PLANIMETRIE SHODNOST A PODOBNOSTstudent21.gjwprostejov.cz/uploads/NG04Planimetrie.pdfJednotky délky: Milimetr, centimetr, decimetr, metr-vedlejší jednotky mají mezi sebou jedno

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově

Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia

Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve

vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

2 Planimetrie

Úvod

Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny

střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina:

Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Planimetrie 3

Obsah Črtáme, rýsujeme, měříme ......................................................................................................... 7

Body, úsečky, přímky, polopřímky ........................................................................................ 7

Body, úsečky, přímky, polopřímky .................................................................................. 10

Varianta A ........................................................................................................................ 10


Varianta B ........................................................................................................................ 13


Varianta C ........................................................................................................................ 15

Obvody a obsahy, hmotnost ..................................................................................................... 17

Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti ........................ 17

Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti .................... 19

Varianta A ........................................................................................................................ 19


Varianta B ........................................................................................................................ 21


Varianta C ........................................................................................................................ 23

Úhel .......................................................................................................................................... 25

Úhel a jeho velikost .............................................................................................................. 25

Úhel a jeho velikost .......................................................................................................... 30

Varianta A ........................................................................................................................ 30


Varianta B ........................................................................................................................ 31


Varianta C ........................................................................................................................ 32

Osová souměrnost .................................................................................................................... 34

Osová souměrnost ............................................................................................................ 37

4 Planimetrie

Varianta A ........................................................................................................................ 37


Varianta B ........................................................................................................................ 38


Varianta C ........................................................................................................................ 40

Kruh, kružnice .......................................................................................................................... 42

Kruh, kružnice .................................................................................................................. 50

Varianta A ........................................................................................................................ 50

Kruh, kružnice .................................................................................................................. 51

Varianta B ........................................................................................................................ 51

Kruh, kružnice .................................................................................................................. 54

Varianta c ......................................................................................................................... 54

Trojúhelník ............................................................................................................................... 56

Trojúhelník a jeho konstrukce .............................................................................................. 56

Trojúhelník a jeho konstrukce .......................................................................................... 63

Varianta A ........................................................................................................................ 63


Varianta B ........................................................................................................................ 65


Varianta C ........................................................................................................................ 67

Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ..................................................................... 69

Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku ............................................................. 76

Varianta A ........................................................................................................................ 76


Varianta B ........................................................................................................................ 77


Varianta C ........................................................................................................................ 79

Planimetrie 5

Lichoběžník .............................................................................................................................. 81

Lichoběžník ...................................................................................................................... 83

Varianta A ........................................................................................................................ 83

Lichoběžník ...................................................................................................................... 84

Varianta B ........................................................................................................................ 84

Lichoběžník ...................................................................................................................... 86

Varianta C ........................................................................................................................ 86

Shodná zobrazení ..................................................................................................................... 88

Shodná zobrazení v rovině ................................................................................................... 88

Shodná zobrazení v rovině ............................................................................................... 98

Varianta A ........................................................................................................................ 98

Shodná zobrazení v rovině ............................................................................................. 101

Varianta B ...................................................................................................................... 101

Shodná zobrazení v rovině ............................................................................................. 105

Varianta C ...................................................................................................................... 105

Shodnost a podobnost útvarů ................................................................................................. 109

Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti .................................................... 109

Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti ................................................ 112

Varianta A ...................................................................................................................... 112


Varianta B ...................................................................................................................... 114


Varianta C ...................................................................................................................... 116

Množiny bodů dané vlastnosti. ............................................................................................... 118

Množiny bodů dané vlastnosti ........................................................................................ 123

Varianta A ...................................................................................................................... 123


6 Planimetrie

Varianta B ...................................................................................................................... 124


Varianta C ...................................................................................................................... 126

Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy ................................................................. 128

Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy ......................................................... 129

Varianta A ...................................................................................................................... 129


Varianta B ...................................................................................................................... 131


Varianta C ...................................................................................................................... 134

Planimetrie 7

Črtáme, rýsujeme, měříme

Body, úsečky, přímky, polopřímky

Používané symboly v planimetrii

8 Planimetrie

Vzájemná poloha přímek v rovině

přímky p, q jsou rovnoběžné ………

přímky a, b jsou různoběžné ………..

Planimetrie 9

přímky m, n jsou na sebe kolmé ….

. ……. znak kolmosti

10 Planimetrie


Varianta A

Sestroj body A, B, C, D, E, z daných bodů sestroj: úsečku AD (AD ), polopřímku EB(→EB),

přímku AC (↔AC )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení:

Planimetrie 11

Příklady k procvičení:

1) Doplň body: a) …………………. ↔ EG

b) ………………… ↔ EG

2) Vypiš: a) dvojice rovnoběžných přímek, b) dvojice kolmých přímek c) dvojice

různoběžných přímek

12 Planimetrie

a) a-b; a-c, b-c b) o-a, o-b, o-c b) a-n, b-n, c-n, a-m, b-m, c-m

3) Vypište útvary a) c b) c

a) →DC, AB b) b, →BC, AD

4) Sestrojte obdélník KLMN, kružnici k(S,r), čtverec ABCD, polopřímku KS, přímku

AM-do jedné konstrukce.

Planimetrie 13


Varianta B

Narýsujte úsečku AB,

| |, ď , .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Narýsuj úsečku . Sestroj osu této úsečky. Na ose zvol 4 různé body

, , které se stanou středy kružnic. Tyto kružnice sestroj tak, aby procházely

bodem A. Co jste zjistili? Jaký bude nejmenší možný poloměr takto zvolených

kružnic?

2) Sestroj přímky Sestroj dále bod , bod , bod Z:Z p,Z q.

Bodem Z veď kolmici k přímce p, nazvi ji a . Co lze říci o přímkách

a, q? Urči vzdálenost rovnoběžek p, q ( určíme tak, že na jedné z rovnoběžek zvolíme

bod-S, z něj uděláme kolmici na dané rovnoběžky. Kde mi tato kolmice protne druhou

rovnoběžku, dostanu bod-T. Vzdálenost rovnoběžek je rovna |ST|.


14 Planimetrie

3) Sestroj 4 přímky, aby měly a) jeden, b) čtyři c) pět d) šest průsečíků

Řešení:

a) b)

c) d)

4) Přímka p, , napiš všechny polopřímky určené body A,B,C. kolik jich

bude?

Planimetrie 15


Varianta C

Máme kružnici Na této kružnici zvol tři různé body A, B, C. Body spoj do

trojúhelníku ABC. Narýsuj osu úsečky AB, osu úsečky BC, osu úsečky AC. Co jsi zjistil?

Příklad:

Osy všech úseček budou procházet středem kružnice, do níž jsme trojúhelník vepsali. Jestliže

má totiž kružnice procházet krajními body např. úsečky AB, má od těchto bodů střed kružnice

stejnou vzdálenost a tedy musí tento střed ležet na ose AB. Tak je to i s ostatními dvěma

stranami, tedy průsečík os stran trojúhelníku je zároveň středem kružnice tomuto trojúhelníku

opsané.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Máme trojúhelník ABC. Kolik různých přímek, polopřímek, lze proložit vrcholy

tohoto trojúhelníku?

2) Sestroj čtverec ABCD, | . Sestroj m: ,

Ozn pr se ky

. Co jsi zjistil?

Výsledek řešení:Bylo zjištěno, že každá osa prochází středem S dané

kružnice. Tedy S kružnice je průnikem os stran trojúhelníku.

16 Planimetrie

3) M me kru nici N kru nici zvol od Do kru tk vezmi

polom r cm ve vzd lenosti od cm proti sm ru hodinov ch ru i ek

pomoc kru tk sestroj od d le potom stejn m postupem od odu od

Vzniklé ody spoj podle ecedy Kolik jsi n kru nici dost l celkem od ?

Vznikl tv r se pokus pojmenov t

4) Jaké geometrické tvary můžeme dostat ze čtyř různých bodů A, B, C, D jejich

nejkratším spojením v tomto pořadí?

