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“Sistemas lineales” Planeación didáctica del tema
Tópicos SISTEMAS LINEALES
Temas Métodos directos: Gauss-Jordan, Máximo elemento pivote, valores y
vectores característicos.
Métodos indirectos: Jacobi y Gauss- Seidel
Objetivos
específicos
Proponer solución al modelo matemático generado, como un sistema de
ecuaciones simultáneas.
Tomar decisiones sobre la elección entre métodos directos e indirectos
para sistemas de ecuaciones lineales.
Implementar el método de Gauss-Jordan, el de Jacobi y el de Gauss- Seidel.
Programar y/o usar un software para la resolución de problemas.
Interpretar los resultados y el concepto de error en el contexto del
problema.
Niveles de
comprensión
Niveles Evidencia de aprendizaje
1. Reproducción
de conocimiento
Reproduce el concepto de linealidad al distinguir si
una representación puede ser definida como un
modelo matemático de sistemas lineales.
Evidencia de aprendizaje 2.1a, 2.1b, 2.1c, 2.1d
2. Realización de
procesos
mentales para
convertir datos a
información
Distingue variables y explica qué representan en un
sistema de ecuaciones lineales.
Aplica procedimientos de métodos directos e
indirectos.
Evidencia de aprendizaje 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6
3. Desarrollo de
un plan o una
secuencia de
pasos lógicos
Explica y relaciona ideas en una situación real y
compleja.
Desarrollar un modelo matemático básico que
muestra cómo funciona un fenómeno.
Soluciona un problema y justifica una solución con
argumentos lógicos.
Realiza un análisis de sensibilidad, bajo un conjunto
dado de suposiciones.
Evidencia de aprendizaje 2.7, 2.8
4. Pensamiento
matemático
(razonamiento
y abstracción)
Escribe el código fuente y presenta el ejecutable-
Ingeniería en Computación.
Evidencia de aprendizaje 2.9
Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, Eléctrica-
Electrónica: Sintetiza ideas en nuevas
representaciones (elaborar un pseudocódigo,
diagrama de flujo y programa en código, escribir un
ensayo).
2
Evidencia de aprendizaje 2.9
Recursos
digitales:
Ejecutables elaborados por integrante proyecto PAPIME
Gauss- Jordan
Máximo elemento pivote
Jacobi
Gauss-Seidel
Video elaborado para el proyecto:
https://youtu.be/tOdr0I-rAdM
De apoyo:
https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU
http://proyectodescartes.org/ingenieria/algebra_lineal.htm
https://matrix.reshish.com/es/|gauss-jordanElimination.php
http://setosa.io/ev/eigenvectors-and-eigenvalues/
Test de
reposición
Ponte a prueba
Tema para
participación
en foro
Opcional: Diseñar un screencast en el que se muestre tu propuesta de
enseñanza de un método mediado por tecnologías digitales.
Encuesta de
satisfacción
Preguntas de reflexión
Referencias
bibliográficas
- Anton H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Limusa, México.
- Chapra S.C. & Canale R.P. (2010). Numerical Methods for Engineers.
McGraw Hill, U.S.
- Forsythe A., Keenan T., Organick R., Stenberg W. (1973). Lenguajes de
diagramas de flujo. Técnicas de Computación. Limusa, México.
- Golovina. (1974). Álgebra Lineal y algunas de sus aplicaciones. Moscú:
Mir.
- Grossman S.I. & Flores Godoy J.J. (2013). Álgebra Lineal. McGraw Hill.
México
- Kharab A. & Guenther R.B. (2012). An Introduction to Numerical Methods.
A MATLAB Approach. Taylor & Francis Group, U.S.
- Nieves Hurtado A. & Domínguez Sánchez F.C. (2014). Métodos Numéricos
Aplicados a la Ingeniería. Grupo Editorial Patria. México.
3
Contenido
Presentación 4
Objetivos específicos 5
¿Qué vas a aprender? 5
Lo que debes saber antes de comenzar 7
Autoevaluación diagnóstica 8
Investiga y define 8
NIVEL 1 10
¿En qué situaciones se emplean modelos matemáticos de sistemas de ecuaciones
lineales? 11
¿Qué pasa si…? 11
Actividades de aprendizaje 13
NIVEL 2 13
Modelo matemático de sistemas de ecuaciones lineales 14
Actividades de aprendizaje 18
Métodos directos e indirectos 20
Método de Gauss- Jordan 24
Actividades de aprendizaje 29
Método de Jacobi 30
Método de Gauss- Seidel 34
Actividades aprendizaje 39
Foro de discusión 40
NIVEL 3 40
Ejemplos de aplicación 41
Actividades aprendizaje 47
NIVEL 4 53
Antes del proyecto 53
Eigenvalores y eigenvectores 56
Actividades aprendizaje 59
Ponte a prueba 60
Test de reposición 60
Preguntas de reflexión 62
Rúbricas de evaluación 63
Nota: Los ejercicios mostrados en este documento se pueden resolver cualquier
paquete informático (MAPLE, MATLAB, Geogebra,…), o lenguaje formal de
programación (Visual Basic, Lenguaje C, Python,…). En este documento, los ejemplos se
presentan en Excel debido a su accesibilidad.
4
Existen diversos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Su elección
depende de la propia complejidad del sistema, o sea, del número de ecuaciones, del
número de incógnitas, de los componentes que conforman al sistema, y en general, de
los atributos del sistema en consideración.
Los sistemas lineales que normalmente se trabajan en el aula son de dos o tres
ecuaciones con dos o tres incógnitas, respectivamente, que se suelen resolver por
medio de los llamados métodos de sustitución, igualación y suma/resta.
Estos métodos pierden eficacia a medida que va aumentando el número de ecuaciones
y de incógnitas. Aunado a lo anterior, se sabe que muchos fenómenos del desempeño
profesional del ingeniero, se plantean como ecuaciones y sistemas de ecuaciones con
más de tres ecuaciones y tres incógnitas, de aquí la importancia, primero, de hacer el
modelo matemático representativo del fenómeno, y después, tomar la decisión del
método numérico más adecuado para alcanzar la solución y su interpretación.
El propósito educativo del presente documento, es el de presentar el estudio de los
métodos numéricos fundamentales de resolución y discusión de los sistemas lineales;
un método clásico directo, el de Gauss-Jordan, en el cual se encuentra una solución
mediante un algoritmo finito, mientras que los métodos indirectos, tales como el Jacobi
y el de Gauss- Seidel se construyen en una sucesión que converge hacia la solución,
deteniéndose cuando la precisión está dentro de los límites de una tolerancia
preestablecida.
El texto está organizado por niveles de aprendizaje, del uno al cuatro, en donde se
entremezclan cápsulas explicativas sobre la naturaleza de los sistemas lineales con la
presentación de solución de problemas, paso a paso, que se describen con modelos
matemáticos, principalmente, aquellos que se presentan en el desempeño profesional.
Consecuentemente, en cada nivel, existen actividades de aprendizaje interactivas que
coadyuvan al desarrollo de habilidades de razonamiento matemático y estrategias de
solución en un entorno de ingeniería, con ejercicios, ligas a sitios de internet e incluso,
se proporciona software didáctico, para hacer más significativo y efectivo el
aprendizaje.
Presentación
5
Cada nivel tiene un propósito, tal es el caso que el nivel 1, está referido a la adquisición
del conocimiento. En este nivel el estudiante requiere recordar sus conocimientos
previos y ubicar en forma concreta fenómenos proclives a ser tratados con Métodos
Numéricos. El nivel 2 trata del uso de conceptos y habilidades cognitivas que permitan
la aplicación de métodos de solución para los sistemas lineales.
El nivel 3, tiene una orientación estratégica para razonar acerca de los algoritmos, y
para tomar decisiones en la solución de problemas, es un nivel de análisis y síntesis.
Finalmente, el nivel 4, va hacia el diseño, tiene una orientación en la que el estudiante
use lo que ha aprendido, no solo en la asignatura de Métodos Numéricos, también en
otros contextos académicos y externos, que se refleje en su creación.
Las actividades aquí presentes constituyen un apoyo a la docencia, cuyo diseño también
favorece el trabajo colaborativo en un intento de emular el futuro profesional y, por
tanto, conduzcan a que el estudiante valore la importancia del conocimiento y su
comportamiento ético y profesional.
Los objetivos específicos de esta sección son:
a. Proponer solución al modelo matemático generado, como un sistema de
ecuaciones lineales simultáneas.
b. Tomar decisiones sobre la elección entre métodos directos e indirectos.
c. Implementar el método de Gauss-Jordan, el de Jacobi y el de Gauss- Seidel.
d. Programar y/o usar un software para la resolución de problemas numéricos.
e. Interpretar los resultados y el concepto de error en el contexto del problema.
¿Qué vas a aprender?
A continuación, te ayudamos a comprender los objetivos.
El planteamiento de un problema requiere de estructurar información. Para ello, se
requieren identificar variables que están presentes en el problema/ proceso/
fenómeno, y después distinguir de entre esas variables, cuáles son conocidas y cuáles
desconocidas, e incluso, la relación entre todas variables.
Objetivos específicos
6
Un modelo matemático es una representación ideal y cuantitativa de un sistema y/o
un fenómeno, en el cual se muestran relaciones predominantes entre sus componentes.
Un modelo matemático se compone de parámetros (objetos/ símbolos que representan
atributos del sistema y que permanecen constantes durante el estudio), variables
(objetos/ símbolos que cambian en el tiempo durante el estudio) y relaciones
funcionales (describen la forma en cómo cambian las variables y cómo afectan a los
parámetros).
El modelo matemático de un sistema de ecuaciones lineales se representa así:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑏3
Este sistema está conformado por tres ecuaciones (un modelo de ecuaciones lineales
puede ser de n ecuaciones), con tres incógnitas 𝑥𝑖 (variables expresadas a la primera
potencia) y con parámetros de la forma 𝑎𝑖𝑗 .
Una forma compacta de reescribir al modelo matemático es de la forma matricial
𝐴𝑥 = 𝑏
Donde, se le llama matriz de coeficientes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗], i representa el renglón/fila, y j
representa la columna.
𝑥 = [𝑥𝑖], es el vector solución que debe determinarse y 𝑏 = [𝑏𝑖] es el vector de términos
independientes.
En general, los métodos que resuelven modelos de sistemas lineales se clasifican en dos
tipos: directos e indirectos.
En un método directo se obtiene un número fijo de pasos que no están sujetos a errores
por iteraciones, aunque sí por cálculos aritméticos. Entre los más importantes se
encuentran: eliminación gaussiana, máximo elemento pivote, descomposición LU, por
inversa de la matriz, Gauss- Jordan y descomposición de Cholesky.
Los métodos indirectos también llamados métodos iterativos son muy útiles en sistemas
lineales mayores de orden 15 (o sea, n=15 renglones i*15 columnas j).
Están estructurados en la forma simbólica:
𝑦1 = 𝑦0 + ∆𝑦0
7
𝑦2 = 𝑦1 + ∆𝑦1
…
𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + ∆𝑦𝑛−1
El valor actual es igual, al valor anterior más un incremento que depende del
procedimiento en cuestión.
En estos métodos se realizan iteraciones para aproximarse a la solución de 𝑥 = [𝑥𝑖],
aprovechando las características de la matriz de coeficientes A, y tratando de usar un
menor número de pasos que en un método directo. Algunos de los métodos más
conocidos son Jacobi, Gauss-Seidel y sobrerrelajaciones sucesivas (SOR).
Los métodos indirectos aceleran la convergencia hacia una solución, aunque se asocian
al concepto de error por las operaciones que conllevan cocientes entre elementos 𝑎𝑖𝑗
de la matriz y 𝑎𝑖𝑖 de la diagonal principal, esto especialmente, cuando 𝑎𝑖𝑖 es
relativamente pequeño con respecto 𝑎𝑖𝑗 .
Un tema adicional a los métodos directos e indirectos, es el estudio de los valores
propios o eigenvalores, que sirven para valorar la estabilidad del modelo matemático,
mediante la asociación de un polinomio a la matriz de coeficientes A, que
necesariamente debe ser cuadrada. Las raíces del polinomio, representación de A,
definen justamente los valores propios.
¿Qué hacer cuando se tiene un sistema de ecuaciones de dimensión alta? Por ejemplo,
un sistema de 100𝑥100, o mayor. Desde esta perspectiva, los métodos tradicionales
para la solución de problemas de este tipo, como cálculo de las incógnitas o inversión
de una matriz, pierden sentido, por el número de operaciones, la velocidad del cálculo
y el error. Por ello, programar y/o usar software es una herramienta que no solo
favorece la realización de miles de operaciones, también favorece la alfabetización
digital, y más aún, desarrolla habilidades de razonamiento lógico, ya que pensar en
métodos numéricos implica también, pensar en algoritmos computacionales.
