1

Pitagoras

– człowiek, który wszędzie widział liczby

2

Co wiadomo o Pitagorasie?

Nie dysponujemy żadnym napisanym dziełem Pitagorasa.

Nie znamy też dokładnych dat jego narodzin i śmierci

Wiemy, że żył w 6 wieku p.n.e.

Przyszedł na świat na wyspie Samos, położonej pośrodku morza Egejskiego.

3

Co wiadomo o Pitagorasie?

Umarł w Krotonie na samym południu Italii.

4

Młodość Pitagorasa

Pitagoras miał 18 lat, gdy wziął udział w Igrzyskach Olimpijskich.

Walczył na pięści i zwyciężył we wszystkich konkurencjach walki.

Odniósł sukces i teraz postanowił podróżować

Olimpia – miejsce igrzysk

5

Młodość Pitagorasa

• Spędził kilka lat w towarzystwie Talesa i jego ucznia Anaksymandra w pobliskiej Jonii.

6

Młodość Pitagorasa

W Syrii przebywał wśród fenickich mędrców, którzy wprowadzili go w sekrety Byblos – starożytnego, fenickiego miasta

Odwiedził górę Karmel leżącą w dzisiejszym Libanie.

Stąd udał się do Egiptu, gdzie pozostał przez 20 lat.

Byblos

7

Życie Pitagorasa

• W świątyniach położonych nad Nilem zgłębiał wiedzę kapłanów

8

Życie Pitagorasa

Na kraj napadają Persowie, a on dostaje się do niewoli i trafia do Babilonu.

W ciągu 12 lat spędzonych w Mezopotamii przyswaja sobie olbrzymią wiedzę skrybów i mędrców babilońskich

9

Życie Pitagorasa

• Potem, pełen mądrości i rozumu wraca na Samos, którą opuścił przed 40 laty.Jednak na Samos rządy sprawował tyran Polikrates, a Pitagoras nienawidził tyranów.Rusza znowu w drogę.Tym razem na zachód, ku brzegom Wielkiej Grecji.

10

Życie Pitagorasa

• Przybija do brzegu Sybaris, na południu Włoch.Sybaris – miasto wszelkich rozkoszy znane było w całym świecie starożytnym.

11

Życie PitagorasaAle Pitagoras wybiera sąsiednią Krotonę i tam zakłada swoją Szkołę, a Sybaris została zniszczona przez wojska Krotony, być może z inicjatywy pitagorejczyków.

Przesunięto koryto rzeki, by wody zalały i pochłonęły miasto.

12

Dziedzictwo Pitagorasa

Szkoła Pitagorejska przetrwała 150 lat.

Począwszy od Pitagorsa, który kilka lat był uczniem Talesa, aż po Archytasa z Torentu, wiernego przyjaciela Platona, liczyła w sumie 218 pitagorejczyków.

Choć nie wszyscy byli matematykami wśród matematyków byli:- Hipokrates z Chios- Teodor z Cyrenei- Fillolaos- Archytas z Tarentu- Hippiasz

ArchytasHipokrates

z Chios

13

Hippiasz

• Hippiasz był jednym z pierwszych pitagorejczyków.

• Był przywódcą „akusmatyków”, czyli kandydatów do inicjacji.

• Pitagoras kierował „matematykami” – uczniami po inicjacji.

• Hippiasz był jednym z tych, którzy wymyślili trzecią średnią. Przedtem znano dwie średnie: arytmetyczną i geometryczną. Potem powstała trzecia – średnia harmoniczna.

14

Rodzaje średnich

• Średnia arytmetyczna liczb a i c zwana jest po prostu średnią. Jest to połowa ich sumy. Eksponuje dodawanie i odejmowanie.„Nadwyżka pierwszej liczby w stosunku do drugiej równa się nadwyżce drugiej w stosunku do trzeciej”

cbba

2

cab

b jest średnią arytmetyczną a i c

15

Rodzaje średnich

• Średnia geometryczna dwóch liczb a i c eksponuje mnożenie i dzielenie.