Planimetrie 17

Obvody a obsahy, hmotnost

Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti

Jednotky délky:

Milimetr, centimetr, decimetr, metr-vedlejší jednotky mají mezi sebou jedno desetinné místo,

znáte již ze ZŠ.

1cm=10mm, 1dm=10cm=100mm, 1m=10dm=100cm=1000mm

1km=1000m

Jednotky obsahu:

Sousední jednotky mají mezi sebou dvě desetinná místa

Jednotky hmotnosti:

Platí tedy:

18 Planimetrie

Pro obdélník a čtverec platí vzorce:

Obdélník o stranách a, b: Obvod , Obsah

Čtverec o straně a: Obvod , Obsah

Planimetrie 19


Varianta A

Obdélník má strany a=18 cm, b= 0,06m. Spočítej jeho obvod a obsah.

Příklad:

a=18 cm, b= 0,06m=6cm

nejdříve uvedeme rozměry ve stejných jednotkách, v našem případě cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Čtverec o straně a=20 cm. Urči jeho a v jednotkách uvedených

v závorce.

2) převeď a) b)

c) d)


S=108 ,

20 Planimetrie

3) převeď na požadované jednotky a sečti:

a) b)

c) d)

4) Anička koupila 20 dkg salámu, 2 mouky po jednom kg, půl kg sádla, 3 másla po 250 g

a 1,3 kg jablek. Kolik vážil její nákup?

Planimetrie 21


Varianta B

Čtvrtina bochníku sýra a 6-ti kilogramové závaží mají stejnou hmotnost jako celý bochník.

Kolik váží bochník?

Příklad:

Závaží vlastně nahrazuje ¾ bochníku. Tedy

Bochník váží 8 kg.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) a) b)

c) cm m dm d)

c d

2) Obdélník o stranách a=12cm, b=? má obvod stejný jako čtverec o straně 135 mm. Urči b.

Výsledek řešení: Bochník váží 8 kg.

22 Planimetrie

3) Místo otazníku doplň správně jednotky:

a) ? b) ? c) ?

d) ?

4) Zahrada má obdélníkový tvar o stranách 20 m a 45 m. V ní je postaven dům čtvercového

základu o straně 8m a garáž o ploše 32 . Urči plochu zeleně.

Planimetrie 23


Varianta C

Pozemek má tvar pravoúhlého trojúhelníku. Jedna jeho odvěsna je o 2 krát větší než ta druhá.

Obě odvěsny dohromady měří 1200 m. Urči plochu pozemku.

Příklad:

1.odvěsna ………………. x m

2.odvěsna ………………2x m

dohromady ……………. 1200 m

Návratem do zápisu:

1.odvěsna… 400 m

2.odvěsna… 800 m

Plocha parcely je vlastně polovinou obdélníku, který tvoří dané odvěsny, tedy

Parcela má plochu 16 ha.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: Parcela má plochu 16 ha.

24 Planimetrie


1) a) b)

c) d)

2) Pro strany obdélníku platí, že jedna strana je třikrát delší než druhá a jeho obvod je

656 cm. Určete délky stran a obsah obdélníku.

20172 2

3) V obdélníku je průsečík úhlopříček vzdálen od kratší strany o 6 cm dál než od delší

strany. Obvod obdélníku je 84 cm. Určete obsah obdélníku.

4) Zahrada tvaru obdélníkového má delší stranu čtyřnásobkem délky kratší strany. Délka

plotu kolem zahrady je 315 m. Určete výměru zahrady.

Planimetrie 25

Úhel

Úhel a jeho velikost

úhel

obr.2

obr.1

ß V K

V B

α

L

A

Máme-li dvě polopřímky se společným počátkem , tak ty nám

rozdělí rovinu na dvě části, které se nazývají úhly

, …ramena

… vrchol úhlu

26 Planimetrie

ody které n le AVB (vnitřní body úhlu AVB) …………N, A, V, B, M, R, P

ody které nen le AVB (vnější body úhlu AVB) ………O, Q

Klasifikace úhlů 1. Nekonvexní (obr. 2) – spojnice jakýchkoliv dvou vnitřních bodů

úhlu nemusí obsahovat vždy vnitřní body úhlu.

2. Konvexní - spojnice jakýchkoliv dvou vnitřních bodů obsahuje vždy

vnitřní body úhlu.

a) nulové

b) duté (ostré, pravé, tupé)

c) přímé

d) plné

Velikost úhlů

Úhly měříme ve stupních ˚ , minutách , vteřinách

1˚

Máme-li 2 nebo více úhlů sečíst, sčítáme stupně se stupni, minuty s minutami, vteřiny

s vteřinami. Jestliže se dostaneme u minut nebo vteřin do čísla převedeme na vyšší

jednotku.

Např.:

Při odčítání, pokud odčítáme víc minut než je v menšenci, musíme si převést na minuty a

poté odčítat.

Např.:

Planimetrie 27

úhel nekonvexní: 8

úhel konvexní: nulový = 0˚, ostrý = 0˚ , pravý , tupý ,

přímý = .

Máme-li dány dvě různoběžky, potom dostáváme dvojice úhlů:

ß δ

γ

Úhly vedlejší α-ß ;ß-γ, γ-δ, δ-α …mají společní jedno rameno, druhá ramena jsou opačné

polopřímky. Součet je roven 8 °.

Úhly vrcholové α-γ,ß-δ … mají společný vrchol a ramena jsou navzájem opačnými

polopřímkami. Mají stejnou velikost, jsou tedy shodné.

Jsou-li přímky a, b rovnoběžné a protíná je nějaká různoběžka p, potom existují dvojice úhlů:

α

γ a

ß

b

δ

p

a b, p

úhly souhlasné … α-ß … shodné, leží v jedné polorovině sw hraniční přímkou p na „stejných

stranách“ rovnoběžek

úhly střídavé …γ-δ … shodné, leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p, je to

vedlejší úhel k úhlu souhlasnému

28 Planimetrie

Osa úhlu:

V L

P

K o

Dělí úhel na dva stejné úhly.

Postup konstrukce osy úhlu (viz. obr).:

1. sestrojíme dostatečně velký oblouk úhlu (z důvodu přesnosti),

průsečíky oblouku s rameny jsme nazvali K, L

2. Kružítko zabodneme do bodu K a narýsujeme oblouk

3. Kružítko zabodneme do bodu L a narýsujeme oblouk o stejném poloměru jako

Dostali jsme oblouk

4. Průsečík oblouků , (v našem případě bod P) nám tvoří spolu s vrcholem úhlu osu

úhlu o.

Planimetrie 29

Přenášení úhlů

Máme-li nějaký úhel (třeba úhel KLM, nebo nějaký vnitřní úhel -ku) přenést, musíme

postupovat následovně (viz.obr.):

1. Narýsujeme polopřímku, na niž chceme úhel přenést ( ) – bude jedním

ramenem úhlu

2. Úhel, který chceme přenést opatříme dostatečně velkým obloukem (pro přesnost

rýsování)

3. Oblouk o stejném poloměru (r) narýsujeme na naši polopřímku, střed oblouku je

počáteční bod polopřímky (V).

4. Do kružítka si vezmeme délku oblouku úhlu, který přenášíme (x) a tuto délku

naneseme na oblouk na polopřímce (uděláme oblouk se středem B a poloměrem x).

5. Dostaneme bod (A), který po spojení s počátkem polopřímky dává druhé rameno

hledaného úhlu. Přenesený úhel: .

Dvojnásobek (trojnásobek …) úhlu – naneseme na nový oblouk 2 ( …) délky oblouku

původního úhlu.

Máme-li graficky sestrojit polovinu úhlu - děláme osu úhlu, čtvrtinu úhlu- děláme osu

polovičního úhlu…

délka oblouku tohoto úhlu je rovna jeho poloměru (tedy x r).

K

x

L r

M

A

x

r

V B

30 Planimetrie


Varianta A

Sestrojte a změřte jeho vnitřní úhly α,ß,γ.

