u(r, t) et la densit de courant dnergie lectromagntique P (r, t). e e e e Par dnition de u, e Echamp V (t) =V

dS V

u(r, t) d

(3.10)P

est lnergie lectromagntique contenue dans le volume V limit par la e e e e surface S (cf. gure 3.2). Le vecteur unitaire n normal ` S est orient vers a e Fig. 3.2 lextrieur du volume V . Par dnition de P (r, t), e e S =S

V et S.

P n dS

(3.11)

52


est la puissance lectromagntique qui sort du volume V en traversant la e e surface S. Soit 1 2 Epart V (t) = ma va (3.12) 2aV

lnergie cintique des particules dans le volume V ` linstant t. La somme e e a porte sur les particules a qui se trouvent dans le volume V . Nous suppoaV

serons que les particules ne traversent pas la surface S. Entre les instants t et t+dt, la variation de lnergie cintique dEpart V = Epart V (t+dt)Epart V (t) e e est gale au travail des forces lectromagntiques agissant sur les charges e e e dans le volume V . Dapr`s (3.5) et le thor`me de lnergie cintique, on a e e e e e dEpart V = dt E d. (3.13)

V

La conservation de lnergie sexprime par e d (Echamp V + Epart V ) = S dt (3.14)

(il ny a pas de courant dnergie mcanique ` travers S, puisque nous suppoe e a sons que les particules ne traversent pas la surface S). Transformons (3.11) avec le thor`me dOstrogradski e e S =S

P n dS =

V

P d.

(3.15)

Utilisons (3.10) et (3.133.15) pour crire : e d (Echamp V + Epart V ) = dt u d + t E d = P d. (3.16)

V

V

V

Cette relation sera vrie pour tout volume V si e e u + E + P = 0. t (3.17)

3.2.3

Le thor`me de Poynting e e

Le thor`me de Poynting 2 (1884) est une relation de la forme (3.17) qui e e rsulte des quations de Maxwell. Pour ltablir, nous partons des quations e e e e de Maxwell 0 0 E + 0 B = 0 t B + E = 0. t2. John Henry Poynting (1852-1914)

(3.18) (3.19)

3.2. LOI DE CONSERVATION DE LENERGIE

53

Prenons le produit scalaire de la premi`re avec E et de la seconde avec B : e 0 0 2 E + 0 E E B t 2 t 1 2 B 2 +B E = 0 = 0. (3.20) (3.21)

La somme de ces deux quations donne, en utilisant lidentit vectorielle e e EB = B E E B et apr`s division par 0 , e t 0 E 2 B2 + 2 20 +E + EB 0 = 0. (3.23) (3.22)

Cette quation constitue le thor`me de Poynting. Comparant ` (3.17), e e e a nous avons obtenu la densit dnergie lectromagntique e e e e u(r, t) = et le courant dnergie e P (r, t) = EB 0 (unit : W m2 ) e (3.25) 0 E 2 B2 + 2 20 (unit : J m3 ) e (3.24)

qui est appel le vecteur de Poynting. e

3.2.4

Indtermination de la densit dnergie e e e lectromagntique e e

Nous avons trouv des grandeurs u et P qui satisfont ` lquation (3.17), e a e mais ce ne sont pas les seules. Soit S(r, t) un champ de vecteur arbitraire. Il est immdiat que u1 = e S u S et P1 = P + vrient aussi lquation (3.17) : e e t u1 + E + P1 = 0. t (3.26)

Il semble quil ne devrait y avoir quune valeur, u ou une des expressions u1 , pour la densit dnergie lectromagntique. Nous avons choisi e e e e lexpression (3.24), mais la seule justication que nous pouvons en donner est que la forme (3.24) est la plus simple possible. Il ny a pas de justication exprimentale : jusqu` maintenant aucune exprience qui mesure la densit e a e e dnergie lectromagntique na t ralise. e e e ee e e

