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1.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.4 , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.11.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991.19.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991.19.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2 1022.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

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2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.8.1 . . . . . . . . . . . . . . 1282.8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.8.3 : . . . . . . . . . . . . . 1292.8.4 : . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302.8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302.8.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

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2.10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.10.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.10.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432.11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432.11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442.11.3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442.11.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.11.5 . . . . . . . . . 1452.11.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.12.4 . . . . . . . . . . . . . . 152

2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532.13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532.13.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532.13.3 . . . . . . . . . . . . . 1542.13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.13.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3 1573.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.4.3 . . . . . . . . . . . . . . 1733.4.4 . . . . . . . . . 1753.4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

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3.4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.4.8 : . . . . . . . . . . . . 1773.4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823.5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823.5.5 . . . . . . . . . . . . 183

3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863.6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893.7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963.8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963.8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043.10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123.12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2133.12.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163.13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163.13.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173.13.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173.13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.14.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6

3.14.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2223.14.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253.15.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263.15.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273.15.3 - . . . . . . . . . . . . . . 2283.15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2303.16.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.16.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.16.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323.16.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2343.16.5 pn- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.17.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.17.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403.17.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403.17.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.17.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423.17.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2433.17.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

3.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2453.18.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2453.18.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2463.18.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

3.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2503.19.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513.19.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523.19.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523.19.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2533.19.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2543.19.6 + = . . . . . . . . . . . . . 2553.19.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2563.19.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2603.20.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2613.20.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2623.20.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2653.21.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2653.21.2 . . . . . . . . . . . 2683.21.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2683.21.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2693.21.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

3.22 . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2733.22.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2733.22.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2743.22.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2753.22.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

3.23 . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

7

3.23.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2803.23.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2803.23.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

3.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2853.24.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2853.24.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873.24.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2893.24.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

3.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.25.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.25.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2923.25.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

3.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2983.26.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2983.26.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2993.26.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

3.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023.27.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023.27.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3043.27.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3053.27.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

4 3114.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3154.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3154.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3194.3.1 ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3194.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3204.3.3 ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3244.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3244.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3264.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3294.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3294.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3304.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3324.5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3354.6.1 : . . . . . . . . . . . 3354.6.2 : . . . . . . . . . 3384.6.3 : . . . . . . . . . . . . . . . . 3394.6.4 : . . . . . . . . . . . . . . 3414.6.5 : . . . . . . . . . . . . . 341

8

4.6.6 : . . . . . . . . . . . . . . . 3424.6.7 : . . . . . . . . . . . . . 344

4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3454.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3454.7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3464.7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3474.7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3484.7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3484.7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514.8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3514.8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3524.8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3534.8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3554.8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3574.9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3574.9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3584.9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3594.9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3594.9.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.9.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3644.10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3644.10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3654.10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3664.10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3664.10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3674.10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714.11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3734.11.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3744.11.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3754.11.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3794.12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3804.12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3824.12.4 . . . . . . . . . . . . . 385

4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3874.13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3874.13.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

5 3895.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3905.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

9

5.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3935.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3985.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3985.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4035.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4045.3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4085.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4085.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4105.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4125.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

6 4156.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

6.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4166.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4176.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4186.1.4 . . . . . . . . . . . . . 4196.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4206.1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4236.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4236.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4236.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4246.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

6.3 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4276.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4276.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4286.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4306.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4306.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4316.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4336.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4336.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4336.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4366.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4366.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4386.6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4426.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4426.7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4436.7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4446.7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

10

6.8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4466.8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4486.9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4496.9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4496.9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4536.10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4536.10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4546.10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4566.10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4586.11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4596.11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4646.11.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

7 . 4667.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4677.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

7.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4697.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4707.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4757.3.1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4757.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4797.4.1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4797.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4807.5.1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4807.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4817.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4847.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4847.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 484

7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4867.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4867.7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 486

7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4877.8.1 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4877.8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4887.8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4897.8.4 . . . . . . . . . . . . . 489

11

1

. , , .

. , . .

.

1. . , . - - . , , , , , .

, , .

:

2. . . - , : ,, , , .

:

. - , :

12

- . , 1; .

3. . , - .

, - . - ; .

:

* * *

( ) - . , . , - , .

. : - , , . , (- ). , , .

1 . , .

13

1.1 . - . - .

, . . , .

1.1.1

:

1,1

2,1

3,1

4, . . . ,

1

n, . . .

(. 1.1).

0 112

13

14

. 1.1. 1/n (n N)

, ( -). n = 10 1/10 ; n = 100 1/100 ; n = 1000 1/1000 . .

, 1/n , , . :

limn

1

n= 0.

, 0. .

an = 3 +1

n(n N)

3.

limn

an = limn

(3 +

1

n

)= 3.

, a , a , . , an a : , an, , a .

, 1,1, 1,1, . . . : . , , 1 -? ( , , 1), 1 2.

14

, , 1.

, . -, y = f(x) , - x y. x , y .

. . y = f(x) , x .

, . 1.2 y = x2. x = 2 A(2, 4).

X

Y

2

4 A

. 1.2. y = x2

, x 2 ( ). A, . , 4, :

limx2

x2 = 4. (1.1)

? . , x 2, x2 22 = 4. , - ?

. . 1.3.

X

Y

1

pi

. 1.3. y =sinx

x

f(x) =sinx

x.

15

: x = 0 ( f(0) ), (0, 1). , f(0) , x 0 1. , :

limx0

sinx

x= 1. (1.2)

. (1.2), .

:

sin 0,1

0,1,

sin 0,01

0,01,

sin 0,001

0,001, . . .

, .

, , . .

1.1.2

60 /. ? : , 60 .

, , . , , , - 60 /. . , 60 /?

. , s, , t :

s(t) = t2,

, . , t = 0 , t = 1 s(1) = 1, t = 2 s(2) = 4, t = 3 s(3) = 9, .

, , . -:

1; s(2) s(1) = 3; s(3) s(2) = 5,

. . , ,

. ? , t = 3?

: v = s/t ( - ). , .

. t = 3 t, s, , s t. t, .

16

, . t = 1.

s = s(4) s(3) = 42 32 = 7,

:s

t=

7

1= 7 (1.3)

(, , /). t. t = 0,1:

s = s(3,1) s(3) = 3,12 32 = 0,61,s

t=

0,61

0,1= 6,1. (1.4)

t = 0,01:

s = s(3,01) s(3) = 3,012 32 = 0,0601,s

t=

0,0601

0,01= 6,01. (1.5)

t = 0,001:

s = s(3,001) s(3) = 3,0012 32 = 0,006001,s

t=

0,006001

0,001= 6,001. (1.6)

(1.3)(1.6), , s/t 6. , t = 3 6 /.