„Pierwsza ma się do drugiej jak druga do trzeciej”.

Dla Greków stanowi ona figurę analogii.

c

b

b

a

b jest średnią geometryczną a i c

acbacb 2

16

Rodzaje średnichWreszcie nowo przyjęta:Średnia harmoniczna

„Pierwsza przewyższa drugą o ułamek siebie samej, podczas gdy druga przewyższa trzecią o ten sam ułamek trzeciej.”

Na przykład: 4 jest średnią harmoniczną 6 i 3

6 3

12246 zgdyż

33

11134 zgdyż

17

Hipokrates z Chios

• 150 lat przed Euklidesem napisał pierwsze Elementy historii matematyki.

Nie należy go mylić z Hipokratesem, który jest ojcem medycyny, tym od przysięgi. Obaj żyli w V wieku p.n.e., lecz matematyk urodził się na wyspie Chios, lekarz zaś na wyspie Kos.

Hipokrates z Chios

18

Hipokrates z Chios

Hipokrates był jednym z najwybitniejszych geometrów jacy chodzili po Ziemi. Co do reszty uważa się, że był „prosty i głupi”.

Rozpoczął dorosłe życie od zajmowania się handlem morskim. Podczas jednej z podróży jacyś poborcy podatkowi oskubali go ze wszystkich pieniędzy. Doszczętnie zrujnowany postanowił zostać matematykiem.

19

Hipotezy…

Rozumowanie takie jest jedną z najgroźniejszych broni

logiki. Pozwala udowodnić prawdziwość twierdzenia,

udowadniając, że tzw. przeciwne prowadzi do absurdu, np.

- „istnieje liczba, która byłaby jednocześnie parzysta i

nieparzysta”.

- „dwie proste „przecinają się”

- „ jest liczbą wymierną”

„w trójkącie równoramiennym wszystkie kąty są różne”

Uważa się, że Hipokrates wymyślił „rozumowanie

poprzez sprowadzanie do absurdu”

2

20

Hippokrates z Hios

• W tego rodzaju rozumowaniu wychodzi się od

fałszywego założenia, by dojść do prawdziwego

twierdzenia.

• Hipokrates ścigał sierpy księżyca. W matematyce

noszą one nazwę Księżyców Hipokratesa.

Hipokrates wykonał kwadraturę księżyców.

Była to pierwsza kwadratura figury krzywoliniowej.

• Za młodu Hipokrates został zrujnowany, jako

starzec został wygnany ze szkoły pitagorejskiej,

gdyż „brał pieniądze za przedstawianie geometrii”.

21

Archytas z TarentuTarent leży naprzeciw Krotony w wyżłobieniu włoskiego buta.Archytas z Tarentu jest wynalazcą liczby jeden.Dla większości greckich myślicieli liczby naturalne zaczynały się od dwójki.Grecy mówili, że jedynka mówi o istnieniu, a nie o ilości.

Archytas, oprócz tego że został ojcem jedynki, zyskał jeszcze jeden tytuł do sławy: był pierwszym inżynierem.Stworzył sztukę mechaniki, stosując wiele reguł matematycznych w badaniu przyrządów fizycznych.Nie zadowalał się rysowaniem maszyn na papirusach lecz rzeczywiście je budował. Potrafił skonstruować mechanicznego ptaka.

22

Archytas z TarentuArchytas został pierwszym w historii graficiarzem. Nie znosił używania ordynarnych słów.

W dniu, w którym został do tego zmuszony, odwrócił się plecami do swoich rozmówców, podbiegł do stojącego za nim muru i napisał WIELKIMI LITERAMI słowo, którego nie chciał wymówić – tak, jakby słowa były zbyt ważne, by robić z nich taki użytek.

Ojciec jedynki działał w wielu dziedzinach.

Oprócz matematyki, muzyki, zajmował się polityką. Jako dobry pitagorejczyk

interesował się życiem miasta. Tarent miał demokratyczną Konstytucję, a

Archytas 7 razy został wybrany strategiem miejskim.

23

Spadkobierstwo pitagorejczyków

• Z pitagorejczykami matematyczny świat uległ rozszerzeniu

• To oni wprowadzili muzykę i mechanikę. Mistyczny sposób pojmowania liczb nie przeszkodził im w ustanowieniu arytmetyki jako wiedzy o liczbach.

• Im zawdzięczamy pierwsze w historii prawdziwe dowody.

24

Matematyka w muzyce

Pitagoras widział liczby wszędzie

Dla niego liczbą jest wszystko co istnieje.

Po raz pierwszy wytropił je w muzyce.

Przy użyciu prostego sprzętu Pitagoras dokonał

zdumiewającego odkrycia:

„Muzyczny interwał jest stosunkiem dwóch liczb.”

25

Matematyka w muzyce

• Interwał oktawowy, będący efektem

dźwięków pustej i do połowy wypełnionej wodą

wazy, wyraża się stosunkiem ½.

• Kwinta – stosunkiem 2/3

• Kwarta – stosunkiem ¾

26

Matematyka w muzyceStosunki liczbowe okazały się zdolne do wyrażania muzycznych

harmonii.

Harmonia okazała się udźwiękowieniem stosunków liczbowych.

Gama okazała się liczbą, a muzyka matematyką.

Nie chodziło jednak tylko o muzykę. Harmonia zdaniem

Pitagorejczyków rozciągała się na cały świat.

27

Arytmetyka – badanie liczb

Trzy małe dźwięki dały początek

pierwszemu matematycznemu prawu

natury.

Tak rozpoczęło się poszukiwanie liczb w

rzeczach.

Pitagorejczycy postanowili dać wiedzy o naturze podstawę

numeryczną. Aby osiągnąć cel musieli zbadać liczby same w

sobie.

Tak powstała arytmetyka jako nauka o liczbach, którą chcieli

odróżniać od logistyki, czyli sztuki czystego rachowania.

Przez ten rozdział wznieśli arytmetykę ponad potrzeby kupców.

28

Klasyfikacja liczb

Pitagoras zaczął od dokonania pierwszej klasyfikacji liczb. Dziś wydaje się nam tak naturalna jakby istniała od zawsze. A to był dopiero wielki początek…

• Podzielił liczby całkowite na dwie kategorie: na parzyste i nieparzyste.

Cnnp

Cnnp

,12

,2

•Na te, które są podzielne przez dwa i te, które nie są.

29

• Ustalił reguły rachunku dotyczące parzystości:

parzysta + parzysta = parzysta

parzysta + nieparzysta = nieparzysta

parzysta . parzysta = parzysta

nieparzysta . nieparzysta = nieparzysta

parzysta . nieparzysta = parzysta

Klasyfikacja liczb – c.d.

30

• „Należy cesarzowi oddać co cesarskie a Pitagorasowi odebrać to, co nie należy do Pitagorasa!”

• Już na długo przed nim Egipcjanie, a przede wszystkim Babilończycy odkryli pewien związek łączący trójki liczb całkowitych, właśnie ten, który przedstawia słynne twierdzenie.

Twierdzenie Pitagorasa?

31

Tabliczka Plimptona 322Na babilońskiej tabliczce zwanej tabliczką Plimptona 322 od nazwiska angielskiego archeologa, który dokonał odkrycia, skryba napisał piętnaście trójek liczb całkowitych, które sprowadzały się do tego, że suma kwadratów dwóch z nich była równa kwadratowi trzeciej.

Tabliczka pochodziła sprzed tysiąca lat przed narodzeniem Pitagorasa.

32 + 42 = 52

32

Że istnieje związek pomiędzy długością boków a rodzajem trójkąta.

„Jeżeli suma kwadratów dwóch boków trójkąta równa się kwadratowi trzeciego a2 + b2 = c2

to ten trójkąt jest prostokątny”.

To istotny związek zachodzący między długościami boków, a jednym z kątów trójkąta.

Babilończycy i Egipcjanie znali własność, ale czy potrafili ją udowodnić?

3 5

4

A co mówi twierdzenie?

33

Pentagram – symbol pitagorejczyków

• pięciokąt foremny gwiaździsty

• gwiazda pitagorejska• godło Bractwa

Pitagorejczyków• symbol doskonałości

według Pitagorejczyków.

34

Kto mógł zostać pitagorejczykiem?

Oto w jaki sposób Pitagoras testował tych, którzy chcieli zostać jego uczniami:

Zaczynał od sprawdzenia czy kandydat jest w stanie „utrzymać język za zębami”, czy potrafi milczeć i zatrzymać dla siebie to, co usłyszał podczas trwania nauki.

W pierwszym okresie milczenie interesowało Pitagorasa bardziej niż słowo.

35

Próba trwała 5 lat, sala w której odbywała się nauka była przedzielona kotarą na dwie części. Po jednej Pitagoras, kandydat zaś po drugiej.

Kto mógł zostać pitagorejczykiem?

Mogli się od niego uczyć tylko słuchając.Kotara miała ogromne znaczenie w życiu szkoły pitagorejskiej.

36

Tylko oni mogli słuchać i widzieć Pitagorasa.

Kto mógł zostać pitagorejczykiem?

Przejście za kotarę oznaczało, że próby się skończyły sukcesem.

Na zewnątrz znajdowali się egzoterycy, w części wewnętrznej zaś, tej której trzymał się Pitagoras, znajdowali się, i to na całe życie – ezoterycy.

37

Dorobek pitagorejczyków

Teksty Pitagorejczyków także były objęte tajemnicą. Pisano je w języku o podwójnym znaczeniu, na dwóch poziomach rozumienia.

Jeden z nich rozumieli wszyscy.Drugi był zarezerwowany dla wtajemniczonych.

Pitagorejczycy mówili o symbola i enigmata – czyli o symbolach i enigmatach.

38

Większą część wiedzy przekazywano sobie z ust do ust.

Akusmatycy Którym przekazywano

wyniki lecz bez dowodu

Matematycy Mieli dostęp zarówno do

wyników jak i dowodów

Akusmatycy i Matematycy

Ten typ przekazu zrodził kolejny podział:

39

Zasady pitagorejczyków

Wszyscy członkowie szkoły musieli ćwiczyć pamięć.

Pitagorejczyk nigdy nie wstawał rano, zanim nie przypomniał sobie wszystkich wydarzeń dnia poprzedniego – co widział, co mówił, kogo spotykał.

Przystępując do wspólnoty każdy pretendent musiał wspólnocie oddać wszystkie swoje dobra.

40

Zasady pitagorejczyków

Ten którego odrzucano, otrzymał przed odejściem dwa razy tyle dóbr ile wniósł do wspólnoty. Dawano mu w pieniądzach to, czego nie potrafił zabrać w postaci wiedzy.

Ale…

Jak tylko ogłoszono jego wykluczenie, kopano mu grób. Śmierć była symboliczna, ale grób prawdziwy.

41

Kryzys liczb niewymiernych

V w. p.n.e. Wielka Grecja, gdzieś nieopodal południowych wybrzeży Italii, koło Krotony…

Art. 1. Wszystko jest liczbąArt. 2. Jeżeli jakaś liczba stanowi bok kwadratu, żadna

liczba nie wyraża jego przekątnej. Przekątna i bok są niewspółmierne.

Art. 3. Istnieją wielkości, których nie można wyrazić żadną liczbą.

Stwierdzenie to, ustalone przez samych pitagorejczyków, zagrażało ich wizji świata. Zatem musiało kategorycznie pozostać tajemnicą.

42

Kryzys liczb niewymiernychJakie to były liczby, których zadaniem było wyrażać świat i jego harmonię, wypowiadać kosmos?

Liczby całkowite.

Także ułamki, gdyż ułamki wyrażały stosunki liczb całkowitych. Tylko liczby dodatnie, w cywilizacjach starożytnych liczby ujemne nie istniały.

Grecy używali stosunków dwóch dowolnych liczb całkowitych. W Egipcie była tylko ½ i kilka innych ułamków. Nie było np.: 22/7.

Główną funkcją tych liczb zwanych później wymiernymi było numeryczne wyrażanie wielkości geometrycznych. Służyły do ich mierzenia.

43

Pojawienie się kwadratu o boku 1

Bok i przekątna, dwa godne uwagi odcinki kwadratu!Jakie istnieją związki między nimi? Otrzymujemy dwa trójkąty

prostokątne.Co mówi twierdzenie Pitagorasa?

12 + 12 = 2A zatem długość przekątnej jest liczbą, której kwadrat jest równy 2.Grecy szukali takiej liczby. Żadna nie pasowała, ani całkowita, ani

ułamek. Pojawiło się zatem pytanie:CZY TAKA LICZBA ISTNIEJE?

A jeśli nie istniej, jak się o tym przekonać?Aby się przekonać, że coś istnieje wystarczy to pokazać.

Ale że nie istnieje? Trudno pokazać nieistnienie…

X? 1

1

44

Dowód na nieistnienie Jedynym sposobem stwierdzenia, że coś nie istnieje jest udowodnienie, że istnieć nie może.

Czyli, że musimy przejść od niemożności znalezienia rzeczy, o której mowa, do pewności, że ta rzecz nie istnieje.

Potrzebny jest dowód. Dowód niemożności!

Właśnie tego dokonali pitagorejczycy.Udowodnili, że nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat byłby równy 2.Jeśli jakaś liczba wymierna jest miarą boku kwadratu, to żadna liczba wymierna nie będzie mogła być miarą jego przekątnej.Przekątna i bok kwadratu są NIEWSPÓŁMIERNE.

Jak reaguje greckie społeczeństwo na te rewelacje?Główna więź pomiędzy liczbami a wielkościami, stanowiąca o spójności pitagorejskiego świata zostaje brutalnie przerwana.

45

Przełom

Mało tego, cios został zadany przez zastosowanie dwóch najwybitniejszych pitagorejskich dokonań:twierdzenia samego Pitagorasa oraz podziału liczb całkowitych na parzyste i nieparzyste.

Więź między liczbami i wielkościami zostaje przerwana i

to w samy sercu jednej z dwóch wiodących figur

antycznego świata – kwadratu

46

LICZBY NIEWYRAŻALNE

Tą przekątną dało się skonstruować, ale nie dało się zmierzyć.Do tej pory zawsze można było zmierzyć to, co zbudowano.Przestała istnieć współzależność między konstruowaniem a mierzeniem.

Odkrycie było zatem następujące:„Nie ma liczb, które potrafią wyrazić niektóre wielkości”.

Dlatego nazwano je NIEWYRAŻALNYMI

47

Skandal i katastrofa

Na tym polega „logiczny skandal”, który Hippiasz z Metapontu ujawnił poza kręgiem pitagorejczyków.

Katastrofa statku była jednocześnie katastrofą pewnej myśli opartej na harmonii i wszechpotędze racjonalnych związków pomiędzy rzeczami tego świata.

Za to, że to zrobił zginął w katastrofie

morskiej.

48

Pierwszy dowód matematyczny

Katastrofę spowodował jeden dowód.

Historia zapamiętała, że pierwszym dowodem matematycznym był dowód niemożności.

49

Dziękujemy za uwagę