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VO Planetologie 06.12.2005. Planetare (geothermale) Wärmetransportprozesse und deren mathematische Beschreibung. J. J. Leitner. Autor: Leitner J. J. Planetare Wärmequellen – Allgemein:. ursprüngliche Wärme: Wärmemenge am Anfang der - PowerPoint PPT Presentation
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Planetare (geothermale)Planetare (geothermale)WärmetransportprozesseWärmetransportprozesse
und deren mathematische Beschreibung
VO Planetologie06.12.2005
Autor: Leitner J. J.
J. J. Leitner
Planetare Wärmequellen – Allgemein:Planetare Wärmequellen – Allgemein:
ursprüngliche Wärme: Wärmemenge am Anfang der Planetengeschichte (durch Impakte von Protoplaneten und durch Bildung eines Kerns)
radioaktiver Zerfall von Elementen im Mantel: U235 Pb207 U238 Pb206
Th232 Pb208 K40 Ca40
andere Wärmequellen: -) Reibungswärme durch Konvektion
-) latente Wärme bei Phasenübergängen-) Gravitationswärme durch laufende Differenzierung-) Umwandlungswärme durch Kristallisation des inneren Kerns
Planetare Wärmequellen – Beispiel Erde:Planetare Wärmequellen – Beispiel Erde:
Oberflächenwärmeverlust: 4.43 x 1013 W ~ 87 mW m-2
(ozean. Kruste: 101 ± 2.2, kont. Kruste: 65 ± 1.6, ozean. Rücken ~ 400, Subduktionszonen ~35 mW m-2)
Wärmefluss Kern Mantel: 3.6 x 1012 W ~ 8 % Kühlen des Kerns: 2.6 x 1012 W Kristallisationswärme: 0.34 x 1012 W Gravitationswärme: 0.66 x 1012 W
Beitrag durch radioakt. Zerfall (Mantel): 2.4 x 1013 W ~ 55 %
~ 92 % der Wärme wird direkt im Mantel erzeugt
Übersicht Wärmetransportmechanismen:Übersicht Wärmetransportmechanismen:
MechanismusMechanismus BeschreibungBeschreibung KontinuumKontinuumWärmeleitung= Konduktion= Wärmediffusion
kinetische Energie wird zw. benachbarten Molekülen in Richtung des negativen Temp.- gradienten übertragen
Fluid,Festkörper
Wärmeströmung= Konvektion
transportiert eigentlich keine Wärme, sondern innere Energie
Fluid,hochplastischeFestkörper
Wärmestrahlung= Temp.strahlung
Energietransport mittels elm. Wellen, welche ein Körper in Abhängigkeit von seiner Temperatur emittiert (0.1 μm < λ < 1000 μm)
kein Kontinuum erforderlich
mat
erie
gebu
nden
nich
t m
ater
iege
bund
en
(1) Wärmestrahlung:(1) Wärmestrahlung:
Stefan-Boltzmann-Gesetz:Stefan-Boltzmann-Gesetz:
für schwarze Körper gilt: (ε = α = 1; Kirchhoffsches Strahlungsgesetz)
für graue Körper gilt: wegen ε(T) ist P nicht mehr streng proportional zu T4
für reale Körper müssen ε und α experimentell bestimmt werden ((ε ≠ α ≠ 1)
