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: Programación Lineal Entera y Mixta
Table of Contents
1.-‐ Una de camiones y paquetes .................................................................................................. 2
2.-‐ Una de trabajadores idóneos ................................................................................................. 2
3.-‐ Una de máquinas gráficas ....................................................................................................... 2 4.-‐ Una de líneas aéreas ................................................................................................................. 2
5.-‐ Una de huevos y de gallinas ................................................................................................... 3 6.-‐ Una de reinas .............................................................................................................................. 3
7.-‐ Una de Caterings del Vallés .................................................................................................... 4
8.-‐ Una de autobuses del Vallés ................................................................................................... 5 9.-‐ Una de la señorita Curtis ......................................................................................................... 5
10.-‐ Una de la empresa Product .................................................................................................. 6 11.-‐ Una de la empresa Barata .................................................................................................... 7
12.-‐ Una del pueblo de los Pedrejos .......................................................................................... 8
13.-‐ Una de la empresa Transhispánica ................................................................................... 9 14.-‐ Una de aceite de oliva con denominación de origen ................................................... 9
15.-‐ Una de bazares el Lince ...................................................................................................... 11
16.-‐ Una de subsistemas de aprovisionamiento ................................................................ 11 17.-‐ Una de energías renovables en el Rossellón ............................................................... 12
18.-‐ Una de expedientes X .......................................................................................................... 13 19.-‐ Una de zapatotes .................................................................................................................. 14
20.-‐ Una de herramientas de ferretería ................................................................................ 15
21.-‐ Una del Hospital Central (bastante difícil) .................................................................. 16 22.-‐ GasHoy ..................................................................................................................................... 17
23.-‐ Discoteca Left & Right ......................................................................................................... 17
1.- Una de camiones y paquetes Cinco camiones de carga tienen que entregar siete tipos de paquetes. Hay tres paquetes de cada tipo, y las capacidades de los cinco camiones son 6, 4, 5, 4 y 3 paquetes respectivamente. Determinar si se pueden cargar los paquetes de tal manera que ningún camión cargue dos paquetes del mismo tipo.
2.- Una de trabajadores idóneos Hay cuatro trabajadores disponibles para realizar los trabajo 1-4. Tres trabajadores pueden realizar solamente ciertos trabajos: el trabajador 1; el trabajador 2, solamente los trabajos 1 y 2; el trabajador 3; solamente el trabajo 2; el trabajador 4, cualquier trabajo. Determinar si es pueden asignar todos los trabajos a un trabajador idóneo.
3.- Una de máquinas gráficas MÁQUINAS GRÁFICAS, S.A. es una empresa que fabrica máquinas offset de 4 colores para la industria de Artes Gráficas. Debido al tipo de producto que comercializa (máquinas de gran complejidad y alto precio), las ventas están aseguradas bajo contrato para un período de un año. La empresa quiere elaborar el plan de producción para el próximo año 2000. Conoce la demanda para los próximos 4 trimestres:
● Trimestre 1 (Enero-Marzo):30 uds. ● Trimestre 2 (Abril-Junio):20 uds. ● Trimestre 3 (Julio-Setiembre):30 uds. ● Trimestre 4 (Octubre-Diciembre):20 uds.
● El coste fijo para la producción de este tipo de máquinas se estima en 20 u.m.a.s. ● El coste unitario de fabricación es de 50 u.m.a.s. por máquina producida. ● El coste unitario de mantenimiento es de 250 u.m.a.s. por máquina y por periodo.
La producción de máquinas se hace en lotes de 10 máquinas. No se permite rotura de stock!!! Se parte de un stock nulo y se desea finalizar igualmente con stock nulo. Determinar la producción óptima que minimice los costes.
4.- Una de líneas aéreas Una línea aérea necesita asignar sus tripulaciones para cubrir todos sus vuelos programados. Suponga que se desee asignar tres tripulaciones, con base en Barcelona, a los vuelos indicados en la tabla. En dicha tabla, las columnas numeradas de la 1 a la 8 muestran ocho secuencias factibles de vuelo para una tripulación, siendo necesario tres de esas secuencias ( una por tripulación ) de tal manera que se cubran la totalidad de vuelos programados (se permite tener más de una tripulación en un vuelo, en tal caso los miembros de la tripulación adicional volarán como
pasajeros si bien, de acuerdo a los convenios colectivos vigentes, percibirán su sueldo como si estuvieran trabajando). Los números que aparecen en las casillas indican, a su vez, el orden de los vuelos.. En la última fila aparece el coste de asignar una tripulación dada a una secuencia de vuelos específica. Si el objetivo de la compañía consiste en minimizar el coste total de asignar las tres tripulaciones cubriendo la totalidad de vuelos, plantear el correspondiente modelo y resolverlo mediante un programa informático. Secuencia factible de vuelos Vuelo 1 2 3 4 5 6 7 8 Barcelona a Madrid 1 1 1 Barcelona a Mallorca 1 1 1 Barcelona a Lanzarote 1 1 Madrid a Alicante 2 2 Madrid a Barcelona 2 3 5 Alicante a Mallorca 3 3 Alicante a Lanzarote 3 3 3 Mallorca a Barcelona 4 4 Mallorca a Alicante 2 2 2 Lanzarote a Barcelona 2 4 4 Lanzarote a Madrid 2 4 Coste (millones de pts.) 2 4 6 7 5 7 8 8
5.- Una de huevos y de gallinas En una granja avícola se dispone de 100 gallinas que ponen 60 huevos al mes. Los huevos se pueden vender a 3 ptas/unidad o bien incubarlos para obtener un pollo al cabo de un mes que puede venderse a 300 ptas, o bien transformarse en ponedora al cabo de 2 meses ( "al cumplir dos meses desde que los polluelos salen de/ huevo estos se convierten en gallinas ponedoras”). Las gallinas ponedoras dejan de serio al cumplir los 8 meses de edad (“desde su salida del cascarón"). Plantear el PL para obtener la política de máximo beneficio en un año. Datos adicionales:
● Todas las gallinas al inicio del año (1 enero) tienen 2 meses y por tanto son ponedoras. ● Los huevos se ponen a primero de mes (instantáneamente). ● Las decisiones en cada mes se toman igualmente al inicio de mes. ● Alimentar un pollo durante un mes cuesta 180 ptas. ● Alimentar una gallina cuesta al mes 200 ptas. ● La mortalidad de gallinas (no de pollos) es de un 10% por mes excepto cuando
cumplen los 8 meses (“desde su salida del huevo")que se matan y se venden a 50 ptas/udad.
