Ph÷ìngTrnh-B§tPh÷ìngTrnh&H» Ph÷ìngTrnh˚⁄iSŁ · PDF fileChuy¶n˜•2.Ph÷ìngTrnh-B§tPh÷ìngTrnh&H»Ph÷ìngTrnh˚⁄iSŁ B€i t“p 2.4. Gi£ic¡cph÷ìngtrnhsau a)

Chuyên đề 2

Phương Trình - Bất Phương Trình & HệPhương Trình Đại Số

§1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn

Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình saua) x2 − 6x + 6 > 0. b) −4x2 + x− 2 ≥ 0.c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x− 10 ≤ 0. d) x4 + x2 + 4x− 3 ≥ 0.

Lời giải.

a) Ta có x2 − 6x + 6 > 0⇔[

x > 3 +√

3

x < 3−√

3. Vậy tập nghiệm S =

(−∞; 3−

√3)∪(3 +√

3; +∞).

b) Ta có ∆ = −31 < 0⇒ −4x2 + x− 2 < 0,∀x ∈ R. Vậy bất phương trình vô nghiệm.c) Bất phương trình tương đương với

x4 + 3x2 − 10− 4x3 + 8x ≤ 0⇔(x2 − 2

) (x2 + 5

)− 4x

(x2 − 2

)≤ 0

⇔(x2 − 2

) (x2 − 4x + 5

)≤ 0⇔ x2 − 2 ≤ 0⇔ −

√2 ≤ x ≤

√2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =[−√

2;√

2].

d) Bất phương trình tương đương với

x4 + 2x2 + 1 ≥ x2 − 4x + 4⇔(x2 + 1

)2 ≥ (x− 2)2

⇔(x2 + x− 1

) (x2 − x + 3

)≥ 0⇔ x2 + x− 1 ≥ 0⇔

[x ≥ −1+

√5

2

x ≤ −1−√5

2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =(−∞; −1−

√5

2

]∪[−1+

√5

2 ; +∞).

Bài tập 2.2. Giải các bất phương trình sau

a)x− 2

x2 − 9x + 8≥ 0. b)

x2 − 3x− 2

x− 1≥ 2x + 2.

c)x + 5

2x− 1+

2x− 1

x + 5> 2. d)

1

x2 − 5x + 4<

1

x2 − 7x + 10.

Lời giải.a) Ta có bảng xét dấu

x −∞ 1 2 8 +∞x− 2 − | − 0 + | +

x2 − 9x + 8 + 0 − | − 0 +VT − || + 0 − || +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞).

b) Bất phương trình tương đương vớix2 − 3x− 2− (x− 1) (2x + 2)

x− 1≥ 0⇔ −x

2 − 3x

x− 1≥ 0.

Ta có bảng xét dấu

1

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Nguyễn Minh Hiếu

x −∞ −3 0 1 +∞−x2 − 3x − 0 + 0 − | −x− 1 − | − | − 0 +VT + 0 − 0 + || −

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞;−3] ∪ [0; 1).

c) Bất phương trình tương đương với(x + 5)

2+ (2x− 1)

2 − 2 (x + 5) (2x− 1)

(2x− 1) (x + 5)> 0⇔ x2 − 12x + 36

2x2 + 9x− 5> 0.


x −∞ −5 12 6 +∞

x2 − 12x + 36 + | + | + 0 +2x2 + 9x− 5 + 0 − 0 + | +

VT + || − || + 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞;−5) ∪(12 ; 6)∪ (6; +∞).

d) Bất phương trình tương đương vớix2 − 7x + 10− x2 + 5x− 4

(x2 − 5x + 4) (x2 − 7x + 10)< 0⇔ −2x + 6

(x2 − 5x + 4) (x2 − 7x + 10)< 0.


x −∞ 1 2 3 4 5 +∞−2x + 6 + | + | + 0 − | − | −

x2 − 5x + 4 + 0 − | − | − 0 + | +x2 − 7x + 10 + | + 0 − | − | − 0 +

VT + || − || + 0 − || + || −

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2) ∪ (3; 4) ∪ (5; +∞).

Bài tập 2.3. Giải các phương trình saua) x3 − 5x2 + 5x− 1 = 0. b) x3 − 3

√3x2 + 7x−

√3 = 0.

c) x4 − 4x3 − x2 + 16x− 12 = 0. d) (x− 3)3

+ (2x + 3)3

= 18x3.e)(x2 + 1

)3+ (1− 3x)

3=(x2 − 3x + 2

)3. f) (4 + x)2 − (x− 1)

3= (1− x)

(x2 − 2x + 17

).

Lời giải.

a) Ta có x3 − 5x2 + 5x− 1 = 0⇔ (x− 1)(x2 − 4x + 1

)= 0⇔

[x = 1

x = 2±√

3.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2±√

3.

b) Ta có x3 − 3√

3x2 + 7x−√

3 = 0⇔(x−√

3) (

x2 − 2√

3x + 1)

= 0⇔[

x =√

3

x =√

3±√

2.

Vậy phương trình có ba nghiệm x =√

3, x =√

3±√

2.

c) Ta có x4 − 4x3 − x2 + 16x− 12 = 0⇔ (x− 1)(x3 − 3x2 − 4x + 12

)= 0⇔

x = 1x = 3x = ±2

.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2.d) Phương trình tương đương với

(x− 3 + 2x + 3)3 − 3(x− 3)(2x + 3)(x− 3 + 2x + 3) = 18x3

⇔ 9x3 − 9x(2x2 − 3x− 9

)= 0⇔ 9x

(7x2 + 3x + 9

)= 0⇔ x = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.e) Phương trình tương đương với(

x2 + 1 + 1− 3x)3 − 3(x2 + 1)(1− 3x)(x2 + 1 + 1− 3x) =

(x2 − 3x + 2

)3⇔− 3(x2 + 1)(1− 3x)(x2 − 3x + 2) = 0⇔

x = 13

x = 1x = 2

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 13 , x = 1, x = 2.

f) Phương trình tương đương với

(4 + x)2

= (x− 1)3 − (x− 1)

(x2 − 2x + 17

)⇔ (4 + x)

2= (x− 1)

(x2 − 2x + 1− x2 + 2x− 17

)= 0

⇔ x2 + 8x + 16 = −16x + 16⇔ x2 + 24x = 0⇔[

x = 0x = −24

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −24.

2

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

Bài tập 2.4. Giải các phương trình saua)(x2 − 4x + 3

)2 − (x2 − 6x + 5)2

= 0. b) x4 = (2x− 5)2.

c) x4 + 3x2 + 3 = 2x. d) x4 − 4x− 1 = 0.e) x4 = 6x2 − 12x + 8. f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + 1.

Lời giải.

a) Ta có(x2 − 4x + 3

)2 − (x2 − 6x + 5)2

= 0⇔(2x2 − 10x + 8

)(2x− 2) = 0⇔

[x = 1x = 4

.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 4.b) Ta có x4 = (2x− 5)

2 ⇔(x2 + 2x− 5

) (x2 − 2x + 5

)= 0⇔ x = −1±

√6.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1±√

6.c) Ta có x4 + 3x2 + 3 = 2x⇔

(x2 + 2

)2= (x + 1)

2 ⇔(x2 + x + 3

) (x2 − x + 1

)= 0.

Vậy phương trình vô nghiệm.d) Ta có x4 − 4x− 1 = 0⇔

(x2 + 1

)2= 2(x + 1)

2 ⇔(x2 +

√2x + 1 +

√2) (

x2 −√

2x + 1−√

2)

= 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm x =

√2±

√4√

2− 2

2.

e) Ta có x4 = 6x2 − 12x + 8⇔(x2 − 1

)2= (2x− 3)

2 ⇔(x2 + 2x− 4

) (x2 − 2x + 2

)= 0⇔ x = −1±

√5.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1±√

5.

f) Ta có x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + 1⇔(x2 − x

)2= (2x− 1)

2 ⇔(x2 + x− 1

) (x2 − 3x + 1

)= 0⇔

[x = −1±

√5

2

x = 3±√5

2

.

Vậy phương trình có bốn nghiệm x =−1±

√5

2, x =

3±√

5

2.

Bài tập 2.5. Giải các phương trình saua) (x + 3)

4+ (x + 5)

4= 2. b) (x + 1)

4+ (x + 3)

4= 16.

c) (x + 3)4

+ (x− 1)4

= 82. d) x4 + (x− 1)4

= 418 .

Lời giải.a) Đặt x + 4 = t. Phương trình trở thành

(t− 1)4

+ (t + 1)4

= 2⇔ 2t4 + 12t2 = 0⇔[

t2 = 0t2 = −6 (loại) ⇔ t = 0

Với t = 0⇒ x = −4. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −4.b) Đặt x + 2 = t. Phương trình trở thành

(t− 1)4

+ (t + 1)4

= 16⇔ 2t4 + 12t2 − 14 = 0⇔[

t2 = 1t2 = −7 (loại) ⇔ t = ±1

Với t = 1⇒ x = −1; t = −1⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3.c) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành

(t + 2)4

+ (t− 2)4

= 16⇔ 2t4 + 48t2 − 50 = 0⇔[

t2 = 1t2 = −25 (loại) ⇔ t = ±1

Với t = 1⇒ x = 0; t = −1⇒ x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −2.d) Đặt x− 1

2 = t. Phương trình trở thành(t +

1

2

)4

+

(t− 1

2

)4

=41

8⇔ 2t4 + 3t2 − 5 = 0⇔

[t2 = 1t2 = − 5

2 (loại) ⇔ t = ±1

Với t = 1⇒ x = 32 ; t = −1⇒ x = − 1

2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 32 , x = − 1

2 .

Bài tập 2.6. Giải các phương trình saua) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b)

(x2 − 1

)(x + 3) (x + 5) + 16 = 0.

c) (x− 1) (x− 2) (x− 3) (x− 6) = 3x2. d)(x2 − 2x + 4

) (x2 + 3x + 4

)= 14x2.

Lời giải.a) Phương trình tương đương với

(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3⇔(x2 + 5x + 4

) (x2 + 5x + 6

)= 3

Đặt x2 + 5x + 4 = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3⇔[

t = 1t = −3

.

3

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Với t = 1⇒ x2 + 5x + 4 = 1⇔ x =−5±

√13

2; t = −3⇒ x2 + 5x + 4 = −3 (vô nghiệm).

Vậy phương trình có hai nghiệm x =−5±

√13

2.

b) Phương trình tương đương với

(x− 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0⇔(x2 + 4x− 5

) (x2 + 4x + 3

)+ 16 = 0

Đặt x2 + 4x− 5 = t. Phương trình trở thành t (t + 8) + 16 = 0⇔ t = −4.Với t = −4⇒ x2 + 4x− 5 = −4⇔ x = −2±

√5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2±

√5.

c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với

(x− 1) (x− 6) (x− 2) (x− 3) = 3x2 ⇔(x2 − 7x + 6

) (x2 − 5x + 6

)= 3x2

⇔(x− 7 +

6

x

)(x− 5 +

6

x

)= 3

Đặt x− 7 + 6x = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3⇔

[t = 1t = −3

.

Với t = 1⇒ x− 7 + 6x = 1⇔ x2 − 8x + 6 = 0⇔ x = 4±

√10;

t = −3⇒ x− 7 + 6x = −3⇔ x2 − 4x + 6 = 0 (vô nghiệm).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4±√

10.d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với(

x− 2 +4

x

)(x + 3 +

4

x

)= 14

Đặt x− 2 + 4x = t. Phương trình trở thành t (t + 5) = 14⇔

[t = 2t = −7

.

Với t = 2⇒ x− 2 + 4x = 2⇔ x2 − 4x + 4 = 0⇔ x = 2; t = −7⇒ x− 2 + 4

x = −7⇔ x2 + 5x + 4⇔[

x = −1x = −4

.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 2, x = −1, x = −4.

Bài tập 2.7. Giải các phương trình saua) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 = 0. b) 2x4 + 3x3 − 9x2 − 3x + 2 = 0.c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + 8 = 0. d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x + 4 = 0.

Lời giải.a) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với

x2 − 4x + 6− 4

x+

1

x2= 0⇔ x2 +

1

x2− 4

(x +

1

x

)+ 6 = 0

Đặt x +1

x= t⇒ x2 +

1

x2= t2 − 2. Phương trình trở thành t2 − 2− 4t + 6 = 0⇔ t = 2.

Với t = 2⇒ x +1

x= 2⇔ x2 − 2x + 1 = 0⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với

2x2 + 3x− 9− 3

x+

2

x2= 0⇔ 2

(x2 +

1

x2

)+ 3

(x− 1

x

)− 9 = 0

Đặt x− 1

x= t⇒ x2 +

1

x2= t2 + 2. Phương trình trở thành 2

(t2 + 2

)+ 3t− 9 = 0⇔

[t = 1t = − 5

2

.

Với t = 1⇒ x− 1

x= 1⇔ x2 − x− 1 = 0⇔ x =

1±√

5

2.

Với t = −5

2⇒ x− 1

x= −5

2⇔ 2x2 + 5x− 2 = 0⇔ x =

−5±√

41

4

Vậy phương trình có bốn nghiệm x =1±√

5

2, x =

−5±√

41

4.

c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với

2x2 + 3x− 27 +6

x+

8

x2= 0⇔ 2

(x2 +

4

x2

)+ 3

(x +

2

x

)− 27 = 0

4

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Đặt x +2

x= t⇒ x2 +

4

x2= t2 − 4. Phương trình trở thành 2

(t2 − 4

)+ 3t− 27 = 0⇔

[t = −5t = 7

2

.

Với t = −5⇒ x +2

x= −5⇔ x2 + 5x + 2 = 0⇔ x =

−5±√

17

2.

Với t =7

2⇒ x +

2

x=

7

2⇔ 2x2 − 7x + 4 = 0⇔ x =

7±√

17

4.

Vậy phương trình có bốn nghiệm x =−5±

√17

2, x =

7±√

17

4.

d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với

x2 − 5x + 8− 10

x+

4

x2= 0⇔ x2 +

4

x2− 5

(x +

2

x

)+ 8 = 0

Đặt x +2

x= t⇒ x2 +

4

x2= t2 − 4. Phương trình trở thành t2 − 4− 5t + 8 = 0⇔

[t = 4t = 1

.

Với t = 4⇒ x +2

x= 4⇔ x2 − 4x + 2 = 0⇔ x = 2±

√2.

Với t = 1⇒ x +2

x= 1⇔ x2 − x + 2 = 0 (vô nghiệm).


2.

Bài tập 2.8. Giải các phương trình saua)(x2 + 5x

)2 − 2(x2 + 5x

)− 24 = 0. b)

(x2 + x + 1

) (x2 + x + 2

)= 12.

c)(x2 − 2x− 2

)2 − 2x2 + 3x + 2 = 0. d) (4x + 3)2

(x + 1) (2x + 1) = 810.

Lời giải.

a) Đặt x2 + 5x = t. Phương trình trở thành t2 − 2t− 24 = 0⇔[

t = 6t = −4

.

Với t = 6⇒ x2 + 5x = 6⇔[

x = 1x = −6

. Với t = −4⇒ x2 + 5x = −4⇔[

x = −1x = −4

.

Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ±1, x = −4, x = −6.

b) Đặt x2 + x + 1 = t. Phương trình trở thành t(t + 1) = 12⇔[

t = 3t = −4

.

Với t = 3⇒ x2 + x + 1 = 3⇔[

x = 1x = −2

. Với t = −4⇒ x2 + x + 1 = −4 (vô nghiệm).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2.c) Phương trình tương đương với (x2 − 2x− 2)2 − (x2 − 2x− 2)− x2 + x = 0.Đặt x2 − 2x− 2 = t. Phương trình trở thành

t2 − t− x2 + x = 0⇔ (t− x)(t + x)− (t− x) = 0⇔ (t− x)(t + x− 1) = 0⇔[

t = xt = 1− x

Với t = x⇒ x2 − 2x− 2 = x⇔ x =3±√

17

2; t = 1− x⇒ x2 − 2x− 2 = 1− x⇔ x =

1±√

13

2.

Vậy phương trình có bốn nghiệm x =3±√

17

2, x =

1±√

13

2.

d) Phương trình tương đương với(16x2 + 24x + 9

) (2x2 + 3x + 1

)= 810⇔

[8(2x2 + 3x + 1) + 1

] (2x2 + 3x + 1

)= 810

Đặt 2x2 + 3x + 1 = t. Phương trình trở thành (8t + 1) t = 810⇔[

t = 10t = − 81

8

.

Với t = 10⇒ 2x2 + 3x + 1 = 10⇔[

x = −3x = 3

2

. Với t = − 818 ⇒ 2x2 + 3x + 1 = − 81

8 (vô nghiệm).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3, x = 32 .

Bài tập 2.9. Giải các phương trình sau

a)1

2x2 − x + 1+

1

2x2 − x + 3=

6

2x2 − x + 7. b)

4x

4x2 − 8x + 7+

3x

4x2 − 10x + 7= 1.

c)x2 + 1

x+

x

x2 + 1= −5

2. d)

(x− 1

x + 2

)2

+x− 3

x + 2− 2

(x− 3

x− 1

)2

= 0.

e) x2 +

(x

x + 1

)2

= 3. f)(

1

x2 + x + 1

)2

+

(1

x2 + x + 2

)2

=13

36.

5

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Lời giải.a) Đặt 2x2 − x + 1 = t (t > 0). Phương trình trở thành

1

t+

1

t + 2=

6

t + 6⇔ (t + 2) (t + 6) + t (t + 6) = 6t (t + 2)⇔ 4t2 − 2t− 12 = 0⇔

[t = 2t = − 3

2 (loại)

Với t = 2⇒ 2x2 − x + 1 = 2⇔[

x = 1x = − 1

2

.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = − 12 .

b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x 6= 0, phương trình tương đương với

4

4x− 8 + 7x

+3

4x− 10 + 7x

= 1

Đặt 4x− 8 + 7x = t. Phương trình trở thành

4

t+

3

t− 2= 1⇔ 4 (t− 2) + 3t = t (t− 2)⇔ t2 − 9t + 8 = 0⇔

[t = 1t = 8

Với t = 1⇒ 4x− 8 + 7x = 1⇔ 4x2 − 9x + 7 = 0 (vô nghiệm).

Với t = 8⇒ 4x− 8 + 7x = 8⇔ 4x2 − 16x + 7 = 0⇔

[x = 1

2x = 7

2

.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 12 , x = 7

2 .c) Điều kiện: x 6= 0.

Đặtx2 + 1

x= t. Phương trình trở thành t + 1

t = − 52 ⇔

[t = −2t = − 1

2

.

Với t = −2⇒ x2 + 1

x= −2⇔ x2 + 2x + 1 = 0⇔ x = −1.

Với t = −1

2⇒ x2 + 1

x= −1

2⇔ 2x2 + x + 2 = 0 (vô nghiệm).

Vậy phương trình có nghiệm x = −1.d) Điều kiện: x 6= 1, x 6= −2.

Đặtx− 1

x + 2= u,

x− 3

x− 1= v. Phương trình trở thành u2 + uv − 2v2 = 0⇔

[u = vu = −2v

.

Với u = v ⇒ x− 1

x + 2=

x− 3

x− 1⇔ x2 − 2x + 1 = x2 − x− 6⇔ x = 7.

Với u = −2v ⇒ x− 1

x + 2= −2.

x− 3

x− 1⇔ x2 − 2x + 1 = −2x2 + 2x + 12⇔ 3x2 − 4x− 11 = 0⇔ x =

2±√

37

3.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x =2±√

37

3.

e) Điều kiện: x 6= −1. Phương trình tương đương với(x− x

x + 1

)2

+ 2x.x

x + 1= 3⇔

(x2

x + 1

)2

+ 2x2

x + 1− 3 = 0

Đặtx2

x + 1= t. Phương trình trở thành t2 + 2t− 3 = 0⇔

[t = 1t = −3

.

Với t = 1⇒ x2

x + 1= 1⇔ x2 − x− 1 = 0⇔ x =

1±√

5

2.

Với t = −3⇒ x2

x + 1= −3⇔ x2 + 3x + 3 = 0 (vô nghiệm).

Vậy phương trình có hai nghiệm x =1±√

5

2.

f) Phương trình tương đương với(1

x2 + x + 1− 1

x2 + x + 2

)2

+ 2.1

x2 + x + 1.

1

x2 + x + 2=

13

36

⇔(

1

(x2 + x + 1) (x2 + x + 2)

)2

+2

(x2 + x + 1) (x2 + x + 2)− 13

36= 0

Đặt1

(x2 + x + 1) (x2 + x + 2)= t (t > 0). Phương trình trở thành t2 + 2t− 13

36= 0⇔

[t = 1

6t = − 13

6 (loại) .

6

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Với t =1

6⇒ 1

(x2 + x + 1) (x2 + x + 2)=

1

6⇔(x2 + x + 1

) (x2 + x + 2

)= 6.

Đặt x2 + x + 1 = u (u > 0). Phương trình trở thành u (u + 1) = 6⇔[

u = 2u = −3 (loại) .

Với u = 2⇒ x2 + x + 1 = 2⇔ x =−1±

√5

2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x =−1±

√5

2.

Bài tập 2.10. Giải các phương trình saua) |x− 1| =

∣∣x2 − 3x + 1∣∣. b)

∣∣x2 + 4x− 5∣∣ =

∣∣x2 + 5∣∣.

c)∣∣x2 − 5x + 4

∣∣− x = 4. d)√x2 + 4x + 4 = 5− x2.

e)∣∣x2 − 5x + 4

∣∣ = x2 + 6x + 5. f)∣∣x2 − 5x + 5

∣∣ = −2x2 + 10x− 11.

Lời giải.

a) Ta có |x− 1| =∣∣x2 − 3x + 1

∣∣⇔ [x− 1 = x2 − 3x + 1x− 1 = −x2 + 3x− 1

⇔

x = 2±√

2x = 0x = 2

.

Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 2±√

2, x = 0, x = 2.

b) Ta có∣∣x2 + 4x− 5

∣∣ =∣∣x2 + 5

∣∣⇔ [x2 + 4x− 5 = x2 + 5x2 + 4x− 5 = −x2 − 5

⇔

x = 52

x = 0x = −2

.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 52 , x = 0, x = −2.

c) Với x2 − 5x + 4 ≥ 0⇔[

x ≥ 4x ≤ 1

, phương trình trở thành x2 − 5x + 4− x = 4⇔[

x = 0x = 6

(thỏa mãn).

Với x2 − 5x + 4 < 0⇔ 1 < x < 4, phương trình trở thành −x2 + 5x− 4− x = 4⇔ x2 − 4x + 8 = 0 (vô nghiệm).Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 6.d) Phương trình tương đương với |x + 2| = 5− x2.

Với x + 2 ≥ 0⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x + 2 = 5− x2 ⇔ x2 + x− 3 = 0⇔

[x = −1+

√13

2

x = −1−√13

2 (loại)

Với x + 2 < 0⇔ x < −2, phương trình trở thành −x− 2 = 5− x2 ⇔ x2 − x− 7 = 0⇔

[x = 1+

√29

2 (loại)x = 1−

√29

2

Vậy phương trình có hai nghiệm x =−1 +

√13

2, x =

1−√

29

2.

e) Với x2 − 5x + 4 ≥ 0⇔[

x ≥ 4x ≤ 1

, phương trình trở thành x2 − 5x + 4 = x2 + 6x + 5⇔ x = − 111 (thỏa mãn).

Với x2 − 5x + 4 < 0⇔ 1 < x < 4, PT trở thành −x2 + 5x− 4 = x2 + 6x + 5⇔ 2x2 + x + 9 = 0 (vô nghiệm).Vậy phương trình có hai nghiệm x = − 1

11 .

f) Với x2− 5x+ 5 ≥ 0⇔

[x ≥ 5+

√5

2

x ≤ 5−√5

2

, PT trở thành x2− 5x+ 5 = −2x2 + 10x− 11⇔ x = 15±√33

2 (thỏa mãn).

Với x2 − 5x + 5 < 0⇔ 5−√5

2 < x < 5+√5

2 , PT trở thành −x2 + 5x− 5 = −2x2 + 10x− 11⇔[

x = 2x = 3

(TM).

Vậy phương trình có bốn nghiệm x =15±

√33

2, x = 2, x = 3.


a)(x2 − x

)2+∣∣x2 − x

∣∣− 6 = 0. b) 3

(2x− 1

x + 1

)2

−∣∣∣∣ x + 1

2x− 1

∣∣∣∣− 2 = 0.

c)∣∣x2 + 3x− 10

∣∣+∣∣x2 − 4

∣∣ = 0. d)∣∣x2 + 3x− 4

∣∣+∣∣x2011 + 2011x− 2012

∣∣ = 0.

Lời giải.

a) Đặt |x2 − x| = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t2 + t− 6 = 0⇔[

t = 2t = −3 (loại) .

Với t = 2⇒∣∣x2 − x

∣∣ = 2⇔[

x2 − x = 2x2 − x = −2 (vô nghiệm)

⇔[

x = 2x = −1

.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = −1.b) Điều kiện: x 6= −1, x 6= 1

2 .

Đặt | x + 1

2x− 1| = t (t > 0). Phương trình trở thành

3

t2− t− 2 = 0⇔ t3 + 2t− 3 = 0⇔ t = 1.

Với t = 1⇒∣∣∣∣ x + 1

2x− 1

∣∣∣∣ = 1⇔ |x + 1| = |2x− 1| ⇔[

x + 1 = 2x− 1x + 1 = −2x + 1

⇔[

x = 2x = 0

.

7

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 0.

c) Ta có∣∣x2 + 3x− 10

∣∣+∣∣x2 − 4

∣∣ = 0⇔{

x2 + 3x− 10 = 0x2 − 4 = 0

⇔

[

x = 2x− 5

x = ±2⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

d) Ta có∣∣x2 + 3x− 4

∣∣+∣∣x2011 + 2011x− 2012∣∣ = 0⇔

{x2 + 3x− 4 = 0x2011 + 2011x− 2012 = 0

⇔

[

x = 1 (thỏa mãn)x = −4 (loại)

x2011 + 2011x− 2012 = 0.



a) |x− 2| < |2x + 1|. b)∣∣∣∣2x− 3

x− 3

∣∣∣∣ ≤ 1.

c)∣∣x2 − 5x + 4

∣∣ ≤ x2 + 6x + 5. d)∣∣x2 − 2x

∣∣+ x2 − 4 > 0.

Lời giải.

a) Ta có |x− 2| < |2x + 1| ⇔ (x− 2)2< (2x + 1)

2 ⇔ 3x2 + 8x− 3 > 0⇔[

x > 13

x < −3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞;−3) ∪(13 ; +∞

).

b) Điều kiện: x 6= 3. Bất phương trình tương đương với

|2x− 3| ≤ |x− 3| ⇔ (2x− 3)2 ≤ (x− 3)

2 ⇔ 3x2 − 6x ≤ 0⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2].

c) Với x2 − 5x + 4 ≥ 0⇔[

x ≥ 4x ≤ 1

, bất phương trình trở thành

x2 − 5x + 4 ≤ x2 + 6x + 5⇔ x ≥ − 1

11⇒ S1 =

[− 1

11; 1

]∪ [4; +∞)

Với x2 − 5x + 4 < 0⇔ 1 < x < 4, bất phương trình trở thành

−x2 + 5x− 4 ≤ x2 + 6x + 5⇔ 2x2 + x + 9 ≥ 0 (đúng ∀x ∈ (1; 4))⇒ S2 = (1; 4)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 =[− 1

11 ; +∞).

d) Với x2 − 2x ≥ 0⇔[

x ≥ 2x ≤ 0

, bất phương trình trở thành

x2 − 2x + x2 − 4 > 0⇔[

x > 2x < −1

(thỏa mãn) ⇒ S1 = (−∞;−1) ∪ (2; +∞)

Với x2 − 2x < 0⇔ 0 < x < 2, bất phương trình trở thành

−x2 + 2x + x2 − 4 > 0⇔ x > 2 (loại) ⇒ S2 = ∅

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = (−∞;−1) ∪ (2; +∞).

Bài tập 2.13. Giải các phương trình saua) |9− x| = |6− 5x|+ |4x + 3|. b)

∣∣x2 − 5x + 4∣∣+∣∣x2 − 5x

∣∣ = 4.c) |7− 2x| = |5− 3x|+ |x + 2|. d) |x− 1| − 2 |x− 2|+ 3 |x− 3| = 4.e)√x2 − 2x + 1 +

√x2 + 4x + 4 = 5. f)

√x + 2

√x− 1 +

√x− 2

√x− 1 = 2.

Lời giải.a) Ta có bảng xét dấu

x −∞ − 34

65 9 +∞

9− x + | + | + 0 −6− 5x + | + 0 − | −4x + 3 − 0 + | + | +

Với x ∈(−∞;− 3

4

], phương trình trở thành 9− x = 6− 5x− 4x− 3⇔ x = − 3

4 (thỏa mãn).Với x ∈

(− 3

4 ; 65

], phương trình trở thành 9− x = 6− 5x + 4x + 3⇔ 9 = 9 (đúng ,∀x ∈

(− 3

4 ; 65

]).

Với x ∈(65 ; 9], phương trình trở thành 9− x = −6 + 5x + 4x + 3⇔ x = 6

5 (loại).Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3⇔ x = − 3

4 (loại).Vậy phương trình có tập nghiệm S =

[− 3

4 ; 65

].

b) Ta có bảng xét dấu

8

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


x −∞ 0 1 4 5 +∞x2 − 5x + 4 + | + 0 − 0 + | +x2 − 5x + 0 − | − | − 0 +

Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x2 − 5x + 4 + x2 − 5x = 4⇔[

x = 0 (thỏa mãn)x = 5 (loại)

.

Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x2 − 5x + 4− x2 + 5x = 4⇔ 4 = 4 (đúng ,∀x ∈ (0; 1]).

Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x2 + 5x− 4− x2 + 5x = 4⇔[

x = 4 (thỏa mãn)x = 1 (loại)

.

Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x2 − 5x + 4− x2 + 5x = 4⇔ 4 = 4 (đúng ,∀x ∈ (4; 5]).

Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x2 − 5x + 4 + x2 − 5x = 4⇔[

x = 0 (loại)x = 5 (loại) .

Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] ∪ [4; 5].c) Ta có bảng xét dấu

x −∞ −2 53

72 +∞

7− 2x + | + | + 0 −5− 3x + | + 0 − | −x + 2 − 0 + | + | +

Với x ∈ (−∞;−2], phương trình trở thành 7− 2x = 5− 3x− x− 2⇔ x = −2 (thỏa mãn).Với x ∈

(−2; 5

3

], phương trình trở thành 7− 2x = 5− 3x + x + 2⇔ 7 = 7 (đúng ,∀x ∈

(−2; 5

3

]).

Với x ∈(53 ; 7

2

], phương trình trở thành 7− 2x = −5 + 3x + x + 2⇔ x = 5

3 (loại).Với x ∈

(72 ; +∞

), phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2⇔ x = −2 (loại).

Vậy phương trình có tập nghiệm S =[−2; 5

3

].

d) Ta có bảng xét dấu

x −∞ 1 2 3 +∞x− 1 − 0 + | + | +x− 2 − | − 0 + | +x− 3 − | − | − 0 +

Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + 1− 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4⇔ x = 1 (thỏa mãn).Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x− 1− 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4⇔ 4 = 4 (đúng ,∀x ∈ (1; 2]).Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x− 1− 2 (x− 2) + 3 (−x + 3) = 4⇔ x = 2 (loại).Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x− 1− 2 (x− 2) + 3 (x− 3) = 4⇔ x = 5 (thỏa mãn).Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] ∪ {5}.e) Phương trình tương đương với |x− 1|+ |x + 2| = 5.Ta có bảng xét dấu

x −∞ −2 1 +∞x− 1 − | − 0 +x + 2 − 0 + | +

Với x ∈ (−∞;−2], phương trình trở thành −x + 1− x− 2 = 5⇔ x = 3 (loại).Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + 1 + x + 2 = 5⇔ 3 = 5 (vô lý).Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x− 1 + x + 2 = 5⇔ x = 2 (thỏa mãn).Vậy phương trình có nghiệm x = 2.f) Phương trình tương đương với

√x− 1 + 1 +

∣∣√x− 1− 1∣∣ = 2.

Với∣∣√x− 1− 1

∣∣ ≥ 0⇔ x ≥ 2, PT trở thành√x− 1 + 1 +

√x− 1− 1 = 2⇔

√x− 1 = 1⇔ x = 2 (thỏa mãn).

Với∣∣√x− 1− 1

∣∣ < 0⇔ 1 ≤ x < 2, PT trở thành√x− 1 + 1−

√x− 1 + 1 = 2⇔ 2 = 2 (đúng ∀x ∈ [1; 2)).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2].

§2. Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn

Bài tập 2.14. Giải các phương trình saua) x−

√x− 1− 7 = 0. b)

√2x + 9 =

√4− x +

√3x + 1.

c)√

3x− 3−√

5− x =√

2x− 4. d)√

2x +√

6x2 + 1 = x + 1.e) 3√

2x− 1 + 3√x− 1 = 3

√3x + 1. f) 3

√x + 1 + 3

√x + 2 + 3

√x + 3 = 0.

9

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com



√x− 1 = x− 7⇔

{x ≥ 7x− 1 = x2 − 14x + 49

⇔

x ≥ 7[x = 5 (loại)x = 10

⇔ x = 10

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.b) Điều kiện: − 1

3 ≤ x ≤ 4. Phương trình tương đương với

2x + 9 = 4− x + 3x + 1 + 2√

(4− x) (3x + 1)⇔ 4 = 2√−3x2 + 11x + 4

⇔− 3x2 + 11x + 4 = 4⇔[

x = 0x = 11

3

(thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 113 .

c) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 5. Phương trình tương đương với√

3x− 3 =√

5− x +√

2x− 4⇔ 3x− 3 = 5− x + 2x− 4 + 2√

(5− x) (2x− 4)

⇔ 2x− 4 = 2√

(5− x) (2x− 4)⇔ (2x− 4)2

= 4 (5− x) (2x− 4)

⇔ (2x− 4) (2x− 4− 20 + 4x) = 0⇔[

x = 2x = 4

(thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 4.d) Phương trình tương đương với

{x + 1 ≥ 0

2x +√

6x2 + 1 = x2 + 2x + 1⇔{

x ≥ −16x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1

⇔

x ≥ −1 x = 0

x = 2x = −2 (loại)

⇔[

x = 0x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2.e) Phương trình tương đương với

2x− 1 + x− 1 + 3 3√

(2x− 1) (x− 1)(

3√

2x− 1 + 3√x− 1

)= 3x + 1

⇒ 3√

(2x− 1) (x− 1) (3x + 1) = 1⇒ 6x3 − 7x2 = 0⇒[

x = 0x = 7

6

Thử lại ta thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 76 .

f) Phương trình tương đương với3√x + 1 + 3

√x + 2 = − 3

√x + 3⇔ x + 1 + x + 2 + 3 3

√(x + 1) (x + 2)

(3√x + 1 + 3

√x + 2

)= −x− 3

⇒ 3√

(x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2⇒ x = −2

Thử lại ta thấy x = −2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2.

Bài tập 2.15. Giải các bất phương trình saua)√x2 − 4x− 12 > 2x + 3. b)

√x2 − 4x− 12 ≤ x− 4.

c) 3√

6x− 9x2 < 3x. d)√x3 + 1 ≥ x + 1.

Lời giải.a) Bất phương trình tương đương với

{2x + 3 < 0x2 − 4x− 12 ≥ 0{2x + 3 ≥ 0x2 − 4x− 12 > 4x2 + 12x + 9

⇔

x < − 3

2[x ≥ 6x ≤ −2{

x ≥ − 32

−3 < x < − 73

⇔ x ≤ −2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞;−2].b) Bất phương trình tương đương với x− 4 ≥ 0

x2 − 4x− 12 ≥ 0x2 − 4x− 12 ≤ x2 − 8x + 16

⇔

x ≥ 4[

x ≥ 6x ≤ −2

x ≤ 7

⇔ 6 ≤ x ≤ 7

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7].c) Bất phương trình tương đương với 6x− 9x2 < 27x3 ⇔ 27x3 + 9x2 − 6x > 0. Ta có bảng xét dấu

10

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


x −∞ − 23 0 1

3 +∞VT − 0 + 0 − 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =(− 2

3 ; 0)∪(13 ; +∞

).

d) Bất phương trình tương đương với

{

x + 1 < 0x3 + 1 ≥ 0{x + 1 ≥ 0x3 + 1 ≥ x2 + 2x + 1

⇔

{

x < −1x3 ≥ −1

(vô nghiệm) x ≥ −1[−1 ≤ x ≤ 0x ≥ 2

⇔[−1 ≤ x ≤ 0x ≥ 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 0] ∪ [2; +∞).

Bài tập 2.16. Giải các bất phương trình saua) (CĐ-09)

√x + 1 + 2

√x− 2 ≤

√5x + 1. b) (A-05)

√5x− 1−

√x− 1 >

√2x− 4.

c)√

2x +√

6x2 + 1 > x + 1. d) (A-04)

√2 (x2 − 16)√

x− 3+√x− 3 >

7− x√x− 3

.

Lời giải.a) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với

x + 1 + 4 (x− 2) + 4√

(x + 1) (x− 2) ≤ 5x + 1⇔ x2 − x− 2 ≤ 4⇔ −2 ≤ x ≤ 3

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 3].b) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với

√5x− 1 >

√x− 1 +

√2x− 4⇔ 5x− 1 > x− 1 + 2x− 4 + 2

√(x− 1) (2x− 4)

⇔ x + 2 >√

(x− 1) (2x− 4)⇔ x2 + 4x + 4 > 2x2 − 6x + 4⇔ 0 < x < 10

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 10).c) Bất phương trình tương đương với

{x + 1 < 0

2x +√

6x2 + 1 ≥ 0{x + 1 ≥ 0

2x +√

6x2 + 1 > x2 + 2x + 1

⇔

{

x < −1√6x2 + 1 ≥ −2x{

x ≥ −16x2 + 1 > x4 + 2x2 + 1

⇔

{

x < −16x2 + 1 ≥ 4x2 (đúng,∀x ∈ R) x ≥ −1[

x < −20 < x < 2

⇔[

x < −10 < x < 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞;−1) ∪ (0; 2).d) Điều kiện: x ≥ 4. Bất phương trình tương đương với

√2 (x2 − 16) + x− 3 > 7− x⇔

√2 (x2 − 16) > 10− 2x⇔

10− 2x < 0{10− 2x ≥ 02x2 − 32 > 100− 40x + 4x2

⇔

x > 5{x ≤ 5

10−√

34 < x < 10 +√

34⇔[

x > 5

10−√

34 < x ≤ 5⇔ x > 10−

√34

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =(10−

√34; +∞

).

Bài tập 2.17. Giải các phương trình saua) (D-05) 2

√x + 2 + 2

√x + 1−

√x + 1 = 4. b)

√x− 1 + 2

√x− 2−

√x− 1− 2

√x− 2 = 1.

c) x +

√x + 1

2 +√x + 1

4 = 9. d)√

x + 2√x− 1 +

√x− 2

√x− 1 =

x + 3

3.

Lời giải.a) Phương trình tương đương với 2

(√x + 1 + 1

)−√x + 1 = 4⇔

√x + 1 = 2⇔ x = 3.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

11

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


b) Phương trình tương đương với√x− 2 + 1−

∣∣√x− 2− 1∣∣ = 1⇔

√x− 2−

∣∣√x− 2− 1∣∣ = 0

Với√x− 2− 1 ≥ 0⇔ x ≥ 3, PT trở thành

√x− 2−

√x− 2 + 1 = 0⇔ 1 = 0 (vô lý).

Với√x− 2− 1 < 0⇔ 2 ≤ x < 3, PT trở thành

√x− 2 +

√x− 2− 1 = 0⇔ 4(x− 2) = 1⇔ x = 9

4 (thỏa mãn).Vậy phương trình có nghiệm x = 9

4 .c) Phương trình tương đương với

x +

√x +

1

4+

1

2= 9⇔

√x +

1

4=

17

2− x

⇔{

172 − x ≥ 0x + 1

4 = 2894 − 17x + x2 ⇔

x ≤ 172[

x = 12 (loại)x = 6

⇔ x = 6

d) Phương trình tương đương với√x− 1 + 1 +

∣∣√x− 1− 1∣∣ = x+3

3 .Với√x− 1− 1 ≥ 0⇔ x ≥ 2, phương trình trở thành

√x− 1 + 1 +

√x− 1− 1 =

x + 3

3⇔ 6√x− 1 = x + 3

⇔{

x + 3 ≥ 036(x− 1) = x2 + 6x + 9

⇔{

x ≥ −3

x = 15± 6√

5⇔ x = 15± 6

√5

Với√x− 1− 1 < 0⇔ 1 ≤ x < 2, phương trình trở thành

√x− 1 + 1−

√x− 1 + 1 =

x + 3

3⇔ 6 = x + 3⇔ x = 3 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = 15± 6√

5.


a)√

x4 +√x− 4 ≥ 8− x. b) (D-02)

(x2 − 3x

)√2x2 − 3x− 2 ≥ 0.

c) (x− 2)√x2 + 4 < x2 − 4. d) (x + 2)

√9− x2 ≤ x2 − 2x− 8.

e)√x2 − 3x + 2 +

√x2 − 4x + 3 ≥ 2

√x2 − 5x + 4. f)

√x2 + x− 2 +

√x2 + 2x− 3 ≤

√x2 + 4x− 5.

Lời giải.a) Bất phương trình tương đương với√

x + 4√x− 4 ≥ 16− 2x⇔

√x− 4 + 2 ≥ 16− 2x⇔

√x− 4 ≥ 14− 2x

⇔

{

14− 2x < 0x− 4 ≥ 0{14− 2x ≥ 0x− 4 ≥ 196− 56x + 4x2

⇔

{

x > 7x ≥ 4{x ≤ 7254 ≤ x ≤ 8

⇔[

x > 7254 ≤ x ≤ 7

⇔ x ≥ 25

4

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =[254 ; +∞

).

b) Bất phương trình tương đương với

√2x2 − 3x− 2 = 0{ √2x2 − 3x− 2 > 0

x2 − 3x ≥ 0

⇔

x = 2x = − 1

2[

x > 2x < − 1

2[x ≥ 3x ≤ 0

⇔

x = 2x = − 1

2x ≥ 3x < − 1

2

⇔

x = 2x ≥ 3x ≤ − 1

2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =(−∞;− 1

2

]∪ [3; +∞) ∪ {2}.

c) Bất phương trình tương đương với

(x− 2)√x2 + 4 < (x− 2) (x + 2)⇔ (x− 2)

(√x2 + 4− x− 2

)< 0

⇔

{

x− 2 > 0√x2 + 4 < x + 2{

x− 2 < 0√x2 + 4 > x + 2

⇔

{

x > 2x2 + 4 < x2 + 4x + 4{x < 2x2 + 4 > x2 + 4x + 4

⇔[

x > 2x < 0

12

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 0) ∪ (2; +∞).d) Bất phương trình tương đương với

(x + 2)√

9− x2 ≤ (x + 2) (x− 4)⇔ (x + 2)(√

9− x2 − x + 4)≤ 0

⇔

{

x + 2 ≥ 0√9− x2 ≤ x− 4{

x + 2 ≤ 0√9− x2 ≥ x− 4

⇔

x ≥ −2x− 4 ≥ 09− x2 ≥ 09− x2 ≤ x2 − 8x + 16

(vô nghiệm)

{x ≤ −29− x2 ≥ 0

⇔ −3 ≤ x ≤ −2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−3;−2].

e) Điều kiện:[

x ≥ 4x ≤ 1

. BPT tương đương với√

(x− 1) (x− 2) +√

(x− 1) (x− 3) ≥ 2√

(x− 1) (x− 4).

Nhận thấy x = 1 là nghiệm của bất phương trình.Với x ≥ 4, bất phương trình trở thành

√x− 1

(√x− 2 +

√x− 3− 2

√x− 4

)≥ 0⇔

√x− 2+

√x− 3 ≥ 2

√x− 4.

Vì√x− 2 >

√x− 4 và

√x− 3 >

√x− 4 nên bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ [4; +∞).

Với x < 1, bất phương trình trở thành√

1− x(√

2− x +√

3− x− 2√

4− x)≥ 0⇔

√2− x+

√3− x ≥ 2

√4− x.

Vì√

2− x <√

4− x và√

3− x >√

4− x nên bất phương trình vô nghiệm.Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = [4; +∞) ∪ {1}.

f) Điều kiện:[

x ≥ 1x ≤ −5

. BPT tương đương với√

(x− 1) (x + 2) +√

(x− 1) (x + 3) ≤ 2√

(x− 1) (x + 5).

Nhận thấy x = 1 là nghiệm của bất phương trình.Với x > 1, bất phương trình trở thành

√x− 1

(√x + 2 +

√x + 3−

√x + 5

)≤ 0⇔

√x + 2 +

√x + 3 ≤

√x + 5

⇔ x + 2 + x + 3 + 2√

(x + 2) (x + 3) ≤ x + 5⇔ 2√

(x + 2) (x + 3) ≤ −x (vô nghiệm)

Với x ≤ −5, bất phương trình trở thành√

1− x(√−x− 2 +

√−x− 3−

√−x− 5

)≤ 0⇔

√−x− 2 +

√−x− 3 ≤

√−x− 5

⇔− x− 2− x− 3 + 2√

(x + 2) (x + 3) ≤ −x− 5⇔ 2√

(x + 2) (x + 3) ≤ x

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

Bài tập 2.19. Giải các phương trình saua) (D-06)

√2x− 1 + x2 − 3x + 1 = 0. b)

√7− x2 + x

√x + 5 =

√3− 2x− x2.

c)√

2x2 + 8x + 6 +√x2 − 1 = 2x + 2. d) 3

(2 +√x− 2

)= 2x +

√x + 6.

e) x2 + 3x + 1 = (x + 3)√x2 + 1. f)

√x2 − 7

x2+

√x− 7

x2= x.


√2x− 1 = −x2 + 3x− 1⇔

{−x2 + 3x− 1 ≥ 02x− 1 = x4 + 9x2 + 1− 6x3 + 2x2 − 6x

⇔{−x2 + 3x− 1 ≥ 0x4 − 6x3 + 11x2 − 8x + 2 = 0

⇔{−x2 + 3x− 1 ≥ 0

(x− 1)2 (

x2 − 4x + 2)

= 0

⇔

−x2 + 3x− 1 ≥ 0 x = 1

x = 2 +√

2 (loại)x = 2−

√2

⇔[

x = 0

x = 2−√

2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2−√

2.b) Ta có √

7− x2 + x√x + 5 =

√3− 2x− x2 ⇒ 7− x2 + x

√x + 5 = 3− 2x− x2

⇒ x√x + 5 = −2x− 4⇒ x2 (x + 5) = 4x2 + 16x + 16⇒

[x = −1x = ±4

13

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Thử lại ta thấy x = ±4 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x = −1.

c) Điều kiện:

x ≥ 1x = −1x ≤ −3

. Phương trình tương đương với

√2 (x + 1) (x + 3) +

√(x− 1) (x + 1) = 2(x + 1)

Nhận thấy x = −1 là nghiệm của phương trình.Với x ≥ 1, phương trình trở thành

√x + 1

(√2x + 6 +

√x− 1− 2

√x + 1

)= 0⇔

√2x + 6 +

√x− 1 = 2

√x + 1

⇔ 2x + 6 + x− 1 + 2√

(2x + 6) (x− 1) = 4 (x + 1)⇔ 2√

2x2 + 4x− 6 = x− 1

⇔ 4(2x2 + 4x− 6

)= x2 − 2x + 1⇔ 7x2 + 18x− 25 = 0⇔

[x = 1x = − 25

7 (loại)

Với x ≤ −3, phương trình trở thành√−x− 1

(√−2x− 6 +

√1− x− 2

√−x− 1

)= 0⇔

√−2x− 6 +

√1− x = 2

√−x− 1

⇔− 2x− 6 + 1− x + 2√

(2x + 6) (x− 1) = 4 (−x− 1)⇔ 2√

2x2 + 4x− 6 = 1− x

⇔ 4(2x2 + 4x− 6

)= x2 − 2x + 1⇔ 7x2 + 18x− 25 = 0⇔

[x = 1 (loại)x = − 25

7

d) Điều kiện: x ≥ 2. Phương trình tương đương với

3√x− 2−

√x + 6 = 2x− 6⇔ 9 (x− 2)− (x + 6)

3√x− 2 +

√x + 6

= 2x− 6

⇔ 8 (x− 3) = 2 (x− 3)(3√x− 2 +

√x + 6

)⇔ 2 (x− 3)

(3√x− 2 +

√x + 6− 4

)= 0

⇔[

x = 33√x− 2 +

√x + 6 = 4

⇔[

x = 3

9 (x− 2) + x + 6 + 6√

(x− 2) (x + 6) = 16

⇔[

x = 3

3√x2 + 4x− 12 = 14− 5x

⇔

x = 314− 5x ≥ 0

9(x2 + 4x− 12

)= 196− 160x + 25x2

⇔

x = 3x ≤ 14

516x2 − 196x + 304 = 0

⇔[

x = 3

x = 49±√2097

2 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.e) Ta có phương trình hệ quả

x4 + 9x2 + 1 + 6x3 + 2x2 + 6x =(x2 + 6x + 9

) (x2 + 1

)⇒ x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 = x4 + 6x3 + 10x2 + 6x + 9⇒ x = ±2

√2

Thử lại ta thấy x = ±2√

2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2√

2.f) Ta có phương trình hệ quả√

x2 − 7

x2= x−

√x− 7

x2⇒ x2 − 7

x2= x2 + x− 7

x2− 2x

√x− 7

x2

⇒ x

(1− 2

√x− 7

x2

)= 0⇒ 2

√x− 7

x2= 1⇒ 4

(x− 7

x2

)= 1

⇒ 4x3 − x2 − 28 = 0⇒ x = 2

Thử lại ta thấy x = 2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.


a)1−√

1− 4x2

x< 3. b)

1−√

21− 4x + x2

x + 1≥ 0.

c)2x√

2x + 1− 1> 2x + 2. d)

x2(1 +√

1 + x)2 > x− 4.

14

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Lời giải.a) Điều kiện x ∈

[− 1

2 ; 12

]\ {0}. Phương trình tương đương với

1−(1− 4x2

)x(1 +√

1− 4x2) < 3⇔ 4x < 3 + 3

√1− 4x2 ⇔ 3

√1− 4x2 > 4x− 3

Vì 4x− 3 < 0,∀x ∈[− 1

2 ; 12

]\ {0} nên bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈

[− 1

2 ; 12

]\ {0}.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =[− 1

2 ; 12

]\ {0}.

b) Điều kiện: x 6= −1. Bất phương trình tương đương với

1−(21− 4x + x2

)(x + 1)

(1 +√

21− 4x + x2) ≥ 0⇔ −x

2 + 4x− 20

x + 1≥ 0⇔ x + 1 < 0⇔ x < −1

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞;−1).c) Điều kiện: x ≥ − 1

2 , x 6= 0. Bất phương trình tương đương với

√2x + 1 + 1 > 2x + 2⇔

√2x + 1 > 2x + 1⇔ 2x + 1 > 4x2 + 4x + 1⇔ −1

2< x < 0

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =(− 1

2 ; 0).

d) Điều kiện: x ≥ −1. Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình.Với x 6= 0, bất phương trình tương đương với(

1−√x + 1

)2> x− 4⇔ 1 + x + 1− 2

√x + 1 > x− 4⇔

√x + 1 < 3⇔ x < 8

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 8).

Bài tập 2.21. Giải các phương trình saua) (x + 5) (2− x) = 3

√x2 + 3x. b)

√(x + 1) (2− x) = 1 + 2x− 2x2.

c)√x + 1 +

√4− x +

√(x + 1) (4− x) = 5. d)

√3x− 2 +

√x− 1 = 4x− 9 + 2

√3x2 − 5x + 2.

Lời giải.a) Phương trình tương đương với −x2 − 3x + 10 = 3

√x2 + 3x⇔ x2 + 3x + 3

√x2 + 3x− 10 = 0.

Đặt√x2 + 3x = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t2 + 3t− 10 = 0⇔

[t = 2t = −5 (loại) .

Với t = 2⇒√x2 + 3x = 2⇔ x2 + 3x− 4 = 0⇔

[x = 1x = −4

.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −4.b) Phương trình tương đương với

√2 + x− x2 = 1 + 2

(x− x2

).

Đặt√

2 + x− x2 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t = 1 + 2(t2 − 2

)⇔ 2t2 − t− 3 = 0⇔

[t = −1 (loại)x = 3

2

Với t = 32 ⇒

√2 + x− x2 = 3

2 ⇔ 4(2 + x− x2

)= 9⇔ 4x2 − 4x + 1 = 0⇔ x = 1

2 .Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

2 .c) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 4. Đặt

√x + 1 +

√4− x = t (t ≥ 0)⇔

√(x + 1) (4− x) = t2−5

2 . Phương trình trở thành

t +t2 − 5

2= 5⇔ t2 + 2t− 15 = 0⇔

[t = 3t = −5 (loại)

Với t = 3⇒√−x2 + 3x + 4 = 2⇔ −x2 + 3x + 4 = 4⇔

[x = 0x = 3

(thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 3.d) Điều kiện: t ≥ 1. Đặt

√3x− 2 +

√x− 1 = t (t ≥ 0)⇔ 4x+ 2

√3x2 − 5x + 2 = t2 + 3. Phương trình trở thành

t = t2 + 3− 9⇔ t2 − t− 6 = 0⇔[

t = 3t = −2 (loại)

Với t = 3⇒√

3x2 − 5x + 2 = 3− 2x⇔{

x ≤ 32

3x2 − 5x + 2 = 9− 12x + 4x2 ⇔ x =7−√

21

2(thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm x =7−√

21

2.

15

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com



a) x +√

4− x2 = 2 + 3x√

4− x2. b) (x− 3) (x + 1) + 4 (x− 3)√

x+1x−3 = −3.

c)4

x2+

x2

4− x2+

5

2

(√4− x2

x+

x√4− x2

)+ 2 = 0. d) (B-2011) 3

√2 + x−6

√2− x+4

√4− x2 = 10−3x.

Lời giải.a) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Đặt x +

√4− x2 = t⇒ x

√4− x2 = t2−4

2 . Phương trình trở thành

t = 2 +3(t2 − 4

)2

⇔ 3t2 − 2t− 8 = 0⇔[

t = 2t = − 4

3

Với t = 2⇒√

4− x2 = 2− x⇔ 4− x2 = 4− 4x + x2 ⇔[

x = 0x = 2

(thỏa mãn).

Với t = − 43 ⇒

√4− x2 = − 4

3 − x⇔{

x ≤ − 43

9(4− x2

)= (4 + 3x)

2 ⇔{

x ≤ − 43

x = −2±√14

3

⇔ x = −2−√14

3 (thỏa mãn).

b) Điều kiện:[

x > 3x ≤ −1

. Đặt (x− 3)√

x+1x−3 = t⇒ (x− 3) (x + 1) = t2.

Phương trình trở thành t2 + 4t + 3 = 0⇔[

t = −1t = −3

.

Với t = −1⇒ (x− 3)√

x+1x−3 = −1⇔

{x < 3(x− 3) (x + 1) = 1

⇔{

x < 3

x = 1±√

5⇔ x = 1−

√5 (thỏa mãn).

Với t = −3⇒ (x− 3)√

x+1x−3 = −3⇔

{x < 3(x− 3) (x + 1) = 9

⇔{

x < 3

x = 1±√

13⇔ x = 1−

√13 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1−√

5, x = 1−√

13.

c) Điều kiện: −2 < x < 2, x 6= 0. Đặt√

4− x2

x+

x√4− x2

= t⇒ 4− x2

x2+

x2

4− x2= t2−2⇔ 4

x2+

x2

4− x2= t2−1.

Phương trình trở thành t2 − 1 +5

2t + 2 = 0⇔

[t = −2t = − 1

2

.

Với t = −2⇒√

4− x2

x+

x√4− x2

= −2⇔ 4 = −2x√

4− x2 ⇔{

x < 0

x = ±√

2⇔ x = −

√2 (thỏa mãn).

Với t = −1

2⇒√

4− x2

x+

x√4− x2

= −1

2⇔ 4 = −1

2x√

4− x2 ⇔{

x < 0x4 − 4x2 + 64 = 0

(vô nghiệm).

d) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Phương trình tương đương với 3(√

2 + x− 2√

2− x)

+ 4√

4− x2 = 10− 3x.

Đặt√

2 + x− 2√

2− x = t⇒ 4√

4− x2 = 10− 3x− t2. Phương trình trở thành 3t− t2 = 0⇔[

t = 0t = 3

.

Với t = 0⇒√

2 + x = 2√

2− x⇔ 2 + x = 4 (2− x)⇔ x = 65 (thỏa mãn).

Với t = 3⇒√

2 + x = 2√

2− x + 3⇔ 12√

2− x = 5x− 15 (vô nghiệm vì 5x− 15 < 0,∀x ∈ [−2; 2]).Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6

5 .

Bài tập 2.23. Giải các phương trình saua) x2 + 3x + 2 ≥ 2

√x2 + 3x + 5. b) x2 +

√2x2 + 4x + 3 ≥ 6− 2x.

c) x (x + 1)−√x2 + x + 4 + 2 ≥ 0. d) x2 − 2x + 8− 6

√(4− x) (2 + x) ≤ 0.

e)x

x + 1− 2

√x + 1

x> 3. f)

√x + 2 +

√x− 1 + 2

√x2 + x− 2 ≤ 11− 2x.

Lời giải.

a) Đặt√x2 + 3x + 5 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t2 − 3 ≥ 2t⇔

[t ≥ 3t ≤ −1 (loại) .

Với t ≥ 3⇒ x2 + 3x + 5 ≥ 9⇔[

x ≥ 1x ≤ −4

. Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞;−4] ∪ [1; +∞).

b) Đặt√

2x2 + 4x + 3 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t2−32 + t ≥ 6⇔

[t ≥ 3t ≤ −5 (loại) .

Với t ≥ 3⇒ 2x2 + 4x + 3 ≥ 9⇔[

x ≥ 1x ≤ −3


c) Đặt√x2 + x + 4 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t2 − 4− t + 2 ≥ 0⇔

[t ≥ 2t ≤ −1 (loại) .

Với t ≥ 2⇒ x2 + x + 4 ≥ 4⇔[

x ≥ 0x ≤ −1


d) Bất phương trình tương đương với x2 − 2x + 8− 6√

8 + 2x− x2 ≤ 0.

16

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Đặt√

8 + 2x− x2 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành 8− t2 + 8− 6t ≤ 0⇔[

t ≥ 2t ≤ −8 (loại) .

Với t ≥ 2⇒ 8 + 2x− x2 ≥ 4⇔ 1−√

5 < x < 1 +√

5.Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =

(1−√

5; 1 +√

5).

e) Điều kiện:[

x > 0x < −1

. Đặt

√x + 1

x= t (t > 0). Bất phương trình trở thành

1

t2− 2t > 3⇔ 2t3 + 3t2 − 1 < 0⇔ (t + 1)

2(2x− 1) < 0⇔ t <

1

2

Với t <1

2⇒ x + 1

x<

1

4⇔ 3x + 4

4x< 0⇔ −4

3< x < 0.

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =(− 4

3 ;−1).

f) Điều kiện: x ≥ 1. Đặt√x + 2 +

√x− 1 = t (t ≥ 0)⇒ 2

√(x + 2) (x− 1) = t2 − 2x− 1.

Bất phương trình trở thành t + t2 ≤ 12⇔ −4 ≤ t ≤ 3⇔ t ≤ 3 (vì t ≥ 0).

Với t ≤ 3⇒ 2√x2 + x− 2 ≤ 8− 2x⇔

{x ≤ 4x2 + x− 2 ≤ 16− 8x + x2 ⇔

{x ≤ 4x ≤ 2

⇔ x ≤ 2.

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [1; 2].

Bài tập 2.24. Giải các phương trình saua) x2 − 1 = 2x

√x2 − 2x. b) x2 − 1 = 2x

√x2 + 2x.

c) (4x− 1)√x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1. d) x2 + 4x = (x + 2)

√x2 − 2x + 24.

Lời giải.a) Đặt

√x2 − 2x = t (t ≥ 0)⇒ x2 = t2 + 2x. Phương trình trở thành

t2 + 2x− 1 = 2xt⇔ (t− 1) (t + 1) = 2x (t− 1)⇔ (t− 1) (t + 1− 2x) = 0⇔[

t = 1t = 2x− 1

Với t = 1⇒√x2 − 2x = 1⇔ x2 − 2x− 1 = 0⇔ x = 1±

√2.

Với t = 2x− 1⇒√x2 − 2x = 2x− 1⇔

{2x− 1 ≥ 0x2 − 2x = 4x2 − 4x + 1

⇔{

x ≥ 12

3x2 − 2x + 1 = 0(vô nghiệm).


2.b) Đặt

√x2 + 2x = t (t ≥ 0)⇒ x2 = t2 − 2x. Phương trình trở thành

t2 − 2x− 1 = 2xt⇔ (t− 1) (t + 1) = 2x (t + 1)⇔ (t + 1) (t− 1− 2x) = 0⇔[

t = −1 (loại)t = 2x + 1

Với t = 2x + 1⇒√x2 + 2x = 2x + 1⇔

{2x + 1 ≥ 0x2 + 2x = 4x2 + 4x + 1

⇔{

x ≥ 12

3x2 + 2x + 1 = 0(vô nghiệm).

Vậy phương trình vô nghiệm.c) Đặt

√x3 + 1 = t (t ≥ 0)⇒ x3 = t2 − 1. Phương trình trở thành

(4x− 1) t = 2(t2 − 1

)+ 2x + 1⇔ 2t2 − (4x− 1) t + 2x− 1 = 0⇔

[t = 1

2t = 2x− 1

Với t =1

2⇒√x3 + 1 =

1

2⇔ x3 = −3

4⇔ x = −

3√

6

2.

Với t = 2x− 1⇒√x3 + 1 = 2x− 1⇔

{2x− 1 ≥ 0x3 + 1 = 4x2 − 4x + 1

⇔

x ≥ 12[

x = 0x = 2

⇔ x = 2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3√62 , x = 2.

d) Đặt√x2 − 2x + 24 = t (t ≥ 0)⇒ x2 = t2 + 2x− 24. Phương trình trở thành

t2 + 2x− 24 + 4x = (x + 2) t⇔ t2 − (x + 2) t + 6x− 24 = 0⇔[

t = 6t = x− 4

Với t = 6⇒√x2 − 2x + 24 = 6⇔ x2 − 2x− 12 = 0⇔ x = 1±

√13.

Với t = x− 4⇒√x2 − 2x + 24 = x− 4⇔

{x− 4 ≥ 0x2 − 2x + 24 = x2 − 8x + 16

⇔{

x ≥ 4x = − 4

3

(vô nghiệm).


13.

Bài tập 2.25. Giải các phương trình saua) 3√

2− x = 1−√x− 1. b) (A-09) 2 3

√3x− 2 + 3

√6− 5x− 8 = 0.

c) 2(x2 + 2

)= 5√x3 + 1. d) 2

(x2 − 3x + 2

)= 3√x3 + 8.

17

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Lời giải.

a) Đặt 3√

2− x = u,√x− 1 = v (v ≥ 0)⇒ 2− x = u3, x− 1 = v2. Phương trình trở thành

{u = 1− v (1)u3 + v2 = 1 (2)

Thay (1) vào (2) ta có (1− v)3

+ v2 = 1⇔ 1− 3v + 3v2 − v3 + v2 = 1⇔

v = 0v = 1v = 3

⇒

x = 1x = 2x = 10

.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2, x = 10.

b) Đặt 3√

3x− 2 = u,√

6− 5x = v (v ≥ 0)⇒ 3x−2 = u3, 6−5x = v2. Phương trình trở thành{

2u + 3v − 8 = 0 (1)5u3 + 3v2 = 8 (2)

Từ (1)⇒ v =8− 2u

3vào (2) ta có

5u3 + 3

(8− 2u

3

)2

= 8⇔ 15u3 + 64− 32u + 4u2 = 24⇔ u = −2⇒ v = 4⇒ x = −2

Vậy phương trình nghiệm duy nhất x = −2.c) Phương trình tương đương với 2

(x2 + 2

)= 5√

(x + 1) (x2 − x + 1).Đặt√x + 1 = u,

√x2 − x + 1 = v (u ≥ 0, v > 0)⇒ u2 + v2 = x2 + 2. Phương trình trở thành

2(u2 + v2

)= 5uv ⇔ 2u2 − 5uv + 2v2 = 0⇔

[u = 2vv = 2u

Với u = 2v ⇒√x + 1 = 2

√x2 − x + 1⇔ x + 1 = 4

(x2 − x + 1

)⇔ 4x2 − 5x + 3 = 0 (vô nghiệm).

Với v = 2u⇒√x2 − x + 1 = 2

√x + 1⇔ x2 − x + 1 = 4 (x + 1)⇔ x = 5±

√37

2 .

Vậy phương trình có hai nghiệm x =5±√

37

2.

d) Phương trình tương đương với 2(x2 − 3x + 2

)= 3√

(x + 2) (x2 − 2x + 4).Đặt√x + 2 = u,

√x2 − 2x + 4 = v (u ≥ 0, v > 0)⇒ v2 − u2 = x2 − 3x + 2. Phương trình trở thành

2(v2 − u2

)= 3uv ⇔ 2u2 + 3uv − 2v2 = 0⇔

[u = −2v (loại)v = 2u

Với v = 2u⇒√x2 − 2x + 4 = 2

√x + 2⇔ x2 − 2x + 4 = 4 (x + 2)⇔ x = 3±

√13.


13.

Bài tập 2.26. Giải các phương trình saua) x2 +

√x + 5 = 5. b) x3 + 2 = 3 3

√3x− 2.

c) x3 + 1 = 2 3√

2x− 1. d) x 3√

35− x3(x + 3√

35− x3)

= 30.

Lời giải.

a) Đặt√x + 5 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành

{x2 = −t + 5 (1)t2 = x + 5 (2) .

Trừ theo vế (2) và (1) ta có t2 − x2 = x + t⇔ (x + t) (t− x− 1) = 0⇔[

t = −xt = x + 1

.

Với t = −x⇒√x + 5 = −x⇔

{−x ≥ 0x + 5 = x2 ⇔

{x ≤ 0

x = 1±√21

2

⇔ x =1−√

21

2.

Với t = x + 1⇒√x + 5 = x + 1⇔

{x + 1 ≥ 0x + 5 = x2 + 2x + 1

⇔{

x ≥ −1

x = −1±√17

2

⇔ x =−1 +

√17

2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x =1−√

21

2, x =

−1 +√

17

2.

b) Đặt 3√

3x− 2 = t. Phương trình trở thành{

x3 + 2 = 3t (1)t3 + 2 = 3x (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có

x3 − t3 = 3t− 3x⇔ (x− t)(x2 + xt + t2

)= 3 (t− x)

⇔ (x− t)(x2 + xt + t2 + 3

)= 0⇔

[x = tx2 + xt + t2 + 3 = 0 (vô nghiệm)

Với t = x⇒ 3√

3x− 2 = x⇔ 3x− 2 = x3 ⇔[

x = 1x = −2

. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2.

c) Đặt 3√

2x− 1 = t. Phương trình trở thành{

x3 + 1 = 2t (1)t3 + 1 = 2x (2) .

18

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com



x3 − t3 = 2t− 2x⇔ (x− t)(x2 + xt + t2

)= 2 (t− x)

⇔ (x− t)(x2 + xt + t2 + 2

)= 0⇔

[x = tx2 + xt + t2 + 2 = 0 (vô nghiệm)

Với t = x⇒ 3√

2x− 1 = x⇔ 2x− 1 = x3 ⇔[

x = 1

x = −1±√5

2

.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x =−1±

√5

2.

d) Đặt 3√

35− x3 = t. Phương trình trở thành{xt(x + t) = 30t3 + x3 = 35

⇔{

xt(x + t) = 30

(t + x)3 − 3xt (x + t) = 35

⇔{

xt(x + t) = 30

(t + x)3

= 125⇔{

xt = 6t + x = 5

⇒[

x = 2x = 3


Bài tập 2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau

a) (B-2012) x + 1 +√x2 − 4x + 1 ≥ 3

√x. b) (A-2010)

x−√x

1−√

2 (x2 − x + 1)≥ 1.

c) 3√x2 − 2 =

√2− x3. d) x +

√3 (1− x2) = 2

(1− 2x2

).

Lời giải.

a) Điều kiện:[

0 ≤ x ≤ 2−√

3

x ≥ 2 +√

3. Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của bất phương trình.

Với x > 0, bất phương trình tương đương với√x +

1√x

+

√x +

1

x− 4 ≥ 3.

Đặt√x +

1√x

= t (t > 0)⇒ x + 1x = t2 − 2, bất phương trình trở thành

√t2 − 6 ≥ 3− t⇔

3− t < 0{3− t ≥ 0t2 − 6 ≥ 9− 6t + t2

⇔[

t > 352 ≤ t ≤ 3

⇔ t ≥ 5

2

Với t ≥ 5

2⇒√x +

1√x≥ 5

2⇔ 2x− 5

√x + 2 ≥ 0⇔

[ √x ≥ 2√x ≤ 1

2

⇔[

x ≥ 40 < x ≤ 1

4

.

Kết hợp ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =[0; 1

4

]∪ [4; +∞).

b) Điều kiện: x ≥ 0. Nhận thấy x2 − x + 1 ≥ 34 ⇒

√2 (x2 − x + 1) > 1. Do đó PT tương đương với

x−√x ≤ 1−

√2 (x2 − x + 1)⇔

√2x2 − 2x + 2 ≤ 1 +

√x− x

⇔{

1 +√x− x ≥ 0

2x2 − 2x + 2 ≤ 1 + x + x2 + 2√x− 2x− 2x

√x⇔{ √

x ≥ x− 11 + x + x2 − 2

√x− 2x + 2x

√x ≤ 0

⇔{ √

x ≥ x− 1

(1−√x− x)

2 ≤ 0⇔{ √

x ≥ x− 11−√x− x = 0

⇔{ √

x ≥ x− 1√x = 1− x

⇔

√x ≥ x− 1

1− x ≥ 0x = 1− 2x + x2

⇔{

x ≤ 1

x = 3±√5

2

⇔ x =3−√

5

2

c) Điều kiện: x ≤ 3√

2. Nhận thấy√

2− x3 ≥ 0⇒ 3√x2 − 2 ≥ 0⇔

[x ≥√

2

x ≤ −√

2.

Từ điều kiện ta có x ≤ −√

2. Khi đó phương trình tương đương với(x2 − 2

)2=(2− x3

)3⇔ x4 − 4x2 + 4 = 8− 12x3 + 6x6 − x9 = 0⇔ x9 − 6x6 + x4 + 12x3 − 4x2 − 4 = 0

⇔ x9 − 5x6 −(x3 − 1

2x

)2

+ 12x3 − 15

4x2 − 4 = 0 (vô nghiệm).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài tập 2.28. Giải các phương trình saua)√

4x− 1 +√

4x2 − 1 = 1. b)√x− 1 = −x3 − 4x + 5.

c)√

2x− 1 +√x2 + 3 = 4− x. d) x5 + x3 −

√1− 3x + 4 = 0.

e) x3 + 4x− (2x + 7)√

2x + 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x3 + x− (x + 1)√

2x + 1 = 0.

19

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Lời giải.a) Điều kiện: x ≥ 1

2 . Nhận thấy x = 12 là một nghiệm của phương trình.

Xét hàm số y =√

4x− 1 +√

4x2 − 1 trên[12 ; +∞

)có y′ = 2√

4x−1 + 4x√4x2−1 > 0,∀x ∈

(12 ; +∞

).

Do đó hàm số đồng biến trên[12 ; +∞

)suy ra x = 1

2 là nghiệm duy nhất của phương trình.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

2 .b) Điều kiện: x ≥ 1. Phương trình tương đương với

√x− 1 + x3 + 4x = 5.

Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.Xét hàm số y =

√x− 1 + x3 + 4x trên [1; +∞) có y′ = 1

2√x−1 + 3x2 + 4 > 0,∀x ∈ (1; +∞).

Do đó hàm số đồng biến trên [1; +∞) suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.c) Điều kiện: x ≥ 1

2 . Phương trình tương đương với√

2x− 1 +√x2 + 3 + x = 4.

Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.Xét hàm số y =

√2x− 1 +

√x2 + 3 + x trên

[12 ; +∞

)có y′ = 1√

2x−1 + x√x2+3

+ 1 > 0,∀x ∈(12 ; +∞

).

Do đó hàm số đồng biến trên[12 ; +∞

)suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.d) Điều kiện: x ≤ 1

3 . Nhận thấy x = −1 là một nghiệm của phương trình.Xét hàm số y = x5 + x3 −

√1− 3x + 4 trên

(−∞; 1

3

]có y′ = 5x4 + 3x2 + 3

2√1−3x > 0,∀x ∈

(−∞; 1

3

).

Do đó hàm số đồng biến trên(−∞; 1

3

]suy ra x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1.e) Đặt

√2x + 3 = u (u ≥ 0). Phương trình trở thành x3 + 4x−

(u2 + 4

)u = 0⇔ x3 + 4x = u3 + 4u.

Xét hàm số f(t) = t3 + 4t trên [0; +∞) có f ′(t) = 3t2 + 4 > 0,∀t ∈ [0; +∞).Do đó phương trình tương đương với

u = x⇒√

2x + 3 = x⇔{

x ≥ 02x + 3 = x2 ⇔ x = 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.f) Điều kiện: x ≥ − 1

2 . Phương trình tương đương với 8x3 + 2x = (2x + 2)√

2x + 1.Đặt√

2x + 1 = u (u ≥ 0). Phương trình trở thành 8x3 + 2x =(u2 + 1

)u⇔ (2x)

3+ 2x = u3 + u.

Xét hàm số f(t) = t3 + t trên [0; +∞) có f ′(t) = 3t2 + 1 > 0,∀t ∈ [0; +∞).Do đó phương trình tương đương với

u = 2x⇒√

2x + 1 = 2x⇔{

x ≥ 02x + 1 = 4x2 ⇔ x =

1 +√

5

4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1 +√

5

4.

Bài tập 2.29. Giải các phương trình saua)√x2 − 2x + 5 +

√x− 1 = 2. b)

√x− 2 +

√4− x = x2 − 6x + 11.

c) 2(√

x− 2− 1)2

+√x + 6 +

√x− 2− 2 = 0. d)

√5x3 + 3x2 + 3x− 2 = 1

2x2 + 3x− 1

2 .

Lời giải.

a) Phương trình tương đương với√

(x− 1)2

+ 4 +√x− 1 = 2.

Ta có

{ √(x− 1)

2+ 4 ≥ 2√

x− 1 ≥ 0⇒√

(x− 1)2

+ 4 +√x− 1 ≥ 2.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

{ √(x− 1)

2+ 4 = 2√

x− 1 = 0⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.b) Ta có x2 − 6x + 11 = (x− 3)

2+ 2 ≥ 2 (1).

Xét hàm số y =√x− 2 +

√4− x trên [2; 4] có y′ =

1

2√x− 2

− 1

2√

4− x; y′ = 0⇔ x = 3.

Ta có y(2) =√

2, y(4) =√

2, y(3) = 2⇒ max[2;4]

y = y(3) = 2⇒√x− 2 +

√4− x ≤ 2 (2).

Từ (1) và (2) ta có phương trình tương đương với{

x2 − 6x + 11 = 2√x− 2 +

√4− x = 2

⇔ x = 3.


c) Điều kiện: x ≥ 2. Khi đó

2(√

x− 2− 1)2 ≥ 0√

x + 6 > 2√x− 2 ≥ 0

⇒ 2(√

x− 2− 1)2

+√x + 6 +

√x− 2 > 2.

20

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.d) Phương trình tương đương với

√(5x− 2) (x2 + x + 1) = 1

2

(x2 + 6x− 1

).

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có√

(5x− 2) (x2 + x + 1) ≤ 12

(x2 + 6x− 1

).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi√

5x− 2 =√x2 + x + 1⇔ x2 − 4x + 3 = 0⇔

[x = 1x = 3

.


§3. Hệ Phương Trình Đại Số

Bài tập 2.30. Giải các hệ phương trình sau

a){

x2 + y2 + xy = 7x + y + xy = 5

. b){

x + y + xy = 1

x3 + y3 + 3(x− y)2 − 4 = 0

.

c) (DB-05){

x2 + y2 + x + y = 4x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2

. d){

x2 − xy + y2 = 3 (x− y)

x2 + xy + y2 = 7(x− y)2 .

Lời giải.

a) Hệ đã cho tương đương với{

(x + y)2 − xy = 7

x + y + xy = 5.

Đặt x + y = S, xy = P (S2 ≥ 4P ). Hệ trở thành{

S2 − P = 7 (1)S + P = 5 (2) .

Từ (2)⇒ P = 5− S thay vào (1) ta có S2 + S − 12 = 0⇔[

S = 3S = −4

.

Với S = 3⇒ P = 2⇒{

x + y = 3xy = 2

⇔{

x = 2y = 1

hoặc{

x = 1y = 2

. Với S = −4⇒ P = 9 (loại).

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (1; 2).

b) Hệ đã cho tương đương với{

x + y + xy = 1

(x + y)3 − 3xy (x + y) + 3(x + y)

2 − 12xy − 4 = 0.

Đặt x + y = S, xy = P (S2 ≥ 4P ). Hệ trở thành{

S + P = 1 (1)S3 − 3PS + 3S2 − 12P − 4 = 0 (2) .

Từ (1)⇒ P = 1− S thay vào (2) ta có S3 − 3S (1− S) + 3S2 − 12 (1− S)− 4 = 0⇔ S = 1.

Với S = 1⇒ P = 0⇒{

x + y = 1xy = 0

⇔{

x = 0y = 1

hoặc{

x = 1y = 0

.

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 1) và (x; y) = (1; 0).

c) Hệ đã cho tương đương với{

(x + y)2 − 2xy + x + y = 4

(x + y)2 − xy + x + y = 2

. Đặt x + y = S, xy = P (S2 ≥ 4P ).

Hệ trở thành{

S2 − 2P + S = 4S2 − P + S = 2

⇔{

P = −2S2 + S = 0

⇔{

S = 0P = −2

hoặc{

S = −1P = −2

.

Với{

S = 0P = −2

⇒{

x + y = 0xy = −2

⇔{

x =√

2

y = −√

2hoặc

{x = −

√2

y =√

2.

Với{

S = −1P = −2

⇒{

x + y = −1xy = −2

⇔{

x = 1y = −2

hoặc{

x = −2y = 1

.

Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =(√

2;−√

2), (x; y) =

(−√

2;√

2), (x; y) = (1;−2) và (x; y) = (−2; 1).

d) Hệ đã cho tương đương với{

(x− y)2

+ xy = 3 (x− y)

(x− y)2

+ 3xy = 7(x− y)2 ⇔

{(x− y)

2+ xy = 3 (x− y)

xy = 2(x− y)2 .

Đặt x− y = S, xy = P . Hệ trở thành{S2 + P = 3SP = 2S2 ⇔

{3S2 − 3S = 0P = 2S2 ⇔

{S = 0P = 0

hoặc{

S = 1P = 2

Với{

S = 0P = 0

⇒{

x− y = 0xy = 0

⇔{

x = 0y = 0

; với{

S = 1P = 2

⇒{

x− y = 1xy = 2

⇔{

x = 2y = 1

hoặc{

x = −1y = −2

.

Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−1;−2).


a){

x2 − 2y2 = 2x + yy2 − 2x2 = 2y + x

. b)

x− 3y =

4y

x

y − 3x =4x

y

.

21

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


c)

2x + y =

3

x2

2y + x =3

y2

. d) (B-03)

3y =

y2 + 2

x2

3x =x2 + 2

y2

.

Lời giải.

a) Xét hệ{

x2 − 2y2 = 2x + y (1)y2 − 2x2 = 2y + x (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x2 − 3y2 = x− y ⇔ (x− y) (3x + 3y − 1) = 0⇔[

x = yy = 1−3x

3

.

Với x = y thay vào (1) ta có −x2 = 3x⇔[

x = 0x = −3

⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) hoặc (x; y) = (−3;−3).

Với y = 1−3x3 thay vào (1) ta có x2 − 2(1− 3x)

2

9= 2x +

1− 3x

3⇔ 9x2 − 3x + 5 = 0 (vô nghiệm).

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−3;−3).


x2 − 3xy = 4y (1)y2 − 3xy = 4x (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có x2 − y2 = 4y − 4x⇔ (x− y) (x + y + 4) = 0⇔[

x = yy = −x− 4

.

Với x = y thay vào (1) ta có −2x2 = 4x⇔[

x = 0x = −2

⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) hoặc (x; y) = (−2;−2).

Với y = −x− 4 thay vào (1) ta có x2 − 3x (−x− 4) = 4 (−x− 4)⇔ x = −2⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2;−2).Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−2;−2).


2x3 + x2y = 3 (1)2y3 + xy2 = 3 (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x3 − 2y3 + x2y − xy2 = 0⇔ (x− y)(2x2 + 3xy + 2y2

)= 0⇔ x = y.

Với x = y thay vào (1) ta có 3x3 = 3⇔ x = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).

d) Từ vế phải của các phương trình ta có x, y > 0. Hệ đã cho tương đương với{

3x2y = y2 + 2 (1)3xy2 = x2 + 2 (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x2y − 3xy2 = y2 − x2 ⇔ (x− y) (3xy + x + y) = 0⇔ x = y.Với x = y thay vào (1) ta có 3x3 = x2 + 2⇔ x = 1. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).


a){

x2 − xy = 22x2 + 4xy − 2y2 = 14

. b){

x2 − 2xy + 3y2 = 9x2 − 4xy + 5y2 = 5

.

c){

x3 + y3 = 1x2y + 2xy2 + y3 = 2

. d) (DB-06){

(x− y)(x2 + y2

)= 13

(x + y)(x2 − y2

)= 25

.

Lời giải.


7x2 − 7xy = 14 (1)2x2 + 4xy − 2y2 = 14 (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có 5x2 − 11xy + 2y2 = 0⇔[

x = 2yy = 5x

.

Với x = 2y thay vào (1) ta có 14y2 = 14⇔ y = ±1⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) hoặc (x; y) = (−2;−1).Với y = 5x thay vào (1) ta có −28x2 = 14 (vô nghiệm).Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−2;−1).


5x2 − 10xy + 15y2 = 45 (1)9x2 − 36xy + 45y2 = 45 (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có −4x2 + 26xy − 30y2 = 0⇔[

x = 5yx = 3

2y.

Với x = 5y thay vào (1) ta có 90y2 = 45⇔ y = ± 1√2⇒ hệ có nghiệm (x; y) =

(± 5√

2;± 1√

2

).

Với y = 32x thay vào (1) ta có 95

4 x2 = 45⇔ x = ± 6√19⇒ hệ có nghiệm (x; y) =

(± 6√

19;± 9√

19

).

Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =(

5√2; 1√

2

), (x; y) =

(− 5√

2;− 1√

2

), (x; y) =

(6√19

; 9√19

)và (x; y) =

(− 6√

19;− 9√

19

).


2x3 + 2y3 = 2 (1)x2y + 2xy2 + y3 = 2 (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x3 − x2y − 2xy2 + y3 = 0⇔

x = yx = −yy = 2x

.

Với x = y thay vào (1) ta có 4x3 = 2⇔ x = 13√2⇒ hệ có nghiệm (x; y) =

(13√2

; 13√2

).

22

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Với x = −y thay vào (1) ta có 0 = 2 (vô nghiệm).Với y = 2x thay vào (1) ta có 18x3 = 2⇔ x = 1

3√9⇒ hệ có nghiệm (x; y) =

(13√9

; 23√9

).

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =(

13√2

; 13√2

)và (x; y) =

(13√9

; 23√9

).


x3 − x2y + xy2 − y3 = 13x3 + x2y − xy2 − y3 = 25

⇔{

25x3 − 25x2y + 25xy2 − 25y3 = 325 (1)13x3 + 13x2y − 13xy2 − 13y3 = 325 (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có 12x3 − 38x2y + 38xy2 − 12y3 = 0⇔

x = yx = 3

2yx = 2

3y.

Với x = y thay vào (1) ta có 0 = 325 (vô nghiệm).Với x = 3

2y thay vào (1) ta có 3258 y3 = 325⇔ y = 2⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (3; 2).

Với x = 23y thay vào (1) ta có − 325

27 y3 = 325⇔ y = −3⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2;−3).Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (3; 2) và (x; y) = (−2;−3).


a){

x + y = −1x3 − 3x = y3 − 3y

. b) (DB-06){

x2 + 1 + y (y + x) = 4y(x2 + 1

)(y + x− 2) = y

.

c) (B-08){

x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9x2 + 2xy = 6x + 6

. d) (D-09){

x (x + y + 1)− 3 = 0

(x + y)2 − 5

x2 + 1 = 0.

Lời giải.

a) Xét hệ{

x + y = −1 (1)x3 − 3x = y3 − 3y (2) . Từ (1)⇒ y = −x− 1 thay vào (2) ta có

x3 − 3x = (−x− 1)3 − 3 (−x− 1)⇔ 2x3 + 3x2 − 3x− 2 = 0⇔

x = −2x = 1x = − 1

2

Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1;−2) và (x; y) =(− 1

2 ; 12

).

b) Xét hệ{

x2 + 1 + y(y + x) = 4y (1)(x2 + 1)(y + x− 2) = y (2) . Từ (1)⇒ x2 + 1 = y(4− y − x) thay vào (2) ta có

y (4− y − x) (x + y − 2) = y ⇔ y(

(x + y)2 − 6(x + y) + 9

)= 0⇔

[y = 0y = 3− x

Với y = 0 thay vào (1) ta có x2 + 1 = 0 (vô nghiệm).

Với y = 3− x thay vào (1) ta có x2 + x− 2 = 0⇔[

x = 1x = −2

.

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 2) và (x; y) = (−2; 5).


(x2 + xy)2 = 2x + 9 (1)x2 + 2xy = 6x + 6 (2) . Từ (2)⇒ xy =

6x + 6− x2

2thay vào (1) ta có

(x2 +

6x + 6− x2

2

)2

= 2x + 9⇔ x4 + 12x3 + 48x2 + 64x = 0⇔[

x = 0x = −4

Với x = 0 thay vào (2) ta có 0 = 6 (vô nghiệm).Với x = −4 thay vào (2) ta có y = 174 .

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =(−4; 17

4

).

d) Xét hệ{

x(x + y + 1)− 3 = 0 (1)(x + y)2 − 5

x2 + 1 = 0 (2) . Từ (1)⇒ x + y =3

x− 1 thay vào (2) ta có

(3

x− 1

)2

− 5

x2+ 1 = 0⇔ 4

x2− 6

x+ 2 = 0⇔

{x 6= 02x2 − 6x + 4 = 0

⇔[

x = 1x = 2

Với x = 1 thay vào (1) ta có y = 1; x = 2 thay vào (1) ta có y = − 32 .

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =(2;− 3

2

).


a) (B-02){

3√x− y =

√x− y

x + y =√x + y + 2

. b) (A-03){

x− 1x = y − 1

y

2y = x3 + 1.

c){

x2 + y2 + 2xyx+y = 1√

x + y = x2 − y. d)

{6x2 − 3xy + x + y = 1x2 + y2 = 1

.

23

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Lời giải.

a) Xét hệ{

3√x− y =

√x− y (1)

x + y =√x + y + 2 (2) . Điều kiện: x− y ≥ 0, x + y + 2 ≥ 0.

Ta có (1)⇔ (x− y)2

= (x− y)3 ⇔ (x− y)

2(x− y − 1) = 0⇔

[x = yx = y + 1

.

Với x = y thay vào (2) ta có 2y =√

2y + 2⇔{

y ≥ 04y2 = 2y + 2

⇔ y = 1⇒ x = 1 (thỏa mãn).

Với x = y + 1 thay vào (2) ta có 2y + 1 =√

2y + 3⇔{

2y + 1 ≥ 04y2 + 4y + 1 = 2y + 3

⇔ y = 12 ⇒ x = 3

2 (thỏa mãn).

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =(32 ; 1

2

).

b) Xét hệ{

x− 1x = y − 1

y (1)2y = x3 + 1 (2)

. Điều kiện: x 6= 0, y 6= 0.

Ta có (1)⇔ x2y − y = xy2 − x⇔ xy (x− y) + x− y = 0⇔ (x− y) (xy + 1) = 0⇔[

y = xy = − 1

x

.

Với y = x thay vào (2) ta có 2x = x3 + 1⇔[

x = 1

x = −1±√5

2

.

Suy ra hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) =(−1±

√5

2 ; −1±√5

2

).

Với y = − 1x thay vào (2) ta có − 2

x = x3 + 1⇔ x4 + x + 2 = 0⇔(x2 − 1

2

)2+(x + 1

2

)2+ 3

2 = 0 (vô nghiệm).

Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =(−1±

√5

2 ; −1±√5

2

).

c) Xét hệ{

x2 + y2 + 2xyx+y = 1 (1)√

x + y = x2 − y (2). Điều kiện: x + y > 0. Ta có

(1)⇔[(x + y)

2 − 2xy]

(x + y) + 2xy = x + y

⇔ (x + y)[(x + y)

2 − 1]− 2xy (x + y − 1) = 0

⇔ (x + y − 1) [(x + y) (x + y + 1)− 2xy] = 0

⇔ (x + y − 1)(x2 + y2 + x + y

)= 0⇔

[y = 1− xx2 + y2 + x + y = 0 (vô nghiệm)

Với y = 1− x thay vào (2) ta có x2 + x− 2 = 0⇔[

x = 1x = −2

.

Vậy hệ có hai nghiệm (1; 0) và (−2; 3).


6x2 − (3y − 1)x + y − 1 = 0 (1)x2 + y2 = 1 (2) .

Xét phương trình (1) có ∆ = (3y − 1)2 − 24 (y − 1) = 9y2 − 30y + 25 = (3y − 5)

2.

Do đó (1)⇔[

x = 3y−1−3y+512

x = 3y−1+3y−512

⇔[

x = 13

x = 12 (y − 1)

.

Với x = 13 thay vào (2) ta có 1

9 + y2 = 1⇔ y = ± 2√2

3 .

Với x = 12 (y − 1) thay vào (2) ta có 1

4

(y2 − 2y + 1

)+ y2 = 1⇔

[y = 1y = − 3

5

.

Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =(

13 ; 2√2

3

), (x; y) =

(13 ;− 2

√2

3

), (x; y) = (0; 1) và (x; y) =

(− 4

5 ;− 35

).


a) (DB-07){

x4 − x3y − x2y2 = 1x3y − x2 − xy = −1

. b) (D-08){

xy + x + y = x2 − 2y2

x√

2y − y√x− 1 = 2x− 2y

.

c) (D-2012){

xy + x− 2 = 02x3 − x2y + x2 + y2 − 2xy − y = 0

. d){

x3 + 2y2 = x2y + 2xy

2√

x2 − 2y − 1 + 3√y3 − 14 = x− 2

.

Lời giải.

a) Xét hệ{

x4 − x3y − x2y2 = 1 (1)x3y − x2 − xy = −1 (2) .

Ta có (2)⇔ x2 (xy − 1) = xy − 1⇔ (xy − 1)(x2 − 1

)= 0⇔

[x = ±1y = 1

x

.

Với x = 1 thay vào (1) ta có y2 + y = 0⇔[

y = 0y = −1

. Với x = −1 thay vào (1) ta có y2 − y = 0⇔[

y = 0y = 1

.

Với y = 1x thay vào (1) ta có x4 − x2 − 2 = 0⇔ x2 = 2⇔ x = ±

√2⇒ y = ± 1√

2.

24

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Vậy hệ có sáu nghiệm{

x = 1y = 0

,

{x = 1y = −1

,

{x = −1y = 0

,

{x = −1y = 1

,

{x =√

2

y =√

2và

{x = 1√

2

y = − 1√2

.

b) Xét hệ{

xy + x + y = x2 − 2y2 (1)x√

2y − y√x− 1 = 2x− 2y (2) . Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0.

Ta có (1)⇔ y (x + y) + x + y = (x− y) (x + y)⇔ (x + y) (y + 1− x + y) = 0⇔ x = 2y + 1.Với x = 2y + 1 thay vào (2) ta có

(2y + 1)√

2y − y√

2y = 2y + 2⇔ (y + 1)√

2y = 2 (y + 1)⇔√

2y = 2⇔ y = 2⇒ x = 5

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; 2).

c) Xét hệ{

xy + x− 2 = 0 (1)2x3 − x2y + x2 + y2 − 2xy − y = 0 (2) .

Ta có (2)⇔ 2x(x2 − y

)− y

(x2 − y

)+ x2 − y = 0⇔

(x2 − y

)(2x− y + 1) = 0⇔

[y = x2

y = 2x + 1.

Với y = x2 thay vào (1) ta có x3 + x− 2 = 0⇔ x = 1⇒ y = 1.Với y = 2x + 1 thay vào (1) ta có 2x2 + 2x− 2 = 0⇔ x = −1±

√5

2 ⇒ y = ±√

5.

Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) , (x; y) =(−1+

√5

2 ;√

5)

và (x; y) =(−1−

√5

2 ;−√

5).

d) Xét hệ{

x3 + 2y2 = x2y + 2xy (1)2√

x2 − 2y − 1 + 3√y3 − 14 = x− 2 (2)

. Điều kiện: x2 ≥ 2y + 1.

Ta có (1)⇔ x2 (x− y) = 2y (x− y)⇔ (x− y)(x2 − 2y

)= 0⇔

[x = yx2 = 2y (loại) .

Với x = y thay vào (2) ta có 2√x2 − 2x− 1 + 3

√x3 − 14 = x− 2 (*).

Đặt√x2 − 2x− 1 = u ≥ 0, 3

√x3 − 14 = v ⇒ v3 − 6u2 = (x− 2)

3.Phương trình (*) trở thành v3 − 6u2 = (2u + v)

3 ⇔ 2u(u2 + 3(u + v)

2+ 3u

)= 0⇔ u = 0⇒ x = 1±

√2.

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =(1 +√

2; 1 +√

2)và (x; y) =

(1−√

2; 1−√

2).


a){

x2 + y2 + xy = 1x3 + y3 = x + 3y

. b){

x3 + 2xy2 + 12y = 08y2 + x2 = 12

.

c) (DB-06){

x3 − 8x = y3 + 2yx2 − 3 = 3

(y2 + 1

) . d) (A-2011){

5x2y − 4xy2 + 3y3 − 2 (x + y) = 0

xy(x2 + y2

)+ 2 = (x + y)

2 .

Lời giải.

a) Xét hệ{

x2 + y2 + xy = 1 (1)x3 + y3 = x + 3y (2) .

Thay (1) vào (2) ta có x3 + y3 =(x2 + y2 + xy

)(x + 3y)⇔ 4x2y + 4xy2 + 2y3 = 0⇔ y = 0.

Với y = 0 thay vào hệ ta có{

x2 = 1x3 = x

⇔ x = ±1. Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (−1; 0).

b) Xét hệ{

x3 + 2xy2 + 12y = 0 (1)8y2 + x2 = 12 (2) .

Thay (2) vào (1) ta có x3 + 2xy2 +(8y2 + x2

)y = 0⇔ x3 + x2y + 2xy2 + 8y3 = 0 (*)

Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ. Với y 6= 0, chia hai vế phương trình (*) cho y3 ta có(x

y

)3

+

(x

y

)2

+ 2x

y+ 8 = 0⇔ x

y= −2⇔ x = −2y

Với x = −2y thay vào (2) ta có 12y2 = 12⇔ y = ±1⇒ x = ∓2.Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2;−1) và (x; y) = (−2; 1).


x3 − y3 = 2 (4x + y)x2 − 3y2 = 6

⇔{

3x3 − 3y3 = 6 (4x + y) (1)x2 − 3y2 = 6 (2) .

Thay (2) vào (1) ta có 3x3 − 3y3 =(x2 − 3y2

)(4x + y)⇔ x3 + x2y − 12xy2 = 0 (*)

Nhận thấy x = 0 không phải nghiệm của hệ. Với x 6= 0, chia hai vế phương trình (*) cho x3 ta có

1 +y

x− 12

(yx

)2= 0⇔

[yx = 1

3yx = − 1

4

⇔[

x = 3yx = −4y

Với x = 3y thay vào (2) ta có 6y2 = 6⇔ y = ±1⇒ x = ±3.

Với x = −4y thay vào (2) ta có 13y2 = 6⇔ y = ±√

613 ⇒ x = ∓4

√614 .

Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 3) , (x; y) = (−1;−3) , (x; y) =(√

613 ;−4

√613

)và (x; y) =

(−√

613 ; 4

√613

).

25

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


d) Xét hệ{

5x2y − 4xy2 + 3y3 − 2 (x + y) = 0 (1)xy(x2 + y2

)+ 2 = (x + y)

2 (2).

Ta có (2)⇔ xy(x2 + y2

)+ 2 = x2 + y2 + 2xy ⇔

(x2 + y2

)(xy − 1) = 2 (xy − 1)⇔

[x = 1

y

x2 + y2 = 2.

Với x = 1y thay vào (1) ta có 3

y − 6y + 3y3 = 0⇔ 3y4 − 6y2 + 3 = 0⇔ y2 = 1⇔ y = ±1⇒ x = ±1.Với x2 + y2 = 2 (3) thay vào (1) ta có

5x2y − 4xy2 + 3y3 −(x2 + y2

)(x + y) = 0⇔ x3 − 4x2y + 5xy2 − 2y3 = 0 (*)

Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ. Với y 6= 0, chia hai vế phương trình (*) cho y3 ta có(x

y

)3

− 4

(x

y

)2

+ 5x

y− 2 = 0⇔

[ xy = 1xy = 2

⇔[

x = yx = 2y

Với x = y thay vào (3) ta có 2y2 = 2⇔ y = ±1⇒ x = ±1.

Với x = 2y thay vào (3) ta có 5y2 = 2⇔ y = ±√

25 ⇒ x = ±2

√25 .

Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 1), (x; y) = (−1;−1), (x; y) =(

2√

25 ;√

25

)và (x; y) =

(−2√

25 ;−

√25

).


a) (B-09){

xy + x + 1 = 7yx2y2 + xy + 1 = 13y2

. b){

2x2 + x− 1y = 2

y − y2x− 2y2 = −2.

c){

8x3y3 + 27 = 9y3

4x2y + 6x + y2 = 0. d)

{x3 − y3 = 9x2 + 2y2 = x− 4y

.

Lời giải.a) Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ. Với y 6= 0, hệ đã cho tương đương với

{x + x

y + 1y = 7

x2 + xy + 1

y2 = 13⇔

{x + 1

y + xy = 7(

x + 1y

)2− x

y = 13

Đặt x + 1y = S, x

y = P (S2 ≥ 4P ). Hệ trở thành{

S + P = 7 (1)S2 − P = 13 (2) .

Từ (1)⇒ P = 7− S thay vào (2) ta có S2 − (7− S) = 13⇔[

S = 4S = −5

.

Với S = 4⇒ P = 3⇒{

x + 1y = 4

xy = 3

⇔{

x = 1y = 1

3

hoặc{

x = 3y = 1

.

Với S = −5⇒ P = 12 (không thỏa mãn). Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =(1; 1

3

)và (x; y) = (3; 1).

b) Điều kiện: y 6= 0. Hệ đã cho tương đương với{

2x2 + x− 1y = 2

1y − x− 2 = − 2

y2

⇔{

2x2 + x− 1y = 2 (1)

2y2 + 1

y − x = 2 (2) .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x2 − 2y2 + 2x− 2

y = 0⇔(x− 1

y

)(x + 1

y + 1)

= 0⇔[ 1

y = x1y = −x− 1

.

Với 1y = x thay vào (1) ta có 2x2 = 2⇔ x = ±1⇒ y = ±1.

Với 1y = −x− 1 thay vào (1) ta có 2x2 + 2x− 1 = 0⇔ x = −1±

√3

2 ⇒ y = −1∓√3

2 .

Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−1;−1) , (x; y) =(−1+

√3

2 ; −1−√3

2

)và (x; y) =

(−1−

√3

2 ; −1+√3

2

).

c) Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ. Với y 6= 0, hệ đã cho tương đương với{

8x3y3 + 27 = 9y3 (1)36x2y2 + 54xy = −9y3 (2) .

Cộng theo vế (1) và (2) ta có 8x3y3 + 36x2y2 + 54xy + 27 = 0⇔ xy = − 32 .

Với xy = − 32 thay vào (1) ta có 0 = 9y3 ⇔ y = 0 (không thỏa mãn). Vậy hệ đã cho vô nghiệm.


x3 − y3 = 9 (1)3x2 + 6y2 = 3x− 12y (2) .


x3 − 3x2 + 3x− 1 = y3 + 6y2 + 12y + 8⇔ (x− 1)3

= (y + 2)3 ⇔ y = x− 3

Với y = x− 3 thay vào (2) ta có 3x2 + 6(x− 3)2

= 3x− 12 (x− 3)⇔ 9x2 − 27x + 18 = 0⇔[

x = 1x = 2

.

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1;−2) và (x; y) = (2;−1).

26

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com



a){

x (3x + 2y) (x + 1) = 12x2 + 2y + 4x− 8 = 0

. b){

x + y −√xy = 3√x + 1 +

√y + 1 = 4

.

c) (CĐ-2010){

2√

2x + y = 3− 2x− yx2 − 2xy − y2 = 2

. d) (DB-05){ √

2x + y + 1−√x + y = 1

3x + 2y = 4.

e){

x2 + y2 = 5√y − 1 (x + y − 1) = (y − 2)

√x + y

. f) (A-08){

x2 + y + x3y + xy2 + xy = − 54

x4 + y2 + xy (1 + 2x) = − 54

.

Lời giải.


(3x + 2y)(x2 + x

)= 12

x2 + x + 3x + 2y = 8.

Đặt 3x + 2y = S, x2 + x = P , hệ trở thành{

SP = 12S + P = 8

⇔{

S = 2P = 6

hoặc{

S = 6P = 2

.

Với{

S = 2P = 6

⇒{

3x + 2y = 2x2 + x = 6

⇔

3x + 2y = 2[x = 2x = −3

⇔{

x = 2y = −2

hoặc{

x = −3y = 11

2

.

Với{

S = 6P = 2

⇒{

3x + 2y = 6x2 + x = 2

⇔

3x + 2y = 2[x = 1x = −2

⇔{

x = 1y = − 1

2

hoặc{

x = −2y = 4

.

Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (2;−2) , (x; y) =(−3; 11

2

), (x; y) =

(1;− 1

2

)và (x; y) = (−2; 4).

b) Điều kiện: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ 0. Hệ đã cho tương đương với{

x + y −√xy = 3x + y + 2

√x + y + xy + 1 = 14

.

Đặt x + y = S,√xy = P (P ≥ 0), hệ trở thành

{S − P = 3 (1)S + 2

√S + P 2 + 1 = 14 (2)

.

Từ (1)⇒ S = P + 3 thay vào (2) ta có

P + 3 + 2√P + 3 + P 2 + 1 = 14⇔ 2

√P 2 + P + 4 = 11− P

⇔{

P ≤ 114(P 2 + P + 4

)= 121− 22P + P 2 ⇔

[P = 3P = − 35

3 (loại)

Với P = 3⇒ S = 6⇒{

x + y = 6√xy = 3

⇔{

x = 3y = 3

. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 3).


2√

2x + y = 3− (2x + y) (1)x2 − 2xy − y2 = 2 (2) .

Đặt√

2x + y = t (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành 2t = 3− t2 ⇔[

t = 1t = −3 (loại) .

Với t = 1⇒ y = 1− 2x thay vào (2) ta có x2 − 2x (1− 2x)− (1− 2x)2

= 2⇔[

x = 1x = −3

.

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1;−1) và (x; y) = (−3; 7).

d) Đặt√

2x + y + 1 = u,√x + y = v (u, v ≥ 0)⇒ 3x+2y = u2+v2−1. Hệ đã cho trở thành

{u− v = 1 (1)u2 + v2 = 5 (2) .

Từ (1)⇒ u = v + 1 thay vào (2) ta có (v + 1)2

+ v2 = 5⇔[

v = 1v = −2 (loại) .

Với v = 1⇒ u = 2⇒{ √

2x + y + 1 = 2√x + y = 1

⇔{

x = 2y = −1

. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (2;−1).

e) Điều kiện: y ≥ 1, x + y ≥ 0. Xét hệ{

x2 + y2 = 5 (1)√y − 1 (x + y − 1) = (y − 2)

√x + y (2) .

Đặt√y − 1 = u,

√x + y = v (u, v ≥ 0). Phương trình (2) trở thành

u(v2 − 1

)=(u2 − 1

)v ⇔ uv (u− v) + u− v = 0⇔ (u− v) (uv + 1) = 0⇔ u = v

Với u = v ⇒ y − 1 = x + y ⇔ x = −1. Với x = −1 thay vào (1) ta có 1 + y2 = 5⇔[

y = 2y = −2 (loại) .

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (−1; 2).

f) Hệ đã cho tương đương với{

x2 + y + xy(x2 + y

)+ xy = − 5

4(x2 + y

)2+ xy = − 5

4

.

Đặt x2 + y = S, xy = P , hệ trở thành{

S + PS + P = − 54 (1)

S2 + P = − 54 (2) .

Từ (2)⇒ P = −S2 − 54 thay vào (1) ta có S +

(−S2 − 5

4

)S − S2 − 5

4 = − 54 ⇔

[S = 0S = − 1

2

.

27

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Với S = 0⇒ P = − 54 ⇒

{x2 + y = 0xy = − 5

4

⇔

{x =

3√102

y = −3√1004

.

Với S = − 12 ⇒ P = − 3

2 ⇒{

x2 + y = − 12

xy = − 32

⇔{

x = 1y = − 3

2

.

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =(

3√102 ;−

3√1004

)và (x; y) =

(1;− 3

2

).


a){ √

x + 10 +√y − 1 = 11√

x− 1 +√y + 10 = 11

. b){ √

x− 1−√y = 8− x3

(x− 1)4

= y.

c) (A-2012){

x3 − 3x2 − 9x + 22 = y3 + 3y2 − 9yx2 + y2 − x + y = 1

2

. d) (A-2010){ (

4x2 + 1)x + (y − 3)

√5− 2y = 0

4x2 + y2 + 2√

3− 4x = 7.

Lời giải.

a) Điều kiện: x, y ≥ 1. Xét hệ{ √

x + 10 +√y − 1 = 11 (1)√

x− 1 +√y + 10 = 11 (2)

.

Trừ theo vế (1) và (2) ta có√x + 10−

√x− 1 =

√y + 10−

√y − 1 (*).

Xét hàm số f(t) =√t + 10−

√t− 1 trên [1; +∞) có f ′(t) = 1

2√t+10

− 12√t−1 < 0,∀t ∈ (1; +∞).

Suy ra f(t) luôn nghịch biến trên [1; +∞). Do đó (∗)⇔ f(x) = f(y)⇔ x = y.Với x = y thay vào (1) ta có

√x + 10 +

√x− 1 = 11⇔ x + 10 + x− 1 + 2

√(x + 10) (x− 1) = 121

⇔√

x2 + 9x− 10 = 56− x⇔{

x ≤ 56

x2 + 9x− 10 = (56− x)2 ⇔ x = 26 (thỏa mãn)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (26; 26).

b) Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0. Xét hệ{ √

x− 1−√y = 8− x3 (1)(x− 1)

4= y (2)

.

Thay (2) vào (1) ta có√x− 1− (x− 1)

2= 8− x3 ⇔

√x− 1 + x3 − x2 + 2x− 9 = 0 (*).

Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình (*).Xét hàm số f(x) =

√x− 1 + x3 − x2 + 2x− 9 trên [1; +∞) có f ′(x) = 1

2√x−1 + 3x2 − 2x + 2 > 0,∀x ∈ (1; +∞).

Suy ra f(x) luôn đồng biến trên [1; +∞). Do đó (*) có nghiệm duy nhất x = 2⇒ y = 1.Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1).

c) Hệ đã cho tương đương với

{(x− 1)

3 − 12 (x− 1) = (y + 1)3 − 12 (y + 1) (1)(

x− 12

)2+(y + 1

2

)2= 1 (2)

.

Từ (2) suy ra{−1 ≤ x− 1

2 ≤ 1−1 ≤ y + 1

2 ≤ 1⇔{− 3

2 ≤ x− 1 ≤ 12

− 12 ≤ y + 1 ≤ 3

2

.

Xét hàm số f(t) = t3 − 12t trên[− 3

2 ; 32

]có f ′(t) = 3t2 − 12 < 0,∀t ∈

[− 3

2 ; 32

].

Suy ra f(t) luôn nghịch biến trên[− 3

2 ; 32

]. Do đó (1)⇔ f(x− 1) = f(y + 1)⇔ x− 1 = y + 1⇔ y = x− 2.

Với y = x− 2 thay vào (2) ta có(x− 1

2

)2+(x− 3

2

)2= 1⇔ 4x2 − 8x + 3 = 0⇔

[x = 1

2x = 3

2

.

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =(12 ;− 3

2

)và (x; y) =

(32 ;− 1

2

).

d) Điều kiện: x ≤ 34 , y ≤

52 . Hệ đã cho tương đương với

{ (4x2 + 1

)2x = (6− 2y)

√5− 2y (1)

4x2 + y2 + 2√

3− 4x = 7 (2) .

Đặt√

5− 2y = u (u ≥ 0), phương trình (1) trở thành(4x2 + 1

)2x =

(u2 + 1

)u⇔ (2x)

3+ 2x = u3 + u (*).

Xét hàm số f(t) = t3 + t trên [0; +∞) có f ′(t) = 3t2 + 1 > 0,∀t ∈ [0; +∞).

Suy ra f(t) luôn đồng biến trên [0; +∞). Do đó (∗)⇔ f(2x) = f(u)⇔ 2x = u⇒ 2x =√

5− 2y ⇔{

x ≥ 0

y = 5−4x2

2

.

Với y = 5−4x2

2 thay vào (2) ta có 4x2 +(

5−4x2

2

)2+ 2√

3− 4x− 7 = 0⇔ 4x4 − 6x2 + 2√

3− 4x− 34 = 0 (**).

Nhận thấy x = 12 là một nghiệm của phương trình (**).

Xét hàm số f(x) = 4x4 − 6x2 + 2√

3− 4x− 34 trên

[0; 3

4

].

Ta có f ′(x) = 16x3 − 12x− 4√3−4x = 4x

(4x2 − 3

)− 4√

3−4x < 0,∀x ∈[0; 3

4

]⇒ f(x) đồng biến trên

[0; 3

4

].

Do đó phương trình (**) có nghiệm duy nhất x = 12 ⇒ y = 2.

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) =(12 ; 2).

28

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


§4. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số

Bài tập 2.40. Tìm m để phương trình(m−

√5)x2 − 3mx + m + 1 = 0.

a) Có nghiệm. b) Vô nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải. Với m =√

5, phương trình trở thành −3√

5x +√

5 + 1 = 0.Với m 6= 0, ta có ∆ = 9m2 − 4

(m−

√5)

(m + 1) = 5m2 +(4√

5− 4)m + 4

√5 > 0,∀m 6=

√5.

a) Phương trình có nghiệm với mọi m ∈ R.b) Không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm.c) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

(m−

√5)

(m + 1) < 0⇔ −1 < m <√

5.

Bài tập 2.41. Tìm m để phương trình x2 + 2 (m + 1)x + 9m− 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.

Lời giải. Ta có ∆′ = (m + 1)2 − (9m− 5) = m2 − 7m + 6.

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

∆′ > 0S < 0P > 0

⇔

m2 − 7m + 6 > 0−2 (m + 1) < 09m− 5 > 0

⇔

[

m > 6m < 1

m > −1m > 5

9

⇔[

m > 659 < m < 1

Vậy với m ∈(59 ; 1)∪ (6; +∞) thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.

Bài tập 2.42. Tìm m để phương trình (m− 2)x2 − 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.

Lời giải. Nhận thấy m = 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với m 6= 2 ta có ∆′ = m2− (m− 2) (m + 3) = 6−m.Khi đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

∆′ > 0S > 0P > 0

⇔

6−m > 02mm−2 > 0m+3m−2 > 0

⇔

m < 6[

m > 2m < 0[m > 2m < −3

⇔[

2 < m < 6m < −3

Vậy với m ∈ (−∞;−3) ∪ (2; 6) thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.

Bài tập 2.43. Tìm m để phương trình (m− 2)x4 − 2 (m + 1)x2 + 2m− 1 = 0.a) Có một nghiệm. b) Có hai nghiệm phân biệt. c) Có bốn nghiệm phân biệt.

Lời giải. Với m = 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt.Với m 6= 0, đặt x2 = t ≥ 0 phương trình trở thành (m− 2) t2 − 2 (m + 1) t + 2m− 1 = 0.Đặt f(t) = (m− 2) t2 − 2 (m + 1) t + 2m− 1 có ∆′ = (m + 1)

2 − (m− 2) (2m− 1) = −m2 + 7m− 1.

a) Phương trình đã cho có một nghiệm ⇔[

f(t) có nghiệm kép bằng 0f(t) có một nghiệm 0 và một nghiệm âm

⇔

{

∆′ = 0f(0) = 0 ∆′ > 0f(0) = 0S < 0

⇔

{−m2 + 7m− 1 = 02m− 1 = 0−m2 + 7m− 1 > 02m− 1 = 02(m+1)m−2 < 0

⇔ m =1

2

Vậy với m = 12 thì phương trình đã cho có một nghiệm.

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔

m = 2f(t) có nghiệm kép dươngf(t) có hai nghiệm trái dấu

⇔

m = 2{

∆′ = 0S > 0

P < 0

⇔

m = 2{ −m2 + 7m− 1 = 0

2(m+1)m−2 > 0

2m−1m−2 < 0

⇔

m = 2

m = 7+3√5

212 < m < 2

Vậy với m ∈(12 ; 2]∪{

7+3√5

2

}thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

29

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


c) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt ⇔ f(t) có hai nghiệm dương phân biệt

⇔

∆′ > 0S > 0P > 0

⇔

−m2 + 7m− 1 > 02(m+1)m−2 > 0

2m−1m−2 > 0

⇔

7−3√5

2 < m < 7+3√5

2[m > 2m < −1[m > 2m < 1

2

⇔ 2 < m <7 + 3

√5

2

Vậy với m ∈(

2; 7+3√5

2

)thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Bài tập 2.44. (D-04) Tìm m để hệ{ √

x +√y = 1

x√x + y

√y = 1− 3m

có nghiệm.

Lời giải. Hệ đã cho tương đương với{ √

x +√y = 1(√

x +√y)3 − 3

√xy(√

x +√y)

= 1− 3m⇔{ √

x +√y = 1√

xy = m.

Suy ra√x,√y là hai nghiệm không âm của phương trình t2 − t + m = 0 (*).

Do đó hệ đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm không âm

⇔

∆ ≥ 0S ≥ 0P ≥ 0

⇔

1− 4m ≥ 01 ≥ 0m ≥ 0

⇔ 0 ≤ m ≤ 1

4

Vậy với m ∈[0; 1

4

]thì hệ đã cho có nghiệm.

Bài tập 2.45. Tìm m để bất phương trình√

4x− 2 +√

16− 4x ≤ m có nghiệm.

Lời giải. Xét hàm số f(x) =√

4x− 2 +√

16− 4x trên[12 ; 4].

Đạo hàm f ′(x) =2√

4x− 2− 2√

16− 4x; f ′(x) = 0⇔

√4x− 2 =

√16− 4x⇔ x =

9

4. Bảng biến thiên:

x 12

94 4

f ′(x) + 0 −

f(t)√

14

2√

7

√14

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm m ≥ min[ 12 ;4]

f(x)⇔ m ≥√

14.

Bài tập 2.46. Tìm m để phương trình (x− 3) (x + 1) + 4 (x− 3)√

x+1x−3 = m có nghiệm.

Lời giải. Đặt (x− 3)√

x+1x−3 = t (t ∈ R). Phương trình đã cho trở thành t2 + 4t−m = 0 (*).

Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆′ ≥ 0⇔ m ≥ −4.Vậy với m ≥ −4 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Bài tập 2.47. (DB-07) Tìm m để BPT m(√

x2 − 2x + 2 + 1)

+ x (2− x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn[0; 1 +

√3].

Lời giải. Đặt√x2 − 2x + 2 = t. Với x ∈

[0; 1 +

√3]⇒ t ∈ [1; 2]. Bất phương trình đã cho trở thành

m (t + 1) + 2− t2 ≤ 0⇔ m ≤ t2 − 2

t + 1(*)

Xét hàm số f(t) = t2−2t+1 trên [1; 2] có f ′(t) = t2+2t+2

(t+1)2> 0,∀t ∈ [1; 2]⇒ lim

[1;2]f(t) = f(2) = 2

3 .

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm trên[0; 1 +

√3]⇔ bất phương trình (*) có nghiệm trên [1; 2]⇔ m ≤ 2

3 .

Bài tập 2.48. (A-07) Tìm m để phương trình 3√x− 1 + m

√x + 1 = 2 4

√x2 − 1 có nghiệm thực.

Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1. Phương trình đã cho tương đương với −3√

x−1x+1 + 2 4

√x−1x+1 = m.

Đặt 4

√x−1x+1 = t. Với x ≥ 1⇒ t ∈ [0; 1). Phương trình trở thành −3t2 + 2t = m (*)

Xét hàm số f(t) = −3t2 + 2t trên [0; 1) có f ′(t) = −6t + 2; f ′(t) = 0⇔ t = 13 . Bảng biến thiên:

30

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


t 0 13 1

f ′(t) + 0 −

f(t)

0

13

−1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm trên [0; 1)⇔ −1 ≤ m ≤ 13 .

Bài tập 2.49. (B-06) Tìm m để phương trình√x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với{

2x + 1 ≥ 0x2 + mx + 2 = 4x2 + 4x + 1

⇔{

x ≥ − 12

m = 3x2+4x−1x

.

Xét hàm số f(x) =3x2 + 4x− 1

xtrên

[− 1

2 ; +∞)\ {0} có f ′(x) =

3x2 + 1

x2> 0,∀x ∈

[−1

2; +∞

)\ {0}.

Bảng biến thiên:

x − 12 0 + ∞

f ′(x) + +

f(x)

92

+ ∞

− ∞

+ ∞

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≥ 92 .

Bài tập 2.50. (B-04) Tìm m để PT m(√

1 + x2 −√

1− x2 + 2)

= 2√

1− x4 +√

1 + x2 −√

1− x2 có nghiệm.

Lời giải. Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1.Đặt√

1 + x2 −√

1− x2 = t có t′ = x√1+x2

− x√1−x2

; t′ = 0⇔ x = 0; t(0) = 0, t(±1) =√

2⇒ t ∈ [0;√

2].

Phương trình đã cho trở thành m (t + 2) = −t2 + t + 2⇔ m = −t2+t+2t+2 (*).

Xét hàm số f(t) = −t2+t+2t+2 trên [0;

√2] có f ′(t) = −t2−4t

(t+2)2≤ 0,∀t ∈

[0;√

2].

Suy ra min[0;√2]f(t) = f

(√2)

=√

2− 1; max[0;√2]f(t) = f(0) = 1.

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm trên [0;√

2]⇔√

2− 1 ≤ m ≤ 1.

Bài tập 2.51. (A-08) Tìm m để phương trình 4√

2x +√

2x + 2 4√

6− x + 2√

6− x = m có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải. Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 6. Xét hàm số f(x) = 4√

2x +√

2x + 2 4√

6− x + 2√

6− x trên [0; 6].

Ta có f ′(x) = 1

2 4√

(2x)3+ 1√

2x− 1

2 4√

(6−x)3− 1√

6−x = 12

(1

4√

(2x)3− 1

4√

(6−x)3

)+ 1√

2x− 1√

6−x .

Đặt 14√

(2x)3− 1

4√

(6−x)3= u(x), 1√

2x− 1√

6−x = v(x).

Nhận thấy f ′(2) = 0 và u(x), v(x) cùng dương trên (0; 2), cùng âm trên (2; 6) nên ta có bảng biến thiên

x 0 2 6

f ′(x) + 0 −

f(x)

2√

6 + 2 4√

6

3√

2 + 6

4√

12 + 2√

3

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2√

6 + 2 4√

6 ≤ m < 3√

2 + 6.

Bài tập 2.52. (DB-07) Tìm m để phương trình 4√x4 − 13x + m + x− 1 = 0 có đúng một nghiệm.

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với

4√x4 − 13x + m = 1− x⇔

{1− x ≥ 0x4 − 13x + m = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1

⇔{

x ≤ 1m = −4x3 + 6x2 + 9x + 1

Xét hàm số f(x) = −4x3 + 6x2 + 9x + 1 trên [1; +∞) có f ′(x) = −12x2 + 12x + 9; f ′(x) = 0⇔ x = − 12 .

Bảng biến thiên

31

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


x − ∞ − 12 1

f ′(x) − 0 +

f(x)

+ ∞

− 32

12

Do đó phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi và chỉ khi m > 12 hoặc m = − 32 .

Bài tập 2.53. (B-07) Chứng minh với mọi m > 0, PT x2 + 2x− 8 =√

m (x− 2) có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải. Điều kiện: x ≥ 2. Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình.Với x > 2, phương trình tương đương với

(x2 + 2x− 8

)2= m (x− 2)⇔ x3 + 6x2 − 32 = m.

Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 − 32 trên (2; +∞) có f ′(x) = 3x2 + 12x > 0,∀x > 2. Bảng biến thiên

x 2 + ∞f ′(x) +

f(x)

0

+ ∞

Từ bảng biến thiên ta thấy với mọi m > 0 thì phương trình luôn có đúng một nghiệm trên (2; +∞).Vậy với mọi m > 0 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm.

Bài tập 2.54. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình x4 + x3 − 2x2 + 3mx−m2 = 0 luôn có nghiệm.

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với m2 − 3xm− x4 − x3 + 2x2 = 0 (*).Ta có ∆ = 9x2 − 4

(−x4 − x3 + 2x2

)= 4x4 + 4x3 + x2 =

(2x2 + x

)2.Do đó (∗)⇔

[m = 3x+2x2+x

2

m = 3x−2x2−x2

⇔[

m = x2 + 2xm = x− x2 ⇔

[x2 + 2x−m = 0 (1)x2 − x + m = 0 (2) .

Phương trình đã cho có nghiệm ⇔[

(1) có nghiệm(2) có nghiệm

⇔[

∆1 = 4 + 4m ≥ 0∆2 = 1− 4m ≥ 0

⇔[

m ≥ −1m ≤ 1

4

⇔ m ∈ R.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.

Bài tập 2.55. (DB-04) Tìm m để hệ{

x2 − 5x + 4 ≤ 03x2 −mx

√x + 16 = 0

có nghiệm.

Lời giải. Hệ đã cho tương đương với

{1 ≤ x ≤ 4

m = 3x2+16x√x

.

Xét hàm số f(x) =3x2 + 16

x√x

trên [1; 4] có f ′(x) =3√x(x2 − 16

)2x5

≤ 0,∀x ∈ [1; 4].

Suy ra max[1;4]

f(x) = f(1) = 19; minx→∞

f(x) = f(4) = 8. Do đó hệ đã cho có nghiệm ⇔ 8 ≤ m ≤ 19.

Bài tập 2.56. (D-2011) Tìm m để hệ{

2x3 − (y + 2)x2 + xy = mx2 + x− y = 1− 2m

có nghiệm.

Lời giải. Hệ đã cho tương đương với{ (

x2 − x)

(2x− y) = mx2 − x + 2x− y = 1− 2m

.

Đặt x2 − x = u, 2x− y = v (u ≥ − 14 ). Hệ trở thành

{uv = m (1)u + v = 1− 2m (2) .

Từ (2)⇒ v = 1− 2m− u thay vào (1) ta có u (1− 2m− u) = m⇔ m = −u2+u2u+1 .

Xét hàm số f(u) =−u2 + u

2u + 1có f ′(u) =

2u2 + 2u− 1

(2u + 1)2 ; f ′(u) = 0⇔ u =

−1 +√

3

2. Bảng biến thiên:

x − 14

−1+√3

2+ ∞

f ′(x) + 0 −

f(x)− 5

8

2−√3

2

− ∞

32

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com


Vậy hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ 2−√3

2 .

Bài tập 2.57. Tìm m để hệ√

1− x2 + 2 3√

1− x2 = m có nghiệm duy nhất.

Lời giải. Nhận thấy nếu x0 là nghiệm phương trình thì −x0 cũng là nghiệm phương trình.Do đó giả sử phương trình có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó bằng 0⇒ m = 3.Với m = 3 phương trình trở thành

√1− x2 + 2 3

√1− x2 = 3 (*).

Đặt 6√

1− x2 = t (t ≥ 0). Phương trình (*) trở thành t3 + 2t2 − 3 = 0⇔ t = 1⇒ 6√

1− x2 = 1⇔ x = 0.Vậy với m = 3 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0.

Bài tập 2.58. Tìm m để hệ{

x = y2 − y + my = x2 − x + m

có nghiệm duy nhất.

Lời giải. Xét hệ{

x = y2 − y + m (1)y = x2 − x + m (2) .

Nhận thấy nếu hệ có nghiệm (x; y) thì cũng có nghiệm (y;x).Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x = y, thay vào (1) ta có x2 − 2x + m = 0 (*).Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép ⇔ 1−m = 0⇔ m = 1.

33

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Documents

Ph÷ìngTrnh-B§tPh÷ìngTrnh&H» Ph÷ìngTrnh˚⁄iSŁ · PDF fileChuy¶n˜•2.Ph÷ìngTrnh-B§tPh÷ìngTrnh&H»Ph÷ìngTrnh˚⁄iSŁ B€i t“p 2.4. Gi£ic¡cph÷ìngtrnhsau a)