P … Strahlungsleistung [W m-2]A … FlächeT … Temperaturσ … Stefan-Boltzmann-Konstanteε … Emissionsgradα … Absorptionsgrad
4)( ATTP
4ATP
(1) Wärmestrahlung:(1) Wärmestrahlung:
Wiensches Verschiebungsgesetz:Wiensches Verschiebungsgesetz:(Zusammenhang zw. Temperatur eines schwarzenKörpers und der Wellenlänge seiner Strahlung)
Plancksches Strahlungsgesetz:Plancksches Strahlungsgesetz:(für schwarze Körper, im Vakuum)
K μm 0051.07685.2897max T
112),( /2
3
kThec
hTL
112),( /5
3
kThce
hTL
L … spektrale Strahldichte [W m-3]h … plancksche Wirkungsquantumν … Frequenzλ … Wellenlängec … Lichtgeschwindigkeitk … Boltzmannkonstanten … Brechungsindex des Mediums
Medium:
n
ncc
(1) Wärmestrahlung:(1) Wärmestrahlung:
Bedeutung für die Geothermik:Bedeutung für die Geothermik:
316 32 Tn
r
MineralMineral Brechungsindex nBrechungsindex n11
Olivin (Forsterit, Mg2SiO4)
Olivin (Fayalit, Fe2SiO4)
1.636 – 1.7721.731 – 1.875
Quarz (SiO) 1.54
Feldspatvertreter (= Foide) 1.52 – 1.58
37107.8 T
r
I … Intensität der Strahlungκ … Absorptionskoeffizientε … Emissionskoeffizientn … Brechungsindexα …Opazität (Abschwächung)
1 Ahrens J., 1995
n ~ 1.7
I
dxdIStrahlungstransportgleichung:
(vereinfacht, 1D)
Strahlungsleitfähigkeit::
(1) Wärmestrahlung:(1) Wärmestrahlung:
xeII 0in opakem Medium gilt:
Druck im Planeteninneren bewirkt eine Kompression der e- Bahnen benachbarte Orbitale überlagern sich es kommt zu intraorbitalen Ladungstransfers der Absorptionskoeffizient erhöht sich mit steigenden Druck erhöhte Opazität blockiert Transport durch Wärmestrahlung
für T ~ 103 K gilt:(unterer Mantel, Erde) 000087.0107.8
37
Tr
Bedeutung für die Geothermik:Bedeutung für die Geothermik:
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
Gesetz von Fourier (= Wärmeleitungsgleichung, 3D):Gesetz von Fourier (= Wärmeleitungsgleichung, 3D):
),(),(),( trTtrTCk
ttrT
P
k … Wärmeleitfähigkeitt … ZeitT … Temperaturρ … DichteCP … spezifische Wärme(kapazität)κ … thermische Leitfähigkeit, Temperaturleitfähigkeit, Temperaturleitzahlz
trTytrT
xtrTT 2
2
2
2
2
2 ),(),(),(
wobei:
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
Wärmeleitung in Festkörpern: 2 Prozesse:Wärmeleitung in Festkörpern: 2 Prozesse:
Gitterleitung (Phononen = Quasiteilchen zur Beschreibungvon quantisierten Gitterschwingungen, delokalisiert, zählen zu den Bosonen),tritt hauptsächlich in Nichtmetallen auf
elektronischer Beitrag (Elektronen) Transport durchFluss freier Elektronen,tritt hauptsächlich in Metallen auf
Bei Wärmetransport ausschließlich durch Konduktion,treten keine Wirbel auf.