Příklad:

Velikost úhlů měříme úhloměrem. Střed úhloměru dáme na vrchol A, úhloměr položíme na

stranu AB. Na úhloměru najdeme stupnici, která začíná nulou (O°)na rameni →AB. Na této

stupnici vyčteme velikost úhlu α. Čteme tam, kde druké rameno protíná stupnici. Obdobně

úhel ß: střed úhloměru dáme na vrchol B, úhloměr položíme na polopřímku BA, která je

ramenem zjišťovaného . Na úhloměru na tomto rameni najdeme stupnici, která začíná 0°a na

této stupnici vyčteme tam, kde je druhé rameno tohoto úhlu, jeho velikost. Stejný postup

opakujeme i s úhlem γ.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sestrojte . Přeneste jeho vnitřní úhly a změřte

jak úhly původní, tak přenesené.

2) 6˚23 =… 328 =…˚… 18˚4 =… 6524 =…˚…

3) Narýsujte α=63˚, ß=204˚

4) Narýsujte , sestrojte jeho osu

Výsledek řešení: α= 56 ; ß= 36 γ= 88

Planimetrie 31


Varianta B

α=82˚16 , ß=27˚55 . Početně: a) α+ß b) α-ß c) α-2ß

Příklad:

α+ß=82˚16 +27˚55 =109˚71 =110˚11 po součtu bylo minut více jak 60, tedy se daly převést na

˚ a na zbylé .

α-ß= 82˚16 -27˚55 =81˚76 -27˚55 2 při odčítání bylo potřeba si “půjčit“ 1˚a převést

ho na , abychom mohli minuty odečíst.

α-2ß=82˚16 -2 27˚55 =82˚16 - =81˚76 - 2 2 opět jsme museli převést na ,

abychom mohli odčítat. Při dvojnásobku ß jsme zase převedli na a .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) A)2 37˚22 -15˚50 b)82 - 2 2 2 -( 2 - 2 )

2) ABC: a=13cm, b=8cm, c=9cm. Graficky sečti vnitřní úhly , tedy α+ß+γ. Výsledek

změř.

3)

é é

é

é

4) Obdélník ABCD: a=9cm, b= 6cm, S= průsečík úhlpříček. Změř velikost ASB a

n pi k n mu hel vrcholov hel vedlej

Výsledek řešení:a) 110˚11 b) 2 c) 2 2

32 Planimetrie


Varianta C

a) 8˚25 39 2 2 =

b) 180˚2 42 -19˚29 53

Příklad:

a) 8˚25 39 2 2 =

c) 180˚2 42 -19˚29 53 = musíme si „půjčit“ jak jeden stupe , abychom mohli stupně

odčítat, tak také jednu minutu, aby bylo v menšenci více vteřin než

v menšiteli 2 -19˚29 53 2 .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) α ß p

δ

q

γ

ß=127˚46 , α= …, γ= …, δ= …

2) Sestroj bez úhloměru α=22˚30 , ß=82˚30 , γ=202˚30

é

a) Výsledek řešení:a) b) 2

Planimetrie 33

3) Do kružnice o poloměru 4,3cm narýsuj libovolně poloměr. Počínaje tímto

poloměrem nanášej další poloměry proti směru hodinových ručiček po každých

36˚. Poloměry budou mít názvy SA, SB, SC, SD,… Pokus se popsat útvar, který

dostaneš po spojení bodů A, B, C, D, … v tomto pořadí.

4) Graficky rozděl přímý úhel na 8 shodných úhlů.

34 Planimetrie

Osová souměrnost

Jestliže budeme chtít nakreslit obrázek tak, aby byl na obou stranách stejný, souměrný

(motýla, broučka – viz.obrázek ), přeložíme papír, namalujeme jenom půlku obrázku po

překlad papíru a na druhou půlku obrázek otiskneme.

Případně si namalujeme nebo narýsujeme opět jenom půlku obrázku po přehyb, papír

přehneme a špendlíkem propíchneme důležité body, aby byly ve stejné vzdálenosti od

přehybu a ty potom spojíme stejným způsobem jako na půlce první a máme i na druhé půlce

obrázek stejný – viz.domeček.

Planimetrie 35

Na obou obrázcích je přehyb papíru narýsován čerchovanou čarou, které říkáme osa obrázku,

osa útvaru, osa souměrnosti. Těmto obrázkům, útvarům, říkáme útvary osově souměrné

( brouček je osově souměrný, domeček je osově souměrný, …). Útvary osově souměrné se

dají rozdělit přímkou – osou – na dvě shodné části, které když překlopíme podle této osy, tak

se překryjí.

Některé útvary mají jednu některé i více os souměrnosti: písmeno V = 1 osa souměrnosti,

obdélník = 2 osy souměrnosti, čtverec = 4 osy souměrnosti, pravidelný šestiúhelník = 6 os

souměrností – viz. následující obrázek, kruh = nekonečně mnoho os souměrností.… .

Ne vždy je možné papír přehýbat, ne vždy rýsujeme nebo malujeme na papír. K sestrojení

osově souměrného obrázku, bodu, využíváme tzv. osové souměrnosti, kdy postupujeme

následujícím způsobem.

Chceme sestrojit bod osově souměrný podle osy o s bodem X, tedy bod Y:

1. Z bodu X sestrojíme kolmici na osu o

2. Průsečík této kolmice s osou = P

3. Kružítko zabodnu do bodu P, nastavím poloměr r=|XP| a přenesu tento poloměr (tuto

vzdálenost od osy o) na polopřímku opačnou k PX….“přehodím bod X přes osu na

druhou stranu“

4. Ve stejné vzdálenosti od osy o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).

36 Planimetrie

Zapisujeme O(o):X Y a čteme : v osové souměrnosti O s osou souměrnosti o

sestrojíme bod X na bod Y.

Samodružný bod – je bod, který se zobrazí sám na sebe. V osové souměrnosti jsou to ty

body, které leží na ose souměrnosti.

Planimetrie 37

Osová souměrnost

Varianta A

Sestroj libovolný rovnostranný trojúhelník a sestroj jeho osy souměrnosti. Urči jejich počet.

Příklad:

Osa souměrnosti je přímka spojující vrchol se středem protější strany (jedná se zároveň o

kolmici z vrcholu na protější stranu). Pouze rovnostranný trojúhelník je trojúhelník se třemi

osami souměrnosti. Rovnoramenný trojúhelník má jednu osu souměrnosti a různostranný

trojúhelník osu souměrnosti nemá.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

1) Vyber velké tiskací písmeno z abecedy, které je osově souměrné, narýsuj ho a

zvýrazni jeho osu, případně osy. (Výsl.:Např.A, D, M, V= 1 osa, X, O=2osy)

2) Sestroj kružnici a urči její počet os souměrností, narýsuj některé

3) Sestroj libovolný obdélník, urči jeho počet os a dané osy sestroj

4) Sestroj čtverec o straně a= 4 cm, urči jeho počet os a dané osy sestroj

Výsledek řešení: Rovnostranný trojúhelník má 3 osy souměrnosti

38 Planimetrie

Osová souměrnost

Varianta B

Narýsuj jakýkoliv obrázek osově souměrný a zvýrazni červeně jeho osu o

Příklad:

Postup:

Nejdříve si sestrojíme osu souměrnosti. Každý bod obrázku hned sestrojíme v osové

souměrnosti podle této zvolené osy. Kružnici sestrojím tak, že sestrojím osově souměrný střed

kružnice, poloměry těchto kružnic jsou shodné, potom tedy už jen sestrojím daný obraz

kružnice. I případné barvy musí osově odpovídat.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: Body, které leží na ose, se zobrazí samy na sebe,

ostatní body sestrojíme podle uváděného postupu v úvodu kapitoly..

Jednotlivé body spolu na jednotlivých stranách správně hned

spojujeme. Na závěr vybarvíme.

Planimetrie 39

1) Sestroj kružnici , a přímku, která nemá s kružnicí žádný společný bod. Danou

kružnici sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici .

2) Sestroj kružnici , a přímku, která má s kružnicí 1 společný bod. Danou kružnici

sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici .

3) Sestroj kružnici , a přímku, která má s kružnicí 2 společné body. Danou kružnici

sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici .

4) Sestroj úsečku AB a její osu

40 Planimetrie

Osová souměrnost

Varianta C

Sestroj úsečku AB a mimo ni různoběžně osu o. Danou úsečku sestroj v osové souměrnosti

s osou o. Pojmenuj ji A´B´

Příklad:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Planimetrie 41

1) Sestroj úsečku MN a přímku o, která je různoběžná s úsečkou a má s ní 1 společný

bod. V osové souměrnosti s osou o sestroj obraz úsečky AB a nazvi ji A´B´.Kolik

bude samodruhých bodů?

2) Na přímce o zvol body A,B. Tyto body jsou krajními body úsečky AB. Tuto úsečku

zobraz v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na úsečku A´B´.

3) Čtverec KLMN zobraz v osové souměrnosti s osou souměrnosti na K´L´M´N´.

4) Pokus se napsat slovo osově souměrné (OKO,DEKO-vodorovná osa, AVA,

OTO-svislá osa )

42 Planimetrie

Kruh, kružnice

Kruh je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu (středu kruhu) vzdálenost

menší nebo rovnu číslu r (poloměru kruhu). 2r = d = průměr kruhu.

.

Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu (středu kružnice)

vzdálenost rovnu číslu r (poloměru kružnice). 2r = d = průměr kružnice.

Planimetrie 43

44 Planimetrie

Vzájemná poloha kružnic:

SS. = úsečka spojující středy dvou kružnic = středná

é

Planimetrie 45

…vnější dotyk

46 Planimetrie

Vzájemná poloha kružnice a přímky

a) b) c) é

tětiva = úsečka, která spojuje dva body na kružnici. Nejdelší možnou tětivou je průměr

kružnice, tedy tětiva procházející středem kružnice.

Délka kružnice:

Obvod kruhu je délka kružnice, která ohraničuje kruh

Obsah kruhu:

Planimetrie 47

…Ludolfovo číslo. Je to konstanta, která vyjadřuje poměr délky kružnice k délce

jejího průměru.

tedy přibližná hodnota 3,14

Kruhový oblouk

Délka kruhového oblouku

48 Planimetrie

Kruhová výseč:

Obsah kruhové výseče:

Kruhová úseč:

Planimetrie 49

Mezikruží:

Obsah mezikruží:

Výseč mezikruží:

50 Planimetrie

Kruh, kružnice

Varianta A

Kruh K(S. r= 2,8 cm), určete obvod a obsah kruhu.

Příklad:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sestrojte kružnici k (S, r=3 cm), sestrojte dva průměry k této kružnice AB, CD.

V krajních bodech průměrů sestrojte tečny k dané kružnici. Průsečíky tečen popište

P,Q,R,S. Co vzniklo?

tverec PQRS

2) Je dána přímka p a bod S vzdálený od přímky p 3 cm. Jaký průměr musí mít kružnice

se středem v bodě S, aby daná p byla a) vnější přímkou, b) tečnou, c) sečnou

kružnice?

3) Dán kruh K(S, r=3,4 cm). Jaký je obsah čtvrtkruhu?

4) Dvě kružnice mají průměr 25 cm a 35 cm. Jaký je rozdíl délek těchto kružnic?


Planimetrie 51

Kruh, kružnice

Varianta B

Jaká je plocha kruhové podložky (zelená barva) s poloměrem 8,4 cm, z níž byl vystřižen kruh

s průměrem5,4 cm? Viz. obr.

Příklad:

Plocha podložky spočítáme rozdílem ploch většího a menšího kruhu.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


52 Planimetrie


1) Strana čtverce je 16 cm. Ze dvou rohů je vykrojen čtvrtkruh. Určete zbylou plochu. S=

střed strany čtverce.

2) Obsah kruhu je 3560 , jaký je jeho průměr.

3) Kolikrát se zvětší a)obvod b) obsah kruhu, zvětší-li se jeho poloměr 14 krát?

4) Spočítejte obvod a plochu červeného obrazce

Planimetrie 53

54 Planimetrie

Kruh, kružnice

Varianta c

Vypočítejte délku tětivy, která je na kružnici o průměru 14 cm vzdálená od středu 4 cm. Jaký

je obsah kruhové výseče, kterou vytíná?

Příklad:

… délka tětivy

cos

Vypočítejte délku tětivy, která je na kružnici o průměru 14 cm vzdálená od středu 4 cm. Jaká

je výška oblouku, který vytíná?


Tětiva = ,

Planimetrie 55

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

1)

?

2) é é ?

3) Jaký je obsah mezikruží kružnice opsané a vepsané pravidelnému šestiúhelníku o

straně 10 cm.

4) Kruhový záhon o průměru 12 m se má rozdělit soustřednou kružnicí na kruh a

mezikruží o stejném obsahu.. Jaký je poloměr této kružnice?

56 Planimetrie

Trojúhelník

Trojúhelník a jeho konstrukce

Mějme tři různoběžné přímky, které mají tři průsečíky. Trojúhelník = rovinný útvar

ohraničený třemi úsečkami, z těchto průsečíků vzniklých – viz. obr.1 - .

Obr.1.:

….. vrcholy

….. strany

( červeně –vnitřní úhly)

Vedlejší úhly k vnitřním úhlům = vnější úhly (modře)

Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu dvou vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů.

Součet vnitřních úhlů = 180°

Trojúhelníková nerovnost – součet dvou stran musí být větší než strana třetí.

Planimetrie 57

Trojúhelník:

a) Různostranný

b) Rovnoramenný – má dvě stejné strany (ramena),třetí se nazývá základna

c) Rovnostranný – má všechny strany stejné, těžnice jsou zároveň výškami, těžiště je

zároveň průsečíkem výšek a zároveň středem kružnice jak opsané, tak vepsané.

Trojúhelník: a) ostroúhlý –má všechny úhly ostré

b) pravoúhlý – má 1 úhel pravý, dva úhly ostré

c) tupoúhlý – má 1 úhel tupý, dva ostré

58 Planimetrie

Střední příčky = úsečky, které spoují středy stran trojúhelníku (viz.obr.2)

= je rovnoběžná se stranou, kterou neprochází a její velikost je rovna polovině

této stany.

Obr.2.:

Těžnice = úsečka spojující vrchol se středem protější strany.

Průsečík těžnic = těžiště – značíme T (obr.3).

Těžiště dělí těžnice na dvě části v poměru kdy 1 díl je u strany a 2 díly u jeho vrcholu

Obr.3.:

Výšky = kolmice spuštěné z vrcholu na protější stranu.

Průsečík přímek, na nichž výšky leží značíme V

Poloha V – ostroúhlý = uvnitř (obr4.)

- pravoúhlý = ve vrcholu pravého úhlu (obr.5)

- tupoúhlý = vně (obr.6)

Planimetrie 59

- obr.4.:

obr.5.:

60 Planimetrie

obr.6.:

Kružnice trojúhelníku opsaná

Prochází všemi vrcholy . Její střed=O je průsečíkem os stran daného trojúhelníku (obr. 7).

Její poloměr . K sestrojení středu kružnice opsané stačí pouze dvě

osy.

Poloha středu kružnice trojúhelníku opsané – uvnitř =ostroúhlý , na nejdelší

straně (přeponě) = pravoúhlý , vně = tupoúhlý

Planimetrie 61

Obr. 7.:

Obr. 8.

62 Planimetrie

Obr. 9.

Kružnice vepsaná (obr.9) .

Dotýká se všech tří stran trojúhelníku. Její střed je průsečík os vnitřních úhlů . K sestrojení

středu stačí sestrojit pouze dvě osy. Poloměr kružnice vepsané = nejkratší vzdálenost

nalezeného středu ke straně trojúhelníku (uděláme ze středu kolmice na jednotlivé strany,

průsečíky těchto kolmic se stranami nám dají body dotyku kružnice s

Obr.10. :

.

Planimetrie 63


Varianta A

Sestroj kružnici o poloměru 3 cm a narýsuj tři různé trojúhelníky tyk, aby byla tato kružnice

trojúhelníku opsaná.