, t s , - s/t v, t:

v = limt0

s

t. (1.7)

:v(t) = lim

t0s(t+ t) s(t)

t. (1.8)

s(t) = t2 , . :

s = s(t+ t) s(t) = (t+ t)2 t2 = t2 + 2tt+ t2 t2 = t(2t+ t),

:

v(t) = limt0

s

t= lim

t0t(2t+ t)

t= lim

t0(2t+ t) = 2t. (1.9)

, t = 3 (1.9) : v(3) = 2 3 = 6, .

.

17

1.1.3

. - , . .

y = f(x). , x . X x, Y f(x) (. 1.4).

x

f(x)

x+ x

f(x+ x)

x

f

y = f(x)

X

Y

. 1.4.

x , x. x + x. f(x+ x).

f = f(x+ x) f(x) (1.10)

, x. ? x

t, f s, t. . .

. f (x) f(x) x , :

f (x) = limx0

f

x= lim

x0f(x+ x) f(x)

x. (1.11)

(1.7) (1.8). , ? , .

. - .

, -. (1.11).

18

1.1.4

, : f(x) = c. :

f = f(x+ x) f(x) = c c = 0., :

f (x) = limx0

f

x= lim

x00

x= lim

x00 = 0.

, :

c = 0.

, f(x) = xa. : f(x) = x. :

f = f(x+ x) f(x) = x+ x x = x.:

f (x) = limx0

f

x= lim

x0x

x= lim

x01 = 1.

,x = 1.

f(x) = x2. s(t) = t2, . ( ) , (1.9).

:

f = f(x+ x) f(x) = (x+ x)2 x2 = x2 + 2xx+ x2 x2 = x(2x+ x).:

f (x) = limx0

f

x= lim

x0x(2x+ x)

x= lim

x0(2x+ x) = 2x.

, (x2)

= 2x.

, : (x3)

= 3x2,(x4)

= 4x3,

. . .

(xn) = nxn1.

, n, a:

(xa) = axa1, a R. (1.12) f(x) =

x:(

x)

=(x

12

)=

1

2x

121 =

1

2x

12 =

1

2x.

19

, . : .

: . (1.11) :

(sinx) = cosx, (cosx) = sinx.

(, , ), , . .

( ) -, . , : f(x) = x7 sin 3

4x2 5x? (1.11) -

. , - .

1.1.5

, . , . , , (1.11).

. . u(x) v(x) , .

0. . c , (cu) = cu.

2 . , , .

, :

(5x2) = 5(x2) = 10x,

(3 sinx) = 3(sinx) = 3 cosx.

1. . (u + v) = u + v ( - ).

, 0 1, :

(sinx+ cosx) = (sinx) + (cosx) = cosx sinx,(x3 + 4 cosx 10) = (x3) + (4 cosx) + (10) = 3x2 4 sinx

( 10 !).2. . (uv) = uv + uv.

:

(x2 sinx) = (x2) sinx+ x2(sinx) = 2x sinx+ x2 cosx.

20

0:

(cu) = cu+ cu = cu,

c = 0.

3. .(uv

)=uv uv

v2.

, , :

(tg x) =(

sinx

cosx

)=

(sinx) cosx sinx(cosx)cos2 x

=cos2 x+ sin2 x

cos2 x=

1

cos2 x.

. , , - , , - .

, , u(x) = sin x v(x) =x. x (

x v), ( v(x) u). :

u(v(x)) = sinx.

, u v. : x v, v(x) u.

, , u , v . x , . :

v(u(x)) =

sinx.

. () () . :

(sinx) = cos

x (x) = cosx 1

2x,

(

sinx) =1

2

sinx (sinx) = 1

2

sinx cosx.

:

[(4x2 + 3x+ 2)5] = 5(4x2 + 3x+ 2)4 (4x2 + 3x+ 2) = 5(4x2 + 3x+ 2)4 (8x+ 3).

( ; A, ):

[A sin(x+ )] = A cos(x+ ) (x+ ) = A cos(x+ ).

, ? .

4. . [u(v(x))] = u(v(x))v(x).

21

1.1.6

, , .

-, . , ? , ., x(t) v(t) :

x(t) = 1 + 12t 3t2, (1.13)v(t) = 12 6t. (1.14)

, t, x .

-, . , :

x(t) x(t) (1.15)

( ). , ,

:

x(t) dx

dt(1.16)

( ). (1.16).

:dx

dt= lim

t0x

t= lim

t0x(t+ t) x(t)

t, (1.17)

, dt, dx x(t). , ; .

, , (1.16) . dx dt. dt , dx/dt (1.17) .

, , , dx, dt, .

. .

x(t) x(t) , - , - x(t). :

x(t) x(t)

( ), :

x(t) d2x

dt2

( ).

22

(1.13) , - (1.15) (1.16):

x(t) = 1 + 12t 3t2 x(t) =

d

dt(1 + 12t 3t2) = 12 6t.

( ddt

.)

, (1.14). . .

1.1.7

, . , , . - , .

~u1, ~u2, ~u3, . . . , , - , O (. 1.5):

O

A1

A2A3

B

~u1

~u2 ~u3 ~v

. 1.5. limn

~un = ~v

A1, A2, A3, . . . , :

~u1 =OA1, ~u2 =

OA2, ~u3 =

OA3, . . .

, A1, A2, A3, . . . 2 B:

limn

An = B.

~v =OB. , ~un

~v, ~v ~un:

~v = limn

~un.

2 , , , ? . . A1, A2, A3, . . . B -

: B , , , . , B . ? :

.

23

, . 1.5 , (, ). , ~un, ~u(t), . , !

. t t0. ~u(t) B, , ~v =OB ~u(t):

~v = limtt0

~u(t).

1.1.8

, , .

, ~u(t), . , .

() ( -) . ~u t :

~u = ~u(t+ t) ~u(t).

, . - ~u . 1.6 (, , , ).

~u(t)

~u(t+ t)

~u

. 1.6.

t , ~u (, , ). , t 0 ~u/t , ~u:

d~u

dt= lim

t0~u

t= lim

t0~u(t+ t) ~u(t)

t. (1.18)

( ~u ) (1.18). - , , .

, d~u/dt . , - ~u, dt. , ; .

d~u/dt , - dt, d~u ~u. dt

24

(1.18) , .

( ) -.

- . .

1. : c = const,

d(c~u)

dt= c

d~u

dt.

