7/31/2019 Plano.Clculo de la distancia de un punto al plano.
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LGEBRA Y GEOMETRA ANALTICA
Dra. Beatriz Mancinelli
Plano en R3. Determinacin analtica de la distancia de un punto
al plano
Se supone conocida la ecuacin general de un plano en R3 y la
proyeccin escalar de unvector en la direccin de otro.
0: =+++ dczbyax Ecuacin general del plano.
Vamos a hallar la distancia de un punto Q externo a p, o sea,
vamos a hallar el punto del
plano
ms cercano a Q (que se encuentra en la recta perpendicular al
plano y que pasaporQ). Lo calcularemos proyectando el vectorPQ en
la direccin de la normal al plano
(Ver Fig. 1).
Sea ( )000
,, zyxP= ( )000000
0 czbyaxddczbyax ++==+++
y sea ( )111 ,, zyxQ = , entonces el vectorPQ se escribe
( )010101
,, zzyyxxPQ = . Adems el vector normal al plano es ( )cban ,,=
.
La distancia perpendicular (D) de Q al plano
est dada por:
n
nPQPQD n
== Proy , operando y usando el hecho que P , resulta
( ) ( ) ( ) ( )
++
+++=
++
++=
222
000111
222
010101
cba
czbyaxczbyax
cba
zzcyybxxaD
222
111
cba
dczbyaxD
++
+++= .
Se prueba as que la distancia entre el plano 0: =+++ dczbyax y
el punto Q de
coordenadas ( )111
,, zyx est dada por:
222
111
cba
dczbyaxD
++
+++= .
Observacin: Si el punto en cuestin (Q) es el origen de
coordenadas ( )0,0,0=O resulta:
7/31/2019 Plano.Clculo de la distancia de un punto al plano.
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222 cba
dD
++
= ,
vemos entonces que el trmino independiente de la ecuacin general
del plano es
proporcional a la distancia al origen, en particular si el
vector normal es un versor, el
trmino independiente es directamente la distancia al origen.
Figura 1: Grfico del plano p, mostrando la proyeccin vectorial
dePQ en la direccin del
vector normal.
Bibliografa
1. Grossman S.,Algebra Lineal con Aplicaciones. McGraw-Hill.2.
Kozac A., Pastorelli S. y Vardanega P., Nociones de Geometra
Analtica y lgebra
Lineal. McGraw-Hill.
3. Lehmann C. H., Geometra Analtica. Limusa.