Příklad:

Sestroj kružnici o poloměru 3 cm a narýsuj tři různé trojúhelníky tyk, aby byla tato kružnice

trojúhelníku opsaná.

Vzhledem k tomu, že opsaná kružnice prochází všemi vrcholy trojúhelníku, vždy na kružnici

zvolíme tři body, které nám po spojení dají trojúhelník.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: Řešením jsou

64 Planimetrie


1) Sestroj libovolný trojúhelník ABC. Narýsuj trojúhelník PQR takový, aby AB, AC, BC

byly střední příčky .

2) Sestroj Sestroj a změř těžnice.

t cm t cm t cm

3) Sestroj Sestroj a změř výšky

4) Sestroj Sestroj mu kružnici opsanou a

změř poloměr.

Planimetrie 65


Varianta B

Sestroj libovolnou kružnici o menším poloměru. Sestroj dva trojúhelníky takové, aby tato

kružnice byla těmto trojúhelníkům vepsaná.

Příklad:

Sestroj libovolnou kružnici o menším poloměru. Sestroj dva trojúhelníky takové, aby tato

kružnice byla těmto trojúhelníkům vepsaná.

Vepsaná kružnice má s trojúhelníkem body dotyku na stranách trojúhelníku, a to tak, že strana

je zároveň kolmá k poloměru kružnice k tomuto bodu sestrojenému. Tedy na kružnici zvolíme

3 body (body dotyku) – např. X, Y, Z, body spojíme se středem kružnice a uděláme v nich

kolmici na vzniklý poloměr. Průsečíky těchto kolmic = vrcholy .

Úlohu ještě jednou opakujeme pro další trojúhelník.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


66 Planimetrie


1) Sestroj Tomuto trojúhelníku sestroj

těžnice změř je a poté změř , T = těžiště, kontrolu měření ověř

výpočtem z naměřených těžnic.

2) Sestroj rovnostranný trojúhelník, Změř výšky, těžnice, poloměr kružnice

opsané r, poloměr kružnice vepsané .

3) Sestroj Změř největší úhel. O jaký jde ?

4) Výška

Přičemž . O jaký trojúhelník se jedná?

Planimetrie 67


Varianta C

Rovnostrannému trojúhelníku vepiš kružnici. Co vše je možné napsat o bodech dotyku?

Příklad:

Rovnostrannému trojúhelníku vepiš kružnici. Co vše je možné napsat o bodech dotyku?

Vzhledem k tomu, že v rovnostranném trojúhelníku je osa strany zároveň osou úhlu, zároveň

na ní leží i výška i těžnice , jsou body dotyku

- patami výšek

- středy stran a tedy jedním krajním bodem těžnic

- středy stran a tedy krajními body středních příček

- leží na osách strany, úhlu

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


- patami výšek

- středy stran a tedy jedním krajním bodem těžnic

- středy stran a tedy krajními body středních příček

- leží na osách strany, úhlu

68 Planimetrie


1) V

P itom vnit n hel je dv kr t v t ne vnit n hel Kolik m ?

2) Poloměr kružnice vepsané rovnostrannému je 4,9 cm. Jaká je výška a poloměr

kružnice opsané tohoto ?

3) Vnitřní úhly

4) Poloměr kružnice opsané rovnostrannému je 6,8 cm. Jak dlouhou mé

těžnici ?

Planimetrie 69

Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku

Čtyřúhelník:

A,B,C,D – vrcholy

a,b,c,d – strany

AC = e ; BD = f - úhlopříčky

- vnitřní úhly

A) obecný: B) deltoid:

…odvození na konci kapitoly

C) lichoběžník – viz. kapitola Lichoběžník

D) rovnoběžník =čtyřúhelníky, které mají protější strany shodné a rovnoběžné.

- součet velikostí vnitřních úhlů je 360 , sousední úhly tvoří 180 .

- úhlopříčky se vzájemně půlí.

- průsečík úhlopříček je středem souměrnosti rovnoběžníku

Rovnoběžníky :

1.Čtverec = 4 strany shodné a na sebe kolmé

- Vnitřní úhly jsou shodné=90

- Lze mu vepsat (r=

i opsat

kružnici, středy mají tyto kružnice

v průsečíku úhlopříček.

- Úhlopříčky jsou shodné, jsou na sebe kolmé, půlí vnitřní úhel

70 Planimetrie

2.Obdélník = vedlejší strany na sebe kolmé, různě dlouhé.

Úhlopříčky jsou shodné, nejsou na sebe kolmé, nepůlí vnitřní úhel

Lze opsat kružnici: r=

Planimetrie 71

3.Kosočtverec =strany shodné, nejsou na sebe kolmé.

Úhlopříčky jsou na sebe kolmé, nejsou shodné, půlí vnitřní úhel

Lze vepsat kružnici, její střed =průsečík úhlopříček, , v= výška kosočtverce

72 Planimetrie

4.Kosodélník =vedlejší strany různě dlouhé, nejsou na sebe kolmé

Úhlopříčky různě dlouhé, nejsou na sebe kolmé, nepůlí vnitřní úhel

Nelze vepsat ani opsat kružnici

-

Planimetrie 73

Odvození obsahu kosodélníku pomocí obsahu obdélníku:

Obsah kosodélníku ABCD převedeme na obsah obdélníku XYCD tak,že „uřezaný“

trojúhelník AXD přesuneme za stranu BC a tím dostaneme z kosodélníku ABCD obdélník

XYCD, jejichž obsahy jsou shodné, obsah obdélníku už známe:

S v . Podobný by byl postup při odvozování

obsahu pomocí strany b, tedy S v .

Odvození obsahu trojúhelníku pomocí obsahu kosodélníku:

Je vidět, že

S v

S v

S

c v

74 Planimetrie

Na tomto obrázku jsou sestrojeny 4 trojúhelníky- jejich obsahy jsou stejné, protože mají

společnou stranu AB a shodnou výšku na stranu AB ( ).

Odvození obsahu čtverce pomocí délek úhlopříček (platí i pro odvození obsahu

deltoidu, kosočtverce)

( )

Planimetrie 75

S

e f

Pro obsah kosočtverce pomocí úhlopříček platí stejné odvození, tedy stejný vzorec:

S

Máme-li počítat obsah obecného čtyřúhelníku nebo jiného obrazce, daný obrazec si rozdělíme

na útvary (například dva trojúhelníky), jejichž obsahy umíme spočítat známými vzorci.

76 Planimetrie


Varianta A

Určete obsah deltoidu s úhlopříčkami .

Příklad:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) V kosodélníku je Urči ostatní vnitřní úhly.

2) V kosočtverci je velikost jednoho vnitřního úhlu rovna 38°16´.Urči druhý úhel a jaký

úhel svírají úhlopříčky daného kosočtverce.

é

3) V obdélníku je strana a třikrát větší než strana b. Obvod obdélníku je 60 cm. Urči jeho

obsah.

4) Obdélník má obsah 140 , strana a má délku 20 cm. Urči jeho obvod.

5) a)Strana kosočtverce je 8 cm. Jeho výška je 5 cm. Urči jeho obvod a obsah.

b) Strana kosodélníku . Jeho výška je . Urči jeho

obvod a obsah.

6) Urči obsah


Planimetrie 77


Varianta B

Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li a=5cm, e= 8cm.

Nejdříve sestrojíme podle věty sss, potom využijeme rovnoběžnost protějších stran.

Příklad:

1.Rozbor:

2. Popis konstrukce:

Výsledek řešení: ve zvolené polorovině 1 řešení

78 Planimetrie

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li délka úhlopříček e=7 cm, f= 4 cm.

2) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li dáno

é

3) Sestroj kosodélník ADCD, je-li dáno .

é

4) Sestroj kosodélník KLMN, je-li dáno

é

Planimetrie 79


Varianta C

Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno

Příklad:

1.Rozbor:

2. Popis konstrukce

é

3. Závěr:

Ve zvolené polorovině 2 řešení, protože výška kosodélníku je menší než strana b, tedy

kružnice k bude mít s rovnoběžkou p dva společné body.