,

md~v

dt= ~F

:d(m~v)

dt= ~F .

2. : ~c = const,

d

dt(x(t)~c ) = x(t)~c.

3. :

d

dt(~u+ ~v) =

d~u

dt+d~v

dt.

. , OXY Z (. 1.7).

X

Y

Z

~i~j

~k~u

ux

uy

uz

O

. 1.7.

, ~u ~i, ~j, ~k:

~u = ux~i+ uy~j + uz~k.

25

ux, uy, uz ~u . ~u .

~u , , ux, uy, uz :

~u(t) = ux(t)~i+ uy(t)~j + uz(t)~k. (1.19)

. -:

d~u

dt=

d

dt

(ux(t)~i

)+d

dt

(uy(t)~j

)+d

dt

(uz(t)~k

).

:

d~u

dt= ux(t)~i+ uy(t)~j + uz(t)~k. (1.20)

, ~u (ux, uy, uz), d~u/dt ~u, (ux, uy, uz).

(1.20) . t+ t (1.19) :

~u(t+ t) = ux(t+ t)~i+ uy(t+ t)~j + uz(t+ t)~k.

~u:

~u = ~u(t+ t) ~u(t) ==(ux(t+ t)~i+ uy(t+ t)~j + uz(t+ t)~k

)(ux(t)~i+ uy(t)~j + uz(t)~k

)=

= (ux(t+ t) ux(t))~i+ (uy(t+ t) uy(t))~j + (uz(t+ t) uz(t))~k == ux ~i+ uy ~j + uz ~k.

t:

~u

t=

uxt

~i+uyt

~j +uzt

~k.

t 0 ux/t, uy/t, uz/t - ux, uy, uz, (1.20):

d~u

dt= ux~i+ uy~j + uz~k.

26

1.2 . . -.

( ) .

1.2.1

, . , , - . , .

, , , - , . . - : , , , .

, , .

1.2.2

- . .

, . , . .

(- ) .

. 1.8. OXY Z , M .

O

X

Y

Z

x

y

z

M

~r

. 1.8.

~r =OM - M . x, y, z M

- ~r.

27

M :

x = x(t), y = y(t), z = z(t); (1.21)

, , - M :

~r = ~r(t). (1.22)

(1.21) (1.22) . , - M .

1.2.3

.

, .

, , . , .

,, , .

1.2.4 , ,

, ( ) , , . , - , .

, . . 1.8 M , - ~r.

, -.

, .

, A B(. 1.9).

A

B

C

. 1.9.

, , ACB.

AB.

28

1.2.5

. :

v = limt0

s

t,

s , t. - , s:

v =ds

dt. (1.23)

, , , . , (), . , (1.23) , . , (1.23) .

~i, ~j, ~k (. 1.10).

~i

~j

~k

O

M(x, y, z)

N(x+ x, y + y, z + z)

~r

~r + ~r

~r

~v

. 1.10.

t M(x, y, z) -OM = ~r = x~i+ y~j + z~k. (1.24)

t N(x+ x, y + y, z + z) -

ON = ~r + ~r.

~r =MN .

s/t , ~r/t .

, ~v t ~r t, ; , -:

~v = limt0

~r

t=d~r

dt. (1.25)

~r/t , MN . t , N M , MN . -, ~v M . . 1.10.

29

. (1.24) - , :

~v =d

dt

(x~i+ y~j + z~k

)= x~i+ y~j + z~k. (1.26)

, ~v ~i, ~j, ~k:

~v = vx~i+ vy~j + vz~k. (1.27)

(1.26) (1.27), , - :

vx = x, vy = y, vz = z.

1.2.6

(1.25) , - . . .

, t ~v, t ~v + ~v.

~a ~v t, ; , :

~a = limt0

~v

t=d~v

dt.

, , . :

~a =d

dt

(vx~i+ vy~j + vz~k

)= vx~i+ vy~j + vz~k.

, :

ax = vx, ay = vy, az = vz.

, , -. , , - ( ~r):

~a =d

dt

(d~r

dt

)=d2~r

dt2.

, :

ax = x, ay = y, az = z.

1.2.7

, ( ) . .

30

. (1.13):

x = 1 + 12t 3t2

( , ). , :

vx = x = 12 6t,ax = vx = 6.

, 6 /2. , X.

, - . .

, - , . - , .

. :

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3.

:

vx = x = 3 8t+ 15t2,ax = vx = 8 + 30t.

: .

. X :

x = 5 sin 2t.

, , 5 5. , .

:

vx = x = 5 cos 2t 2 = 10 cos 2t,ax = vx = 20 sin 2t.

, . ax x ( ,ax = 4x); , ax = 2x .

1.2.8

. O. K .

, K , O, - O ~u. .

31

, K ( ), ~u - .

K . - ~u, , , K .

, 3 ~u. - , ~u. , ~u - .

, . , .

( K ) ~v .

( K) ~v .

, , .

. 1.11 M . :~r - M K;~r - M K ;~R - O K.

K

K

~R

~u

~r

~r

M

O

O

. 1.11.

,~r = ~R + ~r .

, :

d~r

dt=d~R

dt+d~r

dt. (1.28)

d~r/dt M K, :

d~r

dt= ~v.

, d~r /dt M K , :

d~r

dt= ~v .

3 , .

32

d~R/dt? O , ~u :

d~R

dt= ~u.

(1.28) :

~v = ~u+ ~v .

. - . , .

, , . - !

1.2.9

.

, ( ).

, (- ). , .

, , , - ( ) . , , ( ) .

, -, . :

|~v| = const; ~v = const.

-, :

~a = const.

.

, . , , .

.

33

, , - , . - : .

, . 1.12 . . .

. 1.12.

, :

1. , ;

2. , ( ).

. 1.13 , . .

. 1.13.

34

1.3 - ~v. , ; , , .

( , ). , .

1.3.1

, , ~v, t M0 M (. 1.14). ~s =

M0M .

~s

~r0 ~r

~v

O

M0 M

. 1.14.

, , s . , :

s = vt, (1.29)

v . (1.29) (

). - . , ~s ~v , (1.29) :

~s = ~vt. (1.30)

, , O (. 1.14; ). ~r0 - M0 ~r - M . , ,

~s = ~r ~r0.

(1.30):

~r ~r0 = ~vt.

( - ):

~r = ~r0 + ~vt. (1.31)

, , . (1.31) .

35

M0 (x0, y0, z0). ~r0. - M ( ~r) (x, y, z). (1.31) :

x = x0 + vxt, (1.32)y = y0 + vyt, (1.33)z = z0 + vzt. (1.34)

(1.32)(1.34), , - .

