Upload
vuongnhi
View
244
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENYELESAIAN MASALAH
OPTIMISASI NONLINEAR BERKENDALA
DENGAN METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah
Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Daniel Teguh Kurniawan
NIM : 013114027
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
THE SOLUTION
OF NONLINEAR CONSTRAINED OPTIMIZATION PROBLEMS
WITH INTERIOR PENALTY FUNCTION METHODS
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Sarjana Sains Degree
in Mathematics
By :
Daniel Teguh Kurniawan
Student Number : 013114027
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
” PERIHAL WAKTU ”
Selama-lamanya bukan berarti kekal, namun kekal
adalah selama-lamanya.
Jangan biarkan waktu terbuang dengan sia-sia,
karena waktu terus berlalu.
Waktu sangatlah mahal dan singkat, sekali berlalu
tidak akan kembali.
MOTTO
” Tetapi carilah dahulu Kerajaan Allah dan kebenarannya, maka
semuanya itu akan ditambahkan kepadamu.” ( Matius 6:33 )
Skripsi punika kawula aturaken :
Konjuk dhumateng Gusti Yesus ingkang tansah paring sih rahmat lan
tentrem rahayu. Mekaten ugi Bapak lan Ibu ingkang tansah paring
panggulowenthah dhumateng kula saha Mas Danang lan Mas Aris ingkang
tansah paring daya panyengkuyung kagem mungkasi skripsi kula punika.
Kula tansah tresna dhumateng sadaya ingkang sampun mbiyantu murih
cekaping skripsi kula. Maturnuwun, Gusti berkahi.
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Metode fungsi penalti interior merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan mengubah masalah tersebut menjadi masalah optimisasi nonlinear tak berkendala. Dalam metode ini, pencarian penyelesaian optimalnya dimulai dari daerah layak
Bentuk umum dari fungsi penalti interior adalah
φ k = φ (x, kμ ) = f(x) + kμm
j 1=Σ B(x)
dengan B(x) = )(
1xjg
− , g (x) merupakan kendala dan parameter penalti .
Dalam penulisan ini metode yang digunakan untuk meminimalkan
j 0>μ k
φ (x, kμ ) adalah Metode Newton. Penyelesaian optimal didapatkan jika nilai φ (x, kμ ) konvergen ke f(x) dengan 1+μ≥μ kk dan 0→μ k , ∞→k .
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Interior penalty function methods is a method which is used to solve the constrained nonlinear optimization problem by changing the problem become the unconstrained nonlinear optimization. In this method, the optimal solution searching is begun from the feasible region.
The general expression of the interior penalty function is
φ k = φ (x, kμ ) = f(x) + kμm
j 1=Σ B(x)
where B(x) = )(
1xjg
− , g (x) is the constraints and penalty parameters . j 0>μ k
In this thesis, the method that is used for minimizing φ (x, kμ ) is a Newton methods. The optimal solution is obtained if φ (x, kμ ) converge to f(x) as
and 1+μ≥μ kk 0→μ k , ∞→k .
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 12 Juni 2008
Penulis,
Daniel Teguh Kurniawan
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Daniel Teguh Kurniawan
Nomor : 013114027
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yamg berjudul:
“ Penyelesaian Masalah Optimasi Nonlinear Berkendala
Dengan Metode Fungsi Penalti Interior ”
Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata
Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,
mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas
dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis
tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya
selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 12 Juni 2008
Yang menyatakan, ( Daniel Teguh Kurniawan )
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus,
sang Juru Selamat. Karena kasih dan karunia-Nya maka skripsi ini dapat
terselesaikan dengan baik.
Dalam penyusunan skripsi ini penulis meminta bantuan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin
menyampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan
Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan
banyak waktu luang dan penuh kesabaran telah membimbing selama
penyusunan skripsi ini walaupun penulis sering terlambat bahkan kabur dari
jadwal bimbingan dengan waktu yang cukup lama.
2. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD.
3. Kakak-kakakku, Danang dan Aris, yang selalu mendorong untuk dapat
menyelesaikan skripsi tepat waktu tapi tidak bisa sesuai dengan yang
diharapkan. .
4. Teman-teman “ Penghuni Terakhir “ : Tedy “ Bear “, Rita “ poco-poco “,
Zefanya, Yuli, yang bersama-sama berjuang keluar dari “selingan hidup” ini
dan yang saling memberikan semangat, motivasi supaya lulus sama-sama.
5. Keluarga Besar Rakiman di Klaten atas dukungan doanya..
6. Teman-teman pemuda remaja GKJ Gondangwinangun Klaten dan Teman-
teman pemuda remaja GKJ Ketandan, terima kasih atas dukungan doanya.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7. Sahabat-sahabatku di Matematika Angkatan’01, Ariel, Ray, Andre, Indah,
Deta, Maria, Erika, Ajeng, Very, Yuli, Wiwit, Vrysca, April, Alam, Dani,
Tabitha, Upik. Tidak akan pernah ku lupakan semua waktu yang pernah kita
lewati.
8. Mas Nadi “ sebagai pembimbing skripsi di kos”, Ridwan ” Sahabat dan
saudaraku ” terima kasih atas tumpangan kostnya.
9. Teman-teman PMK “ OIKUMENE “ yang selalu berbagi suka duka dalam
hidup. Maxi dan Tata “ Maranatha Family “ atas dukungan doanya.
10. Teman-teman pemuda Karang Taruna “ Mekar Sari “ di desa tempat saya
tinggal, terima kasih atas dukungan doanya.
11. Teman-teman SMU 2 Klaten, Seka dan Okie terima kasih atas petuah bijaknya.
12. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Tak ada gading yang tak retak, penulis menyadari kekurangan dalam
skripsi ini, untuk itu saran dan kritik sangat diharapkan dalam peningkatan
kualitas skripsi ini.Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat
bagi semua pihak.
Yogyakarta, 12 Juni 2008
Penulis,
Daniel Teguh Kurniawan
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL INDONESIA ............................................................... i
HALAMAN JUDUL INGGRIS..... ............................................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... v
ABSTRAK .................................................................................................... vi
ABSTRACT .................................................................................................. vii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................ viii
LEMBAR PERNYATAAN.......................................................................... ix
KATA PENGANTAR ................................................................................... x
DAFTAR ISI .................................................................................................. xii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xiv
DAFTAR TABEL .......................................................................................... xv
BAB I PENDAHULUAN .............................................................................. 1
A. Latar Belakang Masalah .................................................................... 1
B. Perumusan Masalah ........................................................................... 3
C. Batasan Masalah ................................................................................ 3
D. Tujuan Penulisan ............................................................................... 3
E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 4
F. Metode Penelitian ................................................................................ 4
G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 4
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II DASAR TEORI ............................................................................. 6
A. Ruang Vektor dan Ruang Euclid ..................................................... 6
B. Barisan Konvergen dan Barisan Monoton ....................................... 7
C. Fungsi Kontinu ................................................................................ 9
D. Turunan parsial ................................................................................ 10
E. Metode newton ................................................................................ 10
F. Optimisasi ....................................................................................... 12
1. Masalah Optimasi........................................................................ 12
2. Penyelesaian Masalah Optimasi.................................................. 14
BAB III METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR................................. 15
A. Konsep Dasar Fungsi Penalti ........................................................... 15
B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior ............................................. 19
C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior ....................................... 20
D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior ................................... 54
BAB IV PENUTUP ..................................................................................... 57
A. Kesimpulan ...................................................................................... 57
B. Saran ................................................................................................ 58
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 59
LAMPIRAN ................................................................................................ 60
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Flowchart Algoritma Metode Newton................................... 11
Gambar 2.2 Peminimum f(x) sama dengan Pemaksimum -f(x)............... 12
Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungi Penalti Eksterior................................ 18
Gambar 3.1.2 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Interior................................. 18
Gambar 3.2 Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior............. 21
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.1................................................... 40
Tabel 3.3.2 Output penyelesaian contoh 3.3.2................................................... 48
Tabel 3.3.3 Output penyelesaian contoh 3.3.3................................................... 53
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Optimisasi adalah tindakan yang dilakukan untuk mendapatkan hasil
terbaik dari kondisi-kondisi yang diberikan ( sebagai suatu masalah ). Optimisasi
sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari seperti pada bidang ekonomi
maupun manajemen. Sebagai contoh perusahaan pakaian yang ingin memberikan
harga yang terbaik supaya perusahaan itu mendapatkan keuntungan yang
terbanyak. Dalam berbagai macam situasi praktis tindakan tersebut dapat dibawa
ke dalam perumusan matematika sebagai suatu fungsi dari variabel-variabel
keputusan tertentu, dengan demikian optimisasi dapat didefinisikan sebagai proses
untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi.
