Physik der Musikinstrumente

Physik der MusikinstrumenteT. Lohse, M. zur Nedden SS 03

Vorbemerkung:

Musikinstrument, schwingendes System

Musikinstrument, schwingendes System Schalldruckwellen,

Ausbreitung im Auditorium

Schalldruckwellen, Ausbreitung im

Auditorium

Menschliches Ohr

Wavelet-Trafo, Wandlung in

Nervensignale

Wavelet-Trafo, Wandlung in

Nervensignale

Physikalische Grundlagen:• Schwingungen / Wellen in festen / gasförmigen elastischen Medien

• Hydrodynamik

• Lineare und nichtlineare Schwingungen

Beispiele schwingender Systeme:• Saiten Geige, Gittarre, Klavier, ...• Blattfedern Rohr / Zunge in Blasinstrumenten, ...

• Membranen Pauke, Bongos, Trommelfell, ...

• Platten, Stäbe Xylophon, Gitarrendeckel, Triangel, ...

• Schalen Becken, Glocke, ...• Luft-Hohlraumresonatoren Geigenkörper, Orgelpfeife, ...• Luft-Wellenleiter Flöte, Trompete, Horn, ...

0xωx 20 0xωx 2

0

Bewegungsgleichung:

φtωitiω 00 eAeAx(t)

komplexe Lösung:

ω0: Eigenfrequenz

A = |A|·eiφ: komplexe Amplitude

φ: Phase

sinφAbcosφAa

tωsinbtωcosaφtωcosAx(t) 000

reelle (physikalische) Lösung:

Anfangsbedingungen |A|, φ bzw. a, b

1. Schwingende Systeme

1.1. Eindimensionale harmonische Schwingung

Beispiele:

D m

zm

Dω

zx20

2kin

2pot zm

2

1E Dz

2

1E

I Q

C

L

Ix

Qx

D1ˆC

mˆL

D1ˆC

mˆL

LC

1ω2

0

Helmholtz-Resonator:

L

S

PDruck SLV PDruck

SLV Luftdichteρ LuftdruckPa

Luftdichteρ LuftdruckPa

S

cVLω PPx 2

0a S

cVLω PPx 2

0a

Akustik)für (i.a.h adiabatisc1,4C

C relevant)nicht (i.a. isotherm1

γ

ρ

γPc

V

P

a Schallgeschwindigkeit

0xωx2αx 20 0xωx2αx 2

0 Bewegungsgleichung:

1.2. Dämpfung

α: Dämpfungskonstante

α < ω0: Schwingfall(musikalischer Normalfall)

α > ω0: Kriechfall

α = ω0: aperiodischerGrenzfall

αtetb1Ax(t)

20

2

tλtλ

ωααλ

ebeax(t)

00

220d

dαt

ωαfür ω αωω

φtωcoseAx(t)

Beispiele:

2mγα m

Dω zx 20 2m

γα mDω zx 2

0

γˆR D1ˆC mˆL γˆR D1ˆC mˆL

Ix

Qx

2L

Rα

LC

1ω2

0

D

γ

m

z

zγFReibung

I

L R

Q

C

Musikinstrumente: „Kleine Dämpfung“ α ω0

quasi-statische Schwingung / kein Energieverlust während T = 2π / ω

Energieverlust bei kleiner Dämpfung:

T

2

T

2

Txm

2

1xD

2

1tE

t2α2

T02t2α2

T

2 eA2

1φtωcoseAx

const. ½t2α2t2α2

0

2

T

2 em

DA

2

1eωA

2

1x

Dτt2

TeDA

2

1tE

2α

1τD Dämpfungszeit:

φtωcoseAx(t) 0tα

#Schwingungen in τD: Q2π

1

2α

ω

2π

1

2π

ωτ

T

τN 00DD

2α

ωQ 0Güte:

102α

ωQ 0 Güte:

Impulsanregung

Beispiel:

T37% = Q/π = 2τD

T14% = Q/2π = 4τD

1.3. Erzwungene Schwingungen

Bewegungsgleichung: f(t)xωx2αx 20 f(t)xωx2αx 2

0 f(t): externe Anregung

D

γ m

zF(t)

m

F(t)f(t)

2m

γα

m

Dω zx 2

0

m

F(t)f(t)

2m

γα

m

Dω zx 2

0

Musikinstrument: f(t) periodisch

Fourierzerlegung: f(t) harmonisch e

m

Feff(t) tiω0tiω

0 em

Feff(t) tiω0tiω

0

1.3.1. Übersicht

Lösung: x(t) = xh(t) + xs(t)

f(t)xωx2αx 20 f(t)xωx2αx 2

0

xh(t):

xs(t):

• Einschwingvorgang• gedämpft • Lösung der homogenen Gleichung ( f 0 )• festgelegt durch Anfangsbedingungen

0txlim ht

• Asymptotische, stabile Schwingung für • spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung• unabhängig von Anfangsbedingungen• festgelegt durch ω0, α, f0, ω

Dτt

1.3.2. Gleichgewichtsschwingung ( t )

ωidtd ωidtd

tiω0 extx tiω

0 extx tiω0

20 efxωx2αx tiω

020 efxωx2αx

0020

2 fxωω2iω 0020

2 fxωω2iω

20

20

0

220

00

ωωiα2ω

fωv

α2iωωω

fx

20

20

0

220

00

ωωiα2ω

fωv

α2iωωω

fx

Komplexe...

Amplitude: x0 = | x0|·eiφ

Geschwindigkeit: v0 = iω·x0

Beschleunigung: a0 = iω·v0 = -ω2 x0

Definitionen:

(mechanische) Impedanz:

mω

ωωiγ

v

FZ

20

2

0

0 m

ω

ωωiγ

v

FZ

20

2

0

0

m2αγ mfF 00

20

20

0 ωωiα2ω

fωv

2

02

00 ωωiα2ω

fωv

Admittanz (bzw. Mobilität): Z1Y Z1Y

Widerstand (dissipativer Teil): γZReR γZReR

Reaktanz (reaktiver Teil): ωD-mωZImX ωD-mωZImX

Definitionen:

Resonanzamplitude:

αω2iωω

fx

220

00

αω2iωω

fx

220

00

2

πφ

α2ω

fx

α2iω

fωωx x

R0

0R

0

000R

2

πφ

α2ω

fx

α2iω

fωωx x

R0

0R

0

000R

Gleichgewichtsamplitude:

0φ ω

fx

ω

f 0ω x x

G20

0G

20

00G

0φ ω

fx

ω

f 0ω x x

G20

0G

20

00G

Q2α

ω

x

x 0

G

R Q2α

ω

x

x 0

G

R Resonanzverstärkung: = Güte

Definitionen: Dämpfung in Dezibel (dB)

dB |x|

|x|lg10 :|x||x|

2R

222

R

Dämpfung

2R

2RRR

2R

2RRR

2R

2RRR

|x|8

1|x| ; |x|

8

1|x| dB 9

|x|4

1|x| ; |x|

2

1|x| dB 6

|x|2

1|x| ; |x|

2

1|x| dB 3

2R

2RRR

2R

2RRR

2R

2RRR

|x|8

1|x| ; |x|

8

1|x| dB 9

|x|4

1|x| ; |x|

2

1|x| dB 6

|x|2

1|x| ; |x|

2

1|x| dB 3

Bemerkung: Analog für andere Größen (v, a, ...) und andere Bezugspunkte

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

5

10

15

20

0ωω

π

φ-φ f

|x|

|x|

G

0

Q1

0,25

0,700

3 dB1/Q

Q

4

1,43

Resonanzkurve und Phasenschub:Resonanz-dominiert

Feder-dominiert

Masse-dominiert

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

5

10

15

20

0ωω

π

φ-φ f

|x|

|x|

G

0

Q1

0,25

0,700

3 dB1/Q

Q

4

1,43

Resonanzkurve und Phasenschub:

ω 0 Steigung ω Steigung

|x0| const. 0 dB/Oktave 1/ω2 -12 dB/Oktave

|v0| ω 6 dB/Oktave 1/ω -6 dB/Oktave

|a0| ω2 12 dB/Oktave const. -0 dB/Oktave

1 Oktave Faktor 2 in ω [ ω , 2ω ]

ω 0 Steigung ω Steigung

|x0| const. 0 dB/Oktave 1/ω2 -12 dB/Oktave

|v0| ω 6 dB/Oktave 1/ω -6 dB/Oktave

|a0| ω2 12 dB/Oktave const. -0 dB/Oktave

1 Oktave Faktor 2 in ω [ ω , 2ω ]

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

|Z|

R = Re ZX

= Im

Z

mD

Z

0ωω

mω

ωωiγ

Y

1Z

20

2 m

ω

ωωiγ

Y

1Z

20

2

Darstellungen von Impedanz und Admittanz

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

G = Re Y

B = Im Y

|Y|YmD

0ωω

Q = 4Q = 4

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

0 1 2 3 4

Nyquist-Diagramm

ω

Q

ω = ω0ω 0

ω

BmD

GmD

1.3.3. Der Einschwingvorgang

von ω+ω0

mit |ω-ω0|

Form: Anfangsbedingungen (Anregung)

Einschwingdauer: einige τD

Komponenten: Schwebung tiωtiω e,e 0

Q = 10Q = 100ω

ω0ω

ω

0,20,2

0,80,8

1,01,0

1,21,2

2,02,0

4,04,0

Plötzliche sin-Anregung ab t=0Plötzliche sin-Anregung ab t=0

1.3.4. Elektrisches Äquivalent

mechanische Parallelschaltung elektrische Serienschaltung

mechanische Serienschaltung elektrische Parallelschaltung

vBvA

v1 = vB-vA

v2 = v1

I1 I2 = I1

vCvA

vB

v1 = vB-vA v2 = vC-vB

I1

I2

I II = I1+I2

v = vC-vA = v1+v2

Kraft elektrische Spannung

Geschwindigkeitsverläufe

KräftegleichgewichteAnalysiere im Einzelfall:

mvm

γ

xγ

D

xD

LIL

IR

R

CQC

+ -

UILˆ vmF

LL

mm

UILˆ vmF

LL

mm

UIRˆ xmF

RR

γγ

UIRˆ xmF

RR

γγ

UQC

1ˆ

xDF

CC

DD

UQC

1ˆ

xDF

CC

DD

Beispiel 1:

D

γ m

xF(t)

vFeder = vDämpfer = vMassevFeder = vDämpfer = vMasse

F = FMasse + FDämpfer + FFederF = FMasse + FDämpfer + FFeder

~ xˆI

γˆR mˆL

D1ˆC

tFˆtU

Beispiel 2: v = vFeder + vMasse , vFeder = vDämpfer v = vFeder + vMasse , vFeder = vDämpfer

F = FMasse = FDämpfer + FFederF = FMasse = FDämpfer + FFeder

x

m

D

γ

F(t)xm

v

~γ

m

D1

tF Federv Massev

Beispiel 3: v = vMasse + vDämpfer , vFeder = vMasse v = vMasse + vDämpfer , vFeder = vMasse

F = FDämpfer = FMasse + FFederF = FDämpfer = FMasse + FFeder

γ

v

~m

D1

tF Federv Dämpferv

m

xm

D

γ

F(t)

x

1.4. Gekoppelte Schwingungen

Zerlegung:

•stabile Schwingungskonfigurationen: (Eigen-)Moden

•Eine Eigenfrequenz pro Mode

•eine Mode pro Freiheitsgrad

1.4.1. Beispiel: Zwei gekoppelte Schwinger

Da

γa

ma

xa

DK

Db

γb

mb

xb

La

RbCKRa

CbCa Lb

Ia Ib

b

K2bK

a

K2aK

ba,

Kba,2ba,

ba,

ba,ba,

m

Dω

m

Dω

m

DDω

2m

γα

0xωxωx2αx

0xωxωx2αx

a2bKb

2bbbb

b2aKa

2aaaa

0xωxωx2αx

0xωxωx2αx

a2bKb

2bbbb

b2aKa

2aaaa

Bewegungsgleichung:

a

2bKb

2b

2

b2aKa

2a

2

xωxωω

xωxωω

a2bKb

2b

2

b2aKa

2a

2

xωxωω

xωxωω

0xωxωxω

0xωxωxω

a2bKb

2bb

2

b2aKa

2aa

2

0xωxωxω

0xωxωxω

a2bKb

2bb

2

b2aKa

2aa

2

ωidtd ωidtd

0xωxωx

0xωxωx

a2bKb

2bb

b2aKa

2aa

0xωxωx

0xωxωx

a2bKb

2bb

b2aKa

2aa

Musikinstrumente: kleine Dämpfung

Vereinfachte Diskussion für αa = αb = 0

Ansatz: xa , xb eiωt

ωωωωωω 2bK

2aK

2b

22a

2 ωωωωωω 2bK

2aK

2b

22a

2

Lösung: Zwei Eigenfrequenzen

2bK

2aK

22b

2a

2b

2a2

1,2 ωω4

ωω

2

ωωω

2bK

2aK

22b

2a

2b

2a2

1,2 ωω4

ωω

2

ωωω

Diskussion:

keine Kopplung ωa,b K = 0, ω1,2 = ωa,b

Minimale Frequenzaufspaltung:

bei ωa = ωba1,2 ωK1ω 0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

a

b

ω

ω

aω

ω0.4

ωω

ωωK

ba

bKaK

bω2ω

1ω

aωK1

K1

Kopplung 0 ωb/ωa 0: ω1ωb , ω2ωa

ωb/ωa : ω1ωa , ω2ωb

1.4.2. Erzwungene gekoppelte Schwingungen

Einfaches Beispiel (Dämpfung vernachlässigt):

D1

m1

x1

D2

m2

x2F0·eiωt

m1

1/D2

1/D1

m2~ F0·eiωt

1x 2x

Anwendungen:

m2 als Tilger

Bass-Reflex-Lautsprecher

Gitarre mit fixierten Rippen

Anwendungen:

m2 als Tilger

Bass-Reflex-Lautsprecher

Gitarre mit fixierten Rippen

Nach Einschwingen: Nach Einschwingen:

ext x

ext xtωi

22

tωi11

0

0

Dämpfung vernachlässigt reell00 21 x, x

D1

m1

x1

D2

m2

x2F0·eiωt

ext x

ext xtωi

22

tωi11

0

0

ext x

ext xtωi

22

tωi11

0

0

:ω ,ω 21 Resonanzen

Antiresonanz(x10

= 0, x20 = max)

2

2

0A

m

D

ωω2

Konfigurationen (Moden): (Richtungen bezüglich F0 )

ω = ω1 – ε: ω = ω1 + ε:

ω = ω2 – ε: ω = ω2 + ε:

ω = ωA: ω = ωA:

01x02x

210 D

1

D

1F

1

0

D

F

2

0

D

F-

Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1 angeregt und im Punkt P2 gemessen.

Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden

ω = ω1 – ε: ω = ω1 + ε:

ω = ω2 – ε: ω = ω2 + ε:

ω = ωA: ω = ωA:

D1

m1

x1

D2

m2

x2F0·eiωt

• entgegengesetzt |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum

• gleichgerichtet |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz

Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1 angeregt und im Punkt P2 gemessen.

Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden

• entgegengesetzt |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum

• gleichgerichtet |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz

Folgerung: P2 = P1 Der Treiberpunkt selbst durchläuft mit wachsender Frequenz eine Folge abwechselnder Resonanzen und Antiresonanzen.

Beispiel:

2-D-System

TreiberpunktTreiberpunkt TransferpunktTransferpunkt

1.4.3. Charakterisierung des Frequenzgangs

P1: Erreger

P2: Sensor

Wichtiger Spezialfall: P1 = P2

tF

ta

tv

tx

Auslenkung

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Impedanzkopf

Messverfahren:

Impedanzkopf:a,F

Nahfeld Schallwellen (Mikrophon)mechanische Schreiber

:v dtta

holographische Interferometrie:x

dttv

Charakteristische Frequenzgangs-Messgrößen:

Nachgiebigkeit (Compliance) KapazitätU

Qˆ

F

x

Mobilität, Admittanz LeitwertU

Iˆ

F

v

Acceleranz 1 / InduktivitätU

Iˆ

F

a

Steifigkeit 1 / KapazitätQ

Uˆ

x

F

Impedanz ImpedanzI

Uˆ

v

F

Dynamische Masse InduktivitätI

Uˆ

a

F

P1 = P2: Präfix „Treiber(punkt)-“

P1 P2: Präfix „Transfer-“

Beispiel:

D1

m1

x1

D2

m2

x2F0·eiωt

Treiber-Mobilität:

Transfer-Mobilität:

F

xY 1

11

F

xY 2

21

Asymptotisches Verhalten: ωmin: kleinste Resonanzfrequenz

ωmin: größte Resonanzfrequenz

ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12

ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0

ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12

ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0

F

xAsymp-totischerBereich F

vF

a

x

F

v

F

a

F

Nachgieb

igkeit

Mobilit

ät

Accele

ranz

Steifig

keit

Imped

anz

Dynamisc

he Mass

e

( Einheit: dB / Oktave )

Asymptotisches Verhalten: ωmin: kleinste Resonanzfrequenz

ωmin: größte Resonanzfrequenz

ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12

ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0

ω < ωmin 0 6 12 0 -6 -12

ω > ωmax -12 -6 0 12 6 0

F

xAsymp-totischerBereich F

vF

a

x

F

v

F

a

F

Nachgieb

igkeit

Mobilit

ät

Accele

ranz

Steifig

keit

Imped

anz

Dynamisc

he Mass

e

( Einheit: dB / Oktave )

Beispiel: Transfer-Mobilität einer leicht gedämpften Struktur mit 4 Schwingungsmoden

ω1 ω2 ω3 ω4

Antiresonanz

6 dB / Oktave

-6 dB / Oktave

bleibt gleich klappt um

Schwingungsrichtung am Messpunkt

relativ zum Treiberpunkt ...

Darstellung der (i.a. komplexen) charakteristischen Parameter:

z. B. Impedanz: Z = |Z|eiφ = R + i X

|Z|(ω) und φ(ω)

Re Z(ω) und Im Z(ω)

Nyquist-Diagramme Im

Re

ω

ωR

Nachgiebigkeit x / F

Re

ω

ωR

Mobilität v / F

Im Im

Reω

ωR

Acceleranz a / F

, z.B. für einzelne Resonanz:

1.5. Nichtlineare Schwingungen

F(t)xDxγxm F(t)xDxγxm Lineare Systeme: ...

• Superpositionsprinzip

• Eigenfrequenzen unabhängig von Moden-Amplituden

• komplexe Schreibweisen geeignet

x Lösung zu F

x' Lösung zu F' x + x' Lösung zu F + F'

Realistische Systeme: Nichtlineare Beiträge

a) Grenzen des Hookeschen Gesetzes

b) Turbulenz

c) Bogenkraft auf Saite = f (Saitenposition,Relativgeschwindigkeit)

d) Strömung in Rohrventilen (Blasinstrumente) = f (Druckabfall)

D(x)D )xγ(x,γ

t),xF(x,F Konsequenzen:

a) ω0 = ω0( x0 )

b) Hysterese-Verhalten in ( x0 , ω0 ) –Diagramm

c) Bifurkationen und chaotisches Verhalten (seltsame Attraktoren) (d.h., System schwingt sich nicht immer auf periodische Bewegung ein!)

1.5.1. Analytische Methoden

t),xg(x,xωx 20 t),xg(x,xωx 20

Bewegungsgleichung:

m

xγ-Fg ,

m

Dω 2

0

t),xF(x,xDxxx,γxm t),xF(x,xDxxx,γxm

φ , x0 φ , x0

a) Spezialfall: F periodisch, z.B. F = F0·cos(ωt)

Störungsrechnung bei kleinen Nichtlinearitäten

t),xF(x,xDxxx,γxm t),xF(x,xDxxx,γxm

Ansatz:

φωtcosωxx

ωtBsinωtAcosxx,γγ φωtsinωxx

ωtcosFF φωtcosxx

20

0

00

Fourierentwicklung

EinsetzenEinsetzen

KoeffizientenvergleichKoeffizientenvergleich

b) Allgemeines Verfahren:

φtωcosωatx

φtωsin a t x:0g

00

0

t),xg(x,xωx 20 t),xg(x,xωx 20

φ a, 0x

0x

tφtωcosωtatx

tφtωsin ta t x:0g

00

0

0φ ,0a 0x

0x

wobei:

tφtωsinta

1

ω

gφ

tφtωcos ω

g a

00

00

Beweis: Einsetzen und Nachrechnen!

tφtωcosωtatx

tφtωsin ta t x

00

0

tφtωsinta

1

ω

gφ

tφtωcos ω

g a

00

00

&

noch nichts gewonnen (Gesetz der konstanten Mühsal)

Folge: τadτ0ata , φωφtωdt

dtω

t

0

00

Näherung: -Terme in g „klein“ (inklusive γ)

a, φ const. während Periode

x x,

0ω2πT

tφtφdt

d , tata

dt

d

dt tφT

1tφ ,dt ta

T

1ta

2Tt

2Tt

2Tt

2Tt

Beispiel: Schwach gedämpfter,freier, linearer Oszillator

x2αxm

γg 0F x2αx

m

γg 0F

D

γ=2mα

m

x

a a φtωcosω

g0

0

φtωcosxω

2α0

0

φtωcosωaω

2α0

20

0

2

1ωa

ω

2α0

0

aα aα φ φ φtωsinωa

g0

0

φtωsina

x2α 0

φtωsinφtωcos2α 00 00

Also: 0φtωsine0at x 0tα 0φtωsine0at x 0

tα Korrekt für ! (vgl. 1.2.)

0ωα

1.5.2. Der Duffing-Oszillator (Paradebeispiel für Chaos und seltsame Attraktoren)

Physikalischer Ansatz: D D + β m x2 (nicht-lineare Dämpfung)

d.h.

βxx2αf(t)g(t) 3 βxx2αf(t)g(t) 3

oft: ωtcosf(t) ωtcosf(t)

Analytisches Verfahren

• Frequenz hängt von Amplitude ab

• Hysterese bei großen Amplituden

( f (t) = f0·cos(ωt) , α 0 )

βxx2αf(t)g(t)xωx 320 βxx2αf(t)g(t)xωx 32

0 Störungsrechnung:

Ansatz:

t3ωcosωtcosaωtcosa x

ωtcosωax ωtcosa x

41

433333

2

t3ωcosωtcosaωtcosa x ωtcosωax ωtcosa x

41

433333

2

Koeffizientenvergleich der cos(ωt)-Terme:

aω aβfaωaω 343

020

2 aω aβfaωaω 343

020

2

Freier Oszillator ( f0 = 0 ):

aβωaω 2432

0Eigen aβωaω 2432

0Eigen

1.5.3. Selbsterregung: Van-der-Pol-Oszillator

Physikalischer Ansatz: 2α α·( 1 – x2 ) (nicht-lineare Dämpfung)

d.h.

x1xα)xg(x,xωx

220

:OszillatorPol derVan

x1xα)xg(x,xωx

220

:OszillatorPol derVan

Konstanter äußerer Energiefluss (Luftströmung, Bogenstrich, ...)

Musikinstrument Modulation des Energieflusses

Nichtlineare Rückkopplung selbstangeregte stabile Schwingung

Dämpfung

Wachstum

1|x|

1|x|

für

für

0

0x1α 2

• x 0 ist stets Lösung, aber nicht stabil

• geeignete α Grenzzyklen

• Grenzzyklen fast harmonisch, mit anharmonischen Beimischungen

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20

Van-der-Pol-Oszillator

tω0

0ω1,5α

x

x

1.5.4. Moden-Stabilisierung

selbsterregende Multi-Moden-Systeme ...

mit annähernd linearem Moden-Verhalten ...

und mit einigermaßen harmonischen Frequenzverhältnissen(Anharmonizitäten störende niederfrequente Schwebungen)

Musikinstrumente sind ...

ω1 ω2

Selbstadjustierung der Eigenfrequenzen notwendig

Selbststabilisierung relativer Phasen notwendig

Musikinstrumente erfordern periodisches, schwebungsfreies Signal:

Moden-Einrastung(mode-locking)

Notwendige Voraussetzung hierfür:

Starke nichtlineare Modenkopplung

... treibt die ωm-Mode

... treibt die ωn-Mode

tωcosaa

φtωcosaφtωcosac

xxc

m1n

mmn

1nmmm

mnnn1nm,

1nm

mn1nm,

tωcosaatωcostωnωmcosaa

tωncostω1mcosaa

φtωcosaφtωcosac

xxc

nnm

1mnnmn

nm

1mn

mnnm

1mn

nmmm

1mnnnn1,m

nm

1mnn1,m

Beispiel:

Der Term ...

Der Term ...

Nichtlineare Kopplungsterme:

Moden: ωn , ωm

Amplituden: an , am

n·ωm m·ωn

n, m I fast harmonisch:

qm

qp,

pnqp, xxc

1

Wann ist ein Musikinstrument gut ?( möglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals )

Wann ist ein Musikinstrument gut ?( möglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals )

Inharmonizitäten der natürlichen Frequenzen möglichst klein

Fundamentalmode ( n = 1 ) möglichst stark an nichtlinearer Kopplung beteiligt

Amplituden der gekoppelten Moden ( an , am ) möglichst groß

Nichtlinearität der Kopplungsfunktion möglichst groß( Kopplungskoeffizienten cm-1,n , cm,n-1 möglichst groß )

Koeffizienten n, m der gekoppelten Moden möglichst klein( Kopplungsamplituden möglichst groß )1n

mmn

nm

1mn aa,aa

2. Saiten und Stäbe

2.1. Transversale Saitenschwingungen2.1.1. Wellengleichung xy(x,t)

unendliche homogene SaiteMassendichte:

Spannung: T = Kraft von Segment zu Segment

Kleine Auslenkung ( lineare Näherung ):

constdx

dmμ

1xy

θsinθtanθx

y θsinθtanθx

y

ds θ1dscosθdsdx 2 Ο ds θ1dscosθdsdx 2 Οx x + dx

dsdy

T

T

θ(x)θ(x+dx)dFy

dx x

θTdxxθT xθTdF y

dx x

θTdxxθT xθTdF y

dx t

yμds

t

yμ

t

ym

2

2

2

2

2

2

dx t

yμds

t

yμ

t

ym

2

2

2

2

2

2

μ

Tc ;

x

yc

t

y

2

22

2

2

μ

Tc ;

x

yc

t

y

2

22

2

2

„Wellengleichung“

Allgemeine Lösung (nach d´Alembert)c

f1

cf2

y(x,t) = f1( c t – x )

+ f2( c t – x )

= Superposition von rechts/links-laufenden Wellenpaketen

x

yc

t

y

2

22

2

2

x

yc

t

y

2

22

2

2

Fouriertransformation Zerlegung in harmonische (ebene) Wellen

komplex B,A ; BeAetx,y xktωixktωi komplex B,A ; BeAetx,y xktωixktωi

( Re(y) = physikalischer Teil )

wobei:

λ

2πckckωω

λ

2πckckωω Dispersionsrelation

( hier linear, ω k )

aBA

BeAetx,y xktωixktωi

aBA

BeAetx,y xktωixktωi

Spezialfall: Stehende Wellen

Phasen: φφψ φφφ

eaB eaA

BA21

BA21

iφiφ BA

φφψ φφφ

eaB eaA

BA21

BA21

iφiφ BA

φxkcoseC eeeeea

eeeeeatx,y

tωie2aC

φixkiφixki-ψtωi

φixkiφixkitωi

ψi

BA

φxkcoseC eeeeea

eeeeeatx,y

tωie2aC

φixkiφixki-ψtωi

φixkiφixkitωi

ψi

BA

Reelle Schreibweise: tx,yω tx,y

φxkcosψtωsinωCtx,y

φxkcosψtωcos C tx,y

2

tx,yω tx,y



2

tx,yω tx,y



2

tx,yω tx,y



2

Energie der stehenden Welle:

dxφxkcosψtωcosCωμdx yωμ

y~dy~dxωμy~dydxμy~dy~dFdE

22222122

21

y

0

2y

0y~

y

0

ypot

dxφxkcosψtωsinCωμ ydmdE 2222212

21

kin

dxφxkcosCωμdEdEdE 22221

kinpot dxφxkcosCωμdEdEdE 22221

kinpot

Energie des Saitenstücks der Länge :2λnL

φxkcos 212

2λ CLμωLE

2241 CLμωLE

2241

2.1.2. Impedanz (Verwende komplexe Schreibweise!)

Definition: Charakteristische Impedanz bzw. Wellenwiderstand cμμT

c

T Z0 cμμT

c

T Z0

Bemerkung: • Z0 ist reell ( verlustfreie Saite )

• Charakteristische Admittanz Z1Y 00 Z1Y 00

x

y T

θ

horizontaleFixierung ( x = 0 )

u(t)

f(t)

Definition: Eingangsimpedanz u

f Zin

u

f Zin

• Geschwindigkeit des Eingangs-Aufhängepunktes:

• Externe Treiberkraft (kompensiert Vertikalkomponente vonT)

t0,xytu

t0,xyTsinθTtf

x

y T

θ


u(t)

f(t)

u

f Zin

u

f Zin

xktωieatx,y

Beispiel: Nach rechts unenedliche Saite nur rechtslaufende Welle

tωieaωit0,ytu

tωieakTit0,ytf T

0in Zc

T

ω

kT Z 0in Z

c

T

ω

kT Z

x

yT

θ


u(t)

f(t)

Definition: Abschlussimpedanz

u

f Zab

u

f Zab

Zab physikalische Eigenschaften der nachgiebigen Aufhängung

(z.B. Elastizität & innere Reibung des Stegs der Geige,

Energietransfer auf Klangkörper der Geige etc.)

Reflexion am Abschlusspunkt:

• Einlaufend: a ei (

ωt

–

kx

)

• reflektiert: R·a ei (

ωt

+

kx

)

y(x,t) = a ei ω

t ( e

– i

kx

+ R·ei

kx

) R1eaTkit0,yTtf

R1eaωit0,ytutωi

tωi

R1

R1Z

R1

R1

ω

kT

u

f Z 0ab

R1

R1Z

R1

R1

ω

kT

u

f Z 0ab

ZZ

ZZR

ab0

ab0

ZZ

ZZR

ab0

ab0

Reflexionskoeffizient:

• fixiertes Ende: y(0,t) = 0 u = 0 Zab = R = –1

• offenes Ende: f = 0 Zab = 0 R = +1

Beispiel: Eingangsimpedanz der abgeschlossenen Saite

Zab

RSaite: Z0

Lx = 0

xkiLk2ixkitωi

Lk2iLki

Lki

xktωixktωi

eeReAey

eA

B

eA

eBR

BeAetx,y

Lk2itωi

Lk2itωi

Re1eATkit0,yTtf

Re1eAωit0,ytu

Re1

Re1Z

u

f Z

Lk2i

Lk2i

0in

Re1

Re1Z

u

f Z

Lk2i

Lk2i

0in

• fixiertes Ende: R = –1 Zin = – i Z0 cot ( k L ) (rein reaktiv)

Resonanzen: Zin = 0 k L = ( n – ½ ) π λn = 2L / ( n – ½ )

Antiresonanzen: Zin = k L = n π λn = 2L / n

• offenes Ende: R = +1 Zin = i Z0 tan ( k L ) (rein

reaktiv)Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht

• angepasster Abschluss: R = 0 Zin = Z0 = Zab

• fixiertes Ende: R = –1 Zin = – i Z0 cot ( k L ) (rein reaktiv)

Resonanzen: Zin = 0 k L = ( n – ½ ) π λn = 2L / ( n – ½ )

Antiresonanzen: Zin = k L = n π λn = 2L / n

• offenes Ende: R = +1 Zin = i Z0 tan ( k L ) (rein

reaktiv)Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht

• angepasster Abschluss: R = 0 Zin = Z0 = Zab

2.1.3. Eigenschwingungen der endlichen Saite

a) fixierte / offene Enden

fix - fix

offen - offen offen - fix

fix - offen

L

cπω

nL

cπω

n

2Lλ

1

n

n

harmonischharmonisch

2L

cπω

nL

cπω

n

2Lλ

1

21

n

21n

nicht ganz harmonisch

nicht ganz harmonisch

klingt eine Oktave tieferklingt eine Oktave tiefer

x

yT

θ

Zab: horizontale

Halterung ( x = L )

u(t)

f(t)

Z0

Fixierung bei x = 0

b) Nachgiebiges (verlustfreies) Ende

xksineA2ieBeAey tωi

AB0t)y(0,

xkixkitωi

xksineA2ieBeAey tωi

AB0t)y(0,

xkixkitωi

LkcoseATk2itL,yTtf

LksineAω2tL,ytutωi

tωi

Lkcot

Zω

Tki

u

f Z

0

ab

Lkcot

Zω

Tki

u

f Z

0

ab

i) Massenartiger Abschluss

m

uZ

m

fuωiu ab Lωiˆmωi Z indab Lωiˆmωi Z indab

Also: LkLμ

m

cμi

mcki Lkcot

x

y

u(t)

Z0 = μ c

m

umf Saitenmasse: M = μ L

0

L

LkcotZi Z 0ab LkcotZi Z 0ab

LkM

m Lkcot Lk

M

m Lkcot

ii) Federartiger Abschluss

D

fωitL,yωitL,yu

Cωi

1ˆ

ωi

D

u

f Zab

Cωi

1ˆ

ωi

D

u

f Zab

Also: Lk

1

Zc

LD Lkcot

0

Lk

1

Zc

LD Lkcot

0

LkLμ

m

cμi

mcki Lkcot

x

y

u(t)Z0

0 L

tL,yDf D/2

D/2

LkcotZi Z 0ab LkcotZi Z 0ab

Zkc

D

Zωi

D Lkcot

002

-10

-5

0

5

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3π

Lk

LkM

m LkM

m

Lk

1

Zc

LD

0

Lk

1

Zc

LD

0

Lkcot Lkcot

k0

k1

k2

k1k2 k3

massenartig: harmonisch

angehobene FrequenzLπnk :0n

Lπnk :n

n

n

federartig: harmonisch

abgesenkte Frequenz

LπnkLπn :0n

LπnLπnk :n

n21

21

n

2.1.3. Dämpfung

a) Luftdämpfung:

b) Interne Dämpfung

c) Energietransfer zur Halterung (Brücke, Resonator)

ν

0ν

νrρ

rρ τ

2

1

ν

0ν

νrρ

rρ τ

2

1

ν = Frequenz

ρ = Saitendichte

r = Saitenradius

ν = Frequenz

ρ = Saitendichte

r = Saitenradius

EIm

ERe

νπ

1 τ2

EIm

ERe

νπ

1 τ2 E( ν, T, ...) = komplexer Elestizitätsmodul

G

1

νL8μ

1 τ

23 G

1

νL8μ

1 τ

23 G = Re( Y )

Y = Admittanz der Stützstruktur der Saite

τ

1

τ

1

τ

1

τ

1

321

τ

1

τ

1

τ

1

τ

1

321

x,0y x,0y

Anfangsauslenkung

tx,y tx,y

freie Saitenschwingung

2.1.4. Anregung

a) Einmalige Auslenkung bei t = 0 (allgemeines Verfahren):

Fourier-Analyse

Fourier-Analyse

Fourier-Synthese

Fourier-Synthese

0tB 0tA nn

Modenamplituden Frequenzspektrum

tωi

nn

tωinn

n

n

e0BtB

e0AtA

Zeitentwicklung der Modenamplituden

πnβsinπβ1βn

2

h

A ,

L

cπnckω

xksintωcosAtx,y

2n

nn

nn1n

n

πnβsinπβ1βn

2

h

A ,

L

cπnckω

xksintωcosAtx,y

2n

nn

nn1n

n

Beispiel: Gezupfte Saite 0x,0y

0.001

0.01

0.1

1

10

1 6 11 16 21 26 31

h

An

β = 1/3

n

0.001

0.01

0.1

1

10

1 6 11 16 21 26 31

β = 1/10

n

L

h

β·L

x,0y

-40

-30

-20

-10

0

0 0.5 1 1.5-40

-30

-20

-10

0

0 0.5 1 1.5

Beispiel: Gezupfte Saite 0x,0y

πnβsinπβ1βn

2

h

A ,

L

cπnckω

xksintωcosAtx,y

2n

nn

nn1n

n

πnβsinπβ1βn

2

h

A ,

L

cπnckω

xksintωcosAtx,y

2n

nn

nn1n

n

L

h

β·L

x,0y

β = 1/3

lg(n)

β = 1/10

lg(n)

–6 dB / Oktave

–6 dB / Oktave

πnβsinn

E E 2

21

n πnβsinn

E E 2

21

n

En

( d

B )

Bewegung der gezupften Saite:

b) Hammer-Anregung:

πnβsincπn

V2 B ,

L

cπnckω

xksintωsinBtx,y

nnn

nn1n

n

πnβsincπn

V2 B ,

L

cπnckω

xksintωsinBtx,y

nnn

nn1n

n

0.001

0.01

0.1

1

1 6 11 16 21 26 31

V

cBn

β = 1/3

n

0.001

0.01

0.1

1

1 6 11 16 21 26 31

β = 1/10

n

Idealfall: 0x,0y , LβxδVx,0y

L

V

β·L

x,0yΔ

πnβsinL

ΔVμ E 2

22

n πnβsinL

ΔVμ E 2

22

n

πnβsincπn

V2 B ,

L

cπnckω

xksintωsinBtx,y

nnn

nn1n

n

πnβsincπn

V2 B ,

L

cπnckω

xksintωsinBtx,y

nnn

nn1n

n

b) Hammer-Anregung:

Idealfall:

-20

-10

0

10

20

0 0.5 1 1.5-30

-20

-10

0

10

0 0.5 1 1.5

β = 1/3

lg(n)

β = 1/10

lg(n)

0 dB / Oktave 0 dB / Oktave

En

( d

B )

L

V

β·L

x,0yΔ

0x,0y , LβxδVx,0y

πnβsinL

ΔVμ E 2

22

n πnβsinL

ΔVμ E 2

22

n

Anschlagsdynamik eines harten, spitzen Hammers:

v(t)c

T

M

v(t)

TTx

xH

y

c

vT2vM

tcxx , τc

tcxxexp1τVtx,y H

H

tcxx ,

τc

tcxxexp1τVtx,y H

H

τ

texpVt v

τ

texpVt v

cM

T2 τ Bremszeit:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

τV

y

τc

xx H

t / τ = 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

Weitere Komplikationen:

• Hammer-Nachgiebigkeit

• Hammermaße

• Reflexionen an Einspannung, Rückwirkung auf Hammer

Modenspektrum stets flacher ( reicher, voller ) als beim Zupfen

MHammer « MSaite MHammer = 0,4/β · MSaite

– 6 dB/Oktave – 6 dB/Oktave

Bemerkung: Fehlende Moden bei Vielfachen von , nicht nur von 2β

1

β

1

n = 0,73 MSaite / MHammern = 0,73 MSaite / MHammer

BeimAnschlag

BeimAnschlag

Anregungbeendet

Anregungbeendet

c) Bogen-Anregung: Helmholtz-Bewegung

Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt

Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück

Ruheposition der Saite

Ruheposition der Saite

Mittlere Auslenkung

Mittlere Auslenkung

Zeit

Auslenkung beim Bogen

• Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude

• Spektrum ähnlich zum Zupfen ( – 6 dB/Oktave )

Mehrfachsprünge möglich

2.2. Saiten und dünner Stäbe: Longitudinalschwingungen

Rückstellkraft bei Dehnung: Molekulare Bindungskräfte Elastizitätsmodul(reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht relevant)

dxS

dw F(t)

Hookesches Gesetz:

x

wE

S

F

E = Youngsches ModulE = Youngsches Modul

Wellengleichung:ρ

Ec ,

x

wc

t

wL2

22L2

2

Dichte ρ = μ / S

Lösungen, Randbedingungen, ... analog zu transversalen Saitenschwingungen

Querschnitt S

u

v

Dichte ρ

2.3. Biegewellen von Balken und Stäben

x

z

Neutrale Faser

Neutrale Faser

gedehntgedehnt

gestauchtgestaucht

dvduvS

1 v

S

NF dvduvS

1 v

S

NF

dvduvvS

1I

S

2NF - dvduvv

S

1I

S

2NF -Neutrale Faser: z ( x , t ) Ruhelage: z0 ( x , t )

Auslenkung: y ( x , t ) = z ( x , t ) – z0 ( x , t )

vNF

Rücktreibende Kraft pro Länge: E = Young-Modul x

yISE

x

F

4

4

x

yISE

x

F

4

4

t

ydmdx

x

F

2

2

dxSρdm

x

y

ρ

IE

t

y

4

4

2

2

x

y

ρ

IE

t

y

4

4

2

2

Wellengleichung:

x

y

ρ

IE

t

y

4

4

2

2

x

y

ρ

IE

t

y

4

4

2

2

Lösung der Wellengleichung:

xksinDxkcosC

xksinhBxkcoshAφtωcostx,y

Einsetzen: y k x

y ,y ω

t

y 4

4

42

2

2

φg

Lφ

2

v2k

ω v

ωkcIkρ

IE

k

ω v

kρ

IEkω

Dispersionsrelation: (nichtlinear)

Phasengeschwindigkeit:

Gruppengeschwindigkeit:

zwei Randbedingungen pro Endpunkt, z.B.:

xksinDxkcosC

xksinhBxkcoshAφtωcostx,y

0x

y

x

y3

3

2

2

frei:

0x

yy

2

2

unterstützt / eingehängt:

0x

yy

eingeklemmt:

Eigenmoden und Eigenfrequenzen:ωn in Einheiten von

ρ

IE

L

2π2

2

beidseitig frei

9,066

ω1n2ω

2Lktanh2Lktan

12n

nn

beidseitig unterstützt bzw. eingehängt

L

12

n

n

ωnω

Lπnk

1,426

ω1n2ω

2Lktanh2Lkcot

12n

nn

• Frequenzverhältnisse nicht exakt harmonisch

• Knotenpositionen nicht äquidistant

• Klanghöhe sehr stark abhängig von Randbedingungen

einseitig eigeklemmt

2.4. Transversalschwingung steifer Saiten

Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft

y

yISE

x

yT

t

yμ

4

4

2

2

2

2

y

yISE

x

yT

t

yμ

4

4

2

2

2

2

1

1.4

1.8

2.2

2.6

3

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

22

LT

ISEπ

0

1

n

ωn

ω

eingeklemmte Enden

n = 1n = 2n = 3

n = 4n = 5

1

1.4

1.8

2.2

2.6

3

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

22

LT

ISEπ

eingehängte Enden

0

1

n

ωn

ω

n = 1n = 2

n = 3n = 4

n = 5

2.4. Transversalschwingung steifer Saiten

Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft

y

yISE

x

yT

t

yμ

4

4

2

2

2

2

y

yISE

x

yT

t

yμ

4

4

2

2

2

2

1.8

2.2

2.6

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

n

2n

ω

ω

eingeklemmte / eingehängte Enden

B = 0

B = 0,005B = 0,01

LT

ISEπB

22

LT

ISEπB

22

Beeinflussung der Dispersionsrelation:

k

ωideal

e Sait

e

steife

Sait

e k μ

Tω k

μ

Tω

kα1kμ

Tω 2 kα1k

μ

Tω 2

massen-belastete Saite

(z.B. Ummantelung)

Grenz-FrequenzGrenz-

Frequenz

2.5. Torsionsschwingungen von Saiten und Stäben

Young-Modul E Torsionsmodul G

homogenes, isotropes Material: ( ν = Poisson-Zahl ) ν12

EG

ν12

EG

Dispersionsrelation linear: k ckω T k ckω T

Saiten: • cT typisch 3 ... 8 mal so groß wie c • starke innere Dämpfung

Abhängigkeit von cT von Querschnittsform:

3. Membranen, Platten und Schalen

Analogien:

1-D-System 2-D-System

ideale Saite ideale Membran

steife Saite steife Membran

Stab Platte

gekrümmter Stab Schale, Glocke

Knotenpunkt Knotenlinie

3.1. Membranen

Massendichte:

Spannung: T ds= Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements = (konstante) Oberflächenspannung der Membran

Kleine Auslenkung ( lineare Näherung ):

constdydx

dmσ

1zyx,

2-D-Wellengleichung: Koordinatenwahl Form der Einspannung (Transversalschwingung)

x

yz

Einspannung

y

z

x

z

t

z

c

1

2

2

2

2

2

2

2

φ

z

r

zr

rr

1

t

z

c

12

2

2

2

2

Rechteckmembran Kreismembran

σ

Tc

σ

Tc

θ

T ds

FStatische Auslenkung:

dssinθTF

L

Membran widersteht keiner Kraft mit AngriffspunktMembran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt

SaiteMembran

= 0 für Angriffspunkt

Schwingungsmoden von Rechteckmembranen:

x

yz

Lx

Ly

2y

2

2x

2

mn

yx

tωimn

L

n

L

m

σ

Tπω

L

yπmsin

L

xπmsineAz mn

2y

2

2x

2

mn

yx

tωimn

L

n

L

m

σ

Tπω

L

yπmsin

L

xπmsineAz mn

m = 1 n = 1 m = 2 n = 1

m = 1 n = 2 m = 2 n = 2

m = 3 n = 1 m = 3 n = 2Quadratische Membran Lx = Ly

Entartung ωmn = ωnm

Modenüberlagerung möglich

Schwingungsmoden von Kreismembranen:

σ

T

R

ξω

RrξJeeAz

mnmn

mnmimφtωi

mnmn

σ

T

R

ξω

RrξJeeAz

mnmn

mnmimφtωi

mnmn

m = 0 n = 1 m = 1 n = 1

m = 2 n = 1 m = 3 n = 1

m = 0 n = 2 m = 3 n = 2

2R

x

yz

ξmn = n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm

2,405ξ01 2,405ξ01

Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:

3.2. Dünne isotrope Platten

x

yz

frei / einfach unterstützt / eingespannt

h

Massendichte:

constdV

dmρ

a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung

„Unendliches“ Medium (rel. zu λ)

2L ν1ρ

Ec

„Dünne“ (rel. zu λ) Balken / Platten

2ν1ν1ρ

ν1Ec

2

L

Massendichte:

constdV

dmρ

b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben)

„Unendliches“ Medium oder „unedlich große“, „flache“ Platten (rel. zu λ)

L

typisch

T c60%ρ

Gc

x

yz


h

x

yz


hMassendichte:

constdV

dmρ

c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung)

Wellengleichung:

Dispersionsrelation: (nichtlinear)


Gruppengeschwindigkeit:

φg

LLφ

2L

222

L2

2

v2k

ω v

ωω12

hck

12

hc

k

ω v

k12

hckω

0z12

hc

t

z

zkzΔ

ωit

42

Beispiel: Die dünne Kreisplatte z

hR rkIBrkJA

eet)φ,z(r,

mm

φmitωi

Hyperbolische Besselfunktionen: Im(k r) = i – m Jm(k r)

-4

0

4

8

12

16

20eingespannteingespannt

einfach unterstützteinfach

unterstützt

freifrei

hc1,516

Rω

L

2

z

hR

Asymptotisches Spektrum:

R38

hcπ2nmω

2R

π2nmk

2L

22

nmn

nmn

R38

hcπ2nmω

2R

π2nmk

2L

22

nmn

nmn

Lord Rayleigh (1894): Frequenzzunahme durch Zufügen eines Kotenrings ist ungefähr identisch mit der durch Zufügen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz)

Lord Rayleigh (1894): Frequenzzunahme durch Zufügen eines Kotenrings ist ungefähr identisch mit der durch Zufügen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz)

Empirischer Ansatz für Kreisplatten, -schalen, -glocken:

GlockenSchalen /

Platten flache

,

,

2

2 p 2nmCω p

mn

GlockenSchalen /

Platten flache

,

,

2

2 p 2nmCω p

mn

Beispiel: Die dünne Rechteckplatte

y)z(x,ky)z(x,yx

2yx

422

4

4

4

4

4

z

h

Lx

Ly

• Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m,n) wie Membran

• Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden für |m – n| = 2,4,6,...

Freie Platte:

( i.a. schwieriges Problem )

(x,y) – Kopplung(x,y) – Kopplung

Messung an freier Aluminiumplatte

Messung an freier Aluminiumplatte

Lx / Ly

Lx = const.

Lx = const.

(x,y) – Kopplung bei Lx Ly:

Ringmode

Diagonal-Mode (X-Mode)

ModenaustauschModenaustausch

Fundamentalmoden quadratischer Platten:

frei ( ν = 0,3 ) einfach unterstützt eingespannt

( 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )

L

hc3,717ω

2L

11 L

hc3,717ω

2L

11 L

hc5,698ω

2L

00 L

hc5,698ω

2L

00 L

hc10,39ω

2L

00 L

hc10,39ω

2L

00

L

hc22,79ω

2L

11 L

hc22,79ω

2L

11 L

hc31,28ω

2L

11 L

hc31,28ω

2L

11

Moden quadratischer Platten:

frei ( ν = 0,3 )

eingespannt

Modenspektren quadratischer Platten:

0

4

8

12eingespannteingespannt

einfach unterstützteinfach

unterstützt

frei ( ν = 0,3 )frei ( ν = 0,3 )

hc3,717

Lω

L

2

3.3. Dünne Holzplatten

Fichtenholz(orthotrop, 9 elastische Parameter)

Deckelplatten von Geigen:

• Fasern entlang Plattenlänge

• Jahresringe senkrecht zur Platte

Länge / Breite 3 / 1

Deckelplatten von Geigen:

• Fasern entlang Plattenlänge

• Jahresringe senkrecht zur Platte

Länge / Breite 3 / 1

Qualitative Eigenschaften ähnlich, ... aber

• E Ex , Ey

• ν2 νxy νyx νν1ρ

Ec

νν1ρ

Ec

yxxy

yy

yxxy

xx

νν1ρ

Ec

νν1ρ

Ec

yxxy

yy

yxxy

xx

Beispiel: Freie Viola-Deckel

(2,0) – (0,2) X-Mode (2,0) + (0,2) Ring-Mode

Rücken Front Rücken Front

Rücken Front

Dritte wichtige Mode: (1,1) -

Verwindungsmode

3.4. SchalenSehr komplexes Problem, aber hochrelevant:

• Geigen-Frontplatte / gesamter Resonanzkörper

• Kugelschalensegmente (Becken,...)

• Zylinderschalen (Zylinderglocken,...)

• Kirchenglocken

• Schalendimension: a• Schalendicke: h• Schalenwölbung:

H

• Schalendimension: a• Schalendicke: h• Schalenwölbung:

H

a H a h

Modenklassifizierung (Love, Rayleigh):

• Dehnungsmoden: Längenänderungen in erster OrdnungLinienmasse hFederkonstante h

• Biegungsmoden: Keine Längenänderungen in erster OrdnungSchalenmasse hFederkonstante h3

ω(h) = const.

ω(h) h2

Empirische Modenparametrisierung: hBAω 2nmnmnm hBAω 2

nmnmnm

Beispiel: Flache sphärische Schale

a H a h

Niedrigste Mode: k a = μ (abhängig von Einspannung)

Spezialfall der flachen Platte ( H = 0 ): k a = μ0

rkIBrkJA

eet)φ,z(r,

mm

φmitωi

2 4

H

a , 20

h

H

2

40

4

02

0 a

H

ρ

E2

h

H

μ

48

μ

μ

ν1

1

ω

ω

Sehr starke Frequenzzunahme (d.h. Steifigkeitszunahme) mit H

• gewölbter Geigendeckel benötigt keine innere Verstrebung

• flacher Gitarrendeckel erfordert starke innere Verstrebung

4. Schall in Luft

4.1. Schallwellen

Elastischer Scherungswiderstand

Reibungswiderstand

Eleastischer Kompressionswiderstand

Schallwellen = longitudinale Druckwellen

Schallwellen = longitudinale Druckwellen

pct

p 22

2

2

Wellengleichung:

Schallgeschwindigkeit c:

Kompressionsmodul K:

Dichte ρ: Vd

md ρ

V

VdK p

ρ

K c

Gesamtluftdruck: pL

Akustischer Druck: LL p pδ p

4.1.1. Schallgeschwindigkeit

Isothermer Fall ( T = const. ):

ρ

pc L

ρ

pc L

1,45

7

C

C γ

V

p 1,45

7

C

C γ

V

p

Luft ist ideales Gas pLV = N k T

Luft zweiatomig

1. Hauptsatz

TkN U 25

VδpQδUδ LV

V

p

p

Tδ

QδC

Tδ

QδC

L

K

p

V

Vδ

p

pδ

p

p

L

L

L

Für Musikinstrumente nur in Extremfällen interessant

Adiabatischer Fall ( δQ = 0 ):

ρ

pγc L

ρ

pγc L

KVδ

Vppγ

δVpδpV

TδkNδUδVp

L

L25

L25

25

L

pct

p 22

2

2

Wellengleichung: ρ

pγc L

L

L

L

L

m

Tk

ρ

p

TkNVpV

mNρ

m

Tkγc

L

m

Tkγc

L

• c2 proportional zur (absoluten) Temperatur

• c unabhängig vom Luftdruck

• mL und somit c abhängig von Luftfeuchtigkeit

Taylorentwicklung um 0°C bei 50% relativer Luftfeuchtigkeit:

s

mCΔT/0,001661332c

s

mCΔT/0,001661332c

4.1.2. Strömungsfeld

pct

p 22

2

2

Wellengleichung:

Strömungsgeschwindigkeitsdichte-Feld t,ruu

pt

uρ

Bewegungsgleichung:

Lösung (Superposition ebener Wellen):

Folge:

|k|cω

eut,ru

ept,rp

rktωi

rktωi

ecρ

pu k

e

cρ

pu k

smkgCΔT0,00171428

cρ u

pz

12

kNormaldruc

(spezifische akustische)

Impedanz

(spezifische akustische) Impedanz

p Potential Spannung

u Geschwindigkeit Strom

Ohmsches Gesetz

4.1.3. Kugelwellen

r

pr

r

r

1cpc

t

p 2

2222

2

2 Wellengleichung:

Sphärisch symmetrische Quelle

Bewegungsgleichung: er

pp

t

uρ r

Lösung (Kugelwelle):

eeerki

1rkiBe

rki

1rkiA

rρc

1t,ru

e er

B e

r

A tr,p

rtωirkirki

tωirkirki

k cω k cω

auslaufend einlaufend

Akustische Impedanz:

einlaufend ,

1rki

rkicρ

auslaufend , 1rki

rkicρ

u

pz

4.1.4. Druckpegel, Lautstärke, Intensität

Druckpegel: 250

010p mN102Pa20μp dB

p

plog20L

Dru

ckpe

gel

(dB

)

Frequenz (Hz)

Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter

Lautstärke (in Phon)

Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter

Lautstärke (in Phon)

Hörschwelle: 0 PhonHörschwelle: 0 Phon

Schmerzgrenze: 120 PhonSchmerzgrenze: 120 Phon

Intensität an einer Fläche:

t,ru

u

tduld

dA uptdAd

ldFd

tdAd

EdI

2

uptdAd

ldFd

tdAd

EdI

2

Komplexe Schreibweise:

pZ1ReuZRepuReI 2

212

21

21

Intensitätspegel:212

00

10I mW101I dB I

Ilog10L

Ebene Wellen: LI LP

pZ1ReuZRepuReI 2

212

21

21

Ebene Welle:

002

1202

021rktωi

0

rktωi0

upcρ2

pucρI

cρZ

euu

epp

Kugelwelle:

cρ2

pI

rki1

rkicρZ

Z

rpru eruu

r

Arp erpp

200

0rktωi

0

0rktωi

0

4.1.5. Reflexion, Brechung, Beugung

λ a) Randstrukturen Gesetze der geometrischen Optik

z1 = c1 ρ1 z2 = c2 ρ2

1k

2k

3k

Ebene Wellen gegen ebene Grenzfläche

α

α' β

Reflexionsgesetz: α = α'Reflexionsgesetz: α = α'

Brechungsgesetz:2

1

z

z

sinβ

sinα

Reflexionskoeffizient Transmissionskoeffizient

Amplitude:

Intensität:

βαsin

βαsinr

r1t

2rR R1T

λ10 b) Randstrukturen Beugung an Rändern

Frequenz Wellenlänge

20 Hz 17 m

1 kHz 34 cm

15 kHz 2,3 cm

4.1.6. Dämpfung

Kugelwelle

Welleebene

,

,

etr,p

et,rpαi

c

ωk

rα

erα k

Ursachen:• Viskosität• thermische Verluste• Molekularer Energieaustausch

z.B. Wände von Musikinstrumenten

Beispiel: Dämpfung in Luft (relative Luftfeuchtigkeit > 50%)

100kHzfkHz2

kHz1fHz100

,

,

Hzfm101α

Hzfm104α

22110

17

100kHzfkHz2

kHz1fHz100

,

,

Hzfm101α

Hzfm104α

22110

17

α( 10 kHz ) 0,1 dB / m relevant für große Konzertsäle

4.1.7. Hohlraummoden

Starre Wand Impedanz: zW

u

nAn der Wand:

uzp

uuu

W

LuftWand

n

ppnuρωip

t

uρ

n

p

ωρ

zip W

Randbedingung:

0n

pzW

Spezialfall der festen Wand:

Beispiel: Quaderförmiges Auditorium mit festen Wänden

a

c

b

2

2

2

2

2

2

nml c

n

b

m

a

lcπω

c

zπncos

b

yπmcos

a

xπlcosAt,rp

a : b : c = 1 : 1 : 1

a : b : c = 1 : 2 : 3

Design von Konzertsälen:

Gleichmäßige Modendichte bei niedrigen Frequenzen

Schlechtes DesignSchlechtes Design

Besseres DesignBesseres Design

4.2. Schallausstrahlung

• Kugelstrahler: Wichtiges Modellsystem

• Multipol-Quellen: Konfiguration von Punktquellen,Abstände klein gegen Wellenlänge

• Überlagerte Punktquellen: Beliebig ausgedehnte Konfigurationen von Punktquellen

• Ebene Quellen:Quellfläche in unendlicher SchallwandUnabgeschirmte QuellflächeUnendlich große Platten

4.2.1. Kugelstrahler Gutes Modellsystem für pulsierende Hohlkörper jeder Form!

Gutes Modellsystem für pulsierende Hohlkörper jeder Form!

a

ea v tωi ea v tωiDefinition: Quellstärke

avaπ4Q 2

Abgestrahlte Kugelwelle:

rkirki erk

i1

rcρ

Arve

r

Arp

aki1

e

π4

QρωiA

aki

aki1

e

π4

QρωiA

aki

2aπ4

Qav

22

2

22

22

r

1

ak1

ak

aπ32

Qcρ

cρ2

rprI

Intensität:

2av2

cρ

0 1 2 3 4 5 6 7k a0

P / Fläche

v(a) = constv(a) = const

a

ea v tωi ea v tωi

Gesamtstrahlungsleistung

ak1

ak

aπ8

QcρdφcosθdrrIP 2

2

2

22

22

2

22

22

r

1

ak1

ak

aπ32

Qcρ

cρ2

rprI

Punktquelle1ak

Sättigung1ak

Musikinstrumente( möglichst große

Abstrahlfläche günstig )

Musikinstrumente( möglichst große

Abstrahlfläche günstig )

a

ea v tωi ea v tωiMechanische Last an schwingender Oberfläche:

aki1

akiScρ

av

apS

av

F Z

2aπ4S

m

aki1

akiScρ

av

apS

av

F Z

2aπ4S

m

X = Im ( Zm ):Reaktivität der

mitschwingenden Luft



R = Re ( Zm ):Dissipation durch Abstrahlung


4.2.2. Multipol-Quellen

a

Monopol λa

ea v tωi ea v tωi

Abgestrahlte Kugelwelle:

rkirki erk

i1

rcρ

Arve

r

Arp

π4

Qρωiλaaki1

e

π4

QρωiA

aki

π4

Qρωiλaaki1

e

π4

QρωiA

aki

Amplitude unabhängig von Quellgröße a ,,Punktquelle“

Quellstärke

avaπ4Q 2

Multipolkonfigurationen:

6

622

2

22

2

2

c

ωzr,cosxr,cos

r

zδxδ

π32

QcρrI +Q

Q +Q

Qδz

δx

Monopol: 2

2

22

22

c

ω

r

1

π32

Qcρ

r

A

cρ2

1rI

+Q

Dipol: 4

42

2

2

2

2

c

ωzr,cos

r

zδ

π32

QcρrI +Q

Qδz

Quadrupol: 6

64

2

4

2

2

c

ωzr,cos

r

zδ

π32

QcρrI δz+Q

Q+QQ δz

δz

π4

QρωiA

Punktquelle:

• zunehmend komplexere Winkelverteilung

• zunehmend ineffizient bei niedrigen Frequenzen

4.2.3. Überlagerte Punktquellen

Strahlung zweier Punktquellen bei :dr

cosθdksin

cos

r

1

cπ4

Qρωφθ,r,I 2

1

2

2

2

22

cosθdk

sin

cos

r

1

cπ4

Qρωφθ,r,I 2

1

2

2

2

22

+ Q+ Q

Q Q

Gesamtstrahlungsleistung durch Kugelfäche mit :dr

dk

dksin1

cπ4

Qρωdφcosθdrφθ,r,IP

222

dk

dksin1

cπ4

Qρωdφcosθdrφθ,r,IP

222

• Komplexes Interferenzmuster

• P unabhängig von r

dk

dksin1

cπ4

QρωP

22

dk

dksin1

cπ4

QρωP

22

cπ8

QρωP :Q Monopol

22

0 cπ8

QρωP :Q Monopol

22

0

Monopol Monopol Q2

Monopol 2QMonopol 2Q

Dipol Q·dDipol Q·d

Inkohärente ÜberlagerungInkohärente

Überlagerung

Kohärente Überlagerung

Kohärente Überlagerung

Strahlung zweier Punktquellen dr

θcosdksin

θcosdkNsine

rπ4

Qρωip

21

rki

θcosdksin

θcosdkNsine

rπ4

Qρωip

21

rki

θcosdkcos

θcosdkNsin1e

rπ4

Qρωip

21

Nrki

θcosdkcos

θcosdkNsin1e

rπ4

Qρωip

21

Nrki

:dk

πn2cosθ 1

n

QpN2 QpN2

:dk

π1n2cosθ 1

n

0:2

πθ :

2

πθ dN

λQ θδpN2 :

2

πθ

θ++++++

p+p+

d

+–+–+–

p–p–θ

Strahlung von 2N Punktquellen bei :dN2r

-100

-50

0

50

100

-150 -100 -50 0 50 100 150

5N

d6,28λ

5N

d6,28λ

θ++++++

p+p+

d

-100

-50

0

50

100

-150 -100 -50 0 50 100 150

5N

d0,31λ

5N

d0,31λ

I

I

Q

I

I

Q

-5

-3

-1

1

3

5

-10 -5 0 5 10

-100

-50

0

50

100

-150 -100 -50 0 50 100 150

I

I

Q

I

I

Q 5N

d6,28λ

5N

d6,28λ

5N

d0,31λ

5N

d0,31λ

d < λ / 2völlig ineffizient!

Lokale Strömungen zwischen +Q und Q

d < λ / 2völlig ineffizient!

Lokale Strömungen zwischen +Q und Q

+–+–+–

p–p–θ

d

4.2.4. Linienquellen ( schwingende Saite)

a) Fundamentalmode: Näherung starrer dünner Zylinder mit L

r

uaω

c4

ρπdφrφr,I

L

P

φcosr

uaω

c4

ρπφr,I

243

2

2π2

0

2243

2

r

uaω

c4

ρπdφrφr,I

L

P

φcosr

uaω

c4

ρπφr,I

243

2

2π2

0

2243

2

φ

2a

tωieu

L

I, P a4 ω3 sehr ineffizient !

b) Höhere Moden: 2

λdcc T

2

λdcc T

+Q +Q +QQ Q Q

d

Transversalwelle auf Saite

Transversalwelle auf Saite SchallwelleSchallwelle

zusätzlich Auslöschungseffekt (Kette alternierender Punktquellen)

Noch viel ineffizienter !

4.2.5. Ebene Quelle mit Schallwand

,,Unendliche“ Schallwand (Abschirmung vom Rückraum)

,,Unendliche“ Schallwand (Abschirmung vom Rückraum)

Starrer ,,Kolben“ oder elastische Membran

Starrer ,,Kolben“ oder elastische Membran

Abstrahlung zum Auditorium

Abstrahlung zum Auditorium

Effekt der Schallwand:

Effiziente Abstrahlung auch bei niedrigen

Frequenzen

Praktische Realisierung: (Teil-)Separation des rückwärtigen Luftraums

Kesselpauke (Timpani)

Cello Konzertgitarre Piano

Systeme ohne Schallwand:

• Niedrige Effizienz bei niedrigen Frequenzen

• Starke Anregung bei niedrigen Frequenzen ermöglicht ausgeglichenes Klangspektrum

• Wenig Abstrahlung sehr langes Nachklingen

Glocke

Becken

Mathematische Behandlung: Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral

Sdrur

e

π2

ρωirp

rrki

Sdrur

e

π2

ρωirp

rrki

Raumwinkel der Abstrahlung

Raumwinkel der Abstrahlung

Elementare Kugelwellen

Elementare Kugelwellen

Volumenfluss (Quellstärke)

Volumenfluss (Quellstärke)

Relevanter Spezialfall:

Fraunhofer-Beugung: r >> QuellgrößeFraunhofer-Beugung: r >> Quellgröße

r

r

dS

tωieru

θ

Beispiel: Starre Kreisplatte mit Radius a (Fraunhofer-Beugung)

Optisches Analogon: Fraunhofer-Beugung an Lochblende

θsinakx,

x

xJ2

r

eaρuωiθp 1

rki2

21

θsinakx,x

xJ2

r

eaρuωiθp 1

rki2

21

θsinakx

ak

3,83sinθ 1

Hauptabstrahlungskegel

1. Nebenkeule bei –18 dB Insignifikant !

1. Nebenkeule bei –18 dB Insignifikant !

Starre Kreisquelle in Schallwand

Starre Kreisquelle in SchallwandPulsierende KugelPulsierende Kugel







Akustischer Widerstand der Luft

Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand

m = 0 n = 1

Fundamentalmode

• Qualitativ wie starre Kreisplatte

• Effizienter Strahler

• Quantitativ unterschiedlich: u( r' ) J0( k r' )

m = 0 n = 2 m = 0 Moden:

• Verbleibende Netto-Monopolkomponente

• Schwache Strahler

m = 1 n = 1

m = 2 n = 1 m = 3 n = 1

m = 3 n = 2

m > 0 Moden:

• Keine Monopolkomponente

• Völlig ineffiziente Strahler

4.2.6. Unabgeschirmte ebene Quellen

Umschlossener Rückraum

Umschlossener RückraumUnendliche

SchallwandUnendliche Schallwand

Hohe Frequenz ( ka > 4 ): fast ungeändertes Verhalten

Niedrige Frequenz ( ka < 4 ): Abstrahlraumwinkel 2π 4π ½ Strahlungswiderstand ½ Gesamtstrahlungsleistung ( 3 dB ) ¼ Intensität ( 6 dB ) Kompensation: Bassreflexwand,

Fussboden, ...

offene PlatteDipolquelle bei kleinen

Frequenzen

offene PlatteDipolquelle bei kleinen

Frequenzen

Starre Platte:

3ak ,

2ak ,

Scρ

akScρ103 R

42

m

3ak ,

2ak ,

Scρ

akScρ103 R

42

m

4.2.7. Strahlung von (unendlich) großen Platten

Einfachstes Beispiel: Ebene Biegewelle der Platte

Platte ( Dicke h, Dichte ρP )Platte ( Dicke h, Dichte ρP )

Luft ( Dichte ρ )Luft ( Dichte ρ )

Schallgeschwindigkeit:Schallgeschwindigkeit:

ρ

K

k

ωc


ων1ρ

Ehω

12

ch

k

ωv 4

2P

2L

PP

Abstrahlungsbedingung:λ λP(ω)

bzw. k kP(ω)

bzw. c vP(ω)

Strahlungsmuster der Überschallbiegewelle ( vP c ) (Analogon: Machscher Kegel)

c

v

k

k

λ

λθcos PP

P

c

v

k

k

λ

λθcos PP

P

ων1ρ

Ehv 4

2P

2

P ωcν1ρ

Ehθcos 4

22P

2

ωcν1ρ

Ehθcos 4

22P

2

Abschneide- bzw. Koinzidenzfrequenz:

Eh

cν1ρωω

2

22P

c

Eh

cν1ρωω

2

22P

c

Orgel

4.3. Schallwellenleiter ( Pfeifen, Flöten, Hörner)

Französ. Horn

Flügelhorn

Querflöte

Oboe

Klarinette

Blockflöte

Saxophon

4.3.1. Unendliche Zylinderrohre

0r

p

ar

Perfekt steife Wand: 0aru r

Mmn

zktωimnmmn

J von Nullstelle te1nqπ

ea

rqπJαφmcosAtz,φ,r,p mn

Mmn

zktωimnmmn

J von Nullstelle te1nqπ

ea

rqπJαφmcosAtz,φ,r,p mn

analog zur Kreismembran

analog zur Kreismembran

kr = kmn quantisiert

kz unbeschränkt (keine z-Randbedingung)

2z

2r

2 kkk

kcω

a

qπ

c

ωk

2

mn

22mn

a

qπ

c

ωk

2

mn

22mn

2az

rφ

2aπS

Ruhende oder gleichmäßig

strömende Luft

ea

rqπJαφmcosAtz,φ,r,p zktωimn

mmnmn

e

a


mmnmn

Wichtiger Spezialfall m = n = 0: q00 = 0, J0(0) = 1

a

qπ

c

ωk

2

mn

22mn

a

qπ

c

ωk

2

mn

22mn

cztωicztωi00

cztωi00

ecρ

peutr,u

eptr,p

Ebene Welle:

cztωi

S

00 ecρ

pSdSutr, U Volumenfluss:

Bemerkung: In allen anderen Moden ist U = 0

Definition:

S

cρ

U

pZcρ

u

pz 00

0

(Wellen-)Impedanz Charakteristische Impedanz

ea


mmnmn

e

a


mmnmn

a

qπ

c

ωk

2

mn

22mn

a

qπ

c

ωk

2

mn

22mn

Kritische Frequenz: a

cqπω mn

c a

cqπω mn

c

ω > ωc: kmn , z reell ungedämpfte Ausbreitung

ω < ωc: kmn , z imaginär gedämpfte Ausbreitung( keine Wellenleitung )

k mn = 0

q00 = 0 ebene (0,0)-Mode wird bei allen Frequenzen geleitet !

J0

J1

J2

J3

J4

0 1,84 3,053,83

4,20

( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )( 1 , 0 )

( 0 , 0 )( 1 , 0 )( 2 , 0 )

•••

( 0 , 1 )

••••

( 3 , 0 )

+( 1 , 1 )( 2 , 0 ) etc.Single-Mode-

Leitung

Ebene Welle

Single-Mode-Leitung:

Luftfreier in λ0,29a

a

c1,84ω

a

cqπω nm

c a

cqπω nm

c

5,32 5,33

ea


mmnmn

e

a


mmnmn

a

qπ

c

ωk

2

mn

22mn

a

qπ

c

ωk

2

mn

22mn

p

u

Querschnitt

1,0 2,0 0,1

Flussmuster im Längsschnitt

Ebene Fundamental-

Mode

Ebene Fundamental-

Mode

ω > ωcω > ωc

ω < ωcω < ωc

4.3.2. Wandverluste in unendlichen Zylinderrohren

a) Reibungsverluste b)Thermische Verluste

Verluste in dünnen Randschichten an der Wand:

300KT0,00291

sω

ma252,5

aη

ρω

δ

ar

1

VV

300KT0,00291

sω

ma252,5

aη

ρω

δ

ar

1

VV

a

δV

Viskosität ηViskosität η

aδT

Thermische Leitfähigkeit κ

Thermische Leitfähigkeit κ

300KT0,00311

sω

ma212,6

aκ

Cρω

δ

ar

1

P

TT

300KT0,00311

sω

ma212,6

aκ

Cρω

δ

ar

1

P

TT

Zusammenhang: Zahl-Prandtlκ

ηC

r

rP

2

V

T

Konsequenz: Z0 reell Z0 komplex ...

... und: k reell k komplex:

v / c

α / f

[

m-1

Hz

-1 ]

αiv

ωk αi

v

ωk

Einfluss auf Z0 wichtig für rV 10

Einfluss auf Z0 wichtig für rV 10 rZImZRe

:1r

1V00

V

rZImZRe

:1r

1V00

V

Phasengeschwindigkeit sinkt für rV 10

Phasengeschwindigkeit sinkt für rV 10

α λ-1 für rV 10α λ-1 für rV 10

300KT0,00291

sω

ma252,5

aη

ρω

δ

ar

1

VV

300KT0,00291

sω

ma252,5

aη

ρω

δ

ar

1

VV

300KT0,00311

sω

ma212,6

aκ

Cρω

δ

ar

1

P

TT

300KT0,00311

sω

ma212,6

aκ

Cρω

δ

ar

1

P

TT

0.1

1

10

100

1000

1 10 100 1000

Frequenz [ Hz ]

a = 0,1 mma = 1 mm

a = 1 cma = 10 cm

0.1

1

10

100

1000

1 10 100 1000

Frequenz [ Hz ]

a = 0,1 mma = 1 mm

a = 1 cma = 10 cm

Größenordnungen bei Zimmertemperatur ( 20 °C ):

Kritischer Bereich

Kritischer Bereich

4.3.3. Endliche Zylinderrohre

L

S

cρZ0

tL,U

tL,pZ 00

L

ZZ

ZZR

L0

L0

Reflexionskoeffizient:

ZL

RSaite: Z0

L( Abschnitt 2.1.2. )

Eingangsimpedanz:

LkcosZLksinZi

LksinZiLkcosZZ

Re1

Re1Z

t0,U

t0,p Z

0L

0L0

Lk2i

Lk2i

000

in

0Z

LZ

L

Ideal abgeschlossener Rohr: ZL =

LkcotZi Z 0in

Ideal offenes Rohr: ZL = 0

LktanZi Z 0in

LkcosZLksinZi

LksinZiLkcosZZ Z

0L

0L0in

Ideal offener Eingang: 0Zresin

L

cπnω0Z nL

p00

U

L

cπ1n2ωZ nL

p00

U

Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL 0

0Z

L

Schallwand LZ

a) Abschluss durch Schallwand (vgl. 4.2.5.)

RL ,

XL

[ Z

0 = ρ

c/S

]

π3

a8ktanZi

π3

a8kZi Z

Z|Z|1k

00L

0L

π3

a8ktanZi

π3

a8kZi Z

Z|Z|1k

00L

0L

ZZ2k 0L ZZ2k 0L

Musikinstrumente (Fundamentalmoden)

Schallwand wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder

1k

a0,85π3

a8Δ

ΔLL

SW

SWeff

Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL 0

0Z

L

LZ

b) Offener Abschluss

Musikinstrumente (Fundamentalmoden)

Außenluft wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder

1k

a0,61ΔΔLL

O

Oeff

ZZ2k 0L ZZ2k 0L

a0,61ktanZikZi0,61a ZZ|Z|1k

00L

0L

a0,61ktanZikZi0,61a ZZ|Z|1k

00L

0L

4.3.4. Impedanzkurven realistischer Zylinderrohre

Typische Situation: rV > 10

• Charakteristische Impedanz Z0 (ungeändert)

• Kleine Dämpfung α: αiv

ωk

ma

Hzf103α

Hzfma

101,651c v

5-

3

ma

Hzf103α

Hzfma

101,651c v

5-

3

LkcosZLksinZi

LksinZiLkcosZZ Z

0L

0L0in

Ideal abgeschlossener Rohr: ZL =

vLωtaniLαtanh

vLωtanLαtanhi1ZLkcotZi Z 00in


vLωtanLαtanhi1

vLωtaniLαtanhZLktanZi Z 00in


vLωtanLαtanhi1

vLωtaniLαtanhZLktanZi Z 00in

L = 1 m a = 5 cmL = 1 m a = 5 cm

L = 1 m a = 1 cmL = 1 m a = 1 cm

1n2fL4

vf

neffn 1n2

fL4

vf

neffn

n fL2

vf

neffn n

fL2

vf

neffn

(Anti-)Resonanzstruktur durch Wanddämpfung!

effLα2sinh2

Auswaschung durch Strahlungsdämpfung!

ma

Hzf103α 5-

ma

Hzf103α 5-

0ωd

Ld eff(Anti-)Resonanzen

nicht ganz harmonisch (gestreckt)

4.3.5. Abstrahlcharakteristik offener Zylinderrohre

I

0IDI

Richtungs-Index

4.3.6. Schallwellen in Hörnern

Französ. Horn

Vereinfachung: gerade, unendlich lang

Wellengleichung für Frequenz ω:

c

ωkmit 0pkp 22

c

ωkmit 0pkp 22

Randbedingung für ideal steifes Horn: Oberfläche auf 0pn Oberfläche auf 0pn

Separierbarkeit/Single-Mode-Leitung: Spezielle Koordinaten

Hornfläche = KoordinatenflächeHornfläche = Koordinatenfläche

konfokale quadratische Oberflächen (11 Varianten)

Beispiele:

Kreis/Ellipsen/Rechteck-Zylinderrohre

Single-Mode ebene WellenSingle-Mode ebene Wellen

Konische Hörner

Single-Mode KugelwellenSingle-Mode Kugelwellen

Hyperbolische Hörner

Single-Mode Welleoblat spheroidal

zylindrisch konisch eben sphärisch

Single-Mode Welleoblat spheroidal

zylindrisch konisch eben sphärisch

Glatter Zylinder-Übergang

Analytische Näherung: Wellenfront

xS

•

a(x)x0(x)

xθ• Wellenfront: p const.

• Lokaler Konus: x0 , θ

• Sphärische Näherung: x0 , θ nur schwach x-abhängig S annähernd sphärisch

xS

xS

1

rr

rr

1

rθsinπ2S

xxr2

22

2

0

2

2

2 t

p

c

1

x

pS

xS

1

Webster-Gleichung:

Für kleine θ:

xHornradiusR,RπS

xxθamitaπS

T2T

02

xHornradiusR,RπS

xxθamitaπS

T2T

02

Sphärische Näherung

Ebene Näherung

Wellenfront

xS

•

a(x)x0(x)

xθ pc

ω

t

p

c

1

x

pS

xS

1

2

2

2

2

2

pc

ω

t

p

c

1

x

pS

xS

1

2

2

2

2

2

Konstante Intensität I p2 S

Ansatz: pSψ pSψ

xd

ad

a

1xF

c

ωk

0ψxFkx

ψ

Gleichung-rSchrödinge

2

2

22

2

xd

ad

a

1xF

c

ωk

0ψxFkx

ψ

Gleichung-rSchrödinge

2

2

22

2

F(x) = Potentialbarriere

= Hornfunktion F(x) = Potentialbarriere

= Hornfunktion

RT

RL

RR

1xF1xθ

TL

RR

1xF1xθ

TL

Leitung oberhalb Abschneide-Frequenz:

cxFcxkxω CC cxFcxkxω CC

aπS 2 aπS 2

4.3.7. Salmon-Hörner

Wellenfront

xS

•

a(x)x0(x)

xθ const.

xd

ad

a

1F

2

2

const.xd

ad

a

1F

2

2

( konstanter Abschneidefrequenz )

Lösung:

xmkitωi0

0

22

eea

pp

xmsinhTxmcoshaa

m = Hornkonstante

Wellenleitung k2 > m2

Wichtige Spezialfälle:

T = 1: Exponentialhorn xmexpaa 0

T = 1: Katenoidalhorn ( glatter Zylinderanschluss ) xmcoshaa 0

0mxm

1T

0

x

x1aa

00

Konisches Horn mit Apex in x0

( F = 0 kein Frequenzabschnitt )

Hörner = kontinuierliche Impedanzwandler

effiziente Abstrahlung oberhalb ωC

4.3.8. Endliche konische Hörner

L = 1 m a = 5 cmL = 1 m a = 5 cm

Zin /

Z0

L = 1 m a1 = 0,5 cm a2 = 5 cmL = 1 m a1 = 0,5 cm a2 = 5 cm

Zin /

Z1

L

LZS

ScρZ0

S2S1

L

LZ11 ScρZ

Abhängigkeit der Resonanzfrequenzen vom Öffnungsverhältnis( Vereinfachte Darstellung für ZL = 0 )

a1 / a2

ω1

ω2

ω3

ω4

ω1

ω2

ω3

ω4

Beidseitig offene Hörner( Flöten, Orgel-Rohrpfeifen )

Einseitig geschlossene Hörner( Rohrblatt- / Lippen-

getriebene Blasinstrumente )

4.3.9. Besselhörner x0xba γ x0xba γ

• γ = 0: Zylinderrohr

• γ = 1: konisches Horn mit Apex bei x = 0

• γ > : stark divergente Mündung bei x = 0 ( realistische Beschreibung moderner Blasinstrumente )

Besselhörner: x0xba γ x0xba γ

Analytische Lösung für γ > 0 (ebene-Wellen-Näherung):

xkNBxkJAxxp 21

21

21

γγ

γ

xkNBxkJAxxp

21

21

21

γγ

γ

Bessel-Funktion Neumann-Funktion

Ideal offenes unendliches Besselhorn:

xkJxAxp 21

21

γ

γ

xkJxAxp

21

21

γ

γ

Besselhornfunktion bei offener Mündung:

Ebene-Welle-Näherung

Kugelwellen-Näherung

Totalreflexion bei F(x) k2Totalreflexion bei F(x) k2

F Horn strahlt nicht ab !F Horn strahlt nicht ab !

Freie Abstrahlung für k2 > FmaxFreie Abstrahlung für k2 > Fmax

TunneleffektTunneleffekt

Teilabstrahlung für k2 < Fmax

Teilabstrahlung für k2 < Fmax

4.3.10. Netzwerkanalyse

Allgemeiner Wellenleiter ( passiver ) elektrischer Vierpol

xuS U

xpp

111

11

xuS U

xpp

111

11

xuS U

xpp

222

22

xuS U

xpp

222

22

x1 x2

S1

S2

Impedanzmatrix:

2

1

2

1

2221

1211

U

UZ

p

p

ZZ

ZZZ

Beispiel: Beidseitig offenes konisches Horn

S2S1

L

x

x2x10

Reziprozitäts-Theorem:

Für beliebige (passive) Hörner gilt Z Z 2112 Z Z 2112

21

21

21

2112

21

21

222

21

12

111

θθLksin

θsinθsin

SS

cρiZZ

θθLksin

θsinθLksin

S

cρiZ

θθLksin

θsinθLksin

S

cρiZ

1,21,2 xkarctanθmit

Beobachtung: Z12 = Z21 gilt auch allgemein

Transportmatrix:

2

1

2

1

22

11

21

2

2

1

1

22

11

21

U

UZ

p

p

A1

AdetA

A

1Z

U

pA

U

p

Z1

ZdetZ

Z

1A

Behandlung zusammengesetzter Hörner:

Z(1), A(1) Z(2), A(2)U1 U2U3

p1 p2 p3

2

21

1

1

U

pA

U

p

3

32

2

2

U

pA

U

p

Verkettungsregel: 21tot AAA

Bemerkung: 1AdetZ Z 2112 1AdetZ Z 2112

Beispiel: Ideal offenes konisches Rohr mit Zylinder-Eingang

f max

von

Zin (

Tro

mpe

tenm

aße)

totKonusZylindertot ZAAA

Z Z tot11in Z Z tot

11in

Harmonisches Spektrum bei

L1 L2

Harmonisches Spektrum bei

L1 L2

Beispiel: Horn mit Abschlussimpedanz ZL

ZL

p2p1

U2U1

LL A ,Z

21L21 UUZpp

11

11 ZZ L

L

1Z

01 A

1L

L

ZL

LL A ,ZA , Z

Horn

22L

22

L11

21

Ltot

ZZ

Z1

ZdetZ

ZdetZ

Z

1AAA

Eingangsimpedanz:

0ZHorn offenes idealZ

ZdetZHorn nesgeschlosse Z

ZZ

ZZZ

A

AZ Z

L22

L11

L22

211211tot

21

tot11tot

11in

0ZHorn offenes idealZ

ZdetZHorn nesgeschlosse Z

ZZ

ZZZ

A

AZ Z

L22

L11

L22

211211tot

21

tot11tot

11in

21

12

111in θθLksin

θsinθLksin

S

cρiZZ


Beispiel: Ideal abgeschlossenes konisches Horn

S2S1

L

x

x2x10

LZ

Quasistatischer Grenzfall: 1xk L,k 1,2

V

cρ

ωi

1

xx

3x

Sk

cρi

θθLksin

θsinθLksin

S

cρiZ

2

31

32

21

121

12

1in

Hohlraumform in diesem Grenzfall irrelevant

= akustische Impedanz eines Hohlraums

= akustische Nachgiebigkeit elektrische Kapazität

V

cρ

ωi

1Z

2

in

2cρ

V

121

21121

122in θLksinθθLksin

θsinθsinθLksinθLksinθsin

S

cρi

Z

ZdetZ


Beispiel: Ideal offenes konisches Horn

Quasistatischer Grenzfall:

21

1,2in

SS

Lρωi

1xk Z

S2S1

L

x

x2x10

0ZL

Spezialfall offenes Zylinderrohr: S1 = S2 = S S

Lρωi ZZyl

in S

Lρωi ZZyl

in

Allgemein:

= akustische Impedanz eines ideal offenen Horns

= akustische Trägheit elektrische Induktivität

Hornin S

1LρωiZ

HornS

1Lρ

Quasistatische Netzwerke: Beispiel 1

Helmholtz-Resonator getrieben durch äußeres

Schallfeld pext

Helmholtz-Resonator getrieben durch äußeres

Schallfeld pextL

S

VZcavZcav ZpipeZpipe ZradZrad

pextpextUU

~

ZcavZcav ZpipeZpipe ZradZrad

pextpext

UU

pext Wechselspannungsquelle

Zrad komplexer Widerstand

Zpipe Induktivität

Zcav Kapazität

pext Wechselspannungsquelle


Zpipe Induktivität

Zcav Kapazität

Quasistatische Netzwerke: Beispiel 2

Helmholtz-Resonator intern getrieben durch

vibrierende Wand

Helmholtz-Resonator intern getrieben durch

vibrierende Wand

U0 Wechselstromquelle


Zpipe Induktivität

Zcav Kapazität

U0 Wechselstromquelle


Zpipe Induktivität

Zcav Kapazität

L

S

VZcavZcav ZpipeZpipe ZradZrad

UU

U0

ZcavZcav

ZpipeZpipe

ZradZrad

U0U0

UU

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Physik der Musikinstrumente