Physique mécanique (NYA)

Chapitre 2: Les vecteurs

2.1 Scalaire et vecteurs• Un scalaire est une grandeur totalement définie par un nombre et une unité. Il a

une valeur numérique mais pas d'orientation. Les scalaires obéissent aux lois de l'algèbre ordinaire (Ex. masse, distance, température, volume, densité)

• Un vecteur est une entité mathématique définie par plusieurs valeurs numériques. Ces valeurs numériques décrivent le module et l'orientation du vecteur. Les vecteurs obéissent aux lois de l'algèbre vectorielle (Ex. déplacement, vitesse, accélération, force, quantité de mouvement).

• Les vecteurs sont souvent imprimées en caractères gras et/ou surmontées d'une flèche.

• Un vecteur peut être représenté géométriquement comme un segment de droite orienté de longueur proportionnelle à son module. On le représente par une flèche dont l'orientation est précisée par l'angle.

• Le module d'un vecteur est un scalaire positif.• Lorsqu'on dessine un vecteur, on peut placer son

origine en n'importe quel point par rapport aux axes du système de coordonnées. Mais, dans un problèmede physique, l'emplacement d'une grandeur vectoriellepeut avoir une importance, comme c'est le cas par exemple du point d'application d'une force.

A

A A

2.1 (suite)• L'égalité vectorielle A = B signifie que les vecteurs

ont le même module et la même orientation:

• Multiplier un vecteur par un nombre pur (ou un scalaire) revient simplement à modifier le module du vecteur (Ex. )

A BA B A B et

v at

2.2 L’addition des vecteurs

est la résultanteR

R A B C D

Méthode du polygone

2.2 (suite) Commutativité de l’addition

L’addition est commutative:

R A B C A C B B C A

2.2 (suite)

A C A C

Soustraction de vecteurs

Inverse d’un vecteur

2.3 Composantes et vecteurs unitaires

Un vecteur A peut être décomposé en ses composantes rectangulaires Ax et Ay.

Il est possible d’additionner des vecteurs en additionnant les composantes de ces vecteur.

cos

sinx A

y A

A A

A A

2 2

cos sin

cos sin

x A y A

x B y B

x x x y y y

yx y R

x

A A A A

B B B B

R A B R A B

RR R R tg

R

Notez que l’inverse tangente a deux solutions …

2.3 (suite)Un vecteur unitaire est un vecteur dont le module est egal a 1.

Par exemple, est un vecteur unitaire dans la direction de

Les vecteurs unitaires dans les directions x, y et z sont not

A

A A

u A

AA u A u

A

es i, j et k.

Il est possible de decomposer tout vecteur en fonction de i, j et k.

i + j + kx y z x y zA A A A A A A

2.4 Le produit scalaire

cosA B AB

x x y y z zA B A B A B A B

Produit scalaire en fonction du module et de l’angle:

Produit scalaire en fonction des composantes:

cos x x y y z zA B A B A B

AB

Angle entre deux vecteurs:

Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit du module du premier par la composante du second dans la direction du premier.

Calculez l'angle entre les vecteurs M et P.M= ( -30 ; -20 ; +10 ) m/s et P= ( -30 ; -20 ; -10 ) m/s

M P= (-30)(-30) + (-20)(-20) + (10)(-10) = 1200 m²/s²

||M|| = ||P|| = 37,42 m/s (Dans ce cas particulier)

MP = 1400,26 m²/s² (Un vecteur sans flèche est synonyme de la grandeur du vecteur)

cos() = 1200/1400,26 = 0,85699 (le résultat est adimensionnel)

= 31,02°

2.4 (suite) Exemple

2.5 Le produit vectoriel

sin nA B AB u

Le module du produit vectoriel de deux vecteurs est le produit du module du premier par la composante du second qui est perpendiculaire au premier.

sin sin sinA B A B B A AB

Le produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire à A et à B dont le sens est donné par la règle de la main droite ou celle du tire-bouchon.

Notez que le produit vectoriel est nul si les deux vecteur sont parallèles et maximal s’ils sont perpendiculaires.

2.5 (suite) Produit vectoriel en fonction des composantes:

...y z x yx zx y z y z y z

y z x yx zx y z

i j kA A A AA A

A B A A A i j k i A B B A jB B B BB B

B B B

:

2 4 1 4 1 21 2 4

1 5 3 5 3 13 1 5

2 5 1 4 1 5 3 4 1 1 3 2

6 17 7

Exemple

i j k

A B i j k

A B i j k

A B i j k