Bidang ilmu matematika yang secara umum mempelajari tentang
optimisasi adalah Riset Operasi. Riset Operasi sendiri terbagi menjadi 3 jenis
metode, yang secara khusus mempelajari tentang masalah optimisasi tersebut
yaitu : Pemrograman Matematika, Proses Stokhastik dan Metode Statistika.
Pemrograman Matematika digunakan untuk menemukan nilai fungsi dengan
beberapa variabel dari suatu himpunan yang sudah ditentukan dengan kendala-
kendalanya. Pemrograman Matematika terbagi lagi dalam beberapa bagian,
diantaranya adalah Program Linear dan Program Nonlinear.
Dalam Program Nonlinear masalah optimisasi dibedakan menjadi dua,
yaitu masalah optimisasi tanpa kendala dan masalah optimisasi dengan kendala.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Masalah optimisasi dengan kendala merupakan masalah mengoptimalkan fungsi
sasaran dengan kendala-kendalanya, dimana fungsi sasaran dan kendala-
kendalanya tersebut adalah fungsi nonlinear. Ada beberapa metode yang
digunakan dalam menyelesaikan masalah optimisasi program nonlinear dengan
kendala yaitu ; Metode Primal, Metode Penalti, Metode Dual dan Metode
Pemotongan Kurva serta Metode Lagrange.
Pada skripsi ini akan dibahas pendekatan numeris untuk menyelesaikan
masalah optimisasi Program Nonlinear dengan kendala berupa persamaan dan
pertidaksamaan. Pendekatan yang digunakan adalah Metode Fungsi Penalti.
Metode Fungsi Penalti merupakan salah satu Metode Numerik yang digunakan
untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah tanpa
kendala dengan menambahkan fungsi penalti pada fungsi sasaran. Istilah penalti
dipilih sedemikian hingga nilainya akan kecil untuk titik yang jauh dari batas
kendala, dimulai dari titik layak x , yaitu sembarang titik yang memenuhi semua
kendala, titik subbarisan yang dibangun akan selalu terletak di daerah layak
karena batas kendala bertindak sebagai penghalang sepanjang proses minimasasi.
Inilah alasan mengapa Metode Fungsi Penalti juga dikenal sebagai metode
penghalang.
Pada dasarnya Metode Penalti terbagi menjadi 2 yaitu Metode Fungsi
Penalti Eksterior dan Metode Fungsi Penalti Interior. Akan tetapi, skripsi ini
hanya membahas Metode Fungsi Penalti Interior, dimana penalti ditambahkan
pada fungsi sasaran. Metode ini menghasilkan barisan titik-titik layak yang
limitnya merupakan penyelesaian optimal dari masalah asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
B. Perumusan Masalah
Pokok masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini sebagai berikut :
1. Apa itu Metode Fungsi Penalti Interior ?
2. Bagaimana menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala berupa
pertidaksamaan dengan Metode Fungsi Penalti Interior ?
C. Batasan Masalah
Pada penulisan skripsi ini hanya akan dibahas tentang Metode Fungsi
Penalti Interior untuk menyelesaikan masalah optimisasi Program Nonlinear
dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaan dan teknik yang digunakan dalam
menyelesaikan masalah optimisasi tak berkendala menggunakan metode newton.
D. Tujuan Penulisan
Penulisan ini bertujuan untuk memberi wawasan dan pengetahuan kepada
pembaca dengan pengertian dasar tentang bagaimana cara menyelesaikan masalah
optimisasi Program Nonlinear dengan kendala dengan Metode Fungsi Penalti
Interior.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini yang sangat diharapkan adalah penulis
dapat mengetahui dan memahami bagaimana bentuk Metode Fungsi Penalti
Interior dan bagaimana cara menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala
dengan Metode Fungsi Penalti Interior dengan kendala-kendala berupa
pertidaksamaan.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah
metode studi literatur atau studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari
materi dari buku-buku acuan yang berkaitan dengan masalah ini. Jadi, dalam
skripsi ini tidak ada penemuan-penemuan yang baru.
G. Sistematika Penulisan
BAB I : PENDAHULUAN
Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, perumusan
masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan,
metode penulisan dan sistematika penulisan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB II : DASAR TEORI
Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang vektor dan ruang Euclid,
fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, Barisan Konvergen dan
Barisan Monoton, turunan parsial, syarat optimalitas untuk masalah
berkendala, Metode Newton serta teori optimisasi yang nantinya
akan digunakan untuk memahami metode Fungsi Penalti Interior.
BAB III : METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR
Dalam bab III akan dibahas tentang konsep fungsi penalti,
interpretasi geometris fungsi penalti, pengertian metode Fungsi
Penalti Interior, bentuk umum Fungsi Penalti Interior dan algoritma
metode Fungsi Penalti Interior disertai beberapa contoh masalah
optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan metode
Fungsi Penalti Interior, implementasi dengan program matlab serta
konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior.
BAB IV : PENUTUP
Bab IV berisi kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
BAB III
METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR
Pada bab ini akan dipaparkan tentang metode fungsi penalti interior
sebagai salah satu cara untuk menyelesaikan masalah program nonlinear, yakni
masalah optimisasi berkendala. Proses pencarian dalam menemukan penyelesaian
optimal dengan menggunakan metode fungsi penalti interior akan dimulai dari
daerah layak. Tetapi sebelum membahas lebih jauh tentang metode tersebut, akan
dibahas terlebih dahulu tentang konsep dasar metode tersebut.
A. Konsep Dasar Fungsi Penalti
Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi berkendala menjadi
masalah optimisasi tak berkendala adalah dengan metode fungsi penalti. Dalam
kehidupan sehari-hari penalti yang berarti hukuman terjadi karena adanya
pelanggaran. Dengan demikian, dalam masalah optimisasi berkendala fungsi
penalti terjadi karena adanya pelanggaran, yaitu dengan menghilangkan kendala
pada masalah optimisasi tersebut.
Masalah optimisasi dasar dapat dinyatakan dalam bentuk
meminimalkan f (x)
dengan kendala g j (x) ≤ 0 , j = 1, 2, Κ , m ( 3.1 )
x ∈ X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
dengan fungsi f, g j merupakan fungsi kontinu pada nℜ dan X himpunan tidak
kosong di nℜ . Perhatikan bahwa jika ada sembarang kendala yang diberikan
maka persamaan tersebut dipenuhi oleh x ∈ X . Masalah optimisasi berkendala
tersebut diubah ke dalam sebuah masalah minimisasi tak berkendala dengan
membangun sebuah fungsi yang berbentuk
φ k = φ (x, kμ ) = f(x) + kμm
j 1=Σ B(x) ( 3.2 )
dimana B(x) adalah suatu fungsi dari kendala g j dan kμ adalah konstanta positif
yang dinamakan parameter penalti. Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan
( 3.2 ) disebut syarat penalti. Jika minimisasi tak berkendala dari fungsi φ diulang
untuk suatu barisan dari nilai-nilai parameter penalti kμ untuk k = 1, 2, Κ maka
penyelesaiannya akan konvergen ke masalah optimisasi dasar yang dinyatakan
dalam persamaan ( 3.1 ). Jadi, penalti dapat diartikan sebagai fungsi yang
ditambahkan pada fungsi obyektif dengan parameter penalti. Metode penambahan
fungsi penalti ini disebut sebagai Metode Fungsi Penalti.