6.- Una de reinas JUEGO DE REINAS Se trata de colocar cuatro reinas en un tablero de ajedrez (4 filas x 4 columnas) de forma que
ningún par de ellas se amenacen. Encontrar la modelización para dicho problema.
Nota: El movimiento de una de estas damas es en horizontal, en vertical y en diagonal (Ver figura):
7.- Una de Caterings del Vallés CATERING DEL VALLÉS tiene un problema; debe suministrar servilletas en cinco importantes convenciones que se celebrarán durante los próximos 5 días en Barcelona y de las cuales conoce con exactitud su Demanda.: LUNES................................... 110 servilletas. MARTES................................ 210 servilletas. MIERCOLES......................... 190 servilletas. JUEVES................................. 120 servilletas. VIERNES............................... 100 servilletas. A partir del viernes la empresa empieza sus vacaciones y desea acabar sin stock de servilletas. CATERING DEL VALLÉS tiene contratado los servicios de una empresa limpiadora “EL RAYO S. A.” que lava las servilletas y las devuelve al cabo de 12 horas. ( Las recogen a las 8 de la noche y las traen a las 8 del día siguiente, es decir es un servicio nocturno). El precio es de 3 ptas. por servilleta limpia. Cerca de CATERING DEL VALLÉS existe igualmente otra lavandería, “LAVANDERÍA MANOLI” mucho más económica pero más lenta. Recogen las servilletas a las 8 de la noche y las devuelven al cabo de un día a las 8 de la mañana. El coste por servilleta es de 1,5 ptas./udad. lavada. Paralelamente SERVILLETAS INDUSTRIALES S. A. vende servilletas de inmediato, es decir, en menos de una hora CATERING DEL VALLÉS puede tener en su puerta las servilletas que desee a un precio de 5 ptas./udad. Al finalizar una jornada sólo hay 2 opciones posibles con una servilleta: tirarla a la basura o enviarla a lavar. Contemplar las 2 opciones:
• Las servilletas que se envían a lavar son usadas en el mismo día que llegan. No se contempla la posibilidad de guardar en stock para otros periodos una servilleta lavada.
• Las servilletas limpias, ya lavadas, pueden ser guardadas para ser utilizadas en los siguientes periodos con un coste adicional por mantenimiento de 1,5 ptas./udad. y periodo.
Modelizar mediante un programa lineal cada una de las dos opciones y resolver mediante un programa informático.
8.- Una de autobuses del Vallés AUTOBUSES DEL VALLES es la compañía encargada de organizar el traslado escolar de 72 niños que asisten diariamente a un centro escolar a las afueras de Terrassa. El recorrido se ha esquematizado en la siguiente figura: Escuela (A) <= Matadepera (B) <= Terrassa (C) ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4 alumnos 20 alumnos 6 alumnos 42 alumnos El nº de alumnos que deben recogerse son:
● 42 alumnos en Terrassa. ● 6 alumnos entre Terrassa y Matadepera. ● 20 alumnos en Matadepera. ● 4 alumnos entre Matadepera y la escuela.
La empresa de autobuses dispone de 2 tipos de autobuses:
● Autobús grande con capacidad para 50 niños. ● Autobús pequeño con capacidad para 35 niños.
Los costes que debe soportar la empresa para cada uno de los trayectos y tipo de vehículo son:
Determinar cual debe ser la combinación óptima que minimice los costes de transporte a la compañía de autobuses.
9.- Una de la señorita Curtis La empresa de cosmética "SEÑORITA CURTIS" fabrica un acondicionador para el pelo denominado Fragance en las 2 fábricas que dispone, que para simplificar denominaremos F1 y F2, que aunque venden el mismo producto, tienen unos costes y unos precios de venta distintos. El producto Fragance se vende en frascos con un diseño muy atrevido, considerándose una unidad de producto el frasco de 750 ml, lógicamente, lleno de acondicionador. "SEÑORITA CURTIS" no vende su acondicionador a granel, sino por Uds. de frascos.