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
PCk
1)( bTak
sowohl k als auch CP stark temperaturabhänigig
Betrachten: Wärmeleitfähigkeit Betrachten: Wärmeleitfähigkeit kk::
allgemein gilt:
für die meisten Mantelmineralien bei hohen Temp.: (elektrisch nicht leitend) (Lee D. W. et al., 1960)
es gilt: k(Λ) (Λ … mittlere freie Weglänge) tiefe Temp.: C dominiert Λ ~ const k ~ T3
hohen Temp.: C ~ const Λ ~ k ~ T-1
a, b … Materialkonstante unter Berücksichtigung von Phononenstreuungen durch Verunreinigungen und Phonon-Phonon WechselwirkungenpN, TN … Druck, Temp. bei Normalbeding. (1 bar, 293 K)λkT, λkp …Materialparameter
N
Nkp
N
NkT
N ppp
TTT
kk
1
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
RCV 3
2/
/2
1
3
kThv
kThvA
Ve
ekThvkN
C
Gesetz von Dulong-Petit: (nur bei hohen Temp. und einfacher Kristallstruktur; Maxwell-Boltzmann Statistik)
Einstein Modell: (bei hohen Temp. geht es in Dulong-Petit über; Einstein-Bose Statistik)
Debye Modell: (auch für niedrigere Temp. geeignet, Phononen-Modell)
334
512 T
TTkNCD
AV
khvT D
D
Betrachten: Spezifische Wärme Betrachten: Spezifische Wärme CC:: R … allgemeine GaskonstanteNA … Avogadro-Konstantev … Frequenz des harm. Osz.TD … Debye TemperaturvD … Debye Frequenz (Phonon)EF … Fermi Energie
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
Einstein-Debye Modell: (auch für Metalle, Phononen und Elektronen Beitrag)
33
422
512
2T
TkNT
EkNC
D
A
F
AV
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
Geospezifische Modelle für die spezifische Wärme:Geospezifische Modelle für die spezifische Wärme:
>1500 K: Fei-Saxena Modell (Amthauer G. et al., 1979):
298–1500 K: Maier-Kelley Modell (Daniels J. M., 1981):
22/1 DTCTBTACP
PP CBTATkTkTknRC 33
22
1113
Abb: CP von Mg2SiO4 (Forsterite) Rohlf J. W., 1994
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
Allgemeine Beziehungen:
VV
PP
dTEC
dTHC
2
TVCC VP
für Festkörper ist CP relativ unabhängig vom Druck p, aber stark abhängig von der Temperatur T
V … Molarvolumenα … thermischer Ausdehnungskoeffizient (= 1/V)β … Kompressibilität (= - 1/V)H … Enthalpie
00 PCT :gilt es
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
Bedeutung für die Geothermik:Bedeutung für die Geothermik:
22
PCk τ … charakteristische Zeitskala
ℓ … charakteristische Länge
Leitner J. J., 2005
tägliche Temp.schwank.: ℓ = 30 cmjährliche Temp.schwank.: ℓ = 5 meiszeitliche Schwank.: ℓ = 1 km
4 Gyr ℓ = 350 km
Wärmeleitung als Transport-mech.nur für Kruste und Lithosphäre von Bedeutung
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
Anwendung – Abschätzung Oberflächenwärmeverlust:Anwendung – Abschätzung Oberflächenwärmeverlust:
1. Modell: -) isotrope Verteilung radioakt. Elemente -) keine sekularen Kühlungsprozesse -) Basisfluss = 0
2. Modell: -) wie oben -) ozeanische Kruste CCCS yHq
tkTCq PCS
1
1 Turcotte D. L., 19952 Harrison C. G. A., 19823 Leitner J. J., Firneis M. G., 2005