La solución de sistemas de ecuaciones lineales es un tema clásico de las matemáticas,
con bases conceptuales en la Teoría de Matrices que comprende la ortogonalización de
vectores, la existencia y unicidad de las soluciones.
Lo que deber saber antes de comenzar
8
Los sistemas de ecuaciones lineales son usados para representar problemas físicos que
involucran la relación entre varias propiedades. Las variables representan propiedades
a ser estudiadas, y las ecuaciones describen la interacción entre las variables y un
sistema de ecuaciones lineales la relación entre ecuaciones.
Autoevaluación diagnóstica
Sea el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 6
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 3
−𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 5
a. Del sistema original, generar una matriz ampliada
b. Generar de la matriz de coeficientes, una matriz triangular superior
c. Generar la transpuesta de la matriz de coeficientes
Investiga y define:
Te recomendamos ver el siguiente video, el cual te orientará con el manejo del lenguaje
matricial:
https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU
9
a. Una matriz cuadrada: ______________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
b. Una matriz rectangular: _____________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
c. Una matriz antisimétrica: ___________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
d. Una triangular superior: ____________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
e. Una triangular inferior: _____________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
f. Una matriz identidad: _______________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
g. Una matriz transpuesta: ____________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
h. Una matriz dispersa: ________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
i. Una matriz nula: _____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
(Para la revisión de algunos conceptos sobre sistemas lineales, revisa el sitio
interactivo http://proyectodescartes.org/ingenieria/algebra_lineal.htm).
10
NIVEL 1
En principio vale la pena pensar en modelos matemáticos de sistemas lineales, en una
primera etapa, como una situación estática cuando la salida es proporcional a su
entrada.
En Ingeniería, muchas de las leyes fundamentales de conservación que involucran
masa, energía y momentos, se modelan como sistemas de ecuaciones lineales. Se
pretende que se visualice el balance entre ecuaciones, cuyo un conjunto de las mismas
representen el comportamiento de un sistema. A continuación, se presentan esquemas
que pueden modelarse como sistemas lineales.
Tabla 2.1 Situaciones que se pueden modelar como sistemas lineales
Un balance de masa- Las propiedades del sistema
se definen por las reacciones de cada variable y
por los parámetros de los flujos de entrada. Las
salidas son iguales a las entradas. Por ejemplo,
entra un flujo (con parámetros determinados) a
𝑥1, cuyas salidas directas son dos flujos con
parámetros que inciden en 𝑥2 𝑦 𝑥3. Así, lo mismo
ocurre localmente a cada entrada y salida de cada
variable.
Fuerzas en equilibrio- Se trata de encontrar las
fuerzas y las reacciones asociadas a una
estructura estática. Las fuerzas F están en
tensión y/o compresión. Existen reacciones
externas H y V que también son fuerzas, y que
caracterizan cómo la estructura se relaciona con
la superficie de soporte.
Corrientes y voltajes en circuitos- La corriente
asociada al circuito se desconoce, tanto en
magnitud como en dirección. La dirección se
define en forma arbitraria. Se emplean las leyes
de Kirchoff y de Ohm, como expresiones de
conservación de la energía.
¿En qué situaciones se emplean modelos matemáticos de sistemas lineales?
11
Sistemas con resortes/ muelleo- Un sistema
compuesto por tres masas está suspendido
verticalmente con una serie de resortes. En el
inciso a., el sistema en la posición inicial, esto es,
antes de la extensión y compresión de los
resortes. El inciso b., el sistema después de
soltarse. Nótese que las posiciones de las masas
cambiaron su posición con respecto a la original.
La segunda ley de Newton es útil en este caso.
Análisis del flujo del tráfico. Se tiene una red de
vialidades, cuyos nodos representan semáforos.
Se trata de conocer los autos que cruzan por los
nodos, con el fin de ajustar el cambio de luces de
los semáforos.
El principio es el siguiente: El número de carros
que llega a una intersección debe ser igual al
número de carros que sale de la intersección.
Obviamente, los ejemplos de la tabla 2.1, se le pueden agregar componentes dinámicos,
en donde el tiempo se incorpora, y en lugar de considerar 𝑥𝑖 bajo una perspectiva
estática, ahora sería 𝑥𝑖(𝑡). En los sistemas lineales, también se puede pensar en
inecuaciones, lo cual es de área de estudio de la Investigación de Operaciones, y hasta,
puede involucrarse conceptos probabilísticos.
Los sistemas lineales se pueden clasificar en función de sus soluciones.
Tabla 2.2 Posibilidades de soluciones
Si la solución del sistema es única se llama compatible
determinado.
En forma matricial se verá el sistema original y después
de que se aplica un método numérico, ambas variables
corresponden a un resultado:
[3 2 | 18
−1 2 | 2]~ [
𝟏 0 | 𝟒0 𝟏 | 𝟑
]
El sistema es consistente, las rectas se intersectan en un
solo punto de solución única. Este tipo de sistemas son
¿Qué pasa si...?
12
de gran interés, ya que las coordenadas del punto de
intersección representan la solución simultánea del
sistema.
El sistema es linealmente independiente.
El sistema se llama incompatible, ya que no presenta
consistencia, es decir, no admite ninguna solución.
De forma matricial, el sistema original a la izquierda y su
equivalente a la derecha después de tratar de ser
solucionado:
[−
1
21 | 1
−1
21 |
1
2
]~ [−
1
21 | 1
𝟎 𝟎 | −𝟏
𝟐
]
El sistema es inconsistente. Gráficamente, las rectas son
paralelas entre sí. En forma matemática existe una
inconsistencia ya que los coeficientes de las variables son
nulos (véase los ceros) y el término independiente no lo
es.
Una ecuación está puesta sobre la otra, tiene múltiples
soluciones.
En forma matricial, el sistema equivalente del original se
verá así:
[−
1
21 | 1
−1 2 | 2]~ [
−1
21 | 1
𝟎 𝟎 | 𝟎]
Las rectas pasan por los mismos puntos. Se observa en la
forma matricial que los coeficientes y el término
independiente son todos ceros.
El sistema es linealmente dependiente.
13
Evidencia de aprendizaje 2.1
De los siguientes ejemplos, escribe con tus propias palabras si los esquemas pueden ser
pueden ser modelados como sistemas lineales, ¿por qué si/no?
2.1a ¿Puede ser modelado como
sistema lineal? Si/ No
Explicación:
2.1b ¿Puede ser modelado como
sistema lineal? Si/ No
Explicación:
Cursos enseñados por Estudiantes
de:
Ciencias Ingeniería Ciencias de
computación
Ciencias 70% 10% 15%
Ingeniería 20% 90% 10%
Ciencias de
computación
10% 0% 75%
2.1c ¿Puede ser modelado como
sistema lineal? Si/ No
Explicación:
2.1d ¿Puede ser modelado como
sistema lineal? Si/ No
Explicación:
NIVEL 2
Enhorabuena, has pasado al segundo nivel, ya puedes reconocer situaciones que
pueden ser modeladas como sistemas lineales.
Ahora, se trata de que puedas organizar, representar e interpretar variables y cómo
estas se organizan en un modelo matemático. Recuerde que un modelo matemático es
aquel que usa técnicas matemáticas (funciones, ecuaciones, gráficas, tablas,
14
probabilidades,…) para la representación de un determinado proceso o fenómeno del
mundo real.
Modelo matemático de sistemas de ecuaciones lineales
El proceso para elaborar un modelo matemático es:
Ejemplo.
Al construir un edificio, se requieren 4800 𝑚3 de arena, 5810 𝑚3 de grano fino y
5690 𝑚3 de grano grueso. Las canteras de donde se extraerá el material tienen la
composición que se describe a continuación:
Cantera
1
2
3
Porcentaje de
Arena Grano fino Grano grueso
52 30 18
20 50 30
25 20 55
¿Cuántos metros cúbicos deben transportarse desde cada cantera para cumplir con los
requisitos?
Solución
1. Identificar el problema
Se trata de determinar qué se debe resolver y determinar qué se quiere hacer.
2. Formular el modelo matemático
Se determinan variables involucradas en el proceso, y sus atributos pej. dependientes, independientes, parámetros.
Luego, se formula la ecuación o procedimiento que mejor describa y se ajuste a la idealización del modelo.
3. Resolución o interpretación
Se aplican conocimientos matemáticos, y procesos analíticos o numéricos para resolver el problema. Luego,
se interpretam los resultados
4. Verificación y validación
Se comparan los datos teóricos con los datos reales. Esto determina las necesidades de ajuste del modelo, para
mejorar resultados.
15
El problema indica lo siguiente: Para construir un edificio existen ciertos
requerimientos totales como son arena, grano fino y grano grueso. Estos tipos de
materiales se extraen de tres canteras de las cuales se conocen los porcentajes para
cada una de ellas.
Con esta información, se determinan primero las variables del problema que, en este
caso, se llaman:
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1, representa los 𝑚3 que se transportan de cada cantera para cubrir el requisito de
arena.
𝑥2, representa los 𝑚3 que se transportan de cada cantera para cubrir el requisito de
grano fino.
𝑥3, representa los 𝑚3 que se transportan de cada cantera para cubrir el requisito de
grano grueso.
Las cantidades solicitadas son
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑏1, es la cantidad solicitada para cubrir el requisito de arena.
𝑏2, es la cantidad solicitada para cubrir el requisito de grano fino.
𝑏3, es la cantidad solicitada para cubrir el requisito de grano grueso.
Las cantidades necesarias unitarias de arena, grano fino y grano grueso asignadas a los
requerimientos totales de 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3 son los llamados
𝑎𝑖𝑗 ∀ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛
Siendo n, los requerimientos totales.
Con esta información, se construye a continuación, el modelo matemático del problema.
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑏3
Una forma compacta de reescribir al modelo matemático es
𝐴𝑥 = 𝑏
De la descripción del problema relacionado con Ax=b, se tiene que
16
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 B
0.52 0.30 0.18 4800
0.20 0.50 0.30 5810
0.25 0.20 0.55 5690
Esto significa que el 52% de 𝑥1 (arena), el 30% de 𝑥2 (grano fino) y el 18% de 𝑥3 (grano
grueso) deben satisfacer la cantidad necesaria a utilizar, que son 4800.
Las otras ecuaciones se interpretan de igual forma.
0.52𝑥1 + 0.30𝑥2 + 0.18𝑥3 = 4800
0.20𝑥1 + 0.50𝑥2 + 0.30𝑥3 = 5810
0.25𝑥1 + 0.20𝑥2 + 0.55𝑥3 = 5690
Se ha creado el modelo matemático (sistema de ecuaciones), que es análoga a la tabla.
Nota. No siempre ocurre así, es importante tener en cuenta la forma en cómo se
construyó el modelo.
Ejemplo. Considere el problema de encontrar las corrientes en las diferentes partes de
un circuito eléctrico con resistencias, como se muestra a continuación
Solución
Los flujos de corriente en circuitos están gobernados por las leyes de Kirchhoff. La
primera ley indica que la suma de voltajes en un circuito cerrado es cero. Esto significa
17
que en un nodo, la suma de corrientes que entran en ese nodo, es igual a la suma de
corrientes que salen.
La segunda ley establece que la caída de voltaje en una resistencia, es el producto de la
corriente y la resistencia 𝑉 = 𝑅𝐼.
En el circuito, se observan tres ciclos de corriente separados. Se aplican ambas leyes de
Kirchhoff en un sistema de ecuaciones lineales.
En el ciclo 1; la corriente 𝑖1 tiene relación directa y única con la resistencia 𝑅6, no
obstante las resistencias 𝑅2 𝑦 𝑅1, tiene relación, no solo con 𝑖1, también con 𝑖2 e 𝑖3. Al
aplicar la segunda Ley de Kirchoff, se obtiene:
𝑅6𝑖1 + 𝑅1(𝑖1 − 𝑖2) + 𝑅2(𝑖1 − 𝑖3) = 𝑉1
En el ciclo 2; el análisis permite generar la segunda ecuación:
𝑅3𝑖2 + 𝑅4(𝑖2 − 𝑖3) + 𝑅1(𝑖2 − 𝑖1) = 𝑉2
En el ciclo 3;
𝑅5𝑖3 + 𝑅4(𝑖3 − 𝑖2) + 𝑅2(𝑖3 − 𝑖1) = 𝑉3
Al realizar una simplificación algebraica y ordenar el sistema en forma matricial se
obtiene el siguiente modelo:
[𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅6 −𝑅1 −𝑅2
−𝑅1 𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 −𝑅4
−𝑅2 −𝑅4 𝑅2 + 𝑅4 + 𝑅5
] [𝑖1𝑖2𝑖3
] = [𝑉1
𝑉2
𝑉3
]
Ejemplo. Un tendero gasta $1000.00 en comprar enseres de $10.00, $40.00 y $120.00
pesos.
