5

FONON II. CIRI-CIRI TERMAL

KAPASITAS PANAS FONON

Distribusi Plank

Pencacahan mode normal

Keadaan satu dimensi dari kepadatan

Keadaan tiga dimensi dari kepadatan

Model Debye untuk keadaan kepadatan

Hukum T 3 Debye

Keadaan kepadatan model Einstein

Hasil secara umum dari D (ω)

INTERAKSI KRISTAL TIDAK HARMONIK

Ekspansi termal

KONDUKTIVITAS TERMAL

Resistivitas termal dari gas fonon

Proses Umklapp

Ketidaksempurnaan (Imperfections )

1

Gambar 5.1. Grafik dari fungsi distribusi Planck. Pada temperatur tinggi occupancy dari keadaan suhu

hampir linier. Fungsi ⟨ n ⟩+ 12

, yang tidak diplot, pendekatan garis putus-putus sebagai

asymptote pada temperatur tinggi.

2

Kita akan membahas kapasitas panas gas fonon dan kemudian efek interaksi kisi

harmonik pada fonon dan kristal.

5.1 Kapasitas Panas Fonon

Dengan kapasitas panas dapat diartikan kapasitas panas pada volume konstan, dimana

lebih dasar daripada kapasitas panas pada tekanan konstan, seperti pada percobaan. Kapasitas

panas pada volume konstan didefinisikan seperti CV=( ∂U /∂T )V dimana U adalah energi dan

T adalah temperatur.

Kontribusi fonon menuju kapasitas panas Kristal disebut kapasitas panas kisi dan

didenotasikan oleh C lat. Total energi fonon pada temperatur τ (kB T ) pada Kristal dapat

dituliskan jumlah dari energi keseluruhan fonon, diindekskan oleh gelombang vektor K dan

indeks polarisasi :

U lat=∑K∑

p

U Kp=¿∑K∑

p(nKp)ℏωKp¿ (5.1)

Dimana (nKp ) adalah kesetimbangan termal fonon pada gelombang vektor K dan polarisasi p.

(nKp ) diberikan oleh fungsi distribusi Planck :

⟨ n ⟩= 1exp (ℏω/τ )−1

(5.2)

Dimana ⟨ … ⟩ dinotasikan sebagai rata-rata kesetimbangan termal. Sebuah grafik dari ⟨ n ⟩

diberikan dalam gambar 5.1.

5.2 Distribusi Planck

Pertimbangan pada sebuah set dari osilator harmonik yang identik dalam

kesetimbangan termal. Perbandingan nilai osilator pada keadaan kuantum eksitasi (n+1 ) pada

saat ke-n keadaan kuantumnya adalah sebagai berikut :

Nn+1 Nn=exp (−ℏω /τ ), τ ≡ kB T , (5.3)

Dengan menggunakan faktor Boltzmann. Maka fraksi total nilai osilator pada keadaan

kuantum adalah :

3

Nn

∑s=0

∞

N s

=exp (−nℏω /τ )

∑s=0

∞

exp (−sℏω /τ ) (5.4)

Kita lihat bahwa rata-rata nilai quantum eksitasi pada osilator adalah :

⟨ n ⟩=∑

s

sexp (−sℏω /τ )

∑s

exp (−sℏω /τ ) (5.5)

Sumasi pada persamaan 5.5 adalah :

∑s

x s= 11−x ; ∑

s

s xs=xddx∑s

xs= x

(1−x )2 , (5.6)

Dengan x=exp (−ℏω/τ ). Maka kita dapat menulis persamaan (5.5) sebagai distribusi

Planck :

⟨ n ⟩= x1−x

= 1exp (ℏω /τ )−1

(5.7)

5.3 Pencacahan Mode Normal

Energi dari pengumpulan frekuensi osilator ωKp pada kesetimbangan termal dapat

diperoleh dari persamaan (5.1) dan (5.2) :

U=∑K∑

p

U Kp=¿ℏωKp

exp (ℏωKp /τ )−1¿

(5.8)

Biasanya cocok untuk menggantikan sumasi K dengan integral. Diperkirakan bahwa Kristal

memiliki mode D p (ω )dω yang diberikan polarisasi p pada rentang frekuensi ω menuju

ω+dω. Kemudian energinya adalah :

U=∑p∫ dω Dp (ω ) ℏω

exp (ℏω /τ )−1 (5.9)

Kapasitas panas kisi diperoleh dari perbedaan dengan toleransi temperatur. Karena

¿ℏω /τ=ℏω/k BT : kemudian ∂ U /∂ T menjadi :

4

C lat=k B∑p∫ dω D p (ω) x2exp x

(expx−1 )2 (5.10)

Pusat kasus adalah untuk mencari D (ω ), Jumlah mode per rentang satuan frekuensi.

Fungsi ini disebut dengan density of modes atau, sering disebut dengan density of states.

5.4 Density of States pada Satu Dimensi

Mengingat bahwa kasus nilai terikat pada vibrasi garis satu dimensi (Gambar 5.1)

dengan panjang L membawa partikel N+1 yang terpisah sejauh a.

Gambar 5.2 Garis elastik pada atom N+1, dengan N=10, untuk kondisi terikat yang pada ujung atom s=0

dan s=10. Pemindahan partikel pada mode normal untuk pemindahan longitudinal atau

transversal dari bentuk us=sin sKa. Bentuk ini otomatis bernilai nol pada saat atom berada di

ujung s=0, dan kita memilih K untuk membuat perubahan nol di ujung s=10.

Gambar 5.3 Kondisi terikat sin sKa=0untuk s=10 dapat diperoleh dengan memilih

K=π /10 a ,2 π /10 a ,…9π /10 a, dimana 10a merupakan panjang L dari garis. Gambar

yang ditunjukkan pada runag K. Dot tdiatas bukan atom akan tetapi jumlah dari K . Pada partikel

N+1 dalam garis, hanya N−1 yang diperbolehkan untuk berpindah, dan paling umum

pergerakannya dapat diungkapkan pada N−1 adalah nilai yang diperbolehkan dari K. Kuantisasi

K tidak berhubungan dengan mekanika kuantum akan tetapi ada hubungannya dengan mekanika

klasik dari kondisi terikat atom

5

Kita anggap bahwa partikel s=0 dan s=N pada ujung garis tetap ada. Masing-masing mode

vibrasi normal dengan polarisasi p yang memiliki bentuk gelombang berdiri, dimana us

adalah pemindahan partikel s :

us=u (0 ) exp (−i ωKp t ) sin sKa (5.11)

Dimana ωKp dihubungkan oleh K dengan hubungan dispersi yang tepat.

Seperti pada Gambar 5.3, gelombang vektor K dilarang oleh kondisi fixed-end

boundary pada nilai :

K= πL

,2 πL

,3 πL

, …,( N−1 ) π

L

(5.12)

Solusi untuk K=π /L adalah :

us∞ sin (sπa /L ) (5.13)

Dan akan hilang apabila s=0 dan dibutuhkan s=N .

Solusi untuk K = Nπ/L = π/a = Kmaks dengan us ∞ sin sπ; ini tidak diperbolehkan ada

gerakan atom apapun, karena sin sπ hilang di setiap atom. Jadi, N - 1 diperbolehkan nilai-

nilai bebas dari K dalam pers.(12). Jumlah ini sama dengan jumlah partikel yang

diperbolehkan untuk bergerak. Setiap nilai K diperbolehkan dikaitkan dengan gelombang

berdiri. Untuk garis satu dimensi ada satu modus untuk setiap interval ΔK = π /L, sehingga

jumlah modus per jangkauan unit dari K adalah L/π untuk K ≤ π/a, dan 0 untuk K > π/a.

Ada tiga polarisasi p untuk setiap nilai K: dalam satu dimensi dua polarisasi

transversal dan satu polarisasi longitudinal. Dalam tiga dimensi polarisasi yang sederhana ini

hanya untuk vektor gelombang di arah kristal khusus tertentu. Perangkat lain untuk

menyebutkan modus sama berlaku. Dengan menganggap medium sebagai tak terbatas,

namun diperlukan bahwa solusi bersifat periodik melalui jarak L besar, sehingga u (sa) = u

(sa + L). Metode keadaan batas periodik (Gambar 5.4 dan 5.5) tidak mengubah fisik dari

masalah dalam hal apapun untuk sistem yang besar. Dalam solusi gelombang berjalan us =

u(0) exp[i(sKa – ωkt)] nilai-nilai K diperbolehkan adalah

K=0 ,±2 πL

,±4 πL

,±6 πL

, …, ,±NπL

(5.14)

6

Gambar 5.4 Dianggap partikel N dibatasi untuk meluncur di sebuah cincin melingkar.Partikel-

partikel dapat berosilasi oleh mata air elastis.

Gambar 5.5 Nilai-nilai gelombang vektor K untuk kondisi batas periodic diterapkan pada kisi

linear periodisitas N = 8 atom pada garis panjang L. K = 0 solusi adalah modus

seragam.

Metode pencacahan memberikan jumlah yang sama dari modus (satu per atom mobile)

seperti yang diberikan oleh pers.(5.12), tapi kita miliki sekarang dua nilai baik positif dan

negatif dari K, dengan interval ΔK = 2π / L antara nilai-nilai K. Untuk keadaan batas

periodik, jumlah modus per jangkauan unit dari K adalah L/2π untuk -π / a ≤ K ≤ π / a, dan

sebaliknya. Situasi dalam kisi dua dimensi digambarkan dalam Gambar 5.6.

Kita perlu tahu D(ω), jumlah modus per jangkauan frekuensi unit polarisasi diberikan.

Jumlah modus D(ω) dω di dω pada ω diberikan dalam satu dimensi dengan

D1 (ω) dω=Lπ

dKdω

dω=Lπ

dωdω /dK

(5.15)

7

Gambar 5.6 Diperbolehkan nilai-nilai dalam ruang Fourier dari gelombang fonon vektor K untuk kisi

persegi kisi konstan, dengan kondisi batas periodik diaplikasikan di atas sebuah persegi

samping L = 10a.

Kita dapat memperoleh kecepatan grup dω/dK dari dispersi hubungan ω terhadap K. Ada

singularitas di D1 (ω) setiap kali hubungan dispersi ω(K) adalah horizontal; yaitu, setiap kali

kecepatan grup sama dengan nol.

5.5 Kepadatan Keadaan dalam Tiga Dimensi

Diterapkan kondisi batas periodik atas sel primitif N3 dalam kubus sisi L, sehingga K

ditentukan oleh kondisi

exp [i (K x x+K y y+K z Z ) ]≡ exp [i (K x (x+L )+K y ( y+L )+K z ( z+L ) ) ] (5.16)

di mana

K=K x ,K y , K z=0 ;±2 πL

, ±4 πL

,±6 πL

,… ,, ±NπL

(5.17)

Oleh karena itu, ini merupakan satu nilai diperbolehkan dari K per volume (2π/L)3 dalam

ruang K, atau

( L2 π )

3

= V8 π3 (5.18)

diperbolehkan nilai-nilai dari K per unit volume dari ruang K, untuk setiap polarisasi dan

setiap cabang. Volume dari bahan percobaan adalah V = L3.

8

Nomor total dari modus dengan vektor gelombang kurang dari K dididapatkan dari pers.(18)

untuk (L/2π)3 kali volume bola dari jari-jari K, diperoleh:

N=( L2π )

3 4 π K3

3(5.19)

Untuk masing-masing tipe polarisasi. Besarnya kepadatan untuk masing-masing polarisasi

adalah :

D (ω )=dN /dω=(VK 2/2 π2 ) (dK /dω ) (5.20)

5.6 Model Debye untuk Keadaan Padat

Dalam perkiraan Debye mengenai kecepatan suara adalah dianggap konstan untuk

masing-masing tipe polarisasi, yang selanjutnya untuk elastik klasik. Hubungan disperse

dituliskan sebagai berikut :

ω=vK (5.21)

Dengan v merupakan konstanta kecepatan suara.

Besarnya kepadatan pada persamaan (20) menjadi :

D (ω )=V ω2/2 π 2v3 (5.22)

Apabila ada N dengan sel sederhana pada specimen, jumlah mode fonon akustik

adalah N. Frekuensi cutoff ωD didefinisikan oleh persamaan (19) sebagai berikut :

ωD3=6 π2 v3 N /V (5.23)

Persamaan frekuensi diatas sesuai dengan vektor gelombang cutoff pada ruang K :

K D=ωD/v=(6 π2 N /V )1/3 (5.24)

Pada model Debye, mode vektor gelombang tidak boleh lebih besar dari K D. Jumlah mode

dengan K ≤ K D menghabiskan jumlah derajat kebebasan kisi monoatomik.

Suhu energi dari persamaan (9) diberikan :

U=∫ dω D (ω) ⟨n (ω) ⟩ℏω=∫0

ωD

dω( V ω2

2 π 2 v3 )( ℏω

eℏω/ r−1 ) (5.25)

9

Untuk masing-masing tipe polarisasi. Untuk ringkasnya, kita asumsikan kecepatan fonon

merupakan polarisasi bebas, sehingga kita mengalikannya dengan factor 3 untuk

mendapatkan

U= 3 V ℏ2 π2 v3∫

0

ωD

dωω3

eℏω ⁄ r−1=

3V k B4 T 4

2 π2 v3ℏ3 ∫0

xD

dxx3

ex−1 (5.26)

Dimana x=ℏω /r ≡ℏω /kB T dan

xD=ℏωD /kB T ≡ θ/T (5.27)

Ini mendefinisikan temperatur θ Debye pada suku ωD didefinisikan oleh persamaan

(23). Kita dapat ungkapkan θ menjadi

θ=ℏ vk B

∙( 6π 2 NV )

1 /3

(5.28)

Gambar 5.7. Kapasitas panas C v zat padat, menurut perkiraan Debye. Sumbu vertical berskala J mol−1 K−1

. Sumbu horizontal berskala temperatur yang dinormalisasi untuk temperatur θ Debye. Daerah

hokum T 2 adalah dibawah 0.1 θ. Nilai asimtotik pada nilai tertinggi dari T /θ adalah

24.943 J mol−1deg−1.

10

Gambar 5.8. Kapasitas panas pada silicon dan germanium. Catatan penurunan pada rendahnya temperatur.

Untuk mengubah nilai dari cal /mol−K ke J /mol−K , dikalikan dengan 4.186.

Sehingga total energi fonon adalah sebagai berikut :

U=9 N kB T (Tθ )3

∫0

xD

dxx3

ex−1 (5.29)

Dimana N adalah nomor atom pada specimen dan xD=θ/T .

Kapasitas panas mudah diketahui dengan penurunan ungkapan bagian tengah pada

persamaan (5.26) dengan bergantung pada temperatur. Kemudian

C v=3 V ℏ2

2π2 v3 k BT 2∫0

ωD

dωω4 eℏω / r

(eℏω /r−1 )2=9 N kB(T

θ )3

∫0

xD

dxx4 ex

(ex−1 )2 (5.30)

Kapasitas panas Debye diplot pada Gambar 7. Pada T ≥ θ kapasitas panas dengan pendekatan

klasik 3 N kB. Nilai dihitung untuk silicon dan germanium diplot pada Gambar 8.

5.7 Hukum T 3 Debye

Pada temperatur yang sangat rendah kita dapat memperkirakan persamaan (29)

dengan memberikan batas atas menjadi tak berhingga. Kita dapatkan

∫0

∞

dxx3

ex−1=∫

0

∞

dx x3∑s=1

∞

e− sx=6∑1

∞1s4=

π 4

15 (5.31)

Dimana jumlah atas s−4 dicari pada tabel standar. Maka U=3 π 4 N k B T 4/5θ3 untuk T ≪θ dan

11

CV≅12 π4

5N kB(T

θ )3

≅ 234 N k B(Tθ )

3

(5.32)

Yang merupakan perkiraan T 3 Debye. Hasil eksperimen untuk argon diplot pada Gambar 5.9.

Pada temperatur yang cukup rendah perkiraan T 3 cukup bagus; bahwa hanya ketika

panjang gelombang mode panjang akustik yaitu pada keadaan termal. Ini semua merupakan

mode yang mungkin diperlakukan sebagai elastik lanjut dengan konstanta elastik

makroskopik. Energi dari panjang gelombang yang pendek (untuk perkiraan yang gagal)

adalah terlalu tinggi untuk perkiraan T 3 untuk didiamkan pada temperatur rendah.

Kita mengerti hasil T 3 dari sebuah argument sederhana yang ditampilkan pada

Gambar 5.10. Hanya mode kisi yang memiliki ℏω<k BT akan dirangsang pada rentang suhu

T yang rendah. Perangsangan pada mode ini akan diperkirakan secara klasik, masing-masing

dengan energi dekat dengan k B T , serupa dengan Gambar 5.1.

Volume yang diperbolehkan dalam ruang K, sebagian kecil diisi oleh mode tereksitasi

adalah yang memenuhi (ωT /ωD )3 atau (KT /KD )3, dimana KT adalah suhu gelombang vektor

yang didefinisikan dari ℏ v KT=k B T dan K D adalah gelombang vektor cutoff Debye. Maka

sebagian kecil yang diisi adalah (T /θ )3 dari total volume pada ruang K. Terdapat mode

tereksitasi 3 N (T /θ )3, yang masing-masing memiliki energi k B T . Energinya adalah

3 N kB T (T /θ )3, dan kapasitas panas adalah 12 N kB (T /θ )3.

Untuk Kristal asli, temperaturnya pada perkiraan T 3 adalah cukup rendah. Ini

kemungkinan membutuhkan dibawah T=θ /50 untuk mendapatkan reaksi murni T 3.

Nilai θ yang dipilih diberikan pada Tabel 5.1. Catatan, sebagai contoh, pada alkali

logam bahwa atom yang lebih berat memiliki θ yang paling rendah, karena kecepatan

suaranya menurun seiring dengan tingkat kepadatan yang meningkat.

5.8 Model Einstein Untuk Tingkat Kepadatan

Menurut osilator N pada frekuensi ωD yang sama dan satu dimensi. Tingkat

kepadatan Einstein diungkapkan D (ω )=Nδ (ω−ω0 ), dimana fungsi delta dipusatkan pada ω0.

Energi termal suatu system sebagai berikut :

12

U=N ( n )ℏω= N ℏω

eℏω /r−1 (5.33)

Untuk lebih mudahnya, ω ditulis untuk menggantikan ω0.

Gambar 5.9. Temperatur rendah dengan kapasitas panas pada argon padat, diplot berdasarkan T 3. Pada

daerah temperatur ini, hasil eksperimen sesuai dengan hokum T 3 Debye dengan

θ=92.0 K . (L. Finegold dan N.E. Philips).

Gambar 5.10. Untuk mendapatkan sebuah penjelasan yang kualitatif dari hukum T 3 Debye, kita

memperkirakan bahwa semua mode fonon dari vektor gelombang lebih kecil dari K r yang

memiliki energi termal k B T dan bahwa mode diantara K r dan cutoff Debye (K D) tidak

tereksitasi seluruhnya. Pada mode kemungkinan 3N, sebagian yang dirangsang adalah

(KT /KD )3=(T /θ )3, karena ini merupakan perbandingan volume lingkaran dalam dengan

13

lingkaran luar. Energinya adalah U=kB T ∙ 3 N (T /θ )3 dan kapasitas panasnya adalah

CV=∂U /∂T=12 N kB (T /θ )3.

Gambar 5.11. Perbandingan nilai eksperimen dari kapasitas panas berlian dengan nilai perhitungan pada

kuantun klasik (model Einstein), menggunakan karakteristik temperatur

θE=ℏω/k B=1320 K . Untuk mengubahnya ke J /mol−deg, kalikan dengan 4.186.

Tabel 5.1 Temperatur Debye dan Konduktivitas Termal

14

Kapasitas panas pada osilator adalah sebagai berikut :

15

CV=( ∂U∂ T )

V

=N kB(ℏωT )

2 eℏω /r

(eℏω /r−1 )2 (5.34)

Seperti diplot pada Gambar 5.11. Ini mengungkapkan hasil Einstein (1907) untuk konstribusi

osilator identik N untuk kapasitas panas sebuah zat padat. Pada 3 dimensi N digantikan

dengan 3N, terdapat 3 mode per osilator. Batas temperatur yang tingg pada CV menjadi

3 N kB, yang mana diketahui sebagai Dulong dan nilai Petit.

Pada temperatur rendah yang telah diungkapkan pada persamaan (5.34) menurun

ketika exp (−ℏω /r ), padahal secara eksperimen bentuk konstribusi fonon menjadi T 3 seperti

dihitung oleh model Debye diatas. Walaupun demikian, model Einstein, sering digunakan

untuk perkiraan bagian fonon secara optik pada spektrum fonon.

5.9 Hasil Umum D (ω )

Kita ingin mencari ungkapan umum dari D (ω ), dengan nilai per satuan frekuensi,

diberikan hubungan dispersi fonon ω ( K ). Nilai yang diperbolehkan K untuk fonon frekuensi

ialah antara ω dan ω+dω adalah

D (ω )dω=( L2 π )

3

∫s hell

❑

d3 K (5.35)

Dimana integral diatas diperluas melalui volume yang akan diikat pada ruang K oleh 2

permukaan pada frekuensi fonon yang konstan, suatu permukaan yang berfrekuensi ω dan

lainnya berfrekuensi ω+dω.

Masalah sebenarnya adalah untuk menghitung volume pada kerangka ini. Kita artikan

d Sω sebagai elemen di area atas permukaan di ruang K dengan frekuensi tetap ω (Gambar

5.12).

16

Gambar 5.12 Elemen daerah d Sω pada frekuensi tetap permukaan di ruang K. Volume dua permukaan yang

berfrekuensi tetap antara ω dan ω+dω samadengan ∫ d Sω dω /|∇K ω|.

Elemen volume permukaan yang berfrekuensi tetap diantara ω dan ω+dω adalah

sebuah silinder dengan dasar d Sω dan tinggi d K⊥, sehingga

∫kerangka

❑

d3 K=∫ d Sω d K⊥ (5.36)

d K⊥ adalah jarak tegak lurus (Lihat Gambar 5.13) antara permukaan konstanta ω dan

permukaan konstanta ω+dω. Nilai d K⊥ akan bervariasi dari satu titik ke titik lainnya diatas

permukaan.

Gradien ω, yang mana ∇K ω normal pada permukaan konstanta ω, dan kuantitasnya

ditunjukkan pada persamaan berikut

|∇K ω|d K⊥=dω

Adalah perbedaan frekuensi antara dua permukaan yang dihubungkan oleh d K⊥. Maka

elemen volumenya adalah

d Sω d K⊥=d Sωdω

|∇K ω|=d Sω

dωvg

Dimana vg=|∇K ω| merupakan magnitude kecepatan bersama sebuah fonon. Dari persamaan

(5.35) kita dapatkan

17

D (ω )dω=( L2 π )

3

∫ d Sω

v g

dω

Kita bagi seluruh sisi dengan dω dan tulis V=L3 untuk volume Kristal : hasil untuk

kepadatan suatu zat adalah

D (ω )= V(2 π )3

∫ d Sω

vg (5.37)

Gambar 5.13. Banyaknya d K⊥ adalah tegak lurus jarak antara dua konstanta frekuensi permukaan dalam

ruang K, satu di frekuensi ω dan yang lainnya frekuensi di ω + d ω.

Gambar 5.14. Rapat keadaan sebagai suatu fungsi frekuensi untuk (a) padat Debye dan (b) Struktur kristal

sebenarnya. Spektrum untuk awal kistal seperti ω2 untuk ω yang kecil, tetapi terjadi diskontinu

di titik tunggal.

Integral adalah mengambil alih luasan ω dipermukaan konstan, dalam ruang K.

Hasilnya mengacu pada satu cabang dari hubungan dispersi. Kita dapat menggunakan hasil

ini juga dalam teori pita elektron.

18

Ada perhatian khusus kontribusi ke D(ω) dari titik di mana kecepatan kelompok adalah nol.

Titik kritis tersebut menghasilkan singularitas (dikenal sebagai singularitas Van Hove) dalam

fungsi distribusi (Gambar 5.14).

5.10 Interaksi Kristal Tidak Harmonik

Teori getaran kisi dibahas sejauh ini telah terbatas dalam energi potensial untuk suku

kuadrat dalam pemindahan interatomik. Ini adalah teori harmonik, diantara konsekuensinya

adalah:

Dua gelombang kisi tidak berinteraksi, gelombang tunggal tidak meluruh atau

mengubah bentuk dengan waktu.

Tidak ada ekspansi termal.

Konstanta elastis adiabatik dan isotermal adalah sama.

Konstanta elastis adalah bebas dari tekanan dan temperatur.

Kapasitas panas menjadi konstan pada suhu tinggi T > θ.

Dalam kristal nyata tidak ada konsekuensi memenuhi secara akurat. Penyimpangan

dapat dihubungkan dengan mengabaikan suku tidak harmonik (lebih tinggi dari kuadrat)

dalam perpindahan interatomik. Dibahas beberapa aspek sederhana dari efek tidak harmonik.

Demonstrasi yang indah efek tidak harmonik adalah percobaan pada interaksi dua fonon

untuk menghasilkan Fonon ketiga pada frekuensi ω3 = ω1 + ω2. Proses tiga-Fonon disebabkan

oleh suku orde ketiga dalam energi potensial kisi. Fisika interaksi fonon dapat dinyatakan

sederhana: kehadiran satu Fonon menyebabkan regangan elastis periodik yang (melalui

interaksi tidak harmonik) memodulasi dalam ruang dan waktu konstanta elastis kristal.

Sebuah Fonon kedua memandang modulasi konstan elastis dan kemudian tersebar untuk

menghasilkan Fonon ketiga seperti dari kisi tiga dimensi bergerak.

5.11 Ekspansi Termal

Ekspansi termal dapat dipahami dengan mempertimbangkan untuk osilator klasik efek

suku tidak harmonik dalam energi potensial pada pemisahan rata-rata sepasang atom pada

suhu T. Di ambil energi potensial dari atom pada perpindahan x dari pemisahan

keseimbangan atom pada nol mutlak yaitu:

U ( x )=c x2−g x3−f x4 (5.38)

19

dengan c, g, dan f semua positif. Suku di x3 merupakan asimetri tolakan bersama dari atom

dan suku di x4 merupakan pelunakan getaran pada amplitudo yang besar. The minimum pada

x = 0 bukan minimum absolut, tetapi untuk osilasi bentuk kecil merupakan representasi yang

memadai dari potensi interatomik.

Perpindahan rata-rata dihitung dengan menggunakan fungsi distribusi Boltzmann,

yang bobot nilai x yang mungkin sesuai dengan probabilitas termodinamika yaitu:

⟨ x ⟩=∫−∞

∞

dx x exp [−βU (x) ]

∫−∞

∞

dx exp [−βU (x)]

dengan β ≡ 1/KBT. Untuk perpindahan sehingga suku tidak harmonik energi yang kecil

dibandingkan dengan KBT, dapat memperluas integran sebagai

∫ dx x exp (−βU )≅∫ dx [exp (−β cx2) ] ( x+β gx 4+ βf x5 )=(3π 1/2/4 ) (g /c5 /2 ) β−3 /2;

∫ dxexp (−βU )≅∫ dxexp (−β cx2 )= (π /βc )1 /2 (5.39)

di mana ekspansi termal adalah:

⟨ x ⟩= 3 g

4 c2K B T (5.40)

Gambar 5.15. Konstanta kisi dari argon padat sebagai fungsi dari temperatur.

20

Di daerah klasik. Catatan dalam (39) cx2 dalam eksponensial, tetapi memperluas

exp (βg x3+βf x4 )≅ 1+βg x3+ βf x4+∙ ∙ ∙

Pengukuran konstanta kisi dari argon padat ditunjukkan pada Gambar 5.15. Kemiringan dari

kurva adalah proporsional dengan koefisien ekspansi termal. Koefisien ekspansi berkurang

saat T → 0, dalam urutan paling rendah ekspansi termal tidak melibatkan suku simetrik f x4

dalam U(x), tetapi hanya suku antisimetrik g x3.

5.12 Konduktivitas Termal

Koefisien konduktivitas termal K dari suatu zat padat adalah didefinisikan dengan

respek ke keadaan tetap aliran panas menurun suatu batang panjang dengan gradient

temperatur dT/dx:

jU=−KdTdx

(5.41)

di mana jU adalah fluks energi termal, atau jarak lintas transmisi energi satuan luas per satuan

waktu.

Bentuk ini menyatakan proses perpindahan energi termal adalah suatu proses acak.

Energi tidak hanya memasuki satu ujung dari bahan percobaan dan arah hasil (balistikal)

dalam lintasan lurus ujung lain, tetapi bentuk ini menyiratkan bahwa proses transfer energi

termal adalah proses acak. Energi tidak cukup memasukkan salah satu ujung spesimen dan

lanjutkan langsung (ballistically) di lintasan yang lurus ke ujung yang lain, tetapi berdifusi

melalui spesimen, mengalami tumbukan sering. Jika energi yang disebarkan langsung melalui

spesimen tanpa defleksi, maka ekspresi untuk fluks termal tidak akan tergantung pada

gradien suhu, tetapi hanya pada perbedaan suhu ΔT antara ujung spesimen, terlepas dari

panjang spesimen. Sifat acak dari proses konduktivitas membawa gradien suhu dan, seperti

akan kita lihat, lintasan bebas rata-rata ke dalam ekspresi untuk fluks termal.

Tabel 5.2 Jarak bebas lintasan fonon

[Dihitung dari (44), diambil v=5 ×105 cm /sec sebagai mewakili kecepatan bunyi. l adalah

diperoleh dengan cara ini mengacu pada proses umklapp.]

Kristal T (oC) C (J cm-3 K-1) K (W cm-1 K-1) l (Å)

Quartz 0 2 0,13 40

21

*

  -190 0,55 0,50 540

NaCl 0 1,88 0,07 23

  -190 1 0,27 100

*Paralel ke sumbu optik

Dari teori kinetik gas diperoleh persamaan berikut untuk konduktivitas termal:

K=13

Cvl (5.42)

di mana C adalah kapasitas panas per satuan volume, v adalah rata-rata kecepatan partikel,

dan l adalah jarak bebas lintasan partikel antara tumbukan. Hasil ini pertama diterapkan oleh

Debye untuk menguraikan konduktivitas termal dalam zat padat dielektrik, dengan C sebagai

kapasitas panas dari fonon, kecepatan fonon v, dan jarak bebas lintasan fonon l. beberapa

mewakili nilai dari jarak bebas lintasan adalah diberikan dalam Tabel 5.2.

Diberikan teori kinetic dasar yang mana memimpin ke arah persamaan (5.42). Fluks

dari partikel dalam arah x adalah 12

n ⟨|vx|⟩, di mana n adalah konsentrasi molekul; dalam

keseimbangan disini fluks sama besar dengan berlawanan arah. ⟨ ∙ ∙ ∙ ⟩ menunjukkan nilai rata-

rata.

Jika c adalah kapasitas panas suatu partikel, ketika bergerak dari suatu daerah pada

temperatur lokal T+∆ T ke suatu daerah pada temperatur lokal T suatu partikel akan

memberikan energi c ∆ T . Sekarang ∆ T diantara akhir lintasan bebas partikel diberikan oleh

∆ T=dTdx

l x=dTdx

vx τ ,

di mana τ adalah rata-rata waktu antara tumbukan.

Fluks bersih dari energi (dari kedua pengertian partikel fluks) maka

jU=−n ⟨v x2 ⟩ cτ

dTdx

=−13

n ⟨v2 ⟩cτdTdx

(5.43)

Jika, untuk fonon, v adalah konstan (5.43) dapat ditulis sebagai

jU=−13

CvldTdx

(5.44)

22

dengan l ≡vτ dan C ≡ nc . Jadi K=13

Cvl.

5.12 Resistivitas Panas dari Gas Fonon

Fonon ini berarti laju ( l ) bebas ditentukan oleh dua proses, hamburan geometris dan

hamburan oleh fonon lainnya. Jika kekuatan antara atom adalah murni harmonik, tidak ada

mekanisme untuk tabrakan antara fonon yang berbeda, dan tidak aktif (mati) yang berarti

jalan bebas akan dibatasi hanya oleh tabrakan fonon dengan batas kristal dengan

ketidaksempurnaan kisi. Situasi di mana menyebabkan efek ini yang dominan.

Dengan interaksi kisi tak harmonis, ada sambungan berbeda antara fonon yang

membatasi nilai dari jalan bebas rata-rata. Secara tepat dinyatakan dari sistem tak harmonik

tidak lagi seperti fonon murni.

Teori efek sambungan tak harmonis pada termal resistivitas memprediksi bahwa l

sebanding dengan 1/T pada suhu tinggi, dalam perjanjian dengan banyak percobaan. Kita

dapat memahami ketergantungan ini dalam hal jumlah fonon dengan yang fonon diberikan

dapat berinteraksi: pada suhu tinggi jumlah fonon bersemangat sebanding dengan T.

Tabrakan frekuensi dari fonon yang diberikan harus proporsional dengan jumlah fonon

dengan yang dapat berbenturan, dimana: l ∞ 1/T1.

Untuk menentukan konduktivitas termal harus ada mekanisme di kristal dimana

distribusi fonon dapat diajukan secara lokal ke kesetimbangan termal. Tanpa mekanisme kita

tidak mungkin membicarakan tentang fonon di salah satu ujung kristal sebagai dalam

kesetimbangan termal pada suhu Tz dan di ujung lain pada ekuilibrium di T 1.

Hal ini tidak cukup memiliki satu cara untuk membatasi jalur bebas rata-rata, tetapi

juga harus ada cara membangun kesetimbangan termal lokal distribusi fonon. Kolisi fonon

dengan ketidaksempurnaan statis atau batas kristal tidak akan dengan sendirinya membentuk

keseimbangan termal, karena tabrakan tersebut tidak mengubah energi fonon individu: w2

frekuensi fonon tersebar sama dengan frekuensi w1 dari fonon.

Hal ini juga menunjukan bahwa proses tabrakan tiga-fonon:

23

K1+K2=K3 (5.45)

tidak akan membentuk keseimbangan, tetapi untuk alasan yang halus: momentum total dari

gas fonon tidak diubah oleh tabrakan tersebut. Sebuah distribusi kesetimbangan fonon pada

suhu T dapat bergerak turun kristal dengan kecepatan yang tidak terganggu oleh tiga kolisi

fonon dari bentuk (5.45). Untuk tabrakan tersebut momentum fonon :

J=∑K

nK hK (5.46)

aalah kekal, karena tabrakan perubahan J adalah K3 — K2 — .K1 = 0. Dengan nK adalah

jumlah foton memiliki faktor K.

Untuk distribusi dengan J ≠ 0 , tabrakan seperti (45) tidak mampu membangun

kesetimbangan termal lengkap karena J berubah.

Gambar 5.16a Aliran molekul gas dalam keadaan melayang keseimbangan bawah tabung terbuka panjang

dengan dinding gesekan. Proses tumbukan elastis antara molekul gas tidak mengubah

momentum atau energi fluks gas karena di setiap tabrakan kecepatan pusat massa partikel dan

energi tetap tidak berubah. Dengan demikian energi diangkut dari kiri ke kanan tanpa

didorong oleh gradien suhu. Oleh karena itu resistivitas termal adalah nol dan konduktivitas

termal yang tak terbatas

Gambar 5.16b Definisi biasa konduktivitas termal dalam gas mengacu pada situasi di mana tidak ada aliran

massa diijinkan. Berikut tabung ditutup di kedua ujungnya, mencegah masuk molekul. Dengan

gradien suhu pasangan bertabrakan dengan atas rata-rata pusat massa akan cenderung

diarahkan ke kanan, mereka dengan kecepatan di bawah rata-rata akan cenderung diarahkan ke

kiri. Sebuah gradien konsentrasi sedikit, tinggi di sebelah kanan, dibentuk untuk mengaktifkan

24

transportasi massal bersih menjadi nol memungkinkan transportasi energi bersih dari panas ke

ujung dingin.

Gambar 5.16c Dalam kristal kita dapat mengatur untuk membuat fonon terutama di salah satu ujung, seperti

dengan menerangi ujung kiri dengan lampu. Dari tujuan itu akan ada fluks bersih fonon

menuju ujung kanan kristal. Proses N K1+K2=K3 terjadi, fluks Fonon tidak berubah dalam

momentum tabrakan dan beberapa fluks Fonon akan bertahan di sepanjang kristal. Pada

kedatangan fonon di ujung kanan kita bisa mengatur pada prinsipnya untuk mengubah

sebagian besar energi terhadap radiasi, sehingga sama seperti dalam (a) resistivitas termal

adalah nol.

Kita mulai distribusi fonon panas di batang dengan J ≠ 0 , distribusi akan merambat

ke batang dengan J berubah. Oleh karena itu tidak ada perlawanan termal. Masalah seperti

yang diilustrasikan pada Gambar. 5.16 adalah seperti itu dari tabrakan molekul gas dalam

tabung lurus dengan dinding gesekan.

Gambar 5.16d Dalam proses U ada perubahan bersih besar dalam momentum fonon di setiap acara tabrakan.

Sebuah fluks fonon bersih awal dengan cepat akan membusuk karena kita bergerak ke kanan.

Ujung-ujung dapat bertindak sebagai sumber dan tenggelam. Transportasi energi bersih

berdasarkan gradien suhu terjadi seperti pada (b).

25

Gambar 5.17 (a) normal K1 + K2 = K3, dan (b) dilipat K1 + K2 = K3 + G fonon proses tabrakan di kisi

persegi dua dimensi. Di setiap gambar mewakili zona Brillouin pertama dalam ruang fonon K,

zona ini berisi semua nilai independen mungkin dari wavevector fonon. Vektor K dengan

panah di pusat zona mewakili fonon diserap dalam proses tabrakan, dengan panah dari pusat

dari zona perwakilan fonon dipancarkan dalam tabrakan. Kita melihat dalam (b) bahwa dalam

proses lipatan arah i-komponen fluks Fonon telah terbalik. Timbal balik kisi G vektor seperti

yang ditunjukkan adalah panjang, 2π / a di mana a adalah kisi konstan kisi kristal, dan sejajar

dengan K, sumbu. Untuk al! energi proses, N atau U. harus dilestarikan, sehingga w1 + w2 =

w3.

5.13 Proses Umklapp (lipatan)

Yang penting proses tiga-fonon yang menyebabkan resistivitas termal tidak dari

bentuk K1 + K2 = K3 di mana K adalah kekal, dengan bentuk

K1+K2=K3+G (5.47)

di mana G adalah vektor kisi resiprokal (Gambar. 5.17). Proses-proses ini, ditemukan oleh

Peierls, yang disebut proses umklapp. Kita ingat bahwa G dapat terjadi pada semua hukum

konservasi momentum dalam kristal. Dalam semua proses yang diizinkan bentuk (5.46) dan

(5.47), energi kekal.

Kita telah melihat contoh-contoh dari proses interaksi gelombang dalam kristal yang

perubahan faktor keseluruhan tidak perlu nol, mungkin menjadi vektor kisi resiprokal. Proses

tersebut selalu mungkin dalam kisi periodik. Argumen ini sangat kuat untuk fonon:

kebohongan hanya bermakna fonon K di zona Brillouin pertama, sehingga setiap K lagi

diproduksi dalam tabrakan harus dibawa kembali ke zona pertama dengan penambahan G.

26

Sebuah tabrakan dua fonon baik dengan nilai negatif dari K, bisa oleh proses umklapp (G ≠

0), membuat fonon dengan K positif. Proses umklapp juga disebut proses U.

Tabrakan di mana G = 0 disebut proses normal atau proses N. Pada suhu tinggi T> θ

semua mode fonon gembira karena kBT >hwmax. Sebagian besar semua tabrakan fonon maka

akan 17 proses, dengan petugas perubahan momentum tinggi dalam tabrakan. Dalam rezim

ini kita dapat memperkirakan resistivitas termal tanpa perbedaan tertentu antara IV dan

proses U, oleh argumen sebelumnya tentang efek nonlinear kita berharap untuk menemukan

kisi termal resistivitasx T pada suhu tinggi.

Energi fonon K1 K2 cocok untuk umklapp terjadi adalah urutan dari 12

k Bθ, karena

masing-masing fonon 1 dan 2 harus memiliki wavevectors dari urutan 12

G agar tabrakan

(5.47) ke mungkin. Jika kedua fonon memiliki K rendah, dan energi sehingga rendah, tidak

ada cara untuk mendapatkan dari coDision mereka fonon dari faktor luar zona pertama.

Proses umklapp harus melayani energi, seperti untuk proses normal. Pada suhu rendah jumlah

fonon sesuai dari energi tinggi 12

k Bθ dibutuhkan dapat diharapkan dapat bervariasi kasar

sebagai eksponen menurut faktor Boltzmann – θ /2T . Bentuk eksponensial dalam perjanjian

baik dengan eksperimen. Singkatnya, fonon berarti jalur bebas yang masuk pada persamaan

(5.42) adalah jalan bebas rata-rata untuk umklapp tabrakan menjadi antara fonon dan tidak

untuk semua tabrakan antara fonon.

5.14 Ketidaksempurnaan

Efek geometris juga penting dalam membatasi jalan bebas rata-rata. Kita harus

mempertimbangkan hamburan oleh batas-batas kristal, distribusi massa isotop unsur-unsur

kimia alami, kotoran kimia, kisi imperfections, dan struktur amorf.

Ketika pada suhu rendah rata-rata laju l bebas menjadi sebanding dengan lebar benda

uji, nilai l dibatasi oleh lebar, dan konduktivitas termal menjadi fungsi dari dimensi

spesimen. Efek ini ditemukan oleh de Haas dan Biermasz. Penurunan mendadak dalam

konduktivitas termal kristal murni pada suhu rendah disebabkan oleh efek ukuran. Pada suhu

27

rendah proses umklapp menjadi tidak efektif dalam membatasi konduktivitas termal, dan efek

ukuran menjadi dominan, seperti ditunjukkan pada Gambar. 5.18. Orang akan berharap maka

fonon mean free path akan konstanta dan urutan diameter D spesimen, sehingga

K = ≈ CUD (5.48)

Gambar 5.18 Konduktivitas termal dari kristal yang sangat dimurnikan sodium flouride, setelah II. E. Jackson,

C. T. Walker, dan T. F. McNelly.

Gambar 5.19 Isotop efek pada conductioii termal di germanium, sebesar faktor tiga di konduktivitas

maksimum. Spesimen diperkaya adalah 96 persen Ge74, alami germanium adalah 20 persen Ge

™, 27 persen Gera, 8 persen , 37 persen Ge74, dan 8 persen Ge73. Dibawah 5 K spesimen

diperkaya memiliki K = 0,06 T3, yang setuju dengan baik dengan teori Casirnir untuk tahan

panas yang disebabkan oleh hamburan batas. (Setelah T. H. Gebalie dan G. W. Hull.)

28

Istilah suhu pada sebelah kanan adalah C, kapasitas panas, yang bervariasi sebagai T3

pada suhu rendah. Kami berharap konduktivitas termal bervariasi sebagai T3 pada suhu

rendah. Pengaruh Ukuran memasuki setiap kali fonon mean free path menjadi sebanding

dengan diameter spesimen.

Kristal Dielektrik mungkin memiliki konduktivitas termal setinggi logam. Syn-thetic

safir (A12O3) memiliki salah satu nilai tertinggi konduktivitas hampir 200 W cm-1 K-1 at 30

K pada 30 K. maksimum konduktivitas termal di safir lebih besar dari maksimum 100 W cm-1

K-1 di tembaga. Logam gallium, bagaimanapun, memiliki konduktivitas 845 W cm-1 K-1 pada

1,8 K. contri elektronik untuk konduktivitas termal dari logam diperlakukan dalam Bab 6.

Secara tidak sempurna, kristal, distribusi isotop unsur kimia sering memberikan

mekanisme penting untuk hamburan fonon. Distribusi acak massa isotop mengganggu

periodisitas kepadatan seperti yang terlihat oleh gelombang elastis. Dalam beberapa

hamburan zat fonon oleh isotop sebanding pentingnya dengan hamburan fonon oleh lainnya.

Hasil untuk germanium ditunjukkan pada Gambar, 1.9. Konduktivitas termal ditingkatkan

telah disajikan juga dalam silikon isotop murni dan berlian, yang terakhir memiliki perangkat

penting sebagai penyerap panas untuk sumber laser.

29