1.3.2

(1.31), , . , - :

d~r

dt= ~v. (1.35)

~v = const. -, ~v ? , ~vt. : ~vt ~c ( , ). :

~r = ~c+ ~vt. (1.36)

~c ? t = 0, - ~r - ~r0. , t = 0 (1.36), :

~r0 = ~c.

, ~c -, (1.36) - (1.31):

~r = ~r0 + ~vt.

, , (1.35) , ~v = const. - , . , .

. , . ; .

36

1.4 ~a. -, - .

1.4.1

- : . , .

. , - :

d~v

dt= ~a. (1.37)

~a = const. , - ~a ? , ~at. : ~c ( ). ,

~v = ~c+ ~at. (1.38)

~c ? t = 0 : ~v = ~v0. , t = 0 (1.38), :

~v0 = ~c.

, ~c . (1.38) :

~v = ~v0 + ~at. (1.39)

- . , OXY Z - (1.39) :

vx = v0x + axt,

vy = v0y + ayt,

vz = v0z + azt.

1.4.2

, - . -, - :

d~r

dt= ~v.

, (1.39):

d~r

dt= ~v0 + ~at. (1.40)

37

(1.40). . ~v0, ~v0t. ~at, ~at2/2. ~c:

~r = ~c+ ~v0t+~at2

2.

, ~c ~r0 - ~r t = 0. :

~r = ~r0 + ~v0t+~at2

2. (1.41)

, (1.41) :

x = x0 + v0xt+axt

2

2, (1.42)

y = y0 + v0yt+ayt

2

2, (1.43)

z = z0 + v0zt+azt

2

2. (1.44)

(1.42)(1.44) .

(1.41). , ~r ~r0 = ~s . :

~s = ~v0t+~at2

2.

1.4.3

, , . , , OX. :

vx = v0x + axt,

x = x0 + v0xt+axt

2

2,

sx = v0xt+axt

2

2,

sx = x x0 OX. , .

:t =

vx v0xax

:

sx = v0xvx v0xax

+ax2

(vx v0xax

)2.

:

sx =v0xvx v20x

ax+v2x 2vxv0x + v20x

2ax,

38

:

sx =v2x v20x

2ax.

t , .

1.4.4

. - .

, , ~g, . g = 10/2.

, .

. , h = 2 .

. OY , .

sy =v2y v20y

2ay.

: sy = h, vy = v , v0y = 0, ay = g. : h =v2

2g,

v =

2gh. : v =

2 10 2000 = 200/. 720 /, .

. ? !

. v0 = 30 /. t = 5 c.

. OY , .

vy = v0y + ayt.

v0y = v0, ay = g, vy = v0 gt. : vy = 30 10 5 = 20 /. , 20 /. , .

. , h = 15 , v0 = 10 /. ?

. OY , .

y = y0 + v0yt+ayt

2

2.

: y = 0, y0 = h, v0y = v0, ay = g, 0 = h + v0t gt2

2= 15 + 10t 5t2,

t2 2t 3 = 0. , t = 3 c.

39

1.4.5

. , .

, v0 h. , , .

OXY , . 1.15.

O X

Y

~v0

h

~g

. 1.15.

:

x = x0 + v0xt+axt

2

2, y = y0 + v0yt+

ayt2

2.

x0 = 0, v0x = v0, ax = 0, y0 = h, v0y = 0, ay = g. :

x = v0t, y = h gt2

2. (1.45)

T , y :

y(T ) = 0 h gT2

2= 0 T =

2h

g.

L x T :

L = x(T ) = v0T = v0

2h

g.

, (1.45). t - :

t =x

v0

y = h g2

(x

v0

)2= h gx

2

2v20.

y x, . , .

40

1.4.6

: , - .

, v0, . , , .

OXY , . 1.16.

O X

Y

~v0

~g

. 1.16.

:

x = x0 + v0xt+axt

2

2, y = y0 + v0yt+

ayt2

2.

x0 = y0 = 0, v0x = v0 cos, v0y = v0 sin, ax = 0, ay = g. :

x = (v0 cos)t, y = (v0 sin)t gt2

2.

, . :

T =2v0 sin

g,

L =v20 sin 2

g,

y = x tg gx2

2v20 cos2

.

( !) , y x .

, :

H =v20 sin

2

2g.

41

1.5 , .

r. v. v .

. T :

T =2pir

v. (1.46)

, :

=1

T.

, . - / ( ).

, , T = 0,1 . , 0,1 . : = 1/0,1 = 10 /; 10 .

1.5.1

. O (. 1.17).

O X

Y

M

~v

x

y

~ar

M0

. 1.17.

M0 ; , t = 0 (r, 0). t M .

:

=

t. (1.47)

, , , /.

42

, , 2pi.

=2pi

T. (1.48)

(1.46) (1.48), :

v = r. (1.49)

1.5.2

. . 1.17,

x = r cos, y = r sin.

(1.47) : = t. ,

x = r cost, y = r sint. (1.50)

(1.50) .

1.5.3

. , - (1.50):

vx = x = r sint, vy = y = r cost,ax = vx = 2r cost, ay = vy = 2r sint.

(1.50) :

ax = 2x, ay = 2y. (1.51) (1.51) :

~a = 2~r, (1.52) ~r - .

, -, . . (. . 1.17). , , .

, (1.52) :

a = 2r. (1.53)

(1.49):

=v

r

(1.53). :

a =v2

r. (1.54)

, 2r = (r) = v, (1.53) :

a = v.

(1.53) (1.54); .

43

1.5.4 ?

, ( ) - (1.52) - (1.50). , .

:

~a =d~v

dt= lim

t0~v

t= lim

t0~v(t+ t) ~v(t)

t.

, t t+ t, ~v = ~v(t+ t) ~v(t) t, t , ~v/t.

. 1.18 () : - A t B t + t. ~v(t) ~v(t+ t); t , . ~v(t + t) B , - A, ~v. , ~v/t A; , t .

~v(t)

~v(t+ t)~v

~v

t

AB

~v

t

A

. 1.18. ~v/t t

, t ( , ). , ~v/t .

, t 0. B A, A ~a = lim

t0~v/t

.

44

1.6 , . , - , .

. v. : t1 t2. t = t2 t1.

, [t1, t2] :

s = v(t2 t1) = vt. (1.55)

. , (. 1.19).

t

v

v

t1 t2t

= vt

. 1.19.

, , . , v (1.55) , t .