Rumus Metode Fungsi Penalti untuk masalah berkendala dengan kendala
berbentuk pertidaksamaan dapat dibagi menjadi dua kategori yaitu metode fungsi
penalti interior dan metode fungsi penalti eksterior. Rumus metode fungsi penalti
interior yang sering digunakan berbentuk
B(x) = Σ=
m
j 1 -
)(1
xjg
atau B(x) =Σ=
m
j 1 ln [- g j (x) ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Rumus metode fungsi penalti eksterior yang sering digunakan berbentuk
B(x) = max[0, g j (x)]
atau
B(x) = [ ]{ }2)(,0max xjg
Di dalam metode fungsi penalti interior minimal tak berkendala dari φ k
berada dalam daerah layak dan konvergen ke penyelesaian persamaan ( 3.1 )
dengan kμ berbeda dalam aturan tertentu. Dalam metode fungsi penalti eksterior
titik yang membuat nilai minimum dari masalah tak berkendala φ k berada dalam
daerah tak layak dan konvergen ke penyelesaian yang diinginkan dari luar dengan
kμ berbeda dalam aturan khusus. Untuk masalah penalti interior dan eksterior,
konvergensi dari masalah optimisasi tak berkendala φ k diilustrasikan pada
Gambar 2a dan Gambar 2b untuk masalah mencari nilai x yang
meminimalkan f(x) = α x 1
dengan kendala g 1 (x) = 1x−β ≤ 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Eksterior
Gambar 3.1.2 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Interior
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Untuk menggambarkan secara geometris metode fungsi penalti interior,
dibuat terlebih dahulu grafik fungsi f(x) = α x 1 dan kendala g 1 (x) = 1x−β ≤ 0.
selanjutnya masalah optimasi berkendala tersebut dibawa ke dalam masalah
optimisasi tak berkendala dengan membentuk sebuah fungsi
β1
μα=1
1 xxφ k dengan B(x) = -
1
1x−β
dan kμ sebagai parameter penalti.
Pencarian optimum dimulai dari daerah layak 1x yang berada di daerah layak dan
titik berikutnya yang dihasilkan selalu berada dalam daerah layak karena ada
batas-batasnya. Karena pemilihan kμ yang besar maka mengakibatkan kφ masih
jauh dari optimum. Dengan cara yang sama, jika minimasi tak berkendala dari
fungsi kφ diulang untuk suatu barisan nilai-nilai parameter penalti k = 1, 2, ....
dimana 1+μ>μ kk maka penyelesaian akan konvergen ke masalah optimisasi dasar
dan akan mendekati optimum.
B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior
Dari Sub bab sebelumnya, dalam metode fungsi penalti interior sebuah
fungsi baru φ yang dibentuk dengan menambahkan syarat penalti ke fungsi
obyektif. Syarat penalti dipilih sedemikian hingga nilainya mengecil sehingga
nilai fungsi φ akan menuju optimum. Kejadian ini bisa dilihat pada Gambar
3.1.2. Minimisasi tak berkendala dari fungsi φ (x, kμ ) dimulai dari sembarang
titik layak 1x dan titik berikutnya yang dihasilkan selalu pada daerah layak. Hal
ini disebabkan karena batas-batas kendala menjadi palang atau rintangan (barrier)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
selama proses minimisasi. Inilah alasan mengapa metode fungsi penalti interior
juga disebut sebagai metode barrier.
Fungsi φ (x, kμ ) didefinisikan sebagai
φ (x, kμ ) = f(x) - kμ Σ=
m
j 1 )(1
xjg ( 3.3 )
Terlihat bahwa nilai fungsi φ (x, kμ ) akan selalu lebih besar dari f(x)
ketika g j (x) negatif untuk semua titik layak x. Jika semua kendala g j (x)
dipenuhi dengan tanda persamaan maka nilai φ menuju tak hingga dan syarat
penalti di ( 3.3 ) tidak terdefinisi jika x tak layak. Karena persamaan ini tidak
diperbolehkannya adanya kendala yang dilanggar maka titik awal layak harus
dicari dalam proses pencarian menuju ke titik optimum. Sebagian besar masalah
optimisasi nonlinear berkendala tidaklah sulit untuk menemukan sebuah titik yang
memenuhi semua kendala g j (x) ≤ 0 karena pemilihan titik x yang bebas.
C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior
Berikut akan diberikan algoritma dari metode fungsi penalti interior untuk
menyelesaikan masalah optimisasi dasar :
meminimalkan f (x)
kendala g j (x) ≤ 0 , j = 1, 2, Κ , m
x ∈ X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Algoritma metode fungsi penalti interior dapat diperlihatkan sebagai berikut :
Gambar 3.2 Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior
Masukkan titik awal x 1 ,ε > 0, 1μ > 0 , dan skalar β >1
Mulai
Tentukan k = 1
x *k penyelesaian layak, langkah
dihentikan
Bentuklah fungsi φ (x,μ ) = f(x) + kμ B(x)
dengan
B(x) = m
j 1=Σ
)(1xjg
−
Menentukan penyelesaian optimum dari masalah tidak berkendala x *
k dari φ (x,μ )
Selesai
kμ B(x *k ) < ε
1+kμ = kβμ dengan k = k +1
YA
TIDAK
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Secara umum langkah-langkah penyelesaian dengan metode fungsi penalti interior
adalah :
Langkah 1
Menentukan nilai awal x 1 , parameter penalti 1μ > 0 dan skalar )1,0(∈β
dan diberikan ε > 0 dan k = 1.
Langkah 2
Membentuk fungsi φ (x, kμ ) = f(x) + kμ B(x)
dengan B(x) =Σ=
m
j 1 -
)(1
xjg
Langkah 3
Mencari penyelesaian optimum x *k dari masalah optimisasi tidak
berkendala φ (x, kμ ) = f(x) + kμ B(x).
Langkah 4
Jika kμ B(x k ) < ε langkah dihentikan, maka x 1+k merupakan
penyelesaian layak. Sebaliknya jika kμ B(x k ) > ε , maka tetapkan 1+kμ = β kμ ,
ganti k dengan k + 1 dan ulangi Langkah 2.
Ada hal-hal yang perlu dipertimbangkan dalam menerapkan metode ini :
1 Proses iterasi dimulai dengan titik awal x1 tetapi mungkin dalam
beberapa kasus titik awal x 1 ini tidak perlu dipersiapkan
Tidaklah sulit untuk menentukan titik awal x 1 dalam masalah optimisasi
nonlinear berkendala yang memenuhi semua kendala 0)( 1 <xjg . Dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
kasus khusus titik awal tidak diperlukan dalam menyelesaikan masalah
optimisasi berkendala yang dapat dilihat dari fungsi kendalanya yang hanya
terdapat satu variabel. Jika fungsi kendalanya terdapat beberapa variabel
maka titik awal perlu dipersiapkan. Tetapi, ada beberapa keadaan sedemikian
hingga titik layak tidak bisa ditemukan dengan mudah. Dalam kasus seperti
ini, titik layak awal yang diminta dapat ditemukan dengan menggunakan
metode fungsi penalti interior itu sendiri. Dengan memperhatikan hal-hal
sebagai berikut :
Langkah i
Pilih sembarang titik x 1 dan evaluasi g j (x) di titik x 1 . Karena titik x 1
sembarang maka tidak semua titik memenuhi semua kendala pertidaksamaan.
Jika ada r dari m kendala yang dilanggar, maka kendala-kendala tersebut
dikelompokkan kembali sedemikian hingga r kendala yang dilanggar akan
menjadi satu kelompok yang terakhir yaitu
0)( 1 <xjg , j =1,2, Κ , m-r
dan 0)( 1 ≥xjg , j = m-r+1, m-r +2, Κ , m ( 3.4 )
Langkah ii
Identifikasi kendala yang memiliki kesalahan terbesar di titik x 1 yaitu
dengan mencari bilangan bulat k sedemikian hingga
[ ])()( 11 xx jk gmaksg = untuk j = m-r+1, m-r +2, Κ , m ( 3.5 )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Langkah iii
Selesaikan masalah optimasi yang dibuat dalam langkah 3 dengan
mengambil titik x 1 sebagai titik awal. Rumuskan masalah optimisasi yang
baru seperti mencari x yang meminimalkan g k (x) dengan kendala
0)( 1 ≤xjg j =1,2, Κ , m-r ( 3.6 )
dan 0)()( 11 ≤− xx kj gg , j = m-r+1, m-r +2, Κ , k-1, k+1, Κ , m
Langkah iv
Selesaikan masalah optimisasi pada langkah (iii) dengan mengambil titik
x 1 sebagai titik awal menggunakan metode fungsi penalti interior. Metode
ini dapat diakhiri ketika nilai fungsi g k (x) 0≤ . Jadi penyelesaian akan
menghasilkan x k yang memenuhi sedikitnya satu kendala dari himpunan
kendala yang dilanggar oleh x 1 .