¿Cuántos ha comprado de cada clase si en total ha adquirido 40 enseres?
Generar el modelo matemático del caso y describirlo
Solución
Sean x, y, z el número de enseres de $10.00, $40.00 y $120.00. Esto se traduce al lenguaje
algebraico como:
10𝑥 + 40𝑦 + 120𝑧 = 1000
La segunda parte, indica que el total de cada clase genere en total 40 enseres, es decir;
18
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 40
El modelo matemático es:
10𝑥 + 40𝑦 + 120𝑧 = 1000
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 40
Descripción. El sistema generado se constituye de tres incógnitas y dos ecuaciones. Es
un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones, por lo que al
solucionarse el mismo, a una de las incógnitas se le asignará un valor, a modo de
parámetro y acorde al contexto del problema.
AHORA, ¡ES TU TURNO!
A continuación, se te presentan dos ejemplos en los cuales se requiere que identifiques,
clasifiques y expliques los componentes del sistema. Con lo anterior, se organice la
información en una tabla descriptiva, la cual es útil para generar el modelo matemático
que representa al sistema.
Evidencia de aprendizaje 2.2
El fabricante de café SABROSO cosechado en Coatepec, Ver. maneja tres tipos de café A,
B y C, que exporta a Estados Unidos.
Desea mejorar la calidad del sabor de su producto de exportación, y para ello, necesita
mezclar los tres tipos de grano que cuestan 1.20, 1.60 y 1.40 dólares/libra,
respectivamente.
El fabricante cuenta con un presupuesto de 57600 dólares para la compra de los granos
de café.
El número de libras necesarias de cada tipo de grano debe satisfacer un inventario de
40000 libras que tiene el fabricante en su bodega.
Al mezclar el café y evitar un resultado de sabor amargo, el productor determina que la
cantidad usada del componente B, debe ser el doble de la del componente A, excluyendo
al C.
2.2a Realiza una búsqueda en internet y explica qué es un precio unitario
No olvides mencionar la referencia de tu consulta.
19
2.2b Identifica las variables del problema
2.2c Explica lo qué significa cada variable
2.2d ¿Cómo influye la siguiente sentencia “al mezclar el café y evitar un sabor amargo,
el productor determina que la cantidad usada del componente B, debe ser el doble de
la del componente A, excluyendo al C”, en la combinación de los tres componentes?
Evidencia de aprendizaje 2.3
La capacidad semanal de producción de Metalurgia Mexicana es de 600 toneladas de
tres diferentes aleaciones. Recibe semanalmente 31 viajes, que hacen un total de 15 ton
de carbón, 39 ton de cromo y 546 ton de hierro
La composición de producción es la siguiente
Mineral Hierro forjado Acero inoxidable Hierro fundido
Carbón 1% 1% 4%
Cromo - 15% 3%
Hierro 99% 84% 93%
20
2.3a Identifica las variables
2.3b Explica lo que significa cada variable
2.3c Explica la tabla
Para proceder a conocer los métodos directos e indirectos, es necesario estudiar qué
significa resolver un sistema de ecuaciones lineales y bases fundamentales que
soportan a los métodos.
La expresión del tipo
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏
Se llama ecuación algebraica o lineal de primer grado donde 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 representan
variables o incógnitas y 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 representan elementos conocidos de K (cuerpo
numérico de ℝ,ℂ,ℚ) que se denominan coeficientes.
b, es el término independiente, de manera que, un sistema de ecuaciones lineales es un
conjunto, de expresiones de la forma S
Métodos directos e indirectos
21
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
…
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Donde 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏 ∈ 𝐾, ∀𝑖 = 1,2,… ,𝑚 ∀𝑗 = 1,2,… , 𝑛
En las incógnitas, 𝑥𝑖𝑗, el primer subíndice de las “i”, significa la posición que ocupa el
sistema en el renglón, y “j”, se refiere a la posición de la columna.
𝑥1𝑗 = 𝑏1 ∀ 𝑗 = 1, 𝑛
𝑥2𝑗 = 𝑏2 ∀𝑗 = 1, 𝑛
…
𝑥𝑛𝑗 = 𝑏𝑛 ∀𝑗 = 1, 𝑛
El sistema de ecuaciones lineales S puede representarse como
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
… … … …𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
] 𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
…𝑥𝑛
] 𝑏 = [
𝑏1
𝑏2
…𝑏𝑛
]
Y se expresa en forma simplificada como una multiplicación Ax=b.
La matriz A, se llama Matriz de Coeficientes, x, es el vector de incógnitas y b, es el
vector de términos independientes.
En ocasiones, cuando se desea resolver el sistema, esto es, determinar los valores del
vector de incógnitas x, que satisfaga a todo el vector de términos independientes b, se
puede expresar como una matriz ampliada:
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 | 𝑏1
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 | 𝑏2
… … … … | …𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 | 𝑏𝑚
]
Con base en lo anterior, y bajo una perspectiva de Álgebra Lineal, dos sistemas de
ecuaciones lineales 𝑆1 y 𝑆2 con un mismo número de incógnitas:
𝑆1:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑆2:
𝑐11𝑥1 + 𝑐12𝑥2 + ⋯+ 𝑐1𝑛𝑥𝑛 = 𝑑1
S
22
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
…
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
𝑐21𝑥1 + 𝑐22𝑥2 + ⋯+ 𝑐2𝑛𝑥𝑛 = 𝑑2
…
𝑐𝑚1𝑥1 + 𝑐𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑑𝑚
Se llaman sistemas equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir; si toda
solución del primero es solución del segundo, y recíprocamente.
Nota: Así que, bajo esta definición, no es necesario que los sistemas dados, posean el
mismo número de ecuaciones.
Ejemplo. Sean los dos sistemas propuestos:
x-y=-3
2x+y=6
4x-4y=-12
x-y=-3
2x+y=6
Los dos sistemas pertenecen al espacio ℝ, y son dos sistemas equivalentes, porque
ambos tienen como única solución (1, 4). De hecho, una observación más detallada
sobre el primer sistema denota que la ecuación
x-y=-3, ha sido multiplicada por 4, para generar
4x-4y=-12
Nota: Con el ejemplo, se tiene un precedente que indica la existencia de
transformaciones lineales entre las ecuaciones de un sistema que admiten que uno pase
a otro equivalente.
Las transformaciones son importantes, ya que indican que operaciones se pueden
realizar al momento de resolver un sistema lineal, es decir; se trata de hallar, si existen,
números que pueden tomar las variables o incógnitas de modo que se satisfagan
simultáneamente todas las ecuaciones.
Las siguientes transformaciones que dan lugar a otro sistema equivalente son:
a. Intercambiar el orden de ecuaciones de un sistema. Ejemplo:
𝑥 − 𝑦 = −3 → 2𝑥 + 6 = 6
2𝑥 + 𝑦 = 6 𝑥 − 𝑦 = −3
b. Multiplicar ambas partes de la igualdad por un elemento de K. Ejemplo:
23
𝑥 − 𝑦 = −3 (𝑝𝑜𝑟 4) → 4𝑥 − 4𝑦 = −12
c. Eliminar una ecuación del sistema que resulta en una combinación lineal de las
demás. Ejemplo:
𝑥 − 𝑦 = −3 2𝑥 + 6 = 62𝑥 + 𝑦 = 6 → 𝑥 − 𝑦 = −3
4𝑥 − 4𝑦 = −12
Al eliminar la tercera ecuación, se observa no se modifica la solución del sistema
de ecuaciones lineales.
d. Sustituir una ecuación del sistema por la suma de ella, más otra ecuación del
sistema multiplicada por un elemento K diferente de cero. Ejemplo:
𝑥 − 𝑦 = −3 (−2𝑅1 + 𝑅2) 𝑥 − 𝑦 = −32𝑥 + 𝑦 = 6 → 0 + 3𝑦 = 12
Se observa que se ha sustituido una ecuación, por una combinación lineal de ella,
mediante una operación que se llama suma/resta de renglones. En este caso, del
renglón 1 𝑅1 al renglón 2 𝑅2, siendo (-2) el escalar multiplicador: −2𝑥 + 2𝑦 = −6 que
cuando se suma al segundo renglón 2𝑥 + 𝑦 = 6, ha permitido eliminar una variable del
renglón 𝑅2.
Las transformaciones mencionadas permiten generar un sistema escalonado, en el cual
todos los coeficientes que se encuentran debajo de la diagonal principal
𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, … 𝑎𝑛𝑛 son nulos, tal como se observa a continuación:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
…
𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Las trasformaciones aquí mencionadas dan origen a sistemas equivalentes, que
mantienen la misma solución. El método de Gauss-Jordan consiste en transformar el
sistema de ecuaciones dado en otro equivalente, con la condición de eliminar una
incógnita con cada operación, tal es el caso que si en un inicio se tienen n incógnitas, al
realizar las transformaciones y combinaciones lineales necesarias en una segunda
etapa, el sistema tendrá n-1 incógnitas, luego n-2, y así sucesivamente.
24
Posteriormente, se trata de suprimir de cada incógnita sobre el elemento pivote
(primer elemento no nulo de cada fila). Bajo este enfoque, el pivote se encuentra en la
diagonal principal.
que normalmente, se identifica en la posición de la diagonal principal, así que el sistema
quedará:
𝑎11𝑥1 …………… = 𝛼1
𝑎22𝑥2 …… = 𝛼2
……………
𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝛼𝑛
A continuación, se describe al método de Gauss- Jordan.
Método de Gauss-Jordan
Un método directo es aquel que asume que se obtendrá una solución exacta a un
sistema Ax=b, mediante un número finito de pasos.
En el método de Gauss Jordan se dispone de una matriz en la cual se realizan sucesivas
eliminaciones de incógnitas mediante transformaciones elementales de fila y columna,
tales como, multiplicar por un escalar distinto de cero, suma/resta entre renglones e
intercambio de filas, para obtener un sistema equivalente, en cuyo lado izquierdo, esto
es, la matriz de coeficientes A presentará la forma de una matriz identidad I, y del lado
de términos independientes, la solución que satisface al sistema.
Se presenta un ejemplo ilustrativo que muestra la filosofía de un número finito de
operaciones y la idea de solución exacta, siempre y cuando, las operaciones se pudieran
efectuar con aritmética infinita.
Ejemplo. Se presenta un sistema de orden 2x2: 𝑥 − 𝑦 = −32𝑥 + 𝑦 = 6
Resolver por el método de Gauss-Jordan.
Solución
Se genera una matriz A* ampliada y se realizan transformaciones sobre los renglones R
[1 −1 | −32 1 | 6
] − 𝟐𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
25
Se ha eliminado una incógnita:
[1 −1 | −30 3 | 12
] 𝟏
𝟑𝑹𝟐
En la diagonal principal se busca tener la forma de una matriz Identidad I.
[1 −1 | −30 1 | 4
] 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏
Observe que de las operaciones propuestas sobre los renglones R, el último
corresponde en donde se realizará la transformación, tal como sucede 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏, la
operación es tomar el renglón 2 y sumarlo al renglón 1, el resultado se refleja en 𝑹𝟏. Las
combinaciones generan un sistema equivalente que contiene la solución que satisface
al sistema original.
[1 0 | 10 1 | 4
]
𝑥 = 1 𝑦 = 4
Gauss Jordan tiene un enfoque didáctico, pero pierde precisión cuando el orden de la
matriz aumenta, o cuando la diferencia entre cifras significativa es grande. El pivoteo
que se realiza sobre la diagonal principal con Gauss Jordan, se vuelve ineficiente
conforme aumenta el orden de la matriz.
El método de Gauss-Jordan, en forma similar, a la eliminación gaussiana, logra la
obtención de soluciones mediante la reducción de la matriz de coeficientes en un
sistema equivalente en forma de matriz, en el que cada ecuación tiene una incógnita
menos que la anterior. Primero, se genera una matriz triangular superior, y al continuar
con eliminaciones, se obtiene una matriz diagonal.
Los elementos de la diagonal principal darán los resultados buscados.
Ejemplo. Resolver el sistema lineal, mediante el método de Gauss- Jordan
𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 7
𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 13
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 5
Solución
1. Conformar la matriz de coeficientes, con el vector de términos independientes
en una matriz aumentada:
𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 7
𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 13
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 5
[
1 4 1 | 71 6 −1 | 132 −1 2 | 5
]
26
Con lo anterior se ha formulado el sistema como una matriz aumentada
2. Se pivotea sobre los elementos de la diagonal principal, de tal forma que dicho
pivote sea convierta al número uno (1). Se efectúan combinaciones lineales
sobre los renglones restantes con el objetivo que se generen ceros en la columna
del pivote. Se prosigue este método hasta lograr conformar una matriz
identidad, la cual es un sistema equivalente con el original. Aquí se usará la letra
R para denotar los cambios en cada renglón.
Recordar que las operaciones permitidas son: Multiplicación por un escalar distinto de
cero, suma/resta entre renglones e intercambio de filas, y la estrategia es eliminar las
variables denotadas en color rojo.
[
1 4 1 | 7𝟏 6 −1 | 13𝟐 −𝟏 2 | 5
] −𝑅1 + 𝑅2
−2𝑅1 + 𝑅3
-1+1, -4+6, -1-1, -7+13 de la primera
operación
-2(1)+1, -2(4)+6, -2(1)-1, -2(7)+13
de la segunda operación
Para la nomenclatura, se afecta los renglones R que aparecen al final de cada operación.
Los cambios de ambas operaciones se reflejan en la segunda operación, es decir de
−𝑅1 + 𝐑𝟐, el cambio se reflejará en 𝑹𝟐, y de la operación
−2𝑅1 + 𝑅3, el cambio se reflejará en 𝑅3, quedando
[
1 4 1 | 70 2 −2 | 60 −9 0 | −9
]
Del tercer renglón ha quedado con casi una forma unitaria [0 −9 0 | −9]. Se
intercambia fila, la segunda por la tercera. Además, se obtiene el inverso multiplicativo,
para hacer un pivote de renglón ya intercambiado (-1/9𝑹𝟐):
[
1 4 1 | 70 −9 0 | −90 2 −2 | 6
] − 𝟏/𝟗𝑹𝟐 ≅ [
1 4 1 | 70 1 0 | 10 2 −2 | 6
]
[
1 4 1 | 70 1 0 | 10 2 −2 | 5
] −2𝑅2 + 𝑅3
El cambio en
𝑅3
[
1 4 1 | 70 1 0 | 10 0 −2 | 4
] −
1
2𝑅2
27
[
1 𝟒 𝟏 | 70 1 0 | 10 0 1 | −2
] Son las
variables por
eliminar
Ya se tienen pivotes unitarios en la diagonal principal. Se ha generado una matriz
triangular superior (Upper). La estrategia ha sido la siguiente, partir de la esquina
superior izquierda hacia abajo para generar ceros por debajo de los pivotes.
El procedimiento ahora será al revés, de los renglones inferiores hacia arriba, para
hacer ceros sobre los pivotes.
[
1 4 1 | 70 1 0 | 10 0 1 | −2
] −4𝑅2 + 𝑅1
El cambio en
𝑅1
[
1 0 1 | 30 1 0 | 10 0 1 | −2
] −𝑅3 + 𝑅1
El cambio en
𝑅1
[
1 0 0 | 50 1 0 | 10 0 1 | −2
] ¡Listo!
𝒙𝟏 = 𝟓,𝒙𝟐 = 𝟏,𝒙𝟑 = −𝟐
Hay que mencionar que la forma de resolver este sistema no es única. Cada uno puede
elegir el camino para la reducción de la matriz. Todo depende de tu creatividad e
intuición para eliminar las variables. Por ejemplo,
[
1 4 1 | 71 6 −1 | 132 −1 2 | 5
] [
1 4 1 | 70 2 −2 | 60 −9 0 | −9
] −𝑅1 + 𝑅2
−2𝑅1 + 𝑅3
Hasta aquí se ha realizado lo mismo. Ahora véase lo siguiente
[
1 4 1 | 70 2 −2 | 60 −9 0 | −9
] −
9
2𝑅2 + 𝑅3
[
1 4 1 | 70 2 −2 | 60 0 −9 | 18
]
De aquí se ve, que no se realizó un intercambio de renglones y que la variable
𝑥3 = −2. Se sugiere que el estudiante convierta los pivotes de la diagonal principal en
1, y elimine el resto de las variables.
28
Asimismo, para ver el desarrollo algebraico del método, ingrese al ejecutable de Gauss-
Jordan, el cual le permitirá resolver sistemas de ecuaciones simultáneas, mostrando de
manera detallada el proceso de solución.
REVISA EL EJECUTABLE DE GAUSS- JORDAN
Ejemplo. Resolver el sistema lineal por el método de Gauss-Jordan.
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 5
2𝑥 + 2𝑦 = 7
5𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 1
Solución
De nuevo se genera una matriz A*
[
1 −2 1 | 52 2 0 | 75 −3 4 | 1
]−𝟐𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
−𝟓𝑹𝟏 + 𝑹𝟑
Aquí ya se realizaron dos operaciones sobre el renglón 2 y el renglón 3, y se suprimieron
dos incógnitas debajo del pivote 𝑎11.
≅ [
1 −2 1 | 50 6 −2 | −30 7 −1 | −24
]−𝟕
𝟔𝑹𝟐 + 𝑹𝟑
Se trata de eliminar ahora la posición 𝑎32, debajo del pivote 𝑎22 = 6, por ello, la
multiplicación de -7/6.
≅ [
1 −2 1 | 50 6 −2 | −3
0 08
6| −
123
6
]
Se puede trabajar con fracciones o números decimales:
≅ [
1 −2 1 | 50 1 −0.333 | −0.50 0 1.333 | −20.5
] ≅ [
1 0 0 | 9.12460 1 0 | −5.62460 0 1 | −15.3754
]
Se deduce que, por las operaciones sistemáticas, es conveniente hacer uso de
computadoras. El resultado es 𝑥 = 9.1246
𝑦 = −5.6246𝑧 = −15.3754
29
Ejemplo. Describir las características de los siguientes sistemas lineales S:
Sistema de ecuaciones
lineales
Solución
5𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 2
−3𝑦 + 𝑧 = 6
𝑧 = 4
El sistema se ha presentado en forma escalonada que, si se
representa matricialmente, se llama Upper U (Triangular
Superior). El número de incógnitas es igual al número de
ecuaciones. Este sistema tiene una única solución, por lo
tanto, es compatible determinado.
5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 1
3𝑦 + 𝑧 + 2𝑡 = 2
𝑧 + 3𝑡 = 5
El sistema de nuevo se ha presentado bajo la estructura U.
Sin embargo, son más las incógnitas que las ecuaciones,
por lo tanto, es un sistema compatible indeterminado. Esto
requiere que se asigne arbitrariamente un valor a t.
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 10
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 8
El sistema tiene tres incógnitas y tres ecuaciones. Observar
a detalle la primera y tercera ecuación.
La tercera ecuación, en su lado izquierdo, es una
combinación lineal, no siendo el caso de su lado derecho
que debiera tener el valor 12. Es un sistema incongruente
y no tiene solución. Se sugiere que el alumno pruebe esto.
Evidencia de aprendizaje 2.4
Resuelve por Gauss- Jordan, el siguiente sistema.
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 9
−𝑥1 + 3𝑥2 = −4
2𝑥1 − 5𝑥2 + 5𝑥3 = 17
Escribe tu respuesta en una hoja, tómale una foto y súbela.
30
Método de Jacobi
Un método iterativo en la solución de un sistema lineal con la forma Ax=b, se puede
resolver al construir una sucesión convergente a la solución del sistema.
Los métodos indirectos no generan una solución exacta, aunque su gran ventaja es su
eficiencia con respecto a los métodos directos, tanto por la disminución en el número
de operaciones, como por la reducción del error por redondeo. Esto es particularmente,
cierto, en sistemas con un alto porcentaje de entradas 𝑎𝑖𝑗 = 0, en la matriz de
coeficientes A, a las que se conocen como matrices dispersas.
Los métodos indirectos también son útiles para sistemas de ecuaciones lineales de
orden mayor a 15.
Existen diferentes métodos para la solución del sistema. Aquí se describen brevemente
dos métodos clásicos. El de Jacobi y el de Gauss-Seidel. Hay que tomar en cuenta que
los métodos iterativos en sistemas lineales comienzan con una aproximación inicial
𝑥(0), que se convierten a una solución x aproximada, mediante un procedimiento que
transforma el sistema matricial 𝐴𝑥 = 𝑏, en un sistema equivalente de la forma 𝑥 =
𝑥(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) + 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, se calculan aproximaciones sucesivas que, con base en
ciertas condiciones, convergen a la solución exacta del sistema lineal.
La base de los dos métodos, se encuentra en la Teoría del Punto Fijo, la cual indica, bajo
una perspectiva geométrica, que una función de variable real y=g(x) es continua en el
intervalo [a, b]. El objetivo es aproximar una solución P, en el intervalo [a, b] de la
ecuación g(x)=x
31
P es un punto fijo, porque g(P)=P y la solución se encontrará en la intersección de las
gráficas.
𝑦 = 𝑔(𝑥) y 𝑦 = 𝑥
De manera que, 𝑥0 es un vector que se elige arbitrariamente, como una aproximación
inicial a la solución exacta P.
Al aplicar el algoritmo de Jacobi o de Gauss- Seidel, se seguirá una trayectoria como la
mostrada en la segunda gráfica, y las abscisas de los puntos
�⃗⃗�𝑘 = (𝑥𝑘 , 𝑔(𝑥𝑘))
Sobre la función g, tenderá a llegar a una solución para P.
Dos condiciones iniciales se requieren para ambos métodos:
Las matrices sean de orden nxn, o sea, sean cuadradas, y la segunda condición, los
mayores valores de los coeficientes se encuentren en la diagonal principal. Por ejemplo,
𝟓𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 4
3𝑥 + 𝟖𝑦 + 4𝑧 = 15
𝑥 + 𝑦 + 𝟑𝑧 = 9
Así que, sea T una matriz cuadrada de orden n y 𝑐̅, un vector fijo ∈ ℝ
𝑔(𝑥) = 𝑇�̅� + 𝑐̅
Para cada �̅� ∈ ℝ, se dice que g es una transformación afín en el espacio de ℝ, esto es, los
métodos son consistentes si:
𝑔(𝑥) = 𝑇�̅� + 𝑐 ̅ ⇔ 𝐴𝑥 = 𝑏
El método de Jacobi para n renglones en Ax=b, es el siguiente:
𝑥𝑖 = ∑(−𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑎𝑖𝑖
𝑛
𝑗=1
) +𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑖
para i=1,2,…n
Lo anterior en forma descriptiva, para una matriz de orden 3x3 en la primera iteración,
se establece un valor inicial y un factor de convergencia
𝑥(0), 𝛿
𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11
32
𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22
𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33
En la segunda iteración, los valores obtenidos para x, se introducen en la siguiente
iteración. De esta forma, conforme se generen nuevos valores, se retienen para la
siguiente iteración.
𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11
𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22
𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33
El método finaliza cuando
|𝑥𝑖 − 𝑥(𝑛)𝑖| ≤ 𝛿
Nota. Los métodos solo funcionan para matrices cuadradas y deben realizarse los
intercambios de renglones necesarios, para lograr que los coeficientes de las variables
en la diagonal principal sean los de MAYOR VALOR, en valor absoluto.
Ejemplo. Resolver por el método de Jacobi el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
−𝑥1 + 2𝑥2 = 3
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11
2𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 16
Solución
𝟒𝒙𝟏 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11
−𝑥1 + 𝟐𝒙𝟐 = 3
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝟒𝒙𝟑 = 16
Se realizó un intercambio de renglones para ordenar el sistema de manera
diagonalmente dominante.
1. Despejar la variable de mayor coeficiente para obtener ecuaciones que puedan
ser iteradas (esto es, aplicar el inverso multiplicativo):
𝒙𝟏 =11
4−
1
2𝑥2 −
1
4𝑥3
𝐱𝟐 =3
2+
1
2𝑥1
𝒙𝟑 = 4 −1
2𝑥1 −
1
4𝑥2
2. Asignar una aproximación inicial al valor de las variables (esto se realiza de
manera arbitraria). Normalmente, se comienza con 𝑥0 = (0,0,0). Nótese que el
33
superíndice 0, no se refiere a un exponente, más bien, el número de iteración.
Asimismo, se asigna un 𝛿 < 0.001, que define la condición de paro.
Para la primera iteración se tiene
𝑥1 = (11
4,3
2, 4)
Lo anterior es el resultado de sustituir los valores iniciales sobre las ecuaciones.
3. Se compara con el delta y dado que los resultados son mayores, se continúa con
las iteraciones.
𝑥1 = (11
4,3
2, 4)
𝒙𝟏 =11
4−
1
2𝑥2 −
1
4𝑥3
𝐱𝟐 =3
2+
1
2𝑥1
𝒙𝟑 = 4 −1
2𝑥1 −
1
4𝑥2
𝑥12 =
11
4−
1
2(3
2) − (
1
4)(4) = 𝟏
𝑥22 =
3
2+
1
2(𝟏𝟏
𝟒) =
𝟐𝟑
𝟖
𝑥32 = 4 −
1
2(𝟏𝟏
𝟒) −
1
4(𝟑
𝟐) =
𝟏𝟖
𝟖
Observa que el resultado de la segunda iteración, tomó los valores de la primera que
se sustituyeron en cada variable.
4. Se realiza otra iteración para clarificar aún más el procedimiento. Los valores
obtenidos de la segunda iteración, son los que ahora permiten realizar la
tercera iteración.
𝑥2 = (1,23
8,18
8)
𝒙𝟏 =11
4−
1
2𝑥2 −
1
4𝑥3
𝐱𝟐 =3
2+
1
2𝑥1
𝒙𝟑 = 4 −1
2𝑥1 −
1
4𝑥2
𝑥12 =
11
4−
1
2(𝟐𝟑
𝟖) − (
1
4)(
𝟏𝟖
𝟖) =
24
32=
𝟑
𝟒
𝑥22 =
3
2+
1
2(𝟏) = 𝟐
𝑥32 = 4 −
1
2(𝟏) −
1
4(𝟐𝟑
𝟖) =
𝟖𝟗
𝟑𝟐
La continuación de iteraciones se continúa hasta que los valores sucesivos de las
variables cumplen con 𝛿 < 0.001.
La aproximación de la solución es
𝒙𝟏𝟏𝟐 = 𝟏
34
𝒙𝟐𝟏𝟐 = 𝟐
𝒙𝟑𝟏𝟐 = 𝟑
Nótese que se realizan 12 iteraciones para resolver numéricamente este sistema de
ecuaciones lineales. Por ello, la necesidad de emplear las computadoras.
TE INVITAMOS A QUE REVISES EL EJECUTABLE DE ESTE PROGRAMA TITULADO
JACOBI
Método de Gauss-Seidel
El método de Jacobi es conocido también como un método de desplazamientos
simultáneos, ya que en cada iteración, los componentes del vector 𝑥𝑛+1 son obtenidos
simultáneamente a partir de los componentes del vector 𝑥𝑛.
Ahora, si al aplicar el método de Jacobi sobre un sistema lineal, converge a la solución
exacta, entonces se puede pensar en ir utilizando los componentes del vector a medida
que se van calculando, y esto es exactamente lo que ocurre con el método de Gauss-
Seidel.
La mejora sobre el método de Jacobi, se presenta con Gauss Seidel. Su algoritmo se basa
en lo siguiente:
𝑥𝑖𝑘 =
−∑ (−𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘)
𝑎𝑖𝑖
𝑖−1𝑗=1 ) − ∑ (𝑎𝑖𝑗
𝑛𝑗=𝑖+𝑛 𝑥𝑗
(𝑘−1)) + 𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑖
para i=1,2,…n
El método de Gauss- Seidel, también es un método de desplazamientos sucesivos, ya
que los componentes del vector 𝑥𝑛+1, son calculados utilizando los componentes ya
obtenidos del mismo vector. En forma descriptiva, en este método se establece un valor
inicial y un factor de convergencia.
Nota: Se reitera la necesidad de que exista en la matriz de coeficientes, una diagonal
estrictamente dominante, es decir; cada elemento de la diagonal es el mayor en valor
absoluto que la de los demás elementos de la misma fila.
35
En una primera iteración, se propone un valor inicial 𝑥(0), 𝛿, el cual permite obtener los
valores 𝑥(1). De 𝑥1, se aplica inmediatamente su valor, para obtener 𝑥2, y ambos nuevos
valores, se usan para obtener 𝑥3. Las fechas muestran las disposiciones de los valores
de 𝑥(1).
𝑥(0), 𝛿
𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11
𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22
𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33
Segunda iteración. De forma similar a la primera iteración, se usan los valores obtenidos
en forma simultánea.
𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11
𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22
𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33
Nótese que se usa inmediatamente el último valor disponible de x, para calcular un
conjunto de nuevas x, con base en el conjunto de x anteriores.
El método finaliza cuando
|𝑥𝑖 − 𝑥(𝑛)𝑖| ≤ 𝛿
Ejemplo. Resolver el sistema lineal, por medio del método de Gauss- Seidel.
𝟒𝒙𝟏 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11
−𝑥1 + 𝟐𝒙𝟐 = 3
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝟒𝒙𝟑 = 16
1. De nuevo el sistema organizado con una diagonal dominante, se despeja la
variable de mayor coeficiente para obtener ecuaciones que puedan ser iteradas:
𝒙𝟏 =11
4−
1
2𝑥2 −
1
4𝑥3
𝐱𝟐 =3
2+
1
2𝑥1
𝒙𝟑 = 4 −1
2𝑥1 −
1
4𝑥2
36
2. Se usa un superíndice para hacer referencia al número de iteraciones, además,
de que se asigna una aproximación inicial al valor de las variables. Por ejemplo,
𝑥0 = (0,0,0) para iniciar el proceso de iteración, con 𝛿 < 0.001.
Con el método de Gauss-Seidel, el nuevo componente calculado se usa para obtener el
valor de la siguiente variable, sin tener que evaluar todo el sistema bajo los valores
iniciales.
𝑥11 =
𝟏𝟏
𝟒
𝑥21 =
3
2+
1
2(𝟏𝟏
𝟒) =
𝟐𝟑
𝟖
𝑥31 = 4 −
1
2(𝟏𝟏
𝟒) −
1
4(𝟐𝟑
𝟖) =
𝟔𝟏
𝟑𝟐
De tal forma que
𝑥11 =
𝟏𝟏
𝟒
𝑥21 =
𝟐𝟑
𝟖
𝑥31 =
𝟔𝟏
𝟑𝟐
Se continúa con la segunda iteración, para clarificar el procedimiento
𝑥2 = (11
4,23
8,61
32)
𝒙𝟏 =11
4−
1
2𝑥2 −
1
4𝑥3
𝐱𝟐 =3
2+
1
2𝑥1
𝒙𝟑 = 4 −1
2𝑥1 −
1
4𝑥2
𝑥12 =
11
4−
1
2(𝟐𝟑
𝟖) −
1
4(𝟔𝟏
𝟑𝟐) =
𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟐𝟖
𝑥22 =
3
2+
1
2(𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟐𝟖) =
𝟒𝟗𝟏
𝟐𝟓𝟔
𝑥32 = 4 −
1
2(𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟐𝟖) −
1
4(𝟒𝟗𝟏
𝟐𝟓𝟔) =
𝟑𝟏𝟕𝟕
𝟏𝟎𝟐𝟒
De tal forma que
𝑥12 =
𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟐𝟖≅ 𝟎. 𝟖𝟑𝟔
37
𝑥22 =
𝟒𝟗𝟏
𝟐𝟓𝟔≅ 𝟏. 𝟗𝟏𝟖
𝑥32 =
𝟑𝟏𝟕𝟕
𝟏𝟎𝟐𝟒≅ 𝟑. 𝟏𝟎𝟐
Las iteraciones continúan hasta que las diferencias de los tres valores correspondientes
al vector X sean menores que 𝛿 < 0.001.
La aproximación de la solución es
𝒙𝟏𝟓 = 𝟏
𝒙𝟐𝟓 = 𝟐
𝒙𝟑𝟓 = 𝟑
Con este método se realizaron 5 iteraciones para resolver numéricamente este sistema
de ecuaciones lineales.
Nota:
(1) La convergencia del método de Gauss Seidel, al igual que Jacobi, se logra cuando
el valor absoluto del coeficiente dominante se encuentra en la diagonal
principal del sistema de ecuaciones.
(2) El método de Gauss- Seidel converge en menos iteraciones que las requeridas
por el método de Jacobi.
TE INVITAMOS A QUE REVISES EL EJECUTABLE DE ESTE PROGRAMA TITULADO
GAUSS- SEIDEL
Ejemplo. Resolver por el método de Jacobi y el método de Gauss- Seidel, el siguiente
sistema lineal.
4𝑥 + 𝑦 = −3
𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 10
𝑦 + 4𝑧 = 1
Solución
Para ambos métodos se realiza un despeje de los elementos de la diagonal principal con
el mayor valor absoluto
𝑥 = −0.75 − 0.25𝑦
𝑦 = 2.5 − 0.25𝑥 − 0.25𝑧
𝑧 = 0.25 − 0.25𝑦
38
Se propone que el valor inicial sea 𝑥0 = (0,0,0), se establece un 𝛿 ≤ 0.001
Por el método de Jacobi Por el método de Gauss- Seidel
𝑥1 = −0.75
𝑦1 = 2.5
𝑧1 = 0.25
Segunda iteración:
𝑥2 = −0.75 − 0.25(2.5) = −1.375
𝑦2 = 2.5 − .25(−0.75) − 0.25(0.25)
= 2.625
𝑧2 = 0.25 − 0.25(2.5) = −0.375
Tercera iteración:
𝑥3 = 2.937
𝑦3 = 2.953
𝑧3 = −4.84
⋯
𝑥6 = −1.5
𝑦6 = 3
𝑧6 = −0.5
𝑥1 = −0.75
𝑦1 = 2.5 − 0.25(−0.75) = 2.669
𝑧1 = 0.25 − 0.25(2.687) = −0.422
Segunda iteración:
𝑥2 = −0.75 − 0.25(2.687) = −1.422
𝑦2 = 2.5 − 0.25(−1.422) − 0.25(−0.422)
= 2.961
𝑧2 = 0.25 − 0.25(2.961) = −0.490
Tercera iteración:
𝑥3 = −01.490
𝑦3 = 2.995
𝑧3 = −0.499
⋯
𝑥4 = −1.5
𝑦4 = 3
𝑧4 = −0.5
Es importante indicar que la elección del punto inicial no influye en la convergencia,
aunque sí habrá variaciones en el número de iteraciones para llegar a una solución
acorde al delta o tolerancia.
Ejemplo. A continuación, se presenta un sistema tridiagonal, resolver por Gauss- Seidel
[
4 −1 0 0 0−1 4 −1 0 00 −1 4 −1 00 0 −1 4 −10 0 0 −1 4 ]
[ 𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
=
[ 100200200200100]
Se sugiere comenzar con: (25, 50, 50, 50, 25), y con una tolerancia de 0.001
Solución
Primera iteración
Segunda iteración Sexta iteración
[ 44.33374.73390.55880.01446.203]
[ 46.13384.71492.44484.91246.230]
[ 46.15484.61592.30784.61546.154]
39
Séptima iteración Una matriz tridiagonal presenta elementos distintos de
cero en la diagonal principal que muestra un patrón de
comportamiento.
Debido a que la diferencia entre la sexta y séptima
iteración es nula, y tomando en cuenta que el delta, el
proceso se detiene:
|𝑥(7) − 𝑥(6)|
|𝑥(6)|= 0
[ 46.15484.61592.30784.61546.154]
AHORA, ¡ES TU TURNO!
Evidencia de aprendizaje 2.5
Resuelve por el método de Jacobi, el siguiente sistema.
10𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 44
𝑥1 + 2𝑥2 + 10𝑥3 = 61
2𝑥1 + 10𝑥2 + 𝑥3 = 51
Escribe tu respuesta en una hoja, tómale una foto y súbela.
Nota: (1) Recuerda intercambiar filas para que el sistema lineal te quede con
coeficientes dominantes en la diagonal principal.
(2) Te sugerimos asignar, para este caso, una aproximación inicial de (1, 1, 1)
(3) 𝛿 < 0.001
Evidencia de aprendizaje 2.6
Resuelve por el método de Gauss- Seidel, el siguiente sistema.
10𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 44
2𝑥1 + 10𝑥2 + 𝑥3 = 51
𝑥1 + 2𝑥2 + 10𝑥3 = 61
Actividades de aprendizaje
40
Escribe tu respuesta en una hoja, tómale una foto y súbela.
Nota:
(1) Te sugerimos asignar, para este caso, una aproximación inicial de (1, 1, 1)
(2) 𝛿 < 0.001
FORO DE DISCUSIÓN. Diseñar un screencast en el que se muestre tu propuesta de
enseñanza de un método mediado por tecnologías digitales.
BIENVENIDO AL NIVEL 3
En este nivel se integran tus conocimientos del nivel 1 y 2 y para ello, requieres poner
en práctica tu pensamiento estratégico. En esta sección te ayudaremos a desarrollarlo.
Fig. 2.1 Conceptualización del pensamiento estratégico en métodos numéricos
La figura 2.1 se refiere a realizar actividades desde plantear un fin, analizar los medios
con los que se cuenta, hasta la interpretación de resultados. Justamente, en esta sección
te presentaremos ejemplos.
41
Situación del problema y organización de la información…
Una fábrica de concreto almacena tres mezclas básicas (A, B, C) del mismo, que se
presentan a continuación. Las cantidades se miden en gramos y cada “unidad” de
mezcla pesa 60 gramos.
Con base en la tabla anterior, la fábrica puede formular mezclas especiales revolviendo
combinaciones de las tres básicas. Se tienen las siguientes dudas:
a. ¿Se puede hacer una mezcla que consista en 1 000 g de cemento, 200 g de agua, 1 000
g de arena, 500 g de grava y 300 g de tobas?
b. ¿Por qué sí o por qué no?
c. De ser posible, ¿cuántas unidades de cada una de las mezclas A, B y C se necesitan para
formular la mezcla especial?
La realización del modelo matemático…
La información organizada en el planteamiento del problema, es del tipo Ax=b, donde
A es una matriz de coeficientes, x es un vector y b, es un vector. Los datos del problema
aplicado al modelo matemático, indican para la primera duda (inciso a), que sí es
posible generar un modelo matemático.
(
20 18 12 |100010 10 10 | 20020 25 15 |100010 5 15 | 5000 2 8 | 300)
No obstante, vale la pena hacer algunas precisiones. Se observa que la matriz de
coeficientes es de orden 5x3, es rectangular (dimensión m x n). Por esta condición se
tendrán dos opciones; o un sistema indeterminado (con un número infinito de
Ejemplos de aplicación
A B C
Cemento 20 18 12
Agua 10 10 10
Arena 20 25 15
Grava 10 5 15
Tobas 0 2 8
42
soluciones), que conduzca a combinaciones lineales. O como segunda opción, que sea
un sistema incompatible, esto es, el vector de términos independientes
(
10002001000500300 )
no
pertenece al espacio de la matriz de coeficientes Ax.
Los métodos numéricos de solución…
La matriz de coeficientes no es cuadrada, por tanto, no se pueden emplear los dos
métodos indirectos estudiados en este capítulo.
Además, queda la duda de cómo se podrían ordenar las filas para lograr coeficientes
dominantes en la diagonal principal.
Las opciones se remiten a métodos directos. Dado que estas notas tienen un interés
didáctico y de demostración de la aplicación de conceptos sobre espacios vectoriales,
se escoge el método de Gauss Jordan. En la praxis, el método del máximo elemento
pivoteo y/o LU serían los más adecuados por la aproximación de los resultados.
A continuación, se presenta el proceso de solución del sistema.
Se puede resolver manualmente. Recuerda que se afectan los renglones R que aparecen
al final de cada operación. Esto es, en la primera operación aparece −1
2𝑅1 + 𝑅2, lo cual
implica que el primer renglón se multiplicó en su totalidad por −1
2, y la suma con 𝑅2, se
reflejó en el renglón 𝑅2:
20 18 12 | 1000
0 1 4 | 300
20 25 15 | 1000
10 5 15 | 500
0 2 8 | 300
−
Para resolverlo, puedes acceder a https://es.symbolab.com/, sitio que contiene una
calculadora útil.
El resultado, se presenta a continuación. En la diagonal principal se tienen valores
unitarios:
43
(
1 0 0 | 680 1 0 | 360 0 1 | −840 0 𝟎 | 𝟗𝟎𝟎0 0 0 | 0 )
Interpretación de resultados…
El resultado desde una perspectiva indica que el sistema es inconsistente.
Véase los resultados desde la perspectiva del contexto del problema:
A B C Totales
Cemento 1 0 0 68
Agua 0 1 0 36
Arena 0 0 1 -84
Grava 0 0 0 900
Tobas 0 0 0 0
Con respecto a los incisos b y c, se tiene la siguiente respuesta. No es posible hacer una
mezcla especial de 1 000 g de cemento, 200 g de agua, 1 000 g de arena, 500 g de grava
y 300 g de tobas. Se observan dos incongruencias.
Los resultados descritos en lenguaje natural son: para lograr la mezcla especial de cada
componente,
Para la mezcla A, se requieren 68 gramos de cemento.
Para la mezcla B, se requieren 36 gramos de agua.
Para la mezcla C, no se requiere arena, HAY UN ADEUDO de 84 gramos, ¿cómo
es posible esto?
Con respecto a la grava, sin requerir de esta, GENERARÁ 900 gramos, lo cual es
un ABSURDO.
Finalmente, no se requiere material de tobas.
En el modelo matemático existen combinaciones lineales entre las ecuaciones, razón
por la cual, hay un renglón de ceros, lo que denota dependencia lineal. Más aún, por el
orden de la matriz rectangular, el sistema muestra la existencia de una inconsistencia
del sistema lineal, lo que tiene como consecuencia la imposibilidad de hallar una
solución por los métodos clásicos de eliminación gaussiana.
Hasta aquí ha quedado resuelto el problema.
44
Ejemplo.
Situación del problema…
Una compañía de electrónica produce transistores, resistencias y chips de
computadora. Cada transistor requiere de cuatro unidades de cobre, una de zinc y dos
de vidrio.
Cada resistor requiere de tres unidades de cobre, tres de zinc y una unidad de vidrio.
Cada chip de computadora requiere de dos, una y tres unidades de materiales,
respectivamente.
Los suministros de estos materiales varían de una semana a la otra, de modo que la
compañía necesita determinar una corrida de producción diferente cada semana.
Por ejemplo, cierta semana las cantidades disponibles de los materiales son 960
unidades de cobre, 510 unidades de zinc y 610 unidades de vidrio.
a. ¿Se puede configurar un modelo matemático para tal caso?, ¿cuál sería la solución al
caso?
¿Cómo organizo la información?
Planteamiento del problema. Una sugerencia para la configuración del planteamiento
del problema es mediante la elaboración de una tabla, en la cual los productos, esto es,
los transistores, resistencias y chips de computadora se ubiquen como las columnas.
Los recursos y/o los requerimientos de cada producto, se ubican en los renglones.
Producto
Recursos
Transistores T Resistencias R Chips C
Cobre C 4 3 2
Zinc Z 1 3 1
Vidrio V 2 1 3
La realización del modelo matemático…
De acuerdo con el inciso a. la configuración del sistema de ecuaciones que modela la
situación sobre la producción de transistores (T), resistencias (R) y chips (C) que se
debe fabricar en esa semana, se presenta a continuación:
4T+3R+2C= 960
T+3R+C= 510
2T+R+3C=610
Sujeto a:
45
𝑇 ≥ 0, 𝑅 ≥ 0, 𝐶 ≥ 0
δ=0.1
El modelo matemático indica que
4T+3R+2C= 960 Se tiene disponible de cobre, para esa semana, 960
unidades. Además, se sabe de antemano que para cada T,
se requieren de cuatro unidades, para cada R, tres
unidades y para cada C, dos unidades
T+3R+C= 510
2T+R+3C=610
Una situación similar ocurre con las 510 unidades de zinc
y las 610 unidades de cobre
Además, nótese que en la diagonal principal han quedado
los coeficientes dominantes, esto es, los de mayor valor
absoluto.
Además, de mucha importancia, son las condiciones para la interpretación de los
resultados, 𝑇, 𝑅 𝑦 𝐶 ≥ 0 que, en este caso, deben ser mayores de cero, ya que se trata
de piezas físicas.
Por otro lado, dado que existen errores asociados a los cálculos numéricos, los
resultados no siempre llegan a ser exactos, por ello, se define un valor para un factor de
convergencia, en este caso, δ=0.1.
Este número dependerá del grado de precisión que se busca, como se tienen piezas
únicas de T, R y C, no tendría sentido una precisión menor.
Los métodos numéricos de solución…
Nótese que, el sistema de ecuaciones lineales tiene en la diagonal principal los
coeficientes dominantes.
4T+3R+2C= 960
T+3R+C= 510
2T+R+3C=610
Por el tipo de sistema, los dos métodos indirectos de Jacobi y Gauss Seidel llegarán a
converger a una solución, siempre y cuando la magnitud del coeficiente de una
incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con
respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación, en valor absoluto.
Como se habrá notado, en el método de Gauss- Seidel conforme un nuevo valor de x se
calcula, éste se usa inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar el otro
valor de x. De esta forma, si la solución es convergente, se empleará la mejor
aproximación disponible.
46
Dado que ambos métodos son aproximados, el uso de la computadora sea hace
necesario. Se presentan impresiones de pantalla para ambos casos con Excel.
Observe que se ha introducido la matriz y los valores iniciales, son propuestos por cada
uno, y siguen el orden del vector resultante.
Con respecto a los cálculos, a continuación, se presenta la forma de hacerlos:
Al “arrastrar” todas las filas hacia abajo, se observará que el sistema adquiere
estabilidad en la aproximación que muestre diferencias de acuerdo con el delta
establecido. Se presenta una impresión de pantalla de los resultados.
Nótese que la celda en amarillo representa el cálculo de
𝑇 =960
4−
3
4𝑅 −
1
2𝐶
Lo mismo ocurre para los nuevos valores de R y C, en el segundo y tercer renglón.
La finalización se define como |𝑥𝑖 − 𝑥(𝑛)
𝑖| ≤ 𝛿 que, en Excel se ha introducido con los comandos =MAX(ABS(B9-E9),ABS(C9-F9),ABS(D9-G9)). Esto es, toma la máxima diferencia de la iteración anterior con respecto a la actual.
47
Mientras que aproximadamente en la iteración 16 ya se había logrado el resultado en
Gauss Seidel, en el método de Jacobi aún se requieren de más iteraciones. Los resultados
que satisfacen al sistema son:
Transistores T=120 Resistencias R=100 Chips C=90
Interpretación de resultados…
Los resultados son: para los transistores se requieren 120 componentes, para las
resistencias 100 piezas y para los chips 90. Estos resultados satisfacen la corrida de
producción indicada.
Hasta aquí se da por terminado el caso.
Evidencia de aprendizaje 2.7
Una empresa agrícola maneja tres tipos de cosechas (C1, C2, C3), y dependiendo del
estado del tiempo se genera una determinada utilidad o pago.
Se requiere un estudio de planeación para determinar el tipo de cosecha que genere la
máxima utilidad con base en el estado del tiempo, entendiendo lo anterior como la
ganancia que cada cosecha genera con respecto al estado del tiempo
Para el estado del tiempo bueno (N1), la ganancia de la cosecha C1 sería de $40,000.00.
El de la cosecha tipo dos C2, sería de $50,000.00, y el de la cosecha tipo tres C3, sería de
$60,000.00.
Evidencia de aprendizaje
48
Si el estado del tiempo es variable, identificado por (N2), las nuevas ganancias serían:
para C1, $60,000, para C2, $40,000.00 y para C3, $20,000.00
Ahora, si el estado del tiempo es malo identificado por (N3), las nuevas ganancias serían
de: C1- $10,000.00, C2-$15,000.00 y C3- $12,000.00
Como no hay certeza en el estado del tiempo, se estima que la posibilidad de ocurrencia
de N1 es del 25%, la probabilidad de ocurrencia para N2 es del 50%, y para N3, del 25%.
Con base en lo anterior
2.7a Explica el problema en términos de conceptos, es decir, interpreta la información
y organízala.
2.7b Genera el modelo matemático y resuélvelo. Medita bien el inciso a., donde se
pretende obtener la ganancia de cada cosecha por respecto al estado del tiempo.
Nota: Se sugiere utilices una forma matricial. Sube tus resultados con una fotografía.
2.7c Interpreta los resultados, ¿qué tipo de cosecha conviene más?
Resulta que el servicio meteorológico envía un reporte del tiempo a la empresa,
indicando que el estado del tiempo N1, ahora, tiene una posibilidad del 50%, el N2 del
25% y el N3 del 25%.
2.7d Con estos últimos datos, ¿Cuál es la nueva solución?
49
2.7e Al cambiar las posibilidades del estado del tiempo, ¿qué se infiere de los resultados
obtenidos?
Evidencia de aprendizaje 2.8
De acuerdo con la European Lung Foundation, la contaminación del aire interior es el
término utilizado para describir la exposición a ciertas sustancias que se encuentran en
viviendas, comercios, colegios, transporte y estaciones de metro. En espacios cerrados,
se llegan a detectar más de 900 compuestos en el aire interior y algunos contaminantes
pueden estar 2-5 veces más concentrados en el interior, que en el exterior de los
edificios.
Se requiere calcular el sistema de ventilación de un restaurante, cuya vista de
proyección es la siguiente.
Figura 2.2 Distribución de cargas de aire
50
En la figura 2.2, el restaurante consiste de tres áreas. Los cuadros 1 y 2, corresponden
a las áreas de fumar y de niños, respectivamente. Las áreas 3 y 4, corresponden a las
áreas de la parrilla (donde se tiene un asador), y del comedor.
En la figura, las flechas en un solo sentido representan los flujos volumétricos de aire
limpio (gasto Q 𝑚3/ℎ𝑟, concentración de aire c 𝑚𝑔/𝑚3).
Las flechas de doble sentido, representan una mezcla difusa de contaminantes y aire
(unidades 𝑚3/ℎ𝑟, aunque no se sabe la concentración de mezclas 𝑐1 − 𝑐3, 𝑐2 − 𝑐4).
Además, existen cargas de monóxido de carbono CO provenientes de las secciones de
fumar y del asador descompuesto, esto es, las secciones 1 y 3, tienen fuentes de CO, que
se distribuyen a las secciones 2 y 3 (flechas gruesas, en unidades 𝑚𝑔/ℎ𝑟).
Usted, como inspector de salubridad quiere determinar un balance de aire puro y CO,
para las diferentes secciones del restaurante y tomando en cuenta las mezclas de
concentraciones (tomando en cuenta que la suma total de cargas debe ser cero, o sea,
la suma de las entradas debe ser igual a la suma de las salidas).
Por ejemplo, en la sección de fumar 1 y tomando en cuenta los flujos representados por
la letra 𝑄𝑖 y las concentraciones de monóxido de carbono por las letras 𝑐𝑖 , siendo la
carga el producto 𝑄𝑖𝑐𝑖 , el balance correspondiente es:
0 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 1−3
Téngase en cuenta que las cargas de flujos y las cargas de mezclas se constituyen por el
gasto Q y la concentración del aire (en el esquema 2 𝑚𝑔/𝑚3).
Que en forma simbólica se escribe:
0 = 𝑊𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝑄𝑎𝑐𝑎 − 𝑄𝑎𝑐1 + 𝐸13(𝑐3 − 𝑐1)
Nótese que se han usado subíndices 1 y 3, que se refieren a las concentraciones
asociadas a las secciones correspondientes a las mostradas en el esquema del
restaurante. Además, la representación de la flecha bidireccional de las secciones 1 y 3,
se ha representado como 𝐸13(𝑐3 − 𝑐1)
Al sustituir con valores
51
0 = 2000 + (200)(2) − 200𝑐1 + 25(𝑐3 − 𝑐1)
Simplificando y transponiendo términos, resulta en:
225𝑐1 − 25𝑐3 = 2400
Obviamente, se requieren generar otras ecuaciones similares para las secciones
restantes y conocer las concentraciones requeridas.
2.8a Interpreta la información del modelo matemático que representa la concentración
de CO en cada sección del restaurante (considerando las concentraciones se encuentran
en un estado estable)
En la sección 1. 𝑊𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝑄𝑎𝑐𝑎 − 𝑄𝑎𝑐1 + 𝐸13(𝑐3 − 𝑐1) = 0
En la sección 2. 𝑄𝑏𝑐𝑏 + 𝐸24(𝑐4 − 𝑐2) + 𝑄𝑑𝑐4 − 𝑄𝑐𝑐2 = 0
En la sección 3. 𝑄𝑎𝑐1 + 𝐸13(𝑐1 − 𝑐3) + 𝑊𝑝𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 − 𝑄𝑎𝑐3 + 𝐸34(𝑐4 − 𝑐3) = 0
En la sección 4. 𝑄𝑎𝑐3 + 𝐸34(𝑐3 − 𝑐4) − 𝑄𝑑𝑐4 + 𝐸24(𝑐2 − 𝑐4) − 𝑄𝑑𝑐4 = 0
Considera que tu comunicación de la interpretación del modelo sea clara y precisa
2.8b Sustituye los valores en el modelo matemático del sistema de ventilación
2.8c Elige el método numérico de solución y justifica su uso
2.8d Resuelve el caso. Elige la opción correcta.
Nota. Apóyate con el ejecutable SISTEMAS LINEALES
52
Si deseas usar Excel para resolver el caso. Puedes usar los comandos MINVERSA para
la matriz de coeficientes y luego, MMULT, para multiplicar la matriz inversa por el
vector de términos independientes.
i.
𝑐1 13.10
𝑐2 15.79
𝑐3 21.86
𝑐4 21.31
ii.
𝑐1 8.10
𝑐2 12.34
𝑐3 16.90
𝑐4 16.48
iii.
𝑐1 6.10
𝑐2 10.97
𝑐3 14.91
𝑐4 14.55
2.8e Interpreta los resultados desde el contexto del problema.
Nota. El envenenamiento por monóxido de carbono causa multitud de efectos debido
a la inhibición de la oxidación celular, cuyo envenenamiento leve causa vómitos,
dolor de cabeza, malestar debilidad, fatiga y falta de respiración.
¿Qué pasaría si…?
2.8e Del modelo matemático, se ajusta y ahora las cargas de fumadores y de la parrilla
aumentan a 3000 y 5000 𝑚𝑔/ℎ𝑟, respectivamente.
¿Qué observas?
53
NIVEL CUATRO
Este nivel es de profundización. Requiere pensamiento estratégico y también formas de
pensamiento matemático abstracto. Es un nivel en el cual requerirás sintetizar,
reflexionar y evaluar casos.
El apartado toma dos temas aparentemente no relacionados. El primero, te muestra y
explica pseudocódigos y algoritmos, como una base para que tengas la capacidad de
desarrollar tus propios programas de computación, y no dependas de diseños ya
elaborados.
Fig. 2.2 Tópicos de profundización
El segundo, te permite generar estudios “finos” para el diseño de sistemas lineales,
mediante la evaluación de la estabilidad entre las ecuaciones lineales dentro del modelo
matemático.
Cualquiera que sea tu elección, te conducirá al final a generar tu propuesta.
Algoritmos de programación
Al ingeniero le puede resultar de particular interés la representación del método
numérico en forma de un algoritmo que facilitará la codificación del mismo en cualquier
lenguaje de programación, para hacer adecuaciones pertinentes si son necesarias. Una
forma sencilla de comenzar es con el pseudocódigo, o sea, describir con lenguaje
natural, las acciones sucesivas y lógicas que constituyen al método numérico elegido.
El pseudocódigo…
Dado que el pseudocódigo es un lenguaje intermedio entre el lenguaje natural y el de
programación, por ejemplo, Excel, MATLAB, MAPLE, C++, Python etc., no tiene en
realidad una composición estandarizada, pero es un mecanismo muy útil de ordenación
Antes del proyecto...
Diseño de algoritmos
Estabilidad de sistemas
lineales
Conducción de tu
propuesta
54
lógica de ideas. A continuación, se presenta un pseudocódigo de sistemas lineales,
basado en Gauss Jordan y el algoritmo del mismo (Fig. 2.3).
Fig. 2.3 Pseudocódigo y algoritmo de Gauss-Jordan
1. Dar el orden de la matriz
2. Dar los coeficientes de la matriz
aumentada
3. Seleccionar un elemento de la
diagonal principal
4. Por columnas y en el renglón
correspondiente, proporcionar el
coeficiente de la diagonal principal y
convertirlo en 1, y dividir todo el
renglón entre dicho elemento
5. Con los renglones restantes, calcular
combinaciones lineales para
convertir el vector en cuestión en
vector unitario
6. Imprimir resultados
7. Fin
Nota: Recordar que un diagrama de flujo es la representación gráfica de un algoritmo.
El diseño y uso de algoritmos que luego se puedan traducir en un lenguaje de
computadora, posibilita obtener resultados numéricos no solo del caso presentado,
sino de distintos problemas. En este sentido, un algoritmo es un modelo que representa
una evidencia tangible de pensamiento matemático. Ahora, te presentamos el algoritmo
de Jacobi.
Fig. 2.4 Algoritmo de Jacobi
55
1. 1. Inicio
2. 2. Dar el orden de la matriz (n)
3. 3. Dar el δ (factor de convergencia)
4. 4. Dar los coeficientes de la matriz
4.1 Ordenar los elementos de la diagonal
principal de acuerdo a este método
5. 5. Dar los valores iniciales (𝑋𝐼𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛)
6. 6. Dar un control, kick-off (bandera)
7. 7. Mientras kick-off se encuentre activo, hacer
7.1 Calcular el valor del vector en función del
término independiente
7.2 Se recorren las columnas para completar el
valor del vector en función de las variables 𝑥𝑖 =
𝑥𝑖 −𝑎𝑖𝑗∗𝑋𝐼𝑖
𝑎𝑖𝑖
7.3 Se verifica |𝑥𝑖 − 𝑋𝐼𝑖| ≤ 𝛿
7.3.1 En caso positivo, cerrar proceso. Si no
es así, ir a 7.1, con el siguiente renglón.
7.4 Asignar los valores finales de 7.2 a 𝑋𝐼𝑖
8. 8. Imprimir resultados
9. Fin del programa
56
Eigenvalores y eigenvectores
El análisis de la estabilidad es un requerimiento básico de los sistemas lineales; indica
si los componentes del sistema tienen una relación estable entre sí. A esta propiedad se
le suele asignar un número o eigenvalor (valor propio o característico) y se determina
si ante esa perturbación, el comportamiento del sistema se afecta o no.
Este tipo de análisis es muy útil para sistemas mecánicos, donde perturbaciones causan
vibraciones u oscilaciones y a partir del comportamiento del eigenvalor dominante
(diagonal principal), se puede determinar el decaimiento del dispositivo en cuestión
y/o la recuperación a la estabilidad.
El concepto también adquiere importancia, en el campo de la economía, con precios de
producción. Los modelos de estabilidad en este caso, corresponden a las condiciones de
estabilidad de modelos de precios de producción.
Recordar el problema de los transistores. El modelo matemático corresponde a
4T+3R+2C= 960
T+3R+C= 510
2T+R+3C=610
Donde T, son transistores, R, resistencia y C, chips.
En este problema, el cuestionamiento sería: ¿Se encuentran los recursos de materiales
de cobre, zinc y vidrio balanceados sobre los productos indicados? Esto es
particularmente útil para el ingeniero industrial en un balanceo de líneas de ensamble,
en términos del equilibrio de los recursos por cada una de ellas.
Se parte de que el sistema sea consistente, es decir; tenga una única solución. De la
matriz de coeficientes se busca generar un polinomio característico, en este caso, de la
forma 𝜆3 + 𝑏1𝜆2 + 𝑏2𝜆 + 𝑏3 = 0.
Te recomendamos ampliamente visites el siguiente recurso digital, cuya explicación
visual te permitirá comprender mejor el concepto de eigenvalores:
http://setosa.io/ev/eigenvectors-and-eigenvalues/
Método de Krilov
El método de Krilov, permite evaluar la estabilidad de sistemas lineales. Es un método
indirecto. Su ventaja supone una alternativa muy apropiada cuando se trata de evitar,
la resolución por determinantes de orden mayor de tres.
57
En este caso, la matriz es de orden 3, aunque, por razones didácticas se presentará el
caso, bajo el método indicado, el cual se fundamenta en la aplicación del Teorema de
Cayley-Hamilton: Toda matriz cuadrada, se identifica por su propio polinomio
característico: F(A)=0
Asimismo, de un corolario que se desprende del mismo: El grado del polinomio
característico se define por el orden de la matriz A.
La forma de lograr que un sistema de ecuaciones lineales se transforme en un polinomio
algebraico, se logra al multiplicar una matriz A, por un vector �̅�, compatible en el orden
y distinto de cero, tantas veces como sea el orden de la matriz y que se elige libremente,
por ejemplo, un unitario, que facilita las operaciones:
�̅� =
[ 100…0]
Recordar que la multiplicación de una matriz, por un vector, da por resultado un vector.
En el ejemplo, el vector �̅� es de orden 𝑛 = 3𝑥1, lo que resulta en:
𝐴�̅� = [4 3 21 3 22 1 3
] [100] = [
412]
Se realizan multiplicaciones sucesivas de la forma
𝐴2�̅� = 𝐴 𝐴�̅� = [4 3 21 3 22 1 3
] [412] = [
23915
]
𝐴3�̅� = 𝐴 𝐴2�̅� = [4 3 21 3 22 1 3
] [23915
] = [14965100
]
Las operaciones se detienen de acuerdo con el orden de la matriz del problema en
cuestión. Ahora, se procede a formar un sistema de ecuaciones lineales, siguiendo la
forma
𝐴3�̅� + 𝐴2�̅�(𝑏1) + 𝐴�̅�(𝑏2) + �̅�(𝑏3) = 0
Es decir;
149 + 23𝑏1 + 4𝑏2 + 𝑏3 = 0
65 + 9𝑏1 + 𝑏2 = 0
100 + 15𝑏1 + 2𝑏2 = 0
cuyo reordenamiento facilita la solución del sistema lineal
58
23𝑏1 + 4𝑏2 + 𝑏3 = −149
9𝑏1 + 𝑏2 = −65
15𝑏1 + 2𝑏2 = −100
Resolviendo el sistema lineal por Gauss Jordan, las soluciones que se encuentran son:
𝑏1 = −10
𝑏2 = 25
𝑏3 = −19
Los resultados son los eigenvalores, y con ellos
se forma el polinomio algebraico de la forma
𝜆3 + 𝑏1𝜆2 + 𝑏2𝜆 + 𝑏3 = 0, con función
característica:
𝜆3 − 10𝜆2 + 25𝜆 − 19 = 0
Al graficar la función, y recordando el tema 1
sobre la obtención de raíces irracionales, se
genera una única solución real positiva igual
6.6856, siendo la función creciente en la
vecindad de la raíz.
Las otras dos raíces son complejas siendo su parte real positiva y su parte imaginaria,
negativa.
Interpretación de resultados- La estabilidad equivale a analizar las raíces del polinomio
característico. En este problema, los resultados muestran valores característicos uno
real y dos complejos.
Cuando se tienen resultados de raíces complejas significa que el sistema, o sea, la matriz
de coeficientes A [4 3 21 3 22 1 3
], internamente presenta un desbalanceo entre la
distribución de recursos: hay un desequilibrio en la asignación de recursos para los
transistores, resistencia y chips.
Además, dado que las raíces complejas son positivas en su parte real, esto implica que
el desbalanceo será divergente, si se sigue manteniendo la relación entre los vectores
componentes de la matriz original.
59
En cambio, si las raíces complejas, hubiesen tenido su parte real con valor negativo, esto
implicaría que en un inicio existiría desbalanceo pero se llegaría a una convergencia:
una estabilidad en un tiempo 𝑡𝑛.
Evidencia de aprendizaje 2.9
Proyecto
Ingeniería en Computación:
- Investigar el método de pivoteo parcial.
- Elaborar un programa de computadora en un lenguaje de uso general (el que tú
conozcas) para resolver un sistema lineal de orden nxn por los métodos de
Gauss Jordan, pivoteo parcial, Jacobi y Gauss Seidel.
- Generar el programa fuente y presentar el programa ejecutable para los cuatro
métodos.
Ingeniería Civil, Ingeniería Eléctrica Electrónica, Ingeniería Industrial, Ingeniería
Mecánica:
- Investigar el método de pivoteo parcial.
- Construir el pseudocódigo y diagrama de flujo para los métodos de pivoteo
parcial y Gauss Seidel. (Te recomendamos ampliamente usar la aplicación de
lucid chart).
- Escribir un ensayo con ejemplos de aplicación, de acuerdo con tu carrera, bajo
el título ¿Por qué son importantes los eigenvalores en Ingeniería? (5 páginas)
Evidencia de aprendizaje
60
¿No te fue bien en alguno de los niveles?, ¿Crees que puedes mejorar su nivel de
aprendizaje?, ¿simplemente quieres seguir experimentando?... Bienvenido a “Ponte a
prueba”
Test de reposición
Bienvenido a la siguiente prueba sobre el tema “Sistemas lineales”.
Lee con atención y contesta lo que se te solicite.
1. Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado si:
a) Tiene más de una solución
b) Tiene una sola solución
c) No tiene solución
2. Los métodos de eliminación tienen gran utilidad y su uso es adecuado en los
casos de
a) Sistemas lineales nxn relativamente pequeños
b) Sistemas lineales nxn muy grandes
c) Matriz de coeficientes con términos dispersos
3. Suponer que el modelo matemático se ha representado de la siguiente forma:
[
8 14 −3 200 | 83000 4 −1 8 | 260.002 16 14 −1.11 | 4500−8 −3 8400 0.0003 | 18
]
Elija el método numérico más adecuado al caso.
a) Pivoteo parcial
b) Jacobi
c) Gauss-Jordan
4. De la pregunta 3, ¿Por qué eligió ese método?
61
5. A continuación, se presenta la representación lineal de un segmento de una
estructura de un puente:
0 0 0 -1 0 0 0
0 0.86602479 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 -
0.86602479
-1 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 0 0
-1 0.50000106 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 10000
0 -
0.50000106
0 0 0 -1 0
Donde cada columna representa los valores de las fuerzas (Fj). La última columna es el
vector de términos independientes (R).
Encuentre la solución que satisface a todas las variables.
i.
f1 -33460.552
f2 23660.1398
f3 10000
f4 -27320.3955
f5 23660.1398
F1 0
F2 -23660.2267
F3 13660.2267
ii.
f1 33460.552
f2 23660.1398
f3 10000
f4 27320.3955
f5 23660.1398
F1 0
F2 23660.2267
F3 13660.2267
iii.
f1 33460.552
f2 -23660.1398
f3 -10000
f4 27320.3955
f5 -23660.1398
F1 0
F2 -23660.2267
F3 13660.2267
6. ¿En qué difiere un método indirecto de un directo?
a. El indirecto se resuelve por aproximaciones sucesivas siendo su resultado, un
valor contenido en un rango establecido. En el directo, se emplean algoritmos
específicos que generan un resultado único.
f1 f2 f3 f4 f5 F1 F2 F3 R0.70710548 1 0 0 0 -1 0 0 0
-0.70710548 0 0 0.86602479 0 0 0 0 0
0 -1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 -0.86602479 -1 0 0 0 0
0.70710808 0 0 0 0 0 -1 0 0
-0.70710808 0 -1 0.50000106 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 10000
0 0 0 -0.50000106 0 0 0 -1 0
62
b. El indirecto se emplean algoritmos específicos que generan un resultado único.
El directo se resuelve por aproximaciones sucesivas siendo su resultado, un
valor contenido en un rango establecido
c. El indirecto genera un modelo matemático construido por el usuario, y el directo
se puede resolver por métodos analíticos.
7. El método de Gauss-Jordan se basa en:
a. Combinaciones lineales
b. Operaciones aritméticas de suma y resta
c. Ordenamiento de renglones
8. Para la eficiencia del método de Gauss- Jordan se toman en cuenta:
a. Cuatro operaciones de suma, resta, multiplicación y división
b. Multiplicaciones y divisiones, excluyendo sumas y restas
c. La matriz de coeficientes y no la matriz ampliada
9. En el método de Jacobi, su eficiencia se ha presentado en páginas anteriores.
Considere la siguiente situación, para calcular la eficiencia. Por cada ecuación
que se aumente a un sistema lineal, el número de operaciones aumenta:
a. Tres veces
b. Treinta veces
c. Trescientas veces
10. El método numérico de Gauss- Seidel, dada su naturaleza es ideal para aplicarse
en:
a. Matrices densas y muy grandes
b. Matrices dispersas y muy grandes
c. Matrices densas y pequeñas
Preguntas de reflexión
Lee con atención las preguntas, y contesta lo que se te pide.
1. ¿Cuáles fueron las principales ideas o conceptos matemáticos que aprendieron
durante el desarrollo de la unidad?
2. ¿Qué preguntas tienes aún sobre los métodos usados en la unidad?
63
3. Describe un error o malinterpretación que algún compañero tuvo con el estudio
de este tema.
4. ¿Qué nuevo vocabulario aprendiste? Genera una oración con esos términos.
5. ¿Qué fortalezas y debilidades notas de esta forma de evaluar el aprendizaje?
6. ¿Qué TIC emplearon para el desarrollo del proyecto?
7. ¿Los problemas propuestos son modelos reales que te preparan para tu futuro
profesional?
Rúbrica de evaluación
La rúbrica que a continuación se presenta, se orienta a evaluar el aprendizaje en
términos de qué tan profundo se ha comprendido el contenido presentado, con el fin de
interactuar con este en forma exitosa.
Comprende 4 niveles de comprensión. El nivel 1, se orienta a la reproducción y
memorización de un hecho, término, principio, concepto, así como a la ubicación de
detalles. Puede llegar hasta la solución de problemas rutinarios no complejos.
El nivel 2 trata con la aplicación de habilidades y conceptos. Se trata de organizar y
mostrar información. Interpretar gráficos, resumir, identificar las ideas principales,
explicar relaciones. Hacer uso de la información, del conocimiento conceptual que
conlleva a seleccionar el procedimiento básico apropiado para una tarea dada, tomar
decisiones y resolver.
El nivel 3, es una naturaleza estratégica. Requiere razonamiento o desarrollo de un plan
o secuencia de pasos para aproximarse al problema, requiere toma de decisiones. Se
trata de hacer justificaciones en cada etapa de resolución de problemas y de presentar
evidencia de lo mismo.
El nivel 4, tiene que ver con la creación. Puede ser una investigación y/o aplicación de
un problema del mundo real. Requiere tiempo para investigar y para resolver
problemas no rutinarios. La resolución del problema requiere visualizar múltiples
condiciones, además de hacer manipulaciones no rutinarias. Sintetizar información en
forma interdisciplinaria, ya sea con contenidos, áreas, fuentes, etc.
La rúbrica se presenta por niveles.
64
Para el nivel 1 el estudiante debe cumplir con un objetivo de aprendizaje para acceder
al nivel 2.
Si el estudiante cumple hasta un mínimo de 3 puntos accede al nivel 2 con las
recomendaciones pertinentes que realice el profesor.
Cada rubro tiene un valor de un punto.
Nivel de comprensión1 Evidencia de
aprendizaje
Puntaje
Reproduce el concepto de linealidad al
distinguir si una representación puede ser
definida como un modelo matemático de
sistemas lineales.
2.1a, 2.1b, 2.1c,
2.1d,
4
Para el nivel 2, con un puntaje menor a 6, se le recomendará al alumno que afiance el
nivel 1, y realice los problemas pertinentes del test de reposición.
Cada rubro tiene un valor de un punto.
Nivel de comprensión 2 Evidencia de
aprendizaje
Puntaje
Distingue variables y explica qué
representan en un sistema de ecuaciones
lineales.
2.2a, 2.2b, 2.2c,
2.2d, 2.3a,
2.3b,2.3c
7
Aplica procedimientos de métodos directos
e indirectos 2.4, 2.5, 2.6 3
Con un puntaje igual o mayor a 5, el alumno puede continuar con el nivel 4.
Cada rubro tiene un valor de un punto.
Nivel de comprensión 3 Evidencia de
aprendizaje
Puntaje
Explica y relaciona ideas en una situación
real y compleja.
2.7a, 2.8a 2
Desarrolla un modelo matemático básico
que muestra cómo funciona un fenómeno.
2.7b, 2.8b 2
65
Soluciona un problema y justifica una
solución con argumentos lógicos.
2.7c, 2.8c, 2.8d 2
Realiza un análisis de sensibilidad, bajo un
conjunto dado de suposiciones.
2.7d, 2.7e, 2.8e 2
Nivel de comprensión 4 Evidencia de
aprendizaje
Puntaje
Escribe el código fuente y presenta el
ejecutable- Ingeniería en Computación.
2.9 3
Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica,
Eléctrica- Electrónica: Sintetiza ideas en
nuevas representaciones (elaborar un
pseudocódigo, diagrama de flujo y
programa en código, escribir un ensayo).
2.9 3