- .

v , [t1, t2] , , (. 1.20):

t

v

t1 t2

. 1.20.

.

1. [t1, t2] t.

45

2. , . , 4: , .

. 1.21 . t , .

t

v

t1 t2 t

v

t1 t2

. 1.21.

, t , . , - .

3. t . , . 1.20. ; , , t1 t2 (. 1.22).

t1 t2 t

v

. 1.22.

, - .

. , , - .

, - .

4 , .

46

. , v0 t = 0, a. , t.

. :

v = v0 + at. (1.56)

, . 1.23. -, .

t

v

t

v0

v

0

. 1.23.

v0. v = v0 + at. - t. ,:

s =v0 + v

2 t = v0 + (v0 + at)

2 t = 2v0 + at

2 t = 2v0t+ at

2

2.

:

s = v0t+at2

2.

, , .

. (. 1.24). - v. , .

t

v

v

0

. 1.24.

. , R piR2. , -: /2, - v.

, - , pi :

s =1

2 pi

2 v = piv

4.

47

1.7 . .

, - 5. - , , , .

.

, - , .

1.7.1

, . , - .

. , - , ! ; , .

, , : , . -.

, : . , !

, , , . , , .

, : . ( !), .

. , - .

. . .

, -, . 6

5 - .

6 , - . : . .

48

. - .

: - , -, .

, -, . , .

- ( ). , , - , .

, ., , . , , , - ( ). , , - , .

1.7.2

, , , - , . , - . , .

. - .

. .

.

49

1.8 . .

1. .

2. . - ( ), - . , , , , (. . ) .

3. (. ).

4. . . - 1 .

5. ( ).

6. . .

:

=m

V.

(, ) - . . : 1000 /3.

50

1.9 . -, .

, ( ) . , : - , , . , -, . , .

1.9.1

, 7 , - . , .

. ~F1, ~F2, . . . , ~Fn. ~F = ~F1 + ~F2 + . . .+ ~Fn, .

~F ~F1, ~F2, . . . , ~Fn 8.

1.9.2

, , ( ), ( ), . , .

.

. - , : m~a = ~F .

, . , .

1. ma = F , a , F .

2. , .

, , . , , .

. - ( ): , , , . , - .

7, .8 , . ,

. .

51

1.9.3

, , . - ( ).

. , . , .

, ~P , , - ~N , (. 1.25). .

~P

~N

. 1.25. ~P = ~N

~P ~N , , ( ).

1.9.4 ?

. .

1. : m~a = ~F . , -, :

md2~r

dt2= ~F . (1.57)

: t = 0 ~r = ~r0 ~v = ~v0. - .

, (1.57) ~F , .

2. (1.57) . - , ~r = ~r(t) - . , .

. ~F - , , (1.57) . .

52

: , (1.57) . :

d2~r

dt2=

~F

m= ~a,

~a . , :

d~r

dt= ~v0 + ~at.

:

~r = ~r0 + ~v0t+~at2

2.

.

, , . - , , . -. - . , , .

53

1.10

, m~a = ~F ( ) , . . : , . .

1.10.1

. - . , , , .

. , -

. - .

( , ) -, .

( ) , ( , ). . , -. , .

, , - . , - , . , , , .

, , . :

1. ;

2. , - , - ( ).

, , . , . .

, . .

1.10.2

, - . .

. -. , , x,

54

:F = kx, (1.58)

k .

, .

(1.58) , () (. 1.26):

x

F

F = kx

. 1.26.

k F = kx. - :

k = tg,

. k.

, - . , ., . 1.26 - , F x x.

1.10.3

, - (1.58) .

, l S x, :

F = ESx

l.

E . - . .

55

1.11 , . .

1.11.1

- .

. m1 m2 , - r :

F = Gm1m2r2

. (1.59)

G . - , :

G = 6,67 1011 2

2.

, - : . , - 6 1024 .

(1.59), , , . , , .

1. (1.59) , . r - . , .

2. (1.59) , , - , . r . , .

, (1.59) (, ) .

1.11.2

, . - , . - .

m . mg, g . , , :

mg = GMm

R2,

M , R 6400 . :

g = GM

R2. (1.60)

56

, , M R.

h , :

mg(h) = GMm

(R + h)2.

g(h) h:

g(h) = GM

(R + h)2=

gR2

(R + h)2.

GM = gR2,

(1.60).

1.11.3 .

, . , , . , . , , ().

m~g

~N

~P

. 1.27. ,

. 1.27 . m~g ( ). ~N ( ). ~P . ~P ~N (P = N) .

, . , , . :

m~g + ~N = ~0 m~g = ~N mg = N. N = P mg = P . , ,

. , .

57

. m a, . .

. Y (. 1.28).

~N

m~g

Y

~a

. 1.28.

:

m~a = m~g + ~N.

Y :ma = N mg.

N = mg +ma = m(g + a). ,

P = m(g + a).

, . .

. m a 6 g , - . .

. Y (. 1.29).

~N

m~gY

~a

. 1.29.

. :

m~a = m~g + ~N.

Y :ma = mg N.

N = mg ma = m(g a). , P = m(g a).

. a = g ( ) . , .

58

1.11.4

, , . h . M , R (. 1.30).

~v

~F

R

h

M

M

m

. 1.30.

~F , . -

a =v2

R + h.

m , , : ma = F ,

mv2

R + h= G

Mm

(R + h)2.

:

v =

GM

R + h.

, h = 0. :

v1 =

GM

R,

, (1.60),v1 =

gR .

:

v1 =

10 6400000 = 8000 / = 8 /.

59

1.12 , - . .

.

1. . .

2. . .

. .

1.12.1

. , : , , , . , - , .

? , , . -. , , , .

F , . , . , f , : f = F (. 1.31, OA). : .

F

f

f0

f0

O

A B

. 1.31. f F

, . , f0 (. 1.31, A). , . .

, , . - . .

60

F - (. 1.31, AB). f0.

-. , - .

, , - . . - ( , . . ).

. - .

1. .

2. :

f = N.

.

3. .

4. .

.

. m = 3 . - = 0,4. F . : 1) F = 10 ; 2) F = 15 .

. , . ~f (. 1.32).

X

Y~N

m~g

~F~f

. 1.32.

:

m~a = m~g + ~N + ~F + ~f. (1.61)

Y , ay = 0. (1.61) Y ,: 0 = mg +N , N = mg.

f0 ( ) :

f0 = N = mg = 0,4 3 10 = 12 .1) F = 10 . ,

: f = F = 10 .

2) F = 15 . , : f = f0 = 12 .