Langkah v
Jika semua kendala tidak dipenuhi oleh titik x k , ambil titik baru x1 = x k
dan kendala dikelompokkan kembali sedemikian hingga r pada kendala yang
terakhir tidak akan dipenuhi dan ulangi langkah ii.
Langkah ini dapat diulangi sampai semua kendala terpenuhi dan didapat
0)( 1 <xjg , j =1,2, ... , m-r
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
2 Dengan mencari parameter penalti awal ( 1μ ) yang sesuai
Jika minimisasi tak berkendala φ (x, kμ ) dikerjakan untuk suatu barisan
turun kμ , dengan memilih sebuah nilai 1μ yang sangat kecil maka nilai
optimum dari fungsi φ akan konvergen ke penyelesaian masalah optimisasi
dasar. Namun dari segi penghitungan, untuk minimisasi fungsi φ akan lebih
mudah jika kμ besar. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 3.1.2. Terlihat
bahwa jika nilai kμ menjadi semakin kecil, nilai fungsi φ berubah dengan
lebih cepat di sekitar minimum ∗kφ . Pencarian minimum dari suatu fungsi
lebih mudah bila grafiknya lebih mulus karena fungsinya kontinu dan dapat
diturunkan. Jika kμ besar maka minimisasi tak berkendala φ akan menjadi
lebih mudah dan minimum dari kφ , *kx , akan menjadi lebih jauh dari
minimum x ∗ .
3 Nilai perkalian faktor β yang dipilih haruslah tepat
Jika nilai awal kμ sudah dipilih maka nilai-nilai kμ berikutnya harus
dipilih sedemikian hingga 1+kμ < kμ . Nilai kμ dipilih dengan 1+kμ =β kμ
dimana β < 1. Nilai β dapat diambil sebagai 0,1 atau 0,2 atau 0,5 dan
seterusnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
4 Kriteria kekonvergenan yang sesuai harus dipilih untuk menentukan
nilai optimum
Karena minimisasi tak berkendala dari φ (x, kμ ) harus dikerjakan
menurut suatu barisan turun nilai kμ maka perlu menggunakan kriteria
konvergensi yang sesuai untuk mengidentifikasikan titik optimum. Proses
dapat dihentikan pada saat syarat berikut dipenuhi.
a. Selisih relatif antara nilai fungsi obyektif yang dihasilkan pada akhir dari
sembarang dua minimisasi tak berkendala yang berurutan berada dibawah
sebuah bilangan yang kecil 1ε , yaitu
1*
*1-k
*
)()()(
ε≤−
k
k
fff
xxx
.
b. Selisih antara titik optimum *kx - *
1−kx menjadi sangat kecil. Ini dapat
dinyatakan dalam beberapa cara. Yang biasa digunakan adalah
2)( ε≤Δ ix .
Dengan xΔ = *kx - *
1−kx
( xΔ ) i adalah anggota ke - i dari vektor xΔ
Max |( xΔ ) i | ≤ 3ε
| xΔ | = [ ] 2122
221 )()()( nxxx Δ++Δ+Δ Κ ≤ 4ε
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Nilai dari 1ε sampai 4ε harus dipilih bergantung pada karakteristik dari
masalah yang ditangani.
Berikut ini akan diberikan contoh masalah minimisasi yang tidak
menggunakan titik awal.
Contoh 3.1.1
Selesaikan masalah optimisasi berkendala berikut :
Minimalkan f ( x 1 , x 2 ) = 31 (x 1 + 3 ) 3 + x 2
Kendala g 1 ( x 1 , x 2 ) = - x 1 + 1 ≤ 0
g 2 ( x 1 , x 2 ) = - x 2 ≤ 0
Penyelesaiannya :
Dalam kasus di atas titik awal tidak diperlukan karena fungsi kendalanya
hanya terdapat satu variabel. Untuk mencari penyelesaian optimumnya maka
dibutuhkan parameter penalti awal ( 1μ ) yang sesuai.
Langkah 1
Misalkan ε = 0,00001
β = 0,1 1μ = 1000
Ditentukan k = 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Langkah 2
Membentuk fungsi φ (x,μ ) = f(x) + kμ B(x)
B(x) dipilih dengan B(x) = Σ=
2
1j )(1xjg
−
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+− 2
11
1xx
Sehingga diperoleh
φ (x,μ ) = f(x) + kμ B(x)
= 31 (x 1 + 3 ) 3 + x 2 - kμ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+− 2
11
1xx
Langkah 3
Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah optimisasi tak berkendala,
dibutuhkan penurunan parsial φ terhadap 1x dan 2x :
Turunan parsial φ terhadap x 1 diperoleh :
1x∂∂φ = (x 1 + 1 ) 2 - 2
1 )1( xk
−μ
= 0
atau (x 1 + 1 ) 2 = 21 )1( x
k
−μ
(x 1 + 1 ) 2 (1 - x 1 ) 2 = kμ
( x 12 + 2x 1 +1 ) ( 1 - 2x 1 + x 1
2 ) = kμ
x 14 - 2 x 1
2 + 1 = kμ
atau (x 21 - 1 ) 2 = kμ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
x 21 - 1 = kμ
21
x 1 = ( kμ2
1
+1 ) 21
(3.1.1)
Turunan parsialφ terhadap x 2 diperoleh :
2x∂∂φ = 1 - 2
2xkμ = 0
x 22 = kμ
atau x 2 = kμ 21
(3.1.2)
Dari persamaan (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh penyelesaian optimum tak
berkendala dan
x *1 ( kμ ) = ( kμ
21
+1 ) 21
x *2 ( kμ ) = kμ 2
1
Dalam masalah ini tidak diperlukan titik awal karena setelah melakukan
penghitungan secara kalkulus, titik x *k bergantung pada parameter penalti ( 1μ ).
Apabila penyelesaian optimum tersebut disubstitusikan ke fungsi φ maka
didapatkan :
)(min kμφ = 31 (x 1 + 3 ) 3 + x 2 - kμ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+− 2
11
1xx
= 31 [( kμ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + kμ 2
1 - kμ { [1)1(
12
12
1++− kμ
] – [2
1
1
kμ] }
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
= 31 [( kμ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + kμ 2
1 + [1)1( 2
12
1++−
−
k
k
μ
μ ] +
21
k
k
μ
μ
= 31 [( kμ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + kμ 2
1 + )1)()1(1(
)1(
21
21
kk
kk
μμ
μμ
+− + kμ 2
1
= 31 [( kμ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 kμ 2
1 - 2
12
1)1(11
1
+− kkk
μμμ
= 31 [( kμ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 kμ 2
1 - 2
12
1
2 ))1(1(11
+− kkk
μμμ
)(min kμφ = 31 [( kμ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 kμ 2
1 - 2
1
23 2
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
kkk μμμ
Untuk mendapatkan penyelesaian dari masalah optimasi dasar dicari melalui :
f min = 0
lim→kμ
minφ ( kμ )
= 0
lim→kμ
{ 31 [( kμ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 kμ 2
1 - 2
1
23 2
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
kkk μμμ
}
= 38 = 2,66667
Iterasi 1
Untuk k = 1
x *1 ( 1μ ) = ( 1μ
21
+1 ) 21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
= ( 1000 21 + 1 ) 2
1
= 5,71164
dan
x *2 ( 1μ ) = kμ 2
1
= 1000 21
= 31,62278
Sehingga diperoleh :
)( 1min μφ = 31 [( 1μ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 1μ 2
1 - 2
1
23 2
111
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−μμμ
= 31 [(1000 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2(1000 ) 2
1 - 2
1
23 21000
11000
11000
11
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−
= 100,777761 + 63,245554 + 210,748156
= 374,77147
dan f( 1μ ) = 31 ( )31 1 +x + x 2
= 31 ( 5,71164 + 1 ) 3 + 31,62278
= 100,777761 + 31,62278
= 132,400541
1μ B(x *1 ) = kμ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+− 2
11
1xx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
= 1μ 21 -
21
23 2
111
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−μμμ
= 31,62278 + 210,74816
= 242,37094 > ε
Penyelesaian belum optimal karena 1μ B(x *1 ) > ε maka langkah diteruskan.