qs … Oberflächenwärmeflussρc … mittlere KrustendichteHc … Wärmeproduktionsrate (Kruste)k … thermische Leitfähigkeitt … Krustenalter
2
tq
tq
S
S
28.7
3.11
:Venus
:Erde3
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
Leitner J. J., 2005
(2) Wärmeleitung:(2) Wärmeleitung:
3. Modell:3. Modell: Wärmefluss in alter (kontinentaler) Kruste:
t
ak
akT
akTqS 2
2
exp2 a … Lithosphährendicke
Leitner J. J., 2005 Leitner J. J., 2005
(3) Konvektion:(3) Konvektion:
2 Subtypen:2 Subtypen:
freie Konvektion: Konvektion wird durch einen Temp.-gradienten bewirkt, welcher eineStrömung induziert
erzwungene Konvektion: durch eine von außen wirksame Kraft
(3) Konvektion:(3) Konvektion:
Grundgleichungen:
Wärmeleitungsgleichung (ergibt sich aus Fourier-Glg. durch Adaption auf ein sich bewegendes Fluidteilchen):
Navier-Stokes-Gleichung (für ein Newtonsches Fluid = Viskosität konstant, inkompressibel):
TTvtT
dtdT
grad
gvvpvvtv
gradgrad
1
Temp.änderung Teilchen Temp.änderung am Referenzpunkt
Wärmetransport assoziert mit Strömung d. Teilchens Strömungsgeschwind. v
beschreibt Zusammenhang zw. Druckkräften und der Dichte
(3) Konvektion:(3) Konvektion:
Modell: betrachten: 2 unendlich ausgedehnte vertikale Platten mit verschiedenen konst. Temperaturen T1 und T2
axTTxT 0)(
1221
0 2TTTTTT
und mit
stationäre Lösung derWärmeleitungsglg. ohneStrömung:
Temp. Verteilung mit horizontalen Gradienten
(3) Konvektion:(3) Konvektion:
Annahme: inkompressibles Fluid (d.h. Dichte ρ des Fluids nur von Temp. T, nicht aber von Druck p abhängig
axTTxTxx 0000 )(1)()(
Isochoren (Flächen konstanter Dichte) sind vertikal
Isobare sind horizontal
ist das Fluid anfänglich in Ruhe (v = 0): gp 0 grad
ohne Beweis sei festgestellt: Isobare ≠ Isochore→ Wirbelbildung (Entstehung einer Rückströmung)
(3) Konvektion:(3) Konvektion:
Allgemein gilt: es kann kein hydrostatisches Gleichgewichtfür ein Fluid in einem Schwerefeld geben, wenn ein Temp.-Gradient mit einer horizontalen Komponente vorhanden ist
Untersuchung der Fluidströmung:Annahme: stationärer Bereich der Navier-Stokes Glg. erreicht
unter Ausnutzung der Translationsinvarianz der Strömung iny- und z-Richtung parallel zu der Oberfläche der Platten (d.h.(Geschwind.feld v hängt nur von x ab, Inkompressibilitäts-bedingung div v = 0 reduziert sich auf ∂vx/∂x = 0, aus Rand-bedingung v → 0 an den Wänden folgt vx = 0), liefert eineProjektion der N-S-Glg. auf die vertikale Achse:
2
2
)(10
xv
vgyp
xy
(3) Konvektion:(3) Konvektion:
gTpg 0
auf jedes Fluidteilchen wirkt also eine zusätzliche Gegenkraft:
weitere Annahmen: kein äußerer Druckgradient vertikaler Druckgradient ∂p/ ∂y reduziert sich auf hydrostatischen Druck bei fehlender Strömung (= grad p0=ρ0g)
mit Randbedingung
46
22 ax
vaTxgvy
02
axv y
(3) Konvektion:(3) Konvektion:
Durch Anlegen eines Temperaturgradienten kann es zustabilen und instabilen Gleichgewichtszuständen kommen.
Geht man langsam über Schwelle, an der Instabilität auftritt, hinaus, so beginnt das System chaotisch zu werden.
