Definição

Uma pirâmide é todo poliedro formado por

uma face inferior e um vértice que une todas

as faces laterais. As faces laterais de uma

pirâmide são regiões triangulares, e o vértice

que une todas as faces laterais é chamado de

vértice da pirâmide.

PIRÂMIDES

EXEMPLOS DE PIRÂMIDE

Nomenclatura: de acordo com o número de arestas da base nomeamos uma pirâmide como segue:

Base Nº de Arestas Nomenclatura

Triângulo 3 Triangular

Quadrilátero 4 Quadrangular

Pentágono 5 Pentagonal

Hexágono 6 Hexagonal

Pirâmide TriangularPirâmide Quadrangular

Pirâmide Hexagonal

Pirâmide Pentagonal

ALTURA DA PIRÂMIDEA altura da pirâmide é a menor distância do vértice

ao plano da base.

PIRÂMIDE RETA

OBS:

caso a altura não seja ortogonal pelo centro da base,

dizemos que a pirâmide é oblíqua.

Quando a pirâmide é reta, a altura une o vértice

ao centro da base.

PIRÂMIDE REGULAR

Definição

Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja

base é um polígono regular.

OBS: numa pirâmide regular, as faces

laterais são triângulos isósceles

congruentes.

APÓTEMA DA PIRÂMIDE

Definição

Denominamos apótema de uma pirâmide

regular, a altura do triângulo isósceles da

face lateral.

EXEMPLO:

Relação entre a altura da prâmide (h), o apótema da base e o apótema da pirâmide .

2 2 2

p ba a h

ba

pa

Exemplo:

1) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule seu o aótema da base e do apótema da pirâmide.

ba = 3

2 2 2

p ba a h

2 23 4 9 16 5g m

ÁREA

A área total de uma pirâmide é a

soma da área da superfície lateral com

a área da base .

T SL BA A A

TA

S LA

BA

VOLUME

.

3

BA hV

O volume de uma pirâmide é sempre o

produto da área da base vezes a altura,

dividido por três.

EXEMPLOS

2)Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule seu volume e a área total.

2

36 .4. (36).4

(12).(4) 483 3 3

Bpirâmide

A hV m

2 2

2 2

2

2

3 4 9 16 5

(6) 36

36 60 96(6).(5)4. 4 15 60

2

B

t b l

S L

g m

A m

A A A mA m

Solução. Observando os elementos na

figura, temos:

i) Volume:

ii) Área total:

3) Calcular a área da base, área lateral, área total e o volume da pirâmide quadrangular regular de apótema 5cm e apótema da base 2cm.

2 2

2 2

2

2

5 2 21

(4) 16

16 40 56(4).(5)4. 4 10 40

2

B

T B S L

S L

h cm

A cm

A A A cmA cm

316 .( 21). 16 21

3 3 3

BA hV cm

Solução. Se o apótema da base mede 2cm, então a aresta da

base mede 4cm. Observando os elementos na figura, temos:

i) Áreas:

ii) Volume:

4) Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular de área da base e apótema 13m.

O apótema do hexágono é a altura do triângulo equilátero. A

altura da pirâmide é calculada com a relação de Pitágoras no

triângulo retângulo de hipotenusa 13m.

Solução. A área da base é o sêxtuplo da área de

um triângulo equilátero com lado de mesma

medida da aresta do hexágono. Temos:

mlll

A

lA

b

b38192

6

)288).(4(3288

4

3.6

3288

4

3.6

22

2

3

22

3480)5.(3963

)5.(3288

3

.

5251441691213

122

)3)(8(

2

338

2

3

mhA

V

mh

ml

abp

2288 3 m

TRONCO DE PIRÂMIDE

VOLUME DO TRONCO

Sendo V o volume da pirâmide maior e v o

volume da pirâmide menor temos:

TRV V v

Relação entre o volume da pirâmide

maior V e o volume da pirâmide menor v.

333

B P

b p

a aV H

v h a a

- Apótema da base da pirâmide maiorBa

- Apótema da base da pirâmide menor

- Apótema da pirâmide maior

- Apótema da pirâmide maiorba

Pa

pa