Langkah 4
Tetapkan 2μ = β 1μ
= (0,1)1000 = 100
Iterasi 2
Untuk k = 2
Langkah 3
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x *1 ( 2μ ) = ( 2μ 2
1 + 1 ) 21
= ( 100 21 + 1 ) 2
1
= 3,31662
dan x *2 ( 2μ ) = 2μ 2
1
= 100 21 = 10
Sehingga diperoleh :
)( 2min μφ = { 31 [( 2μ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
2μ 21 -
21
23 2
222
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−μμμ
}
= 31 [(100 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2(100 ) 2
1 - 2
1
23 2100
1100
1100
11
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−
= 89,9776
dan f( 2μ ) = 31 ( )31 1 +x + x 2
= 31 [(100 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 100 2
1
= 36, 8109
2μ B(x *2 ) = 10 + 43,16671
= 53,16671 > ε
Penyelesaian belum optimal karena 2μ B(x *2 ) > ε maka langkah diteruskan.
Langkah 4
Tetapkan 3μ = 2.μβ
= (0,1).100
= 10
Iterasi 3
Untuk k = 3
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
x *1 ( 3μ ) = ( 3μ 2
1 + 1 ) 21
= ( 10 21 +1 ) 2
1
= 2,04017
dan x *2 ( 3μ ) = 3μ 2
1
= 10 21
= 3,16228
Sehingga diperoleh :
)( 3min μφ = { 31 [( 3μ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 3μ 2
1 - 2
1
23 2
333
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−μμμ
}
= 31 [ 2,04017 + 1 ] 3 + 2 ( 3,16228 ) -
21
23 210
110
1101
1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−
= 25,3048
dan f( 3μ ) = 31 ( )31 1 +x + x 2
= 9, 36636 + 3,16228
= 12,5286
3μ B(x *3 ) = 3,16228 + 9, 61381
= 12,77609 > ε
Penyelesaian belum optimal karena 3μ B(x *3 ) > ε maka langkah diteruskan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Langkah 4
Tetapkan 4μ = 3.μβ
= (0,1).10 = 1
Iterasi 4
Untuk k = 4
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x *1 ( 4μ ) = ( 4μ 2
1 + 1 ) 21
= ( 2 ) 21
= 1,41421
dan x *2 ( 4μ ) = 4μ 2
1 = 1
Sehingga diperoleh :
)( 4min μφ = { 31 [( 4μ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 4μ 2
1 - 2
1
23 2
444
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−μμμ
}
= { 31 [(1 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2(1) 2
1 - 2
1
23 21
111
11
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
}
= 31 (1,41421 + 1) 3 + 2 + 2,41421
= 4,69036+ 2 + 2,41421 = 9,10457
dan f( 4μ ) = 31 ( )31 1 +x + x 2
= 4,69036+ 1 = 5,69036
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
4μ B(x *4 ) = 1 + 2,41421
= 3,41421 > ε
Penyelesaian belum optimal karena 4μ B(x *4 ) > ε maka langkah diteruskan.
Langkah 4
Tetapkan 5μ = 4.μβ
= (0,1).1 = 0,1
Iterasi 5
Untuk k = 5
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x *1 ( 5μ ) = ( 5μ 2
1 + 1 ) 21
= (0,1 21 + 1 ) 2
1
= 1,14727
dan x *2 ( 5μ ) = μ 2
1
= 0,1 21
= 0,31623
Sehingga diperoleh :
)( 5min μφ = { 31 [( 5μ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 5μ 2
1 - 2
1
23 2
555
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−μμμ
}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
= { 31 [( 1,0 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2( 1,0 ) 2
1 - 2
1
23 21,0
11,01
1,01
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
}
= 3,300188 + 0,632456 + 0,06899
= 4,00163
dan f( 5μ ) = 31 ( )31 1 +x + x 2
= 3,300188 + 0,31623
= 3,61642
5μ B(x *5 ) = 0,31623 + 0,06899
= 0,38522 > ε
Penyelesaian belum optimal karena 5μ B(x *5 ) > ε maka langkah diteruskan.
Langkah 4
Tetapkan 6μ = 5.μβ
= (0,1).(0,1) = 0,01
Iterasi 6
Untuk k = 6
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x *1 ( 6μ ) = ( 6μ 2
1 + 1 ) 21
= 1,04881
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
dan x *2 ( 6μ ) = 6μ 2
1 = 0,1
Sehingga diperoleh :
)( 6min μφ = { 31 [( 6μ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 6μ 2
1 - 2
1
23 2
666
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−μμμ
}
= { 31 [( 01,0 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2( 01,0 ) 2
1 - 2
1
23 201,0
101,01
01,01
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
}
= 2,86671 + 0,2 + 0,20488
= 3,27159
dan f( 6μ ) = 31 ( )31 1 +x + x 2
= 2,86671 + 0,1
= 2,96671
6μ B(x *6 ) = 0,1 + 0,20488
= 0,30488 > ε
Penyelesaian belum optimal karena 6μ B(x *6 ) > ε maka langkah diteruskan.
Analog dengan langkah-langkah sebelumnya, titik optimal yang merupakan
penyelesaian optimal didapatkan pada iterasi yang ke-15, yakni
Langkah 4
15μ = 14.μβ
= (0,1).(10 10− ) = 10 11−
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Iterasi 15
Untuk k = 15
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x *1 ( 15μ ) = ( 15μ 2
1 + 1 ) 21
= 1,00000
dan x *2 ( 15μ ) = 15μ 2
1
= 0,00000
Sehingga diperoleh :
)( 15min μφ = { 31 [( 15μ 2
1 +1 ) 21 + 1] 3 + 2 15μ 2
1 - 2
1
23 2
151515
111
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−μμμ
}
= 2,66669
dan
f( 15μ ) = 31 ( )31 1 +x + x 2
= 2,66668
15μ B(x *15 ) = 0,000009
Karena 15μ B(x *15 ) = 0,000009 < ε maka langkah dihentikan.
Maka diperoleh penyelesaian dari masalah di atas dengan x *1 = 1, x *
2 = 0.
Pada iterasi ke-15 penyelesaian sudah optimum karena sudah memenuhi
syarat 15μ B(x *15 ) = 0,000009 < ε .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program
MATLAB. ( lampiran 1 )
Tabel 3.1.1 Output penyelesaian Contoh 3.1.1 dengan Matlab
Taksiran awal miu : 1000.00000
==============================================================
Iterasi miu x1 x2 min(miu) f(miu) miu_Bx
==============================================================
1 1000.00000 5.71164 31.62278 376.26364 132.40032 243.86332
2 100.00000 3.31662 10.00000 89.97716 36.81092 53.16625
3 10.00000 2.04017 3.16228 25.30476 12.52863 12.77613
4 1.00000 1.41421 1.00000 9.10457 5.69036 3.41421
5 0.10000 1.14727 0.31623 4.61167 3.61641 0.99525
6 0.01000 1.04881 0.10000 3.27159 2.96671 0.30488
7 0.00100 1.01569 0.03162 2.85690 2.76154 0.09536
8 0.00010 1.00499 0.01000 2.72672 2.69667 0.03005
9 0.00001 1.00158 0.00316 2.68565 2.67615 0.00949
10 0.00000 1.00050 0.00100 2.67267 2.66967 0.00300
11 0.00000 1.00016 0.00032 2.66856 2.66762 0.00095
12 0.00000 1.00005 0.00010 2.66727 2.66697 0.00030
13 0.00000 1.00002 0.00003 2.66686 2.66676 0.00009
14 0.00000 1.00000 0.00001 2.66673 2.66670 0.00003
15 0.00000 1.00000 0.00000 2.66669 2.66668 0.00001
==============================================================
Pada saat iterasi ke -15,miu_Bx<0.00001.