Výsledek řešení: Ve zvolené polorovině 2 řešení

80 Planimetrie

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno

é

2) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li dáno

é


é


Planimetrie 81

Lichoběžník

Lichoběžník je čtyřúhelník, který má dvě strany rovnoběžné (základny) a dvě strany

různoběžné (ramena). Vzdálenost mezi základnami je výškou lichoběžníku.

A,B,C,D – vrcholy

a,b,c,d – strany

AB, CD – základny

BC, AD – ramena

e = AC, f = BD – úhlopříčky

v – výška

Pravoúhlý lichoběžník - má 1 rameno kolmé na základny.

82 Planimetrie

Rovnoramenný lichoběžník – má shodná ramena lze mu opsat kružnici, jejíž

střed je průsečíkem os stran a poloměrem je vzdálenost tohoto středu od vrcholů. Tento

lichoběžník má osu souměrnosti, která je zároveň osami základen. Tato osa dělí

rovnoramenný lichoběžník na dva pravoúhlé shodné lichoběžníky. Platí (tedy

úhel, který svírají ramena s jednotlivými základnami, jsou shodné.

Obvod lichoběžníku: o c d

Obsah lichoběžníku: S

Na obrázku je ukázka 4 lichoběžníků se stejným obsahem. Mají shodnou základnu a, stejnou

výšku v a stejně velkou základnu c

Planimetrie 83

Lichoběžník

Varianta A

Jaký je obsah lichoběžníku se základnami a=8cm, c=6cm a výškou v=11cm?

Příklad:

S c v

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Urči obvod rovnoramenného lichoběžníku se základnami 13 cm a 0,4 dm a ramenem

dlouhým 8cm.

2) Urči obvod lichoběžníku, jehož strany mají rozměr a=20cm, b=11cm, c=4cm, d=8cm.

3) Spočítej obvod a obsah znázorněného pravoúhlého lichoběžníku:

4) Vypočítej obsah lichoběžníku, je-li


84 Planimetrie

Lichoběžník

Varianta B

Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno

Příklad:

1. Rozbor:

2. Popis konstrukce:

1)

2) °

3)

4)

5)

6)

3. Závěr: Ve zvolené polorovině 1 řešení

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: Ve zvolené polorovině 1 řešení

Planimetrie 85


1) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno ,

é

2) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD:

. é

3) Sestroj pravoúhlý lichoběžník, je-li dáno

é

4) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno

é

86 Planimetrie

Lichoběžník

Varianta C

Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno a=11cm, b=7cm, c=3cm, d=6cm.

Příklad:

1. Rozbor:

Je-li zadán lichoběžník 4 stranami, rozdělíme ho rovnoběžkou s ramenem BC tak, aby vznikl

rovnoběžník (XBCD) a trojúhelník (AXD). Tedy zvolíme na straně AB bod X ve vzdálenosti

od bodu B rovné velikosti strany c. Nejdříve sestrojíme AXD podle sss a na rovnoběžných

základnách dorýsujeme ve vzdálenosti délky c body B a C.

(samozřejmě je možné „posouvat“ rameno AD rovnoběžně do bodu C).

2.Popis konstrukce:

1)

2)

3)

5)

6)

7)

8)

9)

3.Závěr: Ve zvolené polorovině má úloha 1 řešení. Pokud by nebyla splněna

trojúhelníková nerovnost v AXD, úloha by neměla řešení.

Planimetrie 87

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno , v=4cm.

é

2) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li dáno

é

é é

é

3) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno ,

é

4) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li dáno ,

88 Planimetrie

Shodná zobrazení

Shodná zobrazení v rovině

Útvary v rovině, které bychom mohli přemístit tak, že by se kryly, jsou shodné (např. úsečky

stejných velikostí, kružnice stejného poloměru, čtverce se shodnou stranou, … ).

O shodnosti trojúhelníků lze rozhodnout podle těchto vět:

1. sss – jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.

2. sus – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou

shodné.

3. usu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k této straně

přilehlých, jsou shodné.

4. Ssu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu, který leží proti větší

z nich, jsou shodné.

Shodná zobrazení (= zobrazení, které zachová shodnost útvarů) = osová souměrnost, středová

souměrnost, posunutí, otočení.

Samodružný bod = bod, který se zobrazí sám na sebe.

Útvar, který zobrazujeme, se nazývá vzor, útvar, který vzniká je obraz.

Přímá shodnost = vzor lze pouze posunutím, otočením překrýt s obrazem.

přímá shodnost

přímá shodnost

Planimetrie 89

Nepřímá shodnost = aby se obraz se vzorem překryl, musíme jej zrcadlově převrátit

nepřímá shodnost

90 Planimetrie

Osová souměrnost - O(o)

Je dána osou souměrnosti nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz).

Samodružných bodů je nekonečně mnoho – osa osové souměrnosti (body na ose se zobrazí

samy na sebe)

Nepřímá shodnost

Obraz bodu X:

:

5. Z bodu X sestrojíme kolmici na osu o

6. Průsečík této kolmice s osou = P

7. Kružítko zabodnu do bodu P, nastavím poloměr r=|XP| a přenesu tento poloměr (tuto

vzdálenost od osy o) na polopřímku opačnou k PX….“přehodím bod X přes osu na

druhou stranu“

8. Ve stejné vzdálenosti od osy o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).

Planimetrie 91

Některé útvary mají jednu nebo více os souměrnosti: úsečka = 1 osa souměrnosti, obdélník =

2 osy souměrnosti, čtverec = 4 osy souměrnosti, kruh = nekonečně mnoho os souměrnosti…,

takovým útvarům říkáme osově souměrné

Jestliže máme v osové souměrnosti zobrazovat obrazce, zobrazujeme jejich jednotlivé

vrcholy = body (výše uvedeným způsobem) a potom spojíme. Je dobré body okamžitě

popisovat a zároveň dodržovat jejich pořadí při popisu .

např. zápisem rozumíme :“ v osové souměrnosti O s osou

souměrnosti p zobraz trojúhelník ABC na trojúhelník KLM“, přičemž bod A se

zobrazí na K, bod B na L, bod C na M.

92 Planimetrie

v(A,p)=v(K,p) , v(B,p)=v(L,p), v(C,p)=v(M,p)

(body vzor-obraz mají stejnou vzdálenost od osy p).

Planimetrie 93

Středová souměrnost - S(S)

Je dána středem souměrnosti nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz).

Má 1 samodružný bod = střed souměrnosti.

Nepřímá shodnost

Obraz bodu X:

:

1. Bod X spojím se středem souměrnosti

2. Kružítko zabodnu do bodu S, nastavím poloměr r=|XS| a nanesu tento poloměr

(tuto vzdálenost od středu souměrnosti) na polopřímku opačnou k

polopřímce SX….“přehodím bod X přes střed souměrnosti na druhou stranu“

3. Ve stejné vzdálenosti od středu souměrnosti o jako je bod X (vzor) dostávám bod

Y (obraz).

94 Planimetrie

Útvary, které mají střed souměrnosti se nazývají středově souměrné útvary. Jsou jimi např.

úsečka (S=střed úsečky), obdélník (S=průsečík úhlopříček), kružnice (S= střed kružnice) …

Př.

BS ,

Planimetrie 95

Posunutí - P( ) neboli translace - T( )

( bod A je počátečním bodem orientované úsečky a bod B jejím bodem koncovým)

Posunutí je tedy dáno orientovanou úsečkou, tedy úsečkou, která má směr a velikost nebo je

dáno dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz).

Nemá bod samodružný.

Přímá shodnost.

96 Planimetrie

Obraz bodu X:

Rotace (otáčení)

Je dáno středem otáčení (tedy bodem, kolem něhož se budou útvary otáčet), velikostí otáčení

(tedy velikostí úhlu, o jaký objekt otočíme)a jeho orientací (+nebo -) nebo dvojicí

odpovídajících si bodů (vzor-obraz) a středem otáčení.

Rotace má 1 samodružný bod – střed rotace

Přímá shodnost.

