PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: [email protected] Trang 1/25

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

A. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng 1. Caxadx +=∫

2. Cx

dxx ++

=+

∫ 1

1

α

αα ( )1≠α

3. ∫ += Cxx

dxln

4. Ca

adxa

xx +=∫ ln

5. Cedxe xx +=∫6. Cxdxx +=∫ sin.cos

7. Cxdxx +−=∫ cos.sin

8. ∫ ∫ +=+= Ctgxdxxtgx

dx)1(

cos2

2

9. ∫ ∫ +−=+= Cgxdxxgx

dxcot)cot1(

sin2

2

10. ∫ += Cxx

dx2

1. Cbax

adxbax +

++=+

+

∫ 1

)(1)(

1

α

αα ( )1,0 ≠≠ xa

2. ∫ ++=+

Cbaxabax

dxln

1 )0( ≠a

3. Cea

dxebaxbax += ++

∫1

)0( ≠a

4. Cbaxa

dxbax ++=+∫ )sin(1

)cos( )0( ≠a

5. Cbaxa

dxbax ++−=+∫ )cos(1

)sin( )0( ≠a

6. ∫ ∫ ++=+

dxbaxtgbax

dx))(1(

)(cos2

2

Cbaxtga

++= )(1

)0( ≠a

7 ∫ ∫ ++=+

dxbaxgbax

dx))(cot1(

)(sin2

2

Cbaxga

++−= )(1

cot )0( ≠a

8. ∫ ++=+

Cbaxabax

dx 2 )0( ≠a

9. ∫ ++−=

−C

ax

ax

aax

dxln

2

122

)0( ≠a

10. ∫ +++=+

Caxxax

dx 2

2ln

B. PHƯƠNG PHÁP TÌM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ

I. Tích phân hàm đa thức

1) Tích phân dạng ( )b

a

A= P x dx∫

Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản. 2) Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối

Phương pháp: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối sau đó chuyển tích phân trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng quen thuộc hơn có thể sử dụng công thức nguyên hàm. II. Tích phân hàm hữu tỷ


a

P xA= dx

nx∫



Phương pháp: Chia P(x) cho xn để đưa tích phân về dạng b

a

A= Q , dxk

ax

x

∫ trong đó

Q(x) là một hàm đa thức.

Chú ý: +) Hàm số 1

yx

= có một nguyên hàm là hàm số lny x=

+) Hàm số 1

ny

x= (n nguyên dương, n>2) có một nguyên hàm là hàm

số ( ) 1

1

1 ny

n x−= −

−


a

P xA= dx

ax b+∫

Phương pháp: Chia P(x) cho (ax+b) để đưa tích phân về dạng ( )b

a

A= Q + dxax

kx

b

+ ∫

trong đó Q(x) là một hàm đa thức.

Chú ý: +) Hàm số 1

yax b

=+

có một nguyên hàm là hàm số 1

lny ax ba

= +

3) Tích phân dạng ( )

( )b

a

P xA= dx (k , 1)

axk

N kb

∈ >+∫

Phương pháp: 1. Đặt axt b= + ta có:

+) t b

xa

−=

+) dt

dt adx dxa

= ⇒ =

2. Đổi cận của tích phân

3. Thay các kết quả trên vào tích phân A ta đưa A về dạng ( )b'

a'

A= dtk

Q t

t∫

4) Tích phân dạng2

dxA

ax bx c

β

α

=+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c có hai nghiệm x1, x2)

Phương pháp: Thực hiện biến đổi tích phân như sau:

( ) ( )21 2

dx dxA

ax bx c a x x x x

β β

α α

= =+ + − −∫ ∫ = ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

1 2

1 2 2 1 1 2

1 1 x x x x dxdx

a x x x x a x x x x x x

β β

α α

− − − =− − − − −∫ ∫

( ) ( ) ( )2 12 1 2 1 2 1

1 1 1 1ln ln |dx x x x x

a x x x x x x a x x

ββα

α

− = − − − − − − −

∫

Chú ý: +) Nếu tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + có 2 nghiệm x1, x2 thì khi đó f(x) được biểu diễn dưới dạng tích như sau: f(x) = a(x – x1)(x – x2).

+) ( )( )1 1 1 1

x m x n m n x m x n

= − − − − − −


dxA

ax bx c

β

α

=+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c vô nghiệm)

Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau:



( )22 2

10

22

dx dx dxA C

ax bx c a bbx Ca x C

aa

β β β

α α α

= = = >+ + + ++ +

∫ ∫ ∫

1. Đặt ( )2tan 1 tan2

bx C u dx C u du

a+ = ⇒ = +

2. Đổi cận của tích phân

3. Thay vào A được ( )2' '

2' '

1 tan1 1

tan

C u duA du

a C u C a C

β β

α α

+= =

+∫ ∫

Chú ý: +) Nếu tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + vô nghiệm, khi đó ta luôn biểu diễn

tam thức về dạng 2

( )2

bf x a x C

a

= + +

(C>0).


dxA

ax bx c

β

α

=+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c có nghiệm kép)


2 22

1 1

2

2 2

dx dx dx bA x

ax bx c a a ab ba x x

a a

ββ β β

αα α α

= = = = − + + + + +

∫ ∫ ∫

7) Tích phân dạng( )

2

mx n dxA

ax bx c

β

α

+=

+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c có hai nghiệm x1, x2)

Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau: ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )21 2 1 2

1mx n dx mx n dx mx n dxA

ax bx c a x x x x a x x x x

β β β

α α α

+ + += = =

+ + − − − −∫ ∫ ∫

( )( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2

1

2 1 2

1 1m x x n mx m x x mx ndx dx

a x x x x a x x x x x x x x

mx nm dx dx

a x x a x x x x

β β

α α

β β

α α

− + + − += = + − − − − − −

+= +− − −

∫ ∫

∫ ∫


2

mx n dxA

ax bx c

β

α

+=

+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c vô nghiệm)

Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau: ( ) ( ) ( ) ( )22 2

10

22

mx n dx mx n dx mx n dxA C

ax bx c a bbx Ca x C

aa

β β β

α α α

+ + += = = >

+ + + ++ +

∫ ∫ ∫

1. Đặt ( )2tan 1 tan2

bx C u dx C u du

a+ = ⇒ = + , tan

2

bx C u

a= −

2. Đổi cận của tích phân 3. Thay vào A.


