Phương trình vi phân Tác giả: Trịnh Đức Tài, Trường Đại học Đà Lạt, 2010

http://www.ebook.edu.vn

Muïc luïc

1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 5

1.1 Môû ñaàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Caùc khaùi nieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Baøi toaùn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Caùc ñònh nghóa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: . . . . . . . . . . . 13

1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I: . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.5 Phöông trình Bernoully . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.6 Phöông trình Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.7 Phöông trình Riccati: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm 27

2.1 Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëc bieät . . . . . . . . . 27

2.1.1 F chæ phuï thuoäc vaøo y′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùi y hay x: . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.3 F khoâng phuï thuoäc vaøo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 29

2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Phöông trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

www.daykemquynhon.ucoz.com


2 Muïc luïc

2.2.3 Phöông trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theo C−bieät tuyeán . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Phöông trình vi phaân caáp cao 39

3.1 Phöông trình vi phaân caáp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Caùc khaùi nieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàu phöông: 40

3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp: . . . . . . . 43

3.1.5 Tích phaân trung gian vaø tích phaân ñaàu: . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính. . . . . . . . . . 46

3.3 Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Ñoàng nhaát thöùc Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.2 Phöông phaùp bieán thieân haèng soá tìm nghieäm rieâng cuûa phöôngtrình khoâng thuaàn nhaát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng . . . . . . . . . . . 53

3.4.1 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát heä soá haèng . . . . . . . . . 53

3.4.2 Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát: . . . . . 55

4 Heä phöông trình vi phaân caáp I 61

4.1 Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 Caùc ñònh nghóa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.2 Lieân heä giöõa heä phöông trình vaø phöông trình vi phaân caáp cao: 62

4.1.3 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.4 Caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình vi phaân: . . . . . . . . . 64

4.2 Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1 Söï toàn taïi nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.2 Thaùc trieån nghieäm vaø söï toàn taïi toaøn cuïc: . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.1 Heä tuyeán tính thuaàn nhaát: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.2 Heä PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát: . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4.1 Phöông trình ñaëc tröng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73



Muïc luïc 3

4.4.2 Heä nghieäm cô baûn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân 79

5.1 Caùc phöông phaùp giaûi tích giaûi gaàn ñuùng PTVP. . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1 Xaáp xæ Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.2 Phöông phaùp chuoãi Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.1 Phöông phaùp chuoãi Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.2 Phöông phaùp Euler vaø Euler caûi tieán. . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.3 Caùc phöông phaùp Runge−Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.4 Caùc phöông phaùp ña böôùc (multi-step): . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3 Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE. . . . . . . . . . . 90

5.3.1 Giôùi thieäu chung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.2 Veõ ñöôøng cong tích phaân vaø tröôøng caùc höôùng . . . . . . . . . . 91

5.3.3 Giaûi phöông trình vi phaân baèng MAPLE. . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.4 Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân baèng MAPLE . . . . . . . . 92

6 Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân 99

6.1 Khaùi nieäm chuoãi luyõ thöøa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2 Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. . . . . . . 101

6.2.1 Caùc ví duï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2.2 Ñieåm kyø dò cuûa phöông trình vi phaân. . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3.1 Sô löôïc veà khai trieån tieäm caän. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3.2 Daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm gaàn ñieåm kyø dò khoâng chính qui.111

6.3.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3.4 Sô löôïc veà phöông phaùp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) . . 114

A Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân. 117

A.1 Bieán ñoåi Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A.2 Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace: . . . . . . . . . 119

Taøi lieäu tham khaûo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123



4 Muïc luïc



Chöông 1

Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

1.1 Môû ñaàu

Trong raát nhieàu lónh vöïc öùng duïng, chuyeån ñoäng cuûa moät heä ñöôïc moâ hình hoaù bôûi caùcphöông trình vi phaân, töùc laø phöông trình coù chöùa caùc ñaïo haøm cuûa aån haøm caàn tìm.Chaúng haïn, trong cô hoïc coå ñieån (ñònh luaät Newton), trong thieân vaên hoïc (söï chuyeånñoäng cuûa caùc haønh tinh), trong hoaù hoïc (caùc phaûn öùng hoaù hoïc), trong sinh hoïc (söïphaùt trieån cuûa daân soá), trong ñieän töû... Trong haàu heát caùc lónh vöïc nhö theá, baøi toaùnchung nhaát laø moâ taû nghieäm cuûa caùc phöông trình naøy (caû veà ñònh tính laãn veà ñònhlöôïng).

1.1.1 Caùc khaùi nieäm

Phöông trình vi phaân thöôøng laø phöông trình coù daïng

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(m)) = 0 (1.1)

trong ñoù y = y(x) laø aån haøm caàn tìm vaø nhaát thieát phaûi coù söï tham gia cuûa ñaïo haøm(ñeán caáp naøo ñoù) cuûa aån.

Thoâng thöôøng ta xeùt caùc phöông trình vôùi aån haøm laø haøm soá moät bieán thöïc y = y(x)xaùc ñònh treân khoaûng môû I ⊂ R naøo ñoù; khi ñoù haøm F trong ñaúng thöùc treân xaùc ñònhtrong moät taäp môû G cuûa R× R

m+1. Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø vector-haøm(haøm vôùi giaù trò vector) y(x) = (y1(x), . . . , yn(x))T , F laø moät aùnh xaï nhaän giaù trò trongR

n vaø (1.1) ñöôïc hieåu laø heä phöông trình vi phaân.

Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø haøm nhieàu bieán thì phöông trình vi phaân coøngoïi laø phöông trình ñaïo haøm rieâng

Ta noùi moät phöông trình vi phaân coù caáp m neáu m laø caáp lôùn nhaát cuûa ñaïo haøm cuûaaån coù maët trong phöông trình.

Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I coù daïng toång quaùt

F (x, y, y′) = 0 (1.2)



6 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

trong ñoù F (x, y, z) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù treânmieàn G ⊂ R

3. Vôùi moät soá ñieàu kieän naøo ñaáy, phöông trình vi phaân caáp I coù theå vieátñöôïc döôùi daïng sau, goïi laø daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm

y′ = f(x, y) (1.3)

vôùi f lieân tuïc trong moät mieàn D ⊂ R2.

Ví duï: Caùc phöông trìnhey + y′2 cos x = 1

y′′′2 − 2xy = lnx∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0

laàn löôït laø phöông trình vi phaân thöôøng caáp I, caáp III vaø phöông trình ñaïo haøm rieângcaáp II.

Xeùt phöông trình (1.1), haøm giaù trò vector y : I → Rn (I = (a, b) laø khoaûng naøo ñoù

cuûa R) laø nghieäm cuûa phöông trình (1.1) neáu noù coù caùc ñaïo haøm lieân tuïc ñeán caáp mtreân I vaø thoaû maõn

F (x, y(x), y′(x), y′′(x), . . . , y(m))(x) = 0 vôùi moïi x ∈ I (1.4)

Trong tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp I, nghieäm laø moät haøm thöïc moät aån y = y(x)maø khi thay vaøo (1.2), ta ñöôïc moät ñaúng thöùc ñuùng.

Ví duï: Deã kieåm tra raèng hoï haøm (phuï thuoäc vaøo hai tham soá tuyø yù)

y = C1 cosx+ C2 sin x

laø nghieäm cuûa phöông trình vi phaân

y′′ + y = 0

Ví duï: (Saên moài vaø moài) Söï phaùt trieån cuûa hai quaàn theå ñoäng vaät (chaúng haïn, x =x(t) laø soá con meøo vaø y = y(t) laø soá con chuoät) ñöôïc moâ taû bôûi (heä) phöông trìnhVolterra−Lotka sau ñaây

y′ = y(α− βx), x′ = x(γy − δ) (1.5)

vôùi α, β, γ vaø δ laø nhöõng haèng soá cho tröôùc.

Ñeå tìm nghieäm cuûa phöông trình naøy ta coù theå xem y nhö laø haøm theo x, phöôngtrình coù theå vieát döôùi daïng

dy

dx=y(α− βx)x(γy − δ) hay

(γy − δ)y

dy =(α− βx)

xdx

Nghieäm cuûa phöông trình naøy cho bôûi

γy − δ ln y = α ln x− βx+ C

trong ñoù C laø haèng soá tuyø yù. Hình 1.1 moâ taû caùc ñöôøng möùc cuûa nghieäm khi α = β =γ = 1, δ = 2.



1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 7

1 2 3 4

1

2

3

yy

zzX

Hình 1.1: Nghieäm cuûa phöông trình Volterra−Lotka.

1.1.2 Baøi toaùn Cauchy

Ta nhaän xeùt raèng noùi chung, nghieäm cuûa moät phöông trình vi phaân phuï thuoäc vaøo moäthay nhieàu tham soá tuyø yù naøo ñoù; noùi caùch khaùc ta coù töøng hoï nghieäm. Ñeå xaùc ñònhnghieäm cuï theå naøo ñoù, noùi chung ta caàn theâm moät hay vaøi ñaëc tröng khaùc veà nghieäm(tuyø theo caáp cuûa phöông trình vi phaân). Chaúng haïn, y = x3

3+ C laø (hoï) nghieäm cuûa

phöông trình y ′ = x2. Deã thaáy y = x3

3+1 laø nghieäm (duy nhaát) thoaû ñieàu kieän y(0) = 1.

Ta xeùt baøi toaùn sau ñaây ñaët ra ñoái vôùi phöông trình (1.2), goïi laø baøi toaùn Cauchy(coøn goïi laø baøi toaùn giaù trò ban ñaàu):

Tìm nghieäm y(x) cuûa phöông trình (1.2) thoaû

y(x0) = y0 (1.6)

trong ñoù (x0, y0) ∈ D ñöôïc goïi laø caùc ñieàu kieän ban ñaàu.

Caâu hoûi töï nhieân ñaët ra laø vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (1.6), coù hay khoâng vaø bao nhieâunghieäm thoaû maõn ñieàu kieän naøy. Traû lôøi caâu hoûi naøy töùc laø giaûi baøi toaùn Cauchy ñoáivôùi phöông trình (1.2). Ta löu yù raèng khoâng phaûi luùc naøo baøi toaùn Cauchy cuõng coùnghieäm, vaø khi coù nghieäm cuõng khoâng nhaát thieát coù duy nhaát nghieäm. Trong muïc sauta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh moät ñònh lyù giaûi quyeát troïn veïn baøi toaùn Cauchy chophöông trình vi phaân caáp I.

1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm

1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard

Ta xeùt baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình caáp I daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm:

y′ = f(x, y), y(x0) = y0 (1.7)




trong ñoù f xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân mieàn môû D ⊂ R2.

Giaû söû y(x) laø nghieäm cuûa baøi toaùn (1.7), tích phaân hai veá cuûa phöông trình trong(1.7) ta ñöôïc phöông trình tích phaân cho y(x) laø

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, y(t))dt (1.8)

Roõ raøng moãi nghieäm cuûa (1.7) cuõng laø nghieäm cuûa (1.8) vaø ngöôïc laïi, moãi nghieämcuûa (1.8) ñeàu khaû vi lieân tuïc (töùc laø thuoäc lôùp C1) treân moät khoaûng I naøo ñoù vaø thoaûphöông trình (1.7).

Pheùp laëp Picard−Lindelof.Veà maët toaùn töû, nghieäm cuûa phöông trình tích phaân (1.8) chính laø lôøi giaûi cuûa baøitoaùn ñieåm baát ñoäng cuûa caùc aùnh xaï co trong khoâng gian metric ñaày ñuû (ôû ñaây ta xeùtkhoâng gian caùc haøm khaû vi lieân tuïc treân I) maø lôøi giaûi coù theå cho bôûi phöông phaùpxaáp xæ lieân tieáp Picard−Lindelof sau ñaây.

Xeùt daõy caùc haøm xaùc ñònh moät caùch ñeä qui bôûi

y0(x) = y0 (hay moät haøm naøo ñoù)yk+1(x) = y0 +

∫ x

x0f(t, yk(t))dt, vôùi k ∈ N

Boå ñeà 1.2.1. Giaû söû f lieân tuïc treân hình chöõ nhaät

D = {(x, y)/|x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}

Ñaët M := max(x,y)∈D |f(x, y)| vaø h := min

(a,

b

M

). Khi ñoù vôùi moïi x ∈ I := [x0 −

h, x0 + h] ta coù

|yk(x)− y0| ≤ b, vôùi moïik

Noùi caùch khaùc, caùc haøm yk khoâng ñi ra khoûi hình chöõ nhaät D.

Chöùng minh: Ta coù, vôùi x0 − h ≤ x ≤ x0 + h:

|yk − y0| =∣∣∣∣∫ x

x0

f(t, yk−1(t))dt

∣∣∣∣ ≤∫ x

x0

|f(t, yk−1(t))| dt ≤M |x− x0| ≤Mh ≤ b

�

Ví duï: Xeùt phöông trình y′ = −y2, vôùi y(0) = 1. Nghieäm chính xaùc cuûa noù laø

y =1

x+ 1. Vaøi xaáp xæ ñaàu tieân trong pheùp laëp Picard-Lindelof laø y0 = 1, y1 = 1− x,

y2 = 1− x+ x2 − x3

3...(xem Hình 1.2). Ta nhaän thaáy caùc xaáp xæ yk hoäi tuï nhanh khi x

beù, vôùi caùc giaù trò x lôùn pheùp laëp laø phaân kyø.




1 2 3 4

Y (x)2

Y (x)0

Y (x)4

Y (x)1

Y (x)3

Hình 1.2: Pheùp laëp Picard−Lindelof cho phöông trình y′ = −y2, vôùi y(0) = 1

1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm

Trong phaàn naøy ta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh ñònh lyù cô baûn cuûa lyù thuyeát phöôngtrình vi phaân, khaúng ñònh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy.

Ñònh nghóa 1.2.1. Cho haøm f(x, y) xaùc ñònh treân mieàn D ⊂ R2. Ta noùi f thoaû ñieàu

kieän Lipschitz treân D theo bieán y neáu toàn taïi haèng soá döông L (goïi laø haèng soáLipschitz) sao cho:

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L |y1 − y2| , vôùi moïi (x, y1), (x, y2) ∈ D

Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø yeáu hôn so vôùi ñieàu kieän giôùi noäi cuûa ñaïo haøm

rieâng∂f

∂ytreân D. Thaät vaäy, giaû söû

∂f

∂ylieân tuïc vaø

∣∣∣∣∂f∂y∣∣∣∣ ≤ M . Khi ñoù, aùp duïng ñònh

lyù Lagrange cho haøm f(x, y) theo bieán y ta ñöôïc

f(x, y1)− f(x, y2) = (y1 − y2)∂f

∂y[x, y1 + θ(y2 − y1)]

Töø ñoù suy ra ñieàu kieän Lipschitz.

Ñònh lyù 1.2.2 (Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû haøm soá f(x, y) trong(1.3) lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo bieán y treân hình chöõ nhaät

D = {(x, y)/ |x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}

Khi ñoù nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy (1.7) laø toàn taïi vaø duy nhaát trong ñoaïn I :=[x0 − h, x0 + h], vôùi h := min(a, b

M) vaø M := max(x,y)∈D |f(x, y)|.

Chöùng minh: Chöùng minh chia laøm hai böôùc:




Söï toàn taïi:

Ta chöùng minh raèng pheùp laëp Picard hoäi tuï ñeàu treân I ñeán moät nghieäm cuûa baøi toaùnCauchy. Tröôùc tieân ta chöùng minh, baèng qui naïp raèng

|yk+1(x)− yk(x)| ≤ MLk |x− x0|k+1

(k + 1)!, vôùi moïi x ∈ I

Vôùi k = 0, baát ñaúng thöùc treân chính laø∣∣∣∫ x

x0f(t, yk−1(t))dt

∣∣∣ ≤M |x− x0|, baát ñaúng thöùc

naøy ñuùng.

Giaû söû ta coù ñieàu ñoù vôùi k − 1, khi ñoù vôùi x0 ≤ x ≤ x0 + h ta coù

|yk+1(x)− yk(x)| =∣∣∣∣∫ x

x0

[f(t, yk(t))− f(t, yk−1(t))] dt

∣∣∣∣≤∫ x

x0

|f(t, yk(t))− f(t, yk−1(t))| dt ≤ L

∫ x

x0

|yk(t)− yk−1(t)| dt

≤ L

∫ x

x0

|yk(t)− yk−1(t)| dt

≤MLk

∫ x

x0

|x− x0|kk!

dt = MLk |x− x0|k+1

(k + 1)!

(vôùi x0 − h ≤ x ≤ x0 ta ñaùnh giaù töông töï).

Xeùt daõy haøm {yk(x)} treân I , ta coù

|yk+p(x)− yk(x)| ≤ |yk+p(x)− yk+p−1(x)|+ |yk+p−1(x)− yk+p−2(x)|+ · · ·+ |yk+1(x)− yk(x)|

≤ M

L

{(L |x− x0|)k+p

(k + p)!+ · · ·+ (L |x− x0|)k+1

(k + 1)!

}

≤ M

L

∑j≥k+1

(Lh)j

j!

Chuoåi soá∑∞

j=0

(Lh)j

j!laø hoäi tuï, neân phaàn dö cuûa noù maø xuaát hieän trong bieåu thöùc cuoái

cuøng coù theå laøm cho beù tuyø yù khi k ñuû lôùn. Theo tieâu chuaån Cauchy, daõy {yk(x)} hoäituï ñeàu treân I ñeán haøm y(x). Ñeå chöùng minh y(x) laø nghieäm chæ caàn qua giôùi haïn trongñaúng thöùc

yk+1(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, yk(t))dt

Vì daõy haøm {yk(x)} hoäi tuï ñeàu, f lieân tuïc (ñeàu) treân hình chöõ nhaät D neân daõy haøm{f(t, yk(t))} hoäi tuï ñeàu treân I ñeán haøm f(t, y(t)). Do ñoù coù theå chuyeån giôùi haïn quadaáu tích phaân ñeå ñöôïc ñaúng thöùc (1.8). Vaäy y(x) chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy(1.7).




Tính duy nhaát:

Giaû söû baøi toaùn Cauchy (1.7) coøn coù nghieäm z(x), khi ñoù ta coù

y(x)− z(x) =

∫ x

x0

[f(t, y(t))− f(t, z(t))] dt

Suy ra

|y(x)− z(x)| =∣∣∣∣∫ x

x0

[f(t, y(t))− f(t, z(t))] dt

∣∣∣∣ ≤ 2M |x− x0|

Laëp laïi caùc böôùc qui naïp nhö treân, ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng vôùi moïi soá töïnhieân k:

|y(x)− z(x)| ≤ 2MLk |x− x0|k+1

(k + 1)!, vôùi moïi x ∈ I

Cho k −→ +∞ ta coù |y(x)− z(x)| = 0 treân I . Nhö vaäy, moät caùch ñòa phöông, nghieämy(x) laø duy nhaát. �

Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø quan troïng, ngay caû khi f(x, y) lieân tuïc treân R2.

Chaúng haïn xeùt phöông trình

y′ = 2√|y|, y(0) = 0

Ta thaáy ngay y ≡ 0 laø moät nghieäm. Ngoaøi ra coøn coù voâ soá nghieäm khaùc (xem hình1.3) laø

y(x) =

{(x− C)2 neáu x ≥ C0 neáu x ≤ C

vaø y(x) =

{0 neáu x ≥ C−(x− C)2 neáu x ≤ C

Noùi caùch khaùc, tính duy nhaát nghieäm bò vi phaïm.

Nhaän xeùt: Thöïc chaát chöùng minh laø duøng nguyeân lyù aùnh xaï co trong caùc khoâng gianmetric ñuû.

Ñònh nghóa 1.2.2. Cho khoâng gian metric E vôùi metric d. AÙnh xaï T : E → E ñöôïcgoïi laø aùnh xaï co neáu toàn taïi soá α ∈ (0, 1) sao cho vôùi moïi caëp phaàn töû x, y ∈ E tañeàu coù

d(Tx, Ty) ≤ αd(x, y)

Ñònh lyù 1.2.3 (Nguyeân lyù aùnh xaï co). Moïi aùnh xaï co T trong khoâng gian metric ñuûñeàu coù duy nhaát moät ñieåm baát ñoäng. Töùc laø ñieåm x∗ ∈ E sao cho

T (x∗) = x∗




1 2 3-3 -2 -1

1

-1

Hình 1.3: Nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy y′ = 2√|y|, y(0) = 0

1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân

1.3.1 Caùc ñònh nghóa:

Veà maët hình hoïc, baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân caáp I coù theå hieåu laø tìmnghieäm y = y(x) cuûa (1.3) maø ñoà thò cuûa haøm soá y = y(x) (coøn goïi laø ñöôøng congtích phaân cuûa phöông trình vi phaân) ñi qua ñieåm (x0, y0). Noùi caùch khaùc, baøi toaùnCauchy laø tìm ñöôøng cong tích phaân cuûa phöông trình (1.3) ñi qua ñieåm (x0, y0) ∈ Dcho tröôùc.

Ñònh nghóa 1.3.1. Giaû söû D ⊂ R2 sao cho veá phaûi cuûa phöông trình (1.3) xaùc ñònh vaø

lieân tuïc treân D. Haøm soá y = y(x, C) phuï thuoäc lieân tuïc vaøo haèng soá C ñöôïc goïi laønghieäm toång quaùt cuûa (1.3) neáu:

a) Vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu (x0, y0) ∈ D ta luoân giaûi ñöôïc C döôùi daïng

C = ϕ(x0, y0) (∗)trong ñoù ϕ laø haøm lieân tuïc.

b) Haøm y = y(x, C) thoaû maõn phöông trình (1.3) vôùi moãi giaù trò cuûa C cho bôûi (∗)khi (x0, y0) chaïy khaép D.

Khi ñoù heä thöùc ϕ(x, y) = C (hoaëc chính haøm ϕ(x, y)) ñöôïc goïi laø tích phaân toångquaùt cuûa phöông trình (1.3).

Ví duï: Phöông trình y′ + y = 0 coù nghieäm toång quaùt laø y(x) = Ce−x vôùi C laø haèngsoá tuyø yù.

Ñònh nghóa 1.3.2. • Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tínhchaát duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy ñöôïc thoaû maõn ñöôïc goïi laø nghieämrieâng.

• Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieämcuûa baøi toaùn Cauchy bò vi phaïm ñöôïc goïi laø nghieäm kyø dò.



1.3. Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân 13

Nhaän xeùt: Töø ñònh nghóa nghieäm toång quaùt, ta suy ra raèng vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu(x0, y0) ∈ D, ta luoân tìm ñöôïc C0 = ϕ(x0, y0) sao cho y = y(x, C0) laø nghieäm cuûa baøitoaùn Cauchy töông öùng. Noùi caùch khaùc, baèng caùch choïn caùc giaù trò thích hôïp cho haèngsoá, ta coù theå thu ñöôïc caùc nghieäm rieâng tuyø yù cuûa phöông trình, khoâng keå caùc nghieämkyø dò.

Giaûi (hay coøn goïi laø tích phaân) moät phöông trình vi phaân laø tìm taát caû caùc nghieäm(bieåu thöùc nghieäm toång quaùt) cuûa phöông trình ñoù hoaëc nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchyvôùi ñieàu kieän ban ñaàu cho tröôùc.

Ví duï: Tìm nghieäm rieâng y(x) cuûa phöông trình y ′ = 3y + x thoaû ñieàu kieän y(0) = 1.

Ta deã kieåm tra raèng nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y = −x3− 1

9+Ce3x.

Ñeå tìm nghieäm rieâng thoaû ñieàu kieän nhö treân ta chæ caàn thay caùc giaù trò ban ñaàu vaøtính C.

1 = y(0) = −1

9+ Ce0

Suy ra C =10

9, nghieäm caàn tìm laø y = −x

3− 1

9+

10

9e3x.

1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân:

Xeùt phöông trình vi phaân (1.3), vôùi f(x, y) lieân tuïc treân mieàn môû trong R2. Taïi moãi

ñieåm M(x, y) thuoäc mieàn naøy, ta gaùn cho noù moät höôùng vôùi heä soá goùc laø

k =dy

dx= f(x, y)

Khi ñoù ta thu ñöôïc moät tröôøng caùc höôùng xaùc ñònh bôûi (1.3), vaø dó nhieân höôùng cuûatieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong taïi moãi ñieåm truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng taïi ñieåm ñoù. Giaûimoät phöông trình vi phaân daïng (1.3) veà maët hình hoïc laø tìm taát caû caùc ñöôøng cong saocho taïi moãi ñieåm cuûa noù höôùng cuûa tieáp tuyeán truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng.

Ngöôïc laïi, cho tröôùc hoï ñöôøng cong

y = ϕ(x, C) (∗)

phuï thuoäc vaøo tham soá C sao cho qua moãi ñieåm chæ coù duy nhaát moät ñöôøng cong cuûahoï ñi qua. Ta seõ laäp phöông trình vi phaân nhaän hoï ñöôøng cong naøy laøm nghieäm toångquaùt nhö sau. Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình treân theo x, ta ñöôïc

dy

dx=∂ϕ

∂x(x, C)

Töø phöông trình (∗), vôùi moãi (x, y) ta luoân tìm ñöôïc duy nhaát giaù trò C = C(x, y). ThayC vaøo ñaúng thöùc treân ta nhaän ñöôïc

y′ =∂ϕ

∂x(x, C(x, y)) =: f(x, y)




–3

–2

–1

1

2

y(x)

–3 –2 –1 1 2 3x

Hình 1.4: Tröôøng höôùng cuûa phöông trình y ′ = −yx

vaø ñaây laø phöông trình vi phaân caàn tìm.

Ví duï: Tìm phöông trình vi phaân cuûa hoï ñöôøng cong sau:

y = Cx2

Ñaïo haøm hai veá theo x ta ñöôïc y′ = 2Cx. Khöû C ta thu ñöôïc phöông trình vi phaân:

y′ = 2y

x

1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I

Trong baøi naøy ta seõ giôùi thieäu moät soá daïng phöông trình vi phaân caáp I maø coù theå tíchphaân ñöôïc theo nghóa coù theå vieát bieåu thöùc cuûa nghieäm toång quaùt döôùi daïng töôøngminh hoaëc phuï thuoäc tham soá. Löu yù raèng ta khoâng coù phöông phaùp giaûi toång quaùtcho phöông trình vi phaân, thaäm chí caáp I.

1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly:

Phöông trình vi phaân caáp I daïng

M(x)dx+N(y)dy = 0 (1.9)

ñöôïc goïi laø phöông trình vôùi bieán soá phaân ly (hay coøn goïi phöông trình taùchbieán).



1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 15

Caùch giaûi: Caùc haøm M(x), N(y) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc treân caùc khoaûng naøo ñoù.Khi ñoù chæ caàn tích phaân hai veá cuûa (1.9) ta thu ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa noù laø∫

M(x)dx+

∫N(y)dy = C

Ví duï: Giaûi phöông trình y2y′ = x(1 + x2).

Phöông trình naøy coù daïng taùch bieán

y2dy − x(1 + x2)dx = 0

Tích phaân hai veá ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt laø:

y3

3− x2

2− x4

4= C

Nhaän xeùt: Phöông trình daïng

M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy (1.10)

cuõng ñöa ñöôïc veà daïng (1.9) vôùi bieán soá phaân ly, baèng caùch chia hai veá choM2(x)N1(y)(vôùi giaû thieát bieåu thöùc naøy khaùc 0)

M1(x)

M2(x)dx+

N2(y)

N1(y)dy = 0

Do ñoù tích phaân toång quaùt laø∫M1(x)

M2(x)dx+

∫N2(y)

N1(y)dy = C

Ví duï: Giaûi phöông trình x(1 + y2)dx+ y(1 + x2)dy = 0

Chia hai veá cho (1 + x2)(1 + y2) ta ñöôïc

xdx

1 + x2+

ydy

1 + y2= 0

Tích phaân hai veá ta ñöôïc ∫xdx

1 + x2+

∫ydy

1 + y2= C

töùc laø1

2ln(1 + x2) +

1

2ln(1 + y2) = C :=

1

2lnC1

Vaäy tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø (1 + x2)(1 + y2) = C1 trong ñoù C1

laø haèng soá tuyø yù.




1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát:

Haøm soá f(x, y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát baäc m neáu vôùi moïi t > 0 ta coù

f(tx, ty) = tmf(x, y)

Phöông trình vi phaân y′ = f(x, y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát (hay coøn goïi ñaúng caáp)neáu haøm soá ôû veá phaûi laø haøm thuaàn nhaát baäc 0, töùc laø f(tx, ty) = f(x, y) vôùi moïit > 0.

Nhaän xeùt: Neáu ñaët u :=y

xta coù f(x, y) = f(± |x| , |x| y|x|) = f(±1,±u) =: g(u).

Caùch giaûi:

Ñaët y = xu, ta coùdy

dx= x

du

dx+ u. Töø ñoù

xdu

dx+ u = g(u)

hoaëc döôùi daïng taùch bieándu

g(u)− u =dx

x

Tích phaân hai veá ta ñöôïc ∫du

g(u)− u = ln∣∣∣ xC

∣∣∣hay

x = C exp

∫du

g(u)− u vôùi C = 0

Thay u =y

xvaøo bieåu thöùc treân ta tìm ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn

nhaát.

Ví duï: Giaûi phöông trình (x2 + y2)dx+ xydy = 0

Ta coù theå vieát phöông trình ñaõ cho döôùi daïng

dy

dx= −y

x− x

y

Veá phaûi cuûa phöông trình naøy laø haøm thuaàn nhaát.

Ñaët y = xu ta coù xdu

dx+ u+ u+

1

u= 0, hay töông ñöông vôùi

dx

x= − udu

1 + 2u2

Tích phaân phöông trình naøy ta ñöôïc

ln∣∣∣ xC

∣∣∣ = −1

4ln(1 + 2u2)




Thay u =y

xvaøo ñaúng thöùc naøy ta ñöôïc nghieäm

x4 =C4x2

x2 + 2y2

vôùi C = 0.

Phöông trình ñöa veà thuaàn nhaát:

Caùc phöông trình daïngdy

dx= f(

ax+ by + c

a1x+ b1y + c1)

coù theå ñöa veà daïng thuaàn nhaát baèng pheùp bieán ñoåi{x = ξ + x0

y = η + y0

trong ñoù x0 vaø y0 ñöôïc choïn sao cho:{ax0 + by0 + c = 0a1x0 + b1y0 + c1 = 0

Khi ñoùdη

dξ= f

(aξ + bη

a1ξ + b1η

)

= f

(a + bη

ξ

a1 + b1ηξ

)= g

(η

ξ

)vaø ñaây chính laø phöông trình daïng thuaàn nhaát.

Ví duï: Giaûi phöông trình (2x− 4y + 6)dx+ (x+ y − 3)dy = 0.

Tröôùc heát ta xeùt heä phöông trình sau{2x0 − 4y0 + 6 = 0x0 + y0 − 3 = 0

Heä naøy coù nghieäm laø x0 = 1, y0 = 2. Tieáp ñeán ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán{x = ξ + 1y = η + 2

Khi ñoù phöông trình ñaõ cho ñöôïc bieán ñoåi thaønh phöông trình thuaàn nhaát:

(2ξ − 4η)dξ + (ξ + η)dη = 0

Ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñaët η = uξ thì thu ñöôïc

(2− 3u+ u2)dξ + ξ(1 + u)du = 0




Phöông trình naøy chaáp nhaän nghieäm u = 1 vaø u = 2. Ñeå tìm nghieäm toång quaùt ta chia2 veá cho 2− 3u+ u2:

dξ

ξ+

(1 + u)du

2− 3u+ u2= 0

⇔ dξ

ξ+

(3

u− 2− 2

u− 1

)du = 0

Tích phaân 2 veá ta ñöôïc

ln |ξ|+ ln|u− 2|3(u− 1)2

= lnC1

hay ξ(u− 2)3

(u− 1)2= C

Trôû laïi bieán x, y ban ñaàu ta coù nghieäm toång quaùt

(y − 2x)3 = C(y − x− 1)2

cuøng vôùi hai nghieäm y = x+ 1 vaø y = 2x töông öùng vôùi u = 1 vaø u = 2.

1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn:

Phöông trình vi phaân daïng

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 (1.11)

ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn neáu veá traùi cuûa noù laø vi phaân toaøn phaàncuûa haøm naøo ñoù, töùc laø toàn taïi haøm U(x, y) sao cho

dU(x, y) = P (x, y)dx+Q(x, y)dy

Khi ñoù tích phaân toång quaùt cuûa (1.11) cho bôûi

U(x, y) = C

Nhaän xeùt: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phöông trình (1.11) laø phöông trình vi phaân toaønphaân laø

∂P

∂y=∂Q

∂x

Vaø khi ñoù haøm U(x, y) coù theå tìm döôùi daïng:

U(x, y) =

∫ x

x0

P (x, y)dx+

∫ y

y0

Q(x0, y)dy

hay U(x, y) =

∫ x

x0

P (x, y0)dx+

∫ y

y0

Q(x, y)dy

(1.12)




trong ñoù (x0, y0) laø moät ñieåm naøo ñoù sao cho caùc tích phaân treân toàn taïi.

Ví duï: Giaûi phöông trình (x3 + xy2)dx+ (x2y + y3)dy = 0.

Ta coù P (x, y) = x3 + xy2 vaø Q(x, y) = x2y + y3 neân

∂P

∂y= 2xy =

∂Q

∂x

Heä thöùc naøy chöùng toû raèng phöông trình ñaõ cho laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn vôùihaøm U(x, y) coù theå choïn laø

U(x, y) =

∫ x

0

(x3 + xy2)dx+

∫ y

0

(0.y + y3)dy

hay U(x, y) =x4

4+x2y2

2+y4

4

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø

(x2 + y2)2 = 4C1 := C2

hayx2 + y2 = C vôùi C ≥ 0

Thöøa soá tích phaân:

Coù nhöõng tröôøng hôïp phöông trình (1.11) chöa phaûi laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn,nhöng coù theå tìm ñöôïc haøm soá µ(x, y) sao cho phöông trình sau trôû thaønh phöông trìnhvi phaân toaøn phaàn:

µ(x, y){P (x, y)dx+Q(x, y)dy} = 0

Haøm µ(x, y) nhö theá ñöôïc goïi laø thöøa soá tích phaân cuûa phöông trình (1.11). Ñieàukieän ñeå µ laø thöøa soá tích phaân laø µ phaûi thoaû maõn phöông trình:

∂

∂y(µP ) =

∂

∂x(µQ)

Hay töông ñöông

Q∂µ

∂x− P ∂µ

∂y= µ

(∂P

∂y− ∂Q

∂x

)(∗)

Khoâng coù phöông phaùp toång quaùt ñeå giaûi phöông trình ñaïo haøm rieâng naøy. Tuy nhieântrong moät vaøi tröôøng hôïp ñaëc bieät ta coù theå tìm ñöôïc µ.

Tröôøng hôïp I: µ chæ phuï thuoäc vaøo x.

Giaû söû µ > 0, khi ñoù chia hai veá cuûa (∗) cho µ, ta ñöôïc

d lnµ

dx=

∂P∂y− ∂Q

∂x

Q=: ϕ




Vaäy tröôøng hôïp naøy chæ thoaû maõn khi veá phaûi cuûa ñaúng thöùc treân khoâng phuï thuoäc vaøoy. Vôùi ñieàu kieän naøy, thöøa soá tích phaân cho bôûi:

µ(x) = exp

(∫ϕ(x)dx

)

Tröôøng hôïp II: µ chæ phuï thuoäc vaøo y.

Laøm töông töï nhö treân, thöøa soá tích phaân cho bôûi:

µ(y) = exp

(∫ψ(y)dy

)

trong ñoù ψ(y) :=

∂Q∂x− ∂P

∂y

Pñöôïc giaû thieát khoâng phuï thuoäc vaøo x.

Ví duï: Tìm thöøa soá tích phaân roài giaûi phöông trình (2xy+x2y+y3/3)dx+(x2+y2)dy =0.

Ta coù P (x, y) = 2xy + x2y + y3/3 vaø Q(x, y) = x2 + y2 neân

∂P∂y− ∂Q

∂x

Q=

2x+ x2 + y2 − 2x

x2 + y2= 1

Do ñoù coù theå choïn µ(x) = exp(∫dx) = ex ñeå cho phöông trình

ex[(2xy + x2y + y3/3)dx+ (x2 + y2)dy] = 0

laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn. Tích phaân phöông trình naøy theo coâng thöùc (1.12)ta ñöôïc tích phaân toång quaùt

yex(x2 + y2/3) = C

1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I:

Trong muïc naøy ta xeùt lôùp caùc phöông trình vi phaân maø bieåu thöùc laø tuyeán tính ñoái vôùiaån vaø ñaïo haøm cuûa noù. Caùc phöông trình nhö theá ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaântuyeán tính. Daïng toång quaùt cuûa PTVP tuyeán tính laø

y′ + p(x)y = q(x) (1.13)

trong ñoù p(x), q(x) laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng (a, b) naøo ñoù.

Neáu q(x) ≡ 0, ta coù PTVP tuyeán tính thuaàn nhaát:

y′ + p(x)y = 0 (1.14)

Caùch giaûi: Ta coù theå tìm nghieäm y cuûa (1.13) döôùi daïng tích y = u(x)v(x) (phöôngphaùp Bernoully). Thay vaøo phöông trình (1.13) ta ñöôïc

u′v + uv′ + p(x)uv = q(x) (1.15)




Ta choïn haøm v sao cho

v′ + p(x)v = 0 (1.16)

töùc laø giaûi phöông trình thuaàn nhaát töông öùng (1.14). Phöông trình naøy coù theå vieát döôùidaïng taùch bieán

dv

v= −p(x)dx

Tích phaân hai veá ta ñöôïc

ln |v| = −∫p(x)dx+ ln |C1| , vôùi C1 = 0

hay |v| = |C1| exp

{−∫p(x)dx

}

Dó nhieân v = 0 cuõng laø nghieäm cuûa (1.14), neân nghieäm toång quaùt cuûa phöông trìnhtuyeán tính thuaàn nhaát laø

v(x) = Ce−∫

p(x)dx (1.17)

Baây giôø coù theå laáy v(x) = e−∫

p(x)dx, khi ñoù phöông trình (3.3.3) trôû thaønh

u′v = f(x)

Töø ñoù ta coù

u =

∫q(x)

v(x)dx+ C

Thay bieåu thöùc cuûa u, v vaøo y ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt cuûa (1.13) laø

y = e−∫

p(x)dx

[∫q(x)e

∫p(x)dxdx+ C

](1.18)

trong ñoù C laø haèng soá tuyø yù.

Ví duï: Tìm nghieäm cuûa phöông trình vi phaân y ′ + 3xy = x ñi qua ñieåm (0, 4).

Ta coù p(x) = 3x neân∫p(x)dx = 3x2/2. Do ñoù nghieäm toång quaùt laø

y = e−3x2/2

[∫xe3x2/2dx+ C

]

= e−3x2/2

(1

3e3x2/2 + C

)=

1

3+ Ce−3x2/2

Thay x = 0 vaø y = 4 vaøo ñaúng thöùc treân, ta tìm ñöôïc C =11

3vaø nghieäm rieâng caàn tìm

laø:

y =1

3+

11

3e−3x2/2




1.4.5 Phöông trình Bernoully

Phöông trình coù daïng

y′ + p(x)y = yαg(x) (1.19)

trong ñoù α laø soá thöïc naøo ñoù, ñöôïc goïi laø phöông trình Bernoully1.

Ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñöa veà giaûi phöông trình tuyeán tính (1.13) ñaõ xeùt trongmuïc tröôùc. Roõ raøng vôùi α = 0 hay α = 1 thì (1.19) ñaõ coù daïng phöông trình tuyeán tính.

Neáu α = 0 vaø α = 1 thì ñaëtz = y1−α

Khi ñoùz′ = (1− α)y−αy′

Chia hai veá cuûa (1.19) cho y−α, roài thay bieåu thöùc cuûa z vaø z′ vaøo ñaúng thöùc ñoù tañöôïc phöông trình vi phaân tuyeán tính theo z:

z′ + (1− α)p(x)z = (1− α)g(x) (1.20)

Nhaän xeùt: Chuù yù raèng ta phaûi xeùt rieâng tröôøng hôïp y = 0 tröôùc khi chia hai veá choyα ñeå traùnh laøm maát nghieäm naøy.

Ví duï: Giaûi phöông trình xy′ − 4y = x2√yRoõ raøng ñaây laø phöông trình Bernoully vôùi α = 1/2 vaø y = 0 laø moät nghieäm cuûa

phöông trình ñaõ cho. Giaû söû y = 0, chia hai veá cho xy1/2 ta ñöôïc

y−1/2y′ − 4

xy

12 = x

Ñaët z = y12 ta ñöôïc z′ =

1

2y−1/2y′. Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta coù

z′ − 2

xz =

x

2

AÙp duïng coâng thöùc nghieäm toång quaùt (1.18), ta tìm ñöôïc nghieäm laø

z = x2

(1

2ln |x|+ C

)

Do ñoù phöông trình ñaõ cho coù nghieäm toång quaùt laø

y = x4

(1

2ln |x|+ C

)2

vaø nghieäm y = 0.1I.Bernoully (1667 1746) laø nhaø toaùn hoïc Thuïy só.




1.4.6 Phöông trình Darboux

Phöông trình Darboux2 laø phöông trình vi phaân daïng

A(x, y)dx+B(x, y)dy +H(x, y)(xdy − ydx) = 0 (1.21)

trong ñoù A,B laø caùc haøm thuaàn nhaát baäc m vaø H laø haøm thuaàn nhaát baäc nù.

Chuù yù raèng neáu n = m − 1 thì phöông trình Darboux chính laø phöông trình thuaànnhaát. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, ta luoân luoân ñöa phöông trình Darboux veà phöôngtrình Bernoully.

Thaät vaäy, ñaët y = z.x, ta coù

dy = xdz + zdx, xdy − ydx = x2d(yx

)= x2dz

Do ñoù phöông trình (1.21) coù theå vieát laïi daïng

xmA(1,y

x)dx+ xmB(1,

y

x)dy + xnH(1,

y

x)x2d(yx

)= 0

Hay, sau khi chia 2 veá cho xm vaø thu goïn, ta coù

[A(1, z) + zB(1, z)] dx+[xB(1, z) +H(1, z)xn+2−m

]dz = 0

Vôùi giaû thieát xB(1, z)+H(1, z)xn+2−m = 0, ta coù theå vieát phöông trình cuoái cuøng döôùidaïng

dx

dz+

B(1, z)

A(1, z) + zB(1, z)x = − H(1, z)

A(1, z) + zB(1, z)xn+2−m

Ñaây laø phöông trình Bernoully cuûa aån x = x(z) xem nhö haøm theo z.

Ví duï: Giaûi phöông trình xdx+ ydy + x2(xdy − ydx) = 0

Ñaây laø phöông trình Darboux, ñaët y = xz ta ñöôïc

xdx+ xz(xdz + zdx) + x4dz = 0

hay(1 + z2)dx+ (xz + x3)dz = 0

Töø ñoù ta coùdx

dz+

z

1 + z2x = − 1

1 + z2x3

Ñaây laø phöông trình Bernoully, giaûi phöông trình naøy (sau khi ñöa veà phöông trìnhtuyeán tính baäc I) ta ñöôïc nghieäm laø

1

x2= C(1 + z2) + (1 + z2) arctan z + z

Trôû laïi bieán ban ñaàu, ta coù nghieäm toång quaùt cho bôûi

C(x2 + y2) + (x2 + y2) arctan(yx

)+ xy − 1 = 0

vôùi C laø haèng soá tuyø yù.2J.G.Darboux (1842−1917) laø nhaø toaùn hoïc Phaùp




1.4.7 Phöông trình Riccati:

Phöông trình Riccati3 toång quaùt laø phöông trình vi phaân daïng

y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x) (1.22)

trong ñoù p(x), q(x) vaø r(x) laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng (a, b) naøo ñoù.

Nhaän xeùt: Phöông trình Riccati khoâng phaûi bao giôø cuõng giaûi ñöôïc baèng pheùp caàuphöông (töùc laø coù theå bieåu dieãn nghieäm döôùi daïng höõu haïn caùc pheùp laáy tích phaâncuûa caùc haøm töôøng minh naøo ñoù!). Trong vaøi tröôøng hôïp ñaëc bieät nhö p(x) ≡ 0 hayr(x) ≡ 0 ta ñöa veà phöông trình tuyeán tính hoaëc phöông trình Bernoully. Tuy nhieân tacoù keát quaû sau cho pheùp tích phaân phöông trình Riccati neáu bieát moät nghieäm naøo ñoùcuûa noù.

Meänh ñeà 1.4.1. Neáu bieát moät nghieäm cuûa phöông trình Riccati (1.22) thì coù theå ñöa noùveà phöông trình Bernoully.

Chöùng minh: Goïi moät nghieäm cuûa (1.22) laø y, töùc laø

y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x)

Ta ñaët y = y + z, trong ñoù z laø aån môùi. Thay vaøo phöông trình (1.22) ta ñöôïc

y′ + z′ = p(x)y2 + 2p(x)yz + p(x)z2 + q(x)y + q(x)z + r(x)

Töø ñoù suy raz′ − [2p(x)y + q(x)]z = p(x)z2

vaø ñaây laø phöông trình Bernoully. �

Ví duï: Giaûi phöông trình y′ + 2y(y − x) = 1

Ñaây laø phöông trình Riccati. Deã thaáy y = x laø moät nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho.Baây giôø, ñaët

y = x+ z

ta ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng

z′ + 2z(z + x) = 0

Ñaây laø phöông trình Bernoully vôùi α = 2. Ñaët u = z−1 ta ñöôïc

u′ − 2xu = 2

Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy theo (1.18) laø

u = ex2

(∫2e−x2

dx+ C

)Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø

y = x+e−x2

C + 2∫e−x2dx

, vaø y = x

3J.F.Riccati (1676−1754) laø nhaø toaùn hoïc YÙ




BAØI TAÄP

1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân taùch bieán:

(a) (xy2 + 4x)dx+ (y + x2y)dy = 0

(b) 2x√

1− y2 + yy′ = 0

(c) y′ = ex+y

(d) y ′ =x2y − yy + 1

2. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân thuaàn nhaát sau

(a) y′ =y

x− 1

(b) y ′ =2xy

x2 − y2

(c) (y2 − 3x2)dy + 2xydx = 0

(d) xy ′ = y lny

x

3. Tích phaân caùc phöông trình vi phaân sau ñaây:

(a) (x− 2y + 9)dx = (3x− y + 2)dy

(b) y ′ = 2

(y + 2

x+ y − 1

)2

4. Kieåm tra caùc phöông trình sau laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn vaø giaûi chuùng

(a)y

xdx+ (y3 + ln x)dy = 0

(b) eydx+ (xey − 2y)dy = 0

(c) 2xydx+ (x2 − y2)dy = 0

(d) [(x+ 1)ex − ey] dx = xeydy

5. Tìm thöøa soá tích phaân roài giaûi caùc phöông trình vi phaân sau

(a) (x+ y2)dx− 2xydy = 0

(b) (y2 − 6xy)dx+ (3xy − 6x2)dy = 0

(c) y(1 + xy)dx− xdy = 0

(d) xy ln ydx+ (x2 + y2√y2 + 1)dy = 0

6. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính sau

(a) y′ − 4y = x− 2x2

(b) xy ′ + y = ex




(c) y′ − y tan x =1

cosx

(d) y2dx− (2xy + 3)dy = 0

7. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Bernoully sau

(a) 3y′ + y = (1− 2x)y4

(b) yy ′ + y2 = x

(c) y′ + y = e22√y

8. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây

(a) y = xy′ + 12

(b) xy ′ − y = ln y′

(c) y = xy′ +√y′2 + 1

(d) yy ′ = 2y′2x+ 1


(a) y = xy′ + 12

(b) xy ′ − y = ln y′

(c) y = xy′ +√y′2 + 1

(d) yy ′ = 2y′2x+ 1



Chöông 2

Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûira ñoái vôùi ñaïo haøm

Trong chöông naøy ta seõ khaûo saùt caùc phöông trình vi phaân caáp moät daïng toång quaùt

F (x, y, y′) = 0 (2.1)

trong ñoù F laø haøm ba bieán lieân tuïc trong moät taäp môû G ⊂ R3 cuøng vôùi caùc ñaïo haøm

rieâng cuûa noù, ngoaøi ra∂F

∂y′khoâng ñoàng nhaát baèng khoâng.

2.1 Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëcbieät

Ta seõ khaûo saùt moät soá daïng phöông trình vi phaân caáp I daïng chöa giaûi ra ñaïo haøm ñaëcbieät maø coù theå giaûi baèng caàu phöông.

2.1.1 F chæ phuï thuoäc vaøo y′

Xeùt phöông trình daïng

F (y′) = 0 (2.2)

Giaû söû F (xem nhö haøm cuûa bieán y′) lieân tuïc vaø coù moät soá höõu haïn caùc khoâng ñieåm(chaúng haïn khi F laø ña thöùc). Khi ñoù moãi nghieäm cuûa y = y(x) cuûa phöông trình (2.2)phaûi thoaû y′(x) = k, vôùi k laø moät khoâng ñieåm cuûa F .

Do ñoù y(x) = kx+ C vôùi C laø haèng soá tuyø yù; vaø ta coù

F (y − Cx

) = 0 (2.3)



28 Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm

Ngöôïc laïi, neáu coù ñaúng thöùc (2.3) vôùi moät giaù trò C naøo ñoù thì k :=y − Cx

phaûi laø

nghieäm cuûa F = 0. Khi ñoù

y = kx+ C, y′ = k

do ñoù F (y′) = 0.

Noùi caùch khaùc, coâng thöùc (2.3) cho ta nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho.

Ví duï: Giaûi phöông trình y′2 − y′ + 2 = 0.

Phöông trình naøy coù nghieäm laø

(y − Cx

)2

− y − Cx

+ 2 = 0.

2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùi y hay x:

Giaû söû (vôùi vaøi ñieàu kieän naøo ñoù) phöông trình (2.1) coù theå giaûi ra ñöôïc y hay x.Chaúng haïn,

y = f(x, y′) (2.4)

Khi ñoù, ñaët p = y′ =dy

dxvaø xem p nhö tham soá, ta ñöôïc

y = f(x, p)

Vi phaân hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy ta ñöôïc

dy =∂f(x, p)

∂xdx+

∂f(x, p)

∂pdp

Thay dy = pdx ta ñöôïc phöông trình vi phaân daïng

M(x, p)dx+N(x, p)dp = 0

Xem x nhö laø haøm cuûa p vaø giaû söû phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø x = g(p, C).Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (2.4) ñöôïc cho döôùi daïng tham soá{

x = g(p, C)y = f(x, p)

Töông töï nhö theá, caùc phöông trình daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi x

x = h(y, y′)

cuõng giaûi ñöôïc baèng caùch ñöa vaøo tham soá p nhö treân.



2.2. Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 29

2.1.3 F khoâng phuï thuoäc vaøo y

Xeùt phöông trìnhF (x, y′) = 0 (∗)

Neáu coù theå giaûi ra ñöôïc y′ daïngy′ = f(x)

Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa (∗) laø y =

∫f(x)dx+ C.

Tröôøng hôïp ta khoâng giaûi ra ñöôïc y ′ nhöng coù theå tìm moät pheùp tham soá hoaù phöôngtrình (∗) goàm {

x = ϕ(t)y′ = ψ(t)

sao choF (ϕ(t), ψ(t)) = 0

Khi ñoù

ψ(t) = y′ =dy

dx=⇒ dy = ψ(t).ϕ′(t)dt

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (∗) cho bôûi daïng tham soá{x = ϕ(t)y =∫ψ(t)ϕ′(t)dt+ C

Ví duï: Giaûi phöông trình ln y′ + cos y′ − x = 0

Tham soá hoaù y′ = t, x = ln t+ cos t ta coù

dy = tdx vaø dx = (1

t− sin t)dt

Suy ra

y =

∫(1− t sin t)dt = t− sin t+ t cos t+ C

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø{x = ln t+ cos ty = t− sin t+ t cos t+ C

2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaøphöông trình Lagrange

2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt:

Trong phaàn naøy ta xeùt moät soá phöông trình vi phaân chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm

F (x, y, y′) = 0 (2.5)




nhöng coù theå tham soá hoaù ñöôïc döôùi daïng

x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) vaø y′ = χ(u, v)

sao cho

F [ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)] = 0

Vi phaân x vaø y theo u, v roài thay vaøo ñaúng thöùc dy = y′dx ta coù

∂ψ

∂udu+

∂ψ

∂vdv = χ(u, v)

(∂ϕ

∂udu+

∂ϕ

∂vdv

)

Xem u nhö laø haøm cuûa v ta coù phöông trình

du

dv=χ∂ϕ

∂v− ∂ψ

∂v∂ϕ

∂u− χ∂ψ

∂u

Ñaây laø daïng phöông trình ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm, giaû söû coù nghieäm laø

u = ξ(v, C)

Ta thay vaøo bieåu thöùc cuûa x vaø y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt döôùi daïng tham soá cuûaphöông trình (2.5) laø {

x = ϕ[ξ(v, C), v]y = ψ[ξ(v, C), v]

Ví duï: Giaûi phöông trình y = y′2 − y′x+x2

2

Ta coù theå tham soá hoaù phöông trình baèng caùch ñaët x = x, y′ = p vaø y = p2−px+x2

2(xem x vaø p laø hai tham soá). Khi ñoù, vi phaân ñaúng thöùc cuoái ta ñöôïc

dy = (x− p)dx+ (2p− x)dp

Ñeå yù raèng dy = pdx, töø ñaúng thöùc treân, neáu 2p−x = 0 ta coùdp

dx= 1, suy ra p = x+C.

Do ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø

y =x2

2+ Cx+ C2

Neáu 2p − x = 0 ta coù p =x

2, thay vaøo bieåu thöùc tham soá hoaù ta coù nghieäm y =

x4

2,

nghieäm naøy laø nghieäm kyø dò.



2.2. Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 31

2.2.2 Phöông trình Clairaut

Phöông trình Clairaut laø lôùp caùc phöông trình vi phaân daïng

y = xy′ + f(y′) (2.6)

trong ñoù, noùi chung, f laø moät haøm phi tuyeán.

Ta seõ tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy baèng caùch ñaët p = y′. Khi ñoù

y = px+ f(p)

Vi phaân hai veá ñaúng thöùc naøy, vôùi chuù yù raèng dy = pdx ta ñöôïc

pdx = pdx+ {x+ f ′(p)} dphay {x+ f ′(p)} dp = 0

Töø ñoù ta suy ra dp = 0 hay x+ f ′(p) = 0.

Neáu dp = 0 thì p = C, thay vaøo (2.6) ta ñöôïc nghieäm toång quaùt

y = Cx+ f(C) (∗)

vaø ñaây laø moät hoï ñöôøng thaúng.

Neáu x+ f ′(p) = 0, cuøng vôùi (2.6), ta thu ñöôïc moät nghieäm cho döôùi daïng tham soá

{x = −f ′(p)y = −pf ′(p) + f(p)

Ngöôøi ta chöùng minh raèng neáu f ′′(p) lieân tuïc vaø khaùc khoâng thì nghieäm cho döôùi daïngtham soá laø bao hình cuûa hoï ñöôøng thaúng (∗).Ví duï: Xeùt phöông trình y = (x− 1)y′ − y′2

Ñaây laø phöông trình Clairaut vôùi f(t) = −t2 − t. Thay theá y′ bôûi C ta ñöôïc nghieämtoång quaùt laø hoï ñöôøng thaúng

y = C(x− 1)− C2

Ñeå tìm nghieäm kyø dò, töùc laø bao hình cuûa hoï ñöôøng thaúng treân ta xeùt heä{x = 2C + 1y = C(x− 1)− C2

Khöû C töø heä phöông trình naøy ta ñöôïc bao hình laø parabol y =(x− 1)2

4(xem Hình

2.1).




-3 3

-3

0

3

Hình 2.1: Nghieäm cuûa phöông trình Clairaut vôùi f(t) = −t2 − t.

2.2.3 Phöông trình Lagrange

Phöông trình vi phaân caáp I maø laø tuyeán tính ñoái vôùi x vaø y daïng

y = ϕ(y′)x+ ψ(y′) (2.7)

ñöôïc goïi laø phöông trình Lagrange1.

Giaû söû ϕ(y′) = y′, neáu khoâng phöông trình ñaõ cho laø phöông trình Clairaut maø ta ñaõxeùt treân ñaây. Cuõng töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình Clairaut, ta ñaët p = y ′. Khiñoù phöông trình (2.7) trôû thaønh

y = ϕ(p)x+ ψ(p) (∗)Vi phaân hai veá theo x ta ñöôïc

p =dy

dx= ϕ(p) + {ϕ′(p)x+ ψ′(p)} dp

dx

Xem p laø bieán soá ñoäc laäp ta coù phöông trình tuyeán tính maø aån laø x = x(p) nhö sau:

dx

dp+

ϕ′(p)ϕ(p)− px =

ϕ′(p)p− ϕ(p)

Tích phaân phöông trình tuyeán tính naøy theo phöông phaùp ñaõ bieát ta ñöôïc nghieäm toångquaùt x = h(p, C), vôùi C laø tham soá tuyø yù.

Keát hôïp vôùi (∗) ta coù nghieäm toång quaùt cuûa (2.7) cho döôùi daïng tham soá tham soáhoaù theo tham soá p: {

y = ϕ(p)h(p, C) + ψ(p)x = h(p, C)

1J.L.Lagrange (1736 − 1813) laø nhaø toaùn hoïc noåi tieáng ngöôøi Phaùp.



2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 33

Nhaän xeùt: Chuù yù raèng öùng vôùi caùc giaù trò cuûa tham soá p = pi (trong ñoù pi laø nghieämcuûa phöông trình ϕ(p)− p = 0) ta cuõng nhaän ñöôïc caùc nghieäm cuûa phöông trình (2.7).Tuyø theo töøng tröôøng hôïp nghieäm naøy coù theå laø nghieäm kyø dò hoaëc khoâng.

Ví duï: Giaûi phöông trình y = xy′2 − y′.Ñaët p = y′, khi ñoù

y = xp2 − pVi phaân hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy theo x vôùi chuù yù dy = pdx, sau khi thu goïn ta ñöôïc

(p2 − p)dx+ (2px− 1)dp = 0

Giaû söû p2 − p = 0 ta coùdx

dp+

2

p− 1x =

1

p(p− 1)

Giaûi phöông trình naøy ta ñöôïc:

x =C + p− ln p

(p− 1)2

Thay vaøo bieåu thöùc cuûa y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt daïng tham soá:{x = C+p−lnp

(p−1)2

y = (C+p−ln p)p2

(p−1)2− p

Caùc nghieäm öùng vôùi p = 0 vaø p = 1 laø y = 0 vaø y = x− 1 töông öùng.

2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I

2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò

Trong chöông tröôùc ta ñaõ ñeà caäp ñeán söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñoái vôùi PTVP caápI daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm

dy

dx= f(x, y)

Trong muïc naøy ta xeùt tröôøng hôïp PTVP caáp I daïng toång quaùt

F (x, y, y′) = 0 (2.8)

Noùi chung ta khoâng luoân luoân vieát phöông trình naøy döôùi daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùiñaïo haøm. Ñieàu ñoù cho thaáy raèng tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa phöông trình vi phaân(2.8), vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (x0, y0), khoâng phaûi luùc naøo cuõng ñöôïc baûo ñaûm. Noùicaùch khaùc, qua ñieåm (x0, y0) ∈ R

2 coù theå coù nhieàu nghieäm cuûa (2.8) ñi qua.




Ví duï: Phöông trình Clairaut (2.6) vôùi f(t) = −t2 − t coù nghieäm kyø dò laø parabol(x− 1)2

4(xem hình 2.1). Taïi moãi ñieåm doïc theo parabol naøy coù toàn taïi moät nghieäm

khaùc maø ñoà thò laø ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi parabol noùi treân taïi ñieåm ñoù.

Ñònh lyù sau ñaây khaúng ñònh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm trong tröôøng hôïp toångquaùt.

Ñònh lyù 2.3.1. Neáu haøm F (x, y, p) thoaû caùc ñieàu kieän sau:

i) F (x, y, p) lieân tuïc cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù trong laân caän cuûa (x0, y0, p0) ∈R

3 (töùc laø F thuoäc lôùp C1 trong laân caän ñieåm naøy)

ii) F (x0, y0, p0) = 0

iii)∂F

∂p(x0, y0, p0) = 0

thì phöông trình (2.8) coù duy nhaát moät nghieäm y = y(x) lôùp C1 trong laân caän cuûa x0

thoaû ñieàu kieän ban ñaàu:

y(x0) = y0 sao cho y′(x0) = p0

Chöùng minh: Caùc giaû thieát trong ñònh lyù treân chính laø caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù haømaån, do ñoù phöông trình (2.8) xaùc ñònh duy nhaát haøm p = f(x, y) lôùp C 1 sao chop0 = f(x0, y0). Khi ñoù ta coù phöông trình vi phaân daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm

dy

dx= f(x, y)

trong ñoù f khaû vi lieân tuïc. Tính chaát naøy maïnh hôn ñieàu kieän Lipchitz neân theo ñònhlyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm (cho phöông trình ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm), ta thaáycoù toàn taïi duy nhaát moät nghieäm y = y(x) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu y(x0) = y0. �

2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán

Ñònh lyù treân cho thaáy nghieäm kyø dò coù theå xaûy ra khi caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù khoângthoaû maõn. Roõ raøng vôùi haøm F = F (x, y, p) khaû vi lieân tuïc, nghieäm kyø dò chæ coù theåxaûy ra neáu taïi ñoù

∂F

∂p= 0

Ta goïiM ⊂ R3 laø sieâu maët cho bôûi phöông trình F (x, y, p) = 0 vaø giaû söû π : M −→ R

2,π(x, y, p) = (x, y) laø pheùp chieáu töï nhieân theo toaï ñoä p. Khi ñoù caùc ñieåm kyø dò cuûaaùnh xaï π cho bôûi heä phöông trình

F (x, y, p) = 0∂F

∂p= 0

(∗)




Khöû p töø heä phöông trình naøy ta thu ñöôïc moät phöông trình daïng

Φ(x, y) = 0 (2.9)

Phöông trình naøy xaùc ñònh moät ñöôøng cong trong R2, ñöôïc goïi laø ñöôøng cong bieät

laäp (discriminant) hay p−bieät tuyeán cuûa phöông trình (2.8).

Vaäy ñeå tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán tröôùc heát ta tìm p− bieät tuyeán cho bôûiheä (∗), sau ñoù thöû xem bieät tuyeán coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình (2.8) hay khoâng.Cuoái cuøng trong soá caùc nghieäm naøy choïn ra caùc nghieäm maø doïc theo noù tính duy nhaátbò vi phaïm; ñoù chính laø nghieäm kyø dò.

Ví duï: Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình y = 2xy ′ − y′2

Ta coù bieät tuyeán cho bôûi

y = 2xp− p2, 2x− 2p = 0

Töø ñoù bieät tuyeán laø parabol y = x2 trong maët phaúng (x, y). Tuy nhieân, y = x2 laïikhoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho, neân phöông trình khoâng coù nghieäm kyødò.

Ví duï: Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình y = y ′2 − xy′ + x2

2

Ta coù p−bieät tuyeán cho bôûi

y = p2 − xpx2

2, 2p− x = 0

Töø ñoù ta coù bieät tuyeán laø parabol y =x2

4vaø cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho.

Ngoaøi ra nghieäm toång quaùt cuûa noù laø (xem ví duï trang 30)

y = Cx+ C2 +x2

2

Do ñoù vôùi moïi ñieåm (x0, y0) treân parabol naøy, i.e. y0 =x2

0

4, ta xeùt phöông trình theo

C:

y0 = Cx0 + C2 +x2

0

2hay C2 + x0C +

x20

4= 0

Phöông trình naøy luoân coù nghieäm C = −x0

2, töùc laø luoân coù nghieäm thöù hai ñi qua

(x0, y0).

Vaäy y =x2

4laø nghieäm kyø dò cuûa phöông trình ñaõ cho.




Hình 2.2: Maët cho bôûi phöông trình p2 − x = 0

2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theo C−bieät tuyeán

Ñoái vôùi nhöõng phöông trình maø tích phaân toång quaùt cuûa noù cho bôûi

Φ(x, y, C) = 0 (2.10)

ta coù theå tìm nghieäm kyø dò cuûa noù thoâng qua vieäc tìm caùc C− bieät tuyeán, töùc laø ñöôøngcong trong R

2 xaùc ñònh baèng caùch khöû C töø heä{Φ(x, y, C) = 0∂Φ

∂C(x, y, C) = 0

(2.11)

Nhaän xeùt: Coù theå kieåm tra khoâng khoù (xem [1]) raèng neáu C− bieät tuyeán laø bao hìnhcuûa hoï ñöôøng cong (2.10) thì noù laø moät nghieäm kyø dò cuûa phöông trình (2.8). Do ñoùñeå tìm nghieäm kyø dò cuûa (2.8) tröôùc heát ta tìm C−bieät tuyeán cuûa noù. Bieät tuyeán ñoù laøñöôøng cong R(x, y) = 0 nhaän ñöôïc baèng caùch khöû C töø heä (2.11). Sau ñoù , thöû xem coùnhaùnh naøo cuûa C− bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï ñöôøng cong (2.10) hay khoâng; neáucoù, ñoù chính laø nghieäm kyø dò cuûa phöông trình.

Chuù yù: Neáu haøm Φ trong (2.10) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp I theo x vaø y bò chaën vaøkhoâng ñoàng thôøi baèng khoâng thì C−bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï nghieäm toång quaùt(2.10); noùi caùch khaùc C−bieät tuyeán laø nghieäm kyø dò.

Ví duï: (xem [1]) Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình Lagrange x− y =4

9y′2 − 8

27y′3

Phöông trình Lagrange naøy coù tích phaân toång quaùt laø (y − C)2 = (x − C)3. Do ñoùbieät tuyeán cho bôûi heä {

(y − C)2 = (x− C)3

2(y − C) = 3(x− C)2




Khöû C ta ñöôïc

y = x, y = x− 4

27

Chæ coù y = x− 4

27laø bao hình neân noù laø nghieäm kyø dò. Coøn ñöôøng thaúng y = x chöùa

caùc ñieåm kyø dò cuûa nghieäm toång quaùt (xem Hình 2.3).

Y=x

Y=x - 4/27

Hình 2.3: Nghieäm kyø dò cuûa phöông trình x− y =4

9y′2 − 8

27y′3




BAØI TAÄP

1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân sau ñaây

(a) y′2 − (x+ y)y′ + xy = 0

(b) y ′3 − yy′2 − x2y′ + x2y = 0

(c) xy′3 = 1 + y′

(d) y ′3 + y3 = 3yy′


(a) y = xy′ + 12

(b) xy ′ − y = ln y′

(c) y = xy′ +√y′2 + 1

(d) yy ′ = 2y′2x+ 1

3. Tìm nghieäm kyø dò cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây:

(a) xy′2 − 2yy′ + 4x = 0

(b) y ′4 = 4y(xy′ − 2y)2

(c) yy′(yy′ − 2x) = x2 − 2y2

(d) 2y ′ − 3y1/3 = 0



Chöông 3

Phöông trình vi phaân caáp cao

Chöông naøy trình baøy moät soá kieán thöùc toång quan veà phöông trình vi phaân caáp cao vaølyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao.

3.1 Phöông trình vi phaân caáp cao

3.1.1 Caùc khaùi nieäm:

Phöông trình vi phaân thöôøng caáp n laø phöông trình coù daïng

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 (3.1)

trong ñoù F laø moät haøm xaùc ñònh (lieân tuïc) treân taäp môû naøo ñoù cuûa Rn+2 vaø nhaát thieát

phaûi coù söï tham gia cuûa ñaïo haøm caáp n cuûa aån y(n).

Vôùi moät vaøi giaû thieát thích hôïp, ñònh lyù haøm aån cho pheùp vieát phöông trình (3.1)döôùi daïng sau ñaây, ñöôïc goïi laø daïng ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm:

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)) (3.2)

Döôùi daïng naøy ta coù theå ñöa vieäc nghieân cöùu moät phöông trình caáp cao veà nghieân cöùu(heä) phöông trình vi phaân caáp I. Thaät vaäy, baèng caùch ñöa theâm vaøo caùc aån môùi y1 := y,y2 := y′,...., yn := y(n−1) ta thu ñöôïc

y′1 = y2

...............

y′n−1 = yn

y′n = f(x, y1, . . . , yn)

(3.3)

Xem y := (y1, . . . , yn)T , f(x, y) :=(y2, . . . , yn, f(x, y1, . . . , yn)T

)laø caùc vector-haøm ta

coù theå vieát laïi (3.3) döôùi daïng ñôn giaûn

y′ = f(x, y) (3.4)



40 Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm:

Töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp I, baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöôngtrình vi phaân caáp cao (3.1) ñaët ra nhö sau:

Tìm nghieäm y(x) cuûa phöông trình (3.1) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu:

y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, . . . , y

(n−1) = y(n−1)0 (3.5)

trong ñoù x0 ∈ I ⊂ R vaø Y0 := (y0, y′0, . . . , y

(n−1)0 ) ∈ R

n coá ñònh, cho tröôùc.

Ñeå phaùt bieåu ñònh lyù khaúng ñònh söï toàn taïi lôøi giaûi cuûa baøi toaùn Cauchy ta caàn khaùinieäm sau:

Cho vector-haøm f(x, y) xaùc ñònh treân mieàn G ⊂ R×Rn. Ta noùi f thoaû ñieàu kieän

Lipschitz treân G theo y neáu toàn taïi haèng soá döông L (goïi laø haèng soá Lipschitz) saocho:

||f(x, y1)− f(x, y2)|| ≤ L||y1 − y2||, vôùi moïi (x, y1), (x, y2) ∈ GTa löu yù raèng ñieàu kieän Lipschitz khoâng phaûi laø heä quaû cuûa tính lieân tuïc. Chaúng haïnhaøm f(x, y) =

√y lieân tuïc nhöng khoâng thoaû ñieàu kieän treân.

ù

Ñònh lyù 3.1.1 (Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho PTVP caáp cao). Giaû söû vector-haøm f(x, y) trong (3.4) lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo y treân mieàn

G = {(x, y) ∈ R× Rn/ |x− x0| ≤ a, ||y − y0|| ≤ b}

Khi ñoù baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (3.5) coù moät nghieäm duy nhaát treân ñoaïnI := [x0 − h, x0 + h], vôùi h := min(a, b

M) vaø M := max(x,y)∈G ||f(x, y)||.

Chöùng minh: Töông töï nhö trong tröôøng hôïp PTVP caáp I, chæ caàn thay giaù trò tuyeätñoái bôûi chuaån trong R

n. �

Nhaän xeùt: Ta cuõng ñònh nghóa caùc loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân caáp caotöông töï nhö trong chöông I. Chaúng haïn, nghieäm kyø dò cuûa (3.2) laø nghieäm maø taïimoãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm bò vi phaïm. Ta goïi nghieäm toång quaùtcuûa (3.2) laø hoï caùc haøm ϕ(x, C1, . . . , Cn) phuï thuoäc (moät caùch lieân tuïc) vaøo n haèng soátuyø yù C1, . . . , Cn. Vôùi moãi boä giaù trò cuûa n tham soá naøy ta nhaän ñöôïc moät nghieämrieâng cuûa phöông trình.

Ví duï: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y′′ = y laø y(x) = C1ex + C2e

−x. Noù phuïthuoäc vaøo hai haèng soá tuyø yù C1 vaø C2.

3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàuphöông:

a) Phöông trình F (x, y(n)) = 0

Phöông trình naøy chæ phuï thuoäc vaøo bieán ñoäc laäp vaø ñaïo haøm caáp cao nhaát. Trongtröôøng hôïp coù theå giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm:

y(n) = f(x)



3.1. Phöông trình vi phaân caáp cao 41

ta coù theå tích phaân lieân tieáp theo x vaø thu ñöôïc

y(n−1) =∫ x

x0f(x)dx+ C1

y(n−2) =∫ x

x0dx∫ x

x0f(x)dx+ C1(x− x0) + C2

....................

y =

∫ x

x0

dx . . .

∫ x

x0︸︷︷︸n laàn

f(x)dx+ C1

(n−1)!(x− x0)

n−1+

+ C2

(n−2)!(x− x0)

n−2 + · · ·+ Cn−1(x− x0) + Cn

Ví duï: Phöông trình y(n) = 0 coù nghieäm laø ña thöùc toång quaùt caáp n− 1

y(x) = c1(x− x0)n−1 + c2(x− x0)

n−2 + · · ·+ cn−1(x− x0) + cn

Trong tröôøng hôïp khoâng giaûi ra ñöôïc y(n) nhöng coù theå tham soá hoaù

x = ϕ(t), y(n) = ψ(t)

khi ñoù ta coùdy(n−1) = y(n)dx = ψ(t)ϕ′(t)dt

Vì vaäy

y(n−1) =

∫ψ(t)ϕ′(t)dt = ψ(t, C1)

Laëp laïi quaù trình treân sau n böôùc, ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt cho döôùi daïng thamsoá {

x = ϕ(t),

y = ψm(t, C1, . . . , Cn)

b) Phöông trình F (y(n−1), y(n)) = 0:

Caùch giaûi: Neáu coù theå giaûi ñöôïc

y(n) = f(y(n−1))

thì, baèng caùch ñaët z := y(n−1), coù theå vieát laïi phöông trình döôùi daïng sau:

z′ = f(z)

Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp I theo z, giaû söû nghieäm laø z = g(x, C), ta trôû laïitröôøng hôïp treân vôùi phöông trình

y(n−1) = g(x, C)

vôùi C laø tham soá.




Neáu coù theå tham soá hoaù

y(n−1) = ϕ(t), y(n) = ψ(t)

thì töø dy(n−1) = y(n)dx ta suy ra

dx =dy(n−1)

y(n)=ϕ′(t)dtψ(t)

Do ñoù

x =

∫ϕ′(t)dtψ(t)

= ϕ1(t, C1)

vaø ta trôû laïi tröôøng hôïp treân vôùi

x = ϕ1(t, C1), y(n−1) = ϕ(t)

Ví duï: Giaûi phöông trình y′′′ = y′′ + 1

Ñaët z = y′′ ta coù phöông trình z′ − z = 1. Phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø

z = C1ex − 1

Do ñoù, ta ñöôïc phöông trìnhy′′ = C1e

x − 1

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø

y(x) = C1ex − x2

2+ C2x+ C3

c) Phöông trình F (y(n−2), y(n)) = 0:

Ñoái vôùi daïng phöông trình naøy ta ñaët z = y(n−2) vaø vieát laïi phöông trình theo z

F (z, z′′) = 0

Neáu töø phöông trình naøy coù theå giaûi ñöôïc z′′ = f(z) thì ta coù

2z′z′′ = 2f(z)z′

hayd((z′)2) = 2f(z)dz

Töø ñoù ta tìm ñöôïc

z′ = ±√

2

∫f(z)dz + C1

Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp I vôùi aån laø z = z(x) vôùi nghieäm toång quaùt coù daïng

Φ(x, z, C1, C2) = 0




Thay z = y(n−2) vaøo phöông trình naøy ta trôû laïi tröôøng hôïp a).

Ví duï: Giaûi phöông trình y(4) = y′′.

Ñaët z = y′′ ta thu ñöôïc phöông trình

z′′ = z

Phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø

z = C1ex + C2e

−x

Trôû laïi aån y ta coù phöông trình

y′′ = C1ex + C2e

−x

maø nghieäm toång quaùt cuûa noù laø

y = C1ex + C2e

−x + C3x+ C4

3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp:

Ta seõ xeùt moät soá daïng phöông trình caáp cao maø coù theå ñöa veà phöông trình caáp thaáphôn baèng caùch ñoåi bieán.

a) Phöông trình daïng F (y, y′, . . . , y(n)) = 0:

Phöông trình naøy khoâng chöùa bieán ñoäc laäp x. Ta ñaët p = y′. Khi ñoù

y′ = p =dy

dx

y′′ =dp

dx= p

dp

dy

y′′′ =d

dx

(pdp

dy

)=dp

dx

dp

dy+ p

d

dx

(dp

dy

)

= p

(dp

dy

)2

+ p2d2p

dy2

.............................

y(n) = g

(p,dp

dy, . . . ,

dn−1p

dyn−1

)

Thay caùc bieåu thöùc treân vaøo phöông trình ban ñaàu ta thu ñöôïc phöông trình vi phaâncaáp n− 1 theo aån p = p(y)

G(y, p, p′, . . . , p(n−1)) = 0

Giaû söû phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø

Φ(y, p, C1, . . . , Cn−1) = 0




ta thay p = y′ thì thu ñöôïc phöông trình daïng F (y, y ′) = 0 maø laø phöông trình vi phaâncaáp I.

Ví duï: Giaûi phöông trình (1 + y2)yy′′ = (3y2 − 1)y′2

Ñaët p = y′ nhö ñaõ trình baøy, phöông trình ñöa veà daïng

(1 + y2)ypdp

dy= (3y2 − 1)p2

Chia 2 veá cho p (vôùi giaû thieát p = 0) vaø vieát laïi döôùi daïng phöông trình taùch bieán

dp

p=

3y2 − 1

(1 + y2)ydy

Nghieäm toång quaùt cuûa noù laøpy

(1 + y2)2= C1

Thay p = y′, ta coù phöông trình

yy′

(1 + y2)2= C1

Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình cuoái cuøng laø

− 1

1 + y2= 2C1x+ C2

b) Phöông trình thuaàn nhaát ñoái vôùi aån haøm y vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù:

T a noùi phöông trình vi phaân F (x, y, y ′, . . . , y(n)) = 0 laø thuaàn nhaát theo aån haømy vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù neáu F laø haøm thuaàn nhaát (baäc m naøo ñoù) theo caùc bieány, y′, . . . , y(n). Töùc laø

F (x, ty, ty′, . . . , ty(n)) = tmF (x, y, y′, . . . , y(n))

Ñoái vôùi lôùp caùc phöông trình naøy ta coù theå haï caáp baèng caùch ñaët y′ = uy Khi ñoù ta coù

y′ = uy

y′′ = y′u+ u′y = y(u′ + u2)

y′′′ = y(u′′ + 3uu′ + u3)

.............................

y(n) = y.g(u, u′, . . . , u(n−1))

Nhôø tính thuaàn nhaát, phöông trình ñaõ cho coù theå vieát laïi daïng

ymF (x, 1, u, u′ + u2, . . . , g(u, u′, . . . , u(n−1))) = 0




Ñaây laø phöông trình caáp n− 1 cuûa aån haøm u = u(x), giaû söû coù nghieäm toång quaùt laø

u = u(x, C1, . . . , Cn−1)

Khi ñoù töø y′ = uy ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ban ñaàu laø

y = exp

(∫u(x, C1, . . . , Cn−1)dx+ ln |Cn|

)= Cn exp

(∫u(x, C1, . . . , Cn−1)dx

)Ví duï: Giaûi phöông trình x2yy′′ = (y − xy′)2.

Ñaây laø phöông trình thuaàn nhaát (caáp 2) theo y vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù. Ñaët y′ = uygioáng nhö treân, ta coù

y′′ = y(u′ + u2)

Thay vaøo vaø ruùt goïn cho y2 (giaû söû y = 0) ta ñöôïc phöông trình tuyeán tính baäc nhaát:

x2u′ + 2xu− 1 = 0

vôùi nghieäm toång quaùt laø

u =x+ C1

x2

Trôû laïi aån haøm y vôùi u = y′/y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt laø

y = C2xe−C1

x

Dó nhieân nghieäm y = 0 cuõng chöùa trong nghieäm toång quaùt naøy.

3.1.5 Tích phaân trung gian vaø tích phaân ñaàu:

Xeùt phöông trình vi phaân caáp n

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 (3.6)

Giaû söû coù toàn taïi heä thöùc daïng

Φ(x, y, y′, . . . , y(k), Ck+1, . . . , Cn) = 0 (∗)sao cho Φ phuï thuoäc vaøo n − k haèng soá tuyø yù Ck+1, . . . , Cn vaø khoâng phuï thuoäc vaøocaùc ñaïo haøm caáp > k (nhöng nhaát thieát phaûi coù maët y(k)).

Neáu töø heä n− k phöông trình nhaän ñöôïc baèng caùch laáy vi phaân heä thöùc (∗) theo xn−k laàn vaø chính heä thöùc ñoù ta coù theå nhaän ñöôïc phöông trình ñaõ cho (baèng caùch khöûcaùc tham soá) thì heä thöùc (∗) ñöôïc goïi laø tích phaân trung gian cuûa phöông trình (3.6).

Neáu k = n− 1, töùc laø heä thöùc chæ chöùa moät tham soá C

Φ(x, y, y′, . . . , y(n−1), C) = 0

thì ta goïi laø tích phaân ñaàu.

Nhaän xeùt: Tích phaân trung gian thöïc chaát laø moät phöông trình vi phaân caáp k ñaõ chöùasaün n− k haèng soá tuyø yù Ck+1, . . . , Cn. Nghieäm toång quaùt cuûa noù coøn chöùa k haèng soámôùi laø C1, . . . , Ck; töùc laø chöùa taát caû n haèng soá, vaø ñoù cuõng laø nghieäm toång quaùt cuûaphöông trình ban ñaàu (3.6). Vaäy tích phaân trung gian cho pheùp ñöa vieäc giaûi phöôngtrình vi phaân caáp cao veà giaûi phöông trình caáp thaáp hôn.




Phöông trình daïng F (x, y(k), . . . , y(n)) = 0

Baèng caùch ñoåi aån z = y(k) ta coù theå vieát phöông trình döôùi daïng

F (x, z, z′, . . . , z(n−k)) = 0

Giaû söû ñaõ tìm ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình naøy Φ(x, z, Ck+1, . . . , Cn) = 0.Khi ñoù, ta coù tích phaân trung gian cuûa phöông trình ñaõ cho laø

Φ(x, y(k), Ck+1, . . . , Cn) = 0

Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp k, nghieäm cuûa noù cho ta tích phaân toång quaùt cuûaphöông trình ban ñaàu.

Ví duï: Giaûi phöông trình y′′ − xy′′′ + y′′′ = 0.

Ñaët z = y′′ ta thu ñöôïc phöông trình

z − xz′ + z′ = 0

maø nghieäm toång quaùt laø z = C1(x− 1). Töø ñoù ta coù tích phaân ñaàu

y′′ = C1(x− 1)

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø

y =C1

3x3 − C1

2x2 + C2x+ C3

3.2 Lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeántính.

Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp n coù daïng

p0(x)y(n) + p1(x)y

(n−1) + · · ·+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = g(x) (3.7)

trong ñoù caùc pj(x) vaø g(x) laø caùc haøm (thöïc) naøo ñoù theo bieán x.

Neáu g(x) ≡ 0 thì phöông trình (3.7) ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân tuyeán tínhthuaàn nhaát.

Söï toàn taïi nghieäm:

Giaû söû caùc haøm pj(x) vaø g(x) laø lieân tuïc treân khoaûng I = (a, b) vaø ngoaøi ra p0(x) = 0vôùi moïi x ∈ I . Khi ñoù ñònh lyù toàn taïi nghieäm cô baûn khaúng ñònh raèng coù toàn taïi duynhaát moät mghieäm lieân tuïc y(x) cuûa phöông trình (3.7) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu

y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, . . . , y

(n−1)(x0) = y(n−1)0

taïi ñieåm x0 ∈ I .



3.3. Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt 47

Daïng toaùn töû cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính:

Kyù hieäu D laø toaùn töû ñaïo haøm ddx

vaø ñaët:

L = p0Dn + p1D

n−1 + · · ·+ pn−1D + pn (3.8)

L ñöôïc goïi laø toaùn töû vi phaân caáp n vaø khi ñoù (3.7) vieát laïi döôùi daïng sau, goïi laø daïngtoaùn töû cuûa phöông trình (3.7)

L(y) = g

Ñaëc bieät, khi g ≡ 0, phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát töông öùng vieát moätcaùch ñôn giaûn

L(u) = 0 (3.9)

Nhaän xeùt: L laø toaùn töû tuyeán tính treân khoâng gian caùc haøm (khaû vi) vì L(αu+ βv) =αL(u) + βL(v), vôùi u, v laø hai haøm khaû vi vaø α, β laø hai soá tuyø yù. Do ñoù giaûi phöôngtrình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát laø tìm khoâng gian con ker(L).

Meänh ñeà 3.2.1. Giaû söû u1 vaø u2 laø hai nghieäm tuyø yù cuûa phöông trình vi phaân tuyeántính thuaàn nhaát (3.9). Khi ñoù, vôùi C1, C2 laø hai haèng soá baát kyø, C1u1 + C2u2 cuõng laønghieäm cuûa (3.9).

Chöùng minh: Ta coù L(C1u1 + C2u2) = C1L(u1) + C2L(u2) = 0. �

Heä quaû 3.2.1. Taäp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình (3.9) coù caáu truùc khoâng gianvector.

3.3 Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt

Ñònh nghóa 3.3.1. Ta noùi caùc haøm u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø ñoäc laäp tuyeán tính treân(a, b) neáu khoâng toàn taïi caùc haèng soá C1, C2, . . . , Cn khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng saocho

C1u1 + · · ·+ Cnun ≡ 0 vôùi moïi x ∈ (a, b)

Ngöôïc laïi, caùc haøm u1(x), u2(x), . . . , un(x) ñöôïc goïi laø phuï thuoäc tuyeán tính treân(a, b) neáu coù theå choïn ñöôïc caùc haèng soá Cj khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng sao cho ñaúngthöùc treân xaûy ra vôùi moïi x ∈ (a, b).

Meänh ñeà 3.3.1. Neáu u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø caùc haøm khaû vi ñeán caáp n − 1 vaø phuïthuoäc tuyeán tính treân (a, b) thì ñònh thöùc∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u1(x) u2(x) · · · un(x)u′1(x) u′2(x) · · · u′n(x)

......

. . ....

u(n−1)1 (x) u

(n−1)2 (x) · · · u

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 vôùi moïi x ∈ (a, b) (3.10)




Ñònh nghóa 3.3.2. Ñònh thöùc ôû veá traùi cuûa (3.10) ñöôïc goïi laø ñònh thöùc Wronski cuûan haøm u1(x), u2(x), . . . , un(x) vaø thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø W (x) hay W [u1, . . . , un]

Chöùng minh: Theo giaû thieát cuûa meänh ñeà, coù toàn taïi caùc haèng soá Cj khoâng ñoàng thôøibaèng khoâng sao cho

C1u1 + · · ·+ Cnun ≡ 0 vôùi moïi x ∈ (a, b)

Ñaïo haøm ñaúng thöùc naøy theo bieán x n − 1 laàn, ta thaáy caùc Cj thoaû maõn heä phöôngtrình tuyeán tính thuaàn nhaát sau (vôùi x coá ñònh naøo ñoù)

C1u1(x) + · · ·+ Cnun(x) = 0C1u

′1(x) + · · ·+ Cnu

′n(x) = 0

· · · · · · · · · · · ·C1u

(n−1)1 (x) + · · ·+ Cnu

(n−1)n (x) = 0

Vì heä thuaàn nhaát naøy coù nghieäm khoâng taàm thöôøng neân ñònh thöùc cuûa ma traän cuûa heäphaûi baèng khoâng. �

Heä quaû 3.3.1. NeáuW (x) = 0 taïi x naøo ñoù thuoäc (a, b) thì heä haøm {u1(x), u2(x), . . . , un(x)}ñoäc laäp tuyeán tính treân (a, b).

Ví duï: Heä haøm {1, x, x2, · · · , xn−1} laø ñoäc laäp tuyeán tính treân khoaûng baát kyø vì

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x · · · xn−1

0 1 · · · (n− 1)xn−2

......

. . ....

0 0 · · · (n− 1)!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1.1!2! . . . (n− 1)! = 0 vôùi moïi x ∈ R

Ví duï: Heä haøm {ek1, ek2 , · · · , ekn} laø ñoäc laäp tuyeán tính treân khoaûng baát ky neáu caùcsoá k1, k2, . . . , kn laø khaùc nhau töøng ñoâi moät.

Ñònh lyù 3.3.2. Giaû söû caùc haøm pj(x) laø lieân tuïc vaø p0(x) = 0 treân khoaûng (a, b). Khi ñoùn nghieäm u1(x), u2(x), . . . , un(x) cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (3.9)laø ñoäc laäp tuyeán tính neáu vaø chæ neáu ñònh thöùc Wronski W [u1(x), u2(x), . . . , un(x)] =0, ∀x ∈ (a, b).

Chöùng minh: Neáu W [u1(x), u2(x), . . . , un(x)] = 0, ∀x ∈ (a, b) thì theo heä quaû treân,caùc nghieäm u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø ñoäc laäp tuyeán tính.

Ngöôïc laïi, giaû söû coù x0 ∈ (a, b) maø W (x0) = 0. Khi ñoù heä tuyeán tính thuaàn nhaát saucoù nghieäm khoâng taàm thöôøng

C1u1(x0) + · · ·+ Cnun(x0) = 0C1u

′1(x0) + · · ·+ Cnu

′n(x0) = 0

· · · · · · · · · · · ·C1u

(n−1)1 (x0) + · · ·+ Cnu

(n−1)n (x0) = 0




Goïi (C1, . . . , Cn) laø moät nghieäm nhö theá vaø ñaët u(x) = C1u1(x) + · · ·+ Cnun(x). Roõraøng u(x) cuõng laø moät nghieäm cuûa cuûa (3.9) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu u(x0) = 0, u′(x0) =0, . . . , u(n−1)(x0). Maët khaùc nghieäm taàm thöôøng u ≡ 0 cuõng thoaû ñieàu kieän naøy. Doñoù, theo ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ta phaûi coù

C1u1(x) + · · ·+ Cnun(x) ≡ 0

töùc laø caùc u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø phuï thuoäc tuyeán tính: traùi giaû thieát. �

Ñònh nghóa 3.3.3. Heä goàm n nghieäm u1(x), u2(x), . . . , un(x) ñoäc laäp tuyeán tính treân(a, b) cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát caáp n ñöôïc goïi laø heä nghieämcô baûn cuûa phöông trình ñoù.

Ñònh lyù 3.3.3 (Caáu truùc nghieäm cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát). Giaû söû{u1(x), u2(x), . . . , un(x)} laø heä nghieäm cô baûn cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaànnhaát (3.9). Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa (3.9) coù daïng

u(x) = C1u1(x) + · · ·+ Cnun(x) (3.11)

trong ñoù C1, . . . , Cn laø caùc haèng soá tuyø yù.

Chöùng minh: Roõ raøng vôùi C1, . . . , Cn laø caùc haèng soá baát kyø, veá phaûi cuûa (3.11) laønghieäm cuûa (3.9).

Ngöôïc laïi, giaû söû v(x) laø nghieäm cuûa (3.9) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu (vôùi x0 ∈ (a, b)naøo ñoù)

v(x0) = v0, v′(x0) = v′0, . . . , v

(n−1)(x0) = v(n−1)0

ta xeùt heä phöông trình

C1u1(x0) + · · ·+ Cnun(x0) = v0

C1u′1(x0) + · · ·+ Cnu

′n(x0) = v′0

· · · · · · · · · · · ·C1u

(n−1)1 (x0) + · · ·+ Cnu

(n−1)n (x0) = v

(n−1)0

Vì caùc u1(x), u2(x), . . . , un(x) laäp thaønh heä nghieäm cô baûn neân W (x0) = 0, töùc laø ñònhthöùc cuûa ma traän heä soá cuûa heä phöông trình treân khaùc khoâng. Vì theá, coù toàn taïi (vaøduy nhaát) caùc soá C0

1 , . . . , C0n maø laø nghieäm cuûa heä naøy. Ñaët

u(x) = C01u1(x) + · · ·+ C0

nun(x)

thì u(x) cuõng laø nghieäm cuûa (3.9) thoaû cuøng ñieàu kieän ban ñaàu nhö v(x). Do ñoùu(x) ≡ v(x). �

Ñònh lyù 3.3.4 (Nghieäm cuûa phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát). Nghieäm toångquaùt cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát (3.7) baèng toång cuûa moätnghieäm rieâng y0(x) naøo ñoù cuûa noù vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaáttöông öùng.




Chöùng minh: Giaû söû y(x) laø nghieäm tuyø yù cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát L(y) = gvaø {u1(x), u2(x), . . . , un(x)} laø heä nghieäm côû baûn cuûa phöông trình thuaàn nhaát töôngöùng. Theo giaû thieát ta coù L(y0) = g; töø ñoù suy ra L(y− y0) = 0. Noùi caùch khaùc, y− y0

laø nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng. Theo ñònh lyù 3.3.3, toàn taïi caùc haèngsoá C1, . . . , Cn sao cho y−y0 = C1u1(x)+ · · ·+Cnun(x) =: u(x). Vì vaäy, y = y0 +u(x).�

Ví duï: Cho phöông trình y ′′ + 4y = ex. Deã thaáy cos 2x vaø sin 2x laø hai nghieäm ñoäclaäp tuyeán tính cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng y ′′ + 4y = 0. Moät nghieäm rieângcuûa phöông trình ñaõ cho ban ñaàu laø y0 = 1

5ex. Do ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông

trình ñaõ cho laø

y = C1 cos 2x+ C2 sin 2x+1

5ex

trong ñoù C1, C2 laø hai haèng soá tuyø yù.

Meänh ñeà 3.3.2 (Nguyeân lyù choàng chaát nghieäm). Giaû söû y1, y2 laø nghieäm rieâng cuûaphöông trình L(y) = g1, L(y) = g2 töông öùng. Khi ñoù

y := y1 + y2

laø nghieäm rieâng cuûa phöông trìnhL(y) = g

vôùi g := g1 + g2.

Nhaän xeùt: Meänh ñeà naøy giuùp ta tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình tuyeán tính khoângthuaàn nhaát trong tröôøng hôïp haøm g(x) ôû veá phaûi coù daïng toång cuûa caùc haøm ñôn giaûn.

Ví duï: Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình y ′′ + y = x+ cos 3x.

Ta tìm caùc nghieäm rieâng cuûa caùc phöông trình y′′ + y = x vaø y′′ + y = cos 3x. Deãthaáy phöông trình thöù nhaát coù nghieäm rieâng laø y1 = x; coøn phöông trình thöù hai coùmoät nghieäm rieâng (xem muïc 3.4.2) laø y2 = −1

8cos 3x. Do ñoù moät nghieäm rieâng cuûa

phöông trình ñaõ cho laø

y = x− 1

8cos 3x

3.3.1 Ñoàng nhaát thöùc Abel

Ta seõ chæ ra sau ñaây bieãu dieãn ñôn giaûn cuûa ñònh thöùc Wronski cuûa heä nghieäm ñoäclaäp tuyeán tính {u1(x), u2(x), . . . , un(x)} cuûa phöông trình thuaàn nhaát (3.9). Ñaïo haømW (x) theo x ta coù:

dW

dx=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u1(x) u2(x) · · · un(x)u′1(x) u′2(x) · · · u′n(x)

......

. . ....

u(n−2)1 (x) u

(n−2)2 (x) · · · u

(n−2)n (x)

u(n)1 (x) u

(n)2 (x) · · · u

(n)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣




(thöïc ra, veá phaûi sinh ra caùc ñònh thöùc maø coù hai doøng gioáng nhau neân baèng khoâng).Ngoaøi ra, do

p0u(n)k = −p1u

(n−1)k − · · · − pn−1u

′k − pnuk

neân coù theå vieát laïidW

dx= −p1

p0W

töùc laø

W (x) = W (x0) exp{−∫ x

x0

p1

p0

dx} (3.12)

ôû ñaây W (x0) laø giaù trò cuûa ñònh thöùc Wronski taïi x0 ∈ (a, b) naøo ñoù (p0 ñöôïc giaû söûluoân khaùc khoâng treân (a, b)). Heä thöùc (3.12) ñöôïc goïi laø ñoàng nhaát thöùc Abel1. Töøheä thöùc naøy coù theå thaáy raèng neáu W (x) trieät tieâu duø chæ taïi moät ñieåm thì seõ ñoàng nhaátbaèng khoâng.

Tìm phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát bieát heä nghieäm cô baûn cuûa noù:

Ñeå ñôn giaûn, ta xeùt tröôøng hôïp PTVP caáp II. Cho tröôùc heä nghieäm cô baûn {y1, y2}, taseõ tìm phöông trình vi phaân daïng

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

nhaän y1, y2 laøm nghieäm.

Neáu y laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy thì

W [y1, y2, y] =

∣∣∣∣∣∣y1 y2 yy′1 y′2 y′

y′′1 y′′2 y′′

∣∣∣∣∣∣ = 0

Khai trieån ñònh thöùc naøy theo coät cuoái ta ñöôïc:

y′′∣∣∣∣ y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣− y′∣∣∣∣ y1 y2

y′′1 y′′2

∣∣∣∣+ y

∣∣∣∣ y′1 y′2y′′1 y′′2

∣∣∣∣ = 0

3.3.2 Phöông phaùp bieán thieân haèng soá tìm nghieäm rieâng cuûa phöôngtrình khoâng thuaàn nhaát

Nhö ñaõ bieát, nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaátbaèng toång cuûa moät nghieäm rieâng cuûa noù vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaànnhaát töông öùng. Vaán ñeà ñaët ra laø tìm nghieäm rieâng naøy.

Moät trong nhöõng phöông phaùp thöôøng duøng ñeå giaûi quyeát baøi toaùn naøy laø phöôngphaùp bieán thieân haèng soá ñeå tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát bieátnghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát.

1Cuõng ñöôïc goïi laø coâng thöùc Ostrogradski−Liouville.




Giaû söû u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø caùc nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa phöông trìnhthuaàn nhaát

L(u) = 0

Khi ñoù, nghieäm toång quaùt cuûa noù laø u(x) = C1u1(x) + · · ·+ Cnun(x).

Baây giôø xem caùc haèng soá C1, C2, . . . , Cn nhö laø caùc haøm theo bieán x, ta tìm caùc haømnaøy sao cho

y(x) = C1(x)u1(x) + · · ·+ Cn(x)un(x)

thoaû maõn phöông trình khoâng thuaàn nhaát

L(y) = y(n) + p1(x)y(n−1) + · · ·+ pn−1(x)y

′ + pn(x)y = g(x) (3.13)

Moät caùch toång quaùt ta thay y(x) cuøng vôùi caùc ñaïo haøm ñeán caáp n cuûa noù vaøo phöôngtrình treân ñeå tìm caùc haøm Cj(x). Vì ta chæ coù moät phöông trình vi phaân trong khi coù naån laø caùc haøm Cj(x) neân ta coù theå choïn theâm n− 1 heä thöùc khaùc giöõa caùc Cj(x) mieãnlaø ñuû ñeå giaûi caùc haøm naøy. Cuï theå, ta seõ choïn caùc Cj(x) thoaû n− 1 heä thöùc sau:

C ′

1u1(x) + · · ·+ C ′nun(x) = 0

C ′1u

′1(x) + · · ·+ C ′

nu′n(x) = 0

· · · · · · · · · · · ·C ′

1u(n−2)1 (x) + · · ·+ C ′

nu(n−2)n (x) = 0

Vaø khi ñoù, caùc ñaïo haøm cuûa y trôû thaønh

y′ = C1u′1(x) + · · ·+ Cnu

′n(x),

y′′ = C1u′′1(x) + · · ·+ Cnu

′′n(x),

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·y(n−1) = C1u

(n−1)1 (x) + · · ·+ Cnu

(n−1)n (x)

Vì theáy(n) = C1u

(n)1 (x) + · · ·+ Cnu

(n)n (x)

+ C ′1u

(n−1)1 (x) + · · ·+ C ′

nu(n−1)n (x)

(∗)

Nhö vaäy, y seõ thoaû phöông trình (3.13) mieãn laø

C ′1u

(n−1)1 (x) + · · ·+ C ′

nu(n−1)n (x) = g(x) (∗∗)

Vì caùc haøm u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø ñoäc laäp tuyeán tính neân heä n phöông trình (∗) vaø(∗∗) ñuû ñeå xaùc ñònh duy nhaát C ′

1(x), . . . , C′n(x) theo u1(x), u2(x), . . . , un(x). Töø ñoù ta

tìm ñöôïc C1(x), . . . , Cn(x).

Ví duï: (n = 2) Cho phöông trình

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x)

Giaû söû y1, y2 laø hai nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính treân khoaûng I cuûa phöông trình y ′′ +p(x)y′ + q(x)y = 0. Tìm nghieäm rieâng döôùi daïng yr = C1(x)y1(x) +C2(x)y2(x). Ta coùy′r = C ′

1y1 + C1y′1 + C ′

2y2 + C2y′2. Ta choïn C1, C2 sao cho tröôùc heát:

C ′1y1 + C ′

2y2 = 0



3.4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng 53

Khi ñoù y′′r = C ′1y

′1 + C ′

2y′2 + C1y

′′1 + C2y

′′2 . Thay vaøo phöông trình ñaõ cho ta coù:

C ′1y

′1 + C ′

2y′2 = g(x)

Do ñoù ta coù heä {C ′

1y1 + C ′2y2 = 0

C ′1y

′1 + C ′

2y′2 = g(x)

Giaûi heä naøy vôùi aån laø C′1, C

′2 ta ñöôïc

C ′1 = − y2g

W [y1, y2]vaø C1 =

y1g

W [y1, y2]

trong ñoù W [y1, y2] = y1y′2 − y′1y2 luoân khaùc khoâng treân I .

Tích phaân caùc phöông trình naøy ta thu ñöôïc nghieäm rieâng

yr(x) = −y1(x)

∫y2g

W [y1, y2]dx+ y2(x)

∫y1g

W [y1, y2]dx

3.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng

Trong muïc naøy ta xeùt caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính vôùi heä soá laø caùc haèng soá.Daïng toång quaùt cuûa chuùng laø

y(n) + A1y(n−1) + · · ·+ An−1y

′ + Any = g(x) (3.14)

vaø daïng thuaàn nhaát töông öùng

y(n) + A1y(n−1) + · · ·+ An−1y

′ + Any = 0 (3.15)

3.4.1 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát heä soá haèng

Ta vieát laïi phöông trình (3.15) döôùi daïng toaùn töû

(Dn + A1Dn−1 + · · ·+ An−1D + An)y = 0 (3.16)

vôùi D nhö thöôøng leä kyù hieäu cho toaùn töû (aùnh xaï) tuyeán tínhd

dx. Goïi kj , j = 1, n laø

caùc nghieäm (phöùc) cuûa phöông trình

λn + A1λn−1 + · · ·+ An−1λ+ An = 0 (3.17)

maø ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa (3.15). Khi ñoù, moät caùch hình thöùc coùtheå vieát (3.16) döôùi daïng (do tính chaát giao hoaùn cuûa D vaø pheùp nhaân vôùi haèng soá)

(D − k1)(D − k2) . . . (D − kn)y = 0




Phöông trình naøy ñöôïc thoaû maõn ñoái vôùi moãi nghieäm cuûa caùc phöông trình vi phaân baäcnhaát sau

(D − k1)y = 0, (D − k2)y = 0, . . . , (D − kn)y = 0

Nghieäm toång quaùt cuûa moãi phöông trình naøy laø

yj = Cjekjx

Boå ñeà 3.4.1. Taäp caùc haøm ek1x, ek2x, . . . , eknx laø ñoäc laäp tuyeán tính treân R neáu caùc kj

khaùc nhau töøng ñoâi moät.

Chöùng minh: Ñònh thöùc Wronski cuûa n haøm naøy laø

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ek1x ek2x · · · eknx

k1ek1x k2e

k2x · · · kneknx

......

. . ....

kn−11 ek1x kn−1

2 ek2x · · · kn−1n eknx

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= e(k1+···+kn)x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 · · · 1k1 k2 · · · kn...

.... . .

...kn−1

1 kn−12 · · · kn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= e(k1+···+kn)x

∏i>j

(ki − kj) = 0

(ñeå yù ñònh thöùc sau cuøng laø ñònh thöùc Vandermon). �

Heä quaû 3.4.2. Neáu caùc kj khaùc nhau töøng ñoâi moät thì nghieäm toång quaùt cuûa phöôngtrình (3.15) laø

y = C1ek1x + · · ·+ Cne

knx

Tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm phöùc:

Giaû söû caùc heä soá A1, . . . , An ñeàu thöïc vaø phöông trình ñaëc tröng (3.17) coù nghieämphöùc kr = α + iβ. Khi ñoù noù cuõng coù nghieäm phöùc ks = α − iβ maø laø lieân hôïp phöùcvôùi kr. Vì vaäy, duøng heä thöùc Euler, ta coù

Crekrx + Cse

ksx = eαx{Cr(cosβx+ i sin βx) + Cs(cos βx+ i sin βx)}= eαx(Cr cosβx+ Cs sin βx)

trong ñoù Cr, Cs laø nhöõng haèng soá tuyø yù (coù theå phöùc).

Ví duï: Xeùt phöông trình y′′ − 2y′ + 5y = 0, phöông trình ñaëc tröng λ2 − 2λ + 5 = 0coù hai nghieäm phöùc lieân hôïp laø k1,2 = 1 ± 2i. Do ñoù nghieäm toång quaùt laø y =ex(C1 cos 2x+ C2 sin 2x).




Tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm boäi:

Neáu phöông trình ñaëc tröng nhaän a laø nghieäm (thöïc) boäi m, khi ñoù veá traùi cuûa phöôngtrình (3.16) chöùa nhaân töû daïng (D − a)m. Ta xeùt phöông trình vi phaân caáp m töôngöùng

(D − a)my = 0

Nghieäm cuûa phöông trình naøy coù theå tìm döôùi daïng

y = eaxV (x)

trong ñoù V (x) laø haøm caàn xaùc ñònh. Ta coù:

(D − a)meaxV (x) = (D − a)m−1eaxDV (x)

= (D − a)m−2eaxD2V (x)

= · · · = eaxDmV (x)

Do ñoù y = eaxV (x) laø nghieäm cuûa (3.15) neáu DmV (x) = 0. Vaäy V (x) phaûi laø ña thöùcbaäc m− 1 theo x vaø nghieäm caàn tìm laø

y = (C1 + C2x+ · · ·+ Cmxm−1)eax

Trong tröôøng hôïp nghieäm boäi a = α+ iβ laø soá phöùc thì phöông trình ñaëc tröng (giaû söûcaùc heä soá ñeàu thöïc) cuõng coù nghieäm boäi laø α − iβ vôùi cuøng soá boäi nhö a. Khi ñoù takhi ñoù veá traùi cuûa phöông trình (3.16) chöùa nhaân töû daïng (D−α+ iβ)m(D−α− iβ)m.Laäp luaän töông töï ta cuõng tìm ñöôïc nghieäm laø

y = (C1 + C2x+ · · ·+ Cmxm−1)eax cosβx+ (C ′

1 + C ′2x+ · · ·+ C ′

mxm−1)eax sin βx

vôùi 2m haèng soá tuyø yù.

Ví duï: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y(4) +2y′′+y = 0 laø y = (C1 +C2x) cos x+(C3 + C4x) sin x.

3.4.2 Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát:

Trong muïc tröôùc ta ñaõ bieát caùch tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaátbaèng phöông phaùp bieán thieân haèng soá töø caùc nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töôngöùng. Trong moät soá tröôøng hôïp maø haøm g(x) ôû veá phaûi cuûa phöông trình (3.14) coù daïngñaëc bieät, ta coù theå tìm ñöôïc nghieäm rieâng cuûa noù theo phöông phaùp sau ñaây (taïm goïilaø phöông phaùp heä soá baát ñònh).

Tröôøng hôïp I: g(x) = eαxPm(x)

(ôû ñaây Pm(x) laø ña thöùc baäc m)

a) Neáu α khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theåtìm döôùi daïng

yr = eαxQm(x)




b) Neáu α laø nghieäm boäi k cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theå tìmdöôùi daïng

yr = xkeαxQm(x)

trong ñoù Qm(x) laø ña thöùc toång quaùt baäc m maø ta phaûi xaùc ñònh caùc heä soá cuûa noù.

Ví duï: Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình

y′′ − 3y′ + 2y = (3− 4x)ex

Phöông trình ñaëc tröng laøλ2 − 3λ+ 2 = 0

coù hai nghieäm laø λ1 = 1 vaø λ2 = 2, trong ñoù α = 1 laø nghieäm ñôn cuûa noù neân nghieämrieâng coù daïng

yr = xex(Ax+B)

Thay vaøo phöông trình ñaõ cho vaø caân baèng caùc heä soá ta thu ñöôïc heä{ −2A = 42A− B = 1

Giaûi ra ta ñöôïc A = 2 vaø B = 1, khi ñoù nghieäm rieâng laø yr = xex(2x+ 1). Cuoái cuøng,nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y = C1e

x + C2e2x + xex(2x+ 1).

Tröôøng hôïp II: g(x) = eαx{P (x) cosβx+Q(x) sin βx}(ôû ñaây P (x), Q(x) laø hai ña thöùc naøo ñoù)

a) Neáu α + iβ khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieângcoù theå tìm döôùi daïng

yr = eαx{R(x) cos βx+ S(x) sin βx}

b) Neáu α+ iβ laø nghieäm boäi k cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theåtìm döôùi daïng

yr = xkeαx{R(x) cos βx+ S(x) sin βx}

trong ñoù R(x), S(x) laø hai ña thöùc coù baäc baèng max{deg(P ), deg(Q)} maø caùc heä soácuûa chuùng ñöôïc tìm nhôø phöông phaùp heä soá baát ñònh.

Ví duï: Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình y ′′ + y = 4x sin x

Phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm laø ±i vaø α+ iβ = i laø nghieäm ñôn (boäi 1) cuûa noùneân nghieäm rieâng coù daïng

yr = x[(Ax+B) cosx+ (Cx+D) sinx]




Thay vaøo phöông trình ñaõ cho vaø caân baèng caùc heä soá ta ñöôïc−2A = 2C − B = 0D + A = 02C = 0

⇔

A = −1B = 0C = 0D = 1

Vì theá, nghieäm rieâng laø yr = x(−x cos x+sin x) vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trìnhñaõ cho laø

y = C1 cosx+ C2 sin x+ x(sin x− x cosx)

Chuù yù:

Neáu g(x) khoâng coù caùc daïng ñaëc bieät treân nhöng coù theå vieát thaønh

g(x) = g1(x) + · · ·+ gm(x)

maø moãi gj coù daïng ñaëc bieät nhö treân thì ta tìm nghieäm rieâng döôùi daïng

yr = y1 + · · ·+ y2

trong ñoù yj laø nghieäm rieâng töông öùng vôùi gj.

Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y ′′ − y′ = 5ex − sin 2x.

Ta laàn löôït tìm nghieäm rieâng cuûa caùc phöông trình y′′ − y′ = 5ex vaø y′′ − y′ =− sin 2x theo phöông phaùp treân. Keát quaû ta ñöôïc hai nghieäm rieâng laø y1 = 5xex vaø

y2 =1

5sin 2x− 1

10cos 2x. Do ñoù nghieäm rieâng cuûa phöông trình ñaõ cho laø yr = y1+y2 =

5xex +1

5sin 2x− 1

10cos 2x.




BAØI TAÄP

1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân caáp cao sau ñaây:

(a) x− ey′′+ y′′ = 0

(b) y ′2 + 2yy′′ = 0

(c) y′′ = x− y′

x

(d) y ′′2 + x2 = 1

(e) y ′′ = ay′(1 + y′2)

2. Giaûi caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp II bieát moät nghieäm rieâng cuûa noù

(a) x2(ln x−1)y′′−xy′+y = 0, bieát raèng noù coù moät nghieäm rieâng daïng y(x) = xα

(b) (2x− x2)y′′ + (x2− 2)y′ + 2(1−x)y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1, bieát raèng noùcoù moät nghieäm rieâng daïng y(x) = ex

(c) (2x− x2)y′′ + 2(x− 1)y′− 2y = −2, bieát raèng noù coù hai nghieäm rieâng daïngy1(x) = 1 vaø y2(x) = x

(HD: Neáu phöông trình thuaàn nhaát y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 coù moät nghieäm rieângkhaùc khoâng y1(x) thì moät nghieäm rieâng khaùc ñoäc laäp tuyeán tính vôùi y1(x) laø

y2(x) = y1(x)

∫1

y21(x)

e−∫

p(x)dxdx)

3. Giaûi caùc phöông trình tuyeán tính heä soá haèng sau ñaây

(a) y′′ − 7y′ + 6y = sin x

(b) y ′′ + 9y = 6e3x

(c) y′′ − 9y′ + 20y = x2e4x

(d) y ′′ − 3y′ = e3x − 18x

(e) y ′′ + y = x2 cos2 x− 18x

(f) y ′′ − 4y′ + 4y = e2x cos2 x

4. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây:

(a) y′′ − y =ex

ex + 1

(b) y ′′ + y = tanx

(c) y′′ + 2y′ + y = 3e−x√x+ 1

(d) y ′′ + 5y′ + 6y =1

e2x + 1

5. Tìm phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát caáp II bieát heä nghieäm cô baûn:

(a) {x3, x4}




(b) {x, xex}6. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây:

(a) y′′′ − 4y′′ − y′ + 4y = 0

(b) y(4) − 5y′′ + 4y = 0

(c) y′′′ − 2y′ + 4y = 0

7. Giaûi caùc baøi toaùn giaù trò ban ñaàu

(a) y′′ − 4y = −7e2x + x, vôùi y(0) = 1, y′(0) = 3

(b) y ′′ + 4y = 34 cosx+ 8, vôùi y(0) = 3, y′(0) = 2

(c) y′′ + y = 5 sin2 x, vôùi y(0) = 2, y′(0) = −4

8. Vôùi caùc giaù trò naøo cuûa caùc soá thöïc a, b thì phöông trình

y′′ + ay′ + by = 0

(a) coù moïi nghieäm trieät tieâu taïi ∞(b) coù moïi nghieäm giôùi noäi treân (0,+∞)

(c) coù moïi nghieäm tuaàn hoaøn treân R

(d) moãi nghieäm ñeàu coù voâ soá khoâng ñieåm.

9. Chöùng toû raèng vôùi pheùp ñoåi aån y = ze−12

∫p(x)dx coù theå ñöa phöông trình y ′′ +

p(x)y′ + q(x)y = 0 veà daïng z′′ +Q(x)z = 0.

AÙp duïng vaøo giaûi phöông trình y ′′ − 2xy′ + x2y = 0






Chöông 4

Heä phöông trình vi phaân caáp I

Trong chöông naøy ta seõ nghieân cöùu caùc heä phöông trình vi phaân caáp I, ñaëc bieät laø caùcheä phöông trình vi phaân tuyeán tính maø caáu truùc nghieäm cuûa noù töông töï nhö tröôønghôïp phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao.

4.1 Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt.

4.1.1 Caùc ñònh nghóa:

Heä phöông trình vi phaân toång quaùt laø heä goàm caùc phöông trình chöùa bieán ñoäc laäp,caùc haøm (nghieäm) caàn tìm vaø nhaát thieát phaûi chöùa caùc ñaïo haøm cuûa chuùng theo bieánñoäc laäp. Neáu chæ xuaát hieän caùc ñaïo haøm caáp I cuûa caùc aån, ta noùi heä ñoù laø heä phöôngtrình vi phaân caáp I.

Ta noùi moät heä goàm n phöông trình vi phaân caáp I laø coù daïng chuaån taéc (daïng giaûira ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm) neáu coù theå vieát döôùi daïng:

dy1

dx= f1(x, y1, . . . , yn)

dy2

dx= f2(x, y1, . . . , yn)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·dyn

dx= fn(x, y1, . . . , yn)

(4.1)

trong ñoù x laø bieán ñoäc laäp, y1, . . . , yn laø caùc aån caàn tìm.

Heä phöông trình chuaån taéc treân coù theå vieát laïi döôùi daïng thu goïn nhö sau

y′ = f(x, y) (4.2)

trong ñoù y = (y1, . . . , yn)T , y′ = (y′1, . . . , y′n)

T vaø f = (f1, . . . , fn)T .

Ñònh nghóa 4.1.1. Moãi nghieäm cuûa heä (4.1) laø moät boä goàm n haøm y1 = ϕ1(x), . . . , ϕn(x)khaû vi lieân tuïc treân khoaûng I ⊂ R maø khi thay vaøo (4.1) thì ñöôïc ñaúng thöùc ñuùng.



62 Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I

4.1.2 Lieân heä giöõa heä phöông trình vaø phöông trình vi phaân caáp cao:

Vôùi moät soá giaû thieát naøo ñoù, vieäc giaûi heä phöông trình (4.1) coù theå ñöa veà giaûi phöôngtrình vi phaân caáp cao döïa treân phöông phaùp khöû sau ñaây. Ñaïo haøm hai veá cuûaphöông trình ñaàu tieân cuûa heä (4.1), ta ñöôïc

y′′1 =∂f1

∂x+∂f1

∂y1y′1 + · · ·+ ∂f1

∂yny′n

Thay caùc y′j bôûi caùc bieåu thöùc cuûa noù, ta coù theå vieát y′′1 nhö laø haøm cuûa x, y1, . . . , yn

y′′1 = F1(x, y1, . . . , yn)

Laïi laáy ñaïo haøm hai veá ñaúng thöùc naøy theo x, ta coù

y′′′1 =∂F1

∂x+∂F1

∂y1

y′1 + · · ·+ ∂F1

∂yn

y′n

=: F2(x, y1, . . . , yn)

Tieáp tuïc quaù trình treân cho ñeán ñaïo haøm caáp n cuûa y1 ta ñöôïc heä

y′1 = f1(x, y1, . . . , yn)

y′′1 = F1(x, y1, . . . , yn)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·y

(n)1 = Fn−1(x, y1, . . . , yn)

Trong heä naøy ta xeùt n − 1 phöông trình ñaàu tieân vôùi n − 1 aån laø y2, . . . , yn. Vôùi moätvaøi ñieàu kieän naøo ñoù (ñeå giaû thieát cuûa ñònh lyù haøm ngöôïc ñöôïc thoaû maõn) ta coù theågiaûi ñöôïc (duy nhaát) caùc y2, . . . , yn nhö laø haøm theo caùc bieán x, y1, y

′1, . . . , y

(n−1)1 . Thay

bieåu thöùc cuûa chuùng vaøo phöông trình cuoái cuøng cuûa heä, ta coù

y(n)1 = Fn(x, y1, y

′1, . . . , y

(n−1)1 )

Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp n daïng ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm. Giaûi phöông trìnhnaøy ñeå tìm y1, roài tính caùc ñaïo haøm y′1, . . . , y

(n−1)1 . Töø ñoù ta tính ñöôïc caùc y2, . . . , yn.

Ngöôïc laïi, cho tröôùc phöông trình vi phaân caáp n daïng

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1))

ta coù theå ñöa veà moät heä phöông trình vi phaân caáp I daïng chuaån taéc baèng caùch ñaëty1 = y, yj = y′j−1

y′1 = y2

y′2 = y3

· · · · · · · · · · · · · · ·y′n = f(x, y1, y2, . . . , yn)



4.1. Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. 63

Ví duï: Giaûi heä saudx

dt= y,

dy

dt= x

Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình ñaàu roài keát hôïp vôùi phöông trình sau ta ñöôïc phöôngtrình

d2x

dt2− x = 0

töø ñoù nghieäm toång quaùt laø

x = x(t) = C1e−t + C2e

t

ø Töøø phöông trình thöù nhaát ta tính ñöôïc

y = y(t) = −C1e−t + C2e

t

4.1.3 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm

Ñoái vôùi heä phöông trình vi phaân caáp I, baøi toaùn Cauchy ñöôïc phaùt bieåu moät caùch töôngtöï nhö tröôøng hôïp moät phöông trình: Tìm nghieäm y1(x), . . . , yn(x) cuûa heä (4.1) thoaûñieàu kieän ban ñaàu

yj(x0) = y0j , j = 1, 2, . . . , n (4.3)

trong ñoù caùc giaù trò x0 ∈ I, y01, . . . , y

0n cho tröôùc, goïi laø giaù trò ban ñaàu.

Ñeå yù raèng khoâng phaûi bao giôø ñònh lyù Cauchy cuõng coù (duy nhaát ) nghieäm. Ñònh lyùsau ñaây giaûi quyeát baøi toaùn naøy ñoái vôùi heä chuaån taéc.

Ñònh lyù 4.1.1 (Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû caùc haøm f1(x, y), . . . , fn(x, y)trong (4.1) laø lieân tuïc treân moät taäp môû G ⊂ R

n+1 chöùa (x0, y01, . . . , y

0n) vaø thoaû ñieàu kieän

Lipschitz theo bieán y. Khi ñoù trong moät laân caän naøo ñoù cuûa x0 coù toàn taïi moät nghieämy1(x), . . . , yn(x) thoaû baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu ñaõ cho vaø nghieäm ñoù laøduy nhaát.

Chöùng minh: : Vieát laïi heä döôùi daïngdy

dx= f(x, y), trong ñoù y := (y1, . . . , yn)T vaø

f := (f1, . . . , fn)T vaø laäp laïi caùc böôùc chöùng minh nhö trong ñònh lyù toàn taïi vaø duynhaát cho phöông trình vi phaân caáp I. �

Nhaän xeùt: Thay cho ñieàu kieän Lipschitz ta coù theå yeâu caàu (maïnh hôn) raèng haømf(x, y) coù caùc ñaïo haøm rieâng theo bieán y bò chaën.

Ñònh nghóa 4.1.2. Giaû söû taäp G thoaû maõn taát caû caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù 4.1.1. Khiñoù n haøm

yj = yj(x, C1, . . . , Cn) j = 1, 2, . . . , n (∗)phuï thuoäc vaøo n tham soá C1, . . . , Cn vaø coù caùc ñaïo haøm rieâng theo x ñöôïc goïi laønghieäm toång quaùt cuûa heä (4.1) neáu:




• Vôùi moãi (x0, y01, . . . , y

0n) trong G, töø heä (∗) coù theå giaûi ñöôïc (duy nhaát ) caùc haèng

soá C1, . . . , Cn.

• Taäp hôïp n haøm trong (∗) laø nghieäm cuûa heä (4.1) vôùi moãi boä giaù trò cuûa caùc thamsoá C1, . . . , Cn giaûi ra ñoái vôùi moãi (x, y1, . . . , yn) ∈ G.

Ñònh nghóa 4.1.3. Nghieäm cuûa heä maø taïi moãi ñieåm cuûa noù thoaû maõn caùc ñieàu kieäncuûa ñònh lyù 4.1.1 ñöôïc goïi laø nghieäm rieâng cuûa heä. Ngöôïc laïi, nghieäm cuûa heä maøtính chaát duy nhaát nghieäm bò vi phaïm ñöôïc goïi laø nghieäm kyø dò.

Ví duï: Kieåm tra raèng heä caùc haøm{y1(x) = C1e

−x + C2e−3x

y2(x) = C1e−x + 3C2e

−3x + cosx

laø nghieäm toång quaùt cuûa heä{y′1(x) = −y2 + cosxy′2(x) = 3y1 − 4y2 + 4 cosx− sin x

Ta coù f1(x, y1, y2) = −y2 + cosx vaø f2(x, y1, y2) = 3y1 − 4y2 + 4 cosx − sin x, do ñoùchuùng coù caùc ñaïo haøm rieâng lieân tuïc treân R

3.

Vôùi moãi (x, y1, y2) ∈ R3, ta luoân coù theå giaûi ñöôïc (duy nhaát) caùc C1, C2, cuï theå{

C1 = 12ex(3y1 − y2 + cosx)

C2 = 12e−3x(y2 − y1 − cosx

Ngoaøi ra, töø caùc haøm ñaõ cho, ta coù{y′1(x) = −C1e

−x − 3C2e−3x

y′2(x) = −C1e−x − 9C2e

−3x − sin x

neân chuùng thöïc söï laø nghieäm cuûa heä noùi treân.

4.1.4 Caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình vi phaân:Ñöa heä veà phöông trình caáp cao:

Nhôø moái lieân heä chaët cheõ giöõa heä phöông trình vi phaân caáp I vaø phöông trình vi phaâncaáp cao, ta coù theå ñöa vieäc giaûi heä phöông trình vi phaân veà giaûi phöông trình vi phaâncaáp cao, nhö ví duï treân. Ta xeùt moät ví duï khaùc

Ví duï: Tìm nghieäm cuûa heä chuaån taéc{y′1 = −y2 + cosxy′2 = 3y1 − 4y2 + 4 cosx− sin x



4.1. Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. 65

Ta ñöa heä phöông trình ñaõ cho veà phöông trình vi phaân caáp II vôùi aån laø y1. Ñaïo haømhai veá phöông trình ñaàu tieân ta ñöôïc

y′′1 = −y′2 − sin x

= −(3y1 − 4y2 + 4 cosx− sin x)

= −3y1 + 4y2 − 4 cosx

Thay y′2 töø phöông trình thöù II ta ñöôïc:

y′′1 + 4y′1 − 3y1 = 0

Phöông trình thuaàn nhaát naøy coù nghieäm toång quaùt laø

y1 = C1e−x + C2e

−3x

Töø phöông trình thöù nhaát ta tìm ñöôïc

y2 = C1e−x + 3C2e

−3x + cosx

Heä goàm y1, y2 cho nghieäm (toång quaùt) cuûa heä phöông trình treân.

Phöông phaùp laäp toå hôïp tích phaân:

Cho heä phöông trình vi phaân caáp I

dyi

dx= fi(x, y1, . . . , yn), vôùi i = 1, 2, . . . , n

Ñeå giaûi heä naøy ta coù theå tìm moät phöông trình heä quaû (chaúng haïn toå hôïp tuyeán tínhcuûa caùc phöông trình treân) cuûa heä ñaõ cho, deã laáy tích phaân hôn, vaø ñöôïc goïi laø toå hôïptích phaân cuûa heä phöông trình ñaõ cho.

Ví duï: Baèng caùch laäp toå hôïp tích phaân, giaûi heä sau

dx

dt= y,

dy

dt= x

Laáy hai phöông trình ñaõ cho coäng vaø tröø vôùi nhau ta ñöôïc

d(x+ y)

dt= x+ y vaø

d(x− y)dt

= −(x− y)

Giaûi töøng phöông trình, ta thu ñöôïc heä

x+ y = C1et vaø x− y = C2e

−t

Vaø töø ñaây ta tìm ñöôïc nghieäm x(t), y(t).

Nhaän xeùt: Moãi toå hôïp tích phaân coù theå vieát döôùi daïng

Φ(x, y1, . . . , yn) = C




vaø phöông trình naøy (hoaëc veá traùi cuûa noù) ñöôïc goïi laø tích phaân ñaàu cuûa heä.

Neáu tìm ñöôïc k toå hôïp tích phaân cuûa heä

Φ1(x, y1, . . . , yn) = C1

Φ2(x, y1, . . . , yn) = C2

................................

Φk(x, y1, . . . , yn) = Ck

vaø neáu k tích phaân ñaàu naøy ñoäc laäp, thì coù theå ñöa veà giaûi heä n− k phöông trình.

Tröôøng hôïp k = n, khi ñoù n tích phaân ñaàu ñoäc laäp cho ta nghieäm toång quaùt cuûa heä.

Ví duï: Tích phaân heä phöông trình sau ñaây

dx

dt= z − y, dy

dt= x− z, dz

dt= y − x

Coäng caùc phöông trình vôùi nhau ta ñöôïc

d(x+ y + z)

dt= 0

Phöông trình naøy cho moät tích phaân ñaàu laø

ϕ1 = x+ y + z = C1

Baây giôø nhaân caùc phöông trình vôùi x, y, z laàn löôït roài coäng laïi, ta ñöôïc

d(x2 + y2 + z2)

dt= 0

töø ñaây ta cuõng thu ñöôïc tích phaân ñaàu

ϕ2 = x2 + y2 + z2 = C2

Ta deã kieåm tra raèng ϕ3 = xy + yz + yx = C3 cuõng laø moät tích phaân ñaàu nhöng boä bagoàm caùc tích phaân ñaàu ϕ1, ϕ2, ϕ3 khoâng ñoäc laäp tuyeán tính neân khoâng theå cho nghieämtoång quaùt cuûa heä.

Baây giôø töø hai tích phaân ñaàu ñaàu tieân, ta giaûi ñeå tìm x, y:

x =1

2

(C1 − z −

√2C2 − C2

1 + 2C1z − 3z2

)

y =1

2

(C1 − z +

√2C2 − C2

1 + 2C1z − 3z2

)Thay caùc bieåu thöùc naøy vaøo phöông trình cuoái

dz

dt=√

2C2 − C21 + 2C1z − 3z2

ta tìm ñöôïc nghieäm

arcsin3z − C1√6C2 − 2C2

1

−√

3t = C3

Keát hôïp vôùi hai tích phaân ñaàu ϕ1, ϕ2 ta tìm ñöôïc nghieäm toång quaùt cuûa heä.



4.2. Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân 67

4.2 Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân

4.2.1 Söï toàn taïi nghieäm:

Trong ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy, ñieàu kieän Lipschitzkhoâng theå boû ñöôïc. Ñònh lyù sau ñaây khaúng ñònh söï toàn taïi (nhöng khoâng duy nhaát!)cuûa nghieäm khoâng duøng ñieàu kieän Lipschitz.

Ñònh lyù 4.2.1 (Peano). Xeùt hình hoäp A = {(x, y) ∈ R×Rn/|x− x0| ≤ a, ||y− y0|| ≤ b}

vaø giaû söû f : A→ Rn lieân tuïc. Ñaët M = maxA ||f(x, y)|| vaø α = min(a, b/M). Khi ñoù

baøi toaùn Cauchy y′ = f(x, y), y(x0) = y0 coù ít nhaát moät nghieäm treân [x0 − α, x0 + α].

Nhaän xeùt: Tröôùc heát haõy löu yù raèng ta khoâng theå söû duïng phöông phaùp laëp Picard vìkhoâng coù lyù do baûo ñaûm daõy xaáp xæ ñoù hoäi tuï. Thay vaøo ñoù, ngöôøi ta xaây döïng caùcnghieäm xaáp xæ (ñòa phöông) bôûi tieáp tuyeán cuûa noù

y(x+ h) ∼= y(x) + h.f(x, y(x))

Vôùi h cho tröôùc ta xaây döïng daõy {xn, yn}n≥0 xaùc ñònh bôûi:

yn+1 = yn + hf(xn, yn), xn+1 = xn + h. (4.4)

Ta goïi yh(x) laø haøm tuyeán tính töøng khuùc qua caùc ñieåm (xn, yn); ñoà thò cuûa noù ñöôïcgoïi laø ña giaùc Euler.

Boå ñeà 4.2.2. Vôùi caùc giaû thieát trong ñònh lyù 4.2.1 vaø vôùi h := α/N (N ∈ N), ña giaùcEuler thoaû (x, yh(x)) ∈ A vôùi moïi x ∈ [x0, x0 + α]. Ngoaøi ra,

||yh(x)− yh(x′)|| ≤ M |x− x′| vôùi moïi x, x′ ∈ [x0, x0 + α]

Chöùng minh: Qui naïp theo n. Giaû söû ñieàu ñoù ñuùng vôùi n, ta coù

||yn+1 − yn|| ≤ hM

neân, vôùi n+ 1 ≤ N ta ñeâu coù

||yn+1 − y0|| ≤ (n + 1)hM ≤ αM ≤ b

Ñieàu naøy chöùng toû (x, yh(x)) ∈ A vôùi moïi x ∈ [x0, x0 + α].

Baát ñaúng thöùc trong meänh ñeà laø hieån nhieân ñuùng vì yh(x) laø tuyeán tính töøng khuùcvaø coù “heä soá goùc” bò chaën bôûi M . �

Ñeå chöùng minh ñònh lyù ta caàn khaùi nieäm sau:

Ñònh nghóa 4.2.1. Hoï haøm fλ : I → Rn ñöôïc goïi laø ñoàng lieân tuïc neáu vôùi moïi ε > 0,

coù toàn taïi moät δ > 0 (khoâng phuï thuoäc vaøo caû ε laãn λ) sao cho

∀λ, ∀x, x′ (|x− x′| < δ =⇒ ||fλ(x)− fλ(x′)|| < ε)

Ñònh lyù 4.2.3 (Arzela−Ascoli). Cho hoï caùc haøm fλ : [a, b] → Rn ñoàng lieân tuïc vaø bò

chaën ñeàu treân [a, b]. Khi ñoù hoï haøm {fλ} coù chöùa moät daõy con {gn(x)} hoäi tuï ñeàu ñeánmoät haøm g(x) lieân tuïc treân [a, b].

Chöùng minh: Xem giaùo trình giaûi tích haøm.




Chöùng minh ñònh lyù Peano:

Xeùt ña giaùc Euler yh(x) vôùi h = α/N , Daõy naøy bò chaën vaø ñoàng lieân tuïc (theo Boå ñeà4.2.2) neân theo ñònh lyù Arzela−Ascoli, hoï haøm yh(x) coù chöùa moät daõy con hoäi tuï ñeàuveà haøm lieân tuïc y : [a, b]→ R

n

Ta chæ ra raèng haøm giôùi haïn naøy chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Ta xeùtx ∈ [x0, x0 + α] (treân [x0 − α, x0] ta xeùt töông töï), kyù hieäu k = k(h) laø chæ soá sao chox ∈ [xk, xk+1], vôùi xk = x0 + kh. Khi ñoù, treân ñoaïn con naøy ta coù

yh(x)− y0 = hf(x0, y0) + · · ·+ hf(xk−1, yk−1) + (x− xk)f(xk, yk)

vôùi caùc caëp giaù trò (xj , yj) laø caùc xaáp xæ baèng phöông phaùp Euler (xem (4.4)).

Vì f lieân tuïc neân khaû tích, vaø coù theå vieát∫ x

x0

f(t, y(t))dt = hf(x0, y(x0)) + · · ·+ hf(xk−1, y(xk−1)) + (x− xk)f(xk, y(xk)) + r(h)

vôùi r(h)→ 0 khi h→ 0.

Tính lieân tuïc ñeàu cuûa f treân A vaø söï hoäi tuï ñeàu cuûa daõy con cuûa {yh(x)} ñeán y(x)cho pheùp ta ñaùnh giaù

||f(x, yh(x))− f(x, y(x))|| < ε

vôùi h ñuû beù. Khi ñoù töø caùc ñaúng thöùc treân ta coù∣∣∣∣∣∣∣∣yh(x)− y0 −

∫ x

x0

f(t, y(t))dt

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ε|x− x0|+ ||r(h)|| ≤ εα + ||r(h)||

Cho h→ 0 ta thaáy haøm y(x) thoaû maøn phöông trình tích phaân

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, y(t))dt

maø nghieäm cuûa noù chính laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn Cauchy. �

Nhaän xeùt: Ñònh lyù Peano hoaøn toaøn khoâng chöùa thoâng tin veà söï duy nhaát nghieäm.

4.2.2 Thaùc trieån nghieäm vaø söï toàn taïi toaøn cuïc:

Ta quan taâm ñeán baøi toaùn keùo daøi nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy y′ = f(x, y) vôùiy(x0) = y0.

Ñònh nghóa 4.2.2. Haøm f : U → Rn (vôùi U laø môû trong R × R

n) ñöôïc goïi laø thoaûñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân U neáu taïi moãi (x0, y0) ∈ U ñeàu toàn taïi laâncaän V ⊂ U sao cho f thoaû ñieàu kieän Lipschitz treân V .

Nhaän xeùt: Neáu haøm f lôùp C1 treân U thì thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông.



4.3. Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính 69

Boå ñeà 4.2.4. Neáu f :→ Rn lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân U thì

vôùi moïi (x0, y0) ∈ U ñeàu toàn taïi moät khoaûng môû Imax = (ω , ω+) � x0 sao cho:

• Baøi toaùn Cauchy y′ = f(x, y) vôùi y(x0) = y0 coù nghieäm duy nhaát treân Imax

• Neáu z : I → Rn laø moät nghieäm naøo ñoù cuûa baøi toaùn Cauchy naøy thì I ⊂ Imax vaø

z = y|I .Chöùng minh: Chæ caàn ñaët

Imax = ∪{I/I môû chöùa x0 vaø baøi toaùn Cauchy coù nghieäm treân I}Sau ñoù xaùc ñònh haøm y : Imax → R

n theo caùch sau: Vôùi x ∈ Imax, x phaûi thuoäc moät Inaøo ñoù, maø treân ñoù baøi toaùn Cauchy coù nghieäm. Khi ñoù, ta gaùn y(x) bôûi giaù trò cuûanghieäm ñoù taïi x. Phaàn coøn laïi, ta caàn chæ ra nghieäm nhö theá laø xaùc ñònh toát vaø duynhaát. Chi tieát daønh cho baïn ñoïc. �

Ñònh lyù 4.2.5. Giaû söû f : U → Rn lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân

U . Khi ñoù moãi nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy ñeàu coù moät thaùc trieån ñeán bieân cuûa U .

Chính xaùc hôn, giaû söû y : Imax → Rn laø nghieäm qua (x0, y0) ∈ U , khi ñoù vôùi moïi com-

pact K ⊂ U ñeàu toàn taïi x1, x2 ∈ Imax vôùi x1 < x0 < x2 sao cho (x1, y(x1)), (x2, y(x2)) /∈K.

Chöùng minh: Giaû söû Imax = (ω , ω+). Neáu ω+ =∞ thì hieån nhieân toàn taïi x2 > x0 saocho (x2, y(x2)) /∈ K.

Xeùt tröôøng hôïp ω+ < ∞, giaû söû coù toàn taïi compact K maø (x, y(x)) ∈ K vôùi moïix ∈ (x0, ω+). Vì f bò chaën treân K neân

||y(x)− y(x′)|| =∣∣∣∣∣∣∣∣∫ x

x′f(t, y(t))dt

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤M |x− x′| < ε

neáu x, x′ ñuû gaàn ω+.

Ñieàu naøy daãn ñeán toàn taïi limx→ω+ y(x) = y+; vaø roõ raøng (ω+, y+) ∈ K ⊂ U do Kcompact. Theo ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm, coù toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùny′ = f(x, y), y+(ω+) = y+ trong laân caän cuûa ω+. Ñieàu naøy voâ lyù vì Imax laø cöïc ñaïi.Chöùng minh töông töï cho tröôøng hôïp x1. �

4.3 Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính

Trong muïc naøy ta seõ khaûo saùt caùc heä phöông trình vi phaân tuyeán tính daïng

dy1

dx= a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · ·+ a1n(x)yn + g1(x)

dy2

dx= a21(x)y1 + a22(x)y2 + · · ·+ a2n(x)yn + g2(x)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·dyn

dx= an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · ·+ ann(x)yn + gn(x)

(4.5)




trong ñoù x laø bieán ñoäc laäp vaø y1, . . . , yn laø caùc aån haøm caàn tìm, caùc haøm aij(x) vaøgi(x) laàn löôït ñöôïc goïi laø caùc heä soá vaø heä soá töï do cuûa heä. Chuùng ñöôïc giaû thieátlieân tuïc treân khoaûng I = (a, b) ⊂ R naøo ñoù. Teân goïi heä phöông trình tuyeán tính laødo veá phaûi laø caùc haøm baäc nhaát theo caùc aån haøm y1, . . . , yn.

Duøng kyù hieäu ma traän, coù theå vieát heä (4.5) döôùi daïng thu goïn

y′ = A(x)y + g(x) (4.6)

trong ñoù A(x) = (aij(x)) laø ma traän haøm caáp n× n, g(x) = (g1(x), . . . , gn(x))t laø vectorcoät. Neáu g(x) ≡ 0, ta noùi heä treân laø heä tuyeán tính thuaàn nhaát , neáu ngöôïc laïi, tanoùi heä khoâng thuaàn nhaát. Ñònh lyù sau ñaây laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa ñònh lyù toàntaïi vaø duy nhaát nghieäm toång quaùt ñoái vôùi baøi toaùn Cauchy.

Ñònh lyù 4.3.1 (Toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû caùc heä soá aij(x) vaø gi(x) laø caùchaøm lieân tuïc treân khoaûng I � x0. Khi ñoù heä phöông trình (4.6) coù duy nhaát moät nghieämy = y(x) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu (4.3) treân I .

4.3.1 Heä tuyeán tính thuaàn nhaát:

Ta seõ moâ taû kyõ hôn khoâng gian nghieäm cuûa heä thuaàn nhaát maø, vôùi kyù hieäu ma traän coùtheå vieát laïi döôùi daïng

y′ = A(x)y (4.7)

Tröôùc heát haõy nhaän xeùt raèng taäp taát caû caùc nghieäm cuûa moät heä thuaàn nhaát coù caáu truùckhoâng gian vector (treân R). Ñeå xaây döïng nghieäm toång quaùt cuûa heä (4.7), ta tìm nnghieäm ñoäc laäp tuyeán tính laäp thaønh cô sôû cuûa khoâng gian nghieäm cuûa noù.

Heä n nghieäm nhö theá luoân toàn taïi, chaúng haïn, ta laáy n nghieäm yi(x) = (yi1(x), . . . , yin(x)),vôùi i = 1, n maø thoaû ñieàu kieän ban ñaàu yi(x0) = ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)t, trong ñoùsoá 1 ôû vò trí thöù i.

Kyù hieäu R(x, x0) laø ma traän maø caùc vector coät cuûa noù laø caùc nghieäm ñaëc bieät naøy,khi ñoù R(x, x0) ñöôïc goïi laø giaûi thöùc cuûa heä phöông trình (4.7).

Meänh ñeà sau cho ta vaøi tính chaát ñôn giaûn cuûa giaûi thöùc:

Meänh ñeà 4.3.1. Giaû söû A(x) laø ma traän caùc haøm lieân tuïc treân moät ñoaïn naøo ñoù I � x0.Khi ñoù:

i) R(x0, x0) = In

ii) R(x, x0) = R(x, x1)R(x1, x0)

iii) R(x, x0) khaû nghòch, vaø R(x, x0)−1 = R(x0, x)

Baây giôø, giaû söû yi(x) = (yi1(x), . . . , yin(x)), vôùi i = 1, n laø n nghieäm ñoäc laäp tuyeántính naøo ñoù cuûa heä (4.7). Ta kyù hieäu Φ(x) laø ma traän maø caùc coät cuûa noù laø n nghieämnaøy. Khi ñoù Φ(x) laø ma traän khaû nghòch vaø ñöôïc goïi laø ma traän cô baûn cuûa heä, trongkhi ñònh thöùc cuûa noù cuõng goïi laø ñònh thöùc Wronski cuûa n nghieäm naøy. Ta kieåm trakhoâng khoù raèng



4.3. Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính 71

Meänh ñeà 4.3.2. R(x, x0) = Φ(x)Φ(x0)−1

Chöùng minh: Thaät vaäy, do tính chaát tuyeán tính cuûa heä (4.7), nghieäm y(x, x0, y0) cuûaheä naøy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(x0) = y0 ∈ R

n coù theå vieát döôùi daïng

y(x, x0, y0) = R(x, x0)y0

Maët khaùc, Φ(x)Φ(x0)−1y0 cuõng laø moät nghieäm cuûa heä vaø thoaû cuøng ñieàu kieän ban ñaàu

nhö y(x, x0, y0). Do tính duy nhaát nghieäm ta suy ra ñieàu phaûi chöùng minh. �

Ñònh lyù 4.3.2 (Coâng thöùc Ostrogradski−Liouville). Giaû söû A(x) trong heä (4.7) lieântuïc treân moät khoaûng I naøo ñoù vaø Φ(x) laø ma traän cô baûn cuûa noù. Khi ñoù

det Φ(x) = det Φ(x0). exp

(∫ x

x0

tr A(t)dt

)

trong ñoùtrA(x) := a11(x) + · · ·+ ann(x) ñöôïc goïi laø veát cuûa ma traän A(x).

Chöùng minh: Ñaët Φ(x) = (Φij(x))n×n. Vì ñònh thöùc det Φ(x) laø tuyeán tính theo moãihaøng cuûa Φ(x) neân ta coù

d

dx(det Φ(x)) =

n∑i=1

detDi(x) vôùi Di(x) =

Φ11(x) · · · Φ1n(x)· · · · · · · · ·

Φ′i1(x) · · · Φ′

in(x)· · · · · · · · ·

Φn1(x) · · · Φnn(x)

trong ñoù ma traän Di(x) suy töø ma traän Φ(x) baèng caùch thay doøng thöù i bôûi caùc ñaïohaøm cuûa noù.

Ñeå yù raèng Φ(x) laø ma traän nghieäm cuûa (4.7), töùc laø Φ′(x) = A(x)Φ(x), neân ta coùΦ′

ij(x) =∑n

k=1 aik(x)Φkj(x). Töø ñoù

detDi(x) =

n∑k=1

aik(x) det

Φ11(x) · · · Φ1n(x)· · · · · · · · ·

Φk1(x) · · · Φkn(x)· · · · · · · · ·

Φn1(x) · · · Φnn(x)

←− haøng thöù i

Neáu k = j thì ñònh thöùc töông öùng ôû veá phaûi baèng 0, do ñoù

detDi(x) = aii(x) det Φ(x)

Do ñoùd

dx(det Φ(x)) =

n∑i=1

aii(x) det Φ(x) = trA(x). det Φ(x)

Tích phaân phöông trình vi phaân naøy ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. �




Nhaän xeùt: Töø ñònh lyù treân ta thaáy raèng heä n nghieäm cuûa (4.7) laäp thaønh heä nghieämcô baûn khi ma traän thaønh laäp bôûi chuùng coù ñònh thöùc khaùc khoâng taïi ít nhaát moät ñieåmx0 naøo ñoù. Do ñoù ñeå tìm nghieäm toång quaùt cuûa heä (4.7) ta tìm heä n nghieäm cô baûnyi(x) = (yi1(x), . . . , yin(x)). Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa heä laø

y = C1y1(x) + · · ·+ Cnyn(x) = C1

y11(x)y12(x)

...y1n(x)

+ · · ·+ Cn

yn1(x)yn2(x)

...ynn(x)

trong ñoù C1, . . . , Cn laø caùc haèng soá tuyø yù.

4.3.2 Heä PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát:

Tröôùc heát ta ñeå yù raèng neáu bieát moät nghieäm rieâng naøo ñoù cuûa heä khoâng thuaàn nhaát(4.6) vaø nghieäm toång quaùt cuûa heä thuaàn nhaát töông öùng thì toång cuûa chuùng cho tanghieäm toång quaùt cuûa heä khoâng thuaàn nhaát ñoù.

Ngoaøi ra ñeå xaây döïng nghieäm rieâng naøy, ta coù theå duøng phöông phaùp bieán thieânhaèng soá khi bieát n nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa heä thuaàn nhaát töông öùng. Giaû söû nønghieäm nhö theá laø yi(x) = (yi1(x), . . . , yin(x)), ta ñaët

y = C1(x)

y11(x)y12(x)

...y1n(x)

+ · · ·+ Cn(x)

yn1(x)yn2(x)

...ynn(x)

Ñeå y laø nghieäm cuûa heä (4.6), caùc haøm Ci(x) phaûi thoaû heä phöông trình vi phaân sau:

C ′1(x)

y11(x)y12(x)

...y1n(x)

+ · · ·+ C ′

n(x)

yn1(x)yn2(x)

...ynn(x)

=

g1(x)g2(x)

...gn(x)

Vì ñònh thöùc Wronski cuûa heä naøy luoân khaùc khoâng, neân ta luoân giaûi ñöôïc caùc C ′i(x) vaø

töø ñoù tìm ñöôïc Ci(x).



4.4. Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá. 73

4.4 Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá.

Trong tieát naøy ta xeùt heä phöông trình tuyeán tính vôùi caùc heä soá aij(x) laø haèng soá

dy1

dx= a11y1 + a12y2 + · · ·+ a1nyn + g1(x)

dy2

dx= a21y1 + a22y2 + · · ·+ a2nyn + g2(x)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·dyn

dx= an1y1 + an2y2 + · · ·+ annyn + gn(x)

(4.8)

Döôùi daïng ma traän, heä coù theå vieát moät caùch thu goïn:

y′ = Ay + g(x) (4.9)

trong ñoù A = (aij) laø ma traän vuoâng caáp n.

Neáu g(x) ñoàng nhaát baèng khoâng, ta coù heä tuyeán tính thuaàn nhaát heä soá haèng

y′ = Ay (4.10)

4.4.1 Phöông trình ñaëc tröng

Tröôùc heát, ta tìm nghieäm cuûa heä thuaàn nhaát (4.10). Gioáng nhö trong tröôøng hôïp phöôngtrình vi phaân caáp cao heä soá haèng ta tìm nghieäm rieâng khaùc khoâng cuûa heä thuaàn nhaátdöôùi daïng

y = (y1, . . . , yn) vôùi yj = γjeλx

Thay yj vaøo heä (4.8) vôùi chuù yù g(x) ≡ 0; sau khi ruùt goïn ta ñöôïc heä phöông trình tuyeántính cho λ vaø caùc γj laø

(a11 − λ)γ1 + a12γ2 + · · ·+ a1nγn = 0a21γ1 + (a22 − λ)γ2 + · · ·+ a2nγn = 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1γ1 + an2γ2 + · · ·+ (ann − λ)γn = 0

(4.11)

Vì caùc γj khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng neân ñònh thöùc cuûa heä phaûi baèng khoâng, töùc laøλ phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(a11 − λ) a12 · · · a1n

a21 (a22 − λ) · · · a2n...

...... · · ·

an1 an2 · · · (ann − λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (4.12)

Phöông trình (4.12) (aån laø λ) ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa heä (4.10). Ñaây laømoät phöông trình ña thöùc caáp n theo λ. Caùc nghieäm λj cuûa phöông trình naøy khoâng laøgì khaùc hôn caùc giaù trò ñaëc tröng cuûa ma traän A. Vector nghieäm vj cuûa heä (4.11) öùngvôùi giaù trò rieâng λj cuûa A chính laø caùc vector rieâng cuûa A.




4.4.2 Heä nghieäm cô baûn

Ñeå xaây döïng nghieäm toång quaùt cuûa heä thuaàn nhaát ta caàn tìm moät heä nghieäm cô baûn noù,töùc laø heä caùc nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính nhö heä caùc vector haøm. Ta nhaän xeùt raèng neáuv = (γ1, . . . , γn) laø vector rieâng cuûa A öùng vôùi giaù trò rieâng λ thì vector haøm y = eλxvlaø moät nghieäm cuûa heä (4.10). Vaäy vaán ñeà ñöa veà baøi toaùn giaù trò rieâng cuûa ma traän.

Tröôøng hôïp I (A cheùo hoaù ñöôïc)

Trong tröôøng hôïp naøy coù toàn taïi n vector rieâng ñoäc laäp tuyeán tính v1, . . . , vn öùng vôùicaùc giaù trò rieâng λ1, . . . , λ cuûa ma traän A. Xeùt ma traän nghieäm

Φ(x) =[eλ1xv1, . . . , e

λnxvn

]Ta coù Φ(0) laø khaû nghòch, do ñoù theo ñònh lyù Liouville 4.3.2 Φ(x) luoân luoân khaû nghòchvôùi moïi x. Khi ñoù giaûi thöùc cuûa heä (4.10) laø R(x, x0) = Φ(x)Φ(x0)

−1 = Φ(x−x0)Φ(0)−1

vaø nghieäm toång quaùt laø y = Φ(x).C, vôùi C laø ma traän coät caùc haèng soá tuyø yù C1, . . . , Cn.

Tröôøng hôïp I (A khoâng cheùo hoaù ñöôïc)

Muïc ñích laø tìm caùch ñöa ma traän A veà daïng ñôn giaûn nhaát coù theå ñöôïc, chaúng haïndaïng tam giaùc hoaëc daïng Jordan. Giaû söû T laø ma traän khaû nghòch sao cho T−1AT = Bvôùi B coù daïng nhö theá. Khi ñoù vôùi pheùp ñoåi aån moät caùch tuyeán tính y = Tz, heä thuaànnhaát (4.10) trôû thaønh z ′ = Bz, trong ñoù B coù daïng ñôn giaûn. Ñaëc bieät, khi B coù daïngtam giaùc, ta coù

dz1dx

= b11z1+ b12z2+ · · ·+ b1nzn

dz2dx

= b22z2+ · · ·+ b2nzn

· · · · · ·dzn

dx= bnnzn

Ta coù theå giaûi heä naøy baèng caùch tích phaân caùc phöông trình tuyeán tính baäc nhaát tröôùcheát ñoái vôùi zn roài ñeán zn−1,v.v... cuoái cuøng ñeán z1. Cuoái cuøng nghieäm cuûa heä ban ñaàucho bôûi y(x) = Tz(x).

Veà maët thöïc haønh, tröôøng hôïp I töông ñöông vôùi tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng(4.12) coù n nghieäm phaân bieät. Khi caùc nghieäm naøy laø phöùc (trong khi A laø ma traänthöïc) ta cuõng taùch phaàn thöïc vaø phaàn aûo ñeå ñöôïc caùc nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính nhöñaõ laøm ñoái vôùi PTVP tuyeán tính caáp cao heä soá haèng.

Tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm λ boäim, khi ñoù heä (4.10) coù m nghieämñoäc laäp tuyeán tính daïng

P1(x)e

λx

P2(x)eλx

...Pn(x)eλx

trong ñoù caùc P1(x), . . . , Pn(x) laø caùc ña thöùc baäc m− 1.




Cuoái cuøng ñeå tìm nghieäm cuûa heä tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát heä soá haèng ta tìm moätnghieäm rieâng cuûa noù baèng phöông phaùp bieán thieân haèng soá xuaát phaùt töø heä nghieäm côbaûn cuûa heä thuaàn nhaát töông öùng. Nghieäm toång quaùt cuûa heä khoâng thuaàn nhaát baèngtoång cuûa nghieäm rieâng naøy vaø nghieäm toång quaùt cuûa heä thuaàn nhaát töông öùng.

Ví duï: Giaûi heä

dx

dt= −x− 2y

dy

dt= 3x+ 4y

Ñaây laø heä thuaàn nhaát vôùi ma traän A =

(−1 −23 4

). Phöông trình ñaëc tröng laø

∣∣∣∣−1− λ −23 4− λ

∣∣∣∣ = λ2 − 3λ+ 2 = 0

coù caùc nghieäm laø λ1 = 1, λ2 = 2.

ÖÙng vôùi λ ta coù heä { −2γ1 − 2γ2 = 03γ1 + 3γ2 = 0

Choïn nghieäm γ1 = 1, γ2 = −1 ta ñöôïc moät nghieäm

x1 = et, y1 = et

Töông töï, vôùi λ2 = 2 ta cuõng tìm ñöôïc nghieäm

x2 = e2t, y2 = −3

2e2t

Vaäy nghieäm toång quaùt laø {x = C1e

t + C2e2t

y = −C1et − 3

2C2e

2t

trong ñoù C1, C2 laø caùc haèng soá tuyø yù.

Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa heä

x′ = x− zy′ = xz′ = x− y

Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä laø∣∣∣∣∣∣1− λ 0 −1

1 −λ 01 −1 −λ

∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)(1 + λ2) = 0

Phöông trình naøy coù caùc nghieäm laø 1,±i.




Vôùi λ = 1 ta coù heä

−γ3 = 0γ1 −γ2 = 0γ1 −γ2 −γ3 = 0

Heä naøy cho moät vector rieâng (1, 1, 0). Töø ñoù ta coù nghieäm rieâng töông öùng laø

x = et, y = et, z = 0

Vôùi λ = i ta coù heä

(1− i)γ1 −γ3 = 0γ1 −iγ2 = 0γ1 −γ2 −iγ3 = 0

⇔

γ1 tuyø yùγ2 = −iγ1

γ3 = (1− i)γ1

Choïn vector rieâng (1,−i, 1− i) ta ñöôïc nghieäm eit

−ieit

(1− i)eit

=

cos t+ i sin t

sin t− i cos t(cos t+ sin t) + i(sin t− cos t)

Taùch phaàn thöïc vaø phaàn aûo, ta ñöôïc hai nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cos t

sin tcos t+ sin t

vaø

sin t− cos t

sin t− cos t

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa heä ñaõ cho laø

x = C1et + C2 cos t+ C3 sin t

y = C1et + C2 sin t− C3 cos t

z = C2(cos t+ sin t) + C3(sin t− cos t)

trong ñoù C1, C2, C3 laø caùc haèng soá tuyø yù.

Ví duï: Giaûi heä {x′ = x− yy′ = x+ 3y

Phöông trình ñaëc tröng ∣∣∣∣1− λ −11 3− λ

∣∣∣∣ = (λ− 2)2 = 0

coù nghieäm keùp laø λ = 2. Khi ñoù heä ñaõ cho coù 2 nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính daïng{x = (C1t+ C2)e

2t

y = (D1t+D2)e2t

Thay caùc bieåu thöùc cuûa x, y vaøo heä ñaõ cho, sau khi caân baèng hai veá, ta tìm ñöôïc{D1 = C1

D2 = −C1 − C2




vaäy nghieäm toång quaùt cuûa heä ñaõ cho laø{x = (C1t+ C2)e

2t

y = −(C1t+ C1 + C2)e2t

trong ñoù C1, C2 laø hai haèng soá tuyø yù.




BAØI TAÄP

1. Giaûi caùc heä phöông trình vi phaân sau vaø xaây döïng ma traän nghieäm cô baûn

(a)

dx

dt= 3x− 2y

dy

dt= 2x− 2y

(b)

dx

dt= 2x− 5y

dy

dt= x− 2y

2. Giaûi caùc heä phöông trình vi phaân sau

(a)

dx

dt= 2x− y

dy

dt= x+ 2y

(b)

dx

dt= x+ 2y

dy

dt= 2x+ y

(c)

dx

dt+ 2x+ 4y = 1 + 4t

dy

dt+ x− y = 3

2t2

(d)

dx

dt= y

dy

dt= x+ et + e−t

3. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc heä phöông trình vi phaân sau

(a)

dx

dt= 3x+ 12y − 4z

dy

dt= −x− 3y + z

dx

dt= −x− 12y + 6z

(b)

dx

dt= 2x− y − z

dy

dt= 12x− 4y − 12z

dx

dt= −4x+ y + 5z

(c)

dx

dt= −4x+ 2y + 5z

dy

dt= 6x− y − 6z

dx

dt= −8x+ 3y + 9z



Chöông 5

Phöông phaùp soá giaûi phöông trình viphaân

Trong chöông naøy ta quan taâm ñeán vieäc giaûi gaàn ñuùng PTVP vôùi söï hoã trôï cuûa phaànmeàm tính toaùn MAPLE. Nhö ta ñaõ bieát, vieäc tìm nghieäm cuûa PTVP döôùi daïng bieåuthöùc giaûi tích chính xaùc khoâng phaûi bao giôø cuõng laøm ñöôïc. Ñieàu ñoù laøm taêng theâmvai troø cuûa caùc phöông phaùp giaûi gaàn ñuùng, ñaëc bieät trong caùc lónh vöïc öùng duïng.

Vôùi caùc coâng cuï thieát keá saün döôùi daïng “goùi leänh”, MAPLE cung caáp caùc giaûi phaùpphöông trình vi phaân khaù höõu ích vaø thuaän tieän. Chuùng toâi coá gaéng minh hoaï caùc thaotaùc tính toaùn vôùi MAPLE maø khoâng coù tham voïng ñi xa hôn vaøo nhöõng khaû naêng lôùnlao khaùc cuûa phaàn meàm naøy. Dó nhieân, ñieàu ñoù cuõng khoâng chöùng toû raèng MAPLE laøngoân ngöõ duy nhaát höõu ích nhö theá neáu ñem so saùnh vôùi moät soá phaàn meàm khaùc nhöMATHEMATICA, MATLAB, ...

5.1 Caùc phöông phaùp giaûi tích giaûi gaàn ñuùng PTVP.

5.1.1 Xaáp xæ Picard.

Nhö ñaõ trình baøy trong chöông I, vôùi moät soá giaû thieát naøo ñaáy veà haøm f(x, y), baøi toaùngiaù trò ban ñaàu

y′ = f(x, y), y(x0) = y0 (5.1)

coù duy nhaát nghieäm trong laân caän cuûa ñieåm x0.

Vaán ñeà ñaët ra khaù töï nhieân laø tìm nghieäm duy nhaát naøy. Song, khoâng phaûi luùc naøocuõng coù theå vieát ra bieåu thöùc giaûi tích cuûa nghieäm moät caùch chính xaùc; vaø vì ñieàu ñoùcuõng khoâng nhaát thieát phaûi laøm trong moät soá öùng duïng tính toaùn soá neân ngöôøi ta chæcaàn tìm nghieäm xaáp xæ vôùi moät ñoä chính xaùc naøo ñoù chaáp nhaän ñöôïc.

Phöông phaùp xaáp xæ Picard ngoaøi giaù trò veà maët lyù thuyeát veà söï toàn taïi nghieäm cuûabaøi toaùn Cauchy coøn cho chuùng ta lôøi giaûi xaáp xæ cuûa nghieäm naøy. Noäi dung cuûa



80 Chöông 5. Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân

phöông phaùp naøy laø tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình tích phaân

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, y(t))dt (5.2)

maø töông ñöông vôùi phöông trình (5.1).

Xuaát phaùt töø xaáp xæ gaàn ñuùng ñaàu tieân y0(x) ≡ y0 ta tìm caùc xaáp xæ tieáp theo baèngcoâng thöùc qui naïp

yn(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, yn−1(t))dt (5.3)

Söï kieän daõy nghieäm xaáp xæ naøy hoäi tuï ñaõ ñöôïc chöùng minh trong tieát 1.2, toác ñoä hoäituï ñöôïc ñaùnh giaù bôûi sai soá thöù n

εn(x) := |y(x)− yn(x)| ≤MLn |x− x0|n+1

(n + 1)!, ∀x ∈ [x0 − h, x0 + h]

trong ñoù M,L, h laø caùc haèng soá ñeà caäp trong ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 1.2.2.

Ví duï 1: Tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình y′ = x− y vôùi y(0) = 1

Vì haøm veá phaûi f(x, y) = x − y lieân tuïc trong toaøn maët phaúng vaø thoaû ñieàu kieänLipschitz trong laân caän cuûa ñieåm (0, 1) neân baøi toaùn ñaõ cho coù lôøi giaûi duy nhaát. Baétñaàu vôùi

y0(x) = 1

vaø duøng coâng thöùc (5.3) ta ñöôïc

y1(x) = 1 +∫ x

0(t− 1)dt = 1− x+

x2

2

y2(x) = 1 +∫ x

0(t− y1(t))dt = 1− x+ x2 − x3

6

y3(x) = 1 +∫ x

0(t− y2(t))dt = 1− x+ x2 − x3

3+x4

24

y4(x) = 1 +∫ x

0(t− y3(t))dt = 1− x+ x2 − x3

3+x4

12− x5

120· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Moät caùch toång quaùt, xaáp xæ thöù n cho bôûi

yn(x) = 1− x+ x2 − x3

3+x4

3.4− · · ·+ (−1)n+1 xn+1

3.4.5 . . . (n+ 1)

Trong ví duï naøy, nghieäm chính xaùc laø

y(x) = 2e−x + x− 1

(Baïn ñoïc haõy ñaùnh giaù toác ñoä hoäi tuï!)



5.1. Caùc phöông phaùp giaûi tích giaûi gaàn ñuùng PTVP. 81

Phöông phaùp xaáp xæ Picard cuõng coù theå aùp duïng cho heä PTVP nhö trong ví duï sauñaây:

Ví duï 2: Tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa heä{y′1 = x+ y1y2

y′2 = x2 − y21

thoaû ñieàu kieän ban ñaàu y1(0) = 1, y2(0) = 0.

AÙp duïng coâng thöùc (5.3) moät caùch luaân phieân cho y1 vaø y2 vôùi xaáp xæ ban ñaàu laànlöôït laø y0

1 = 1 vaø y02 = 0, ta tìm ñöôïc

y11(x) = 1 +

∫ x

0(t+ 0)dt = 1 +

x2

2, y1

2(x) = 0 +∫ x

0(t2 − 12)dt = −x+

x3

3

y21(x) = 1 +

∫ x

0

[t+

(1 +

t2

2

)(−t+

t3

3

)]dt = 1− x4

24+x6

36,

y22(x) =

∫ x

0

[t2 −(

1 +t2

2

)2]dt = −x− x5

5,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

5.1.2 Phöông phaùp chuoãi Taylor.

Trong moät soá tröôøng hôïp maø veá phaûi f(x, y) cuûa phöông trình (5.1) coù theå khai trieånñöôïc thaønh chuoãi Taylor trong laân caän cuûa (x0, y0), ta coù theå tìm nghieäm y(x), trongmoät laân caän cuûa x0 döôùi daïng chuoåi Taylor taïi ñieåm ñoù

y(x) =∞∑

n=0

y(n)

n!(x− x0)

n

Do ñoù, ta coù theå xaáp xæ nghieäm chính xaùc bôûi ña thöùc Taylor ñeán caáp N naøo ñoù; ñathöùc naøy hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi caùc ñaïo haøm y(k)(x0), vôùi k = 0, N . Caùc giaù trò ñaïohaøm naøy tính ñöôïc döïa vaøo phöông trình (5.1)

y(0)(x0) = y(x0) = y0

y′(x0) = f(x0, y(x0)) = f(x0, y0)

y′′(x0) = fx(x0, y0) + fy(x0, y0).y

′(x0)

y′′′(x0) = fxx(x0, y0) + 2fxy(x0, y0).y

′(x0) + fyy(x0, y0)[y′(x0)]

2 + fy(x0, y0).y′′(x0)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Ví duï 1: Tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình sau baèng phöông phaùp chuoãi Taylor

y′ = x− y, y(0) = 1




Giaûi: Ta coùy(0) = 1, y′(0) = 0− 1 = −1y′′(0) = (1− y′)(0,1) = 2

y′′′(0) = (−y′′)(0,1) = −2

y(4)(0) = (−y′′′)(0,1) = 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Töø ñoù nghieäm xaáp xæ coù daïng

y(x) = 1− x+ x2 − x3

3+x4

12− · · ·+ (−1)N 2xN

N !

Nhaän xeùt: Chuù yù raèng caùc soá haïng ñaàu tieân cuûa nghieäm naøy truøng vôùi caùc soá haïngcuûa nghieäm xaáp xæ theo Picard.

Phöông phaùp chuoãi Taylor cuõng aùp duïng cho caùc phöông trình vi phaân caáp cao nhötrong ví duï sau ñaây.

Ví duï 2: Giaûi xaáp xæ phöông trình

y′′ + xy′ + y = 0

vôùi ñieàu kieän ban ñaàu:y(0) = 0, y′(0) = 1

Giaûi: Ta coù

y′′ = −y − xy′, y′′′ = −2y′ − xy′′, y(4) = −3y′′ − xy′′′, . . .

Töø ñoù ta tính ñöôïcy′′(0) = (−y − xy′)(0,0) = 0

y′′′(0) = (−2y′ − xy′′)(0,0) = −2

y(4)(0) = (−3y′′ − xy′′′)(0,0) = 0

y(5)(0) = (−4y′′′ − xy(4))(0,0) = 8

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Nghieäm xaáp xæ coù daïng

y(x) = x− x3

3+x5

15+ · · ·

5.2 Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP.

Trong baøi naøy ta cuõng xeùt baøi toaùn giaù trò ban ñaàu

y′ = f(x, y), y(x0) = y0



5.2. Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP. 83

YÙ töôûng cuûa phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân laø “rôøi raïc hoaù” bieán cuûaphöông trình. Chính xaùc hôn, thay vì tìm nghieäm ñuùng y(x) cuûa baøi toaùn giaù trò banñaàu treân [a, b] � x0 ta xaây döïng moät daõy caùc giaù trò xaáp xæ

y1 ≈ y(x1), y2 ≈ y(x2), y3 ≈ y(x3), . . .

vôùi caùc ñieåmx1 := x0 + h, x2 := x1 + h, x3 := x2 + h, . . .

xuaát phaùt töø ñieåm ban ñaàu x0.

Haèng soá h trong caùc coâng thöùc treân ñöôïc goïi laø böôùc cuûa phöông phaùp; tuyø theodaáu cuûa h aâm hay döông maø ta “ñi luøi” hay “ñi tôùi”.

Ñeå ñaùnh giaù ñoä chính xaùc cuûa phöông phaùp ta duøng khaùi nieäm sai soá, maø ñôn giaûnchæ laø hieäu giöõa giaù trò thöïc söï vaø giaù trò xaáp xæ. Taïi ñieåm baát kyø xi+1, ta goïi sai soátoaøn cuïc laø hieäu

ei+1 = y(xi+1)− yi+1

Dó nhieân, sai soá toaøn cuïc thöôøng ñöôïc quan taâm nhöng laïi khoâng deã ñaùnh giaù vaø khoùñieàu khieån. Thay vaøo ñoù ngöôøi ta coù theå ño baèng sai soá ñòa phöông xaûy ra trongmoät böôùc xaáp xæ. Neáu goïi v(x) laø nghieäm (ñuùng) cuûa baøi toaùn giaù trò ban ñaàu

v′ = f(x, v), v(xi) = yi

thì sai soá ñòa phöông taïi x = xi+1 laø

ei+1 = v(xi+1)− yi+1

Dó nhieân, ta coù theå ñieàu khieån sai soá toaøn cuïc moät caùch giaùn tieáp baèng caùch ñieàu khieånsai soá ñòa phöông.

Ngöôøi ta taïm phaân loaïi caùc phöông phaùp soá tuyø theo noù coù “boä nhôù” hay khoâng.Töùc laø, vôùi yi ñaõ cho caùch xaùc ñònh yi+1 coù phuï thuoäc chæ vaøo thoâng tin taïi xi haykhoâng. Caùc phöông phaùp soá maø yi+1 hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh bôûi thoâng tin taïi ñieåm xi

(maø khoâng phuï thuoäc vaøo caùc ñieåm tröôùc ñoù) ñöôïc bieát ñeán vôùi teân goïi phöông phaùp“moät böôùc”.

Vaäy phöông phaùp moät böôùc toång quaùt coù theå ñöôïc moâ taû bôûi

yi+1 = yi + h∆(xi, yi), y0 = y(x0) (5.4)

trong ñoù ∆ laø haøm ñaëc tröng cho phöông phaùp.

Muïc ñích laø ta tìm caùc thuaät toaùn chính xaùc, töùc laø thuaät toaùn sao cho vôùi thuaät toaùnnaøy, nghieäm thöïc söï y(x) “haàu nhö” thoaû (5.4) theo nghóa

y(xi+1) = y(xi) + h∆(xi, y(xi)) + hτi

vôùi τi beù.




Ñaïi löôïïng hτi ñöôïc goïi laø sai soá chaët cuït ñòa phöông cuûa phöông phaùp. Moätphöông phaùp soá ñöôïc goïi laø caáp p neáu vôùi moïi xi ∈ (a, b) vaø vôùi moïi h ñuû beù, coù toàntaïi caùc haèng soá C sao cho

|τi| = Chp

Ñieàu naøy nghóa laø τi daàn ñeán 0 khoâng chaäm hôn hp; vaø ta seõ dieãn taû ñieàu ñoù bôûiτi = O(hp).

Sau ñaây ta seõ xeùt moät vaøi phöông phaùp moät böôùc thoâng duïng.

5.2.1 Phöông phaùp chuoãi Taylor.

Tuyø theo bieåu thöùc cuûa ∆ maø ta phaân loaïi caùc phöông phaùp moät böôùc. Moät trongnhöõng phöông phaùp moät böôùc ñôn giaûn nhaát laø phöông phaùp chuoãi Taylor, maø neàntaûng cuûa noù laø khai trieån Taylor cuûa nghieäm y(x).

Giaû söû ñaïo haøm ñeán caáp p + 1 cuûa y(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] naøo ñoù, khi ñoù tacoù khai trieån

y(xi+1) = y(xi) + h

[y′(xi) + · · ·+ y(p)(xi)

hp−1

p!

]+ y(p+1)(ξi)

hp+1

(p+ 1)!(5.5)

ôû ñaây xi ≤ ξi ≤ xi+1.

Tính lieân tuïc cuûa y(p+1) chæ ra raèng noù bò chaën treân [a, b] vaø nhö vaäy

y(p+1)(ξi)hp+1

(p+ 1)!= O(hp+1) = hO(hp)

Duøng söï kieän y ′ = f(x, y), (5.5) coù theå ñöôïc vieát laïi döôùi daïng

y(xi+1) = y(xi) + h

[f(xi, y(xi)) + · · ·+ f (p)(xi, y(xi))

hp−1

p!

]+ hO(hp)

trong ñoù caùc ñaïo haøm “toaøn phaàn” cuûa f ñöôïc ñònh nghóa bôûi

f (0)(x, y) = f(x, y),f (1)(x, y) = fx(x, y) + fy(x, y)f(x, y),

f (k)(x, y) = f(k−1)x (x, y) + f

(k−1)y (x, y)f(x, y), k = 2, 3, 4, . . .

Töø ñoù ta coù

∆(xi, y(xi)) = f(xi, y(xi)) + · · ·+ f (p)(xi, y(xi))hp−1

p!

vaø vôùi caùch choïn ∆ naøy, ta coù thuaät toaùn chuoãi Taylor sau ñaây:




Thuaät toaùn chuoãi Taylor:

Thuaät toaùn naøy cho pheùp nhaän ñöôïc nghieäm xaáp xæ caáp p cho baøi toaùn giaù trò ban ñaàu(5.1) treân [a, b] nhö sau:

Ñaët h =b− an

vaø

xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1

yi+1 = yi + h

[f(xi, yi) + · · ·+ f (p−1)(xi, yi)

hp−1

p!

]

trong ñoù x0, y0 laø caùc döõ kieän ban ñaàu.

5.2.2 Phöông phaùp Euler vaø Euler caûi tieán.

Phöông phaùp chuoãi Taylor caáp p = 1 ñöôïc goïi laø phöông phaùp Euler:

xi+1 = xi + h,

yi+1 = yi + hf(xi, yi)

Veà phöông dieän hình hoïc, nghieäm gaàn ñuùng cho bôûi phöông phaùp Euler ñöôïc minhhoaï bôûi moät ñöôøng gaáp khuùc maø ñoaïn ñaàu tieân truøng vôùi tieáp tuyeán vôùi ñöôøng congnghieäm taïi x0.

Ví duï: Giaûi gaàn ñuùng baøi toaùn y′ = y, y(0) = 1 vôùi böôùc h = 0, 25.

Xuaát phaùt töø x0 = 0, y0 = 1 vaø h = 0, 25, ta coù thuaät tính (ñeå yù raèng f(x, y) = y)

xi+1 = xi + 0, 25,

yi+1 = yi + 0, 25yi

Keát quaû tính toaùn boán xaáp xæ ñaàu tieân laø Nhöôïc ñieåm cuûa phöông phaùp Euler laø chæ

Böôùc thöù i xi yi Giaù trò ñuùng0 0,0 1,0 1,01 0,25 1,25 1,28402 0,5 1,5625 1,64873 0,75 1,9531 2,11704 1,0 2,4414 2,7183

Table 5.1: Nghieäm xaáp xæ baèng phöông phaùp Euler.

döøng ôû ñaïo haøm caáp I neân ñoâi khi sai soá khaù lôùn, khoâng chaáp nhaän ñöôïc. Ñeå khaécphuïc, ngöôøi ta tìm caùch haïn cheá söï thay ñoåi quaù lôùn cuûa ñaïo haøm baèng caùch theâm vaøocaùc tính toaùn trung gian thích hôïp.




l

l

l

l

l

0.50 1.25-0.25

1.5

3.0

0.0

y

X

Hình 5.1: Nghieäm ñuùng vaø nghieäm xaáp xæ theo phöông phaùp Euler

Cuï theå, phöông phaùp Euler caûi tieán cho bôûi coâng thöùc sau (coøn goïi laø coâng thöùcHeun):

xi+1 = xi + h,

yi+1 = yi + h2

[f(xi, yi) + f(xi+1, y

∗i+1)]

trong ñoù y∗i+1 := yi + hf(xi, yi) laø giaù trò xaáp xæ theo phöông phaùp Euler.

5.2.3 Caùc phöông phaùp Runge−Kutta.

Caùc phöông phaùp Runge−Kutta ñöôïc thieát keá gaàn gioáng nhö phöông phaùp chuoãi Taylor,nhöng coù vaøi ñieåm tieán boä hôn nhö khoâng yeâu caàu tính toaùn töôøng minh caùc ñaïo haømcuûa f(x, y). YÙ töôûng cô baûn cuûa noù laø duøng moät toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc giaù trò cuûaf(x, y) ñeå xaáp xæ cho y(x). Toå hôïp tuyeán tính naøy ñöôïc gheùp sao cho gaàn vôùi khaitrieån Taylor cuûa y(x) ñeå nhaän ñöôïc caùc phöông phaùp vôùi caáp p cao nhaát coù theå ñöôïc.

Ta minh hoaï phöông phaùp Runge−Kutta trong tröôøng hôïp duøng hai giaù trò cuûaf(x, y) taïi moãi böôùc; kyõ thuaät naøy hoaøn toaøn deã môû roäng cho taát caû caùc coâng thöùc kieåuRunge−Kutta.

Cho tröôùc caùc giaù trò xi, yi ; ta choïn caùc giaù trò xi, yi vaø caùc haèng soá α1, α2 ñeå laømcho

yi+1 = yi + h [α1f(xi, yi) + α2f(xi, yi)] (5.6)

phuø hôïp nhaát vôùi khai trieån Taylor

y(xi+1) = yi + h

[f(xi, yi) +

h

2f (1)(xi, yi) +

h2

6f (2)(xi, yi) + · · ·

](5.7)




Sau ñaây, caùc ñaïo haøm ñöôïc hieåu taïi ñieåm (xi, yi). Ñeå thuaän tieän ta ñaët

xi = xi + hβ1,

yi = yi + β2hf(xi, yi).

Khi ñoù, ta caàn phaûi “khôùp” bieåu thöùc

R = α1f + α2f(xi + β1h, yi + β2hf)

(α1 + α2)f + α2h(β2ffy + β1fx) +α2h

2

2(β2

2f2fyy + 2β1β2ffxy + β2

1fxx) +O(h3)

(5.8)

vôùi khai trieån Taylor

T = f +h

2f (1) +

h2

6f (2) +O(h3)

= f +h

2(ffy + fx) +

h2

6(f 2fyy + 2ffxy + fxx + fxfy + ff 2

y ) +O(h3)

(5.9)

Caân baèng caùc heä soá cuûa caùc luyõ thöøa cuûa h ta ñöôïc

h0 : α1 + α2 = 1

h1 : α2β2 + α2β1 = 12

Ta ñaët α2 = γ = 0 vaø xem nhö tham soá, ta ñöôïc

α2 = γ, α1 = 1− γβ1 = β2 =

1

2γ

Toå hôïp caùc coâng thöùc treân cho ta moät phöông phaùp moät böôùc caáp p = 2 (vôùi γ = 0)vaø f ñuû trôn. Töø ñoù ta coù thuaät toaùn sau ñaây:

Thuaät toaùn Runge−Kutta caáp 2:

Ñeå nhaän ñöôïc nghieäm xaáp xæ caáp p = 2 cho baøi toaùn giaù trò ban ñaàu (5.1), ta ñaët

h =b− an

vaø tính toaùn daõy sau:

xi+1 = xi + h, i = 0, 1, . . . , n− 1

yi+1 = yi + h

[(1− γ)f(xi, yi) + γf(xi +

h

2γ, yi +

h

2γf(xi, yi))

]

Nhaän xeùt: Phöông phaùp Euler laø tröôøng hôïp caáp p = 1 ñaëc bieät vôùi γ = 0. Vôùi γ =1

2ta coù phöông phaùp Euler caûi tieán vaø cuõng ñöôïc goïi laø phöông phaùp Runge−Kutta caáp2. Khi γ = 1 ta coù phöông phaùp Euler−Cauchy.




Ví duï: Minh hoaï phöông phaùp Euler−Cauchy ñoái vôùi baøi toaùn y′ = y2 + 1, y(0) = 0vôùi h = 0.1

Bieåu thöùc quy naïp cho yi+1 laø

xi = 0, 0.1, . . . , 1.0

yi+1 = yi + hf(xi +h

2, yi +

h

2f(xi, yi))

= yi +

[1 + (yi +

h

2(1 + y2

i ))2

]

Keát quaû tính toaùn cho trong baûng sau:

xi yi Sai soá |yi − tan(xi)|0.0 0.00000 0.00e+000.1 0.10025 0.85e−040.2 0.20252 0.19e−030.3 0.30900 0.33e−030.4 0.42224 0.56e−030.5 0.54539 0.92e−030.6 0.68263 0.15e−020.7 0.83977 0.25e−020.8 1.02534 0.43e−020.9 1.25256 0.76e−021.0 1.54327 0.14e−01

Table 5.2: Nghieäm xaáp xæ baèng phöông phaùp Euler−Cauchy.

Nhaän xeùt: Haïn cheá lôùn nhaát cuûa phöông phaùp Runge−Kutta laø khoái löôïng tính toaùnkhaù lôùn khi caáp p taêng leân. Chaúng haïn, taïi moãi böôùc ta phaûi tính p giaù trò khi caápp = 1, 2, 3, 4; 7 giaù trò khi p = 6; 9 giaù trò khi p = 7, 11 giaù trò khi p = 8;....Vì theá, thöïcteá ngöôøi ta thöôøng döøng laïi ôû caáp p = 4, vaø ta coù thuaät toaùn sau ñaây:

Thuaät toaùn Runge−Kutta caáp 4:

Thuaät toaùn naøy theå hieän bôûi daõy caùc coâng thöùc sau:

k1 = f(xi, yi),

k2 = f(xi +h

2, yi +

h

2k1),

k3 = f(xi +h

2, yi +

h

2k2),

k4 = f(xi + h, yi + hk3),

vaø

yi+1 = yi +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)




Ví duï: Tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa baøi toaùn y′ = −y + x2 − 3 sin(12x), y(0) = 2.

Ta aùp duïng phöông phaùp R−K caáp 4 vôùi böôùc h = 0.2 treân ñoaïn [0, 1]. Caùc keát quaûtính toaùn baèng MAPLE cho trong baûng sau:

xi yi

0.0 2.000000.2 1.235060.4 1.233030.6 1.159320.8 0.682591.0 1.13040

Table 5.3: Nghieäm xaáp xæ baèng phöông phaùp R−K caáp 4.

Nhaän xeùt: Phöông phaùp Runge−Kutta coù theå ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi moät heä phöôngtrình vi phaân thöôøng caáp I. Caùc böôùc tính toaùn vaãn ñöôïc thöïc hieän nhö treân.

5.2.4 Caùc phöông phaùp ña böôùc (multi-step):

Ta ñeå yù raèng caùc phöông phaùp maø ta ñaõ thaûo luaän treân ñaây laø khoâng coù boä nhôù, töùclaø giaù trò cuûa y(x) vôùi x tröôùc xi khoâng aûnh höôûng tröïc tieáp ñeán giaù trò cuûa y(x) vôùi xsau xi. Caùc phöông phaùp khaùc tieán boä hôn ôû choã coù tính ñeán aûnh höôûng cuûa caùc giaùtrò tröôùc ñoù ñeán böôùc maø ta ñang xeùt, goïi laø caùc phöông phaùp ña böôùc. Sau ñaây ta chuûyeáu xeùt ñeán caùc phöông phaùp (ña böôùc) Adams−Bashforth vaø Adams− Moulton maønoäi dung ñöôïc moâ taû bôûi caùc coâng thöùc sau ñaây:

Giaû söû ta ñaõ tìm ñöôïc caùc giaù trò xaáp xæ yi+1−j∼= y(xi+1−j) vôùi j = 2, 3, . . . , p cuûa

nghieäm y(x) cuûa baøi toaùn (5.1). Ñeå tìm giaù trò tieáp theo yi∼= y(xi) ta coù theå tieán haønh

theo caùc böôùc sau ñaây. Töø phöông trình vi phaân ñaõ cho ta coù theå xaáp xæ caùc ñaïo haømy′(xi+1−j) bôûi

y′(xi+1−j) = f(xi+1−j , y(xi+1−j)) ∼= f(xi+1−j, yi+1−j) = fi+1−j

Khi ñoù, giaù trò tieáp theo coù theå cho bôûi coâng thöùc

y(xi+1) = y(xi) +

∫ xi+1

xi

y′(x)dx = y(xi) +

∫ xi+1

xi

f(x, y(x))dx

Phöông phaùp Adams−Bashforth chuû yeáu bao goàm vieäc thay f(x, y(x)) bôûi ña thöùc noäisuy P (x) cuûa noù taïi caùc ñieåm moác xi+1−j vôùi caùc giaù trò töông öùng fi+1−j , trong ñoùj = 1, 2, . . . , p trong tích phaân treân.

yi+1 = yi + h

p∑j=1

αp,jfi+1−j (5.10)




Trong coâng thöùc naøy, taïi moãi böôùc ta chæ phaûi tính moät giaù trò cuûa f . Moät neùt thuùvò cuûa phöông phaùp naøy laø vieäc xaáp xæ y′(x) bôûi ña thöùc P (x), vì khi ñoù giaù trò cuûanghieäm y(x) giöõa hai ñieåm löôùi lieân tieáp coù theå xaáp xæ nhôø ña thöùc naøy

y(x) ∼= yi +

∫ x

xi

P (t)dt.

Nhaän xeùt: Phöông phaùp Adams−Bashforth caáp p = 1 chính laø phöông phaùp Euler,coøn khi p = 2 noù ñöôïc cho bôûi

yi+1 = yi + h

[3

2f(xi, yi)− 1

2f(xi−1, yi−1)

]

Coâng thöùc Adams−Moulton (AM) sinh ra khi ña thöùc noäi suy P (x) cho bôûi caùc giaùtrò fi+1−j vôùi j = 0, 1, . . . , p− 1

yi+1 = yi + h

p−1∑j=0

αp,jfi+1−j (5.11)

Ñieåm khaùc bieät cuûa phöông phaùp (AM) vôùi phöông phaùp (AB) laø ôû choã veá phaûi cuûa(5.11) coù chöùa soá haïng fi+1 = f(xi+1, yi+1) maø chæ ñöôïc ñònh nghóa moät caùch “aån”.Vaäy ñaàu tieân ta “tieân ñoaùn” giaù trò naøy baèng phöông phaùp (AM) trong coâng thöùc (5.10),roài sau ñoù “ñieàu chænh” noù baèng coâng thöùc (5.11).

5.3 Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE.

Trong muïc naøy ta giôùi thieäu vaø minh hoaï moät soá goùi leänh vaø thuû tuïc chuû yeáu cuûaMAPLE 7 nhaèm hoã trôï cho vieäc nghieân cöùu phöông trình vi phaân thöôøng. Dó nhieân,ñaây khoâng phaûi laø phaàn meàm duy nhaát vôùi caùc chöùc naêng nhö theá; do ñoù baïn ñoïc cuõngtìm thaáy nhöõng coâng cuï töông töï trong MATHEMATICA, MATLAB,....

5.3.1 Giôùi thieäu chung:

MAPLE laø saûn phaåm cuûa Waterloo Maple Inc. maø coù nguoàn goác xuaát phaùt töø Ñaïi hoïctoång hôïp Waterloo (Canada) vaø Ñaïi hoïc kyõ thuaät Zurich, vaø ñöôïc ñaêng kyù nhaõn hieäuthöông maïi töø phieân baûn MAPLE V. Cho ñeán nay noù ñöôïc phoå bieán roäng raõi treân toaøntheá giôùi, ñaëc bieät trong caùc tröôøng ñaïi hoïc vaø taïi caùc trung taâm tính toaùn, nhôø ôû tínhnaêng goïn nheï, deã söû duïng vaø khaû naêng tính toaùn cuûa noù.

MAPLE laø moät heä phaàn meàm tính toaùn chuyeân duïng cung caáp moät soá löôïng lôùn caùctoaùn töû toaùn hoïc khaùc nhau veà nhieàu lónh vöïc nhö giaûi tích soá, tính toaùn ñaïi soá kyù hieäu,ñoà thò,....Moät khoái löôïng caâu leänh khoång loà cuûa noù giuùp ngöôøi söû duïng deã daøng thöïchieän töø caùc pheùp tính soá hoïc ñôn giaûn ñeán caùc tính toaùn phöùc taïp nhö giaûi tích tensor,lyù thuyeát nhoùm,v.v. Noù cung caáp moät giao dieän ñeïp, deã söû duïng, moät moâi tröôøng laøm



5.3. Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE. 91

vieäc thoaûi maùi, ñaëc bieät tieän lôïi cho ngöôøi söû duïng trong lónh vöïc giaùo duïc, nghieân cöùuvaø coâng nghieäp. Ngoaøi ra, MAPLE coù theå ñöôïc söû duïng hieäu quaû nhö moät ngoân ngöõlaäp trình vôùi ñaày ñuû caùc coâng cuï, caùc thö vieän nhö moät moät ngoân ngöõ laäp trình chuyeânnghieäp.

Ñoái vôùi phöông trình vi phaân vaø phöông trình ñaïo haøm rieâng, MAPLE cung caápcaùc goùi leänh saün coù raát höõu hieäu ñeå nghieân cöùu chuùng nhö DEtools, dsolve,

PDEtools, v.v. Caùc goùi leänh naøy cho pheùp ta coù theå veõ tröôøng vector, böùc tranhpha, giaûi ñöôïc haàu heát caùc phöông trình vi phaân caáp I caàu phöông ñöôïc. Ngoaøi ra,vôùi khaû naêng tính toaùn toác ñoä vaø chính xaùc, noù coù theå hoã trôï vieäc giaûi gaàn ñuùng caùcphöông trình vi phaân baèng caùc phöông phaùp gaàn ñuùng thoâng duïng nhö phöông phaùpEuler, Runge−Kutta,....

5.3.2 Veõ ñöôøng cong tích phaân vaø tröôøng caùc höôùng

Ta minh hoaï caùc thao taùc ñoái vôùi phöông trình vi phaân

y′ = −1

2y +

3

2

maø nghieäm toång quaùt laøy = 3 + C exp(−x/2)

Ñeå veõ ñöôøng cong tích phaân, ta khai baùo vôùi MAPLE goùi leänh phöông trình vi phaân,roài khai baùo phöông trình cuøng vôùi caùc ñieàu kieän ban ñaàu:

with(DEtools):

pt := diff(y(x),x)=-y(x)/2 + 3/2;

dkbd:=[-1,-0.5],[0,0],[0,2],[-1,4],[0,5];

DEplot(pt,y(x),x=-1..5,dkbd);

Leänh DEplot veõ (maø khoâng caàn giaûi phöông trình) caùc ñöôøng cong tích phaân vôùicaùc ñieàu kieän ban ñaàu ñaõ cho.

Moät caùc töông töï ta cuõng coù theå veõ ñöôïc tröông caùc höôùng cuûa moät phöông trìnhvi phaân cho tröôùc baèng leänh dfieldplot hoaëc phaseportrait vôùi caùc khai baùohoaøn toaøn gioáng nhö treân.

5.3.3 Giaûi phöông trình vi phaân baèng MAPLE.

MAPLE ñöôïc trang bò nhieàu goùi leänh cho pheùp tìm tích phaân toång quaùt cuûa moät phöôngtrình vi phaân hoaëc giaûi gaàn ñuùng theo caùc phöông phaùp soá. Chaúng haïn, caâu leänh daïng

pt := diff(y(x),x)=-y(x)/2 + 3/2;

dsolve(pt);




cho pheùp tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ khai baùo. Ñeå tìm nghieäm rieâng,ta phaûi khai baùo theâm caùc ñieàu kieän ban ñaàu.

Ñoái vôùi caùc phöông trình vi phaân maø nghieäm cho döôùi daïng “aån”, ta cuõng coù theåtích phaân vaø veõ ñöôøng cong tích phaân cuûa chuùng vôùi coâng cuï implicitplot. Xeùt víduï sau

with(DEtools):with(plots):

pt1 := y(x)*diff(y(x),x)=-(1+y(x)ˆ2)*sin(x);

sol:= dsolve(pt1,y(x));

Nghieäm toång quaùt laø

sol := y (x)2 = −1 + e2 cos(x) C1

5.3.4 Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân baèng MAPLE

Trong phaàn naøy ta seõ minh hoaï moät soá thuû tuïc giaûi gaàn ñuùng baøi toaùn giaù trò ban ñaàu(5.1) qua caùc ví duï cuï theå sau ñaây:

Ví duï: Giaûi baèng phöông phaùp Euler baøi toaùn y′ = x+ y, y(0) = 0.

restart;

v1:= diff(y(x),x) = x + y, y(0) = 0;f := unapply(rhs(v1[1]), x, y);

h:= 0.25;

for k from 0 to 4 do x[k] := 0 + k*h od:

y[0] := 0: for k from 0 to 3 do y[k+1] := y[k] + h*f(x[k],y[k]) od:

lp := [seq([x[k], y[k]], k =0..4)];

Ta cuõng coù theå duøng thuû tuïc coù saün firsteuler trong thö vieän share nhö sau:

with(share):

readshare(ODE, plots):

v2 := firsteuler((x,y) -¿ x+y, [0,0], .25 , 4);

v3 := makelist(v2);

Trong khi ñoù nghieäm chính xaùc laø

y := ’y’:

v4 := dsolve(diff(y(x), x) = x + y(x), y(0) = 0, y(x));

vaø ta coù theå so saùnh nghieäm chính xaùc vôùi nghieäm gaàn ñuùng

with(plots):

v5 := plot(rhs(v4), x = 0..1, y = 0..0.7,style=line):

v6 :=plot(lp, x = 0..1):

v7 := textplot([1,.44,’xapxi’], [1,.65, ’y(x)’]):

display(v5, v6, v7);

Ví duï: Thuaät toaùn Runge−Kutta caáp 2 (Phöông phaùp Heun)



5.3. Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE. 93

y(x)

xapxi

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Hình 5.2: Nghieäm xaáp xæ theo phöông phaùp Euler

Phöông phaùp Runge−Kutta−Nystrom giaûi PTVP caáp II:

Phöông phaùp naøy (goïi ngaén goïn laø RKN) ñeå giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân caápII (khoâng nhaát thieát laø tuyeán tính) daïng sau ñaây

y′′(x) = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0

Thuaät toaùn RKN theå hieän bôûi thuû tuïc sau ñaây.



94

Runge-Kutta cap 2> Heun := proc(f,a,b,h,N) local k,x,y,k1,k2,ds:

ds := array(0..N):

x(0) := a: y(0) := b:

for k from 0 to N do:

ds[k] := [x(k),y(k)]:

k1 := h*f(x(k),y(k)):

k2 := h*f(x(k)+h,y(k)+k1):

y(k+1) := y(k) + (k1+k2)/2:x(k+1) := x(k) +h:

od:

convert(ds, list);

end:

> Ketqua:= Heun((x,y) -> -y +x^2 +1, 0, 1, 0.1, 10);

Ketqua [ ],0 1 [ ],.1 1.000500000 [ ],.2 1.002902500 [ ],.3 1.008926762, , , ,[:=

[ ],.4 1.020128720 [ ],.5 1.037916492 [ ],.6 1.063564425 [ ],.7 1.098225805, , , ,

[ ],.8 1.142944354 [ ],.9 1.198664640 [ ],1.0 1.266241499, , ]

>

BAØI TAÄP

1. Baèng phöông phaùp xaáp xæ Picard, giaûi caùc baøi toaùn giaù trò ban ñaàu sau:

(a) y′ =x

y, y(0) = 1 (ñeán pheùp laëp thöù 3)

(b) y ′ = x− y, y(0) = 1 (ñeán pheùp laëp thöù 3)

(c) y′ = xy + 2x− x3, y(0) = 0 (ñeán pheùp laëp thöù 6)

2. Baèng phöông phaùp chuoãi nguyeân, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchy sau:

(a) y′ = y, y(0) = 1

(b)

{y′1 = x+ y1y2, y1(0) = 1y′2 = x2 − y2

1, y2(0) = 0

3. Baèng phöông phaùp Euler, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchy sau:

(a) y′ = y, y(0) = 1 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.1

(b) y ′ = x+ 2y2, y(0) = 0 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.2

4. Baèng phöông phaùp Euler caûi tieán, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchy sau:

(a) y′ = sin x+ cos y, y(0) = 0 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.2

(b) y ′ = xy, y(0) = 1 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.2

(c) y′ = sin(x) + exp(−x), y(0) = 0 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.1



95

Runge-Kutta cap 4> RuKu := proc(f,a,b,h,N) local k,x,y,k1,k2,k3,k4,ds:

ds := array(0..N):

x(0) := a: y(0) := b:


ds[k] := [x(k),y(k)]:

k1 := h*f(x(k),y(k)):

k2 := h*f(x(k)+h/2,y(k)+k1/2):

k3 := h*f(x(k)+h/2,y(k)+k2/2):

k4 := h*f(x(k)+h,y(k)+k3):

y(k+1) := y(k) + (k1+2*k2+2*k3+k4)/6:

x(k+1) := x(k) +h:

od:

convert(ds, list);

end:

> Ketqua:= RuKu((x,y) -> -y +x^2 -3*sin(12*x), 0, 2, 0.2, 10);

Ketqua [ ],0 2 [ ],.2 1.235062198 [ ],.4 1.233026563 [ ],.6 1.159317171, , , ,[:=

[ ],.8 .6825934541 [ ],1.0 1.130402152 [ ],1.2 .8797665300 [ ],1.4 .9995772587, , , ,

[ ],1.6 1.538792095 [ ],1.8 1.358256475 [ ],2.0 2.090610498, , ]

>

(d) y ′ = −xy +4x

y, y(0) = 1 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.1

5. Baèng phöông phaùp Runge−Kutta caáp 4, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchy sauñaây roài so saùnh keát quaû vôùi phöông phaùp Euler töông öùng. Trong moãi tröôønghôïp phöông phaùp naøo toát hôn?

(a) y′ =1

x2− y

x, y(1) = −1 treân ñoaïn [1, 2] vôùi böôùc h = 0.1

(b) y ′ = x+ y, y(0) = −1 treân ñoaïn [0, 2] vôùi böôùc h = 0.1

(c) y′ = −2y + 2x2 + 2x, y(0) = 1 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.1

(d) y ′ = 1− y, y(0) = 0 treân ñoaïn [0, 2] vôùi böôùc h = 0.1

6. Cho baøi toaùn Cauchy

y′ + 3y + 4 sin(2x)− 5x2 = 0, y(0) = −4

haõy tìm

i) Nghieäm chính xaùc y(x).

ii) Nghieäm xaáp xæ treân [0, 3] baèng phöông phaùp Euler vôùi h = 0.25

iii) Nghieäm xaáp xæ treân [0, 3] baèng phöông phaùp Heun vôùi h = 0.3

4i) Nghieäm xaáp xæ treân [0, 3] baèng phöông phaùp Runge−Kutta caáp 4 vôùi h = 0.5



96

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x

Hình 5.3: Nghieäm xaáp xæ theo phöông phaùp RK caáp 4 cuûa phöông trình ddxy (x) =

−y (x) + x2 − 3 sin (12 x) , y(0) = 2.

5i) So saùnh caùc nghieäm xaáp xæ treân vôùi nghieäm chính xaùc treân moät vaøi ñoaïncon cuûa [0, 3].

7. Baèng phöông phaùp Runge−Kutta−Nystrom, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchysau:

(a) y′′(x) = xy′(x)− 5y(x), y(0) = 0, y′(0) = 3, h = 0.2, N = 5.

(b) y ′′(x) = xy′(x)− 2y(x), y(0) = 1, y′(0) = 0, h = 0.1, N = 10.



97

Runge-Kutta-Nystrom cho PTVP cap 2> RKN := proc(f,x0,y0,yp0,h,N) local

k,x,y,k1,k2,k3,k4,K,L,yp,ds:

ds := array(0..N):

x(0) := x0: y(0) := y0:yp(0) := yp0:


ds[k] := [x(k),y(k)]:

k1 := (h/2)*f(x(k),y(k),yp(k)):

K:= (h/2)*(yp(k) + k1/2):

k2 := (h/2)*f(x(k)+h/2,y(k)+K,yp(k)+k1):

k3 := (h/2)*f(x(k)+h/2,y(k)+K,yp(k)+k2):

L:=h*(yp(k) + k3):

k4 := (h/2)*f(x(k)+h,y(k)+L,yp(k)+2*k3):

y(k+1) := y(k) + h*(yp(k) + (k1+k2+k3)/3):

yp(k+1) := yp(k) + (k1+2*k2+2*k3+k4)/3:

x(k+1) := x(k) +h:

od:

eval(ds);

end:

> Ketqua:= RKN((x,y,yp) -> -(3*yp*x - 8*y -x^3*ln(x))/(x^2), 1,

3,-14, 0.2, 20):

> KQ:= convert(Ketqua, list);

KQ [ ],1 3 [ ],1.2 1.140541096 [ ],1.4 .2412019998 [ ],1.6 -.2901097032, , , ,[:=

[ ],1.8 -.6575264528 [ ],2.0 -.9385326936 [ ],2.2 -1.162682866 [ ],2.4 -1.339098555, , , ,

[ ],2.6 -1.467253924 [ ],2.8 -1.541622939 [ ],3.0 -1.553845831 [ ],3.2 -1.493810397, , , ,

[ ],3.4 -1.350225738 [ ],3.6 -1.110944433 [ ],3.8 -.7631534940 [ ],4.0 -.2934936452, , , ,

[ ],4.2 .3118622442 [ ],4.4 1.067154953 [ ],4.6 1.986999625 [ ],4.8 3.086356027, , , ,

[ ],5.0 4.380505131 ]

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

1 2 3 4 5 6

x

Hình 5.4: Nghieäm xaáp xæ theo phöông phaùp RKN cuûa phöông trình x2(D(2))(y) (x) +

3 xD (y) (x)− 8 y (x) = x3 ln (x) , y(1) = 3, y′(1) = −14.



98



Chöông 6

Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

Trong chöông naøy ta quan taâm ñeán vieäc tìm nghieäm cuûa PTVP döôùi daïng chuoãi luyõthöøa (hình thöùc). Trong raát nhieàu caùc baøi toaùn, ngöôøi ta quan taâm ñeán nghieäm cuûaPTVP trong laân caän naøo ñoù cuûa moät ñieåm x0 naøo ñoù, nhaát laø ñoái vôùi caùc PTVP coùñieåm kyø dò.

6.1 Khaùi nieäm chuoãi luyõ thöøa.

Trong baøi naøy ta nhaéc laïi moät caùch ngaén goïn caùc khaùi nieäm lieân quan ñeán chuoãi luyõthöøa. Chi tieát veà vaán ñeà naøy coù theå tìm trong baát kyø giaùo trình toaùn cao caáp naøo veàphaàn giaûi tích haøm moät bieán soá.

Chuoãi luyõ thöõa laø chuoãi haøm coù daïng∑n≥0

anxn (6.1)

trong ñoù an laø caùc haèng soá (thöïc).

Ngöôøi ta cuõng quan taâm ñeán caùc chuoãi luyõ thöøa toång quaùt vôùi soá haïng coù daïngan(x− x0)

n (khai trieån taïi x0) vì chæ sai khaùc chuoãi (6.1) bôûi pheùp tònh tieán giaù trò cuûabieán t := x− x0.

Mieàn hoäi tuï:

Ta goïi mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi luyõ thöøa (6.1) laø taäp taát caû caùc ñieåm x maø taïi ñoù chuoãisoá∑

n≥0 anxn hoäi tuï. Caùc keát quaû cuûa giaûi tích coå ñieån chæ ra raèng mieàn hoäi tuï cuûa

chuoãi luyõ thöøa coù moät trong 4 daïng sau ñaây

• [−R,R]

• [−R,R)

• (−R,R]



100 Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

• (−R,R)

trong ñoù soá thöïc khoâng aâm R ñöôïc goïi laø baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi (6.1), ñöôïc tínhbôûi coâng thöùc sau

R = limn→∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣ = limn→∞

1n√|an|

Tröôøng hôïp R = 0, chuoãi luyõ thöøa (6.1) chæ hoäi tuï taïi moät ñieåm x = 0; trong khi neáuR = +∞, noù hoäi tuï taïi moïi ñieåm. Vôùi R höõu haïn khaùc khoâng, chuoãi luyõ thöøa (6.1)hoäi tuï tuyeät ñoái treân khoaûng (−R,R) vaø phaân kyø taïi nhöõng x sao cho |x| > R.

Ví duï: Chuoãi∑

n≥0xn

n!coù baùn kính hoäi tuï R = +∞. chuoãi naøy hoäi tuï treân R vaø toång

cuûa noù khoâng laø gì khaùc hôn haøm ex.

Ví duï: Chuoãi∑

n≥0 n!xn+1 coù baùn kính hoäi tuï baèng khoâng, do ñoù chæ hoäi tuï taïi x = 0.

Caùc tính chaát giaûi tích cuûa chuoãi luyõ thöøa.

Tröôùc heát ta nhaéc laïi moät tính chaát cô baûn khaúng ñònh söï hoäi tuï ñeàu cuûa chuoãi haømluyõ thöøa beân trong mieàn hoäi tuï cuûa noù:

Ñònh lyù 6.1.1. chuoãi luyõ thöøa (6.1) hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoaïn con [α, β] naèm beân trongkhoaûng hoäi tuï (−R,R) cuûa noù.

Töø tính chaát hoäi tuï ñeàu naøy cuûa chuoãi luyõ thöøa, ta coù theå giao hoaùn pheùp toång caùcsoá haïng cuûa chuoãi vôùi caùc pheùp toaùn giaûi tích nhö laáy giôùi haïn, vi phaân, tích phaân.Chaúng haïn, keát quaû sau ñaây thöôøng ñöôïc duøng trong phöông trình vi phaân:

Ñònh lyù 6.1.2. Giaû söû chuoãi luyõ thöøa (6.1) coù baùn kính hoäi tuï R > 0. Khi ñoù toång S(x)cuûa chuoãi khaû vi voâ haïn laàn treân (−R,R) vaø

S(k)(x) =∑n≥0

(anxn)(k) =

∑n≥0

ann(n− 1) . . . (n− k + 1)xn−k

Khai trieån haøm thaønh chuoãi luyõ thöøa.

Ta noùi raèng haøm f(x) khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöøa trong laân caän cuûa x0 ∈ (a, b)neáu coù toàn taïi δ > 0 thích hôïp vaø moät chuoãi luyõ thöøa

∑n≥0 an(x− x0)

n sao cho chuoãinaøy hoäi tuï treân (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b) vaø toång cuûa noù baèng f(x). Chaúng haïn, haøm ex

khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöøa treân R vì vôùi moïi x ∈ R ta coù

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ · · ·

Cho tröôùc haøm f(x) khaû vi voâ haïn treân (a, b) � x0, ta luoân luoân thieát laäp ñöôïc chuoãiluyõ thöøa

f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) + · · · =

∑n≥0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n



6.2. Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. 101

vaø ñöôïc goïi laø chuoãi Taylor taïi x0 cuûa haøm f(x).

Deã chöùng minh raèng neáu moät haøm khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöøa thì khai trieånñoù phaûi laø chuoãi Taylor cuûa haøm taïi ñieåm x = 0.

Ta ñeå yù raèng chuoãi Taylor cuûa moät haøm khoâng nhaát thieát hoäi tuï vaø ngay caû khi noùhoäi tuï, toång cuûa chuoãi Taylor khoâng nhaát thieát truøng (trong laân caän cuûa ñieåm ñoù) vôùihaøm töông öùng vôùi noù. Chaúng haïn ñoái vôùi haøm

f(x) =

{e−

1x2 neáu x = 0

0 neáu x = 0

chuoãi Taylor cuûa noù taïi x0 = 0 laø chuoãi khoâng. Toång cuûa chuoãi naøy khaùc vôùi haømf(x).

Khai trieån moät soá haøm sô caáp:

Sau ñaây laø khai trieån cuûa moät soá haøm sô caáp ñôn giaûn vaø thoâng duïng nhaát

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ · · · , ∀x ∈ R

cos x = 1− x2

2!+x4

4!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ · · · , ∀x ∈ R

sin x = x− x3

3!+x5

5!+ · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n+ 1)!+ · · · , ∀x ∈ R

ln(1 + x) = x− x2

2+ · · ·+ (−1)n−1x

n

n+ · · · , ∀x ∈ (−1, 1)

(1+x)α = 1+αx+α(α− 1)

2!x2 + · · ·+ α(α− 1) . . . (α− n+ 1)

n!xn + · · · , ∀x ∈ (−1, 1)

Duøng caùc khai trieån cô baûn “saün coù” naøy ta coù theå thieát laäp ñöôïc khai trieån cuûa moätsoá haøm sô caáp khaùc.

6.2 Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãiluyõ thöøa.

Trong baøi naøy ta giôùi thieäu caùch tìm nghieäm döôùi daïng chuoãi voâ haïn1 cuûa moät lôùp roängcaùc phöông trình vi phaân tuyeán tính, ñaëc bieät laø lôùp caùc phöông trình vi phaân tuyeántính thuaàn nhaát caáp II:

P (x)y′′

+Q(x)y′ +R(x)y = 0 (6.2)

1Chuù yù raèng ta khoâng coù caùch giaûi toång quaùt cho phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (thaämchí cho caùc phöông trình “khaù ñôn giaûn” nhö y ′′ − xy = 0) tröø tröôøng hôïp ñaëc bieät caùc heä soá ñeàu laøhaèng.




maø coù nhieàu öùng duïng quan troïng trong vaät lyù.

YÙ töôûng khaù ñôn giaûn: Giaû söû raèng caùc haøm P (x), Q(x) vaø R(x) laø lieân tuïc trongmoät laân caän cuûa ñieåm x0 vaø coù theå khai trieån thaønh chuoãi luyõ thöøa taïi x0. Do tính chaáttuyeán tính thuaàn nhaát, ta hy voïng phöông trình (6.2) seõ chaáp nhaän nghieäm cho döôùidaïng chuoãi luyõ thöøa

y =

∞∑n=0

an(x− x0)n (6.3)

Thay theá moät caùch hình thöùc chuoãi naøy vaøo phöông trình vi phaân ñaõ cho ñeå tìm caùcheä soá cuûa khai trieån.

Ta seõ söû duïng keát quaû sau ñaây (töông töï nhö tröôøng hôïp ña thöùc).

Meänh ñeà 6.2.1. Moät chuoãi luyõ thöøa ñoàng nhaát baèng khoâng khi vaø chæ khi taát caû caùc heäsoá cuûa noù baèng khoâng.

6.2.1 Caùc ví duï.

Ví duï 1: Tìm nghieäm döôùi daïng chuoåi luyõ thöøa taïi 0 cuûa phöông trình:

xy′′ − (x+ 2)y′ + 2y = 0

Giaûi: Ta tìm nghieäm döôùi daïng y =∑∞

n=0 anxn. Ta coù

y′ =

∞∑n=1

nanxn−1 vaø y′′ =

∞∑n=2

n(n− 1)anxn−2

hay, thay chæ soá

y′ =∞∑

n=0

(n+ 1)an+1xn vaø y′′ =

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2xn

Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc

x

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2xn − (x+ 2)

∞∑n=0

(n + 1)an+1xn + 2

∞∑n=0

anxn = 0

Cho taát caû caùc heä soá cuûa caùc luyõ thöøa cuûa x baèng khoâng, ta ñöôïc

2a0 − 2a1 = 0

2a1 − 2.2a2 − a1 + 2a2 = 0

2a2 − 2.3a3 − 2a2 + 3.2a3 = 0

2a3 − 2.4a4 − 3a3 + 4.3a4 = 0

· · · · · · · · · · · ·2an − 2(n+ 1)an+1 − nan + (n+ 1)nan+1 = 0

· · · · · · · · · · · ·




Giaûi heä naøy ta tìm ñöôïc

a1 = a0 (vôùi a0 tuyø yù)

a2 =a1

2a3 tuyø yù

an+1 =an

n+ 1vôùi moïi n = 2

Thay caùc heä soá naøy vaøo chuoãi y ta ñöôïc nghieäm

y = a0

(1 + x+

x2

2

)+ a3

(x3 +

x4

4+x5

4.5+ · · ·)

vôùi a0 vaø a3 laø caùc haèng soá tuyø yù.

Roõ raøng bieåu thöùc thöù hai ôû veá phaûi cuûa ñaúng thöùc naøy coù theå vieát döôùi daïng

3!a3

(x3

3!+x4

4!+x5

5!+ · · ·)

vaø chính laø

3!a3

[ex −(

1 + x+x2

2

)]Vì vaäy ta tìm laïi ñöôïc nghieäm toång quaùt (döôùi daïng höõu haïn) cho bôûi bieåu thöùc

y = C1

(1 + x+

x2

2

)+ C2e

x

trong ñoù C1 := a0 − 3!a3 vaø C2 := 3!a3 laø nhöõng haèng soá tuyø yù.

Ví duï 2: (Airy) Tìm nghieäm döôùi daïng chuoåi luyõ thöøa taïi 0 cuûa phöông trình Airy:

y′′ − xy = 0

Giaûi: Ta tìm nghieäm döôùi daïng y =∑∞

n=0 anxn. Tính y′ vaø y′′ töông töï nhö ví duï tröôùc

roài thay vaøo phöông trình Airy, ta ñöôïc:

∞∑n=2

n(n− 1)anxn−2 − x

∞∑n=0

anxn = 0

Hay

2a2 +

∞∑n=1

[(n + 2)(n+ 1)an+2 − an−1] xn = 0

Ñoàng nhaát baèng khoâng caùc heä soá ta ñöôïc:{2a2 = 0

(n+ 2)(n+ 1)an+2 − an−1 = 0 vôùi moïi n = 1, 2, 3, . . .




Töùc laø {a2 = 0

an+2 =an−1

(n+ 2)(n+ 1)vôùi moïi n = 1, 2, 3, . . .

Heä phöông trình “truy toaùn” naøy cho pheùp ta tính taát caû caùc heä soá theo a0 vaø a1. Keátquaû laø:

• Vì a2 =0 neân a5 = 0, a8 = 0, . . . . Töùc laø:

a3k+2 = 0 vôùi moïi k = 1, 2, 3, . . .

• Caùc heä soá a3, a6, a9, . . . laø boäi cuûa a0:

a3k =1

(2.3)(5.6) . . . ((3k − 1).3k)· a0 vôùi moïi k = 1, 2, 3, . . .

• Caùc heä soá a4, a7, a10, . . . laø boäi cuûa a1:

a3k+1 =1

(3.4)(6.7) . . . (3k.(3k + 1))· a1 vôùi moïi k = 1, 2, 3, . . .

Ñaët taát caû caùc heä soá naøy vaøo trong y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình Airylaø

y(x) = a0

[1 +

∞∑k=1

x3k

(2.3)(5.6) . . . ((3k − 1).3k)

]

+ a1

[x+

∞∑k=1

x3k+1

(3.4)(6.7) . . . (3k.(3k + 1))

]

trong ñoù a0, a1 laø caùc haèng soá tuyø yù. Hieån nhieân, baøi toaùn Cauchy y(0) = a0, y′(0) = a1

coù lôøi giaûi laø chuoåi haøm naøy. Söï hoäi tuï cuûa chuoãi nghieäm seõ ñöôïc ñeà caäp trong muïcsau.

Ví duï 3: (Euler) Tìm nghieäm döôùi daïng chuoåi luyõ thöøa taïi 0 cuûa phöông trình tuyeántính caáp I:

−x2y′ + y = x

Caùch giaûi: Ta cuõng baét ñaàu vôùi chuoãi∑∞

n=0 anxn. Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta

ñöôïc

−x∞∑

n=1

nanxn−1 +

∞∑n=0

anxn = x

Ñoàng nhaát caùc heä soá ta ñöôïc

a0 = 0, a1 = 1, . . . , an = (n− 1)an−1, ∀n > 1

Töø ñoùan = (n− 1)!, ∀n ≥ 1




Ta thu ñöôïc chuoãi nghieäm

y(x) =∞∑

n=1

(n− 1)!xn

Nhöng, chuoãi maø ta thu ñöôïc laø phaân kyø (chính xaùc hôn, chæ hoäi tuï taïi x = 0) neânnghieäm chæ coù giaù trò “hình thöùc”. Tuy nhieân, trong lyù thuyeát pheùp toång cuûa caùc chuoåiphaân kyø (theo Borel), chuoãi naøy hoäi tuï treân (−1, 1). Baïn ñoïc quan taâm chi tieát xintham khaûo [?].

6.2.2 Ñieåm kyø dò cuûa phöông trình vi phaân.

Nhö ñaõ thaáy trong ví duï 3 ôû treân, nghieäm döôùi daïng chuoãi thöøa taïi ñieåm x0 naøo ñoù cuûaphöông trình vi phaân tuyeán tính coù theå khoâng toàn taïi, hoaëc toàn taïi moät caùch hình thöùc(chuoãi khoâng hoäi tuï). Ñieàu ñoù noùi chung laø do nghieäm thöïc söï khoâng theå khai trieånñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöøa. Chaúng haïn trong ví duï treân, nghieäm toång quaùt cuûa PTVPtuyeán tính −x2y′ + y = x laø

y(x) = C.e−1/x − e−1/x

∫ x

1

e1/t 1

tdt

vôùi C laø haèng soá tuyø yù.

Bieåu thöùc ôû veá phaûi khoâng theå khai trieån ñöôïc thaønh toång cuûa chuoãi luyõ thöøa.

Sau ñaây, ta xeùt chuû yeáu caùc phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát caáp II daïng

P (x)y′′ +Q(x)y′ +R(x)y = 0 (6.4)

vôùi P,Q,R laø caùc haøm “ñuû toát” (ña thöùc chaúng haïn).

Ñònh nghóa 6.2.1. Neáu x0 laø ñieåm sao cho P (x0) = 0, vaø ít nhaát Q(x0) = 0 hayR(x) = 0 thì x0 ñöôïc goïi laø ñieåm kyø dò (singular point) cuûa phöông trình (6.4). Ngöôïclaïi, ta noùi x0 laø ñieåm thöôøng (ordinary point).

Ñònh nghóa 6.2.2. Ñieåm kyø dò x0 ñöôïc goïi laø kyø dò chính qui neáu toàn taïi höõu haïncaùc giôùi haïn sau:

limx→x0

(x− x0)Q(x)

P (x)= a vaø lim

x→x0

(x− x0)2R(x)

P (x)= b

Ngöôïc laïi, x0 ñöôïc goïi laø kyø dò khoâng chính qui

Ta löu yù raèng trong laân caän cuûa ñieåm thöôøng x0, phöông trình (??) coù theå vieát döôùidaïng

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (6.5)

trong ñoù p(x), q(x) bò chaën trong laân caän cuûa x0 Ñònh lyù sau ñaây cho ta thoâng tin veàbaùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi nghieäm cuûa (6.5)




Ñònh lyù 6.2.1 (L.Fuchs (1833-1902)). Giaû söû p(x), q(x) trong phöông trình (6.5) coù theåkhai trieån ñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöøa hoäi tuï treân (−r, r) (vôùi r > 0). Khi ñoù, vôùi ñieàu kieänban ñaàu y(0) = y0, y

′(x0) = y′0 cho tröôùc, phöông trình (6.5) coù duy nhaát moät nghieämchuoãi luyõ thöøa y(t), maø cuõng hoäi tuï treân (−r, r).

Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luyõ thöøa nghieäm ít nhaát laø r. Trong tröôøng hôïp p(x), q(x)laø ña thöùc, nghieäm chuoãi luyõ thöøa cuûa (6.5) luoân toàn taïi vaø coù mieàn hoäi tuï laø R.

Ví duï: Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình Airy hoäi tuï treân R.

Nhaän xeùt: Trong tröôøng hôïp phöông trình coù x0 nhö laø ñieåm kyø dò chính qui, noù coùtheå chaáp nhaän nghieäm coù daïng chuoãi luyõ thöøa vôùi soá muõ aâm (trong giaûi tích phöùc tagoïi laø khai trieån Laurentz) hoaëc soá muõ khoâng nguyeân. Trong khi, ñoái vôùi ñieåm kyø dòkhoâng chính qui, nghieäm döôùi daïng chuoãi voâ haïn noùi chung laø phaân kyø (nghieäm hìnhthöùc).

Phöông trình Euler vaø phöông phaùp Frobenius.

Ta quan taâm ñeán moät lôùp phöông trình vi phaân nhaän x0 = 0 laø ñieåm kyø dò, goïi laøphöông trình Euler

x2y′′ + Axy′ +By = 0 (6.6)

trong ñoù A,B laø hai soá thöïc tuyø yù.

Theo caùch phaân loaïi treân, x0 = 0 laø ñieåm kyø dò chính qui vì

limx→0

xAx

x2= A vaø lim

x→0x2 B

x2= B

Caùch tìm nghieäm cuûa phöông trình Euler khaù ñôn giaûn: chæ caàn ñeå yù raèng ñeå moät luyõthöøa xr naøo ñoù laø nghieäm thì soá muõ r phaûi thoaû maõn phöông trình (gioáng nhö phöôngtrình ñaëc tröng cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát!)

r(r − 1) + Ar +B = 0

hay

r2 + (A− 1)r +B = 0 (6.7)

Tuyø theo bieät thöùc cuûa phöông trình naøy ta phaân bieät caùc tröôøng hôïp sau:

• Neáu (6.7) coù 2 nghieäm thöïc phaân bieät r1, r2, thì nghieäm toång quaùt cuûa phöôngtrình Euler laø

y(x) = C1xr1 + C2x

r2

• Neáu (6.7) coù nghieäm keùp r0 = 1−A2

. Ñeå tìm nghieäm thöù hai, ta duøng phöông phaùpbieán thieân haèng soá baèng caùch ñaët y(x) = C(x)xr0 ; ta tìm thaáy C(x) = lnx. Vaäynghieäm toång quaùt laø

y(x) = C1xr0 + C2x

r0 ln x




• Neáu (6.7) coù 2 nghieäm phöùc lieân hôïp α± iβ, ta coù theå vieát

xα±iβ = xαe±β ln x = xα[cos(β ln x)± i sin(β ln x)]

Taùch phaàn thöïc vaø phaàn phöùc ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt

y(x) = C1xα cos(β ln x) + C2x

α sin(β ln x)

Ví duï: Giaûi phöông trình x2y′′ − 2y = 0.

Nghieäm toång quaùt laø

y(x) = C1x2 +

C2

x

Caùch giaûi phöông trình Euler gôïi cho ta phöông phaùp tìm nghieäm chuoãi cuûa phöôngtrình vi phaân (6.5) trong tröôøng hôïp noù coù kyø dò chính qui taïi x0 = 0 nhö sau. Vieát laïiphöông trình

x2y′′ + x[xp(x)]y′ + [x2q(x)]y = 0

Giaû söû ta coù theå vieát xp(x) vaø x2q(x) döôùi daïng (vì 0 laø ñieåm kyø dò chính qui)

xp(x) =

∞∑n=0

pnxn vaø x2p(x) =

∞∑n=0

qnxn

khi ñoù ta coù theå tìm nghieäm döôùi daïng chuoãi voâ haïn

y(x) = xr∞∑

n=0

anxn

Thay chuoãi naøy vaøo phöông trình ñaõ cho ñeå tìm r vaø caùc heä soá an. Roõ raøng r phaûithoaû maõn phöông trình

r2 + (1− p0)r + q0 = 0

maø ñöôïc goïi laø phöông trình chæ soá cuûa (6.5).

Phöông phaùp maø ta vöøa trình baøy ñöôïc goïi laø phöông phöông phaùp Frobenius. Sauñaây laø vaøi ví duï

Ví duï: Tìm nghieäm cuûa PTVP xy′′ +2y′−xy = 0. Phöông trình naøy coù x = 0 laø ñieåmkyø dò chính qui, theo phöông phaùp Frobenius ta tìm nghieäm döôùi daïng

y = xr

∞∑n=0

anxn =

∞∑n=0

anxn+r

Caùc ñaïo haøm y′ vaø y′′ laø

y′ =

∞∑n=0

(n+ r)anxn+r−1 vaø y′′ =

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)anxn+r−2




Thay vaøo phöông trình ñaõ cho ta ñöôïc

∞∑n=0

(n + r)(n+ r − 1)anxn+r−1 + 2

∞∑n=0

(n+ r)anxn+r−1 −

∞∑n=0

anxn+r+1 = 0

Nhoùm caùc heä soá cuûa cuøng luyõ thöøa cuûa x vaø cho taát caû caùc heä soá naøy baèng khoâng tañöôïc heä

(r + 1)ra0 = 0(r + 1)(r + 2)a1 = 0(r + n + 1)(r + n + 2)an+1 − an−1 = 0 vôùi moïi n = 1

Töø phöông trình ñaàu tieân, neáu choïn giaù trò r = −1 ta tìm ñöôïc caùc heä soá an laø

a0, a1 tuyø yù

an+1 =an−1

n(n+ 1)vôùi moïi n = 1

Thay caùc heä soá vaøo bieåu thöùc nghieäm ta ñöôïc nghieäm toång quaùt laø

y(x) = a0

(1

x+x

2!+x3

4!+ · · ·)

+ a1

(1 +

x2

3!+x4

5!+ · · ·)

Neáu töø phöông trình ñaàu tieân, ta choïn r = 0 thì chæ ñöôïc chuoãi thöù nhaát.

Nghieäm toång quaùt treân ñaây thöïc ra coù theå bieåu dieãn döôùi daïng giaûi tích neáu duøngcaùc khai trieån cuûa caùc haøm hyperbolic:

cosh x :=ex + e−x

2= 1 +

x2

2!+x4

4!+ · · ·

vaø

sinh x :=ex − e−x

2= x+

x3

3!+x5

5!+ · · ·

Töø ñoù, coù theå vieát nghieäm toång quaùt döôùi daïng

y = a0cosh x

x+ a1

sinh x

x

hay

y = C1ex

x+ C2

e−x

x

Phöông trình vi phaân Chebyshev:

Phöông trình Chebyshev coù daïng

(1− x2)y′′ − xy′ + α2y = 0 (6.8)




Noù coù caùc ñieåm kyø dò chính qui taïi ±1 vaø ∞.

Ta coù theå tìm nghieäm cuûa noù döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa

y =∞∑

n=0

anxn

Tính caùc ñaïo haøm y′ vaø y′′ vaø thay vaøo phöông trình (6.8) ta ñöôïc:

(2a2 + α2a0) + [(α2 − 1)a1 + 6a3]x+

+∑∞

n=2[(n + 2)(n+ 1)an+2 + (α2 − n2)an]xn = 0

Caân baèng caùc heä soá cuûa caùc luyõ thöøa cuûa x ta ñöôïc:

2a2 + α2a0 = 0,

(α2 − 1)a1 + 6a3 = 0

.....................

an+2 =n2 − α2

(n+ 1)(n+ 2)an

Ví duï: Giaûi phöông trình Chebyshev vôùi α = 1.

Giaû söû nghieäm coù daïng y =∑∞

n=0 anxn. AÙp duïng caùc coâng thöùc treân vôùi α = 1, ta

coù:

a0 tuyø yù , a2 = −1

2a0, . . . , a2n =

[(2n− 2)2 − 1][(2n− 4)2 − 1] · · · (−1)

(2n)!a0

a1 tuyø yù , a3 = 0, . . . , a2n+1 = 0

Ta coù

[(2n− 2)2 − 1][(2n− 4)2 − 1] · · · (−1)

(2n)!=

(n− 3/2) · · · (1/2)(−1/2)

n!=

=(1/2)(−1/2)(−3/2) · · · (1/2− n+ 1)

n!(−1)n

Do ñoù nghieäm toång quaùt laø

y = a1x+ a0

[1 +

∞∑n=1

(1/2)(−1/2)(−3/2) · · · (1/2− n+ 1)

n!(−1)n

]x2n

Hayy = a1x+ a0

√1− x2

trong ñoù a0, a1 laø caùc haèng soá tuyø yù. Nhaän xeùt: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trìnhChebyshev coù theå vieát döôùi daïng

y = a0 cos(α arcsin x) +a1

αsin(α arcsin x)




Vaø neáu thöïc hieän pheùp theá arcsin x =π

2− arccos x ta coù theå vieát laïi

y = C1 cos(α arccosx) + C2 sin(α arccos x)

= C1Tα(x) + C2

√1− x2Uα−1(x)

Trong tröôøng hôïp α = n ∈ N, Tn vaø Un laø caùc ña thöùc, ñöôïc goïi laø ña thöùc Chebyshevloaïi I vaø loaïi II töông öùng.

6.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm.

Trong muïc naøy ta xeùt daùng ñieäu cuûa nghieäm trong laân caän cuûa ñieåm kyø dò khoâng chínhqui. Nhö ñaõ löu yù ôû muïc tröôùc, chuoãi luyõ thöøa trong laân caän cuûa ñieåm ñoù khoâng hoäi tuï,nhöng noùi chung laïi laø khai trieån tieäm caän cuûa moät nghieäm thöïc söï cuûa phöông trìnhñang xeùt.

6.3.1 Sô löôïc veà khai trieån tieäm caän.

Cho tröôùc caùc haøm soá f(x), g(x) xaùc ñònh trong laân caän cuûa x0. Kyù hieäu

f = o(g), x→ x0

maø ñeå dieãn taû “f beù hôn nhieàu so vôùi g khi x daàn ñeán x0”, neáu

limx→x0

f(x)

g(x)= 0

Trong khi ñoù, kyù hieäuf(x) ∼ g(x), x→ x0

ñeå dieãn taû “f tieäm caän vôùi g khi x daàn ñeán x0” neáu

f − g = o(g), x→ x0

hoaëc töông ñöông,

limx→x0

f(x)

g(x)= 1

Ñònh nghóa 6.3.1. Chuoãi luyõ thöøa (hình thöùc)∑∞

n=0 an(x−x0)n ñöôïc goïi laø tieäm caän

vôùi haøm f(x) khi x daàn ñeán x0, vaø vieát

f(x) ∼∞∑

n=0

an(x− x0)n (x→ x0)

neáu vôùi moïi soá töï nhieân N ta ñeàu coù

f(x)−N∑

n=0

an(x− x0)n = o(x− x0)

N (x→ x0)



6.3. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm. 111

Moät ñònh nghóa töông ñöông vôùi ñònh nghóa treân laø

f(x)−N∑

n=0

an(x− x0)n ∼ aM(x− x0)

M (x→ x0)

trong ñoù aM laø heä soá ñaàu tieân khaùc khoâng sau aN .

Nhaän xeùt: Moät chuoãi luyõ thöøa tieäm caän vôùi moät haøm khoâng nhaát thieát hoäi tuï. Neáumoät haøm khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi Taylor hoäi tuï thì ñoù cuõng laø khai trieån tieäm caäncuûa haøm. Ngoaøi ra, trong tröôøng hôïp hoäi tuï, toång cuûa noù cuõng khoâng nhaát thieát truøngvôùi haøm soá ñoù. Ta cuõng löu yù raèng, caùc heä soá cuûa chuoãi tieäm caän xaùc ñònh moät caùchduy nhaát nhôø caùc coâng thöùc sau ñaây

a0 = limx→x0 f(x)

a1 = limx→x0

f(x)− a0

x− x0

........................................

aN = limx→x0

f(x)−∑N−1n=0 an(x− x0)

n

(x− x0)N

Meänh ñeà 6.3.1 (Caùc pheùp toaùn). Cho tröôùc

f(x) ∼∞∑

n=0

an(x− x0)n (x→ x0)

g(x) ∼∞∑

n=0

bn(x− x0)n (x→ x0)

Khi ñoù

αf(x) + βg(x) ∼∞∑

n=0

(αan + βbn)(x− x0)n (x→ x0)

f(x)g(x) ∼∞∑

n=0

cn(x− x0)n (x→ x0)

f(x)

g(x)∼

∞∑n=0

dn(x− x0)n (x→ x0)

trong ñoù cn =∑n

k=0 akbn−k vaø neáu b0 = 0 thì d0 =a0

b0vaø dn =

an −∑n−1

k=0 dkbn−k

b0

6.3.2 Daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm gaàn ñieåm kyø dò khoâng chínhqui.

Xeùt phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát caáp II

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (6.9)




Trong laân caän cuûa ñieåm kyø dò, noùi chung ta coù theå tìm nghieäm tieäm caän cuûa phöôngtrình ñaõ cho döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. Nhöng noùi chung, ta thu ñöôïc chuoãi phaân kyøvaø baûn thaân chuoãi tieäm caän ñoù khoâng cho ta thoâng tin veà daùng ñieäu cuûa nghieäm thöïcsöï trong laân caän cuûa ñieåm naøy.

Ñeå tìm daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm ta seõ tìm caùc soá haïng maø “troäi hôn” nhöõngsoá haïng khaùc trong bieåu thöùc tieäm caän cuûa noù. Ta seõ goïi thaønh phaàn laøm thay ñoåidaùng ñieäu tieäm caän nhanh nhaát laø “nhaân töû ñieàu khieån”.

Vì haøm muõ thay ñoåi daùng ñieäu nhanh nhaát, neân ta coù theå thay theá (theo Green,Liouville (1837)) nghieäm y(x) bôûi

y(x) = eS(x)

vaøo phöông trình (6.9)

S ′′ + (S ′)2 + p(x)S ′ + q(x) = 0 (6.10)

Ñaây laø phöông trình noùi chung khoâng ñôn giaûn hôn phöông trình (6.9). Tuy nhieân,trong laân caän ñieåm kyø dò khoâng chính qui x0 haàu nhö ta coù ñaùnh giaù

S ′′ << (S ′)2, x→ x0 (6.11)

Khi ñoù, ta coù theå “queân” soá haïng S ′′ trong (6.10) vaø thu ñöôïc phöông trình tieäm caän

(S ′)2 ∼ −p(x)S ′ − q(x), x→ x0 (6.12)

maø thöôøng deã giaûi hôn phöông trình ban ñaàu. Nghieäm cuûa noù xöùng ñaùng duøng ñeå xaápxæ cho nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình ban ñaàu.

Löu yù: Giaû thieát (6.11) khoâng ñuùng ñoái vôùi tröôøng hôïp x0 laø ñieåm thöôøng hoaëcñieåm kyø dò chính qui. Nhö theá, ta chæ coù theå tìm nghieäm xaáp xæ theo caùch naøy tronglaân caän cuûa (phaàn lôùn) caùc ñieåm kyø dò khoâng chính qui.

Ví duï: Tìm daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm cuûa phöông trình x3y′′ = y trong laân caänñieåm x = 0.

Ta nhaän thaáy x = 0 laø ñieåm kyø dò khoâng chính qui. Thay y = eS(x) vaøo phöông trìnhñaõ cho, ta ñöôïc (S′)2 ∼ x−3 (x→ 0+). Vì vaäy, hai nghieäm thu ñöôïc laø

S(x) ∼ ±2x−1/2, x→ 0+

Thöïc teá ta coù theå “caûi thieän” nghieäm tieäm caän baèng caùch xeùt ñeán soá haïng tieáp theosoá haïng ñaàu, töùc laø ñaët

S(x) = 2x−12 + C(x), C(x) << 2x−

12 , x→ 0+

Thay bieåu thöùc naøy vaøo phöông trình (6.10) ta ñöôïc

3

2x−5/2 + C ′′ − 2x−3/2C ′ + (C ′)2 = 0




Ta coù theå thu ñöôïc phöông trình tieäm caän baèng caùch ñaùnh giaù nhö sau.

Vì S′ ∼ −x−3/2 neân C ′ << x−3/2 (x → 0+) vaø C ′′ << x−5/2 (x → 0+). Do ñoù,(C ′)2 << x−3/2C ′, (x→ 0+). Boû qua caùc soá haïng khoâng ñaùng keå trong phöông trìnhtreân ta thu ñöôïc

3

2x−5/2 ∼ −2x−3/2C ′

Töø ñoù ta tìm ñöôïc C(x) ∼ 3

4ln x vaø coù theå vieát

S(x) = 2x−

1

2 +3

4ln x+D(x), D(x) << ln x, x→ 0+

Laïi tieáp tuïc quaù trình ñaùnh giaù treân (chi tieát xin daønh cho ñoäc giaû) ta ñöôïc

D(x) = d+ δ(x)

trong ñoù d laø haèng soá naøo ñoù vaø δ(x) ∼ − 3

16x1/2 khi x→ 0+. Vì daùng ñieäu tieäm caän

cuûa nghieäm ñöôïc ñoùng goùp chuû yeáu bôûi caùc soá haïng trong S(x) maø khoâng trieät tieâukhi x→ 0+, neân ta coù

y(x) ∼ exp(2x−1/2 +3

4ln x+ d), x→ 0+

Hay,

y(x) ∼ c1x34 e2x−1/2

, x→ 0+

Neáu baét ñaàu vôùi S(x) ∼ −2x−12 ta thu ñöôïc nghieäm

y(x) ∼ c1x34e−2x−1/2

, x→ 0+

Phöông phaùp caân baèng troäi:

Töø ví duï treân ta coù theå toång quaùt thaønh moät phöông phaùp chung ñeå tìm daùng ñieäu tieämcaän cuûa nghieäm trong laân caän cuûa ñieåm kyø dò khoâng chính qui, goïi teân laø phöông phaùpcaân baèng troäi. YÙ töôûng cuûa noù theå hieän qua caùc böôùc sau ñaây.

• Vöùt boû taát caû caùc soá haïng xuaát hieän beù roài thay phöông trình ñuùng baèng heä thöùctieäm caän.

• Thay quan heä tieäm caän bôûi phöông trình vaø giaûi moät caùch chính xaùc phöông trìnhnaøy.

• Kieåm tra raèng nghieäm maø ta thu ñöôïc phuø hôïp vôùi caùc xaáp xæ trong böôùc ñaàutieân.




6.3.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm:

Nhö ñaõ bieát neáu phöông trình vi phaân coù kyø dò (khoâng chính qui) taïi x0, noùi chung takhoâng tìm ñöôïc nghieäm döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. Thay vaøo ñoù, neáu bieát khai trieåntieäm caän cuûa nghieäm, ta coù theå moâ taû ít nhieàu veà nghieäm ñoù, chaúng haïn, coù theå thöïchieän caùc tính toaùn soá moät caùch xaáp xæ.

Tuy nhieân cuõng khoâng deã tìm khai trieån tieäm caän cuûa moät phöông trình vi phaân noùichung. Moät trong nhöõng phöông phaùp “hình hoïc” laø tìm caùch bieåu dieãn nghieäm döôùidaïng tích phaân roài tìm khai trieån tieäm caän cuûa noù.

Ta minh hoaï phöông phaùp baèng moät ví duï cuï theå sau ñaây. Xeùt phöông trình Euler:

y′ + y = 1/x

ñaây laø phöông trình vi phaân tuyeán tính vôùi x = 0 laø ñieåm kyø dò. Moät nghieäm rieâng cuûanoù cho bôûi tích phaân

y = e−x

∫ x

−∞x−1exdx

maø hoäi tuï neáu x aâm.

Ngoaøi ra, phöông trình chaáp nhaän moät nghieäm hình thöùc döôùi daïng chuoãi voâ haïn

1

x+

1!

x2+

2!

x3+ · · ·+ n!

xn+1+ · · ·

Ta chæ ra chuoãi naøy laø khai trieån tieäm caän taïi −∞ cuûa nghieäm rieâng noùi treân. Thaätvaäy, baèng caùch tích phaân töøng phaân lieân tieáp, ta coù

e−x

∫ x

−∞x−1exdx =

1

x+

1!

x2+

2!

x3+ · · ·+ n!

xn+1+Rn

vôùi

Rn = (n+ 1)!e−x

∫ x

−∞x−n−2exdx

Do ñoù, vôùi x < 0, ta coù

|Rn| ≤ (n+ 1)!|x−n−2|e−x

∫ x

−∞exdx =

(n + 1)!

|x−n−2|

Vaäy chuoãi treân tieäm caän vôùi nghieäm rieâng cho bôûi tích phaân.

6.3.4 Sô löôïc veà phöông phaùp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)

Trong muïc naøy ta quan taâm ñeán phöông trình Schodinger

ε2y′′ = Q(x)y (6.13)




trong ñoù ε → 0 ñöôïc goïi laø tham soá nhieãu ñoùng vai troø haèng soá Planc trong cô hoïclöôïng töû.

Noäi dung cô baûn cuûa phöông phaùp WKB laø tìm nghieäm hình thöùc cuûa (6.13) döôùidaïng

y(x) ∼ exp

[1

ε

∞∑n=0

Sn(x)εn

], ε→ 0

Thay theá hình thöùc chuoãi naøy vaøo phöông trình (6.13) vaø caân baèng caùc heä soá cuûa caùcluyõ thöøa cuûa ε ta ñöôïc

(S ′0)

2 = Q(x)

2S ′0S

′1 + S ′′

0 = 0

........................

2S ′0S

′n + S ′′

n−1 +∑n−1

j=1 S′jS

′n−j = 0, (n ≥ 2)

Phöông trình cho S0 ñöôïc goïi laø phöông trình eikonal; noù coù nghieäm laø

S0(x) = ±∫ x√

Q(t)dt

Caùc phöông trình coøn laïi ñöôïc goïi laø caùc phöông trình chuyeån, chuùng cho pheùp xaùcñònh caùc Sn(x) sai khaùc haèng soá coäng baèng truy hoài. Tuy nhieân, ñaây laø nhöõng phöôngtrình vi phaân noùi chung raát khoù tích phaân. Chaúng haïn,

S1(x) = −1

4lnQ(x)

S2(x) = ±∫ x [ Q′′

8Q3/2− 5(Q′)2

32Q5/2

]dt, .....

Tuy vaäy, neáu chæ quan taâm ñeán daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm khi ε→ 0 thì ta coù

y(x) ∼ C1Q−1/4(x) exp

[1

ε

∫ x√Q(t)dt

]+C2Q

−1/4(x) exp

[−1

ε

∫ x√Q(t)dt

], ε→ 0




BAØI TAÄP

1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân sau baèng phöông phaùp chuoãi luyõ thöøa:

(a) (x2 − 1)y′′ + 4xy′ + 2y = 0

(b) y ′′ + x2y′ + xy = 0

(c) xy′′ − 2y′ + xy = 0

2. Baèng phöông phaùp chuoãi luyõ thöøa, tìm moät nghieäm rieâng cuûa phöông trình, roàitìm nghieäm toång quaùt:

(a) xy′′ + 2y′ − xy = 0

(b) xy ′′ + (2− x)y′ − y = 0

3. Giaûi caùc phöông trình vi phaân sau ñaây baèng phöông phaùp Frobenius:

(a) 4x2y′′ + 4xy′ − y = 0

(b) xy ′′ + 3y′ − x3y = 0

(c) x2y′′ + (x− 2x3)y′ − (1 + 2x2)y = 0

4. Haøm Bessel baäc n ∈ N, kyù hieäu laø Jn(x), laø nghieäm trieät tieâu n laàn taïi x = 0cuûa phöông trình vi phaân sau ñaây:

x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0

(a) Haõy bieãu dieãn Jn(x) döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa.

(b) Kieåm tra raèng chuoãi bieãu dieãn J0 vaø J1 laø hoäi tuï vôùi moïi x.

(c) Chöùng toû raèngd

dx(xJ1(x)) = xJ0(x)

5. Phöông trình Hermit caáp n ∈ N laø phöông trình vi phaân sau:

y′′ − 2xy′ + 2ny = 0

(a) Vôùi n = 5 haõy tìm nghieäm rieâng thoûa ñieàu kieän y(0) = 0, y ′(0) = 1.

(b) Chöùng toû raèng vôùi n leû (t.ö. chaün) thì nghieäm rieâng thoaû ñieàu kieän y(0) =0, y′(0) = 1 (t.ö. y(0) = 1, y′(0) = 0 luoân coù daïng ña thöùc (goïi laø ña thöùcHermit baäc n, kyù hieäu laø Hn(x))

(c) Tìm Hn vôùi n = 0, 1, 2, 3, 4 vaø ñeám soá khoâng ñieåm cuûa chuùng.

(d) Vôùi n = 3 haõy tìm nghieäm rieâng thoûa ñieàu kieän y(0) = 0, y ′(0) = 1.



Phuï luïc A

Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình viphaân.

Trong raát nhieàu lónh vöïc cuûa Toaùn hoïc, Vaät lyù, Kyõ thuaät,... ta thöôøng gaëp caùc pheùpbieán ñoåi tích phaân, maø moät caùch toång quaùt coù daïng sau

f(t) �−→ F (s) :=

∫ b

a

K(s, t)f(t)dt

trong ñoù K(s, t) ñöôïc goïi laø nhaân cuûa pheùp bieán ñoåi ñoù.

Trong phaàn naøy ta giôùi thieäu moät pheùp bieán ñoåi quan troïng vôùi nhaân raát ñaëc bieätK(s, t) = e−st vaø ñöôïc goïi laø pheùp bieán ñoåi Laplace.

A.1 Bieán ñoåi Laplace.

Cho tröôùc haøm f(t) xaùc ñònh treân [0,+∞), ta goïi bieán ñoåi Laplace cuûa f laø

L{f(s)} = F (s) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt (A.1)

Ñeå baûo ñaûm tích phaân ôû veá phaûi hoäi tuï, haøm f phaûi khaû tích treân caùc khoaûng höõu haïnvaø quan troïng laø phaûi coù caáp taêng “vöøa phaûi”. Cuï theå f caàn thoaû maõn ñaùnh giaù

|f(t)| ≤ KeAt, vôùi moïi t > M

maø khi ñoù f ñöôïc noùi laø taêng caáp muõ.

Meänh ñeà A.1.1. Neáu f(t) xaùc ñònh vaø lieân tuïc töøng khuùc treân moïi ñoaïn höõu haïn cuûa[0,+∞) vaø coù ñoä taêng muõ thì bieán ñoåi Laplace cuûa f(t) laø toàn taïi.

Chöùng minh: Kieåm tra tröïc tieáp.



118 Phuï luïc A. Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân.

Neáu F (s) laø aûnh cuûa bieán ñoåi Laplace cuûa f(t) thì ta cuõng noùi f(t) laø bieán ñoåiLaplace ngöôïc cuûa F (s), vaø kyù hieäu laø

f(t) = L−1 {F}

Trong maët phaúng phöùc, bieán ñoåi Laplace ngöôïc cho bôûi

f(t) =1

2iπ

∫ a+i∞

a−i∞estF (s)ds, vôùi a > 0

Caùc ví duï:

• Bieán ñoåi Laplace cuûa 1

L{1} =

∫ ∞

0

e−stdt =1

s

• Bieán ñoåi Laplace cuûa eat

L{eat}

=

∫ ∞

0

e−steatdt =

∫ ∞

0

e−(s−a)tdt =1

s− avôùi ñieàu kieän s > a.

• Bieán ñoåi Laplace cuûa sin(at)

L{sin(at)} =

∫ ∞

0

e−st sin(at)dt

Baèng caùch tích phaân töøng phaàn hai laàn, ta thu ñöôïc

L{sin(at)} =1

a− s2

a2L{sin(at)}

vaø töø ñoùL{sin(at)} =

a

s2 + a2

• Töông töï, bieán ñoåi Laplace cuûa cos(at) laø

L{cos(at)} =s

s2 + a2

Caùc tính chaát:

• Tính tuyeán tính: Bieán ñoåi Laplace vaø Laplace ngöôïc laø caùc toaùn töû tuyeán tính

L{αf + βg} = αL{f}+ βL{g}

L−1 {αF + βG} = αL−1 {F}+ βL−1 {G}



A.2. Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace: 119

• Bieán ñoåi Laplace cuûa ñaïo haøm:

L{f ′} (s) =

∫ ∞

0

e−stf ′dt = sL{f} (s)− f(0)

• Bieán ñoåi Laplace cuûa ñaïo haøm caáp cao:

L{f (n)(t)}

(s) = snL{f} − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0)

• Bieán ñoåi Laplace cuûa tích phaân:

L{∫ t

0

f(u)du

}(s) =

L{f}s

• Pheùp tònh tieán:L{eatf(t)

}= L{f} (s− a)

Baûng caùc pheùp bieán ñoåi Laplace thoâng duïng:

f L{f(t)} (s) Mieàn xaùc ñònh

1 1s

s > 0

t 1s2 s > 0

tn n!sn+1 s > 0, n ∈ N

tα Γ(α+1)sα+1 a > 0

eat 1s−a

s > a

cos(at) ss2+a2 s > 0

sin(at) as2+a2 s > 0

cosh(at) ss2−a2 s > |a|

sinh(at) as2−a2 s > |a|

eat cos(bt) s−a(s−a)2+b2

s > a

eat sin(bt) b(s−a)2+b2

s > a

A.2 Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace:

Ñeå giaûi phöông trình vi phaân (nhaát laø ñoái vôùi caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính)baèng caùch duøng bieán ñoåi Laplace ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau.




• Bieán ñoåi Laplace hai veá cuûa phöông trình, ta thu ñöôïc phöông trình (vi phaân)theo Y (s) := L{y} (s)

• Giaûi phöông trình naøy ñeå tìm Y (s)

• Trôû veà nghieäm ban ñaàu baèng pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc y(x) := L−1 {Y } (x)

Ví duï: Giaûi baøi toaùn Cauchy sau ñaây:

y′′ − y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0

Bieán ñoåi Laplace hai veá, ta thu ñöôïc:

L{y′′} − L{y′} − 2L{y} = 0

hay töông töông

s2Y − sy(0)− y′(0)− [sY − y(0)]− 2Y = 0

Giaûi phöông trình naøy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu, ta thu ñöôïc

Y (s) =s− 1

s2 − s− 2=

1

3

1

s− 2+

2

3

1

s+ 1

Duøng pheùp bieån ñoåi Laplace ngöôïc ta thu ñöôïc lôøi giaûi

y(x) =1

3e2t +

2

3e−t

Ví duï: Giaûi baøi toaùn Cauchy y′′ + y = sin(2x), vôùi y(0) = 2, y′(0) = 1.

Thöïc hieän bieán ñoåi Laplace caû hai veá, ta thu ñöôïc

s2Y (s)− sy(0)− y′(0) + Y =2

s2 + 4

Thay ñieàu kieän ban ñaàu vaøo bieåu thöùc naøy roài giaûi tìm Y (s), ta ñöôïc

Y (s) =(2s+ 1)(s2 + 4) + 2

(s2 + 4)(s2 + 1)=

2s

s2 + 1+

5

3

1

s2 + 1− 2

3

1

s2 + 4

Qua pheùp bieán ñoåi ngöôïc ta thu ñöôïc

Y (s) = 2 cos t+5

3sin t− 1

3sin(2t)




Bieán ñoåi Laplace cuûa haøm Heaviside:

Haøm Heaviside coù böôùc nhaûy taïi x = c laø haøm ñònh nghóa bôûi

Hc(x) =

{0 neáu x < 01 neáu x ≥ c

Bieán ñoåi Laplace cuûa haøm Heaviside laø

L{Hc(t)} =

∫ ∞

0

e−stHc(t)dt =

∫ ∞

c

e−stdt =e−sc

s(s > 0)

Ngoaøi ra ta cuõng coù bieán ñoåi Laplace cuûa tích cuûa moät haøm baát kyø vôùi haøm Heaviside:

L{Hc(t)f(t− c)} =

∫ ∞

c

e−stf(t− c)dt = e−scL{f(t)}

Töông töï ta coù

L{ectf(t)}

=

∫ ∞

0

e−stectf(t)dt = F (s− c)

trong ñoù F (s) laø bieán ñoåi Laplace cuûa f(t).

L−1 {F (s− c)} = ectf(t)

Ví duï: Giaûi baøi toaùn y′′ + 4y = g(t) vôùi y(0) = 0 vaø y′(0) = 0 ôû ñaây

0 neáu t < 5

t− 5

5neáu 5 ≤ t < 10

1 neáu 10 ≤ t

Tröôùc heát, ta bieãu dieãn haøm g qua caùc haøm Heaviside:

g(t) =1

5[H5(t).(t− 5)−H10(t).(t− 10)]

Bieán ñoåi Laplace Hai veá, ta tìm ñöôïc

Y (s) =1

5

1

s2(s2 + 4)(e−5s − e−10s)

Ta coù L{

1

s2(s2 + 4)

}=t

4− 1

8sin 2t vaø töø ñoù ta tìm ñöôïc nghieäm

y(t) =1

5

[H5(t)

(t− 5

4− sin 2(t− 5)

8

)−H10(t)

(t− 10

4− sin 2(t− 10)

8

)]

Trong vaät lyù ta thöôøng gaëp haøm (suy roäng) Delta cuûa Dirac, kyù hieäu laø δ(t) ñònhnghóa nhö sau

δ(t) = 0, ∀t = 0, vaø∫ ∞

−∞δ(t)dt = 1




Coù theå hieåu δ nhö laø giôùi haïn cuûa haøm sau

ga(t) :=

{0 neáu |t| > a1

2aneáu |t| ≤ a

trong ñoù a > 0. Deã thaáy raèng∫∞−∞ ga(t)dt = 1 vôùi moïi a > 0. Khi ñoù

δ(t) := lima→0+

ga(t)

Bieán ñoåi Laplace cuûa δ(t) laø

L{δ(t− t0)} =

∫ ∞

0

e−stδ(t− t0)dt = e−st0









Taøi lieäu tham khaûo

[1] Hoaøng Höõu Ñöôøng, Lyù thuyeát phöông trình vi phaân. Nhaø xuaát baûn ÑH vaø THCN(1977).

[2] Nguyeãn Theá Hoaøn, Traàn Vaên Nhung, Baøi taäp phöông trình vi phaân. Nhaø xuaátbaûn ÑH vaø THCN (1979).

[3] E.A. Coddington, N.Levinson, Theory of ordinary differential equations.Newyork (1955).

[4] E.L. Ince, Ordinary differential equations. Dover Pub. (1956).

[5] C.M. Bender, St.A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists andengineers. Mc Graw-Hill Book Inc. Company (1978).


Documents

Phương trình vi phân Tác giả: Trịnh Đức Tài, Trường Đại học Đà Lạt, 2010