Planimetrie 97

Obraz bodu X:

1. Bod X (vzor) spojíme se středem rotace. Tím dostáváme rameno úhlu rotace.

2. Na rameno naneseme úhel rotace – (+= proti směru hodinových ručiček, - =ve směru

hodinových ručiček)

3. Na nové rameno naneseme obraz Y ve stejné vzdálenosti od středu rotace, jako je vzor

X ( nejlépe kružítkem)

98 Planimetrie


Varianta A

V osové souměrnosti , vzdálenost S od osy je a) větší než r b) rovna r c)

menší než r, d) nulová.

Kolik bude samodružných bodů?

Příklad: a)

b) c) d)

Stačil zobrazit v osové souměrnosti střed kružnice, protože jde o shodné zobrazení, tedy

poloměr zůstává stejný.

Výsledek řešení:samodružných bodů a) 0, b) 1, c) 2, d) nekonečně

mnoho, kružnice se zobrazila sama na sebe = identita

Planimetrie 99

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Narýsuj libovolnou úsečku AB. .

Řeš.:

2) S P k S r l r P k

100 Planimetrie

3) Libovolný čtverec ABCD. . Popiš samodruhé body.

4) .

Planimetrie 101


Varianta B

Sestroj libovolný trojúhelník ABC a uvnitř něho bod M.

Příklad:


102 Planimetrie

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sestroj rovnostranný

.

Planimetrie 103

2) Sestroj libovolný pravidelný šestiúhelník a narýsuj jeho osy souměrnosti a středy

souměrnosti. Kolik jich je?

3) Sestroj libovolný lichoběžník KLMN ,

104 Planimetrie

4) , kde ABCD je čtverec o straně 4 cm

Planimetrie 105


Varianta C

Rovnostranný

Příklad:

Je nutné hned popisovat zobrazené body. Nejdříve se provede rotace a dostáváme jeho

obraz , poté se tento obraz stává vzorem pro středovou souměrnost podle bodu T a

dostáváme obraz:

106 Planimetrie

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení

Planimetrie 107


1) Pravidelný sedmiúhelník ABCDEF.

2) Libovolný nekonvexní pětiúhelník KLMNO.

108 Planimetrie

3) Obdélník ABCD:

4) Libovolný pětiúhelník ABCDE: ´

Planimetrie 109

Shodnost a podobnost útvarů

Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti

O shodnosti trojúhelníků lze rozhodnout podle těchto vět:

5. sss – jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.

6. sus – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou

shodné.

7. usu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k této straně

přilehlých, jsou shodné.

8. Ssu – Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu, který leží proti větší

z nich, jsou shodné.

Podobnost

Dva rovinné útvary jsou podobné, jestliže jsou si rovny poměry délek všech párů sobě

odpovídajících si úseček. Tento poměr podobnosti = k.

Jestliže

(shodnost je zvláštní případ podobnosti)

Podobnost trojúhelníků:

sss: Dva jsou si podobné, jsou-li rovny poměry délek každých dvou odpovídajících si

stran. podle věty sss.

uu: Dva jsou si podobné, shodují-li se ve dvou vnitřních úhlech (stačí uvádět ve dvou,

protože i třetí odpovídá shodnosti, je doplňkem do 180°). podle věty uu.

Sus: Dva jsou si podobné, shodují-li se v poměru délek dvou odpovídajících si stran a

v úhlu těmito stranami sevřeným. podle věty sus.

Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou si podobné, shodují-li se v úhlu při hlavním vrcholu

(sus).

Užití podobnosti k úpravě geometrických útvarů v daném poměru (jejich zmenšování

nebo zvětšování) nebo dělení úsečky v daném poměru:

110 Planimetrie

Danou úsečku AB, |AB|=4,6 cm upravte v poměru 5:3.

Sestrojíme pomocné rameno, na které naneseme stejně dlouhé dílky (obvykle 1cm).

Poměrk , tedy jde o zvětšení. Úsečka zvětší svoji délku

. My ale

nebudeme řešit početně, to může pouze sloužit pro kontrolu, ale graficky danou úsečku AB

upravíme (zvětšíme) na úsečku . Koncový bod úsečky(B) spojíme s koncem 3.dílu, z 5.

dílu uděláme rovnoběžku. Kde tato rovnoběžka protne prodlouženou úsečku AB , tam

dostaneme bod ,

Danou úsečku AB , rozdělte na dvě části,aby jejich délky byly v poměru 2:3 .

Planimetrie 111

Máme úsečku rozdělit na dva díly v poměru 2:3. Rozdělíme pomocné rameno na 5 stejných

dílků, aby se dobře zachoval poměr (2+3=5). První díl má být menší (musí být zachováno

pořadí čísel), tedy 2, druhý delší, tedy 3. Popíšeme body na pomocném rameni odpovídajícími

čísly odpovídajícími čísly. Celá úsečka AB je součtem jednotlivých členů poměru, Z 5ky

sestrojíme úsečku do koncového bodu zadané úsečky. A potom rovnoběžkou z 2ky dostaneme

bod (X), který zadanou úsečku dělí v daném poměru.

Libovolný zmenšete v poměru 1:4.

Zmenšíme v poměru jednu jeho stranu, v našem případě stranu KL , dostaneme bod L´.

Velikost úhlu se nemění, rovnoběžkou z bodu L´ se stranou LM dostaneme M´. Hledaný

trojúhelník je K´L´M´

112 Planimetrie


Varianta A

Libovolnou úsečku AB zmenši v poměru 1:5

Příklad:

Libovolnou úsečku AB zmenšit v poměru 1:5 znamená, že celá úsečka je 5 dílů stejně

dlouhých libovolně navolených na pomocném rameni, nová má být pětinou, tedy jedním

dílem. Pátý díl na pomocném rameni spojíme s koncovým bodem úsečky, 1-kou vedeme

potom rovnoběžku s touto spojnicí. Dostaneme B´. A´B´ je výsledná hledaná úsečka.


Planimetrie 113

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Trojúhelníky jsou si podobné. k = poměr podobnosti. Doplňte na

místo * :

a)

b)

2) a) Úsečku KL dlouhou 8cm upravte v poměru 3:4. Změřte výslednou úsečku

b) Úsečku AB dlouhou 12 cm rozděl na dvě části v poměru 2:7. Změřte její delší

díl.

3) Vyjmenujte aspoň tři rovinné útvary, které jsou podobné, aniž známe jejich

rozměry.

é

4) Úsečku AB upravte v poměru 3:1. Co jste zjistili o délce výsledné úsečky?

114 Planimetrie


Varianta B

Stín tyče dlouhé 1,5 m měří 4m. Jak vysoký je strom, jestliže je jeho stín dlouhý 18 m?

Příklad:

Jde o podobné trojúhelníky podle věty sus (délka stínu, pravý úhel mezi zemí a stromem nebo

tyčí, výška stromu nebo tyče).

Poměr podobnosti é

é

Výška stromu

Strom je vysoký 6,75 m.

Výsledek řešení: Strom je vysoký 6,75 m.

Planimetrie 115

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Ttrojúhelník ABC: Upravte v poměru 5:3. Kolikrát se

zvětší jeho obvod?

2) Pro délky úseček a, b platí : a:b = 3:5, a+b = 16 cm. Jaké jsou rozměry úseček?

3) Narýsujte obdélník ABCD, a=9cm, b= 4 cm. Sestrojte obdélník KLMN tak, aby poměr

úhlopříček AC:KM byl 3:2.

é

4) Silnice stoupá na každých 5 metrech o 80cm. Jaké bude převýšení po 254 m?

116 Planimetrie


Varianta C

Libovolnou úsečku AB rozděl na tři úsečky tak, aby se z nich dal sestrojit pravoúhlý

trojúhelník.