54


3.33.3.1Fig. 3.3

ExemplesFil conducteur

Fil conducteur. P I

E z B

Reprenons (cf. gure 3.3) le l conducteur cylindrique de la gure 3.1. En un point sur la surface latrale du cylindre, le champ lectrique est e e E= U ez , L (3.27)

le champ magntique (calcul pour un l inniment long) e B= et le vecteur de Poynting P = UI er . 2aL (3.29) 0 I e 2a (3.28)

z

De mme, on montre que P est perpendiculaire ` laxe Oz ` lintrieur du e a a e cylindre. Le ux de P ` travers une section droite du cylindre est donc nul. a On calcule que le ux du vecteur de Poynting entrant dans le cylindre est S = U I, qui est la puissance fournie aux charges (cf. section 3.1.1). Cette puissance entre par la surface latrale du cylindre conducteur. Le courant e dnergie ne suit pas le courant lectrique. La direction du courant dnergie e e e lectromagntique nest pas du tout intuitive dans cet exemple. e eE

M O q B

3.3.2

Charge lectrique ponctuelle et diple magntique e o e

P

Fig. 3.4 magntique. e

Charge et diple o

On place ` lorigine O une charge lectrique ponctuelle q et un diple a e o magntique le long de Oz (cf. gure 3.4). Au point M , le champ lectrique e e E est radial et le champ magntique B est dans le plan M Oz. Le vecteur e de Poynting en M est perpendiculaire au plan M Oz. Le syst`me est invae riant par rotation autour de Oz. On en dduit que les lignes de courant e dnergie sont les cercles daxe Oz. La ligne de courant dnergie passant e e par M est reprsente sur la gure. La densit dnergie lectromagntique e e e e e e u est constante puisque les champs E et B sont constants, mais il y a un courant dnergie (P = 0). e

` 3.4. ENERGIE DUN SYSTEME DE COURANTS

55

3.3.3

Condensateur charg (lectrostatique) e e

Soit un condensateur plan form darmatures de surface S distantes de e d (cf. gure 3.5). Considrons la situation statique o` la dirence de poe u e tentiel entre les armatures est V . En ngligeant les eets de bord, le champ e V lectrique est constant et uniforme, de valeur E = ez , dans le condensateur e d et nul ` lextrieur. Lnergie lectromagntique totale dans tout lespace, a e e e e que nous noterons W , est W = u d = CV 2 0 E 2 Sd = 2 2 o` u C= 0 S d (3.30)d E

z S

est la capacit (unit : F [farad]) du condensateur. Introduisant la charge e e Q du condensateur Q = CV (3.31) Fig. 3.5 Condensateur. on peut crire lnergie lectromagntique sous les formes e e e e W = CV 2 QV Q2 = = . 2 2 2C (3.32)

Les quations (3.31) et (3.32) sont valables pour un condensateur de forme e quelconque, mais lexpression de sa capacit C dpend videmment de la e e e forme du condensateur.

3.3.4

Solno (magntostatique) e de e

z a

Soit un solno de rayon a et de longueur h, form dun bobinage de n e de e spires par unit de longueur et parcouru par un courant dintensit constante e e I (cf. gure 3.6). En ngligeant les eets de bord, le champ magntique est e e constant et uniforme, de module B = 0 nIez dans le solno et nul ` e de a lextrieur. Lnergie lectromagntique totale est e e e e W = u d = LI 2 B2 2 a h = 20 2 o` u L = 0 n2 a2 h. (3.33)h

Le ux de B ` travers les nh spires est a = nhBa2 = 0 n2 a2 hI = LI. L est linductance propre du solno (cf. section 3.4.1). e de (3.34)I

3.43.4.1

Energie dun syst`me de courants eEnergie dun circuit, auto-induction

Fig. 3.6

Solno e de.

On peut gnraliser lexemple du solno (cf. section 3.3.4) ` un circuit e e e de a quelconque parcouru par un courant dintensit constante I. Nous suppoe serons que le champ magntique est proportionnel ` I. Cest approximatie a vement le cas pour un bobinage en labsence de milieux magntiques non e

56


linaires (fer, . . . ) au voisinage du circuit. Lnergie lectromagntique toe e e e 2 , le champ lectrique tant nul. On peut donc tale W est proportionnelle ` I a e e crire e LI 2 W = (3.35) 2 ce qui dnit la grandeur L (unit : H [henry 3 ]) appele inductance propre e e e (on dit aussi coecient dauto-induction, auto-inductance, self-inductance (anglicisme) et self) du circuit. Le calcul de L est en gnral tr`s e e e dicile : on ne peut pas supposer que la distribution de courant est linique e (ce qui conduit ` une divergence de W ). Comme la densit dnergie (3.35) a e e est positive ou nulle u 0, W 0 et L > 0 . Considrons maintenant un rgime variable o` lintensit I varie au cours e e u e du temps. Lorsque I varie, le champ magntique B varie et il appara un e t champ lectrique E. Lnergie lectromagntique W nest plus proportione e e e nelle ` I 2 . Supposons toutefois que la variation de I soit susamment lente a pour que lexpression (3.35) reste valable avec une valeur L constante ; le ux du vecteur de Poynting ` linni (le rayonnement) soit nglia e geable. Ces suppositions constituent lapproximation des rgimes quasistationnaires e (ARQ) du cas considr. Dans lARQ pour un condensateur on suppoee serait que lquation (3.32) reste valable lorsque V et Q varient avec t. e Lquation (3.14), lorsque V dsigne tout lespace (on a alors Echamp V = W ), e e scrit e d (W + Epart ) = 0 (3.36) dt parce que S , qui est la puissance rayonne ` linni, est ngligeable dans e a e dW lARQ. Cette quation exprime que la variation e de lnergie lectromae e dt gntique est loppose de la puissance fournie aux charges par le champ. En e e drivant (3.35) on obtient, en comparant avec (1.118) o` dU/dt = dW/dt, e u dI dW = LI = eI dt dt (3.37)

dI dI o` e = L u est la force lectromotrice dinduction (si I > 0 et e < 0, dt dt lnergie du champ diminue, la puissance fournie aux charges par le champ, e eI, est positive et e > 0). Soit la courbe ferme que forme le circuit, e suppos xe, que nous orientons suivant la convention de signe pour I. Soit e le ux du champ magntique ` travers le circuit, cest-`-dire le ux ` e a a a travers une surface de bord oriente par la r`gle du tire-bouchon. La loi e e d donne une deuxi`me expression de e de linduction de Faraday, e = dt3. Joseph Henry (1797-1878)

` 3.4. ENERGIE DUN SYSTEME DE COURANTS

57

force lectromotrice dinduction e. On a donc e ( = 0 pour I = 0) = LI

d dI =L et par intgration e dt dt (3.38)

qui gnralise (3.34). Notons quon peut rcrire (3.35) sous les formes e e e W = LI 2 I 2 = = . 2 2 2L (3.39)

R

Circuit RL. La gure schmatise un circuit de rsistance R et inductance e e propre L comportant un gnrateur de tension V (t) (cf. gure 3.7). La f.e.m. e e dI et lquation reliant la tension V (t) et le courant e dinduction est e = L dt I(t) est V + e = RI soit dI V = RI + L . (3.40) dt

V (t)

L

I

3.4.2

Induction mutuelle

Fig. 3.7

Circuit RL.

Considrons un syst`me de N circuits, le circuit a tant parcouru par e e e un courant dintensit constante Ia (a = 1, 2, . . . , N ). Nous supposons la e multilinarit du syst`me en I1 , I2 , . . . , IN . Cest le cas lorsque les circuits e e e sont liformes (bobines, ls) et les milieux environnants linaires du point e de vue des proprits magntiques. La multilinarit signie que le champ ee e e e magntique est de la forme eN

B=a=1

Ba Ia

(3.41)

o` Ba est le champ magntique cr par le courant Ia = 1 A dans le ciru e ee cuit a lorsque les courants dans tous les autres circuits sont nuls. Lnergie e lectromagntique totale W est, le champ lectrique tant nglig, e e e e e e W = Elle scrit eN N

B2 d = 20 a=1

N

N b=1

Ba Ia Bb Ib d. 20

(3.42)

W =a=1 b=1

Lab Ia Ib 2

(3.43)

o` u Lab = Ba Bb d 0 (3.44)

58


est une grandeur qui dpend de la gomtrie du syst`me mais qui est inde e e e e pendante des courants. Lexpression (3.44) est symtrique en a et b. On a e donc Lab = Lba (3.45) La forme quadratique (3.43) est positive (W 0). Il en rsulte les relations e e Laa 0, Laa Lbb L2 , . . . (voir cours de mathmatique). ab Considrons maintenant un rgime variable o` les intensits Ia varient au e e u e cours du temps. Nous supposerons ces variations susamment lentes pour que lexpression (3.43) reste valable avec les valeurs Lab du cas statique ; le ux du vecteur de Poynting ` linni (le rayonnement) soit nglia e geable. Comme dans le cas dun seul circuit, ces suppositions entra nent que la dW de lnergie lectromagntique est loppose de la puissance e e e e variation dt fournie aux charges par le champ. En drivant (3.43) on obtient e dW = dt o` u ea = N N

a=1 b=1

dIb Ia = Lab dtN

N a=1

ea Ia

(3.46)

Labb=1

dIb dt

(3.47)

est la f.e.m. dinduction dans le circuit a. Soit a le ux du champ magne tique ` travers le circuit a orient par la convention de signe pour Ia . La a e da donne une deuxi`me expression e loi de linduction de Faraday, ea = dt N dIb da = et par intgration e Lab de f.e.m. dinduction ea . On a donc dt dt b=1 (a = 0 quand tous les courants sont nuls)N

a =b=1

Lab Ib .

(3.48)

Le coecient Laa est linductance propre du circuit a (cf. section 3.4.1) et Lab = Lba (a = b) est le coecient dinductance mutuelle des circuits a et b.

59

4

Ondes lectromagntiques e e dans le vide4.1 Equation de propagation

Considrons les quations de Maxwell dans le vide, dans une rgion de e e e lespace qui ne contient ni charges ni courants : E = 0 (4.1) (4.2) (4.3) (4.4)

B t E 1 E B = 0 0 = 2 . t c t E = Prenons le rotationnel de lquation (4.3) et utilisons (4.4) : e E = 1 2E B = 2 . t c t2

B = 0

(4.5)

Dapr`s (4.1), le laplacien vectoriel de E se rduit ` e e a E = E E = E0

(4.6)

et (4.5) donne lquation de propagation dans le vide pour le champ E : e E 1 2E = 0. c2 t2 (4.7)

Cest lquation dondes de dAlembert correspondant ` la vitesse de proe a pagation c. En coordonnes cartsiennes, e e E = (Ex , Ey , Ez ), E = (Ex , Ey , Ez )

60

4. ONDES ELECTROMAGNETIQUES DANS LE VIDE

et lquation (4.7) quivaut aux trois quations e e e Ex = 0, o` loprateur u e = 1 2 2 2 2 1 2 = 2 2 2 2 2 c2 t2 c t x y z (4.9) Ey = 0 et Ez = 0 (4.8)

est le dAlembertien. Remarque. En coordonnes cylindriques (, , z) ou sphriques e e (r, , ) les composantes de E ne vrient pas les quations e e E = 0, E = 0, . . . La raison en est que (E u + E u + Ez uz ) = (E )u + (E )u + (Ez )uz et (Er ur + E u + E u ) = (Er )ur + (E )u + (E )u . Exercice 4.1. Montrer, en prenant le rotationnel de lquation (4.4), que e lquation dondes dans le vide pour le champ B est e B Exercice 4.2. Utiliser E = 1 2B = 0. c2 t2 (4.10)

A V , B = A et les quations des e t potentiels pour retrouver les quations dondes (4.7) et (4.10). e

4.2

Onde plane progressive harmonique (OPPH)

Considrons une onde plane progressive harmonique (OPPH) de pulsae tion et de vecteur donde k = (, , ). Posons r = OM = (x, y, z). Le champ lectromagntique au point M scrit en reprsentation complexe e e e e E(r, t) = a ei(tkr) = a ei(txyz) B(r, t) = b ei(tkr) = b ei(txyz) o` a et b sont des vecteurs complexes constants. u Portant (4.11) dans lquation donde (4.7) on obtient e 1 2E E 2 = c t2 2 2 2 2 E = 2 c 2 k2 E = 0. 2 c (4.13) (4.11) (4.12)

4.2. ONDE PLANE PROGRESSIVE HARMONIQUE (OPPH) On en dduit la relation entre la pulsation et le vecteur donde e k =k= . c

61

(4.14)

Lquation donde (4.10) conduit ` la mme relation. e a e Les quations de Maxwell (4.14.4) scrivent ( ik et e e ik E ik B ik E ik B = 0 = 0 = i B i E. = c2 i) t (4.15) (4.16) (4.17) (4.18)E

Lquation (4.15) implique que le champ lectrique E est perpendiculaire au e e vecteur donde. On dit quen k

le champ lectrique est transverse. e De mme, dapr`s lquation (4.16), e e e le champ magntique est transverse. e Dsignons par n le vecteur unitaire ayant la direction et le sens du vece e a teur donde (k = kn = n). Lquation (4.17) donne (on revient ` la c reprsentation relle) e e B= nE c (4.19)B

Fig. 4.1

Le tri`dre orthoe

gonal direct (E, B, k).

qui implique que E et B sont perpendiculaires et que B = E/c en module. De plus les trois vecteurs (E, B, k) forment un tri`dre orthogonal direct. e Lquation (4.18) donne E = cn B qui napporte rien de neuf. e Les proprits dune OPPH sont en rsum (cf. gure 4.1) ee e e (E, B, k) tri`dre orthogonal direct, B = e E , k= . c c (4.20)

4.2.1

Exemple

Pour n = uz et a = Aux (A constante relle) londe est donne par e e E(x, y, z, t) = Aux ei(tkz) A uy ei(tkz) B(x, y, z, t) = c (4.21) (4.22)

62 ou, en rel, e


E(x, y, z, t) = Aux cos(t kz) A uy cos(t kz). B(x, y, z, t) = c

(4.23) (4.24)

` Cette onde se propage ` la vitesse c le long de Oz, vers les z croissants. A a un instant donn, le champ lectromagntique est le mme en tous points e e e e du plan z = Cte. Londe est plane et les surfaces donde sont les plans perpendiculaires ` Oz. Le champ lectrique est parall`le ` Ox : londe est a e e a polarise suivant ux . e Le champ lectromagntique (E, B) en quelques points de laxe Oz, ` e e a linstant t = 0, est reprsent sur la gure 4.2. e eFig. 4.2

xChamp lectromae

gntique dune OPPH. e

E O B E

B y E B z

4.2.2

Importance des OPPH

Une OPPH doit exister dans tout lespace (r R3 ) et ` tout temps a (t R). Elle ne peut donc pas exister rellement. Toutefois, une onde quasie monochromatique peut souvent tre reprsente avec une bonne approximae e e tion par une OPPH. La thorie de Fourier permet de montrer que londe lectromagntique e e e dans le vide la plus gnrale sobtient par une superposition dOPPH : e e k a(k) i(tkr) e (4.25) avec = ck et a(k) k = 0. Dans le cas gnral, on ne peut plus dnir le e e e vecteur donde et E B = 0. En superposant des OPPH de vecteurs donde parall`les ` Oz (k = kuz , e a avec k > 0), on obtient une onde plane progressive se propageant dans la E(r, t) = d3 k a(k) ei(tkr) , B(r, t) = d3 k

4.3. POLARISATION direction et sens de uz E(r, t) = F (z ct), B(r, t) = uz F (z ct) c

63

(4.26)

avec F (u) uz = 0. Exercice 4.3. Montrer que le champ (4.26) vrie les quations de Maxe e well (4.14.4).

4.3

Polarisation

Considrons une OPPH de vecteur donde k = kuz . Dapr`s la section 4.2 e e la forme la plus gnrale du champ lectrique en M (r = OM ) et ` linstant e e e a t est E(M, t) = (x ux + ay uy )ei(tkz) . a (4.27) Le champ magntique sobtient par lquation (4.19) (n = uz ) : e e y ux + ax uy i(tkz) a e . B(M, t) = c (4.28)Y Y E P

e Posons ax = ax eix et ay = ax eiy (ax 0, ay 0). Dterminons la polarisation (cest ` dire la direction du champ lectrique) de londe. On a e a, en rel, e E(M, t) = ax cos(t kz + x ) ux + ay cos(t kz + y ) uy . (4.29)

M

X

X

Pour M donn, traons le vecteur M P = E(M, t) dorigine xe M . Etudions e c la courbe dcrite par le point P lorsque t varie. Soient M X et M Y des axes e respectivement parall`les ` Ox et Oy. Le point P dcrit une courbe du plan Fig. 4.3 e a e M XY donne par e X = ax cos(t kz + x ), Y = ay cos(t kz + y ). (4.30)

Champ E(M, t).

4.3.1A ax

Polarisation rectiligneY ay Y a ax X M ay B a M u aP a X a M u a P Y a a X

Fig. 4.4 ligne.

Polarisation recti-

Fig. 4.5 Fig. 4.6 laire droite.

Polarisation circu-

laire gauche. Polarisation circu-

Fig. 4.4.

Fig. 4.5.

Fig. 4.6.

64

4. ONDES ELECTROMAGNETIQUES DANS LE VIDE ay Y = = Cte. Pour y = x + X ax

Pour y = x mod 2, on a tg = mod 2, on a tg =

ay Y = = Cte. Dans ces deux cas le point P dcrit e X ax un segment de droite AB et E(M, t) garde une direction xe. Le rapport des amplitudes complexes ay = r est rel. e ax (4.31)

4.3.2

Polarisation circulaire gauche

Pour ax = ay = a et y = x /2 mod 2 on a (en posant u = t kz + x ) X = a cos u, Y = a cos(u /2) = a sin u. (4.32)

Le point P dcrit le cercle du plan M XY de centre M et de rayon a dans e le sens direct (sens trigonomtrique). Pour les amplitudes complexes e ay = ei/2 . ax (4.33)

4.3.3

Polarisation circulaire droite

Pour ax = ay = a et y = x + /2 mod 2 on a (en posant u = t kz + x ) X = a cos u, Y = a cos(u + /2) = a sin u. (4.34)

Le point P dcrit le cercle du plan M XY de centre M et de rayon a e dans le sens rtrograde. Pour les amplitudes complexes e ay = ei/2 . ax Y ay

(4.35)

Y ax M

X ax X P

4.3.4

Polarisation elliptique

ay

Dans le cas gnral, la courbe paramtrique (4.30) est une ellipse. On dit e e e que londe est polarise elliptiquement gauche ou droite suivant le sens dans e lequel tourne le point P . Les polarisations rectilignes et circulaires sont des cas particuliers de ce cas gnral. e e

Fig. 4.7

Polarisation ellip-

tique gauche.

4.4. ENERGIE DUNE OPPH

65

4.4

Energie dune OPPH

La densit dnergie lectromagntique (3.24) dune onde plane progrese e e e sive harmonique scrit, en utilisant 0 0 c2 = 1 et B = E/c, e u= B2 B2 0 E 2 + = 0 E 2 = . 2 20 0 (4.36)E

Son vecteur de Poynting vaut P = EB EB E2 = n= n = c0 E 2 n. 0 0 c0 (4.37)B P n k

Le vecteur de Poynting (courant dnergie) est dans le sens et la direction e du vecteur donde k = kn. Son module est le produit de la vitesse de la Fig. 4.8 Vecteur lumi`re c par la densit dnergie lectromagntique : e e e e e ting P dune OPPH. P = cu n. Reprenons lOPPH de champ lectrique e E(M, t) = (x ux + ay uy )ei(tkz) . a (4.39) (4.38)

de Poyn-

dont la polarisation a t tudie plus haut (cf. section 4.3). Pour calculer ee e e la densit dnergie lectromagntique au point M (x, y, z) et ` linstant t, e e e e a il faut utiliser le champ rel (4.29) e u(M, t) = 0 E 2 = 0 a2 cos2 (t kz + x ) + a2 cos2 (t kz + y ) . y x (4.40) Sa moyenne temporelle ne dpend plus de M (ni bien sr de t) : e u u = 0 a2 + a2 y x . 2 (4.41)

Cette moyenne peut scrire tr`s simplement en fonction du champ come e plexe (4.39) 2 0 E u = (4.42) 22 2 2 2 puisque E = ax ux + ay uy = ax + ay = a2 + a2 . x y La moyenne temporelle du vecteur de Poynting,

P = c u uz ,

(4.43)

est galement indpendante de M . Soit S une surface perpendiculaire ` e e a uz . Rappelons que le ux de P ` travers une surface donne la puissance a

66


c dt

uz S

P

z

lectromagntique moyenne qui traverse cette surface. Lnergie lectromae e e e gntique moyenne qui traverse S pendant le temps dt est donc dW = e P S dt = u Sc dt. Cest lnergie lectromagntique moyenne contenue e e e dans un cylindre droit de section S et de longueur c dt (cf. gure 4.9). Ce cylindre dnergie traverse la surface S pendant le temps dt. Il se dplace e e donc ` la vitesse cuz . Cela montre que a la vitesse de propagation de lnergie est c. e (4.44)

Fig. 4.9 Vitesse de propagation de lnergie. e

Lclairement est la puissance lectromagntique moyenne par unit de e e e e surface. Lclairement de la surface S est P qui est proportionnel au carr e e du champ lectrique de lOPPH. Lorsque plusieurs ondes se superposent, les e champs lectriques sajoutent, mais lclairement dune surface nest pas la e e somme des clairements de chacune des ondes. Cest la base du phnom`ne e e e dinterfrence qui sera tudi en optique ondulatoire. e e e