2

mx n dxA

ax bx c

β

α

+=

+ +∫ (trong đó 2f(x) = ax + bx + c có nghiệm kép)




( ) ( )2 2 22

1 12 2 2

22 2 2

b mb mbm x n nmx n dx mx n dx m dxa a aA dx dxbax bx c a a ab b bxa x x xaa a a

β β β β β

α α α α α

+ + − − + + = = = = ++ + ++ + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

III. Tích phân hàm vô tỷ

1) Tích phân dạng: ( , , )nf ax b x C dx

β

α

+∫A =

Phương pháp:

1. Đặt u = n ax b+ nu ax b⇒ = +

nu b

xa

−⇒ =

1. nn u

dx dua

−

⇒ =

2. Đổi cận theo biến mới. 3. Thay các kết quả trên vào A, ta đưa về tích phân hàm hữu tỷ.

2) Tích phân dạng: 2

dx

ax bx c

β

α + +∫A = (Hệ số a dương)

Phương pháp: Đặt 2u ax ax bx c= + + +

( )

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

b bax a ax bx c ax

du a dx dxax bx c ax bx c

b ba ax bx c ax au

dx dxax bx c ax bx c

+ + + + + ⇒ = + =

+ + + +

+ + + + += =

+ + + +

2

2

dx du

bax bx c au

⇒ =+ + +

3) Tích phân dạng: 2

dx

ax bx c

β

α + +∫A = (Hệ số a âm)

Phương pháp:

1. Biến đổi: ( )

( )2

10

dxA k

a k x m

β

α

= >− − +∫

2. Đặt sin cos2 2

x m k t t dx k tdtπ π + = − ≤ ≤ ⇒ =

3. Tính các giá trị cận theo biến mới.

4. Thay vào A được: ' ' '

2 2' ' '

1 cos 1 cos 1 cos

cossin 1 sin

k tdt tdt tdtA

ta a ak k t t

β β β

α α α

= = =− − −− −∫ ∫ ∫

4) Tích phân dạng: 2A ax bx c dx

β

α

= + +∫ (Hệ số a dương)

Phương pháp:



Đặt: 2 2

2

2

2

ax bdu dx

u ax bx c ax bx c

bdv dxv x

a

+ = = + + + +⇒ = = +

( )2

2

22

2 2

bax b x

b aA x ax bx c dx

a ax bx c

β

α

βα

+ + ⇒ = + + + − + +∫

( )2

2

2

2

2 2

ax bx Cbx ax bx c dx

a ax bx c

β

α

βα

+ + = + + + − + +∫

Ta có: ( ) ( ) ( )2 2

1 2 2

2 2 2

2 2

ax bx C ax bx c C cA dx dx

ax bx c ax bx c

β β

α α

+ + + + + −= =

+ + + +∫ ∫

2

2

2

C c dxA

ax bx c

β

α

−= ++ +∫

Vậy ta được: 2

2

2

2 2

b C c dxA x ax bx c A

a ax bx c

β

α

βα

− = + + + − + + + ∫

2

2

1 2

2 2 2

b C c dxA x ax bx c

a ax bx c

β

α

βα

− ⇒ = + + + −

+ + ∫

Tính 2 2

dxA

ax bx c

β

α

=+ +∫ (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên) và thay vào A.

5) Tích phân dạng: 2A ax bx c dx

β

α

= + +∫ (Hệ số a âm)

Phương pháp: Ta biến đổi như sau: 2

2

2

b c bA a x x dx a C x dx

a a a

β β

α α

= − − − − = − − +

∫ ∫

1. Đặt sin cos2 2 2

bx C t t dx C tdt

a

π π + = − ≤ ≤ ⇒ =

2. Đổi cận tích phân.

3. Thay vào A được: '

2

'

sin cosA a C C t tdt

β

α

= − −∫

'2

'

'2

'

'2

'

1 sin .cos

os .cos

os

C a t tdt

C a c t tdt

C a c tdt

β

αβ

αβ

α

= − −

= −

= −

∫

∫

∫

5) Tích phân dạng: ( )

2

mx n dx

ax bx c

β

α

+

+ +∫A = (Hệ số a dương)

Phương pháp: Ta biến đổi như sau:



( )2

22 2m bm

ax b na aA dx

ax bx c

β

α

+ + −=

+ +∫

( )

2 2

2

2 2

ax bm mb dxdx n

a aax bx c ax bx c

β β

α α

+ + − + + + +∫ ∫

Tính: ( )

1 2

2ax bA dx

ax bx c

β

α

+=

+ +∫ đặt 2u ax bx c= + +

Tính 2 2

dxA

ax bx c

β

α

=+ +∫ (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).

6) Tích phân dạng: ( )

2

mx n dx

ax bx c

β

α

+

+ +∫A = (Hệ số a âm)

Phương pháp: Ta biến đổi như sau: ( ) ( )

22

1 1

2

mx n dx mx n dxA

a b c a bx x C xa a a

β β

α α

+ += =

− − − − − − +

∫ ∫

1. Đặt sin cos2 2 2

bx C t t dx C tdt

a

π π + = − ≤ ≤ ⇒ =

2. Đổi cận tích phân.