Autobús Pequeño Autobús Grande Matadepera-Escuela 39 $ 50,5 $
Terrassa-Escuela 54 $ 68 $ Terrassa-Matadepera 45 $ 57 $
La fábrica F1, situada en Manresa, puede producir hasta 1.500 Uds. diarias, a un coste de producción de 80 ptas. El precio de venta de una unidad de Fragance es de 150 pesetas, aunque por una compra igual o superior a 500 Uds., ofrecen un descuento de 50 pesetas por unidad comprada. La fábrica F2, sita en Palau de Plegamans, puede producir hasta 2.000 Uds. diarias, siendo el coste de producción de 70 ptas. la udad. y el precio de venta unitario es de 120 ptas. F2 ofrece un descuento de 20 pesetas por unidad siempre que la compra sea igual o superior a 500 unidades. Actualmente tiene tres clientes a los que llamaremos C1, C2 y C3 cuyas demandas diarias son, respectivamente 900, 800 y 600 unidades. Los costes de mandar una udad. de Fragance desde cualquiera de las dos fábricas, corren a cargo de "SEÑORITA CURTIS" y son las siguientes (importes en € ):
C1 C2 C3 F1 18 48 10 F2 20 26 35
El cliente C1 quiere recibir la totalidad de su pedido en un solo y único envío, siéndole indiferente la fábrica de la que provenga. Se pide plantear y resolver el programa lineal que modelice la situación planteada.
10.- Una de la empresa Product La empresa PRODUCT. S. A. se dedica a la producción de 2 productos X e Y durante tres meses del año (1,2,3). Para dicho propósito la empresa cuenta con 3 máquinas (1,2 y 3), cada una de ellas capaz de trabajar durante 160 horas mensuales. Dichas máquinas, a pesar de ser iguales, tienen unos costes/hora diferentes; estos son de 10, 11 y 12 u.m./h para las máquinas 1,2 y 3 respectivamente. Para fabricar el producto X se necesita 1 hora de cualquier máquina, mientras que para la fabricación de un producto Y se necesita 1/2h de cualquier máquina. Los PVP de los productos X y Y son de 30 u.m y 20 u.m. respectivamente y que debemos producir un mínimo de 200 productos durante el primer mes, un máximo de 400 productos durante el segundo mes y un mínimo de 250 productos en el tercer mes. a. Plantear el programa lineal que maximice el beneficio de la empresa PRODUCT S.A. b. Considerar qué restricciones adicionales y complementarias deberían añadirse al
programa con el fin de reflejar los siguientes supuestos. • Cada máquina debe descansar como mínimo un mes. • Si una máquina es usada un mes debe descansar el siguiente mes. • Siempre que se utilice la máquina 1 o la máquina 2, no podrá usarse la máquina 3. • Si se utiliza la máquina 1 y la máquina 2, no podrá usarse la máquina 3.
Nota: Todos los apartados de la pregunta 2 son independientes entre sí y se refieren al
planteamiento inicial de la pregunta 1. Resolver los anteriores supuestos (independientes entre sí) mediante el programa STORM.
11.- Una de la empresa Barata La compañía de aguas la Barata S.A. ha conseguido el suministro de agua en exclusiva para ocho poblaciones: Castell de Plegapeus (1), Santa Perpetua de la Quieteta (2), Cardenou (3), Matalapoma (4), Muralles del Vallés (S), Sardanaiola (6), Riucellet (7), Montsindria (8). Para satisfacer las demandas de cada población debe construir unos depósitos que, por limitaciones de accesos y problemas varios, sólo se pueden construir 4 de estas poblaciones: Castell de Plegapeus, Santa Perpetua de la Quieteta, Cardenou y Matalapaloma. En la siguiente tabla se muestran las diferencias (en Km.) entre las poblaciones, la demanda en (m3) de cada población, las capacidades de cada uno de los depósitos según el área en el que se instalen y el coste de instalación de cada depósito. El coste de transportar el agua es de 0,01 u.m por litro y Km. Y la Barata no está dispuesta a soportar un coste superior a 200.000 u.m. por este concepto. En cuanto a costes de infraestructuras (instalación de depósitos) el límite presupuestario es de 65.000.000 u.m. Parte 1. Se pide plantear el programa lineal que minimice los depósitos a construir de modo que todas las poblaciones reciban en su totalidad el agua demandada.
1 2 3 4 Demanda pobl. 1 0 6 20 7 10 2 6 0 12 15 20 3 20 12 0 4 15 4 7 15 4 0 30 5 12 8 10 11 5 6 22 12 17 27 25 7 30 24 32 6 10 8 6 5 9 1 20
Capacidad depósito 60 55 80 75
Coste instal. del depósito 18.000.000 20.000.000 30.000.000 27.000.000
Parte 2. En una revisión a fondo de las canalizaciones, se han detectado muchos desperfectos, por lo que habrá que hacerlas de nuevo. El coste de cada canalización es en promedio y para simplificar, de 15 u.m por metro de canalización y se considera coste de infraestructura. Ante esta situación la Barata se replantea el problema y ahora desea realizar el mínimo kilometraje de canalizaciones construyendo no más de tres depósitos y ampliando el presupuesto de infraestructuras a 100.000.000 u.m. (sirviéndose por supuesto la cantidad demandada por cada población). ¿Cómo afectaría esta situación al programa lineal anterior? Resolver ambas opciones mediante un programa informático. Comentar el resultado obtenido.
12.- Una del pueblo de los Pedrejos El alcalde del conocido pueblo " los Pedrejos" está seriamente preocupado a causa del aumento espectacular del nº de accidentes que ocurren en las calles del pueblo. Este aumento es consecuencia, según el Sr. Alcalde, del gran incremento habido en el número de vehículos que circulan por el pueblo. El siguiente esquema muestra las principales calles del pueblo, indicándose (en cursiva) el tráfico diario que circula por cada calle. Vemos que las calles con mayor tráfico son las A, B y C.
15 20 11 18
A
B
C
30
50
40
1 2 3 4 El alcalde ha solicitado presupuesto de semaforización a la conocida firma “choque usted, pero seguro S. A.” Y esta le ha presentado el siguiente informe: La semaforización de cada uno de los cruces de la calle A, cuesta 2 millones de pesetas. La semaforización de cada uno de los cruces de la calle B, cuesta 3 millones de pesetas. La semaforización de cada uno de los cruces en la calle C, cuesta 2,5 millones de pesetas. Asimismo, cuando una calle de las de mayor tráfico, A, B y C, está íntegramente semaforizada, se pueden coordinar todos sus semáforos entre sí (onda verde) mediante un microprocesador que cuesta 1,5 millones de pesetas. Para las calles de menor tráfico (1,2,3,4) no se plantea la posibilidad de onda verde. Disponiendo de este informe, el alcalde, que desea maximizar el beneficio que obtendrá el pueblo con la semaforización, se pregunta qué acciones deberá llevar a cabo, sabiendo que el municipio dispone de 25 millones de ptas. para tal fin. Asimismo, el Sr. Alcalde estima que el beneficio social producido por la semaforización de un cruce es proporcional al producto de los tráficos de las calles que confluyen en el mismo, y que la implantación de la onda verde en una calle equivale a duplicar el beneficio que ya se había obtenido con la instalación de los semáforos en dicha calle. Plantear el problema y resolverlo mediante un programa informático. Comentar los resultados obtenidos. Considerar ahora los siguientes supuestos:
● Debe haber por lo menos un semáforo en las calles 1, 2 3 y 4 (en los cruces con las calles A, B y C).
● No deben haber más de 2 semáforos consecutivos en las calles 1, 2, 3 y 4 (cruces con las calles principales A, B o C). Es decir, si se ha situado algún semáforo en la calle 1 (A, B o C) no podrá situarse otro en la calle 2.
● No más de tres consecutivos. ● El hecho de que en una de las calles secundarias se reúnan más de 2 semáforos, el
alcalde considera que el beneficio es proporcional al cuadrado del tránsito que circula
por dicha calle. Considerar cada una de las opciones por separado. Nota: en estas últimas opciones un semáforo en la calle 1, 2, 3 o 4 significa que ha sido colocado en el cruce de una de las calles principales A, B o C y que por proximidad afecta a dichas calles.
13.- Una de la empresa Transhispánica Transhispánica.S.A. es una empresa de transporte nacional ubicada en la zona del levante español, concretamente en Castellón. En estos momentos la empresa quiere estudiar a fondo dónde debería ubicar su centro de operaciones para que todos los camiones y furgonetas que componen su flota partieran desde este centro y una vez terminadas las misiones en sus destinos, volvieran hasta él. El hecho de que históricamente y en la actualidad el centro de operaciones se haya situado en Castellón se debe a que fue el lugar donde nació y se expandió la empresa, pero este hecho no implica que sea el lugar óptimo. Para poder llevar a cabo el análisis, la empresa nos informa de que existen dos comunidades autónomas, Galicia y Andalucía, a las cuales ha decidido no servir puesto que son zonas en las que la presión de los competidores no permiten margen de beneficios. En el caso opuesto existen las comunidades autónomas en las que Transhispánica está totalmente arraigada (lo que implica visitas con una frecuencia de 3 veces por semana), éstas son: Comunidad Valenciana, Murcia, Catalunya, Aragón y Madrid. El resto de capitales de provincia se visita con una regularidad de 2 veces por semana. La solicitud que hace transhispánica es: a. ¿En qué capital de provincia española debería instalar mi centro para tener un coste
kilométrico mínimo, teniendo en cuenta mi actual sistema de gestión centralizado y las frecuencias de viajes a cada capital de provincia?
b. ¿Me interesa cambiar el actual sistema de gestión en el cual cada vehículo se dirige a un destino y vuelve al centro? La información adicional para esta pregunta es que dependiendo del tipo de vehículo escogido se pueden visitar desde 1 hasta 3 ciudades.
c. ¿Qué ahorro me supondría instalar un sub-centro de operaciones conectado 3 veces por semana con el centro-madre, y en qué ciudad debería instalarlo?
14.- Una de aceite de oliva con denominación de origen 1ª Part: Una prestigiosa marca productora i distribuïdora d’oli d’oliva ens ha demanat que li dissenyem acuradament un pla de producció per la propera temporada. L’empresa ens ha facilitat dades sobre els costos de producció que té i els tipus de producte que comercialitza. Partint d’aquestes dades desitja que nosaltres obtinguem les quantitats que cal comercialitzar de cada producte de manera que el benefici total (la suma de guanys provinents de cada
producte) sigui màxim. El procés productiu consisteix en obtenir oli d’oliva premsant un tipus d’oliva que es conrea a la província. Com a matèria prima arriben a la premsa olives collides pels agricultors i passen directament a la premsa d’on s’extreu l’oli d’oliva verge extra de la primera premsada. El residu resultant de la primera premsada pot passar per un molí i es pot extreure l’oli d’oliva verge de la segona premsada. De la matèria resultant encara s’hi poden afegir uns additius químics que ajuden a separar l’oli restant de la polpa i s’obté, després de la tercera premsada i el degut refinament, un oli d’oliva refinat de menys qualitat. El compost resultant no s’aprofita. Les quantitats obtingudes d’un quilo d’olives són 0.1 litres d’oli d’oliva verge extra (1ª premsada), 0.15 litres d’oli d’oliva verge (2ª premsada) i 0.06 litres d’oli refinat (3ª premsada). Els costos per obtenir un litre d’aquests productes és 450 u.m./litre, 100 u.m./litre i 120 u.m./litre respectivament. (Cal tenir en compte que per poder fer la primera premsada cal comprar les olives als agricultors, és per aquest fet que obtenir un litre d’oli d’oliva verge extra és molt més car). Els productes finals que l’empresa comercialitza són 5 tipus d’oli provinents de la mescla de les tres premsades. A la taula següent es troben les composicions de cada tipus de producte final, així com el preu de venda a majoristes:
Tipus d’oli Composició Preu de venda Qualitat Suprema 100% Oli verge extra 600 u.m./litre
Qualitat Alta 70% Oli verge extra 30% Oli verge 450 u.m./litre
Qualitat Mitjana 50% Oli verge extra 50% Oli verge 400 u.m./litre
Qualitat Baixa 20% Oli verge extra
60% Oli verge 20% Oli refinat
300 u.m./litre
Qualitat Econòmica 50% Oli verge 50% Oli refinat 200 u.m./litre
Es considera important de cara a potenciar una bona imatge de marca que la quantitat comercialitzada del tipus qualitat alta sigui superior a la quantitat comercialitzada dels tipus qualitat baixa. Buscar un model matemàtic que ens permeti trobar la proporció que cal comercialitzar de cada tipus de producte final? 2ª Part: a) Quants litres de cada tipus d’oli (qualitat suprema, alta, mitja, baixa i econòmica) es
produirien si es disposés de 25.000 Kilograms d’olives per premsar? b) Quins beneficis obtindriem per cada 1.000 kilograms d’olives per premsar (matèria prima)
si decidissim produir segons la política òptima? c) La solució obtinguda és múltiple? Per què? d) A quin preu màxim podriem vendre l’oli de qualitat baixa mantenint la mateixa política de
producció si volem que la solució segueixi òptima?
e) Suposem que podem millorar el procés de refinat i en comptes d’extreure 0.06 litres d’oli refinat en podem aconseguir fins a 0.1 litres per Kg d’olives, quin seria el benefici per cada 1.000 Kilograms d’olives en aquest cas?
15.- Una de bazares el Lince Mohammed, propietari del Bazar “El Lince” té problemes amb els seus proveïdors. Concretament ha d’establir un pla d’aprovisionament tan econòmic com sigui possible per aprofitar els descomptes que li ofereix l’empresa de car-audio “Pioneroos”. Mohammed té molt clar el número d’equips “Pioneroos” que vendrà mensualment durant el proper quadrimestre, fet que li representa un veritable avantatge competitiu a l’hora de negociar. Aquestes dades apareixen a la taula següent:
Mes Febrer Març Abril Maig Quantitat 30 45 20 50
Per altra banda el proveïdor li ofereix unes condicions molt llamineres: si compra un equip ràdio-CD individualment, aquest entrarà a magatzem en qüestió d’hores pagant 140 €, però si compra un lot d’equips superior a 35 de l’equip 36è en endavant gaudirà d’un descompte d’un 20% del seu preu de compra. Per exemple, si decideix comprar un lot de 37 equips, pagarà 35 dels equips a 140 € i els restants 2 equips a 112 €. Aquest problema quedaria fàcilment resolt si no fos perquè en Mohammed ha decidit penalitzar amb 10 € cada unitat que queda emmagatzemada durant un mes de temps (el doble si són dos mesos, etc.). Amb aquest efecte, el que aconsegueix és tenir una rotació alta d’estocs, evitant uns costos financers massa alts per manca de tresoreria, i que algun equip es pugui “perdre” de la mà d’algun dels seus empleats (que caldria afegir, també tenen una elevada rotació). Respecte a la situació actual, en mohammed té en existències un estoc de 20 equips i desitjaria acabar el quadrimestre amb el mateix nivell. Plantegeu el model linial que resoldria aquest problema.
16.- Una de subsistemas de aprovisionamiento L’empresa LOGIMASTER S.A. es dedica a l’externalització de serveis logístics d’empreses industrials, concretament realitza el servei de transport i emmagatzematge de matèries primes o semielaborades per a indústries del sector de l’automòbil. El problema que ens presenta consisteix en organitzar el sistema d’aprovisionament de tres plantes d’ensamblatge anomenades Kevin, Louis i Matt (en honor als seus fundadors) que tenen una demanda mensual de peces de 1000, 2000 i 500 respectivament. Les peces subministrades tenen les mateixes especificacions tècniques i es poden portar des de 4 magatzems que LOGIMASTER té a la zona identificats com a MD, ME, MF i MG. Aquests magatzems fan de punt de distribució i absorbeixen variacions en els ritmes de producció. Els
magatzems tenen una capacitat disponible per a tractar el producte en qüestió de 1300, 600, 900 i 1500 peces/mes respectivament. El cost per transportar una unitat des de qualsevol magatzem a qualsevol planta d’ensamblatge es presenta a la TAULA 1. Per altra banda els productes sol·licitats han d’arribar als magatzems, per a això cal triar quin –un d’entre tres- és el proveïdor més adient. Tots tres proveïdors PA, PB i PC poden subministrar als quatre magatzems de LOGIMASTER a un cost de transport que figura a la TAULA 2, però no poden subministrar directament a cap de les plantes (Kevin, Louis ni Matt). Cada proveïdor té un sistema de preus. Concretament cada mes hi ha un cost fix independent del nombre d’unitats subministrades i un preu unitari. En el cas de PA el cost fix és de 5000 u.m. i el preu unitari de 25 u.m./u.f., per a PB és de 6000 u.m. i 20 u.m./u.f. i per a PC és de 3500 u.m. i 40 u.m./u.f. Es tracta de buscar un model que minimitzi els costos totals mensuals del procés (compra i transport) i ens pugui respondre a les qüestions: a) Quin és el proveïdor que ens ha de subministrar (només un)? b) Quantes unitats s’han de transportar del proveïdor a cada magatzem? c) Quantes unitats s’han de transportar de cada magatzem a cada planta d’ensamblatge?
TAULA 1 (u.m./u.f.) Origen / Destí Kevin Louis Matt
MD 3 5 9 ME 7 6 8 MF 5 4 7 MG 10 6 4
TAULA 2 (u.m./u.f.)
Origen / Destí MD ME MF MG PA 4 3 7 5 PB 2 8 6 3 PC 4 5 6 7
17.- Una de energías renovables en el Rossellón Set pobles del Rosselló han creat una mancomunitat de municipis pro-energies renovables. Les característiques geogràfiques i meteorològiques de la zona propicien la instal·lació d’aerogeneradors a les rodalies de les poblacions. Dels aerogeneradors estudiats n’hi ha tres tipologies que han interessat els Ajuntaments. Les dades consten a la taula següent:
Tipus d’aerogenerador Potència promig Cost de instal·lació T1 150 KW 250.000 € T2 250KW 350.000 € T3 400 KW 400.000 €
La raó de la unificació per a aquesta acció es basa en dur a terme una actuació conjunta per a poder estalviar costos compartint infrastructures de la xarxa elèctrica. Les infrastructures consisteixen, bàsicament, en aerogeneradors i en línies elèctriques. Les línies elèctriques ja estan instal·lades, mentre que els aerogeneradors caldrà instal·lar-los. Per a tal efecte ens han facilitat un esquema de la ubicació dels 7 pobles i les línies elèctriques que els uneixen que són les arestes del següent graf:
No obstant, el cost de transportar 1 KW per cadascuna de les línies és diferent degut a que tenen distàncies (resistències elèctriques) diferents. Concretament el cost per KW circulat és: Línia GD DA GA EA EC AB AC BC CF BF Cost per KW (€) 50 120 130 90 250 100 100 80 110 110 La potència mínima que cal garantir a cada població consta a la taula següent: Població A B C D E F G Potència mínima (KW) 300 275 85 50 100 75 140 Es tracta de modelitzar el problema per tal d’esbrinar on cal instal·lar els aerogeneradors i de quin tipus han de ser de manera que cada població tingui garantit el subministrament mínim, al mínim cost global i tenint en compte que:
● Un poble només pot tenir 1 aerogenerador com a màxim (sigui del tipus que sigui). ● Els pobles A i E estan afectats d’un pla mediambiental que els impedeix la instal·lació
de cap aerogenerador. ● Els alcaldes dels pobles D i F es neguen a tenir un aerogenerador de potència superior
al de l’hipotètic aerogenerador del poble G (Donats els consums de cada població sembla coherent).
● El cost de transportar electricitat d’un aerogenerador fins al poble que l’ubica es considera nul.
● Com és lògic, les línies elèctriques no tenen un sentit del flux restringit. ● Les línies estan sobredimensionades respecte la capacitat màxima que es pugui
sol·licitar.
18.- Una de expedientes X Los agentes Mulder y Scully tienen que partir a cubrir una misión en la región de Palo Largo, en pleno desierto de Arizona. En estos momentos los agentes están haciendo conjuntamente sus equipajes para la misión, cuando descubren que la lista de objetos es demasiado exhaustiva y tienen que seleccionar entre algunos de ellos puesto que el agente Mulder se ha negado a llevar un maletín que pese más de 8 Kg. y Scully ha puesto un límite de 5 Kg.
En la tabla adjunta se encuentran los objetos considerados, el número máximo de unidades a seleccionar, el peso que repercute el objeto (nótese que no se puede llevar una parte o fracción del objeto) y un valor de la utilidad que los agentes le han asignado:
OBJETO CANTIDAD MÁXIMA
PESO UNITARIO (KG.)
UTILIDAD UNITARIA
1. Revólver 4 1.5 8 y 3 * 2. Detector de fantasmas 1 5 8 3. Teléfono móvil 2 0.25 4 4. Crema solar 2 botes 0.4 Kg/bote 3 5. Repelnt. de escorpiones 1 0.15 8 6. Regalos de protocolo 4 0.4 5 7. Secador de pelo 1 1 3 8. Tape-recorder 2 0.5 3 9. Gafas de sol 2 0.15 2 10. Ordenador portátil 1 2.5 5 11. Caramelos para la tos 100 0.01 0.02 12. Linternas 4 0.4 8 y 2 * 13. Pilas recambio linternas 3 paquetes 0.2 1 * El valor de la utilidad en estos productos depende de la cantidad. La primera mitad de la cantidad máxima tiene la utilidad de la primera cifra y la segunda mitad de la cantidad máxima tiene la utilidad de la segunda cifra. (P.e. de las 4 linternas, las 2 primeras tienen una utilidad 8 y las 2 últimas tienen una utilidad 2). Existen peculiaridades en algunos de los objetos: • Si se decide llevar teléfono móvil se deberán coger los dos, en caso contrario no se
cogería ninguno (sería absurdo pues no se podrían llamar los agentes entre sí). • El agente Mulder se ha negado a llevar el secador de pelo de Scully, por lo que si se
decide llevar irá en el maletín de Scully. • Se ha convenido que si se toman más de 2 linternas habrá que llevar un mínimo de 2
paquetes de pilas de recambio. • El repelente de escorpiones es incompatible con la crema solar, de modo que sólo se
puede tomar uno u otro, aunque pueden dejarse ambos en casa si no procediera. Se trata de modelizar el problema de modo que se consiga una utilidad máxima cumpliéndose todas las condiciones.
19.- Una de zapatotes La empresa ZAPATOTES se dedica a la producción y venta de un modelo de zapatos de hombre y un modelo de zapatos de mujer durante los dos semestres del año. La empresa ha comprado tres máquinas diferentes para producir los dos tipos de zapatos. Cada una de ellas es capaz de trabajar durante 300 horas durante cada semestre. Estas máquinas tienen unos costes/horas de 2, 3 y 4 €/h para las tres máquinas respectivamente. Para fabricar un par de zapatos de hombre se necesita 1 hora de cualquier máquina, mientras que para la fabricación de un par de zapatos de mujer se necesita 2h de cualquier máquina.
Los PVP de los zapatos de hombre y de mujer son de 30 € y 40 € respectivamente. Según el jefe de ventas, debemos de producir un mínimo de 500 productos (ya sea de hombre o de mujer) durante el primer semestre, y un máximo de 700 productos (ya sea de hombre o de mujer) durante el segundo semestre. Se pide: a) Plantear el programa lineal que maximice el beneficio de la situación anterior Considerar qué restricciones adicionales y complementarias deberían añadirse al programa con el fin de reflejar los siguientes supuestos. b) Si una máquina es usada en un semestre debe descansar el siguiente semestre. c) Siempre que se utilice la máquina 1 o la máquina 2, no podrá usarse la máquina 3. d) Si se utiliza la máquina 1 y la máquina 2, no podrá usarse la máquina 3. Nota: Las preguntas b, c y d son independientes entre sí y se refieren al planteamiento inicial de la pregunta a.
20.- Una de herramientas de ferretería Una empresa llamada TOOLS, S.L. se dedica a la producción de herramientas de ferretería; más concretamente, se ha especializado en la fabricación de destornilladores de alta calidad en dos fábricas situadas en Polonia y Bulgaria. Las dos fábricas producen el mismo tipo de destornilladores. Debido a las diferencias legales entre los países y a las distancias existentes entre estos países y sus clientes, los costes y los precios de los destornilladores son distintos. Cada fábrica tiene unos costes de producción, unos precios de venta y unos precios de venta con descuento diferentes. La siguiente tabla muestra todos los datos de cada una de las fábricas.
Fábrica Polonia Fábrica Bulgaria Coste de producción 50 60
Precio de venta SIN descuento 150 155 Precio de venta CON descuento 130 135
Máxima productividad 2500 3000 Por ejemplo, la fábrica situada en Polonia puede producir un máximo de 2500 unidades mensuales con un coste de producción de 50 euros por destornillador. El precio de venta de un destornillador es de 150 euros, aunque por una compra igual o superior a 500 unidades, ofrecen un descuento de 20 euros por unidad comprada de más (es decir, si se compra más de 500 destornilladores: los primeros 500 tendrán un precio de 150 euros y el resto tendrán un precio de 130 euros por unidad). Lo mismo ocurre con la otra fábrica. En la actualidad, la empresa TOOLS tiene dos clientes: Cliente 1 y Cliente 2 cuyas demandas mensuales son, respectivamente, 1800 y 1100 unidades. Los costes de logística dependen del número de destornilladores comprados. La siguiente tabla muestra el coste desde cada fábrica a cada cliente:
Costes de logística (por destornillador) Cliente 1 Cliente 2
Fábrica de Polonia 2 3 Fábrica de Bulgaria 4 5
El cliente C1 quiere recibir la totalidad de su pedido en un único envío, lo que implica un solo lote procedente de una u otra fábrica (pero nunca por combinación de ambas). Por el contrario el cliente C2 no nos exige un único envío, por lo que podemos realizar la combinación de procedencias que nos resulte más óptima. Se pide plantear un modelo de programación lineal que maximice los beneficios de la situación planteada en el enunciado.
21.- Una del Hospital Central (bastante difícil) Teresa, la recepcionista de Urgencias del Hospital Central, ha recibido una llamada telefónica por el derrumbamiento de un piso situado en la periferia de Madrid. El SAMUR (Servicio de AMbulancias de URgencias) ha llegado al lugar del accidente y ha encontrado tres personas heridas de gravedad. Tras un primer reconocimiento de los médicos Rober, Eva y Mónica del SAMUR, se ha informado al Hospital Central de su situación. Vilches, director de urgencias de Hospital Central, tiene a su disposición sólo cuatro médicos: Cruz, Héctor, Laura y Javier. Después de estudiar la situación de los tres heridos y de las características de los médicos disponibles, Vilches cree que es necesario que cada herido sea operado por cada médico en un orden específico. El orden o sucesión de cada operación y el tiempo necesario según sus cálculos son los siguientes: Herido 1: Héctor (40 minutos) > Laura (50 minutos) Herido 2: Cruz (60 minutos) > Héctor (70 minutos) > Javier (120 minutos) Herido 3: Cruz (130 minutos) > Laura (90 minutos) > Javier (80 minutos) Por ejemplo, el segundo herido debe ser primero operado por Cruz durante 60 minutos, después pasa a las manos de Héctor que lo operará durante 70 minutos, y finalmente Javier acabará tratándolo durante 120 minutos. Con estos datos, responder a las siguientes cuestiones: a) Plantear el modelo de programación lineal que permita determinar el orden en que los
cuatro médicos deben operar o tratar a cada herido de manera que finalicen todas las operaciones en el menor tiempo posible. Se pide indicar el significado de las variables de decisión, y definir la función objetivo y las restricciones.
b) Resolver el modelo mediante un programa informático, y expresar el resultado en términos del problema original.
22.- GasHoy La compañía GasHoy ha conseguido el suministro de gas en exclusiva para cinco poblaciones: Terrasso (1), Manreso (2), Sabadello (3), SantCugato (4), y Bellatero (5). Para satisfacer las demandas de cada población debe construir varios depósitos que, por limitaciones de accesos y problemas varios, sólo se pueden construir 3 de estas poblaciones: Terrasso, Manreso y Sabadello. En la siguiente tabla se muestran las diferencias (en Km.) entre las poblaciones, la demanda en (m3) de cada población, las capacidades de cada uno de los depósitos según el área en el que se instalen y el coste de instalación de cada depósito. El coste de transportar el gas es de 0,05 u.m por litro (de gas) y Km. Por otra parte, la empresa no está dispuesta a tener unos costes de transporte superiores a 150.000 u.m. En cuanto a costes de infraestructuras (instalación de depósitos), el límite presupuestario es de 50.000.000 u.m.
Terrasso Manreso Sabadello Demanda pobl. 1 0 6 20 15 2 6 0 12 5 3 20 12 0 20 4 7 15 4 30 5 12 8 10 10
Capacidad depósito 50 75 70 Coste instal. del depósito 20.000.000 15.000.000 35.000.000
a. Se pide plantear el programa lineal que minimice los costes de construcción y de
transporte de modo que todas las poblaciones reciban en su totalidad el gas demandado.
23.- Discoteca Left & Right La discoteca Left & Right está re-negociando los contratos de bebidas con tres empresas: Coke. Nostle, y Domm. Cada una de estas empresas le ha enviado una oferta al director general de la discoteca. A continuación se detallan dichas ofertas. Oferta 1: La empresa Coke propone que sus bebidas tengan un precio unitario de compra de 10€. No obstante, trabajar con la empresa Coke conlleva un coste fijo de 1.000 €. Además, la cantidad máxima de bebidas que puede suministrar la empresa Coke es de 10.000 unidades. Oferta 2: La empresa Nostle propone que las primeras 2.500 bebidas tengan un precio unitario de 15€. Las siguientes bebidas (2.501, 2.502, 2.503, etc.) tendrían un precio unitario de 7 €. Además, la empresa Nostle no exigiría un coste fijo por trabajar con ella. Por último, la cantidad máxima de bebidas que puede suministrar la empresa Nostle es de 7.500 unidades. Oferta 3: La empresa Domm tiene una forma muy particular de trabajar. No venden las bebidas de forma unitaria. Sólo las venden en paquetes de 100 bebidas (de forma indivisible). El coste de cada paquete sería de 800 € y no habría asociado ningún coste fijo. Esta empresa no tiene límite en el suministramiento de bebidas.
Por último, debemos saber que la demanda mínima de bebidas por parte de la discoteca es de 12.000 unidades. Por cierto, un requisito del director general de la discoteca es que no podemos comprar más bebidas a Coke que a Domm.
a) Se pide plantear el programa lineal que minimice los costes de compra de modo que sepamos la cantidad de bebidas a comprar a cada empresa.