4.5

Photons

De nombreuses expriences (absorption et mission de la lumi`re par les e e e atomes, eet photolectrique, eet Compton 1 , . . . ) sont en contradiction e avec les prvisions de llectromagntisme classique. Elles ont conduit ` ade e e a mettre quune OPPH de pulsation = 2 et de vecteur donde k est compose de particules de masse nulle, les photons, chaque photon possdant e e une nergie et une quantit de mouvement donns respectivement par e e e E = = h o` u h 6,626 075 1034 J s est la constante de Planck 2 et = h 1,054 573 1034 J s 2 (4.47) (4.46) et p = k = h E h n= n= n c c (4.45)

est la constante de Planck divise par 2. e Exercice 4.4 (Eet Compton). En 1922, Compton tudia linteraction des e rayons X avec des lectrons. Considrons un faisceau de rayons X, assimil ` e e ea une OPPH de frquence = 1020 Hz. Llectromagntisme classique prvoit e e e e que cette onde (onde incidente) fait osciller les lectrons ` la frquence e a e et que ce mouvement des lectrons saccompagne de lmission dune onde e e lectromagntique de mme frquence appele onde diuse. e e e e e e1. Arthur Holly Compton (1882-1962) 2. Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947)

4.5. PHOTONS

67

Compton dcouvrit que la longueur donde des rayons X augmentait e dans la diusion, en contradiction avec llectromagntisme classique. Cette e e dcouverte lui valu le prix Nobel (1927) et le phnom`ne est maintenant e e e appel leet Compton. e La dirence = des longueurs donde de londe diuse, , et e e de londe incidente, , est donne par e = 2h sin2 mc 2 (formule de Compton) (4.48)

o` m = 9,109 1031 kg est la masse de llectron et = (k, k ) est langle u e entre londe incidente et londe diuse. e On se propose dans cet exercice de montrer la formule de Compton. Leffet Compton sinterpr`te comme une collision lastique entre un photon et e e un lectron. Lnergie totale et la quantit de mouvement totale du syst`me e e e e p des deux particules sont conserves au cours de la collision. Avant la collie p sion, llectron est au repos et la quantit de mouvement du photon est p. e e Apr`s la collision, la quantit de mouvement de llectron est Pe et celle du e e e (cf. gure 4.10). Langle = (p, p ) peut prendre toutes les valeurs Pe photon p de 0 ` , la mcanique quantique permettant de dterminer la probabilit a e e e Fig. 4.10 Eet Compton : de diusion dans la direction . collision dun lectron au repos e En mcanique relativiste, lnergie dun lectron (masse m, quantit de et dun photon e e e e 2 mouvement Pe ) est donne par la formule dEinstein 3 m2 c4 + Pe c2 . Pour e 2 . Les quations de conservallectron au repos Pe = 0 et lnergie vaut mc e e e tion de la quantit de mouvement et de lnergie scrivent e e e p = p + Pe mc + pc = 1. Dduire de (4.49) la relation e2 Pe = p2 + p2 2pp cos . 2

(4.49) +2 Pe c2

m2 c4

+ p c.

(4.50)

(4.51)

2. En liminant Pe entre les quations (4.50) et (4.51), montrer que e e mc(p p ) pp = pp cos . (4.52)

3. En dduire la formule de Compton (4.48). Calculer pour = 90 et e = c/ = 3 1012 m. Leet Compton peut-il sobserver avec de la lumi`re e visible de longueur donde = 0,6 106 m ?3. Albert Einstein (1879-1955)

68


4.6

Polariseurs et loi de Malus

Considrons une OPPH polarise rectilignement, de vecteur donde k = e e kuz et de longueur donde de lordre du centim`tre. Cette onde tombe sur e une grille forme de ls mtalliques parall`les ` Oy et dont le pas d est e e e a infrieur ` la longueur donde . Le champ lectrique e a e E = Ex + Ey , (4.53)

damplitude A, fait langle avec laxe Ox (cf. gure 4.11). Londe peut tre considre comme la superposition de deux OPPH, de e ee mme vecteur donde k et correspondant aux champs lectriques e e Ey = (A sin ) cos(t kz) uy . (4.54) On observe que londe de champ Ey est presque compl`tement rchie e e e par la grille, tandis que londe de champ Ex , au

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