Příklad:

V pravoúhlém trojúhelníku je jeden z možných poměrů stran 3:4:5 (Pythagorejský ). Tímto

poměrem tedy rozdělíme naši úsečku. Koncový bod pomocného ramene, na němž jsou úsečky

v poměru 3:4:5 spojíme s koncovým bodem úsečky. Potom už jen rovnoběžkami z bodů na

pomocném rameni dostaneme body X a Y, které nám úsečku dělí v potřebném poměru.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Planimetrie 117

1) Ze dvou podobných trojúhelníků má první obvod 150 cm a druhý strany dlouhé 19

cm, 17 cm a 14 cm. Určete délky stran trojúhelníku prvního.

2) Dokažte, že obvody dvou podobných trojúhelníků mají týž poměr, jako délky stran

těchto trojúhelníků ležící proti shodným úhlům.

3) Úsečku dlouhou 13,2 cm rozdělte na 7 shodných dílů

é

4) Poměr podobnosti 1. a 2. Trojúhelníku je

, poměr podobnosti 1. a 3. Trojúhelníku je

Jaký je poměr podobnosti 1. a 2. ?

118 Planimetrie

Množiny bodů dané vlastnosti.

Vzdálenost bodu od přímky měříme na kolmici z bodu (X) k dané přímce p (je to tedy

nejkratší možná vzdálenost bodu od přímky ( ).

Osa úsečky (o)= množina bodů roviny, které mají od krajních bodů úsečky (A, B) stejnou

vzdálenost:

Rovnoběžka p1, p1 = množina bodů roviny, která má od dané přímky p vzdálenost rovnu a.

Pás = množina bodů roviny, která má od dané přímky p vzdálenost menší nebo rovnu a.

Planimetrie 119

Kružnice = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost rovnu r (obr.1).

Kruh = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r

(obr.2).

Obr.1 Obr.2

Mezikruží = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost větší nebo rovnu r2

a zároveň vzdálenost menší nebo rovnu r1.

120 Planimetrie

Osa úhlu, který má ramena na různoběžkách a, b a vrchol v jejich průsečíku V = množina

bodů roviny, které mají od různoběžek a, b stejnou vzdálenost.

Thaletova kružnice= množina všech vrcholů C pravoúhlých trojúhelníků sestrojených nad

přeponou AB (kromě bodů A,B).

Thaletova věta – Jestliže leží vrchol C na kružnici k s průměrem AB, potom je trojúhelník

ABC pravoúhlý s přeponou AB.

Planimetrie 121


122 Planimetrie

Planimetrie 123

Množiny bodů dané vlastnosti

Varianta A

Sestrojte množinu bodů, které mají od bodu P vzdálenost rovnu 2,5 cm.

Příklad:

Body, které mají od bodu P vzdálenost 2,5 cm leží

na kružnici se středem P a poloměrem 2,5 cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Určete množinu bodů, které mají od přímky f vzdálenost 4 cm.

2) Najděte 5 bodů, které mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky AB,

3) Máme úhel KLM, , najděte 4 body, které mají od ramen úhlu stejnou

vzdálenost.

4) Najděte 5 bodů, které mají od přímky p vzdálenost menší nebo rovnu 2,2 cm.


124 Planimetrie


Varianta B

Sestrojte množiny bodů, které mají od bodu S vzdálenost větší neš 3 cm.

Příklad:

Body, které mají od bodu S vzdálenost rovnu 3cm leží na , body, které mají od

S vzdálenost větší nebo rovnu této vzdálenosti, leží na této kružnici nebo vně. Na obrázku je

tato množina znázorněna zelenou barvou. Jedná se tedy o kružnici k a její vnější oblast.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Planimetrie 125


1) Určete množinu bodů, které mají od bodu A vzdálenost menší než 5 cm.

2) Určete množinu bodů, které mají od krajního bodu A úsečky AB vzdálenost větší než

od bodu B.

3) Určete množinu bodů, které mají od bodu M vzdálenost větší než 2cm a menší nebo

rovnu 4 cm.

4) Určete množinu bodů, které mají od přímky q vzdálenost větší jak 1,7 cm.

126 Planimetrie


Varianta C

Najděte všechny body, které mají od krajních bodů úsečky AB stejnou vzdálenost a zároveň

tvoří s body A, B vrcholy pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem u hledaného vrcholu.

Příklad:

Hledané body musí ležet na ose úsečky AB, aby měly od bodů A, B stejnou vzdálenost. Aby

hledaný bod byl vrcholem trojúhelníku s pravým vnitřním úhlem u tohoto vrcholu, musí ležet

na Thaletově kružnici s přeponou AB. Průnikem těchto dvou množin získáme hledané body.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: Úloha má dvě řešení, jedná se o body C1, C2:

k= Thaletova kružnice nad AB, o=osa AB

Planimetrie 127


1) Najděte body C, které mají od úsečky AB, vzdálenost 3cm a tvoří s body

A, B vrcholy pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem u bodu C. Rozeberte počet

řešení vzhledem k zadanému rozměru úsečky AB.

2) Najděte body, které mají od krajního bodu A úsečky AB, vzdálenost

3 cm a od středu této úsečky vzdálenost 4 cm.

3) Najděte body, které mají od krajního bodu A úsečky AB: vzdálenost

3cm a od této úsečky mají vzdálenost 4 cm.

4) Najděte body, které mají od různoběžek a,b stejnou vzdálenost rovnu 1 cm.

é é

128 Planimetrie

Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy

Při konstrukci rovinných útvarů využíváme množin bodů dané vlastnosti, jejich průniky.

Vždy je dobré si načrtnout rozbor úlohy, tedy udělat náčrtek a v něm zvýraznit zadané

hodnoty. Kvalitní náčrtek hodně napoví, jak úlohu řešit a i případná množství řešení.


Planimetrie 129


Varianta A

Sestroj , je-li dáno:

Příklad:

Konstrukci provádíme obvykle jen v jedné (zvolené) polorovině a to tak, aby byl zachován

směr popisu konstrukce-vrcholů-proti směru hodinových ručiček.

Rozbor: nečrtneme „od ruky“ a zaznamenáme zadané hodnoty (nejlépe barevně) a případné

množiny bodů dané vlastnosti, které nám konstrukci umožňují.

Popis konstrukce

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Závěr: Úloha má ve zvolené polorovině jedno řešení. splňuje trojúhelníkovou

nerovnost, jinak by úloha neměla řešení.

130 Planimetrie

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1) Sestroj

é

2) Sestroj

é

3) Sestroj rovnoběžník

é

4) Sestroj kosočtverec

é


Planimetrie 131


Varianta B

Sestroj

Příklad:

Rozbor: Začneme stranou BC. V dané konstrukci využijeme Thaletovu kružnici, protože u

hledaného vrcholu A je pravý úhel nad úsečkou BC. Dále využijeme množinu bodů, které

mají od úsečky BC vzdálenost rovnu 3cm, tedy rovnoběžku se stranou BC ve vzdálenosti

3cm. Opět si zvolíme jednu polorovinu a tedy sestrojíme tuto rovnoběžku pouze na jednu

stranu od BC tak, aby bod A splňoval s body BC správný směr popisu konstrukce.

Popis konstrukce:

………také se značí

132 Planimetrie

Závěr: Ve zvolené polorovině 2 řešení. Pokud by

bylo by ve zvolené polorovině 1

řešení, pokud by

, úloha by neměla řešení.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


Planimetrie 133


1) Sestroj

é

2) Sestroj

é

3) Sestroj lichoběžník ABCD:

é


é

134 Planimetrie


Varianta C

Dána kružnice Daným bodem P veď k dané kružnici tečny.

Příklad:

Tečna je přímka, která má s kružnicí 1 společný bod a je kolmá na její poloměr v bodě

dotyku. Tato kolmost napovídá, že budeme bod dotyku tečny s kružnicí hledat pomocí

Thaletovy kružnice nad SP.

Popis konstrukce:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Závěr: 2 tečny, pokud by pokud .

Planimetrie 135

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C



é


3) Sestroj konvexní čtyřúhelník ABCD:

4) Sestroj

é


Documents

PLANIMETRIE SHODNOST A PODOBNOSTstudent21.gjwprostejov.cz/uploads/NG04Planimetrie.pdfJednotky délky: Milimetr, centimetr, decimetr, metr-vedlejší jednotky mají mezi sebou jedno