18. Geometrijska optika U dosadanjim razmatranjima titranja stalno smo naglaavali i koristili valni aspekt fenomena na primjer svjetlosti. No postoji dio primjene znanja o EM fenomenima u kojima, da bismo doli do praktiki iskoristivih rezultata, ne moramo upotrebljavati sve kompleksno znanje o EM fenomenima: Maxwellove jednadbe, dinamiku kreiranja valova. fenomene difrakcije i interferencije i sline. Da bismo na brzinu proraunali mjesto, na kojem optiki instrument stvara sliku ili koje poveanje od njega moemo oekivati, dozvoljeno je sa snopia svjetlosti koji imaju u principu ugraen mehanizam difrakcije, upotrebljavati samo difrakcijski vrh kao opis glavnine svjetla i aproksimativno govoriti o zrakama svjetlosti (koje u sutini smjerom zapravo slijede Poyntingov vektor) kao o putanjama kojima se iri svjetlost pravocrtno potpuno isputajui iz vida njen valni karakter. Najprije emo ustanoviti temeljne postulate i provjeriti njihovo njihovu fizikalnu ispravnost i/ili ogranienja, a zatim se posvetiti najjednostavnijim optikim elementima i instrumentima.

18.1 Svjetlost se iri pravocrtno Ovaj izriaj smo kritiki diskutirali pokazujui da se svjetlo iri i u podruje sjene iza ugla. U geometrijskoj optici oekujemo da difrakcijske aspekte moemo zanemariti. Tijekom viih godina studija ustanovit emo da snana gravitacija takoer svija putanju svjetla; i taj aspekt ovdje se zanemaruje.

18.2 Svjetlo se od reflektirajue povrine odbija pod jednakim kutom pod kojim je na povrinu upalo Kako bi studenti stekli pouzdanje u razumijevanje fenomena refleksije ipak emo se na trenutak vratiti pravom fizikalnom opisu dogaanja; t.j. zraci svjetla pripisujemo snopi titranja EM putujueg vala. Valna fronta (koja opisuje mjesta s istim stanjem titranja-istom fazom) je okomica na smjer irenja svjetla. Pri padu svjetla na reflektirajuu povrinu pod nekim kutom, ne aktiviraju se svi elektroni povrinskog sloja sinkrono. Meu elektronima u njihovom titranju nastaju razlike u fazi koje odgovaraju razlikama u fazi koje su unijele pojedine komponente ulaznog snopa zavisno o lokaciji elektrona. Kako se radi o nepropusnom zastoru, ovo titranje elektrona je u protufazi s titranjem EM vala u podruju iza zastora. (U pravoj mikroskopskoj slici pojam automatske zapreke ne postoji; ovdje se vidi kako svjetla iza zastora nema jer elektroni materijala svojim titranjem ponitavaju EM val koji bi se inae iza zastora realizirao). No ovo ponitavanje ima i za poetnike neoekivanu posljedicu. Titranje elektrona koje ponitava val iza zastora stvara EM vala ispred zastora, ija valna fronta (radi faznih odnosa elektrona povrine) je potpuno simetrina valnoj fronti koji bi imao val bez zastora uzimajui refleksijsku povrinu za os simetrije. Tako smo istovremeno opravdali poetnu pravilnost naslova 18.2 i stekli razumijevanje o tome to se desilo s valom iza zastora. Kao malu primjenu 18.2 moemo razmotriti nastanak virtualne slike predmeta postavljenog pred zrcalo. Izvor I alje razne zrake svjetla na reflektirajuu povrinu. One se sve reflektiraju svaka pod svojim kutom refleksije

kI

k simetrino svom upadnom kutu. Oko koje stvara sliku (mehanizmom koji emo diskutirati) prima te zrake i rekonstruira sliku kao da su zrake izile iz predmeta smjetenog iza zastora na lokaciji koja je simetrina poloaju izvora uzimajui reflektirajuu plohu kao temelj simetrije.

Na ovom mjestu emo pokazati alternativni izvod zakona refleksije svjetlosti koji se dodue ne oslanja na mikroskopski opis prirode svjetla nego ilustrira mogunost opisa fenomena principom ekstrema koji je na esti vodi u najapstraktnijim razmatranjima na primjer teorije polja. Ovdje je to Fermatov princip. Fermatov princip konstatira da svjetlost putuje stazom du koje je za putovanje potrebno najmanje vremena. Jasno je da i zakonitost o pravocrtnom irenju svjetlosti jest u skladu s Fermatovim principom. Promotrimo dvije toke s iste strane refleksijske povrine udaljene od povrine za udaljenostima . Neka je udaljenost meu njima D. Oznaimo poloaj toke na povrini u kojoj bi se svjetlo trebalo reflektirati s x u odnosu na noite okomice na povrinu iz toke 1. tada je duljina staze od toke 1 do toke na povrini:

21 hih

2211 xhl += (18.1) Udaljenost druge toke od reflektirajue toke jest

2222 )( xDhl += (18.2) Vrijeme potrebno da svjetlost brzinom v prijee zbroj dvije udaljenosti jest:

22222

1 )((1 xDhxhv

t +++= (18.3) Stazu svjetlosti variramo mijenjanjem poloaja x. Prema Fermatovom principu vrijeme treba biti minimalno za putanju kojom svjetlost doista putuje. To znai u prvom koraku da prva derivacija izraza (18.3) po poloaju toke refleksije x mora biti jednaka nuli. Izraunavanjem prve derivacije i izjednaavanjem s nulom dobivamo:

21 lxD

lx = (18.4)

Ta relacija jest odraz jednakosti upadnog i reflektirano kuta svjetlosti!

18.3 Snellov zakon loma svjetlosti Iako smo ga ve izveli u prijanjim razmatranjima, pokazat emo da ga je mogue izvesti i iz Fermatovog principa. To je spoznajno vano jer pokazuje kako se cijela geometrijska optika moe na njemu utemeljiti. Stoga nam ideja da se najtemeljnije zakonitosti mogu formulirati principom odreivanja ekstrema postaje bliskija. Polazimo od crtea s analognim oznakama kao i kod izvoda zakona refleksije s tim da se toke 1 i 2 nalaze sa suprotnih strana kontaktne povrine dva medija indeksa loma . U notaciji jednadbi (18.1) do (18.3) proteklo vrijeme za kontaktnu toku x jest:

21 nin

cln

cln

vl

vlt 2211

2

2

1

1 +=+= (18.5) Izjednaavanjem derivacije proteklog vremena po poloaju toke x sada se dobiva:

2

21

11 l

xDnlxn = 2211 sinsin nn = (18.6)

18.4 Snop svjetlosti koji je jednom stazom doao od toke A do toke B moe pod istim uvjetima istom stazom doi iz B u A.

Ova izjava se mora uzeti s oprezom. Naime, tu se mogu uplesti problemi s polarizacijom i obratom vremena za nju. U optiki aktivnim medijima mora se obratiti panja da obrat putovanja bude u svakom smislu potpun, naroito u smislu rotacije elektrinog vektora kod cirkularno polariziranog svjetla.

18.5 Zrcala Povrine zrcala po pretpostavci potpuno reflektiraju svjetlo sukladno zakonu refleksije 18.2 Mi smo ve obradili ravno zrcalo i tvorbu slike ravnim zrcalom u istom odsjeku. Eliptiko zrcalo je vrlo lako za razumjeti temeljem Fermatovog principa. Definicija je elipse da je zbroj dva radijus vektora od fokusa do bilo koje toke elipse isti. To pak znai da sve trajektorije od fokusa do fokusa s jednom refleksijom imaju isto vrijeme trajanja. Sve zrake iz jednog fokusa sreu se istovremeno u drugom fokusu. Kako nam geometrijska analiza prua rezultat da je parabola limitirajui sluaj elipse iji je drugi fokus u beskonanosti, neposredno slijedi da se sve zrake koje du osi parabole stiu iz beskonanosti sijeku u preostalom fokusu! S druge strane, idealno izvor svjetla u fokusu parabolinog zrcala tvori snop svjetla paralelan osi parabole (ili u prostoru paraboloida). Ipak prema naem znanju o difrakciji (17.17) postoji divergencija snopa iznosa:

D =

gdje je D poprena dimenzija snopa. Oito snop ima to manju divergenciju, to su vee dimenzije parabolinog reflektora!

18.6 Uvodni komentari o pojednostavljenjima koje se koristi u ovom opisu lea, a primjenljivi su i na optika zrcala esto koriten pojam u geometrijskoj optici je fokus; idealna toka u kojoj bi se trebale ukrtati zrake svjetla koje paralelno osi lee dolaze iz beskonanosti. Ispostavlja se da iz cijelog niza razloga koji se nazivaju aberacijama to u realnosti nije jednostavno ispuniti. Neke aberacije imaju porijeklo i u razliitoj disperziji za razne valne duljine svjetla. Mi emo raditi u aproksimaciji dolaska zraka na optike elemente pod malim kutom u odnosu na njihove optike osi (osi simetrije). Ova se aproksimacija u literaturi susree pod raznim imenima : Gaussova aproksimacija, paraksijalna aproksimacija i slino. Pokazat emo sada kako plankonveksna lea ima u gornjoj aproksimaciji vana svojstva fokusa: a) sve se zrake koje dolaze iz beskonanosti sijeku u jednoj toki na osi b) sve te zrake iz beskonanosti dolaze u fokus s istim brojem valnih duljina, to jest lea ih u fokusu ima sve u istoj fazi . Da bismo dokazali ove tvrdnje poet emo od kuta za koji se zraka zakree u kutu pri dolasku na tanku prizmu. Neka prizma ima bazu l i visinu w; neka je stranica prizme na koju dolazi svjetlo okomita na bazu. Kutni otvor prizme je u aproksimaciji malih kutova:

wl= (18.7)

U vrhu prizme zraka i ne putuje prizmom; brzina njene fronte tamo je c . U dnu prizme svjetlo prolazi sredstvom prizme indeksa loma n. Stoga je brzina svjetla tamo reducirana na c/n. Dok je svjetlo donjim dijelom prizme prevalilo put , gore je prevalilo put . Razlika prevaljenih putova je stoga je . Radi toga se svjetlosna fronta (identino stanje titranja) zaokrenula za kut:

l nlln )1(

)1(1 == nlwn (18.8)

S druge strane se w moe interpretirati kao ono produljenje puta svjetlosti zrakom koje osigurava da slomljena zraka s vrha prizme nakon loma u noitu okomice povuene iz donje izlazne toke prizme ima isti broj prijeenih valnih duljina kao i donja zraka pri izlasku iz prizme! Nacrtajmo sada konfiguraciju plankonveksne lee na koju s lijeve strane nailazi snop svjetla paralelan njenoj osi simetrije.neka je prva povrina lee ravna a druga ima radijus zakrivljenosti . Leu sada moemo smatrati kontinuumom tankih prizmi s kutom prizme DR DRh /= (18.9) Da bi lea lomila sve zrake u istu toku fokusa fokalne daljine temeljni je uvjet da kut loma pojedine zrake u odnosu na originalni smjer paralelan osi lee

f :

fh= (18.10)

gdje je h vertikalno odstupanje te zrake pri ulasku u leu. Prema izrazu za zaokret zrake pri prolazu kroz prizmu (18.8) i kutu prizme (18.9), kut zaokreta zrake koja je dola s vertikalnim odstupanjem h jest

DRhn )1( = (18.11)

Izraz (18.11) dokazuje i nae tvrdnje a) i b) i daje izraz za proraun fokalne udaljenosti plankonveksne lee opisanih svojstava:

DR

nf

11 = (18.12) Razmatranje je lako generalizirati na sluaj da je i druga strana lee izboena i da je radijus zakrivljenosti lijeve strane . Tada bi za fokalnu udaljenost vrijedilo: LR

)11)(1(1

LD RRn

f+= (18.13)

18.7 Konjugacijska jednadba za tanku leu Osnovne elementi crtea jesu:

Poloaj predmeta na osi udaljen a od lee iz kojeg izlazi zraka pod kutom prema osi lee i pada na leu pod upadnim kutom 1 . Ta se zraka lomi na kut 2 unutar lee i putuje visinom

d kroz leu. Na izlaznu povrinu lee dolazi pod upadnim kutom '2 , da bi iz lee izila pod izlaznim kutom '1 i konano presjekla os lee na mjestu slike predmeta na udaljenosti b od lee. Kut pod kojim ta zraka sijee os lee je . Desna ploha lee ima radijus zakrivljenosti i centar zakrivljenosti smjeten na osi lee. Linija koja iz tog centra zakrivljenosti ide u toku izlaza zrake iz lee tvori s osi lee kut

2R' .

Ta ista linija je ujedno okomica od koje se raunaju kutovi u zakonu loma: '' 12 i . Lijeva ploha lee ima radijus zakrivljenosti i centar zakrivljenosti smjeten na osi lee. Linija koja iz tog centra zakrivljenosti ide u toku ulaska zrake u leu tvori s osi lee kut '

1R .

Ta ista linija je ujedno okomica od koje se raunaju kutovi u zakonu loma: 21 i . Kut je vanjski kut za kutove '22 i , a i za kutove '' i . Iz Snellovog zakona za male kutove vrijedi: 21 n= (18.14) '' 21 n= (18.15) Kombiniranjem najprije svojstva vanjskih kutova a potom relacija (18.14) i (18.15) slijedi: 21 ' n

2

=+= (18.16) '''1 n =+= (18.17) Zbrajanjem desnih jednakosti iz (18.16) i (18.17) dobivamo: '')'( 22 +++=+n (18.18) No temeljem svojstva vanjskog kuta koje je prije izvoda ve istaknuto slijedi: ' (18.19) ''22 +=+ =Uvrtavanjem (18.19) u (18.18) dobivamo: +=)'+ ')(1(n (18.20) U aproksimaciji malih kutova sve veliine gore, osim indeksa loma lee n, mogu se iitati kao sinusi kutova odnosno omjeri iste veliine d i raznih poloaja na osi lee, pa imamo:

bd

ad

Rd )

2Rdn +=+ )(1(

1

(18.21)

Gornji izraz nakon kraenja i koritenja ve poznate veze fokusa i svojstva zakrivljenosti i indeksa loma lee (18.13) postaje znamenita konjugacijska jednadba:

fRR1)(

1

elo akadem

nba

1)11(11

2

=+=+

postoji dj ika Paia (Osnove fizike iv) u kojem su na otprilike 800 strana dominantno izloeni aspekti geometrijske optike.

(18.22)

KOMENTAR:

Kako je cilj kolegija utemeljenje razumijevanja najvanijih fenomena oko nas ovdje ne emo razmatrati posljedice gornjeg izraza kojeg se u amerikim udbenicima s oitim razlogom naziva i lensmakers formula (formula izraivaa lea). Obraena je jedino (bi)konveksna tanka lea. Analogan izraz vrijedi i za druge geometrije. Dok ova lea fokusira zrake koje dolaze paralelno s osi lee u arite (fokus), divergentne lee ih ine divergentnim snopom koji kao da je iziao iz jedne toke ispred lee; to je ponovno arite. Kada se zrake emitirane u raznim smjerovima iz jedne toke predmeta sijeku ponovno u jednoj toki, na tom se mjestu formira realna slika predmeta (nju se moe vidjeti da se formira na zastoru postavljenom na mjestu formiranja slike). Ako zrake emitirane iz toke predmeta divergiraju tako da se njihovim produivanjem unatrag ipak dobije zajedniko presjecite, tamo postoji virtualna slika predmeta; ako nae oko postavimo tako da mu takve divergentne zrake dolaze u susret, oko e registrirati kao da je predmet doista na lokaciji virtualne slike. Na hrvatskom jeziku

18.8 Globalna svojstva lea

0). Ima ih raznih vrsta: bikonveksna, plan konveksna i onkavno konveksna; svima im je srednji dio deblji od rubnog.

Lee dijelimo na konvergentne (f>kDivergentne lee (f

Zrake koje izlaze iz realnog ili ulaze u virtualni fokus postaju paralelne. Zrake koje ulaze u sredite lee prolaze kroz nju nepromijenjenim smjerom

e u fokalnoj ravnini. sreditem lee i

sjeku vidi optimalno kada je predmet smjeten oko 25 cm od oka. imenziju slike predmeta na mrenici moemo procijeniti povlaenjem zrake od ruba

Zrake koje dolaze paralelno iz beskonanosti pod malim kutom sijeku sNjihovo sjecite odreujemo kao presjek zrake paralelnog snopa koja ideokomice na os lee povuene iz fokusa lee.

18.11 Povealo Ljudsko oko u proDpredmeta ija je baza na pravcu osi one lee kroz centar lee do mrenice. Vertikalno odstupanje te toke od osi lee je veliina optimalne slike predmeta za normalno oko. Ta se slika moe na mrenici poveati konvergentnom leom koju stavljamo neposredno pred oko a predmet u fokus te dodatne lee. Bez lee smo predmet vidjeli pod kutnim otvorom:

25.00h= novi aranman

fh=1 linearno poveanje f

25.0

0

1 = (18.24)

18.12 Teleskop

U teleskopu imamo minimalno dvije lee objektiv i okular. Kako se predmet nalazi u beskonanosti najprije moramo nainiti njegovu realnu sliku da bismo je okularom mogli poveavati. Ponovno jedna dimenzija predmeta lei na osi teleskopskog sustava. Druga se dimenzija vidi pod ulaznim kutom . Tada je visina realne slike u fokalnoj ravnini 1h , a u naoj aproksimaciji je s fokalnom duljinom objektiva povezana relacijom: 11 fh = (18.25) Kao i kod poveala tu realnu sliku koja sada predstavlja predmet postavlja se u arinu ravninu okulara ija je fokalna karakteristika 2f . Novi kut pod kojim se vidi predmet iz beskonanosti je:

2

1'fh= (18.26)

Iz dviju gornjih relacija uvrtavanjem slijedi kutno poveanje:

2f1' f= (18.28)

.13 Mikroskop

et je blizu arine ravnine tako da se njegova realna slika stvara dosta . Stoga je fokalna duljina okulara mnogo vea od fokalne duljine

18 Kod mikroskopa predmaleko na udaljenosti Ld 2f

objektiva 1f . Ako je poprena dimenzija objekta promatranja y, tada je visina realne slike iza objektiva, a ispred okulara:

yfLh

11 = (18.29)

Okular dalje postupa s tom realnom slikom tehnikom poveala. Stoga se objekt promatranja vidi pod kutom :

2

1 )/('fyfL= (18.30)

malno bi ljudsko oko vidjelo predmNor et pod kutom 0 opisanim u (18.24). Time je kutno poveanje:

210

25.0'fL= f

(18.31) o spomenuti da je ovo pojednostavljena an

eanja naiMoem aliza. Pri nastojanjima da dobijemo to vea pov lazimo na prirodnu granicu jer zrake zapravo predstavljaju difrakcijske maksimume. Difrakcija postaje preprekom kada se poveanje nastoji podii iznad faktora reda veliine 5000. Za vea poveanja upotrebljavaju se zrake kraih valnih duljina; elektronski mikroskop.

18. Geometrijska optika18.1 Svjetlost se iri pravocrtno18.2 Svjetlo se od reflektirajue povrine odbija pod jednakim kutom pod kojim je na povrinu upalo18.3 Snellov zakon loma svjetlosti18.4 Snop svjetlosti koji je jednom stazom doao od toke A do toke B moe pod istim uvjetima istom stazom doi iz B u A.18.5 Zrcala18.6 Uvodni komentari o pojednostavljenjima koje se koristi u ovom opisu lea, a primjenljivi su i na optika zrcala18.7 Konjugacijska jednadba za tanku leu 18.8 Globalna svojstva lea 18.9 Osnovne injenice o ljudskom oku18.10 Temelji za konstrukciju slike crteom u okviru aproksimacije malih kutova.18.11 Povealo18.12 Teleskop18.13 Mikroskop