3. Thay vào A được: '

2'

[ ( sin ) ] cos1 2sin

bm C t n C tdt

aAa C C t

β

α

− +=

− −∫

'

'

[ ( sin ) ] cos1 2cos

bm C t n C tdt

a

ta

β

α

− +=

− ∫

'

'

1( sin )

2

mbm C t n dt

aa

β

α

= + −− ∫

7) Tích phân dạng: ax b

dxcx d

β

α

++∫A =

Phương pháp: Ta biến đổi như sau: ax b ax b

A dx dxcx d ax b cx d

β β

α α

+ += =+ + +∫ ∫

( )

2 2

2 2

(2 ) ( )2 2

2

2 2

a anmx n b

ax b m mdx dxmx nx k mx nx k

mx n dxa an dxb

m mmx nx k mx nx k

β β

α αβ β

α α

+ + −+= =+ + + +

+ + − + + + +

∫ ∫

∫ ∫

Tính ( )

1 2

2mx n dxA

mx nx k

β

α

+=

+ +∫ đặt 2u mx nx k= + +



Tính 2 2

dxA

mx nx c

β

α

=+ +∫ (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).

Chú ý: +) Khi dùng tính chất A A

B B= ta nên xét xem A và B cùng dấu dương hay

cùng dấu âm để vận dụng cho chính xác.

8) Tích phân dạng: ( )2 ,A f ax bx c x dx

β

α

= + +∫

Phương pháp: Đây là dạng tích phân khá phức tạp nên ta chỉ xét một số dạng đơn giản mà ta có thể vận dụng phương pháp đổi biến số nhằm đạt mục đích sau:

+) Đại số hóa biểu thức dưới dấu tích phân. +) Lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân.

Cụ thể:

a. Cách 1: Đặt 2t ax bx c= + +

b. Cách 2, trong một số trường hợp đặc biệt, ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân.

Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số

2 2( ,f x a x dx

β

α

−∫ sinx a t= ;2 2

tπ π ∈ −

2 2( ,f x x a dx

β

α

−∫ cos

ax

t= 0; ;

2 2t

π π π ∈ ∪

2 2( ,f x x a dx

β

α

+∫ tanx a t= ;2 2

tπ π ∈ −

IV. Tích phân hàm lượng giác

1. Tích phân dạng: sinnA xdx

β

α

= ∫ hoặc osnA c xdx

β

α

= ∫

Phương pháp:

a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k∈N), ta biến đổi như sau:

( ) ( )2 2 1 cos 2 1sin sin 1 cos 2

2 2

kk kk

k

xA xdx x dx dx x dx

β β β

α α α

− = = = = −

∫ ∫ ∫ ∫

Ta tiếp tục khai triển và hạ bậc cho đến khi thu được các số hạng đều là bậc nhất. b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k∈N), ta biến đổi như sau:

( ) ( )2 1 2 2 2sin sin .sin sin .sin 1 cos .sink k

k kA xdx x xdx x xdx x xdx

β β β β

α α α α

+= = = = −∫ ∫ ∫ ∫

1. Đặt cos sin sinu x du xdx xdx du= ⇒ = − ⇒ = −2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả vào A để đưa về tích phân của hàm đa thức.

Trường hợp đối với osnA c xdx

β

α

= ∫ giải tương tự.

2. Tích phân dạng: tannA xdx

β

α

= ∫ hoặc cotnA xdx

β

α

= ∫



Phương pháp:

a) Trường hợp n = 1 hoặc n = 2 ta giải trực tiếp như sau: sin

tan ln coscos

xA xdx dx x

x

β ββ

αα α

= = = − ∫ ∫ (Tử là đạo hàm của mẫu)

( ) [ ]2 2tan tan 1 1 tanA xdx x dx x x

β ββ

αα α

= = + − = − ∫ ∫

b) Trường hợp 3n ≥ , ta biến đổi như sau:

( )

( )

2 2 2 2

2 2 2

tan tan .tan tan . 1 tan 1

tan . 1 tan tan

n n n

n n

A xdx x xdx x x dx

x x dx xdx

β β β

α α αβ β

α α

− −

− −

= = = + −

= + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Tính ( )2 21 tan . 1 tann

A x x dx

β

α

−= +∫ dặt u = tanx để đưa về dạng đa thức.

Tính 22 tann

A xdx

β

α

−= ∫ ta lặp lại quá trình trên cho đến khi thu được kết quả bậc nhất

hoặc bậc hai.

Trường hợp đối với cotnA xdx

β

α

= ∫ ta giải tương tự.

3. Tích phân dạng: sinn

dxA

x

β

α

= ∫ hoặc osn

dxA

c x

β

α

= ∫

Phương pháp: a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k là số nguyên và k > 1). Ta biến đổi như sau:

( )22 2 2 2 2 2 2

1 1. . 1 cot .

sin sin sin sin sin sin

kk

k k

dx dx dx dxA x

x x x x x x

β β β

α α α−

= = = = +

∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt 2

cotsin

dxu x du

x= ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa về dạng

tích phân của hàm đa thức. b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k là số nguyên và k > 0). Ta biến đổi như sau:

( ) ( )2 1 2 2 2 2

sin sin sin

sin sin sin 1 cosk kk k

dx xdx xdx xdxA

x x x x

β β β β

α α α α+ += = = =

−∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt cos sinu x du xdx= ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa vè dạng tích phân của hàm hữu tỷ

Trường hợp đối với cosn

dxA

x

β

α

= ∫ ta giải tương tự.

4. Tích phân dạng: cos sin

dxA

a x b x c

β

α

=+ +∫

Phương pháp:

1. Đặt tan2

xt = , khi đó ta có:



( )2 22

1 1 21 tan 1

2 2 2 1

x dtdt dx t dx dx

t

= + = + ⇒ = + 2

2 2

1 2cos , sin

1 1

t tx x

t t

−= =+ +

2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả ở trên vào A để đưa A vè dạng tích phân hàm số hữu tỷ.

5. Tích phân dạng: sin

cos sin

xdxA

a x b x

β

α

=+∫ ;

cos

cos sin

xdxB

a x b x

β

α

=+∫

Phương pháp:

Ta nên kết hợp cả hai dạng trên để hỗ trợ tính một trong hai tích phan bằng cách dùng các tổ hợp kết quả sau:

sin cos cos sin

cos sin cos sin cos sin

b xdx a xdx a x b xbA aB dx dx

a x b x a x b x a x b x

β β β β

α α α α

++ = + = =+ + +∫ ∫ ∫ ∫

cos sin cos sinln cos sin

cos sin cos sin cos sin

b xdx a xdx b x a xbB aA dx a x b x

a x b x a x b x a x b x

β β ββ

αα α α

−− = − = = ++ + +∫ ∫ ∫

Từ hai kết quả trên, ta giải tìm A hoặc tìm B tùy theo yêu cầu của bài toán.

6. Tích phân dạng: sin .cosn mA x xdx

β

α

= ∫

Phương pháp: a) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ: Giả sử m là số lẻ (m = 2k +1), ta

biến đổi như sau:

( )

( )

2 2

2

sin .cos .cos sin . cos .cos

sin . 1 sin .cos

kn k n

kn

A x x xdx x x xdx

x x xdx

β β

α α

= =

= −

∫ ∫

∫Đến đây, ta đặt sin cosu x du xdx= ⇒ = , đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích

phân của hàm đa thức. b) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: Ta thực hiện biến đổi như sau:

( ) ( ) '2 2 ' 2 2sin .cos sin . cosk k

k kA x xdx x x dx

β β

α α

= =∫ ∫Đến đây ta đặt u = tanx, khi đó:

( )22

1 tan1

dudu x dx dx

t= + ⇒ =

+2

2

1cos

1x

u=

+,

22

2sin

1

ux

u=

+Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ.

7. Tích phân dạng: 2 2( cos sin ).sin 2A f a x b x c xdx

β

α

= + +∫

Phương pháp:

1. Đặt 2 2cos sinu a x b x c= + + , khi đó ta có:



( ) ( )2 .sin .cos sin 2du b a x xdx b a xdx= − = −2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả trên vào A và đưa A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ.

8. Tích phân dạng: cos .sinm n

dxA

x x

β

α

= ∫

Phương pháp:

a) Trường hợp hai số m và n đều là số chẵn (m = 2k, n = 2k') Ta thực hiện biến đổi như sau:

' 1

2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 2

1 1. .

cos .sin cos .sin .sin cos sin sin

k k

k k k k

dx dx dxA

x x x x x x x x

β β β

α α α

−

− = = =

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )' 1 ' 12 2 22 2 2

11 tan . 1 cot . 1 . 1 cot .

sin cot sin

kk k kdx dx

x x xx x x

β

α

− − = + + = + +

∫ ∫

Đến đây, ta đặt 2

cotsin

dxu x du

x= ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển

A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. b) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ (giả sử m = 2k + 1)

Ta thực hiện biến đổi như sau:

( ) ( )1 12 1 2 2 2 2

cos cos cos

cos .sin cos .sin cos .sin 1 sin .sink kk n k n

n n

dx xdx xdx xdxA

x x x x x x x x

β β β β

α α α α+ ++ += = = =

−∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt sin cosu x du xdx= ⇒ = , đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. V. Tích phân hàm mũ và logarit

1. Tích phân dạng: ( )xA f e dx

β

α

= ∫ , ( )xB f a dx

β

α

= ∫

Phương pháp: 1. Đổi biến x

u e= , tính dx theo u và du. 2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả vừa tính được vào A ta thu được tích phân của hàm số đa

thức hoặc hàm số hữu tỷ.

Trường hợp tích phân ( )xB f a dx

β

α

= ∫ tương tự.

2. Tích phân dạng: (ln )A f x dx

β

α

= ∫ , ( )loga

B f x dx

β

α

= ∫

Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Đặt: ln

dxu x du

xdv dx

v x

= = ⇒ = =

Áp dụng công thức tích phân từng phần để chuyển tích phân cần tính về tích phân hàm đa thức hoặc hàm hữu tỷ.



Trường hợp tích phân ( )loga

B f x dx

β

α

= ∫ tương tự.

VI. Phương pháp tích phân từng phần

1. Tích phân dạng: ( )cosA P x xdx

β

α

= ∫ , ( )sinB P x xdx

β

α

= ∫

Phương pháp:

Đặt: ( ) ( )'

cos sin

u P x du P x dx

dv xdx v x

= = ⇒

= = Theo công thức tích phân từng phần ta có:

( ) ( )sin ' sinA P x x P x xdx

ββ

αα

= − ∫

Để tính tích phân ( )' sinP x xdx

β

α∫ ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu

được kết quả cần tìm.

Trường hợp tích phân ( )sinB P x xdx

β

α

= ∫ tương tự.

2. Tích phân dạng: ( ) lnA P x xdx

β

α

= ∫ , ( ) loga

B P x xdx

β

α

= ∫

Phương pháp:

Đặt: ( ) ( ) ( )

lndx

duu xx

dv P x dxv P x dx Q x

== ⇒ = = = ∫

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

( ) ( )ln

Q xA Q x x dx

x

ββ

αα

= − ∫

Tích phân ( )Q x

dxx

β

α∫ : sẽ có dạng tích phân của hàm số đa thức ta đã biết cách tính.

Trường hợp tích phân ( ) loga

B P x xdx

β

α

= ∫ tương tự.

3. Tích phân dạng: ( ) xA P x e dx

β

α

= ∫ , ( ) xB P x a dx

β

α

= ∫

Phương pháp:

Đặt: ( ) ( )'x x

u P x du P x dx

dv e dx v e

= = ⇒


( ) ( )'x xA P x e P x e dx

ββ

αα

= − ∫



Để tính tích phân ( )' xP x e dx

β

α∫ ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu được

kết quả cần tìm.

Trường hợp tích phân ( ) xB P x a dx

β

α

= ∫ tương tự.

4. Tích phân dạng: cos xA xe dx

β

α

= ∫ , sin xB xa dx

β

α

= ∫

Phương pháp:

Đặt: cos sin

x x

u x du xdx

dv e dx v e

= = − ⇒


cos sinx xA xe xe dx

ββ

αα

= + ∫

Để tính tích phân sin xxe dx

β

α∫ ta thực hiện lại các bước như trên, kết qủa thu được sẽ

biểu diễn qua A, ta thu được một phương trình và từ đó tìm ra A.

Trường hợp tích phân sin xB xa dx

β

α

= ∫ tương tự.



C. CÁC DẠNG BÀI TẬP Tính các tích phân sau đây:

1/I = 1

2

0

(3 5 1)x x dx− +∫

2/I = 1

2

12

(2 1)( 3)x x x dx+ − +∫

3/I = 4

1

1x dx

x

+∫

4/I = 3

2

4

3tg x dx

π

π∫

5/I = 4

2

6

(2cotg x 5)dx

π

π+∫

6/I = 2

0

1 cos xdx

1 cos x

π

−+∫

7/ I = ∫2

0

π

sin2 x.cos2xdx

8/I = ∫3

0

π

(2cos2 x-3sin2 x)dx

9 / I = 2

2

s i n ( x )4 d x

s i n ( x )4

π

− π

π −

π +∫

10 / I = ∫−

3

6

π

π(tgx-cotgx)2 dx

11/ I = 4

4

0

cos x dx

π

∫

12 / I = 2

3

0

sin x dx

π

∫

13*/ I = 3 32

3

sin x sin xcot gx dx

sin x

π

π

−∫

14/I = 2

4

0

sin x dx

π

∫

15/I = ∫3

4

22

2cos

2sin

1π

π xx dx

16/I = ∫4

6

π

πcotg2x dx

17/I = 22

sin x

4

e sin 2x dx

π

π∫

18/ I = ∫+4

02

2

cos

π

x

etgx

19/ I = ∫2

4

4sin

1π

π x dx

20/ I = ∫4

06cos

1π

x dx

21/I = dxxxnsix )cos(2cos 442

0

+∫

π



22/ I = 2

3

0

cos xdx

π

∫

23/ I = 32

0

4sin xdx

1 cosx

π

+∫

24/ I = 1

3 2

0

x 1 x dx−∫

25/I =1

5 2

0

x 1 x dx+∫

26/I =1

0

xdx

2x 1+∫

27/I =1

x0

1dx

e 4+∫

28/I =2

x1

1dx

1 e−−∫

29/I =2x2

x0

edx

e 1+∫

30/I =x1

x0

edx

e 1

−

− +∫

31/I =e

21

ln xdx

x(ln x 1)+∫

32/I =

7

3

30

x 1dx

3x 1

++∫

33/I =2

3 2

0

(x 3) x 6x 8 dx− − +∫

.34/I =1

2 23

1dx

x 4 x−∫

35/I =4

22

1dx

x 16 x−∫

36*/I =6

22 3

1dx

x x 9−∫

37/I =2

2 2

1

x 4 x dx−

−∫

38/I =2

2 3

0

x (x 4) dx+∫

39/I =24

4 3

3

x 4dx

x

−∫

40*/I =22

22

x 1dx

x x 1

−

−

+

+∫

41/I =ln 2

x

0

e 1dx−∫

42/I =1

0

1dx

3 2x−∫

43/I =2

5

0

sin xdx

π

∫

44*/I =3

0

1dx

cos x

π

∫

45/I =2x1

x0

edx

e 1

−

− +∫

46/I =ln 3

x0

1dx

e 1+∫

47/I =4

2

6

1dx

sin x cot gx

π

π∫

48/I =3 2e

1

ln x 2 ln xdx

x

+∫

49/I =e

1

sin(ln x)dx

x∫

50/I =1

3 4 5

0

x (x 1) dx−∫



51/I =1

2 3

0

(1 2x)(1 3x 3x ) dx+ + +∫

52/I =2

31

1dx

x 1 x+∫

53/I =3

2 2

6

tg x cot g x 2dx

π

π+ −∫

54/I =1

2 3

0

(1 x ) dx−∫

55*/I =1

2x0

1dx

e 3+∫

56/I =xln 3

x 30

edx

(e 1)+∫

57/I =0

2x 3

1

x(e x 1)dx−

+ +∫

58/I =2

6 3 5

0

1 cos x sin x.cos xdx

π

−∫

59*/I =2 3

25

1dx

x x 4+∫

60/I =4

0

xdx

1 cos 2x

π

+∫

61/I =2xln 5

xln 2

edx

e 1−∫

62/I =2e

1

x 1.ln xdx

x

+∫

63/I =21

0

xdx

(x 1) x 1+ +∫

64/I =2

0

sin x.sin 2x.sin 3xdx

π

∫

65/I =2

4 4

0

cos 2x(sin x cos x)dx

π

+∫

66*/I =2

3 3

0

( cos x sin x)dx

π

−∫

67/I =73

8 42

xdx

1 x 2x+ −∫

68*/I =2

0

4cos x 3sin x 1dx

4sin x 3cos x 5

π

− ++ +∫

69/I =9

3

1

x. 1 xdx−∫

70/I =2

30

x 1dx

3x 2

++∫

71*/I = 6

0

xsin dx

2

π

∫

72*/I =2

0

xdx

2 x 2 x+ + −∫

73/I =3

3 2

0

x . 1 x dx+∫

74**/I =1

20

ln(1 x)dx

x 1

++∫

75/I =2

0

sin xdx

sin x cos x

π

+∫

76/I =e

1

cos(ln x)dxπ

∫

77*/I =2

2

0

4 x dx+∫

78/I =2

1

xdx

1 x 1+ −∫

79/I =e

1

1 3ln x ln xdx

x

+∫



80/I =3

2

2

ln(x x)dx−∫

81/I =e

2

1

(ln x) dx∫

82/I =

2e

e

ln xdx

x∫

83/I =

2e

1

ln xdx

ln x∫

84/I =2

2

1

x ln(x 1)dx+∫

85/I =3

23

1dx

x 3+∫

86/I =1

20

1dx

4 x−∫

87/I =

2

4

0

sin xdx

π

∫

88/I =3

2

6

ln(sin x)dx

cos x

π

π∫

89/I =2

1

cos(ln x)dx∫

90*/I =2

2

0

ln( 1 x x)dx+ −∫

91*/I =3

22

1dx

x 1−∫

92/I =38

1

x 1dx

x

+∫

93/I =33

21

xdx

x 16−∫

94/I =6

20

cos xdx

6 5sin x sin x

π

− +∫

95*/I =

2e

2e

1 1( )dx

ln xln x−∫

96/I =3

2

4

x 4 dx−

−∫

97/I =2

3 2

1

x 2x x 2 dx−

− − +∫

98/I =

3

4

4

cos 2x 1dx

π

π+∫

99/I =0

cos x sin xdxπ

∫

100/I =2

0

1 sin xdxπ

+∫

101/I =

3

4

4

sin 2x dx

π

π∫

102/I =0

1 sin xdxπ

−∫

103/I =1 3

2

1

ln(x x 1) dx−

+ + ∫

104*/I =2

0

x sin xdx

1 cos x

π

+∫

105*/I =1

2 x1

1dx

(x 1)(4 1)− + +∫

106*/I =41

x1

xdx

1 2− +∫

107/I =

2

4

0

x sin xdx

π

∫

108/I =

2

4

0

x cos xdx

π

∫



109/I =6

2

0

x.sin x cos xdx

π

∫

110*/I =2 x1

20

x edx

(x 2)+∫

111/I = 2x 2

0

e sin xdxπ

∫

112/I =2

2

1

1x ln(1 )dx

x+∫

113/I =e

21

e

ln xdx

(x 1)+∫

114/I =

12

0

1 xx.ln dx

1 x

+−∫

115/I =2t

1

ln xdx I 2

x

⇒ < ∫

116/I =3

0

sin x.ln(cos x)dx

π

∫

117/I =2e

2

1

cos (ln x)dx

π

∫

118/I =4

0

1dx

cos x

π

∫

119*/I =4

30

1dx

cos x

π

∫

120/I =21

3 x

0

x e dx∫

121/I =22

sin x 3

0

e .sin x cos xdx

π

∫

122/I =2

40

sin 2xdx

1 cos x

π

+∫

123/I =1

20

3dx

x 4x 5− −∫

124/I =2

21

5dx

x 6x 9− +∫

125/I =1

25

1dx

2x 8x 26− + +∫

126/I =1

0

2x 9dx

x 3

++∫

127/I =4

21

1dx

x (x 1)+∫

128*/I =0

2

2

sin 2xdx

(2 sin x)−π +∫

129/I =1

20

x 3dx

(x 1)(x 3x 2)

−+ + +∫

130/I =1

30

4xdx

(x 1)+∫

131/I =1

4 20

1dx

(x 4x 3)+ +∫

132/I =33

20

sin xdx

(sin x 3)

π

+∫

133/I =33

6

4sin xdx

1 cos x

π

π −∫

134/I =3

2

6

1dx

cos x.sin x

π

π∫

.



135/I =3

0

sin x.tgxdx

π

∫

136/I = 3

4

1dx

sin 2x

π

π∫

137/I = 34

2 2 50

sin xdx

(tg x 1) .cos x

π

+∫

138/I =3

2 2

3

1dx

sin x 9cos x

π

π−+∫

139/I =2

2

cos x 1dx

cos x 2

π

π−

−+∫

140/I = 2

0

1 sin xdx

1 3cos x

π

++∫

141/I =2

0

cos xdx

sin x cos x 1

π

+ +∫

142/I = 4

21

1dx

x (x 1)+∫

143/I =1

33

1dx

x 4 (x 4)− + + +∫

144/I =33

0

sin xdx

cos x

π

∫

145/I =1

0

x 1 xdx−∫

146/I =6

4

x 4 1. dx

x 2 x 2

−+ +∫

147/I = 0

21

1dx

x 2x 9− + +∫

148/I =3

21

1dx

4x x−∫

149/I = 2

2

1

4x x 5 dx−

− +∫

150/I = 2

22

2x 5dx

x 4x 13−

−

+ +∫

151/I =1

x0

1dx

3 e+∫

152/I =

14x 2x2

2x0

3e edx

1 e

+

+∫

153/I =4

27

1dx

x 9 x+∫

154/I = 2

x 2

0

e sin xdx

π

∫

155/I = 42

4 40

cos xdx

cos x sin x

π

+∫

156/I =1

0

3dx

x 9 x+ −∫

157/I = 0

x sin xdxπ

∫

158/I = 2 2

0

x cos xdxπ

∫

159/I =1

0

cos x dx∫

160/I =1

0

sin x dx∫

161/I =

2

4

0

x sin x dx

π

∫



162/I =

2

4

0

x cos x dx

π

∫

163/I = 2

0

x cos x sin x dxπ

∫

164/I = 6

2

0

x cos x sin x dx

π

∫

165/I =4

x

1

e dx∫

166/I =4

3x

0

e sin 4x dx

π

∫

167/I = 2x 2

0

e sin x dxπ

∫

168/I =2 x1

20

x edx

(x 2)+∫

169/I =e

1

(1 x) ln x dx+∫

170/I =e

2

1

x ln x dx∫

171/I =

1

e2

1

ln x dx∫

172/I =e

1

x(2 ln x)dx−∫

173/I =

2e

2e

1 1( )dx

ln xln x−∫

174/I =2

2

1

(x x) ln x dx+∫

175/I =2

2

1

1x ln(1 )dx

x+∫

176/I =2

51

ln xdx

x∫

177/I =e

21

e

ln xdx

(x 1)+∫

178/I =

12

0

1 xx ln dx

1 x

+−∫

179/I =2

3

cos x.ln(1 cos x)dx

π

π−∫

180/22

sin x 3

0

e sin x cos x dx

π

∫

181/I= 2

40

sin 2xdx

1 sin x

π

+∫

182/I =2

40

sin 2xdx

1 cos x

π

+∫

183/I =2

21

5dx

x 6x 9− +∫

184/I =21

0

x 3x 2dx

x 3

+ ++∫

185/I =4

21

1dx

x (x 1)+∫

186/I =1

20

ln(1 x)dx

x 1

++∫

187/I41

60

1 xdx

1 x

++∫

188/I =1

15 8

0

x 1 x dx+∫

189/I =x1

x x0

edx

e e−+∫

190/I= e

1

e

ln x dx∫



.

191/I =2

sin x

0

(e cos x)cos x dx

π

+∫

192/I =2

0

sin 2x.cos xdx

1 cos x

π

+∫

193/I =2

0

sin 2x sin xdx

1 3cos x

π

++∫

194/I =24

0

1 2sin xdx

1 sin 2x

π

−+∫

195/I = 5 33

20

x 2xdx

x 1

+

+∫

196/I =3

2

4

tgxdx

cos x 1 cos x

π

π +∫

197/I =2

2

1

x 1( ) dxx 2−

−+∫

198/I =4

2

0

x.tg x dx

π

∫

199/I =5

3

( x 2 x 2 )dx−

+ − −∫

200/I =4

1

2dx

x 5 4− + +∫

201/I =2

1

xdx

x 2 2 x+ + −∫

202/I =2

21

ln(1 x)dx

x

+∫

203/I =2

0

sin 2xdx

1 cos x

π

+∫

204/I =20082

2008 20080

sin xdx

sin x cos x

π

+∫

205/I =2

0

sin x.ln(1 cos x)dx

π

+∫

206/I =23

21

x 1dx

x

+∫

207/I =34

20

sin xdx

cos x

π

∫

208/I =2

2

0

cos x.cos 4x dx

π

∫

209/I =1

2x x0

1dx

e e+∫

210/I =e

21

e

ln xdx

(x 1)+∫

211/I =1

0

1dx

x 1 x+ +∫

212/I =21

20

xdx

4 x−∫

213/I =1

20

xdx

4 x−∫

214/I =

142

20

xdx

x 1−∫

215/I =2

0

sin3xdx

cos x 1

π

+∫

216/I =

222

20

xdx

1 x−∫

217/I =22

41

1 xdx

1 x

−+∫



218/I =37

3 20

xdx

1 x+∫

219/I =xln 2

x0

1 edx

1 e

−+∫

220/I =1

0

x 1 x dx−∫

221/I =1

2

0

x 1dx+∫

222/I =2

3 3

0

(cos x sin x)dx

π

+∫

223/I =23

0

x 1dx

x 1

++∫

224/I =1

2 2x

0

(1 x) .e dx+∫

225/I =2

20

cos xdx

cos x 1

π

+∫

226/I =

7

3

30

x 1dx

3x 1

++∫

227/I =2

6

1 sin 2x cos 2xdx

cos x sin x

π

π

+ ++∫

228/I =x 21

2x0

(1 e )dx

1 e

++∫

229/I =3

2 3

0

x (1 x) dx−∫

230/I = 32

20

sin x.cos xdx

cos x 1

π

+∫

231/I =

12

20

4x 1dx

x 3x 2

−− +∫

232*/I = 2

0

x sin x.cos xdxπ

∫

233/I =2

0

cos xdx

cos 2x 7

π

+∫

234/I =4

21

1dx

x (x 1)+∫

235/I =2

2 3

0

sin 2x(1 sin x) dx

π

+∫

236/I =2

30

x 1dx

3x 2

++∫

237/I =4

27

1dx

x x 9+∫

238/I = 3 4

0

x sin x cos xdxπ

∫

239/I =2

3

2

cos x cos x cos xdx

π

π−

−∫

240*/I =1

2

1

ln( x a x)dx−

+ +∫

241/I =2

x0

1 sin xdx

(1 cos x)e

π

−+∫ .

242/I =2

0

sin 2x sin xdx

cos3x 1

π

++∫

243/I =4

2 20

sin 2xdx

sin x 2cos x

π

+∫

244/I =

232

20

xdx

1 x−∫

.



245/I =

232

20

xdx

1 x−∫

246/I =21

22

2

1 xdx

x

−∫

247/I =21

20

xdx

4 x−∫

248/I =2

22

3

1dx

x x 1−∫

249/I =1

5 3 6

0

x (1 x ) dx−∫

250/I =2

0

sin xdx

1 sin x

π

+∫

251/I =2

0

cos xdx

7 cos 2x

π

+∫

252/I =4

21

1dx

(1 x)x+∫

253/I =2

30

x 1dx

3x 2

++∫

254*/I =3

4

cos x sin xdx

3 sin 2x

π

π

++∫

255/I =2

3

2

cos x cos x cos xdx

π

π−

−∫

256/I =3

4

4

tg xdx

π

π∫

.

257*/I =2

x

0

1 sin xe dx

1 cos x

π

++∫

258/I =1

2 3

0

(1 x ) dx−∫

259/I =4

2

0

x.tg xdx

π

∫

260/I=2

2 20

1dx

(4 x )+∫

261/I = 21

30

3xdx

x 2+∫

262*/I = 52

51

1 xdx

x(1 x )

−+∫

263/I =3

20

cos xdx

1 sin x

π

−∫

264/I =23

60

sin xdx

cos x

π

∫

265/I =36

0

sin x sin xdx

cos2x

π

+∫

265/I =2

3

1dx

sin x 1 cos x

π

π +∫

266/I =3

6 21

1dx

x (1 x )+∫

267/I =2

20

sin xdx

cos x 3

π

+∫

268/I =

2

0

sin xdx

x

π

∫

.



269/I =2

2

0

sin x cos x(1 cos x) dx

π

+∫

270/I =4 44

0

sin x cos xdx

sin x cos x 1

π

−+ +∫

271/I =4 44

0

sin x cos xdx

sin x cos x 1

π

−+ +∫

272/I =2

0

sin x cos x cos xdx

sin x 2

π

++∫

273/I =

11 x

3a

edx

x∫

274/I =3 21

20

x 2x 10x 1dx

x 2x 9

+ + ++ +∫

275/I =31

2 30

xdx

(x 1)+∫

276/I =1

30

3dx

x 1+∫

277*/I =41

60

x 1dx

x 1

++∫

278/I =1

30

xdx

(2x 1)+∫

279/I =7

2

1dx

2 x 1+ +∫

280/I =

3

2

212

1dx

x 1 x−∫

281*/I =21

20

x ln(x 1 x )dx

1 x

+ +

+∫

282/I =4

2

1

(x 1) ln x dx−∫

283/I =3

2

0

x ln(x 1)dx+∫

284/I =32

21

3xdx

x 2x 1+ +∫

285/I =1

3 20

4x 1dx

x 2x x 2

−+ + +∫

286/I =

1

2

212

1dx

(3 2x) 5 12x 4x− + + +∫

287/I =1

0

1dx

x 1 x+ +∫

288/I =2

0

cos xdx

2 cos 2x

π

+∫

289/I =2

4

cos x sin xdx

3 sin 2x

π

π

++∫

290/I =2

3 3

0

(cos x sin x)dx

π

+∫

291/I =2

5 4

0

cos x sin xdx

π

∫

292/I =2

4 4

0

cos 2x(sin x cos x)dx

π

+∫

293/I =2

0

1dx

2 sin x

π

+∫

294/I =2

0

1dx

2 cos x

π

−∫

295/I =2

22

3

1dx

x x 1−∫



296/I =37

3 20

xdx

1 x+∫

297*/I =2

31

1dx

x 1 x+∫

298/I =31

20

xdx

x 1 x+ +∫

299/I =1

21

1dx

1 x 1 x− + + +∫

300/I =3

4

6

1dx

sin x cos x

π

π∫

301/I =2

0

cos xdx

cos x 1

π

+∫

302/I =2

0

cos xdx

2 cos x

π

−∫

303/I =2

0

sin xdx

sin x 2

π

+∫

304/I =32

0

cos xdx

cos x 1

π

+∫

305/I = 2

0

1dx

2cos x sin x 3

π

+ +∫

306/I = 2

2

3

cos xdx

(1 cos x)

π

π −∫

307/I =4

3

0

tg x dx

π

∫

308*/I =1

2x1

1dx

3 e− +∫

309*/I =2

x

sin xdx

3 1

π

−π +∫

310*/I =2

0

sin xdx

cos x sin x

π

+∫

311/I =42

4 40

sin xdx

cos x sin x

π

+∫

312*/I =2

20

tgxdx

1 ln (cos x)

π

−∫

313*/I =2

0

sin xdx

cos x sin x

π

+∫

314*/I =1

x 21

1dx

(e 1)(x 1)− + +∫

315*/I =1

3x 1

0

e dx+∫

316*/I =21

20

xdx

x 4+∫

317*/I =32

4 20

cos xdx

cos 3cos x 3

π

− +∫

318*/Tìm x> 0 sao cho 2 tx

20

t edt 1

(t 2)=

+∫

319*/I =3

2

4

tan xdx

cos x cos x 1

π

π +∫

320*/I =1

2

0

3x 6x 1dx− + +∫

321*/I =4

5

0

tg x dx

π

∫



-------------------------- HẾT -------------------------

Chúc tất cả các em ôn tập tốt và thi đạt kết quả cao!

322/I =4

3

6

cotg x dx

π

π∫

323/I = 3

4

4

tg x dx

π

π∫

324*/I = 4

0

1dx

2 tgx

π

+∫

325/I =52

0

sin xdx

cos x 1

π

+∫

326/I =3

2

6

cos 2xdx

1 cos 2x

π

π −∫

327*/I =4

2

0

t gx 1( ) dx

tgx 1

π

−+∫

328*/I =1

312

xdx

x 1+∫

329*/I =3 32

41

x xdx

x

−∫

330/I =xln 3

x x0

edx

(e 1) e 1+ −∫

331/I =

14e

21e

1dx

x cos (ln x 1)

π−

+∫

333*/I =4

0

ln(1 tgx)dx

π

+∫

Documents

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN