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Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques
Leçon n°15 :
Etude énergétique d’une corde, réflexion et transmission, impédance
Etude énergétique d’une corde
Densité d’énergie cinétique•Un élément de masse dm=dx de vitesse y/t possède l’énergie
cinétique :
• La densité d’énergie cinétique s’écrit :
2
c t
ydx
2
1dE
2
c
c t
y
2dx
dEe
Densité d’énergie potentielle
• Pendant le mouvement, la longueur de la corde serait L, supérieure à sa longueur au repos ℓ.
• Le travail d’un opérateur faisant passer la corde de la situation décrite par y(x,t) s’écrit :
où T est le module de la force exercée par l’opérateur.
0
2
0
2
0
222
dxx
y
2
1L
1x
ycardx
x
y
2
11dx
x
y1LSoit
dydxdsavecdsL
0
2
dxx
y
2
TLTW
Densité d’énergie (2)
• Ce travail s’identifie à la variation d’énergie potentielle de la corde
• La densité d’énergie potentielle ep s’écrit donc :
• La densité d’énergie de la corde s’écrit alors :
0
2
p dxx
y
2
TE
2
p
p x
y
2
T
dx
dEe
T
vavecx
y
2
T
t
y
2eee 2
22
pc
Densité d’énergie (3)
• La densité d’énergie de la corde peut être transformée de la manière suivante :
• Le crochet représentant l’équation de d’Alembert étant nul, il reste :
qui est l’équation locale de la conservation d’énergie où S représente le flux d’énergie à travers la corde en un point et un instant donnés.
t
y.
x
yT
xt
y
v
1
x
y
t
yT
t
y.
x
y
t
y.
x
y
xT
t
y.
t
y
v
T
tx
y.
x
yT
t
y.
t
y
t
e
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
y.
x
yTSavec0
t
e
x
S
Densité d’énergie (4)
• Le terme est la réduction sur l’axe des x de div S.
•Nous avons vu précédemment que
il est donc possible de retrouver l’équation de d’Alembert à partir de la conservation de l’énergie d’une corde fixée aux deux bouts.
x
S
2
2
22
2
t
y
v
1
x
y
t
yT
t
e
x
S
Réflexion et transmission sur une discontinuité simple d’une corde
• Sur une corde très longue composée de deux tronçons, avec les masses linéiques 1 et 2, on suppose que du côté x<0 arrive un ébranlement :
• Cette onde incidente donnera une onde réfléchie et une onde transmise :
1v
xtft,xy
2t
1r v
xtfty;
v
xtfry
Réflexion et transmission
• Continuité de la déformation :
• Continuité de la tension en x=0, c’est à dire de l’angle avec l’axe ox.
• En utilisant f’ comme la dérivée de f par rapport à on peut écrire :
t,0yt,0yt,0ytri
x
t,0yt,0
x
yt,0
x
ytri
x
y
0v
xt
'fv
1t,0
x
fet'ft,0
t
f
i
Réflexion et transmission
• En simplifiant par f’, on trouve
• On définit
• On trouve :
21
2
21
12
211
vv
v2tet
vv
vvr
v
t
v
r
v
1
tr1
i
i
1
2
2
1T
vavecv
v
1
2tet
1
1r
Réflexion et transmission
• Les limites de r et t sont :
• Cas →0 : qui est le cas de la réflexion sur une corde très simple (2<< 1), à la limite 2=0, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme libre, on a r=1 et t=2, il y’a réflexion totale sans changement de signe.
• Cas → : c’est le cas de la réflexion sur une corde très dense (2>>1), à la limite 2=, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme rigidement fixée on a r=-1 et t=0
Il n’y a plus d’onde transmise mais réflexion totale avec changement de signe.
2t0et1r1
•
•
•
• On remarque que, e+=et et e-=ei+er, et que
La densité d’énergie est discontinue, elle dépend de la nature de la corde.
Densité et flux d’énergie sur une discontinuité d’une corde
22
x
y
2
T
t
y
2e
22
2
2
2
22
2
t
'ft'tfv
1
2
T'tf
2e,0xen
v
xtftt,xyt,xy,0xPour
22
1
2
11
21
11
ri
'fr1'fv
r'f
v
1
2
T'rf'f
2e,0xen
v
xtfr
v
xtft,xyt,xyt,xy,0xpour
2
1
2
2
1
2
2
2
1'f
1
12'f
1
11'f
1
2ee
•
•
•
Le flux d’énergie est une grandeur continue à travers x=0 ce qui traduit la conservation de la puissance. St=Si+Sr
•
Ce qui traduit la conservation de l’énergie : flux incident = flux réfléchi + flux transmis
Densité et flux d’énergie
t
y.
x
yTS
2
1
2
11
2
2
2
2
'fv
r1T'rf'f'f
v
r'f
v
1TS;'f
v
tT'tf'f
v
tTS
0'fv
1r
v
tr1T'f
v
1r
v
tTSS 2
12
2
1
2
2
2
TR1
1
1r
S
SRet
1
4t
v
tv
S
STSi
2
2
2
i
r
2
2
2
2
1
i
t
•
• 1=R+T → 0 R → 1 et T → 0 → R → 1 et T → 0 dans les deux cas, c’est la réflexion totale → 0 t → 2, cette onde d’amplitude double ne transporte pratiquement pas d’énergie
Réflexion et transmission, conclusion
1
2tet
1
1r
en supposant une onde harmonique d’amplitude Aei(x-k1
x) arrive du côté x<0, on peut écrire :
Réflexion et transmission sur une discontinuité double (1)
Lxkti
L3
Lxkti
L
xkti
02
xkti
0
xkti
1
3
22
11
Aett,xyAerAett,xy
AerAet,xy
Les conditions de continuité donnent quatre équations à quatre inconnues r0, t0, rL et tL (les paramètres k1, k2, k3 et L sont donnés)
• en x=0
• en x=L
Lik
L0201
Lik
L00
2
2
ertkr1kertr1
L3L
Lik
02
LL
Lik
0
tkretktret
2
2
Réflexion et transmission sur une discontinuité double (2)
Impédance d’une corde (1)
• Soit F(x,t) la composante sur oy de la force exercée sur une corde et la vitesse de la corde en x
La célérité des ondes est
•
L’impédance Z de la corde est constante (le signe - signifie que F et V sont en opposition de phase).
t
ytx,V
Tc
μTZc
T
V
FZ
f't
yV
f'c
T
x
yTF
c
xtftx,ysi;
x
yTTtgαTsinαF
Impédance d’une corde (2)
• Exemple d’un point matériel S de masse m attaché à deux ressorts identiques de raideur k ; l’impédance de la corde est
Cette force entraîne un amortissement du mouvement de m.
• Relation fondamentale de la dynamique (ou à travers l’équation de Lagrange) :
du type
L’impédance de la corde agit comme un amortisseur ou une résistance électrique.
ss
s
s yμTFμTy
F
t0,V
t0,FZ
02kyyμTym
yμT2kyym
sss
ss
0kyαym eqeqeq y
•
• A.N. : m=0,5kg ; k=104N.m-1 ; µ=0,1kg.m-1 ; T=10 N
à t=0, ys=0=1mm ; et
(constante d’amortissement) ; =200 rad/s
régime pseudopériodique (peu amorti)
•
• est grand devant donc peu d’énergie est perdue pendant une période T, l’amplitude reste pratiquement constante sur une période T.
Impédance d’une corde (3)
0yωym
μTy02kyyμTym s
2sssss
12sm
μT
22
2
4ω4ωm
μTΔ
0ys
s1T
m2avectcosaety /t
s
ms4,312
T
• Relation entre une OPPS et une OS à un mode : Prenons une onde stationnaire à un mode et transformons ce produit en somme :
L’O.S peut être considérée comme la superposition des 2 OPPS de même pulsation et de même amplitude se propageant un sens inverse.
• Inversement, prenons une OPPS, en développant le cosinus :
Elle peut ainsi être considérée comme la superposition de deux OS en quadrature (spatiale et temporelle).
Onde plane progressive sinusoïdale (OPPS) et onde stationnaire (OS) à un mode
tcoskxcosAtx,y
kxtcos2
Akxtcos
2
Atx,y
tsinkxsinAtcoskxcosAkxtcosAtx,y
• Une corde vibrante est dans le mode stationnaire n, c’est-à-dire que :
• Calculer l’énergie totale En de la corde en fonction de n, An, l et T.• Considérons à présent la corde comme un assemblage de petits éléments (de
longueur dx) qui effectuent chacun autour de sa position de repos respective sur l’axe Ox un mouvement sinusoïdal d’amplitude Ansin knx.Quelle serait l’énergie mécanique totale E’ de cet ensemble d’oscillateurs? (on rappelle que l’énergie mécanique totale d’une masse m effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude à la pulsation est m22/2).
Comparer l’expression obtenue à En. Commentaire.
Exemple : Energie d’une corde (1)
l
nk,xksintsinAtx,y n
nnnnn
Exemple : Énergie d’une corde (2)
• Énergie de la corde en fonction de n, An, l et T.
d’où par la somme, avec
il s’agit bien d’une constante (indépendante du temps).
nn22
n2n
p
1
0
2/1
1
0 n2
nn22
n2n
2
nnp
nn2l
n2n
nc
1
0
2/1
1
0 nnn22
n2n2
2
nnc
tsinlksin4
TE
xdxkcostsinkA2
Tdx
x
y
2
TE
tcoskA4
TE
xdxksintcosA2
Tdx
t
y
2E
2n
22
nn Anl4
TE
l
nk
Exemple : Énergie d’une corde (3)
• L’élément de masse µdx effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude Ansin knx à la pulsation n possède l’énergie mécanique totale :
Avec
l’analogie est tout à fait valable.
2/1
n
21
0
2n
2n
'n
2nn
'n xdxksinA
2
1EsoitxksinAdx
2
1dE
n2n
22
'n2
2222n EAn
l4
TE
T.
l
n
l
vn