61

1.12.2

, ( ), .

-, . , - , .

-, . , . , ( ).

, . :

f = v.

:

f = v2.

, . , .

, , - , :

v2 = mg.

:

v =

mg

. (1.62)

. , , . ?

. (1.62) , . , .

62

1.13 . , .

(. . ) , . . , , , , .

. , - .

. .

- .

, , - . , ( , ).

.

- , . ~F1 ~F2 (. 1.33).

~F1

~F2

. 1.33.

. : -. . , .

, ? .

, . , .

. , -

. .

, - . , , , - .

63

1.13.1

(. . ).

. 1.34 , ~F . - O. l = OH, H , O - .

O

~FH

l

. 1.34.

:

M = Fl.

, , . , , - , , .

1.13.2

, . - . , , .

, , - , .

1. , .

2. , , , .

, . 1.33 ( ). .

.

1. .

2. , , , .

64

, .

. , . ? .

. A B (. 1.35). , .

A

B

m~g

D

~N1

~f

~N2 C

. 1.35.

, m~g . ~N1 ~f A. . 1.35 -

A ; , ( ).

~N2 B. , .

1. :

f = N2. (1.63)

:

mg = N1. (1.64)

2. ? , A ( ). ~f ~N1 A ( ). A m~g ~N2, ; , .

~N2 AC, A BC ~N2. m~g AD, A m~g. :

N2 AC = mg AD.

65

2l. AC = 2l cos, AD = l sin. - :

N2 2l cos = mg l sin,

2N2 = mg tg. (1.65)

(1.63) (1.65):

2f = mg tg. (1.66)

, . - , . , f , :

f = N1.

(1.66) :2N1 = mg tg,

(1.64):2mg = mg tg.

:

= arctg(2).

66

1.14 - : 1) ; 2) .

, . .

, . , , .

.

1. . : , , .

2. C , .

, , .

S F , .

p =F

S.

(). 1 , 1 12.

: p0 = 105 .

1.14.1

, . .

, S h (. 1.36). .

S

h

p

. 1.36.

Sh, m = Sh. F . , :

F = mg = Shg.

67

F S, :

p = gh.

., 10 p = 1000 10 9,8 = 98000 ,

. , 10 .

, . , ( = 13600 /3), :

h =p

g=

105

13600 9,8 = 0,75 = 750.

( . .).

1.14.2

, , . - - .

(, ) . .

. , , .

. 1.37.

( , , - , , .)

, h - p = p0 + gh. ? p0 - h, gh.

. , - (. 1.37)9.

, . , .

: - , - . , .

, . , , - . ? , . - .

9 http://festival.1september.ru.

68

1.14.3

, . ? , , , .

. 1.38. , . - .

~F1

~F2

S1 S2

. 1.38.

. S1 , S2 .

F1. :

p =F1S1

.

, . -, :

F2 = pS2 = F1S2S1.

:

F2F1

=S2S1.

, F2 F1 , S2 S1. , - 100 , 100 . - .

1.14.4

? ? . .

, . , - , . . , .

69

. - S h, . . h1, h2 = h1 + h(. 1.39).

h2

h1

h

S

~F2

~F1

. 1.39. FA = F2 F1 ,

. . p1 = gh1.

F1 = p1S = gh1S, . p2 = gh2.

F2 = p2S = gh2S, (!).

h2 > h1, F2 > F1, , - . FA. :

FA = F2 F1 = gh2S gh1S = gS(h2 h1) = gSh. Sh V . :

FA = gV. (1.67)

. , , .

(1.67) . V m, V : V = m. gV = mg = P , P , V . (1.67) :

FA = P. (1.68)

, , , , - .

(1.67) (1.68) , V , (, ). , .

V . - : . , , , , - , .

70

, - .

, , . , . , ( ).

V . , , , . - , V . .

. , , .

, (1.67). , , - .

. - ? , , . , . , .

, , - , . (1.67) , V - V:

FA = gV.

, , . . , , , , .

1.14.5

0. , - .

mg FA. V ,

mg = gV, FA = 0gV.

.

1. : mg > FA, > 0. .

2. : mg = FA, = 0. .

3. : mg < FA, < 0. , . - , . -

71

( ). , , . . . - , (mg = FA), .

, : 6 0. -, ( = 900 /3) (0 = 1000 /

3), (0 = 800 /

3).

72

1.15 , :

~p = m~v.

. - :

[p] = [m] [v] =

.

? , - , .

1.15.1

~F , m. :

m~a = ~F .

, ~a , :

md~v

dt= ~F .

m :

d(m~v)

dt= ~F .

, :

d~p

dt= ~F . (1.69)

(1.69) .

. - .

: , , - .

(1.69) :

~p

t= ~F . (1.70)

~F , t. t, ~p/t d~p/dt, ~F .

, , t . , , ~F , .

~p (1.70) t. . ,

73

~p0 , ~p t, :

~p = ~p ~p0.

, (. 1.40). -, , - , .

~p0

~p ~p

. 1.40.

, , ( ~p0) ( ~p = ~p0). , (p = p0), :

~p = ~p ~p0 = ~p0 ~p0 = 2~p0.

. 1.41:

~p0~p = ~p0

~p = 2~p0

. 1.41.

, , : p = 2p0.

(1.70) :

~p = ~Ft, (1.71)

, , :

~p ~p0 = ~Ft.

~Ft . ; -:

[Ft] = [F ] [t] = .( , .)

(1.71) : - . , , .

74

1.15.2

- .

. m = 100 , v = 6 /, . ( ) = 60. t = 0,01 . , .

. , , - (. 1.42).

vv

. 1.42. ( )

, . , - . , ~N , (. 1.43).

~N

. 1.43.

(1.71) : ~p = ~Nt. , - ~N , (. 1.44).

~p0

~p

~p

. 1.44.

~p0 ~p ( ). -, ~p0, ~p ~p, . , ~p ~p , .

, 60 ( ); , . :

p = p0 = mv = 0,1 6 = 0,6 . , :

N =p

t=

0,6

0,01= 60.

75

1.15.3

. , 1 2 ~p1 ~p2 . ~p :

~p = ~p1 + ~p2.

, , (1.69). .

, 1 2, . , 1 2, . ~F1 , 1. ~F2 , 2 (. 1.45).

~F1 ~F2

~T ~T

1 2

. 1.45.

, 1 2 . 2 1 ~T . 1 2 ~T . ~T ~T : ~T = ~T . ~T ~T , .