Hydrodynamische Instabilitäten:Hydrodynamische Instabilitäten:
Instabilität (Beispiele)Instabilität (Beispiele) KontrollparameterKontrollparameter
Rayleigh-Bénardsche Gradient der Temperatur
Taylor-Couettesche Gradient der Zentrifugalkraft
Bénard-Marangonische Gradient der Oberflächenspannung
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Betrachten: von unten erwärmtes Fluid, Teilchen geringererDichte befinden sich unter denjenigen größerer Dichte Fluidbewegung (Auftrieb) setzt ein, wenn ΔT einen Grenzwert (Instabilitätsschwelle) überschreitet (ΔT = ΔTc) es bilden sich Konvektionszellen ΔT >> ΔTc → chaotisches Verhalten
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Voraussetzung für Instabilität:Voraussetzung für Instabilität:
eitLeitfähigk rthermischet Viskositäherkinematisc lPrandtlzah
Pr
qualitative Analysen fordern: Pr >> 1
Kriterium für die Instabilität:Kriterium für die Instabilität:
Betrachten: kugelförmiges Teilchen mit Radius R mitGeschwind. v (nach oben gerichtet)
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
aTRvAT
vyaTRAv
yTyT
RA
2
00
2
2
A … geometrische KonstanteδT … Temp.differenz, die das Teilchen im Verhältnis zu seiner Umgebung gewinntτ … charakteristische Zeitskala für δT δρ … Dichtedifferenz zum umgebenden Fluidδy … Länge, die sich Teilchen während τ verschiebt
es gilt:
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
auf Kugel wirkt also eine auftreibende Kraft Fa:
aTRgvAgRFa
5
03
34
34
RFvisk 6
Geschwind. v nimmt zu, wenn: Fa > Fvisk
Fvisk = viskose Abbremsung nach Stoke‘schen Formel
RvaTRgvA
6
34 5
0
ή … Viskosität
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Stabilitätsbedingung:Stabilitätsbedingung:Je größer die räumliche Ausdehnung der Störung ist,desto stärker ist die Instabilität.
Annahme: maximale Ausdehnung R = a/2
CRaZahl-RayleighRa
AvTga 723
Stabilitätsanalysen für ein Fluid zwischen 2 festen Plattenhaben gezeigt: Ra = 1708
v … kinematische Viskosität
Vgl.: Erdmantel: Ra ~ 2 x 109 >> 1708
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
2D Lösung der R-B Instabilität:2D Lösung der R-B Instabilität:
Annahme: unendlich ausgedehnte Fluidschicht
Ansatz: a
kkxtvtxv yy
mit cos)(),( 0
kreisförmigerQuerschnitt mit Durchmesser a
nur eine Näherung, welche nicht den Randbeding. bei y = ± a/2 genügt
für vertikalen Geschwind.- und Wärmetransport gilt:
TyTv
yT
gypvv
yv
vtv
y
yy
yy
1
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Lösungen für obige Gleichungen:
aTv
t
gvvtv
gyp
y
yy
02
0
Formulierung der R-B Instabilität fürkleine Störungen
BOUSSINESQSCHE Approximation Temp.abhängigkeit aller beteiligten Stoffwerte vernachlässigt, insbesondere auch Temp.abhängigkeit der Dichte, ausserhalb des Auftriebterms (wird durch linearen Term approximiert
unter Ausnützungder
Beispiel für Konvektion von unten geheizt:Beispiel für Konvektion von unten geheizt:
Boden zunächst kalt wird plötzlich auf konstant heißeTemperatur gebracht Störung wirft die Strömung an es bildet sich ein heißer Plume aufsteigenden Materials weitere Plumes entstehen kalte Plumes bilden sich an Oberfläche und sinken nach unten
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Beispiel für Konvektion von innen geheizt:Beispiel für Konvektion von innen geheizt:
Es bildet sich eine kalte Grenzschicht an Oberfläche kalte Plumes bilden sich aus und sinken in das Innereab keine heißen Plumes am Boden Aufströmungin weiten Bereichen zwischen den abströmenden Tropfen
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Beispiel für Konvektion von unten (schwächer) und innenBeispiel für Konvektion von unten (schwächer) und innengeheizt:geheizt:
Sinkende Plumes dominieren, aber auch schwächereaufsteigende Plumes kann man beobachtenWAHRSCHEINLICHSTES MODELL FÜR ERDMANTEL
(3) Konvektion - (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
(3) Konvektion:(3) Konvektion:
Die große Streitfrage:Die große Streitfrage:
whole-mantle convectionversus
layered convection
Peltier W. R. et al., 1982
(3) Konvektion:(3) Konvektion:
es gilt:
Die große Streitfrage:Die große Streitfrage:
)( p
früher: keine Konvektion im unteren Mantel, wegenZunahme der Viskosität mit dem Druck
heute: Viskosität (Ra-Zahl) ist superkritisch
Konvektionsmodell für ganzen Mantel gesichertKontroverse über whole- oder layered Konvektion(mit einer thermischen Übergangszone)
(3) Konvektion – Taylor-Couette I(3) Konvektion – Taylor-Couette Instabilität:nstabilität:
Modell:
ein kleiner Zylinder wird in einengrößeren fluidhaltigen Zylinder gedreht Fluid wird in Bewegung versetzt
v0 nimmt nach außen hin ab Fz auf Teilchen von außen nach innen zu
rmvFZ
20
Entstehung einer instabilen Schichtung
wenn f ≥ fkrit → Fz > innere Reibung des Fluids kleine Störungen (Zylinderrand) verursachen Wirbelbildung
Ω … Winkelgeschwind.f … Drehzahl
(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität::
auch als Marangoni Effekt bezeichnet
tritt auf wenn die untere Seite eines Fluids erwärmt wird(das obere Ende bleibt frei)
Ursache: Kräfte an der freien Oberfläche, die durchGradienten der Oberflächenspannung γ induziert werden
oberhalb von ΔTc erscheinen hexagonale Strömungszellen zw. dem Boden der Fluidschicht und der freien Oberfläche
Mechanismus: an Punkt der Oberfläche ist die Temp. auf einen Wert T + Θ erhöht
erhöhte Temp. verursacht Änderung von γ Fluid wird radial aus wärmeren Bereich nach außen getrieben Massenerhaltung (wärmeres Fluid von unten steigt auf) eruptiver Marangoni-Effekt
(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität::
Jäger C., 1996
(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität::
eruptiver Marangoni-Effekt:eruptiver Marangoni-Effekt:
Jäger C., 1996
(3) Zusammenfassung: hydrodynamische Instabilitäten:(3) Zusammenfassung: hydrodynamische Instabilitäten:
2
32
vRa
Ta
Instabilität Rayleigh-Bénardsche
Taylor-Couettesche
Bénard-Marangonische
Kontrollparameter Auftrieb Zentrifugalkraft Oberflächenspannung
charakteristischer Parameter
kritischer Wert 1708 1712 80
vTga3
Ra
TadTd
Ma
2ga
MaRa
beschreibt Bedeutung des Auftriebs und diedurch Temp.schwankungen induzierte Ober-Flächenspannung (dünne Schichte: γ, dicke Schichten: T)
Literatur:Literatur:Ahrens J., 1995, AGU Referene Shell 2 – Mineral Physics and CristallographyAmthauer G. et al., 1979, J. Chem. Phys., Vol. 70, Nr. 11, p. 4837 – 4842Daniels J. M., 1981, Can. J. Phys., Vol. 59, p. 182 – 184Jäger C., 1996, Untersuchungen einer kohärenten Marangoni-Bénard-Konv.zelle,
Diplomarbeit, Inst. Experimentalphysik, Univ. AachenLee D. W., Kingery W. D., 1960, J. Amer. Ceram. Soc., Vol. 43Leitner J. J., 2005, Heat Transport Mechanisms through the Venusian
Lithosphere, Diplomarbeit, Inst. f. Astronomie, Univ. WienLeitner J. J., Firneis M. G., 2005, Geophysical Research Abstracts, Vol. 7Peltier W. R. et al., 1982, Phys. Earth Plan. Int., Vol. 29, p. 281 - 304Rohlf J. W., 1994, Modern Physics from A to Z, Wiley Verlag
weitere Literaturtips:Ibach, Lüth: Festkörperphysik, Springer VerlagGuyon, Hulin, Petet: Hydrodynamik, Vieweg VerlagHerwig: Wärmeübertragung A – Z, Springer VerlagTurner: Buoyancy effects in fluids, Cambridge University PressLandau, Lifschitz: Lehrbuch der theoret. Physik VI – Hydrodynamik, Akademie VerlagTurcotte, Schubert: Geodynamics, Cambridge University Press