Jadi nilai miu yang meminimalkan min(miu) adalah :
x1 = 1.00000 dan x2 = 0.00000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Berikut akan diberikan contoh masalah optimisasi nonlinear berkendala
yang menggunakan titik awal.
Contoh 3.1.2
Selesaikan masalah kendala berikut :
Minimalkan f ( x 1 , x 2 ) = ( ) ( )22
21 35 −+− xx
Kendala g 1 ( x 1 , x 2 ) = - x 1 + x 2 - 3 ≤ 0
g 2 ( x 1 , x 2 ) = - x 1 + 2x 2 - 4 ≤ 0
Penyelesaiannya :
Langkah 1
Misalkan ε = 0,00001 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=00
0x
β = 0,1 1μ = 1
Ditentukan k = 1
Langkah 2
Membentuk fungsi φ (x,μ ) = f(x) + kμ B(x)
B(x) dipilih dengan B(x) = Σ=
2
1i )(1xig
−
= - ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
Sehingga diperoleh
φ (x,μ ) = f(x) + kμ B(x)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
= ( ) ( )22
21 35 −+− xx - kμ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
Langkah 3
Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah tak berkendala
dibutuhkan suatu titik awal sehingga diperlukan metode yang sesuai. Untuk
memudahkan penghitungan dalam mencari penyelesaian optimum akan digunakan
program Matlab.
Iterasi 1
Untuk k = 1
x )1(1 = 0 dan x ( )1
2 = 0
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
)( 1min μφ = f(x) + 1μ B(x)
= ( ) ( )22
21 35 −+− xx - ( 1 ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 34,583333
f( 1μ ) = ( ) ( )22
21 35 −+− xx
= 34
1μ B(x *1 ) = - 1 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,583333 > ε
Penyelesaian belum optimal karena 1μ B(x *1 ) > ε maka langkah diteruskan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Langkah 4
Tetapkan 2μ =β 1μ
= (0,1).1 = 0,1
Iterasi 2
Untuk k = 2
Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
( )21x = 5,180705
( )22x = 2,942802
)( 2min μφ = f(x) + 2μ B(x)
= ( ) ( )22
21 35 −+− xx - (0,1) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,085366
f( 2μ ) = ( ) ( )22
21 35 −+− xx
= 0,035926
2μ B(x *2 ) = - (0,1) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,049440 > ε
Penyelesaian belum optimal karena 2μ B(x *2 ) > ε maka langkah diteruskan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Langkah 4
Tetapkan 3μ = β 2μ
= (0,1) (0,1) = 0,01
Iterasi 3
Untuk k = 3
Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
( )31x = 5,007010
( )32x = 2,987347
)( 3min μφ = f(x) + 3μ B(x)
= ( ) ( )22
21 35 −+− xx - (0,01) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,005499
f( 3μ ) = ( ) ( )22
21 35 −+− xx
= 0,000209
3μ B(x *3 ) = - (0,01) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,005290 > ε
Penyelesaian belum optimal karena 3μ B(x *3 ) > ε maka langkah diteruskan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Langkah 4
Tetapkan 4μ = β 3μ
= 0,1 (0,01) = 0,001
Iterasi 4
Untuk k = 4
Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
( )41x = 5,000751
( )42x = 2,998692
)( 4min μφ = f(x) + 4μ B(x)
= ( ) ( )22
21 35 −+− xx - (0,001) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,000535
f( 4μ ) = ( ) ( )22
21 35 −+− xx
= 0,000002
4μ B(x *4 ) = - (0,001) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,000533
Penyelesaian belum optimal karena 4μ B(x *4 ) > ε maka langkah diteruskan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Langkah 4
Tetapkan 5μ = β 4μ
= 0,1 (0,001) = 0,0001
Iterasi 5
Untuk k = 5
Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
( )51x = 5,000076
( )52x = 2,999869
)( 5min μφ = f(x) + 5μ B(x)
= ( ) ( )22
21 35 −+− xx - (0,0001) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,000053
f( 5μ ) = ( ) ( )22
21 35 −+− xx
= 0,000000
5μ B(x *5 ) = - (0,0001) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= - (0,0001) (-0,53333)
= 0,000053
Penyelesaian belum optimal karena 5μ B(x *5 ) > ε maka langkah diteruskan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Langkah 4
Tetapkan 6μ = β 5μ
= 0,1 (0,0001) = 0,00001
Iterasi 6
Untuk k = 6
Langkah 3
Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh
( )61x = 5,000008
( )62x = 2,999987
)( 6min μφ = f(x) + 6μ B(x)
= ( ) ( )22
21 35 −+− xx - (0,00001) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,000005
f( 6μ ) = ( ) ( )22
21 35 −+− xx
= 0,000000
6μ B(x *6 ) = - (0,00001) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
+−+− 42
13
1
2121 xxxx
= 0,000005 < ε
Penyelesaian sudah optimal karena 6μ B(x *6 ) < ε maka langkah dihentikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Dari permasalahan di atas maka diperoleh penyelesaian dengan *1x = 5,00000 dan
*2x = 2,99999. Pada iterasi ke-6 penyelesaian sudah optimum karena sudah
memenuhi syarat bahwa kμ B(x *k ) < ε .
Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program
Matlab pada contoh 3.1.2 di atas.
Tabel 3.1.2 Output penyelesaian contoh 3.1.2 dengan Matlab
Masukkan data yang dibutuhkan
x1 = [0 0]
Taksiran awal mu : 1
Toleransi error = 0.00001
Max.iterasi newton = 10
===============================================================
Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mu_Bx
===============================================================
0 1.000000 0.000000 0.000000 34.000000 34.583333 0.583333
1 0.100000 5.180705 2.942802 0.035926 0.085366 0.049440
2 0.010000 5.007010 2.987347 0.000209 0.005499 0.005290
3 0.001000 5.000751 2.998692 0.000002 0.000535 0.000533
4 0.000100 5.000076 2.999869 0.000000 0.000053 0.000053
5 0.000010 5.000008 2.999987 0.000000 0.000005 0.000005
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Metode fungsi penalti interior dapat juga diterapkan ke dalam masalah
optimasi berkendala linear. Berikut contohnya :
Contoh 3.1.3
Selesaikan masalah optimisasi berkendala berikut :
Minimalkan f ( x 1 , x 2 ) = x 1 + 2x 2 +1
Kendala g 1 ( x 1 , x 2 ) = - x 1 + 1 ≤ 0
g 2 ( x 1 , x 2 ) = - x 2 ≤ 0
Penyelesaiannya :
Langkah 1
Misalkan ε = 0,00001
β = 0,1 1μ = 1000
Ditentukan k = 1
Langkah 2
Membentuk fungsi φ (x,μ ) = f(x) + kμ B(x)
B(x) dipilih dengan B(x) = Σ=
2
1j )(1xjg
−
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+− 2
11
1xx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Sehingga diperoleh
φ (x,μ ) = f(x) + kμ B(x)
= x 1 +2 x 2 +1 - kμ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+− 2
11
1xx
Langkah 3
Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah optimisasi tak berkendala,
dibutuhkan penurunan parsial φ terhadap 1x dan 2x :
Turunan parsial φ terhadap x 1 diperoleh :
1x∂∂φ = 1 - 2
1 )1( xk
−μ
= 0
atau (x 1 + 1 ) 2 = kμ
x 1 = kμ2
1
-1 (3.3.1)
Turunan parsialφ terhadap x 2 diperoleh :
2x∂∂φ = 2 - 2
2xkμ = 0
x 22 =
2μ k
atau x 2 = 21)
2μ
( k (3.3.2)
Dari persamaan (3.3.1) dan (3.3.2) diperoleh penyelesaian optimum tak
berkendala dan
x *1 ( kμ ) = kμ
21
-1 dan x *2 ( kμ ) = 2
1)2μ
( k
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Iterasi 1
Untuk k = 1
x *1 ( kμ ) = kμ
21
-1
= 30,62278
x *2 ( kμ ) = 2
1)2μ
( k
= 22,36068
Sehingga diperoleh :
)(min kμφ = x 1 + 2x 2 +1 - kμ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+− 2
11
1xx
= ( kμ2
1
+1 ) 21
+2 21)
2μ
( k +1 - kμ [2
12
1
)(1
-2+)μ(-
1
2μ
k
]
= 1,88103
dan f( 1μ ) = ( )21 2+ xx + 1
= { kμ2
1
-1}+2 21)
2μ
( k +1
= 10563,28621
1μ B(x *1 ) = - kμ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+− 2
11
1xx
= 74,46310
Penyelesaian belum optimal karena 1μ B(x *1 ) > ε maka langkah diteruskan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Analog dengan langkah-langkah sebelumnya, titik optimal yang merupakan
penyelesaian optimal didapatkan pada iterasi yang ke-15, yakni
Langkah 4
15μ = 14.μβ
= (0,1).(10 10− ) = 10 11−
Iterasi 15
Untuk k = 15
Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika
x *1 ( 15μ ) = 15μ 2
1
-1
= -1,00000
dan x *2 ( 15μ ) = 2
1)2μ
( 15
= 0,00000
Sehingga diperoleh :
)( 15min μφ = x 1 + 2x 2 +1 - 15μ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+− 2
11
1xx
= 0,00000
dan f( 15μ ) = ( )21 2+ xx + 1
= 0,00000
15μ B(x *15 ) = 0,00000
Karena 15μ B(x *15 ) = 0,00000 < ε maka langkah dihentikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Maka diperoleh penyelesaian dari masalah di atas dengan x *1 = -1, x *
2 = 0.
Pada iterasi ke-15 penyelesaian sudah optimum karena sudah memenuhi
syarat 15μ B(x *15 ) < ε .
Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program MATLAB.
Tabel 3.1.3 Output penyelesaian contoh 3.1.3 dengan Matlab
Taksiran awal miu : 1000.00000
==============================================================
Iterasi miu x1 x2 min(miu) f(miu) miu_Bx
==============================================================
1 1000.00000 30.62278 22.36068 1.88103 10563.28621 74.46310
2 100.00000 9.00000 7.07107 1.66667 340.40440 22.47547
3 10.00000 2.16228 2.23607 1.22515 12.77699 6.40927
4 1.00000 0.00000 0.70711 0.66667 1.04044 1.74755
5 0.10000 -0.68377 0.22361 0.27305 0.23415 0.49039
6 0.01000 -0.90000 0.07071 0.09524 0.07104 0.14618
7 0.00100 -0.96838 0.02236 0.03113 0.02237 0.04521
8 0.00010 -0.99000 0.00707 0.00995 0.00707 0.01419
9 0.00001 -0.99684 0.00224 0.00316 0.00224 0.00448
10 0.00000 -0.99900 0.00071 0.00100 0.00071 0.00141
11 0.00000 -0.99968 0.00022 0.00032 0.00022 0.00045
12 0.00000 -0.99990 0.00007 0.00010 0.00007 0.00014
13 0.00000 -0.99997 0.00002 0.00003 0.00002 0.00004
14 0.00000 -0.99999 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001
15 0.00000 -1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
=============================================================
Pada saat iterasi ke -15,miu_Bx<0.00001.
Jadi nilai miu yang meminimalkan min(miu) adalah : x1 = -1.00000 dan x2 = 0.000002
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior
Teorema 3.2 Teorema Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior
Jika fungsi φ ( x, kμ ) = f(x) - kμ Σ=
m
j 1 )(1
xjg (3.2.1)
suatu barisan turun terhadap kμ , maka penyelesaian dari masalah minimisasi tak
berkendala akan konvergen ke penyelesaian optimal dari masalah berkendala
Minimumkan f(x)
Kendala g j ( x) ≤ 0
dengan g j ( x) ≤ 0 , j =1,2,Κ , m untuk kμ →0
Bukti :
Jika x * adalah penyelesaian optimum dari masalah berkendala maka akan
dibuktikan bahwa0
lim→kμ
[min φ ( x, kμ ) ] = φ ( x *k , kμ ) = f (x * )
karena f(x) kontinu dan f (x * ) ≤ f(x) untuk setiap titik layak x maka dapat dipilih
titik layak x~ sedemikian hingga f ( x~ ) < f (x * ) + 2ε ,∀ ε >0 (3.2.2)
Perhatikan untuk titik layak x~ didapatkan
φ ( x~ , kμ ) = f( x~ ) - kμ Σ=
m
j 1 )~(1
xjg
= f( x~ ) + kμ Σ=
m
j 1 )~(1xjg
−
f( x~ ) + kμ Σ=
m
j 1 )~(1xjg
−≤ f (x * ) +
2ε
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Pilih k yang sesuai, misalnya K sedemikian hingga
Kμ Σ=
m
j 1 )~(1xjg
− ≤ 2ε
Jadi Kμ ≤ ∑=
−m
j jg1 )~(1
2
x
ε
(3.2.3)
Dari (3.2.1) didapat f (x * ) ≤ min φ ( x, kμ ) = φ ( x *k , kμ ) (3.2.4)
dimana x *k adalah penyelesaian minimum masalah tak berkendala φ ( x, kμ )
Selanjutnya φ ( x *k , kμ ) ≤ φ ( x *
K , kμ ) (3.2.5)
Karena x *k minimum dari φ ( x, kμ ) dan ada x lain dari x *
k sebagai petunjuk suatu
nilai dari φ ≥ φ ( x *k , kμ ).
Pilih kμ < Kμ dan didapatkan
φ ( x *K , Kμ ) = f (x *
K ) - Kμ Σ=
m
j 1 )(1
Kjg x
> f (x *K ) - kμ Σ
=
m
j 1 )(1
Kjg x
> φ ( x *k , kμ ) (3.2.6)
dimana x *k adalah minimum tak berkendala dari φ ( x, kμ )
Jadi f (x * ) ≤ φ ( x *k , kμ ) ≤ φ ( x *
K , kμ ) < φ ( x *K , Kμ ) (3.2.7)
Tetapi φ ( x *K , Kμ ) ≤ φ ( Kx~ , Kμ ) = f ( x~ ) - Kμ Σ
=
m
j 1 )~(1
xjg (3.2.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Dari pertidaksamaan (3.2.7) dan (3.2.8) didapatkan
f (x * )≤ φ ( x *k , kμ ) ≤ f ( x~ ) - Kμ Σ
=
m
j 1 )~(1
xjg (3.2.9)
Pertidaksamaan (3.2.2) memberikan - Kμ Σ=
m
j 1 )~(1
xjg <
2ε (3.2.10)
Dengan menggunakan pertidaksamaan (3.2.2) dan (3.2.9) pertidaksamaan (3.2.8)
menjadi f (x * ) ≤ φ ( x *k , kμ ) < f (x * ) +
2ε +
2ε = f (x * ) + ε atau
φ ( x *k , kμ ) - f (x * ) < ε (3.2.11)
Diberikan suatu ε > 0 , ini memungkinkan untuk memilih suatu nilai k supaya
memenuhi pertidaksamaan (3.2.10)
Untuk k→ ∞ dan kμ → 0 didapatkan 0
lim→kμ
φ ( x *k , kμ ) = )( ∗xf
∴Terbukti bahwa 0
lim→kμ
[min φ ( x, kμ ) ] = φ ( x *k , kμ ) = f (x * )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Metode fungsi penalti interior merupakan metode yang digunakan untuk
mengubah masalah optimisasi berkendala nonlinear menjadi masalah optimisasi
tak berkendala, yakni membentuk fungsi ( )kφ μ,x dari masalah optimisasi dasar
ditambah dengan fungsi kendala-kendalanya dikalikan dengan parameter penalti.
Karena masalah optimisasi berkendala menjadi tak berkendala maka masalah
tersebut dapat diselesaikan menggunakan metode optimisasi tak berkendala
nonlinear. Salah satunya adalah metode newton.
Pencarian penyelesaian optimal yaitu dengan menemukan titik optimal
yang dimulai dari daerah layak dan konvergen ke masalah optimisasi dasar
berkendala nonlinear, artinya bahwa nilai dari
∗x
( )kφ μ,x mendekati nilai saat
dengan .
)(xf
0→μ k ∞→k
Syarat-syarat dalam menggunakan metode fungsi penalti interior :
1. Titik awal x 1 harus berada di dalam daerah layak
2. harus turun dengan aturan kμ kμ 1+μ≥ k dan kk βμ=μ +1
3. Fungsi diferensiabel )(xf
Kelebihan dari metode fungsi penalti interior ini adalah titik awalnya
berada dalam daerah layak sehingga pencarian nilai optimum akan lebih
mudah karena berada dalam daerah layak
∗x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Kekurangan dari metode fungsi penalti interior ini adalah
penghitungannya akan sulit jika nilai kμ mengecil. Dalam kasus tertentu titik
awal tidak diperlukan sehingga tidak sesuai dengan algoritma metode fungsi
penalti interior.
B. Saran
1. Metode tidak langsung yang lain untuk menyelesaikan masalah program
optimasi nonlinear berkendala yang dapat digunakan, contohnya Transformasi
Variabel
2. Selain metode Newton, masih banyak metode yang digunakan dalam
menyelesaikan masalah program optimasi nonlinear tak berkendala. Salah
satunya dengan metode Steepest Descent.
3. Masih banyak terdapat metode optimisasi yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan nonlinear baik dengan metode langsung
maupun metode tak langsung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. (1988). Aljabar Linear Elementer (Terjemahan). Edisi kelima.
Jakarta : Erlangga.
Bazaraa M, Sherali H, Shetty C. (1993). Nonlinear Programming, Theory and
Algorithms. Second Edition. Singapore : John Wiley & Sons, Inc.
Purcell, Edwin J. (1988). Kalkulus dan Geometri Analitis (Terjemahan). Edisi
ketiga : Jilid II. Jakarta : Erlangga.
Rao S S. (1984). Optimization Theory and Application. Second Edition. India :
Wiley Eastern Limited.
Soemantri, R., dkk. (2006). Diktat Pengantar Analisis Real. Yogyakarta : FMIPA
USD.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran 1 60
Listing Program :
miu = input('Taksiran awal miu : ');
n = input('Iterasi maksimum : ');
beta = 0.1;
k=1;
e = 0.00001;
miu = 1000;
clc;
fprintf('Taksiran awal miu : %10.5f\n',miu);
fprintf('\n CONTOH METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR \n\n');
fprintf('===================================================================== \n');
fprintf(' Iterasi miu x1 x2 min(miu) f(miu) miu_Bx \n');
fprintf('===================================================================== \n');
while k <= n
x1 = power( (power(miu,0.5)+1), 0.5 );
x2 = power(miu,0.5);
miu_Bx = power(miu,0.5) - ( 1 / ( (1/miu) - power ( ( (1 / power(miu, 3/2)) + ( 1 / power(miu, 2) ) ), 0.5 )));
min_miu_depan = ( (1/3) * power((x1 + 1), 3) ) + 2*x2;
min_miu_blkng = 1 / ( (1/miu) - power ( ( (1 / power(miu, 3/2)) + ( 1 / power(miu, 2) ) ), 0.5 ) );
min_miu = min_miu_depan - min_miu_blkng;
f_miu = ( (1/3) * power((x1 + 1), 3) ) + x2;
fprintf('%3d %10.5f %8.5f %8.5f %9.5f %9.5f %9.5f\n', k,miu,x1,x2,min_miu,f_miu,miu_Bx);
if miu_Bx < e
break
end
k=k+1;
miu = beta * miu;
end
fprintf('============================================================= \n');
fprintf('Pada saat iterasi ke -%d,miu_Bx<%5.5f.\n',k,e);
fprintf('Jadi nilai miu yang meminimalkan min(miu) adalah : x1 x2 =%8.5 f\n',x1,x2);
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
lampiran 2 61
function in1 clc %memasukkan beberapa data seperti x1,tol dan iterasi maksimum. fprintf('Metode Newton\n\n'); fprintf('Masukkan data yang dibutuhkan\n\n'); x=input('x1 = '); mu=input('Taksiran awal mu : '); beta=0.1; e=0.00001; tol=input('Toleransi error = '); N=input('Max.iterasi newton = '); k=1; x1=x(1);x2=x(2); f=(x1-5).^2+(x2-3).^2; z=((x1-5).^2+(x2-3).^2)-(mu/(-x1+x2-3))-(mu/(-x1+2*x2-4)); fprintf('=============================================================\n'); fprintf(' Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mu_Bx\n'); fprintf('=============================================================\n'); tic while k <= N x1=x(1); x2=x(2); f1=2*(x1-5)-((mu)/((-x1+x2-3).^2))-(mu/(-x1+2*x2-4).^2); f2=(2*(x2-3))+((mu)/((-x1+x2-3).^2))+(2*mu/(-x1+2*x2-4).^2); fx=[f1;f2]; j11=2+((2*mu*(-x1+x2-3))/((-x1+x2-3).^4))-(2*mu*(-x1+2*x2-4)/(-x1+2*x2-4).^4); j12=-((2*mu*(-x1+x2-3))/((-x1+x2-3).^4))+(4*mu*(-x1+2*x2-4)/(-x1+2*x2-4).^4); j21=((2*mu*(-x1+x2-3))/((-x1+x2-3).^4))+(4*mu*(-x1+2*x2-4)/(-x1+2*x2-4).^4); j22=2-((2*mu*(-x1+x2-3))/((-x1+x2-3).^4))-(8*mu*(-x1+2*x2-4)/(-x1+2*x2-4).^4); jx=[j11 j12;j21 j22]; %j(ik)=turunan fungsi ke-i terhadap variabel ke-k y=-inv(jx)*fx; f=(x1-5).^2+(x2-3).^2; z=((x1-5).^2+(x2-3).^2)-(mu/(-x1+x2-3))-(mu/(-x1+2*x2-4)); mu_Bx=-mu*((1/(-x1+x2-3))+(1/(-x1+2*x2-4))); fprintf('\n%4.0f %12f %12f %12f %12f %12f %12f',k-1,mu,x,f,z,mu_Bx); if norm(y)<tol %fprintf('\n%4.0f %12f %12f %12f %12f %12f',k-1,mu,x,f,z,mu_Bx); break end if mu_Bx<e break end %mengecek apakah iterasi akan berhenti atau dilanjutkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
lampiran 2 62
x=x+y'; %fprintf('\n%4.0f %12f %12f %12f %12f %12f',k-1,mu,x,f,z) k=k+1; mu=beta*mu end toc if k>=N fprintf('\nIterasi Maksimum Terlewati'); %pemberitahuan bahwa iterasi maksimum sudah terlampaui. end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran 3 63
function contoh3 clc %memasukkan beberapa data seperti x1,tol dan iterasi maksimum. miu = input('Taksiran awal miu : '); n = input('Iterasi maksimum : '); beta = 0.1; k=1; e = 0.00001; clc; fprintf('Taksiran awal miu : %10.5f\n',miu); fprintf('\n CONTOH METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR \n\n'); fprintf('======================================================= \n'); fprintf(' Iterasi miu x1 x2 min(miu) f(miu) miu_Bx \n'); fprintf('=======================================================\n'); while k <= n x1 = sqrt(miu)-1; x2 = sqrt(miu/2); miu_Bx=-miu*((1/(-(sqrt(miu)+2)))-(1/(sqrt(miu/2)))); min_miu_depan = (sqrt(miu)-1)+2*(sqrt(miu/2))+1; min_miu_blkng =miu_Bx; min_miu = min_miu_depan - min_miu_blkng; f_miu = ( (1/3) * power((x1 + 1), 3) ) + x2; fprintf('%3d %10.5f %8.5f %8.5f %9.5f %9.5f %9.5f\n', k,miu,x1,x2,min_miu,f_miu,miu_Bx); if miu_Bx < e break end k=k+1; miu = beta * miu; end fprintf('====================================================== \n'); fprintf('Pada saat iterasi ke -%d,miu_Bx<%5.5f.\n',k,e); fprintf(' Jadi nilai miu yang meminimalkan min(miu) adalah : x1 = %8.5f dan x2 = %12f\n',x1,x2); end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI