Phuong phap tich phan

GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt

Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt

1

CHUYÊN ĐỀ 1

TÍCH PHÂN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:

Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C

a ( hằng số) ax + C

x

1

1

xC

( )ax b

a

1 1( )

1

ax bC

1

x

ln x C 1

ax b

1ln ax b C

a

xa

ln

xa

C

a

xe x

e C ax be

1 ax be C

a

sinx -cosx + C sin(ax+b)

1

cos( )ax b C

a

cosx sinx + C cos(ax+b)

1

sin( )ax b C

a

2

1

cos x

tanx + C 2

1

cos ( )ax b

1( )tg ax b C

a

2

1

sin x

-cotgx + C

2

1

sin ( )ax b

1cot ( )g ax b C

a

'( )

( )

u x

u x

ln ( )u x C

2 2

1

x a

1ln

2

x aC

a x a

tanx

ln cos x C

2 2

1

x a

2 2ln x x a C

cotx ln sin x C

Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

1. 3 1( ) cos

1

f x x

x x

2. 2

2x 5f(x)

x 4x 3

Ví dụ 2: Tính các tích phân: 1. 5cos sinx xdx 2.

cos

tgxdx

x 3.

1 ln xdx

x

II. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa:



2

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ;a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì:

( ) ( ) ( ) ( )

b

b

a

a

f x dx F x F b F a ( Công thức NewTon - Leiptnitz)

2. Các tính chất của tích phân:

Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0

b

a

f x dx

Tính chất 2: ( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên ;a b thì: ( )

b

a

cdx c b a

Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên ;a b và ( ) 0f x thì ( ) 0

b

a

f x dx

Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên ;a b và ( ) ( ) x a;bf x g x thì

( ) ( )

b b

a a

f x dx g x dx

Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên ;a b và ( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M thì

( ) ( ) ( )

b

a

m b a f x dx M b a

Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên ;a b thì

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên ;a b và k là một hằng số thì

. ( ) . ( )

b b

a a

k f x dx k f x dx

Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên ;a b và c là một hằng số thì

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên ;a b cho trước không phụ thuộc vào biến số ,

nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ...

b b b

a a a

f x dx f t dt f u du

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I. Phương pháp phân tích.



3

* Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân

cần tìm về các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đó áp dụng định nghĩa.

Các ví dụ:

1) Tính :

16

1

x dx

1

3

1

( 1)x

dx 4

0

sin 2x dx 2

0

cos2x dx

2

0

sin4x dx

2

4

cot

2x dx

2) Tính: 24

2

4

2

sin

tg x

x

dx

3

0

( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx 3

6

tg

2x dx

1

0

e2x + 1

dx

3) Tính :

4

0

| x-2 | dx

4

2

2 6 9x x dx

3

4

| x2-4 | dx

3

4

4

cos2 1x dx

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1)

1

3

0

xdx

(2x 1) 2)

1

0

xdx

2x 1 3)

1

0

x 1 xdx 4)

1

2

0

4x 11dx

x 5x 6

5)

1

2

0

2x 5dx

x 4x 4

6)

3 3

2

0

xdx

x 2x 1 7)6

6 6

0

(sin x cos x)dx

8) 32

0

4sin xdx

1 cosx

9)4

2

0

1 sin2xdx

cos x

10)

2

4

0

cos 2xdx

11)2

6

1 sin2x cos2xdx

sin x cosx

12)

1

x

0

1dx

e 1 .

13) dxxx )sin(cos4

0

44

14)

4

0 2sin21

2cos

dxx

x 15)

2

0 13cos2

3sin

dxx

x 16)

2

0 sin25

cos

dxx

x 17)

0

22 32

4dx

xx 18)

1

12 52xx

dx

Bài 2:

1)

3

2

3

x 1dx

2)

4

2

1

x 3x 2dx

3)

5

3

( x 2 x 2 )dx

4)

2

2

2

1

2

1x 2dx

x

5)

3

x

0

2 4dx 6) 0

1 cos2xdx

7)

2

0

1 sin xdx

8) dxxx 2

0

2

Bài 3:

1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B thỏa mãn đồng thời các điều kiện

'f (1) 2 và

2

0

f(x)dx 4

2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :

2

2 3

0

[a (4 4a)x 4x ]dx 12



4

II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :

1) DẠNG 1: Tính I =

b

'

a

f[u(x)].u (x)dx bằng cách đặt t = u(x)

Công thức đổi biến số dạng 1: )(

)(

)()('.)(bu

au

b

a

dttfdxxuxuf (1)

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( '

Bước 2: Đổi cận : )(

)(

aut

but

ax

bx

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

)(

)(

)()('.)(bu

au

b

a

dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới)

CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( 1

, ln x)x

thì đặt t = lnx (ví dụ 7, 9).

+, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x).( ví dụ 4,7, 5, 10 ...)

+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.

Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức (1) và vận dụng hợp lý.

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1) 2

3 2

0

cos xsin xdx

; 2) 2

5

0

cos xdx

; 3)4

2

0

sin4xdx

1 cos x

; 4)

1

3 2

0

x 1 x dx .

5) 2

2 3

0

sin2x(1 sin x) dx

; 6) 4

4

0

1dx

cos x

; 7)

e

1

1 lnxdx

x

; 8)

4

0

1dx

cosx

.

9)

e 2

1

1 ln xdx

x

; 10)

1

5 3 6

0

x (1 x ) dx ; 11) 6

2

0

cosxdx

6 5sin x sin x

; 12).

3 4

0

tg xdx

cos2x

13) 4

0

cos sin

3 sin2

x xdx

x

; 14)

2

022 sin4cos

2sin

dxxx

x; 15)

5ln

3ln 32 xx ee

dx.

16)

2

02)sin2(

2sin

dxx

x; 17)

3

4

2sin

)ln(

dxx

tgx ; 18)

4

0

8 )1(

dxxtg ; 19)

2

4

2sin1

cossin

dxx

xx .

20)

2

0 cos31

sin2sin

dxx

xx; 21)

2

0 cos1

cos2sin

dxx

xx; 22)

2

0

sin cos)cos(

xdxxe x;



5

23)

2

1 11dx

x

x; 24)

e

dxx

xx

1

lnln31 ; 25)

4

0

2

2sin1

sin21

dxx

x.

26)8

2

3

1

1

dx

x x ; 27)

7 3

3 2

0 1

xdx

x ; 28)

3

5 2

0

1x x dx ; 29)

ln2

x

0

1dx

e 2 .

30)

7

3

3

0

1

3 1

xdx

x

; 31)

2

2 3

0

1x x dx ; 32)

32

52 4xx

dx.

2) DẠNG 2: Tính I =

b

a

f(x)dx bằng cách đặt x = (t)

Công thức đổi biến số dạng 2:

dtttfdxxfIb

a

)(')()(


Bước 1: Đặt dttdxtx )()( '

Bước 2: Đổi cận :

t

t

ax

bx

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

dtttfdxxfIb

a

)(')()( (tiếp tục tính tích phân mới)

Chú ý: * Nếu f(x) có chứa:

+, 2 2 n(a x )- thì đặt x a .sin t= với tÎ ;2 2

- p pé ùê úê úë û

, hoặc x a .cos t= với [ ]t 0;Î p .

+, 2 2 n(a x )+ thì đặt x a . tan t= với t ;2 2

- p pæ ö÷çÎ ÷ç ÷è ø

, hoặc x a .cot t= với ( )t 0;Î p .

+, ( )n2 2x a- thì đặt

ax

sin t= hoặc

ax

cos t= .


1)

1

2

0

1 x dx 2)

1

2

0

1dx

1 x 3)

1

2

0

1dx

4 x 4)

1

2

0

1dx

x x 1

5)

1

4 2

0

xdx

x x 1 6) 2

0

1

1 cos sin

dx

x x

7)

2

22

2

0

xdx

1 x 8)

2

2 2

1

x 4 x dx



6

9)

2

3

2

2

1dx

x x 1 10)

3 2

2

1

9 3xdx

x

11)

1

5

0

1

(1 )

xdx

x

12)

2

2

2

3

1

1

dx

x x

13) 2

0

cos

7 cos2

xdx

x

14)

1 4

6

0

1

1

xdx

x

15)

2

0

cos

1 cos

xdx

x

16)

0

12 22xx

dx

17)

1

0 311 x

dx 18)

2

1 5

1dx

x

xx.

III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: * Kiến thức:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:

dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.

* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:

+, d(a.x b)

d(a.x b) a.dx dx (a 0)a

++ = Û = ¹ .

+, x

x x

x

d(ae b)d(ae b) ae .dx dx

a.e

++ = Û = .

+, d(sinx)

d(sin x) cos x.dx dxcos x

= Û = ; d(cos x)

d(cos x) sin x.dx dxsin x

= - Û =-

.

+, dx

d(ln x) .x

= dx 1 d(a.x b) 1

ln(a.x b)a.x b a a.x b a

+= = +

+ +.

+, 2 2

2 2

x.dxd( x a )

x a+ =

+.

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

1)

1

0

dx

2007.x 2008+ò ; 2)

4

2

0

sin x. cos xdx;

p

ò 3)

e x

2x

1

e .dx

4 3e-ò ; 4)

4

6

cot x.dx

p

pò .

Ví du 2ï: Tính các tích phân sau:

1)

1 2

30

2

1

x

x ; 2)

1 2

3

0

( )2

x

x dx; 3)

1 2

30

2

1

x

x dx ; 4)

21

0

xxe dx ; 5)3

1

2

1

xx e

dx .

6) 1

2 lne

x

x

dx ; 7)

2

1 ln

e

e

dx

x x ; 8)

3

3

0

sin

cos

x

x

dx ; 9) 3

cos

0

sin xx e

dx ; 10)

1

x

0

dx

2e 3+ò .

VI. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Công thức tích phân từng phần:



7

b

a

b

a

b

adxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

Hay: b

a

b

a

b

a vduvuudv .


Bước 1: Đặt )(

)('

)('

)(

xvv

dxxudu

dxxvdv

xuu

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : b

a

b

a

b

a vduvuudv .

Bước 3: Tính bavu. và b

a

vdu

Chú ý:

Giả sử cần tính tích phân

b

a

f(x)g(x)dxò ta thực hiện

Đặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

/du u (x)dx= không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân

b

a

vduò phải tính được.

Đặc biệt:

i/ Nếu gặp

b b b

ax

a a a

P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dxò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= .

ii/ Nếu gặp

b

a

P(x) ln xdxò thì đặt u ln x= .

iii/ Nếu gặp

b

x

a

e . sin axdxa

ò ,

b

x

a

e . cos axdxa

ò thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt xu ea= .

.


1)

2

5

1

ln xdx

x 2)

2

2

0

xcos xdx

3)

1

x

0

e sinxdx

4)

2

0

sin xdx

5)

e

2

1

x ln xdx 6) 3

2

0

x sinxdx

cos x



8

7) 2

0

xsin x cos xdx

8) 4

2

0

x(2cos x 1)dx

9)

2

2

1

ln(1 x)dx

x

10)

1

2 2x

0

(x 1) e dx 11)

e

2

1

(x ln x) dx 12) 2

0

cosx.ln(1 cosx)dx

13) 2

1

ln

( 1)

e

e

xdx

x 14)

1

2

0

xtg xdx 15) 1

0

2)2( dxex x

16) 1

0

2 )1ln( dxxx 17) e

dxx

x

1

ln 18)

2

0

3 sin)cos(

xdxxx

19) 2

0

)1ln()72( dxxx 20) 3

2

2 )ln( dxxx

C. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG

Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

a

a

f(x)dx 0

2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

a a

a 0

f(x)dx 2 f(x)dx

.

Ví dụ: Tính tích phân

I=

2

2

2

cos x. ln(x x 1)dx

p

- p

+ +ò

Bài 2: 1) CMR nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đọan [-a; a] với a > 0 thì:

a a

a 0

f(x).dx (f(x) f( x)).dx

-

= + -ò ò .

Ví dụ: Tính tích phân

Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) = 2 2.cos2x- .

Tính tích phân

3

2

3

2

I f(x).dx

p

- p

= ò

Bài 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0; a] với a > 0, thì

a a

0 0

f(x)dx f(a x).dx= -ò ò .

Bài 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì

b b

a a

a bx.f(x)dx . f(x).dx

2

+=ò ò



9

Hệ quả: a) 2 2

0 0

f(sinx)dx f(cosx)dx

b) 0 0

xf(sinx)dx f(sinx)dx

2

.

Ví du: Tính tích phân

a) 2

0

I x. sin x.cos x.dx

p

= ò ;

2

2

2

0

1b)J ( tan (sin x)).dx

cos (cos x)

p

= -ò .

Bài 5: Nếu f (x) là hàm số liên tục, tuần hoàn có chu kỳ T thì :

T

a T T 2

Ta 0

2

f(x)dx f(x)dx f(x)dx, a R

+

-

= = " Îò ò ò .

Ví dụ: Tính các tích phân

a)

2

2

0

I ln(sin x 1 sin x)dx;

p

= + +ò b)

2008

2007

0

J sin x.dx

p

= ò .

Bài 6:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì +

0

( )( ) vôùi R vaø a > 0

1x

f xdx f x dx

a

; a 1

Ví dụ : Tính các tích phân sau:

a)

1 4

12 1x

xdx

b)

1 2

1

1

1 2x

xdx

c) 2

sin

3 1x

xdx

ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:

1) n2

+

n n

0

cos xdx vôùi n Z

cos x sin x

; 2)

42

4 4

0

cos xdx

cos x sin x

; 3) .62

6 6

0

sin xdx

sin x cos x

4) 5

0

xsin xdx

; 5) 2

2

2

4 sin

x cosxdx

x

; 6)

1 4

2

1

sin

1

x xdx

x

; 7) 2

0

xsin xdx

4 cos x

8) 4 3

0

cos sinx x xdx

; 9)

1 2008

x

1

xdx

2007 1-

+ò ; 10)

4

2008

0

log (1 tan x).dx

p

+ò .

11)

4 6 6

x

4

sin x cos x

6 1

p

- p

+

+ò ; 12)

4

2

0

x. sin xdx

2 cos x

p

+ò .



10

D. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.

Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích

phân theo biến t.

Chú ý: 2 2 2

2n 1 2 n 2 n

sin x 1 cos x 1 t .

(sin x) (sin x) . sin x (1 t ) . sin x+

= - = -

= = -

Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân

2

2 3

0

I cos x sin xdx

p

= ò .

Giải

Đặt t cos x dt sin xdx= Þ = -

x 0 t 1, x t 02

p= Þ = = Þ =

02

2 2 2 2

0 1

I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt

p

Þ = - = - -ò ò1 13 5

2 4

00

t t 2(t t )dt

3 5 15

æ ö÷ç= - = - =÷ç ÷çè øò .

Vậy 2

I15

= .

2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.

Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích

phân theo biến t.

Chú ý: 2 2 2

2n 1 2 n 2 n

cos x sin x 1 t .

(cos x) (cos x) .cosx (1 t ) .cosx+

= = -

= = -

Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân

2

5

0

I cos xdx

p

= ò .

Giải

Đặt t sin x dt cos xdx= Þ =

x 0 t 0, x t 12

p= Þ = = Þ =

2 2

5 2 2

0 0

I cos xdx (1 sin x) cos xdx

p p

Þ = = -ò ò1 13 5

2 2

00

2t t 8(1 t ) dt t

3 5 15

æ ö÷ç= - = - + =÷ç ÷çè øò .

Vậy 8

I15

= .

3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.

Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc

Chú ý: 2 21 cos2x 1 cos2x 1

cos x ;sin x ;sin x.cos x sin 2x2 2 2

+ -= = =



11

Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân

2

4 2

0

I cos x sin xdx

p

= ò .

Giải

2 2

4 2 2 2

0 0

1I cos x sin xdx cos x sin 2xdx

4

p p

= =ò ò2 2

2

0 0

1 1(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx

16 4

p p

= - +ò ò

2 2

2

0 0

1 1(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)

16 8

p p

= - +ò ò3 2

0

x 1 sin 2xsin 4x

16 64 24 32

p

æ ö p÷ç= - + =÷ç ÷çè ø.

Vậy I32

p= .

Nhận xét:

Ví dụ 4. Tính tích phân

2

0

dxI

cos x sin x 1

p

=+ +ò .

Giải

Đặt ( )2

2

x 1 x 2dtt tg dt tg 1 dx dx

2 2 2 t 1= Þ = + Þ =

+

x 0 t 0, x t 12

p= Þ = = Þ =

1

2 2

02 2

1 2dtI .

1 t 2t 1 t1

1 t 1 t

Þ =- +

+ ++ +

ò1

1

0

0

dtln t 1 ln 2

t 1= = + =

+ò .

Vậy I ln 2= .

4. Dạng liên kết

Ví dụ 5. Tính tích phân 0

xdxI

sin x 1

p

=+ò .

Giải

Đặt x t dx dt= p - Þ = - x 0 t , x t 0= Þ = p = p Þ =

( )0

0

( t)dt tI dt

sin( t) 1 sin t 1 sin t 1

p

p

p - pÞ = - = -

p - + + +ò ò

0 0

dt dtI I

sin t 1 2 sin t 1

p p

p= p - Þ =

+ +ò ò

( ) ( )2

20 0

dt dt

tt t2 4cossin cos

2 42 2

p p

p p= =

p-+

ò ò( )

( )( )

2 00

td

t2 4tg

t2 2 2 4cos

2 4

pp

p-

p p p= = - = p

p-

ò .

Vậy I = p .



12

Tổng quát:

0 0

xf(sin x)dx f(sin x)dx2

p p

p=ò ò .


2 2007

2007 2007

0

sin xI dx

sin x cos x

p

=+ò .

Giải

Đặt x t dx dt2

p= - Þ = -

x 0 t , x t 02 2

p p= Þ = = Þ =

( )

( ) ( )

20070

2007 2007

2

sin t2I dx

sin t cos t2 2

p

p-

Þ = -p p

- + -ò

2 2007

2007 2007

0

cos tdx J

sin t cos t

p

= =+ò (1).

Mặt khác

2

0

I J dx2

p

p+ = =ò (2). Từ (1) và (2) suy ra I

4

p= .

Tổng quát:

2 2n n

n n n n

0 0

sin x cos xdx dx , n

sin x cos x sin x cos x 4

p p

+p= = Î

+ +ò ò Z .


6 2

0

sin xI dx

sin x 3 cos x

p

=+ò và

6 2

0

cos xJ dx

sin x 3 cos x

p

=+ò .

Giải

+,

6 62 2

0 0

sin x 3 cos xI 3J dx (sin x 3 cos x)dx

sin x 3 cos x

p p

-- = = -

+ò ò

( ) 60

cos x 3 sin x 1 3p

= - - = - (1).

+,

( )

6 6

0 0

dx 1 dxI J dx

2sin x 3 cos x sin x3

p p

+ = =p+ +

ò ò

Đặt t x dt dx3

p= + Þ =

x 0 t , x t3 6 2

p p p= Þ = = Þ =

2 2

2

3 3

1 dt 1 sin tdtI J

2 sin t 2 sin t

p p

p p

Þ + = =ò ò ( )2 2

2

3 3

d(cos t)1 1 1 1d(cos t)

2 4 cos t 1 cos t 1cos t 1

p p

p p

= = -- +-ò ò



13

2

3

1 cos t 1 1ln ln 3

4 cos t 1 4

p

p

-= =

+ (2).

Từ (1) và (2)

3 1 3I 3J 1 3 I ln 3

16 41

1 1 3I J ln 3J ln 34

16 4

ì -ïì - = - ïï = +ïï ïïÞ Ûí íï ï -+ =ï ï = -ï ïî ïî

.

Vậy 3 1 3 1 1 3

I ln 3 , J ln 316 4 16 4

- -= + = - .


1

2

0

ln(1 x)I dx

1 x

+=

+ò .

Giải

Đặt 2x tgt dx (1 tg t)dt= Þ = +

x 0 t 0, x 1 t4

p= Þ = = Þ =

( )4 4

2

2

0 0

ln(1 tgt)I 1 tg t dt ln(1 tgt)dt

1 tg t

p p

+Þ = + = +

+ò ò .

Đặt t u dt du4

p= - Þ = -

t 0 u , t u 04 4

p p= Þ = = Þ =

( )04

04

I ln(1 tgt)dt ln 1 tg u du4

p

p

pé ùÞ = + = - + -ê úë ûò ò

4 4

0 0

1 tgu 2ln 1 du ln du

1 tgu 1 tgu

p p

-æ ö æ ö÷ ÷ç ç= + =÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø+ +ò ò

( )

4 4

0 0

ln 2du ln 1 tgu du ln 2 I4

p p

p= - + = -ò ò .

Vậy I ln 28

p= .


4

x

4

cos xI dx

2007 1

p

p-

=+ò .

Giải

Đặt x t dx dt= - Þ = -

x t , x t4 4 4 4

p p p p= - Þ = = Þ = -



14

4 4 t

t t

4 4

cos( t) 2007 cos tI dt dt

2007 1 1 2007

p p-

-p p

-

-Þ = - =

+ +ò ò

( )4 4t

t t

4 4

(1 2007 ) 1 1cos tdt 1 cos tdt

1 2007 2007 1

p p

p p- -

+ -= = -

+ +ò ò

4 4 4

04 4

1 2cos tdt I I cos tdt cos tdt

2 2

p p p

p p- -

= - Þ = = =ò ò ò .

Tổng quát:

Với a > 0 , 0a > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ ]; - a a thì

x

0

f(x)dx f(x)dx

a 1

a a

- a

=+ò ò .

Ví dụ 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f( x) 2f(x) cos x- + = .

Tính tích phân

2

2

I f(x)dx

p

p-

= ò .

Giải

Đặt

2

2

J f( x)dx

p

p-

= -ò , x t dx dt= - Þ = -

x t , x t2 2 2 2

p p p p= - Þ = = Þ = -

[ ]

2 2

2 2

I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx

p p

p p- -

Þ = - = Þ = + = - +ò ò

2 2

02

cos xdx 2 cos xdx 2

p p

p-

= = =ò ò .

Vậy 2

I3

= .

Vậy I2

p= .

Chú ý:

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.



15


2

4

0

I cos xdx

p

= ò .

Giải

Đặt 2t x x t dx 2tdt= Þ = Þ = 2

x 0 t 0, x t4 2

p p= Þ = = Þ =

( )

2

20

0

I 2 t cos tdt 2 t sin t cos t 2

p

p

Þ = = + = p -ò .

Vậy I 2= p - .


e

1

I sin(ln x)dx= ò .

Giải

Đặt t tt ln x x e dx e dt= Þ = Þ =

x 1 t 0, x e t 1= Þ = = Þ =

( )1 1t

t

00

sin t cos t e (sin 1 cos1)e 1I e sin tdt

2 2

- - +Þ = = =ò .

Vậy (sin1 cos1)e 1

I2

- += .

II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1. Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b

a

I f(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau

Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a 1x 2x b

f(x) + 0 - 0 +

Bước 2. Tính

1 2

1 2

b x x b

a a x x

I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +ò ò ò ò .


2

2

3

I x 3x 2 dx-

= - +ò .

Giải

Bảng xét dấu

x 3- 1 2 2x 3x 2- + + 0 - 0



16

( ) ( )

1 2

2 2

3 1

59I x 3x 2 dx x 3x 2 dx

2-

= - + - - + =ò ò .

Vậy 59

I2

= .


2

2

0

I 5 4 cos x 4 sin xdx

p

= - -ò .

Giải

2 2

2

0 0

I 4 sin x 4 sin x 1dx 2 sin x 1 dx

p p

= - + = -ò ò .

Bảng xét dấu

x 0 6

p

2

p

2 sin x 1- - 0 +

( ) ( )

6 2

06

I 2 sin x 1 dx 2 sin x 1 dx 2 3 26

p p

p

p= - - + - = - -ò ò .

Vậy I 2 3 26

p= - - .

2. Dạng 2

Giả sử cần tính tích phân [ ]

b

a

I f(x) g(x) dx= ±ò , ta thực hiện

Cách 1.

Tách [ ]

b b b

a a a

I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±ò ò ò rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

Cách 2.

Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Ví dụ 1. Tính tích phân ( )

2

1

I x x 1 dx-

= - -ò .

Giải

Cách 1.

( )

2 2 2

1 1 1

I x x 1 dx x dx x 1 dx- - -

= - - = - -ò ò ò

0 2 1 2

1 0 1 1

xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx- -

= - + + - - -ò ò ò ò



17

0 2 1 22 2 2 2

1 0 1 1

x x x xx x 0

2 2 2 2- -

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - + + - - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

.

Cách 2.

Bảng xét dấu

x –1 0 1 2

x – 0 + +

x – 1 – – 0 +

( ) ( ) ( )

0 1 2

1 0 1

I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx-

= - + - + + - + - +ò ò ò

( )120 2

1 10x x x x 0-= - + - + = .

Vậy I 0= .

3. Dạng 3

Để tính các tích phân { }

b

a

I max f(x), g(x) dx= ò và { }

b

a

J min f(x), g(x) dx= ò , ta thực hiện các

bước sau:

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)= - trên đoạn [a; b].

Bước 2.

+ Nếu h(x) 0> thì { }max f(x), g(x) f(x)= và { }min f(x), g(x) g(x)= .

+ Nếu h(x) 0< thì { }max f(x), g(x) g(x)= và { }min f(x), g(x) f(x)= .

Ví dụ 1. Tính tích phân { }

4

2

0

I max x 1, 4x 2 dx= + -ò .

Giải

Đặt ( ) ( )2 2h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - + .

Bảng xét dấu

x 0 1 3 4

h(x) + 0 – 0 +

( ) ( ) ( )

1 3 4

2 2

0 1 3

80I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx

3= + + - + + =ò ò ò .

Vậy 80

I3

= .

Ví dụ 2. Tính tích phân { }

2

x

0

I min 3 , 4 x dx= -ò .

Giải

Đặt ( )x xh(x) 3 4 x 3 x 4= - - = + - .

Bảng xét dấu

x 0 1 2

h(x) – 0 +

( )

1 2 21x 2x

0 10 1

3 x 2 5I 3 dx 4 x dx 4x

ln 3 2 ln 3 2

æ ö÷ç= + - = + - = +÷ç ÷çè øò ò .



18

Vậy 2 5

Iln 3 2

= + .

III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ.

1.Tích phân dạng: cbxax

dx

2 (với a 0)

Cách làm:

Biến đổi cbxax 2 về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta sẽ

đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ.

a) 22 ta Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u æ öp p÷çÎ - ÷ç ÷çè ø

;2 2

(hoặc u ( )p0; ).

b) 22 ta Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u é ùp pê úÎ -ê úë û;2 2

(hoặc u [ ]Î p0; .

c) 22 at Đặt t = Cosu

a(hoặc t =

Sinu

a) với u [ ]Î p0; -

ì üpï ïï ïí ýï ïï ïî þ2

(hoặc ué ùp pê úÎ -ê úë û;2 2

- 0 )

Chú ý công thức:

ax

dx

2 = axx 2ln +C (C là hằng số tuỳ ý)

Chứng minh:

Đặt t = x + ax 2 dxax

xdt

21 =

ax

dxt

2

.

Từ đó ta có : ax

dx

t

dt

2 Vậy :

ax

dx

2= CaxxCt

t

dt 2lnln (ĐPCM)

Với hàm hợp:

Cauuau

du 2

2ln (*)Trong đó u = u(x).

Ví dụ 1:Tính I =

2

3

122 xx

dx

I =

2

3

12)1(1 x

dx

Đặt x-1 = Sint . Khi x =1 t = 0

x = 2

3t =

p

6

và : Costdtdx



19

vậy I =

6

0

6

0

02

6

sin1

costdt

t

tdt =

p

6

Ví dụ 2:Tính J =

3

22 344 xx

dx

Thông thường với tích phân dạng (a) và (c) ta sử dụng công thức (*) thì lời giải sẽ dễ dàng và

ngắn gọn hơn.

áp dụng công thức (*) ta có: J =

3

22 344 xx

dx =

3

22 3)12( x

dx

=

3

22 4)12(

)12(

2

1

x

xd =

3

2

2 34412ln2

1 xxx =

215

457ln

2

1.

Ví dụ 3: Tính K =

2

21

2

12 344 xx

dx=

2

21

2

12 2)12( x

dx

Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có:

K =

2

21

2

12 2)12( x

dx =

2

21

2

1

2 34412ln2

1

xxx = 21ln .

Cách 2: Đặt 2x - 1 = 2 tan t

Chú ý: Nếu mẫu thức có thể khai căn được thì ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn như sau:

Ví dụ 4:Tính M =

0

22 144 xx

dx

M =

0

212x

dx=

=

0

2

0

2

0

2

21ln2

1

21

)21(

2

1

21x

x

xd

x

dx= - 5ln

2

1

2.Tích phân dạng:

cbxax

dxBAx

2

)( Với a.A 0

Cách làm:

Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là cbxax 2,một tích phân có tử là

đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số.

Tức là tách:

cbxax

dxBAx

2

)(=

dx

cbxax

bax

2

2

cbxax

dxM

2

.



20


32

)4(

2 xx

dxx

Ta có: I = 2

1

dx

xx

x

32

6)22(

2 =

32

6

32

)22(

2

1

22 xx

dx

xx

dxx=

= 321ln332 22 xxxxx C


0

12 22

)2(

xx

dxx

Ta có: J =

0

12 22

)2(

xx

dxx =

2

1

0

12 22

2)22(dx

xx

x

=2

1

0

12 22

)22(

xx

dxx+

0

12 22xx

dx

= 0

1

22 221ln22

xxxxx = )21ln(12

3.Tích phân dạng: cbxaxx

dx

2)( (Với 0. a )

Cách làm: Đặt t

x1

chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a).


1

02 22)1( xxx

dx

Đặt 1x = t

1 Khi x = 0 t = 1

x = 1 t = 2

1

Và dx = -2t

dt.Ta có: I =

1

2

12 1t

dt =

1

2

1

2 1ln tt = 51

)21(2ln


3

22 1)1( xx

dx

Đặt x-1 = t

1 x =

t

t 1

Khi x = 2 thì t=1

x = 3 thì t = 2

1

và dx = -2t

dt



21

Tích phân cần tính là: I =

2

1

12

2

111

t

t

t

t

dt

=

1

2

12122

1

tt

dt

=

1

2

12

4

1

2

1

2

1

2

1

t

td

= 1

2

1212

2

1ln

2

1 ttt =

52

103ln

2

1

Ví dụ 3:Tính K =

2ln

021)1( xxx

x

eee

dxe

Đặt t = ex dt = e

xdx.Khi : x = 0 t = 1

x = ln2 t = 2

Ta có: K =

2

121)1( ttt

dt

Đặt u = t1

1 ta có:

2)1( t

dtdu

2u

dudt

11

ut

Vậy K =

2

1

3

12

12

1

2

1

2

1

3

1

u

ud

= 2

1

3

1

2

12

1

2

1

2

1ln

3

1

uu = 3ln

6

3

Ví dụ 4:Tính N =

2

6

2 2

cot

xSin

gxdx

Ta có : N =

2

6

2 2

cot

xSin

gxdx = N =

2

6

2 2

cos

xSinSinx

xdx

Đặt t = Sin x thì : N =

1

2

12 2tt

dt Lại đặt u =

t

1 thì N =

2

1 2

2

12

1

u

du=

=2

1 2

1

2

2

1ln uu =

32

322ln

2

1

4.Tích phân dạng: cbxax

dxxf

2

)( Với 0a bậc f(x) 2,f(x) là đa thức.



22

Cách làm:Tách cbxax

dxxf

2

)( = g(x). cbxax 2 +

cbxax

dx

2

Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x).

Tìm các hệ số của g(x) và số bằng phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ 1:Tính M = 32

)1(

2

2

xx

dxx

Tách : 32

)1(

2

2

xx

dxx= 32)( 2 xxBAx +

322 xx

dx

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

32

1

2

2

xx

x 32. 2 xxA +

32

)1)((

2

xx

xBAx +

322 xx

Đồng nhất hệ số ta có : 1;2

3;

2

1 BA

Vậy M = 322

3 2

xxx

+ 322 xx

dx

= 322

3 2

xxx

+ Cxxx 321ln 2

Ví dụ 2:Tính N =

dx

xx

xx

22

1

2

3

Ta có :

dx

xx

xx

22

1

2

3

= 22)( 22 xxCBxAx + 222 xx

dx (1)

Lấy đạo hàm hai vế của (1) và quy đồng ta có:

x3-x +1 = (2A.x+B)(x

2+2x+2) +(Ax

2+Bx+C)(x-1) +D

Đồng nhất hệ số ta có: 3A = 1 A=3

1

5A+2B =0 B= -6

5

4A+3B+C =-1 C=6

1

2B +C+D =1 D=2

5

Vậy có: M = 221526

1 22 xxxx + 2

5

222 xx

dx

= 221526

1 22 xxxx + Cxxx 221ln2

5 2

Ví dụ 3:Tính P =

0

12 22

)1(1dx

xx

xxx

Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:



23

P =

0

12 22

)1(1dx

xx

xxx =

0

12

3

22dx

xx

xx =

P =

0

12

3

22

1dx

xx

xx -

0

12 22xx

dx = N -

0

12 22xx

dx =

= 0

1

222 221ln2

322152

6

1

xxxxxxx =

= 21ln2

3

3

42

6

1 .

5.Tích phân dạng: n mnm dcxbax

dx

2)()( với 0.,, * caNnm

Cách làm:Đặt n

m

dcx

baxt

ta sẽ đưa về tính tích phân của hàm hữu tỉ.

Ví dụ :Tính I =

1

03 )45()13( xx

dx

Ta thấy 2;3 nm đặt t =

3

45

13

x

x

3

2

45

13

x

xt

2

2

)45(

7.

45

13.32

x

dx

x

xtdt

3221

2

)45( t

dt

x

dx

Khi 8

10 tx

27

81 tx

Vậy ta có: I =

1

03 )45()13( xx

dx=

1

03

2

45

1345

x

xx

dx =

27

8

8

13.21

2

tt

dt =

= dtt 3

427

8

8

121

2

= 27

8

8

137

2

t =

7

1

6.Tích phân dạng:

dx

dcx

bax Với 0. ca

Cách làm: Cách 1: Đặt dcx

baxt

Cách 2: Đặt dcxt

Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn.



24

Ví dụ :Tính J =

1

03

1dx

x

x

Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt xt 3 x

dxdt

32

dtx

dx2

3

Khi đó 22 413 txtx

Vậy J =

1

03

1dx

x

x =

2

3

242 dtt

Đặt Sinyt 2 Khi 3

3

yt

4

2

yt

Cosydydt .2 Vậy : J =

4

3

2 2.442 CosydyySin =

=

3

4

3

4

2

2

2182.4 dy

yCosydyCos =

3

4

224

ySiny = 233

7.Tích phân dạng: dxuuxR mn ;;

Cách làm: Đặt k ut Với k là BCNN của m và n.

Ví dụ1 :Tính I =

0

13 11

11dx

x

x

Đặt 6 1 xt dxdtttxt 56 6)0(1

I =

0

13 11

11dx

x

x=

1

0

2

35

1

16 dt

t

tt

=

1

0

22

2346

1

6

1

6666666 dt

tt

tttttt

Tích phân này dễ dàng tính được.

Ví dụ2 :Tính J =

3

02 112

21dx

xxx

x

Đặt dxtdtxt 21



25

J =

3

02 112

21dx

xxx

x=

2

1

4

)2(2

tt

tdtt =

2

1

3 1

42dt

t

t

=

2

1

2 11dt

tt

CBt

t

A

Đồng nhất hệ số ta có: 2;2;2 CBA

Vậy J = 2

1

1ln2 t

2

1

2 1

22dt

tt

t =

=

2

1

2

1

22

2

1

2

1

1

)1(

3

2ln2

tt

td

tt

ttd = Ltt 1ln

3

2ln2 2

Tính L bằng cách đặt tgut2

3

2

1 Ta có đáp số là: I =

333

4ln

.

8.Tích phân dạng: dxbxax qpr )( (p,q,r là các phân số)

a)Nếu q nguyên đặt x= ts với s là BCNN của mẫu số r và p.

b)Nếu p

r 1 nguyên đặt sp tbxa với s là mẫu của phân số q.

c) Nếu p

r 1 +q nguyên đặt sp tbax với s là mẫu số của phân số q.

Ví dụ1 :Tính I = 34 )1( xx

dx

Viết tích phân cần tính ở dạng sau: I = 34 )1( xx

dx = dxxx

3

4

1

2

1

1

Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t4 ta có dx=4t

3dt

I = 32

3

)1(

4

tt

dtt = 4 3)1(t

tdt=

=

dt

ttt 1

1

)1(

1

)1(

14

23 =

= Cttt

1ln

1

1

)1(2

14

2 .

Ví dụ 2 :Tính J = 22

5

)( xaxa

dxx 0a

Ta có: J = dxxax

2

3

25 )( Vì 32

151

p

r nguyên nên đặt a-x

2 = t

2

tdtxdxtdtxdxtax 22)( 224



26

Vậy J =

3

22

t

tdtta = - dt

t

aatt

3

224 2

= Ct

aatt

23 2

3

1.

Ví dụ 3 :Tính N = dxxax3 3

Ta có: N = dxxax3 3 = dxxax 3

1

23

1

)(

Do .3

1;2;

3

1 qpr vì 1

1

q

p

r nguyên nên ta đặt 32 1 tax hay

23

22

3

23

2 )1(

3

11

t

dtatdx

t

axt

x

a

Vậy N = 23

21

2

1dx

x

a =

dt

t

att

23

2

)1(

3

2

1=

23

3

)1(2

3

t

dtta =

=

1

1

2 2ttd

a =

12)1(2 32 t

dta

t

at (Tích phân này dễ dàng tính được).

9.Các phép thế Euler:

a) Đặt cbxax 2 = ± xa. t Nếu a >0

b) Đặt cbxax 2 = tx. ± c Nêú c>0

c) Đặt cbxax 2 = )( 0xxt Nếu x0 là nghiệm của TTB2

Ví dụ 1 :Tính M =

1

02 56xx

dx

a=1 >0 Sử dụng phép thế thứ nhất đặt txtxaxx .562

62

5)(56

222

t

txtxxx

Suy ra: dtt

ttdx

2

2

)62(

)56(2

62

5656

22

t

ttxx

Với 50 tx

1321 tx (Chú ý rằng 0 tx )

Ta có: I =

132

53t

dt = -

232

53ln3ln

132

5

t

Ví dụ 2 :Tính P =

2

52

2

23

23dx

xxx

xxx



27

Tam thức bậc hai x2+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt

)1(232 xtxx ; 1;20 xt

1

2)1(2

2

22

t

txxtx vậy

22 )1(

2

t

tdtdx

Khi đó: P =

2

52

2

23

23dx

xxx

xxx=

0

2

3

3

2

)1)(1)(2(

42dt

ttt

tt

= 3

1

0

2

3

3)1(t

dt+

18

5

0

2

3

2)1(t

dt-108

17

0

2

31

dtt

dt+

4

3

0

2

31

dtt

dt-

27

16

0

2

32

dtt

dt

= 2

3

02

2ln27

161ln

4

31ln

108

17

)1(18

5

)1(6

1

ttt

tt.

Ví dụ 3 :Tính L =

2

7

32 43xx

dx

Vì c = 4 >0 có thể sử dụng phép thế thứ hai.

Đặt 2432 xtcxtxx

Chuyển việc tính tích phân trên về việc tính tích phân

0

1

2 1t

dt

10.Một số bài toán khác: Ngoài các dạng trên thì có những bài có thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân,hoặc sử dụng

một số phép biến đổi đơn giản.Sau đây là một số ví dụ:

Ví dụ 1: Tính I1 =

3

8 1 xx

dx Đặt xt 1


1

0

3 1dxxx Đặt 3 1 xt


2

7

03 12x

dx Đặt 3 12 xt

Có thể trình bày như sau: I3 = )12()12(2

1 2

7

0

3

1

xdx = 2

7

0

3 2

3

)12( x =

4

9


1

0 1 xx

dx



28

Ta có : I4 =

1

0

)1( dxxx = 1

0

33

3

21

3

2

xx =

3

24

Ví dụ 5: Tính dxx

1

0

24

Cách1: Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần

Đặt 24 xu

dxdv

Cách 2: Đặt x =2Sint (Vì đây là tích phân dạng 1-b)

Đáp số:3

23

Ví dụ 6: Tính

n

m

dxax 22

Dùng phương pháp lấy tích phân từng phần với dxdvaxu ;22 .

Ta có kết quả là :n

m

axxa

axx

22

222 ln

22

Ví dụ 7: Tính xa

dx

1 10 a

Đặt 2

x

at

ta có: xa

dx

1 =

Ctt

at

dt

a

2

21ln

ln

2

1ln

2

Ví dụ 8: Tính x

x

e

dxex

1

.

Đặt xet 1 1t

Ta có: x

x

e

dxex

1

. dttdttdtt )1ln(2)1ln(2)1ln(2 2

Cttttt 4)1ln()1(2)1ln()1(2

Vậy : x

x

e

dxex

1

. = Cxeex xx 2)11ln(41)2(2

Ví dụ 9: Tính

2

12

1 x

dxx n

Đặt 21 xt 1x

Ta có:

2

12

1 x

dxx n

n

k

kk

n

knn

dttCdttx

dxx

0

22

2

22

)1()1(12

1=

=

n

k

kk

n

kC

k

tC

0

12

121 =

n

k

kk

nk Cxk

C

0

2

12

21 )1(12

)1( ./



29

BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. 3 42 )1()1( xx

dx 2.

2

2

1 xx

dxx

3.

3

2

1

1

x

xx 4.

22211 xxx

xdx

5.

3

23 )1( xx

dx 6.

dx

xx

xx

11

11

7. 221 2 xx

dx (Đặt txxx 222 ) 8.

33)1(

)12(

2 xxx

dxx

9.1

.1

13

2

3

x

dx

x

x 10)

1

02 584

)12(

xx

dxx

1. Tích phân dạng: cbxax

dx

2 (với a 0) Trang 1

2. Tích phân dạng:

cbxax

dxBAx

2

)( Với a.A 0 Trang 3

3. Tích phân dạng: cbxaxx

dx

2)( (Với 0. a ) Trang 3

4. Tích phân dạng: cbxax

dxxf

2

)( Với 0a bậc f(x) 2,f(x) là đa thức. Trang 5

5. Tích phân dạng: n mnm dcxbax

dx

2)()( với 0.,, * caNnm Trang 6

6. Tích phân dạng:

dx

dcx

bax Với 0. ca Trang 6

7. Tích phân dạng: dxuuxR mn ;; Trang 7

8. Tích phân dạng: dxbxax qpr )( Trang 8



30

9. Các phép thế Euler: Trang 9

CHUYÊN ĐỀ 2:

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN


1. Dạng 1

Để chứng minh

b

a

f(x)dx 0³ò (hoặc

b

a

f(x)dx 0£ò ) ta chứng minh f(x) 0³ (hoặc f(x) 0£ ) với

[ ]x a; b" Î .

Ví dụ 1. Chứng minh

1

3 6

0

1 x dx 0- ³ò .

Giải

Với [ ]

1

3 36 6 6

0

x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0" Î £ Þ - ³ Þ - ³ò .

2. Dạng 2

Để chứng minh

b b

a a

f(x)dx g(x)dx³ò ò ta chứng minh f(x) g(x)³ với [ ]x a; b" Î .


2 2

10 11

0 0

dx dx

1 sin x 1 sin x

p p

£+ +ò ò .

Giải

Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x2

pé ù" Î £ £ Þ £ £ê úë û

10 11

10 11

1 11 sin x 1 sin x 0

1 sin x 1 sin xÞ + ³ + > Þ £

+ +.

Vậy

2 2

10 11

0 0

dx dx

1 sin x 1 sin x

p p

£+ +ò ò .

3. Dạng 3

Để chứng minh

b

a

A f(x)dx B£ £ò ta thực hiện các bước sau

Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M£ £ .

Bước 2. Lấy tích phân

b

a

A m(b a) f(x)dx M(b a) B= - £ £ - =ò .


1

2

0

2 4 x dx 5£ + £ò .

Giải

Với [ ] 2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5" Î £ + £ Þ £ + £ .



31

Vậy

1

2

0

2 4 x dx 5£ + £ò .

Ví dụ 2: Chứng minh

3

4

2

4

dx

4 23 2 sin x

p

p

p p£ £

-ò .

Giải

Với 23 2 1x ; : sin x 1 sin x 1

4 4 2 2

p pé ù" Î £ £ Þ £ £ê ú

ë û

2

2

1 11 3 2 sin x 2 1

2 3 2 sin xÞ £ - £ Þ £ £

-

( ) ( )3

4

2

4

1 3 dx 31

2 4 4 4 43 2 sin x

p

p

p p p pÞ - £ £ -

-ò .

Vậy

3

4

2

4

dx

4 23 2 sin x

p

p

p p£ £

-ò .


3

4

3 cotgx 1dx

12 x 3

p

p

£ £ò .

Giải

Xét hàm số cotgx

f(x) , x ; x 4 3

p pé ù= Î ê úë û ta có

2/

2

xcotgx

sin xf (x) 0 x ; 4 3x

--

p pé ù= < " Î ê úë û

( ) ( )f f(x) f x ; 3 4 4 3

p p p pé ùÞ £ £ " Î ê úë û

3 cotgx 4 x ;

x 4 3

p pé ùÞ £ £ " Î ê úp p ë û

( ) ( )3

4

3 cotgx 4dx

3 4 x 3 4

p

p

p p p pÞ - £ £ -

p pò .

Vậy

3

4

3 cotgx 1dx

12 x 3

p

p

£ £ò .

4. Dạng 4 (tham khảo)

Để chứng minh

b

a

A f(x)dx B£ £ò (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện



32

Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho

[ ]b

b

a

a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx Bg(x)dx B

ì £ " Îïïïï Þ £íï =ïïïî

òò

.

Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho

[ ]b

b

a

a

h(x) f(x) x a; b

A f(x)dxh(x)dx A

ì £ " Îïïïï Þ £íï =ïïïî

òò

.


2

2

20070

2 dx

2 41 x

p£ £

-ò .

Giải

Với 2007 22 1x 0; : 0 x x

2 2

é ù" Î £ £ £ê ú

ê úë û

2 2007

2007 2

1 1 11 x 1 x 1 1

2 1 x 1 xÞ £ - £ - £ Þ £ £

- -

2 2 2

2 2 2

2007 20 0 0

dx dxdx

1 x 1 xÞ £ £

- -ò ò ò .

Đặt x sin t dx cos tdt= Þ =

2x 0 t 0, x t

2 4

p= Þ = = Þ =

2

2 4

20 0

dx cos tdt

cos t 41 x

p

pÞ = =

-ò ò .

Vậy

2

2

20070

2 dx

2 41 x

p£ £

-ò .


1

2

0

3 1 xdx 2 1

4 2x 2 1

+ +£ £

+ -ò .

Giải

Với [ ] 2x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1" Î - £ + - £ -

2

x x x

3 1 2 1x 2 1Þ £ £

- -+ -

1 1 1

20 0 0

xdx xdx xdx

3 1 2 1x 2 1Þ £ £

- -+ -ò ò ò .

Vậy

1

2

0

3 1 xdx 2 1

4 2x 2 1

+ +£ £

+ -ò .



33

1Cy2Cy

2Cx1Cx

CHUYÊN ĐỀ 3:

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

I. Kiến thức :

b

a

dxxgxfS )()( b

a

dyygyfS )()(

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y f(x), x a, x b= = = và trục hoành là

b

a

S f(x) dx= ò .


Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) dxò .

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e= = = và Ox.

Giải

Do [ ]ln x 0 x 1; e³ " Î nên

( )

e e

e

1

1 1

S ln x dx ln xdx x ln x 1 1= = = - =ò ò .

Vậy S 1= (đvdt).

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3, x 0, x 3= - + - = = và Ox.

bx

ax

xgyC

xfyC

H

:

:

)(:)(

)(:)(

:)(

2

1

2

1

by

ay

ygxC

yfxC

H

:

:

)(:)(

)(:)(

:)(

2

1

2

1

x

y

)(H

a b

)(:)( 1 xfyC

)(:)( 2 xgyC

ax bx

O

x

y

)(Ha

b

)(:)( 1 yfxC

)(:)( 2 ygxC

ay

by

O



34

Giải

Bảng xét dấu

x 0 1 3

y – 0 + 0

( ) ( )

1 3

2 2

0 1

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + -ò ò

1 33 32 2

0 1

x x 82x 3x 2x 3x

3 3 3

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - - + + + - + + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

.

Vậy 8

S3

= (đvdt).

2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f(x), y g(x), x a, x b= = = = là

b

a

S f(x) g(x) dx= -ò .


Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x)- trên đoạn [a; b].

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) g(x) dx-ò .

2.2. Trường hợp 2.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f(x), y g(x)= = là S f(x) g(x) dx

b

a

= -ò . Trong đó , a b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của

phương trình f(x) g(x)= ( )a b£ a < b £ .


Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x)= .

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x)- trên đoạn [ ]; a b .

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx

b

a

-ò .

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x= + - = ,

x 0, x 2= = .

Giải

Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -

h(x) 0 x 1 x 2 x 3= Û = Ú = Ú = (loại).

Bảng xét dấu

x 0 1 2

h(x) – 0 + 0



35

( ) ( )

1 2

3 2 3 2

0 1

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - - + - + - + -ò ò

1 24 2 4 23 3

0 1

x 11x x 11x 52x 6x 2x 6x

4 2 4 2 2

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - - + - + - + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

.

Vậy 5

S2

= (đvdt).

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x= + - = .

Giải

Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -

h(x) 0 x 1 x 2 x 3= Û = Ú = Ú = .

Bảng xét dấu

x 1 2 3

h(x) 0 + 0 – 0

( ) ( )

2 3

3 2 3 2

1 2

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - + - - - + -ò ò

2 34 2 4 23 3

1 2

x 11x x 11x 12x 6x 2x 6x

4 2 4 2 2

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - + - - - + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

.

Vậy 1

S2

= (đvdt).

Chú ý:

Nếu trong đoạn [ ]; a b phương trình f(x) g(x)= không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công

thức [ ]f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx

b b

a a

- = -ò ò .

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3y x , y 4x= = .

Giải

Ta có 3x 4x x 2 x 0 x 2= Û = - Ú = Ú =

( ) ( )

0 2

3 3

2 0

S x 4x dx x 4x dx-

Þ = - + -ò ò

0 24 42 2

2 0

x x2x 2x 8

4 4-

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

.

Vậy S 8= (đvdt).

Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4 x 3= - + và trục hoành.

Giải

Ta có 2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0- + = Û - + = = ³

t 1 x 1 x 1

t 3 x 3 x 3

= = = ±é é éê ê êÛ Û Ûê ê ê= = = ±ë ë ë

3 3

2 2

3 0

S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx-

Þ = - + = - +ò ò



36

( ) ( )

1 3

2 2

0 1

2 x 4x 3 dx x 4x 3 dxé ùê ú= - + + - +ê úê úë ûò ò

1 33 32 2

0 1

x x 162 2x 3x 2x 3x

3 3 3

é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= - + + - + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û

.

Vậy 16

S3

= (đvdt).

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3= - + và y x 3= + .

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2x 4x 3 x 3- + = +

2

2

x 3 0x 0

x 4x 3 x 3x 5

x 4x 3 x 3

+ ³ìïï =éïï é ê- + = +Û Ûí ê ê =ïï ëêï - + = - -êïî ë

.

Bảng xét dấu

x 0 1 3 5 2x 4x 3- + + 0 – 0 +

( ) ( ) ( )

1 3 5

2 2 2

0 1 3

S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dxÞ = - + - + - + -ò ò ò

1 3 53 2 3 2 3 2

0 1 3

x 5x x 3x x 5x 1096x

3 2 3 2 3 2 6

æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ç ç ç= - + + - + - =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø.

Vậy 109

S6

= (đvdt).

Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 1 , y x 5= - = + .

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2 2x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + Û - = + = ³

2

2

t x 0t x 0

t 1 t 5 x 3t 3

t 1 t 5

= ³ìïï = ³ìï ïï ïé - = +Û Û Û = ±í íê =ï ïï ïîêï - = - -êïî ë

( ) ( )

3 3

2 2

3 0

S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx-

Þ = - - + = - - +ò ò

Bảng xét dấu

x 0 1 3 2x 1- – 0 +

( ) ( )

1 3

2 2

0 1

S 2 x x 4 dx x x 6 dxÞ = - - - + - -ò ò



37

1 33 2 3 2

0 1

x x x x 732 4x 6x

3 2 3 2 3

æ ö æ ö- ÷ ÷ç ç= - - + - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

Vậy 73

S3

= (đvdt).

Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).

BÀI TẬP

Tính diện tích của các hình phẳng sau:

1) (H1):

2

2

xy 4

4

xy

4 2

2) (H2) :

2

y x 4x 3

y x 3

3) (H3):

3x 1y

x 1

y 0

x 0

4) (H4):

2

2

y x

x y

5) (H5):

2

y x

y 2 x

6) (H6):2

y x 5 0

x y 3 0

7) (H7):

ln xy

2 x

y 0

x e

x 1

8) (H8) :

2

2

y x 2x

y x 4x

9) (H9):

23 3

y x x

2 2

y x

10) (H10):2

y 2y x 0

x y 0

11)

)(

2:)(

:)(

Ox

xyd

xyC

12)

1:)(

2:)(

:)(

x

yd

eyC x

CHUYÊN ĐỀ 4.

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.

I. KIẾN THỨC

a b0y

)(:)( xfyC

b

ax

bx

x

y

O

b

ax

y

0x

O

)(:)( yfxC

by

ay



38

dxxfVb

a

2

)( dyyfVb

a

2

)(

II. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

1. Trường hợp 1.

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường [ ]y f(x) 0 x a;b= ³ " Î , y 0= ,

x a= và x b (a b)= < quay quanh trục Ox là

b

2

a

V f (x)dx= pò .

Ví dụ 1. Tính thể tích hình cầu do hình tròn 2 2 2(C) : x y R+ = quay quanh Ox.

Giải

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2x R x R= Û = ± .

Phương trình 2 2 2 2 2 2(C) : x y R y R x+ = Û = -

( ) ( )

R R

2 2 2 2

R 0

V R x dx 2 R x dx-

Þ = p - = p -ò ò

R3 32

0

x 4 R2 R x

3 3

æ ö p÷ç= p - =÷ç ÷çè ø.

Vậy 34 R

V3

p= (đvtt).


Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường [ ]x g(y) 0 y c;d= ³ " Î , x 0= ,

y c= và y d (c d)= < quay quanh trục Oy là

d

2

c

V g (y)dy= pò .

Ví dụ 2. Tính thể tích hình khối do elip 2 2

2 2

x y(E) : 1

a b+ = quay quanh Oy.

Giải

Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2

2

y1 y b

b= Û = ± .

Phương trình 2 2 2 2

2 2

2 2 2

x y a y(E) : 1 x a

a b b+ = Û = -

b b2 2 2 2

2 2

2 2

b 0

a y a yV a dy 2 a dy

b b-

æ ö æ ö÷ ÷ç çÞ = p - = p -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øò ò

R2 3 22

2

0

a y 4 a b2 a y

33b

æ ö p÷ç= p - =÷ç ÷çè ø.



39

Vậy 24 a b

V3

p= (đvtt).


Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x)= = , x a= và

[ ]x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b )= < ³ ³ " Î quay quanh trục Ox là b

2 2

a

V f (x) g (x) dx= p -ò .

Ví dụ 1. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x= , 2y x= quay quanh

Ox.

Giải

Hoành độ giao điểm 4

x 0 x 0

x 1x x

³ =ì éïï êÛí ê =ï =ï ëî

.

( )

1 1

4 4

0 0

V x x dx x x dxÞ = p - = p -ò ò

( )1

5 2

0

1 1 3x x

5 2 10

p= p - = .

Vậy 3

V10

p= (đvtt).


Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y)= = , y c= và

[ ]y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d )= < ³ ³ " Î quay quanh trục Oy là d

2 2

c

V f (y) g (y) dy= p -ò .

Ví dụ 1. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x y 5= - + , x 3 y= -

quay quanh Oy.

Giải

Tung độ giao điểm 2y 1

y 5 3 yy 2

= -éê- + = - Ûê =ë

.

( ) ( )

2

2 22

1

V y 5 3 y dy-

Þ = p - + - -ò

( )

2

4 2

1

y 11y 6y 16 dy-

= p - + +ò

25 32

1

y 11y 1533y 16y

5 3 5-

æ ö p÷ç= p - + + =÷ç ÷çè ø.

Vậy 153

V5

p= (đvtt).

BÀI TẬP VẬN DỤNG



40

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2

y (x 2) và y = 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Trục Ox

b) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 2

4 ; 2y x y x .

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2

2

1;

1 2

xy y

x

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục O

41

BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ PHẦN ĐỔI BIẾN SỐ

1) Tính : a)

1

5

0

(3 2)x dx; b)

1 2

3

0

( )2

x

x dx ; c)

1 2

30

2

1

x

x dx

2) Tính : a)2

1

0

xxe dx ; b)3

1

2

1

xx e

dx ; c) 1

2 lne

x

x

dx ; d)

2

1 ln

e

e

dx

x x .

3) Tính: a)3

3

0

sin

cos

x

x

dx ; b) 3

cos

0

sin xx e

dx ; c) 2

0

2 1 cos x

.sinx dx ; d) 4

2

0cos

tgxe

x

dx

e) 3

6

sin 2

dx

x

; f)

2

3

0

cos sinx x

dx.

4) Tính: a) 3

30

sin

1 cos

x

x

dx ; b)

2

1

(1 ln )e

x

x

dx ; c)

3

1

6 2lne x

x

dx ; d)

34

2

0

sin

cos

x

x

dx

e) 3

2

0

sin xtgx dx

; f)3

1

1 lne x

x

dx ; g)

4

1

ln x

x dx; i)

1

2 23 4

dx

x x .

k)

1

2

2 50

3

(1 )

dx

x ; l)

4

3

24 4

x

x dx ; m)

3

2 2 33 (2 )

dx

x x ; n)

1 2

2 3

0(1 )

x dx

x .

Tính tích phân từng phần

2

0

cosx x dx

; 2

0

cosx x dx

;

1

3

0

xx e dx ; 2

2

0

sinx x dx

;

2

1

(2 1) lnx x dx .

2

2 2

2

4

xdxa b

sn x

; 6

2

0cos

xdx

x

; 2

0

cosxe x dx

; 0

sinxe x dx

.

CÁC BÀI TOÁN THI

3

2

1

ln(3 )x x dx ;

2

2

1

( 1) xx e dx ; 3

2

0

sin x tgx dx

;

5

2

2

ln( 1)x x dx ;

2 2

31 2

xdx

x .

3

1

4 lnx x dx ;

2

2 3

1

2x x dx ; 0

cos ;x x dx

2

2 2

0

sin 2

(1 cos )

x dx

; 2

2

0

cos 4x dx

; 34

2

0

sin

cos

x

x

dx

2

0

sin 3x x dx

;

2

2

1

.ln(1 )x x dx ; 2

5

0

sin x dx

; 2

5

0

cos x dx

;

1

15 8

0

1x x dx ; 3

2

0

sin x tgx dx

42

1

0

( 1) xx e dx ; 3

3

0

sin x dx

;

1

3

0

( 3 1)x x dx ; 0

sinx x dx

;

4

0 1 2 1

xdx

x ;

1

0

. xx e dx

2

3

1

ln xdx

x;

33

4

0

sin

cos

xdx

x

; 2

0

sin

1 3cos

xdx

x

;

2

0 1 1

xdx

x ;

22 3

0

.cossin x x dx

;

1

0

1x x dx

6

0

cos

1 2sin

x dx

x

;

0

(2 1) ln

e

x x dx ; 3

2

0

sin 3x dx

; 2

2

0

sin3

xdx

;

2 2

30 1

xdx

x ;

3

2

0

.ln( 1)x x dx

TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG

1. 21

x x

0

(2x 1)e dx (ĐH Dược_81 )

2. Với x 0;4

xác định a,b sao cho 1 a cosx bcosx

cosx 1 sin x 1 sin x

3. Tính/ 4

30

dx dxI J

cosx cos x

(ĐH BK TH_82)

4. / 2

0

sin x cosx 1dx

sin x 2cosx 3

(Bộ Đề)

5. 1

30

(3x 1)dx

(x 3)

(Bộ Đề)

6. 1

30

xdx

(x 1) (Bộ Đề)

7. 1 2

40

x 1dx

x 1

(Bộ Đề)

8. 2x 2

0

e sin xdx

(Bộ Đề)

9. / 2

0

cosxdx

2 cos2x

(Bộ Đề)

10. 1

21

dx

x 2xcos 1 ,(0< < )

(Bộ Đề)

11. 2a

2 2

a

x a dx ,(a>0) (Bộ Đề)

43

12. / 2 3

0

4sin xdx

1 cos x

(Bộ Đề)

13. a

2 2

0

x a dx (Bộ Đề)

14. 2

0

1 sin xdx

(Bộ Đề)

15. 3 /8

2 2/8

dx

sin xcos x

(Bộ Đề)

16. 2

1

dx

x 1 x 1 (Bộ Đề)

17. Gpt x

2

0

(u x )du sin x (Bộ Đề)

18. b

2

1

x ln xdx (BK_94)

19. / 2

2

0

xcos xdx

(BK_94)

20. 2

22/ 3

dx

x x 1 (BK_95)

21. 0

cosx sin xdx

(BK_98)

22. Cho hàm số: f(x) sinx.sin2x.cos5x

a. Tìm họ nguyên hàm của g(x).

b. Tính tích phân: 2

x

2

f(x)I dx

e 1

(BK_99)

23. ln 2 2x

x0

edx

e 1 (BK_00)

24. 1 2

0

x 1dx

x 1

(XD_96)

25. / 4

0

cosx 2sin xdx

4cosx 3sin x

(XD_98)

44

26. 1

30

3dx

1 x (XD_00)

27. 1

4 20

dx

x 4x 3 (ĐH Mỏ_95)

28. / 3

2 2

/ 6

tg x cotg x 2dx

(ĐH Mỏ_00)

29. / 3

/ 6

dx

sin xsin(x / 6)

(ĐH Mỏ_00)

30. 6 6/ 4

x/ 4

sin x cos xdx

6 1

(ĐH Mỏ_01)

31. 2

21

ln(x 1)dx

x

(ĐH Hàng Hải_00)

32. / 2

3

sin xdx

sin x cosx

(ĐH GT VT_95)

33. 3

5 2

0

x . 1 x dx (ĐH GT VT_96A)

34. 1/9

3x

2 50

x 15 dx

4x 1sin (2x 1)

(ĐH GT VT_97)

35. 7 /3

30

x 1dx

3x 1

x24

2

(10 sin x)dx

(ĐH GT VT_98)

36. 1 3

1 0

xI dx x.arctgxdx

5 4x

(ĐH GT VT_99)

37. / 2

2/ 2

x cosxdx

4 sin x

(ĐH GT VT_00)

38. / 2

30

5cosx 4sinxdx

(cosx sinx)

(ĐH GT VT_01)

39. / 2 4

4 40

cos xdx

cos x sin x

(ĐH GTVT HCM_99)

45

40. / 3 2

6/ 4

sin xdx

cos x

(ĐH GTVT HCM_00)

41. 2 2

22

x 1dx

x x 1

(HV BCVT_97)

42. / 2 3

20

sin xcos xdx

1 cos x

(HV BCVT_98)

43. 1 4

x1

xdx

1 2 (HV BCVT_99)

44. 2

0

xsin xcos xdx

(HV NH_98)

45. / 2

2 2

0

I cos xcos 2xdx

/ 2

2 2

0

J sin xcos 2xdx

(HV NH HCM_98)

46. / 3

20

x sin xdx

cos x

1 3

20

xdx

x x 1 (HV NH HCM_00)

1 4

2

20 0

sin 4xx ln(x 1)dx dx

1 cos x

47. 2

0

1 sin xdx

(ĐH NThương_94)

48. 1 1 2

2 20 0

dx x 3x 2dx

x 3(x 3x 2)

(ĐH NThương_99)

49.

/ 4

30

cos2xdx

sinx cosx 2

(ĐH NThương_00A)

50. 1 3 2

20

x 2x 10x 1dx

x 2x 9

(ĐH NThương_00)

1 2

20

x 3x 10dx

x 2x 9

46

51. / 4

6 60

sin4xdx

sin x cos x

(ĐH NThương_01A)

52. 2 5

2

2

I ln(x 1 x ) dx

(ĐH KT_95)

53. 1

5 3 6

0

x (1 x ) dx (ĐH KT_97)

54. / 4

4 20

dxI dx

cos x x 1

1 5

0

x J=

(ĐH TM_95)

55. 1

0

x 1 xdx (ĐH TM_96)

56. 7 ln 29 x

x3 20 0

x 1 eI dx dx

1 e1 x J=

(ĐH TM_97)

57. ln2

x0

dx

e 5 (ĐH TM_98A)

58. 4

21

dx

x (1 x) (ĐH TM_99)

59. / 2

30

4sin xdx

(sin x cosx)

(ĐH TM_00)

60. 11

0

sin xdx

(HV QHQT_96)

61. / 4

2 4

0

sin xcos xdx

(ĐH NN_96)

62. e

21/ 2

ln xdx

(1 x) (ĐH NN_97)

63. / 4

2

0

cos xcos4xdx

(ĐH NN_98)

64. 7 /3

30

x 1dx

3x 1

(ĐH NN_99)

65. 1

2 2

0

(1 x x ) dx (ĐH NN_01D)

47

66. / 2

x 2

0

e cos xdx

(ĐH Thuỷ Lợi_96)

67.

0

1 cos2xdx


68. 3 22

4 2 51 1

x 1 dxI dx

x x 1 x(x 1) J=


69. / 4

0

ln 1 tgx dx

(ĐH Thuỷ Lợi_01A)

70. / 2

2 20

3sin x 4cosxdx

3sin x 4cos x


33 2

0

x 2x xdx

71. / 4

0

sinx.cosxdx

sin2x cos2x

(ĐH Văn Hóa_01D)

72. / 2

2 2 2 20

sin xcosxdx a,b 0

a cos x b sin x ;

(HV TCKT_95)

73. 2 / 2 2

20

xdx

1 x (HV TCKT_97)

74. / 4

2

0

x(2cos x 1)dx

(HV TCKT_98)

75. / 3

2/ 4

cosx sin x 1dx dx

3 sin 2x x 1

1 4

0

x

(HV TCKT_99)

/ 24 3

0 0

sin x 7cosx 6dx xcos xsin xdx

4sin x 3cosx 5

76. 1

4 20

xdx

x x 1 (HV TCKT_00)

77. / 2

2

0

(x 1)sin xdx

(ĐH Mở_97)

78. / 2 3

0

4sin xdx

1 cosx

(ĐH Y HN_95)

48

79. 1 1

2

2x x1/ 2 0

dx1 x dx

e e

(ĐH Y HN_98)

80. 4 / 3

dx

xsin

2

(ĐH Y HN_99)

81. / 3 2 2

4

2/ 4 1

xtg xdx dx

x 7x 12

(ĐH Y HN_00)

82. 3

2

2

x 1dx (ĐH Y HN_01B)

83. 1

2

0

x 1dx (ĐH Y TB_97B)

84. / 4

20

dx

2 cos x

(ĐH Y TB_00)

85. 1

2 3

0

(1 x ) dx (ĐH Y HP_00)

86. 2/ 2

x/ 2

x sin xI dx

1 2

(ĐH Dược_96 )

87. / 2

x

0

1 sin xe dx

1 cosx

(ĐH Dược_00)

88. 10

2

1

xlg xdx (ĐH Dược_01A)

89.

xln3 22

x0 0

dxx.e dx

e 1

(HV QY_97)

90. 3 2

32 42 2

dx sin xdx

x x 1 4 5x

(HV QY_98)

91. 1/ 2

0

dx

1 cosx (HV QY_99)

92. / 2

2

/ 2

cosx ln(x 1 x )dx

(HV KT Mật Mã_99)

1 /34

6 40 / 6

x 1 dxdx

x 1 sin xcosx

49

93. 1

2

0

xtg xdx (HV KT Mật Mã_00)

94. 1

20

xdx

(x 1) (HV KTQS_95)

95. / 4 3

40

4sin xdx

1 cos x

(HV KTQS_96)

96. / 2 3

3/3

sin x sin xcotgxdx

sin x

(HV KTQS_97)

97. 1

21

dx

1 x 1 x (HV KTQS_98)

98. / 2

0

cosx ln(1 cosx)dx

(HV KTQS_99)

1/ 3

2 20

dx

(2x 1) x 1

99.

2b

22

0

a xdx

a x

(a, b là số thực dương cho trước) (HV KTQS_01A)

100. a

2 2 2

0

x x a dx a 0 , (ĐH AN_96)

101. 2

0

xsin xdx

2 cos x

(ĐH AN_97)

102. / 2 4

3 3

40 0

dx(cos x sin x)dx

cos x

(ĐH AN_98)

12x 2

0

xe dx x sin xdx

0

103. 4

27

dx

x x 9 (ĐH AN_99)

104. 2 2

2 2

0 0

3sin xdx x x 1dx

(ĐH TD TT_00)

50

105. 2

2

1

(x ln x) dx (PV BC TT_98)

106. 3e 2

1

ln 2 ln xdx

x

(PV BC TT_98)

107. / 4

20

1 sin 2xdx

cos x

(PV BC TT_00)

108. 1

30

3dx

1 x (ĐH Luật _00)

109. 1

2 2x

0

(1 x) e dx (ĐH CĐ_98)

110. 2 / 2 / 2

2

x0 0 0

dx dx(2x 1)cos xdx

1 sin 2xe 1

(ĐH CĐ_99)

111. 1 2

2x 20 1

dx ln(x 1)dx

e 3 x

(ĐH CĐ_00)

112. / 2 1 x 2

2x/ 6 0

1 sin 2x cos2x (1 e )dx dx

sin x cosx 1 e

(ĐH NN I_97)

113. / 2 / 2

2x

0 0

cosxdxe sin3xdx

1 cosx

(ĐH NN I_98B)

114. 1

19

0

x(1 x) dx (ĐH NN I_99B)

115. 2 / 4

2

31 0

dxxtg xdx

x(x 1)

(ĐH NN I_00)

116. 6/ 2

4/ 4

cos xdx

sin x

(ĐH NN I_01A)

117. 2

1

ln(1 x)dx (ĐH Lâm Nghiệp_97)

118. 1 4

21

x sin xdx

x 1

(ĐH Lâm Nghiệp_98)

119. / 2

0

dx

2 sin x cosx

(ĐH Lâm Nghiệp_00)

51

120. 1

2

0

x .sinxdx (ĐH SP HN I_99D)

121. a

2 2 2

0

x a x dx (a 0) (ĐH SP HN I_00)

122. 1

3 2

0

x 1 x dx (ĐH SP HN I_01B)

123. 2

21

xdx

x 2 (ĐH THợp_93)

124. 3

0

xsin xdx

(ĐH THợp_94)

/ 2

0

dx

sin x cosx

125. 1

0

dx

1 x (ĐH QG_96)

126. / 2 13

20 0

sin xdx dx

x 1 x1 cos x

(ĐH QG_97A, B, D)

1 12

2 20 0

x dx xdx

4 x 4 x

127. 1 1 / 4 3

3 2

x 20 0 0

dx sin xx 1 x dx dx

e 1 cos x

(ĐH QG_98)

128. Tính 2 2/ 6 / 6

0 0

sin x cos xI dx; J dx

sinx 3 cosx sinx 3 cosx

.

Từ đó suy ra: 5 / 3

3 / 2

cos2xdx

cosx 3sinx

(ĐH QG HCM_01A)

129. / 4 / 4

x

0 0

2cosxdx5e sin 2xdx

3 2sin x

(ĐH SP II _97)

130. Cho f(x) liên tục trên R : f (x) f ( x) 2 2cos2x x R . Tính

3 / 2

3 / 2

f (x)dx

(ĐH SP II _98A)

131. / 2

10 10 4 4

0

(sin x sin x cos xsin x)dx

(ĐH SP II _00)

52

132. 3 02

21 1

3x 2 dxdx

x 4 x 2x 1

(CĐ SP HN_00)

133. 1 / 4

2 2

0 0

(sin x 2cosx)x 1 x dx dx

3sin x cosx

(CĐ SP HN_00)

134. 2 2

0

sin xcos xdx

(CĐ SP MGTW_00 )

135. / 2 4

0 1

1 sin x dxln( )dx

1 cosx x(1 x)

(CĐ SP KT_00)

136. 1 1 2

2

x1 1

1 x1 x arcsin xdx dx

1 2

(CĐ PCCC_00)

137. 21

x x 2

1

(e sin x e x )dx

(ĐH TN_00)

138. 3 3

20

tdt

t 2t 1 (ĐH SP Vinh_98)

139. 1 12

2

41/ 2 0

1 xdx x 1dx

1 x

(ĐH SP Vinh_99)

140. 1 2

20

(x x)dx

x 1

(ĐH HĐ_99)

141. / 4

3

0 0

dxsin xcos3xdx

1 tgx

(ĐH HĐ_00)

142. 2

21

ln xdx

x (ĐH Huế_98)

143. / 2 6

6 60

sin xdx

sin x cos xS

(ĐH Huế_00)

144. 2

7

dx

2 x 1 (ĐH ĐN_97)

145. / 2

20 0

cosx cosxdxdx

1 sin x1 cos x

(ĐH ĐN_98)

146. / 4 2

40 0

dxx ln xdx

cos x

(ĐH ĐN_99)

53

147. / 2 / 2

/ 4 0

sin x cosx sin xdxdx

sin x cosx 1 2cosx

(ĐH ĐN_00)

148. 1 2

20

x x arctgxdx

1 x

(ĐH Tnguyên_00)

149. 2 1

2 10

30 0

x 1dx (1 3x)(1 2x 3x ) dx

3x 2

(ĐH Quy Nhơn)

150.

2e e

1 1 1

2 ln x ln xdx sin xdx dx

2x x

(ĐH Đà Lạt)

151. 2 3 2

2 3

0 0

x 1x x 1dx dx

x 1

(ĐH Cần Thơ)

/ 2 / 2 / 43 3

4 40 0 0

cos x sin x sin 4xdx dx dx

sin x cosx sin x cosx sin x cos x

2e 1 1

3 x

21 0 0

ln xdx xx e dx dx

1 xx(ln x 1)

152. / 2 / 2

2 3 2

0 0

sin 2x(1 sin x) dx sin xcosx(1 cosx) dx

2

/ 2 3 5 32

x 10 0

x 2x(x 1)sin xdx dx

(ĐH Thuỷ sản NT)

153. / 2 / 2

2

20 0

sin xdxdx xcos xdx

cos x 3

(ĐH BK HCM)

/ 2 14

30 0

xdxcos 2xdx

(2x 1)

154. 1

20 0

xsin xdx x 1 xdx

9 4cos x

(ĐH Y Dược HCM)

155. 2

x-

sin xdx1 sin xdx

1 3

(ĐH Ngoại thương)

e 12 3 2

1 0

x ln xdx x 1 x dx

156. 2

0 0

xsin xdxarctg(cosx)dx

1 cos x

(ĐH SP HCM)

54

/ 3 1

4

20 0 0

sin xdx 4x 11dx cos xdx

sin x cosx x 5x 6

157. 1 x

3

x0 0 0

edx xsin xdx x sin xdx

1 e

(ĐH QG HCM)

1/ 2 / 24

2 40 0

x sin 2xdxdx

x 1 1 sin x

/ 2 1 / 44

40 0 0

sin 2x xdxdx sin xdx

2x 11 cos x

/ 2 12 3 x 2

0 0

sin xcos xdx e sin ( x)dx

158. 1 1

x 2x

20 0

1e dx (x 1)e dx

1 x

(ĐHDL NN Tin Học)

2 1x

0 0

x 1 dx e dx

159. 1 5 1 x 2

2 20

x0 4 0

(1 e )1 x dx x(x 4) dx dx

e

(DL)

e ln 22 2x x

2x x1 0

1 ln x e 3edx dx

x e 3e 2

160. 31

20

xdx

x 1 (Dự bị_02)

161.

xln2

3x0

edx

e 1 (Dự bị_02)

162. 0

2x 3

1

x e x 1 dx

(Dự bị_02)

163. / 2

6 3 5

0

1 cos x.sinx.cos xdx

(Dự bị_02)

164. 2 3

25

dx

x x 4 (Đề chung_03A )

165. / 4

0

xdx

1 cos2x

(Dự bị_03)

55

166. 1

3 2

0

x 1 x dx (Dự bị_03)

167. 2/ 4

0

1 2sin xdx

1 sin2x

(Đề chung_03B)

168. 2xln5

xln2

edx

e 1 (Dự bị_03)

169. Cho hàm số: x

3

af(x) bxe

(x 1)

, tìm a, b biết rằng:

f '(0) 22 và 1

0

f(x)dx 5 . (Dự bị_03)

170. 2

2

0

x x dx (Đề chung_03D)

171. 2

13 x

0

x e dx (Dự bị_03)

172. 2e

1

x 1lnxdx

x

(Dự bị_03)

173. 2

1

xdx

1 x 1 (Đề chung_04A)

174. e

1

1 3lnx.lnxdx

x

(Đề chung_04B)

175. 3

2

2

ln x x dx (Đề chung_04D)

176. / 2

0

sin2x sinxdx

1 3cosx

(Đề chung_05A)

177. / 2

0

sin2x.cosxdx

1 cosx

(Đề chung_05B)

178. / 2

sinx

0

e cosx cosxdx

(Đề chung_05D)

179. 7

30

x 2dx

x 1

(Dự bị_05)

180. / 2

2

0

sin xtgxdx

(Dự bị_05)

56

181. / 2

cosx

0

e sin2xdx

(Dự bị_04)

182. 4 22

20

x x 1dx

x 4

(Dự bị_05)

183. / 4

sinx

0

tgx e cosx dx

(Dự bị_05)

184. e

2

1

x lnxdx (Dự bị_05)

185. / 2

2 20

sin2xdx

cos x 4sin x

(Dự bị_05)

186. 6

2

dx

2x 1 4x 1 (Dự bị_06)

187. 1

2x

0

x 2 e dx (Đề chung_06D)

188. / 2

0

(x 1)sin2xdx

(Dự bị_06)

189. 2

1

x 2 lnxdx (Dự bị_06)

190. ln5

x xln3

dxdx

e 2e 3 (Dự bị_06)

191. 10

5

dx

x 2 x 1 (Dự bị_06)

192. e

1

3 2lnxdx

x 1 2lnx

(Dự bị_06)

193. 5 33

20

x 2xdx

x 1

(CĐ SP_04A)

194. 3

3

x 2 x 2

(CĐ GTVT_04)

195. 42

50

xdx

x 1 (CĐ KTKT_04A)

196. 3

3

1

dx

x x (Dự bị_04)

57

197. ln8

x 2x

ln3

e 1.e dx (Dự bị_04)

198.

2

0

x.sin xdx

(Dự bị_05)

199. 1

0

x 1 xdx (Dự bị_04)

200.

3e 2

1

ln xdx

x lnx 1 (Dự bị_05)

201. / 2

2

0

(2x 1)cos xdx

(Dự bị_05)

202.

6 4

0

tan xdx

cos 2x

p

ò . ( Khối A 2008)

BÀI TẬP VỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

1, Đề 54 : 20; 2 0S x y x x y

2, Đề 95 : 2; sin ; 0;S y x y x x x x

3, Đề 96 : 32 2;2 8 1S y x y x

4, Đề 99 : Parabol 2y x chia đường tròn ( ; 2 2)O R theo tỉ số nào

5, Đề 134 : 2

3( ) ; 0; 1

8 1

xS f x y x

x

6, Bách Khoa 93 : Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau bằng 2

2

2; 1; 0;

1 2

xS y y x x

x

7, Bách Khoa 2000 : 2 3sin .cos ; 0; 0;2

S y x x y x x

8, Kiến Trúc 94 : 2 4 3 ; 3S y x x y x

9, Mỹ Thuật CN 98 : 2;S y x y x

10, Mỏ Địa Chất 98 : 2

2 27; ;

27

xS y x y y

x

11, Bưu Chính VT 98 : 2 8 7 7

;3 3 3 3

x x xS y y

x

58

12, Bưu Chính VT 2000 : 2 3 121 2sin ; 1 ;

2 2

x xS y y x

13, HVNH TPHCM 99 : 2 1; 0; 0; 1S y x x y x x

14, Kinh Tế QD 94 : ; 0; 0; 1xS y xe y x x

15, Thương Mại 96 : 2 2;S y x x y

16, Tài Chính Kế Toán 2000 : ; ; 1x xS y e y e x

17, Mở 2000 : sin ;S y x y x

18, Quân Y 97 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 ; 3 22 4 3y x x x và tiếp

tuyến với đường cong tại x = 2

19, HVKT Quân Sự 2000 : 2 2

1 1; ; ;

sin cos 6 3S y y x x

x x

20, Công Đoàn 98 : 3

2 cos sin ; 0; ;2 2

S y x x y x x

21, Công Đoàn 99 : 2

2 8; ;

8

xS y x y y

x

22; Công Đoàn 2000 : ; 2 0; 0S x y x y y

23, Nông Nghiệp I 95 : ln 0 ; 0; 1; 2k

S y k y x xx

24, Nông Nghiệp I 98B : 3 24 6; 0S y x x x y

25, Nông Nghiệp I 99A 2

2

1;

1 2

xS y y

x

3 ; 0; ;4 4

S y tg x y x x

26, Nông Nghiệp I 99B : 3 23 2; 0; 0; 2S y x x y x x

27, Nông Nghiệp I 2000A : 30; 1 0; 1 0S y x y x y

28, Sư Phạm I 2000A : 2 1 ; 5S y x y x

29, Sư Phạm I 2000B : 2 4 3 ; 3S y x x y

30 , Quốc Gia 93 : 1

ln ; 0; ; 1010

S y x y x x

31, Quốc gia 97A : 3 2;S y x y x

32, DL Phương Đông 2000: 2

2 61; 0;

xS x y y

x x

;

3

11; 2; 0;

1S x x y y

x x

33, CĐ Kiểm Sát 2000 : 21 ; 0; sin ;0 1S y x y x y y

34, Bách Khoa 2001A : 2 24 ; 3 0S y x x y

59

35, HVCNBCVT 2001 : . ; 0; 1; 2xS y x e y x x

36, Kinh Tế QD 2001 : (P) : 24y x x và hai tiếp tuyến qua 5

;62

M

37, Công Đoàn 2001 : 2 2 2

4 4

2 3; 0

1 1

x ax a a axS y y a

a a

Tìm giá trị MAX của diện tích đó

38, Y Thái Bình 2001 : 25 ; 0; 0; 3xS y y x y x

39, Cảnh Sát Nhân Dân 2001 : 4

10; ; ; 0

2 1

xS x x y y

x

40, Khối A 2002 : 2 4 3 ; 3S y x x y x

41, Khối B 2002 : 2 2

4 ;4 2

x xS y y

x

42, Khối D 2002 : 3 1

; 0; 01

xS y x y

x

43, Khối A 2007 : 1 ; 1 xS y e x y e x

BÀI TẬP TRÊN BÁO TOÁN

Bài 1. Tính các tích phân :

a) I = 3

2

4

tan

cos 1 cos

xdx

x x

; b) J =

3

2 3

1

0)(1

xdx

x ; c) I = 1

2

0

3 6 1x x dx ;

c) I = 2

31 1

dx

x x ; d) J =

2

40

sin 2

1 cos

xdx

x

; e)

1 33

3

1

3

x xdx

x

-ò .

g) 2

2 sin x

0

xI (2 cos x.cos x).e .dx

2

p

= +ò ; h) I=

1

x

2 2

3

4

e xx( 2 tan x) .dx

x cos x

p

p

é ùê úê ú+ +ê úê úë û

ò .

Bài 2. Tính dt hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = x

3 và y

2 = ( 2 – x )

3

(đs : S =8/5 )

Documents

Phuong phap tich phan