1 2 (1.69):

d~p1dt

= ~F1 + ~T , (1.72)

d~p2dt

= ~F2 + ~T. (1.73)

(1.72) (1.73):

d~p1dt

+d~p2dt

= ~F1 + ~F2 + ~T + ~T.

, ~p1 ~p2. ~T + ~T = ~0 :

d(~p1 + ~p2)

dt= ~F1 + ~F2.

~p1 + ~p2 = ~p 1 2. ~F1 + ~F2 = ~F , . :

d~p

dt= ~F. (1.74)

, - , . (1.74), , .

(1.74) . .

76

, . N , :

~p = ~p1 + ~p2 + . . .+ ~pN .

, ( ). , (1.72) (1.73), , , ( , , ). (1.74) .

1.15.4

, , . , - , - .

, , : ~F = ~0. (1.74) :

d~p

dt= ~0.

( ), :

~p = const.

. - .

, .

. m1 = 800 v1 = 3 / - . m2 = 200 v2 = 13 /. ( ). .

. . 1.46. X .

m1~g

~N1

~v1

m2~g

~N2

~v2

X

. 1.46.

, . , - , :

m1~g + ~N1 = ~0, m2~g + ~N2 = ~0.

77

, , , . , . , :

~p = ~p . (1.75)

:

~p = m1~v1 +m2~v2.

m1 +m2, ~v:

~p = (m1 +m2)~v.

(1.75) :

m1~v1 +m2~v2 = (m1 +m2)~v.

, :

~v =m1~v1 +m2~v2m1 +m2

.

X:

vx =m1v1x +m2v2xm1 +m2

.

: v1x = 3 /, v2x = 13 /,

vx =0,8 3 0,2 13

0,8 + 0,2= 0,2

.

, , X. : v = 0,2 /.

1.15.5

. (- , , ), X, X . , , X .

. (1.74) X:

dpxdt

= F, x.

, F, x = 0,

dpxdt

= 0.

, px :

px = const.

78

. X , - , , px .

, .

. M , , m v . u, .

. . 1.47. .

M~g

~N

~v

m~g~u

X

. 1.47.

+ . , ( , ), .

, , , . ? , M~g+m~g+ ~N . N, Mg + mg, .

( ). , - X. . X ( ), :

Mu+mv0 cos = 0,

u =mv0 cos

M.

79

1.16 . - .

1.16.1

~F , , ~s. ~F - (, , ).

, (. 1.48; , , ).

~s

~F ~F

. 1.48. A = Fs

A :

A = Fs. (1.76)

(): = . , 1 1 , 1 .

, , . , .

(. 1.49).

~s

~F

~F~F

~F

~F~F

. 1.49. A = Fs cos

~F : ~F ( ) ~F (- ). ~F. ~F :A = Fs = F cos s. ,

A = Fs cos. (1.77)

, - (1.77). .

, , -, , . : = 180, cos = 1, :

A = Fs = mgs,

80

m , .

(1.77) , :

A = ~F~s.

:

A = Fxsx + Fysy + Fzsz.

~F1, ~F2, . . . , ~Fn, ~F . ~F :

A = ~F~s = (~F1 + ~F2 + . . .+ ~Fn)~s = ~F1~s+ ~F2~s+ . . .+ ~Fn~s,

A = A1 + A2 + . . .+ An,

A1, A2, . . . , An ~F1, ~F2, . . . , ~Fn. , .

1.16.2

, . , , .

, . N A t, :

N =A

t.

(). 1 = 1 /, 1 , 1 1 .

, , , , ~v. , ~F .

t ~s = ~vt. ~F :

A = ~F~s = ~F~vt.

:N = ~F~v,

N = Fv cos,

. , ~F

( ). = 0, :

N = Fv.

81

1.16.3

. : , , , . . .

, , . -.

. - , - .

, .

( , ). . .

. .

.

1.16.4

( )

K =mv2

2,

m , v . N

:K =

m1v21

2+m2v

22

2+ . . .+

mNv2N

2.

~F , , -, . , ~F . - .

~v1 , ~v2 . X - (, , ~F ). ~F :

A = ~F~s = Fxsx = maxsx = maxv22x v21x

2ax=mv22x mv21x

2.

( sx, ). ,

; v21x = v21 v22x = v22. :

A =mv22

2 mv

21

2= K2 K1 = K,

. K = A

.

. , - .

82

, (K > 0, ).

, (K < 0, ). , .

, -. , . , , . , ( , ) .

. v -. s, , .

. K1 =mv2

2,

K2 = 0. K = K2 K1 = mv2

2.

m~g, ~N ~f . - , , -. :

A = fs = Ns = mgs. :

K = A mv2

2= mgs s = v

2

2g.

1.16.5

m, . . .

P

Q

~s

h1

h2

~g

. 1.50. A = mg(h1 h2)

h, :

W = mgh,

g .

. ( (1.78), (1.79)), - - , . - . - .

, . , P , h1, Q, h2 (. 1.50).

83

m~g ~s . :

A = m~g~s = mgs cos.

, . 1.50, s cos = h1 h2.

A = mg(h1 h2) = mgh1 mgh2,

A = W1 W2. (1.78)

, W1 W2 = (W2 W1) = W , :

A = W. (1.79)

, (1.78) (1.79) , - P Q, .

, -, -. , .

, .

, , . , , . . , .

1.16.6

k. x1. , x2. ?

, . -. , .

, . x1, x2 :

A =kx212 kx

22

2.

W =

kx2

2

(x ).,

A = W1 W2 = W, (1.78) (1.79).

84

1.16.7

, - .

E :

E = K +W.

.

, / - . , . K1 W1, K2 W2. A.

:

K2 K1 = A.

:

A = W1 W2.

:K2 K1 = W1 W2,

K1 +W1 = K2 +W2.

:

E1 = E2.

, / - .

.

. , .

: - . .

1.16.8

( -), . , , . . -: , . , .

/ . , - A. ( ) - - A.

85

:

K2 K1 = A+ A.

A = W1 W2,

K2 K1 = W1 W2 + A.

K2 +W2 (K1 +W1) = A,

E2 E1 = A.

E = E2 E1 :

E = A.

, / - . , : .

.

. - , .

, -.

, - . - , . . .

86

1.17 ( ). , , .

: . .

1.17.1

, . . 1.51 O. ( A B) ~F1 ~F2. l1 l2.

A

B

O

~F1

~F2

l1 l2

. 1.51.

-: F1l1 = F2l2,

F1F2

=l2l1.

, - ( , ) , - .

, 100 700 , 7 : 1 . 7 , : 7 , ( ).

, , , , . , . - , , ( ).

1.17.2

OA B

C

~F

D

~P

. 1.52.

- , -. - .

. 1.52 , . . ( O).

D ~P ., , . ~P - D, .

C ~F . ~F OA = r, r .

~P OB = r. , , : -,

87

F = P , -, C .

? , - . .

1.17.3

OA B

C

~F

D

~P

. 1.53.

. 1.53 , - . ~F , C . , , OD.

A, ( A). , A ( ).

~P D . ~P AO = r.

~F , , - : AB = 2r. , F = P/2 ( . 1.53: ~F ~P ).

, . , , - . , , C ( ).

~F

. 1.54.

. 1.53 : ( C) . , ! - .

. 1.54 , -. , - , . ~F .

: - .

1.17.4

, , -. , , , .

. , .

88

: . , m,

. ~F , , (. 1.55).

X

m~g

~N

~F

. 1.55.

X , . , :

m~g + ~N + ~F = ~0.

X:mg sin + F = 0,

F = mg sin.

, . , ,

mg. , F < mg, sin < 1. , , .

.

1.17.5

, .

, 2 : 1 . P , P/2. h 2h,

A =P

2 2h = Ph,

. . , . ,

F = mg sin, . , h , l = h/ sin .

A = mg sinh

sin= mgh,

89

. . , . .

. . , , .

, .

1.17.6

A, - - , A, .

:

; , ; , .,

, . .

() :

=AA

.

. 100%. .

. m

~F P Q h (. 1.56). , -, ~f .

h

P

Q

m~g

~F

~N

~f

Y

X

. 1.56.

, , , :

m~g + ~N + ~F + ~f = ~0.

90

X:mg sin + F f = 0. (1.80)

Y :mg cos +N = 0. (1.81)

,f = N. (1.82)

(1.81) :N = mg cos.

(1.82):f = mg cos.

(1.80), :

F = mg sin + f = mg sin + mg cos = mg(sin + cos).

F , :

A = F PQ = mg(sin + cos) hsin

= mgh(1 + ctg).

, , :

A = mgh.

:

=AA

=mgh

mgh(1 + ctg)=

1

1 + ctg.

91

1.18 . .

, , . , - ( ).

, , . - . , , . .

, , , - , , , , . . .

-.

T . , .

, : = 1/T . () , .

1.18.1

, - - x. x = 0. x(t), .

-. , . , .

pi/2, . .

, :

x = A cos(t+ ). (1.83) . A (

), . . . A .

t+ . , t = 0, . :x0 = A cos.

. T . , 2pi :T = 2pi,

=2pi

T, (1.84)

= 2pi. (1.85)

92

/ ( ). (1.84) (1.85) -

(1.83):

x = A cos

(2pit

T+

), x = A cos(2pit+ ).

(1.83), - , . 1.57.

0t

x

x0

A

A

T

. 1.57.

(1.83) . , , -, : x0 . , .

, ( ). , x0 = A, = 0. :

x = A cost.

. 1.58.

0t

x

T 2T 3T

. 1.58.

93

, , . x0 = 0, = pi/2. :

x = A sint.

. 1.59.

0t

x

T 2T 3T

. 1.59.

1.18.2

(1.83). :

vx = x = A sin(t+ ). (1.86)

(1.86):

ax = x = A2 cos(t+ ). (1.87)

(1.83) (1.87) . , 2:

ax = 2x. (1.88) .

:x+ 2x = 0. (1.89)

C (1.89) -. ( , ). , , :

(1.89) (1.83) A ; .

, (1.88), (1.89) - . A .

94

1.18.3

, .

(. 1.60). - , . . , - .

. m, k. x = 0 , .

, .

X0 x

~F

. 1.60.

~F -. X :

max = Fx . (1.90)

x > 0 ( , ), - , Fx < 0. , x < 0, Fx > 0. x Fx , :

Fx = kx. (1.90) :

max = kx

ax = kmx.

(1.88),

2 =k

m.

, , :

=

k

m. (1.91)

T = 2pi/ :

T = 2pi

m

k. (1.92)

, , - . , (1.92).

95

1.18.4

, (. 1.61). - .

O X

l

m~g

~T

x

. 1.61.

. l. - .

:

m~a = m~g + ~T ,

X:max = Tx .

(. . x > 0), :

Tx = T sin = T xl.

(. . x < 0), :

Tx = T sin = T xl.

, :

max = T xl. (1.93)

, T = mg. , ( ), T mg. (1.93):

max = mg xl,

ax = g

lx.

(1.88),

2 =g

l.

96

, :

=

g

l. (1.94)

:

T = 2pi

l

g. (1.95)

, (1.95) . , .

1.18.5

, , - . , , - , .

- .

, , . , (1.91) (1.94) () .

-, . . . , (. 1.62).

0t

x

. 1.62.

, - F (t), ( ).

, 0, :

F (t) = F0 cost .

: , -. ,

97

, . - ( ).

. . 1.63.

A

r

. 1.63.

, = r - . : r 0, , . -, r = 0, 0.

98

1.19 (, ).

:, - , . .

1.19.1

, - . . . 1.64 , ; , , - (. . ).

~v

. 1.64.

, - . . . 1.65 , .

~v

. 1.65.

, : , .

, , . , 10.10 , -

. .

99

, , . . . , , , .

. - , . , - . .

., ( 1) -

T . 2, . 2, , 3 . . , T .

, . . . - . , 2 1, 3 2 . . 1 - T , N + 1, 1 .

, , , . . N + 1 - 1, N + 2 - 2 . . . ; T .

- (. 1.64). (. 1.65). , ( -) , (. . , 2pi).

- :

v =

T.

:

=1

T.

, :

v = . (1.96)

1.19.2

, - . 16 20 , . , .

. -

(). , 0 -, 10 , 50 , 80 , 130 ( ).

100

, , (, ). : , . , , ,, .

: , . , , , .

, 0 340 / ( )11. 1500/, 5000 /.

, : - . (1.96) , - .

11 , , , .

101

2

, . , .

. - , . , , .

. , -. , , , .

:

,

102

2.1 , - , :

- - , , , ? , ( , , ): - , , , , . . . . , - .

- () -. , .

1. . , .

2. 1, .

3. , .

. .

2.1.1

. , - ?

, -. . . , .

, . -.

( -), . .

, H2O , . , ., H O , , , .

1 .

103

( ) 108 . , .

. -. , ; , , .

, , - . , . , .

. , , . , , , .

- .

, . 2.1 2 . - . ( , ) . .

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- ? -: . , ( ).

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