763

Tuyển tập Công trình Hội nghị khoa học

Cơ học Thủy khí toàn quốc năm 2015

Phương pháp biên nhúng cho mô phỏng số truyền nhiệt

đối lưu tự nhiên giữa trụ và ống đồng tâm

Vũ Văn Trường1, Nguyễn Tiến Cường2 1Viện Cơ khí động lực, Đại học Bách khoa Hà Nội, Số 1 Đại Cồ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội

2Viện Cơ học, Đội Cấn, Hà Nội

Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp biên nhúng cho bài toán truyền nhiệt đối lưu tự nhiên giữa trụ và ống đồng tâm. Biên mặt của ống hay trụ (nơi phân cách giữa chất lỏng và vật rắn) được biểu diễn bởi hữu hạn các điểm liên kết. Các điểm này nằm trên lưới so le, cố định hình chữ nhật. Hệ phương trình vi phân động lượng và năng lượng được giải trực tiếp trên toàn miền tính toán bao gồm pha rắn. Điều kiện biên lăn không trượt tại thành rắn được áp đặt bằng cách nội suy lại trường vận tốc tại các điểm lưới lân cận biên rắn. Một phương pháp tương tự được áp dụng để thỏa mãn điều kiện nhiệt độ không đổi tại biên. Phương pháp được kiểm chứng thông qua việc so sánh kết quả tính toán với các tính toán đã được công bố cho bài toán dòng chảy bao qua trụ nhiệt dạng tròn và dòng nhiệt đối lưu tự nhiên trong khoang vành khăn. Phương pháp sau đó được áp dụng cho bài toán truyền nhiệt đối lưu giữa trụ và ống đồng tâm. Kết quả mô phỏng nghiên cứu với các số Rayleigh thay đổi trong khoảng từ 104 đến 106 và với một số hình dạng khác nhau của trụ và ống.

Immesed boundary method for simulation of natural convection

between two concentric cylinders

Abstract: This paper presents an immersed boundary method for simulation of natural convection between two concentric cylinders. The interface separating the cylinder and liquid is represented by connected points. These points are laid on a steggered rectangular and fixed grid. The Navier-Stokes and energy equations are solved in the entire domain, including the solid phase. The no-slip condition at the solid boudary is imposed by an interpolation technique. A similar technique is used to impose a constant temperature at the solid wall. The method is validated through comparisons with reported data for flow around a heated cylinder and with those for natural convection in an annulus. The method is then applied to study natural convection between two concentric cylinders. Numerical results are presented for Rayleigh numbers varied from 104 to 106 and for different cylinder shapes.

1. Giới thiệu

Truyền nhiệt đối lưu tự nhiên giữa trụ và ống đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của

các nhà khoa học do sự ứng dụng rộng lớn của hiện tượng, ví dụ như trong thiết kế các lò

phản ứng hạt nhân, trong việc làm lạnh các thiết bị điện tử, trong các hệ thống tích trữ nhiệt

cũng như hệ thống cách nhiệt của cabin máy bay. Theo đó, trong vài chục năm trở lại đây, rất

nhiều bài báo về cả thực nghiệm và mô phỏng số đã được công bố. Trong số đó, đa phần tập

trung vào nghiên cứu dòng trong khoang giữ trụ và ống có tiết diện tròn. Tổng quan chi tiết

về bài toán cũng như các nghiên cứu liên quan có thể tìm thấy trong bài báo của Kuehn và

Goldstein [1].

Phương pháp biên nhúng cho mô phỏng số truyền nhiệt đối lưu tự nhiên

Tuy nhiên, ít công trình nghiên cứu về truyền nhiệt đối lưu tự nhiên trong khoang có

hình dạng phức tạp như bài toán được xem xét trong bài báo này. Warrington và Powe [2] đã

công bố một số kết quả thí nghiệm về truyền nhiệt đối lưu tự nhiên giữa hai vật được 764

giữa trụ và ống đồng tâm

định vị đồng tâm (dạng cầu, trụ và khối). Ekundayo và cộng sự [3], [8] nghiên cứu khoang

giữa hai trụ dạng vuông và ống dạng tròn được đặt nằm ngang và đồng tâm.

Về mặt mô phỏng số, Deschamps và Desrayaud [4] nghiên cứu truyền nhiệt đối lưu tự

nhiên từ một trụ nóng đặt nằm ngang trong một khoang kín hình chữ nhật được điền đầy

không khí. Moukalled và Acharya [5], [7] đã mô phỏng quá trình truyền nhiệt đối lưu từ một

trụ đặt đồng tâm trong khoang hình vuông. Các tác giả đã sử dụng phương pháp bám biên

(body-fitted). Liu và các cộng sự [6] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu

truyền nhiệt đối lưu xảy ra xung quanh một trụ tròn đặt trong khoang dạng chữ nhật hoặc

tròn.

Trong bài báo này, chúng tôi xin giới thiệu một phương pháp số – phương pháp biên

nhúng – cho bài toán này. Phương pháp tương đối đơn giản và dễ dàng áp dụng cho các bài

toán khác với biên dạng phức tạp.

2. Phương trình và phương pháp

Hình 1 mô tả bài toán truyền nhiệt đối lưu tự nhiên trong khoang giữa trụ tròn và ống

(ngoài) đặt đồng tâm. Hệ trụ – ống được đặt nằm ngang, tức là gia tốc trọng trường có phương

vuông góc với trục của hệ. Trong bài báo này, hình dạng bên trong của ống và hình dạng của

trụ có thể là dạng tròn hoặc dạng thoi (nghiên cứu này chỉ xét đến dạng thoi có góc vuông).

Nhiệt độ Tc của ống và nhiệt độ Th của trụ được giữ không đổi Tc<Th. Ống ngoài có kích thước

trong là Do. Nếu ống ngoài có tiết diện là hình tròn thì Do là đường kính, còn nếu có tiết diện

là hình thoi thì Do là chiều dài một cạnh của hình thoi. Trụ trong có kích thước ngoài là Di.

Nếu trụ có tiết diện là hình tròn thì Di là đường kính, còn nếu có tiết diện là hình thoi thì Di là

chiều dài một cạnh của hình thoi. Chất lỏng được điền đầy trong khoang giữa trụ và ống. Trao

đổi nhiệt đối lưu tự nhiên yêu cầu phải giải cả phương trình Navier-Stokes và phương trình

năng lượng. Ở đây, chúng ta áp dụng các giả thiết sau đây:

(1) chất lỏng là chất lỏng Newton, không nén được và chảy tầng; (2) tính tương đương

Boussinesq có hiệu lực. Với các giả thuyết trên, các phương trình bảo toàn có thể viết như

sau cho toàn miền (bao gồm cả pha rắn):

ρ ρ∂u +∇⋅uu = −∇p +µ ( T ) +ρ β0g 1− (T −T0) +ρf (1)

0 ∂t 0 0 ∇ +∇uu

Vũ Văn Trường, Nguyễn Tiến Cường 765

Hình 1. Bài toán truyền nhiệt đối lưu trong khoang giữa trụ và ống

∂C Tp

ρ0 ∂t+ρ0∇⋅(TCpu) = ∇⋅(k∇T )+ρ0C hp (2)

∇⋅ =u 0

(3)

Trong các phương trình trên, T là nhiệt độ, p là áp suất. ρ0 và µ0 lần lượt là khối lượng

riêng và độ nhớt động lực học ở nhiệt độ tham khảo T0. Cp là nhiệt dung riêng đẳng áp, k là

hệ số dẫn nhiệt, t là thời gian. g là gia tốc trọng trường. Chỉ số trên T biểu thị chuyển vị. u =

(u,v) là véc tơ vận tốc. β là hệ số dãn nở nhiệt của chất lỏng. f và h là hai đại lượng được sử

dụng để thỏa mãn điều kiện biên lăn không trượt và điều kiện nhiệt độ tại biên rắn – lỏng.

Toán tử ∇ trong các phương trình trên là toán tử Hamilton 2 chiều:

,

∂x y (4)

Chúng ta chọn ∆ =R 0.5(D D

o − i ) là chiều dài tham chiếu, vàτ ρc = 0C R kp∆ 2là

thời gian tham chiếu. Theo đó, vận tốc tham chiếu sẽ là U c = ∆Rτc . Với lựa chọn này, động

học của bài toán được đặc trưng bởi các chuẩn số (các đại lượng không thứ nguyên) Prandtl

Pr và số Rayleigh Ra,

= Cpµ, Ra

= gβ(Th − ∆Tc) R

3 (5)

Pr

Phương pháp biên nhúng cho mô phỏng số truyền nhiệt đối lưu tự nhiên

k να

với ν và α lần lượt là độ nhớt động học và hệ số tản nhiệt,α= k (ρC p ). Nhiệt độ không thứ

nguyên và thời gian không thứ nguyên lần lượt là θ= (T − Tc ) (Th − Tc ) và τ = t/τc.

Để giải bài toán trên, chúng tôi giới thiệu một phương pháp biên nhúng cho truyền nhiệt

đối lưu dựa trên phương pháp biên nhúng của Liao và cộng sự [7], [8]. Phương trình động

lượng và năng lượng được rời rạc hóa bằng phương pháp sai phân hữu hạn cho vi phân theo

không gian và lược đồ tường minh predictor–corrector cho vi phân theo thời gian (phương

pháp tách biến). Các phương trình rời rạc được giải trên lưới so le và cố định. Biên phân cách

giữa pha rắn và lỏng được biểu diễn bởi các điểm rời rạc (có tọa độ xf) nằm trên lưới cố định,

so le hình chữ nhật (xem Hình 1). Vị trí của các điểm biên được sử dụng để xây

Hình 2. Vị trí các điểm trong pha rắn S, biên B, pha lỏng F và A. Nhiệt độ Tw tại điểm biên

B và nhiệt độ T tại điểm A trong pha lỏng được sử dụng để nội suy nhiệt tại điểm F (trong

pha lỏng) nằm ngay sát biên

766 giữa trụ và ống đồng tâm

dựng một hàm chỉ thị I, có giá trị bằng 0 trong pha rắn và 1 trong pha lỏng [8]

∇I = ∫δ(x x n−f ) f dS (6)

f

Với δ( x- xf) là hàm Dirac Delta có giá trị bằng 0 tại mọi vị trí trừ tại biên xf. nf là véc tơ pháp

tại biên. Theo đó, I = 0.5 tương ứng với vị trí biên. Để áp đặt điều kiện biên lăn không trượt

tại biên rắn cũng như trường vận tốc bằng 0 trong pha rắn, lực f được tính toán và đưa vào hệ

phương trình tính toán. Chi tiết mô tả tính toán lực f đã được đề cập trong bài báo trước của

chúng tôi [9]. Trong bài báo này, chúng tôi chỉ mô tả cách tính toán h [trong phương trình

(2)] để áp đặt điều kiện nhiệt độ hằng Tw tại biên và trong miền rắn (Tw = Tc tại biên của ống

ngoài, và Tw = Th tại biên của trụ trong, xem Hình 1). Chi tiết các bước giải như sau.

Giả sử n bước thời gian tính toán đã hoàn thành. Để tìm nghiệm tại thời điểm tiếp theo

n+1, lần lượt các nội dung sau sẽ được thực hiện:

Vũ Văn Trường, Nguyễn Tiến Cường 767

(1) Tính toán trường vận tốc trung gian uˆ

+µ un +∇(uT u uˆ = n −∆t (uu)n

)n ρ0 +g 1−β(Tn −T1) (7)

(2) Tính toán trường nhiệt độ trung gian T*

T* = Tn + ∆t (Tn nu )+ ∇ ⋅(k∇hTn) (ρ0Cp) (8)

(3) Tìm vị trí các điểm F nằm trong pha lỏng và ngay sát cạnh biên (Hình 2). Phương

pháp xác định vị trí các điểm F được mô tả chi tiết trong tài liệu [9]

(4) Tính đại lượng f (để thỏa mãn điều kiện vận tốc tại biên và trong pha rắn bằng 0)

f = (uF − uˆ ) ∆t (9)

với uF là vận tốc được nội suy từuˆ (chi tiết tính uF xem [9])

(5) Tính đại lượng h (để thỏa mãn điều kiện nhiệt độ hằng tại biên và bên trong pha

rắn)

h =(TF −T*) ∆t (10)

(6) Cập nhật trường nhiệt độ tại thời điểm n+1

T n+1 = + ∆T* h t

(7) Tính toán trường vận tốc trung gian

(11)

u* = uˆ + ∆tf

(8) Tìm trường áp suất bằng cách giải phương trình

(12)

∇ ⋅un+1 − ∇2 p ∇ ⋅u*

ρ = − ∆t (13)

1 với ∇ ⋅un+1 = 0 .

Phương pháp biên nhúng cho mô phỏng số truyền nhiệt đối lưu tự nhiên

(9) Cập nhật trường vận tốc tại thời điểm n+1

un+1 = −∆u*t ∇p

ρ0 (14)

Trong công thức (10), TF được xác định như sau: tại các điểm lưới bên trong pha rắn

(điểm S trên Hình 2) TF = Tw, tại các điểm lưới nằm trong pha lỏng nhưng không nằm ngay

sát biên (điểm A trên Hình 2) TF = TA = T*, tại các điểm lưới nằm ngay sát biên biên (điểm

F trên Hình 2) TF được nội suy tuyến tính từ nhiệt độ tại điểm B (Tw) và nhiệt độ tại điểm lưới

thuộc chất lỏng phía xa vật rắn A (TA).

3. Kết quả và thảo luận

3.1 Truyền nhiệt đối lưu với dòng chảy bao qua trụ tròn

Hình 3a mô tả bài toán với trụ tròn đường kính d được đặt ở vị trí có tọa độ x = (6.4d,

6.4d) trong miền tính toán có kích thước 25.6d×2.8d. Lưới 512×256 với mật độ lưới dày hơn

tại vùng trụ tròn được sử dụng. Nhiệt độ của trụ Tw được giữ không đổi. Các điều kiện tính

toán khác được mô tả trên Hình 3a. Mô phỏng được thực hiện với số Pr = 0.7 và với các số

Reynolds Re = ρ µUd= 10, 20 và 40. Kết quả mô phỏng được so sánh với các kết quả được

công bố trong công trình [5. 10] và với kết quả của Bharti và cộng sự [11], cũng như của các

tác giả khác. Hình 3b so sánh sự biến đổi của số Nu của tính toán hiện tại và với tính toán của

Zhang và cộng sự [10] và với Bharti và cộng sự [6,11]. Nuc là số Nusselt cục bộ xung quanh

trụ, được định nghĩa là

dθ

Nuc = − dn (15)

trong đó n chỉ chiều vuông góc với bề mặt trụ. Giá trị trung bình của các Nuc trên toàn bộ trụ

được định nghĩa là

Vũ Văn Trường, Nguyễn Tiến Cường 769

Hình 3. Truyền nhiệt đối lưu với dòng chảy bao qua trụ tròn: (a) mô hình bài toán và (b) so

sánh về phân bố số Nuc cục bộ tại các điểm xung quanh bề mặt trụ (biên) giữa kết quả tính

bằng phương pháp hiện tại và kết quả được công bố trong [11,10] (Re = 20, Pr = 0.7)

Phương pháp biên nhúng cho mô phỏng số truyền nhiệt đối lưu tự nhiên

1

Nu=

π ∫Nu dc ϕ (16)

0

Bảng 1 so sánh kết quả Nu được tính toán bằng phương pháp hiện tại với Nu được công

bố trong một số tài liệu tham khảo khác[11÷13]. Các so sánh này cho thấy kết quả tính toán

trong nghiên cứu hiện tại cho bài toán truyền nhiệt với dòng chảy qua trụ tròn tương đối trùng

khớp với các kết quả đã được công bố. Điều này chứng tỏ tính đúng đắn của phương pháp

hiện tại cho bài toán.

Bảng 1. So sánh số Nusselt trung bình Nu ( với Pr = 0.7) của

tính toán hiện tại với các tài liệu

Nguồn Re = 10 Re = 20 Re = 40

Kết quả hiện tại 1.8761 2.4684 3.2776

Bharti [11] 1.8623 2.4653 3.2825

Dennis [13] 1.8673 2.5216 3.4317

Soares [12] 1.8600 2.4300 3.2000

3.2 Truyền nhiệt đối lưu tự nhiên trong khoang giữa trụ và ống

Tiếp theo, truyền nhiệt đối lưu tự nhiên giữa trụ và ống đồng tâm được nghiên cứu mô

phỏng. Trước hết, bài toán với trụ và ống có tiết diện tròn được xem xét (Hình 1). Trụ trong

có bán kính ngoài là Ri = 0.5Di = 0.625∆R, ống ngoài có bán kính trong là Ro= 0.5Do =

1.625∆R. Nhiệt độ của trụ là θh =1, nhiệt độ của ống là θc = 0. Trụ và ống được đặt tại tâm

miền tính toán có kích thước là 5∆R× 5∆R. Mô phỏng được tính toán với số Prandtl [5] và

Rayleigh lần lượt là Pr = 0.7 và Ra = 5×104. Mô hình bài toán cũng đã được nghiên cứu bởi

Wang và cộng sự [14], và Kuehn và Goldstein [1], [6]. Hình 4 so sánh kết quả nghiên cứu

hiện tại với các kết quả của được công bố trong các tài liệu [1, 14]. Hình 4 cho thấy các kết

Vũ Văn Trường, Nguyễn Tiến Cường 771

Hình 4. Kết quả đối lưu tự nhiên giữa trụ tròn và ống tròn được so sánh với Kuehn và

Goldstein [1] và Wang và cộng sự [14] về: (a) trường nhiệt độ và (b) phân bố nhiệt độ

giữa trụ và ống tại góc ϕ = 600

Phương pháp biên nhúng cho mô phỏng số truyền nhiệt đối lưu tự nhiên

Hình 5. Ảnh hưởng của Ra: (a), (b) và (c) đường đẳng nhiệt (trái) và trường vận tốc (phải);

và (d) phân bố nhiệt độ giữa trụ và ống tại góc ϕ = 900. Trong các hình (a), (b) và (c) vận

tốc đã được không thứ nguyên hóa bởi Uc

quả tính toán bằng phương pháp hiện tại và bằng các phương pháp khác [1,14] là tương đối

trùng khớp. Điều này chứng tỏ độ tin cậy, cũng như độ chính xác của phương pháp biên nhúng

trình bày ở trên cho bài toán truyền nhiệt đối lưu tự nhiên.

So sánh với các phương pháp số khác cho bài toán, phương pháp hiện tại sử dụng phương

pháp nội suy trường vận tốc và nhiệt độ chỉ tại các điểm ngay sát biên phân cách, kết hợp với

phương pháp tách biến (phương pháp chiếu) là tương đối đơn giản và dễ dàng viết chương

trình, nhưng vẫn cho độ tin cậy cao.

Để nghiên cứu tác động của Ra đến bài toán này như thế nào, chúng ta xét cùng mô hình

bài toán với số Pr = 0.7 và Ra thay đổi trong khoảng 104 đến 106 (Hình 5). Như được thấy

trong Hình 5, sự phân bố nhiệt độ trong khoang giữa trụ và ống khác nhiều so với trường hợp

truyền nhiệt thông thường tại các số Ra cao. Điều này khẳng định sự ảnh hưởng của đối lưu

đối với quá trình truyền nhiệt. Bởi vì trụ luôn được giữ ở trạng thái nóng, chất lỏng nóng gần

Vũ Văn Trường, Nguyễn Tiến Cường 773

mặt trụ chuyển động lên trên tại vùng gần mặt phẳng thẳng đứng trung tâm do sự giãn nở nhiệt

của chất lỏng. Chất lỏng nóng này sau khi va vào đỉnh của ống ngoài sẽ chuyển động bám

theo mặt trong của ống ngoài (Hình 5) và chuyển động đi xuống do chất 770 giữa trụ và

ống đồng tâm

lỏng trở nên lạnh hơn và co lại (do tiếp xúc với thành lạnh của ống ngoài). Cứ như vậy, trong

khoang chất lỏng tạo thành một dòng chất lỏng lưu chuyển.

Như được thấy trong Hình 5a, với Ra thấp, dòng đối lưu tương đối yếu. Theo đó, dòng

đối lưu có tác động yếu đến sự phân bố nhiệt độ trong khoang. Trong trường hợp này, truyền

nhiệt trong khoang được đặc trưng chủ yếu bởi cơ chế dẫn nhiệt. Khi Ra tăng lên (Hình 5c)

dòng đối lưu trở nên mạnh hơn rất nhiều và ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phân bố nhiệt độ

trong khoang. Như vậy với Ra cao (Hình 5c) truyền nhiệt trong khoang xảy ra với cơ chế đối

lưu tự nhiên. Hình 5 cũng cho thấy, khi Ra tăng lên từ 104 đến 106, các đường đẳng nhiệt bị

vặn vẹo hơn và sự hình thành lớp biên nhiệt trên bề mặt trụ (từ dưới lên trên) cũng như dọc

theo bề mặt thành ống ngoài (từ trên xuống) trở nên nổi trội. Điều này dẫn đến một sự phân

tầng ổn định tại trung tâm của khoang ứng với số Ra cao. Điều này cho thấy quá trình truyền

nhiệt trong khoang vành khăn với cơ chế truyền nhiệt là dẫn nhiệt khi số Ra thấp còn với số

Ra cao, cơ chế truyền nhiệt được đặc trưng bởi đối lưu tự nhiên.

Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét hình dạng khoang ảnh hưởng thế nào đến truyền nhiệt đối

lưu tự nhiên trong khoang với Pr = 0.7 và Ra = 5×104 (Hình 6). Ở đây bài báo chỉ xét đến hai

dạng tiết diện của ống ngoài: tròn (Hình 6a) và thoi vuông (Hình 6b). Cạnh của

Phương pháp biên nhúng cho mô phỏng số truyền nhiệt đối lưu tự nhiên

Hình 6. Ảnh hưởng của hình dạng ống ngoài đến truyền nhiệt đối lưu: (a) tiết diện tròn (b)

tiết diện thoi vuông và (c) phân bố nhiệt độ giữa trụ và ống tại góc ϕ = 450 và 1350

hình thoi bằng với đường kính của hình tròn. Hình 6 cho thấy các đường đẳng nhiệt bị biến

dạng nhiều hơn với tiết diện hình thoi. Lớp biên nhiệt (từ dưới lên trên) xung quanh trụ trong

và lớp biên nhiệt (từ trên xuống) gần thành ống ngoài tại góc phần tư phía trên cũng rõ rệt hơn

với biên dạng hình thoi. Điều này thấy rõ trên Hình 6c (cho thấy sự phân bố nhiệt độ tại các

mặt cắt ϕ = 450 và 1350). Như vậy hình dạng ống ngoài có ảnh hưởng đáng kể đến sự truyền

nhiệt bên trong ống.

4. Kết luận

Bài báo đã giới thiệu một phương pháp biên nhúng cho bài toán truyền nhiệt đối lưu tự

nhiên. Biên phân cách giữa pha lỏng và pha rắn được biểu diễn bởi các điểm liên kết nằm trên

lưới cố định hình chữ nhật. Theo đó điều kiện biên lăn không trượt cũng như điều kiện nhiệt

độ hằng tại biên được thỏa mãn bằng cách nội suy lại trường vận tốc và nhiệt độ tại các điểm

nằm trong pha lỏng và lân cận biên. Phương pháp được kiểm nghiệm độ chính xác thông qua

so sánh nghiệm số với nghiệm tính toán bởi các tác giả khác cho bài toán đối lưu với dòng

Vũ Văn Trường, Nguyễn Tiến Cường 775

chảy bao qua trụ và đối lưu tự nhiên trong khoang vành khăn. Sau đó, phương pháp được áp

dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của số Ra đến truyền nhiệt đối lưu tự nhiên trong khoang giữa

trụ và ống. Khi Ra tăng, các đường đẳng nhiệt bị vặn nhiều hơn và lớp biên nhiệt hình thành

rõ rệt hơn. Hình dạng thoi của ống ngoài cũng được xét đến.

Phương pháp biên nhúng giới thiệu trong bài báo này là tương đối đơn giản và có thể

ứng dụng cho việc giải các bài toán truyền nhiệt lưu chất với sự hiện diện của các vật rắn có

hình dạng khác nhau với các biên có hình dạng phức tạp.

Lời cảm ơn

Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia

(NAFOSTED) trong đề tài mã số 107.03-2014.21.

Tài liệu tham khảo [1] Kuehn, T. H., Goldstein, R. J. (1976). “An experimental and theoretical study of natural

convection in the annulus between horizontal concentric cylinders” . Journal of Fluid mechanics,

Vol 74, pp. 695–719. [2] Warrington, R. O., Powe, R. E. (1985). “The transfer of heat by natural convection between bodies

and their enclosures” . International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol 28, pp. 319–330. [3] Ekundayo, C. O., Probert, S. D., Newborough, M. (1998). “Heat transfers from a horizontal

cylinder in a rectangular enclosure” .Applied energy, Vol 61, pp. 57–78. [4] Deschamps, V., Desrayaud, G. (1994). “Modeling a horizontal heat-flux cylinder as a line source”

.Journal of thermophysics and heat transfer, Vol 8, pp. 84–91. [5] Cuong T. Nguyen, Ha H. Bui, Ryoichi Fukagawa; “Failure mechanism of 2D granular flows:

Experiment”, Journal of Chemical Engineering of Japan, Vol. 48, No. 6, pp. 395–402, 2015. [6] C.T. Nguyen, Ha H. Bui, R. Fukagawa: “Two-Dimentional Numerical Modelling of Modular-

Block Soil Retaining Walls Collapse Using Meshree Method”, International Journal of

GEOMATE, Vol. 5, No1, pp.647-652, 2013. [7] Nguyen Tien Cuong, Trinh Thu Phuong: "Forecasting the discharge into Hoa Binh reservoir by

applying the Connecting model MARINE-IMech1D", Vietnam Journal of Mechanics, Vol.30,

No.3, pp.149-157, 2008. [8] H. Van Lai, N. Van Diep, N. Tien Cuong and N. Hong Phong: "Coupling hydrological-hydraulic

models for extreme flood simulating and forecasting on the North Central Coast of Vietnam", WIT Transctions on Ecology and the Environment, Vol.124 (2009), pp.113-123. River Basin

Management 2009, The fifth International Conference, Malta, September 7-9, 2009. [9] Liao, C.-C., Chang, Y.-W., Lin, C.-A., McDonough, J. M. (2010). “Simulating flows with moving

rigid boundary using immersed-boundary method” .Computers & Fluids, Vol 39, pp. 152–167.

[10] Trường, V. V., Tryggvason, G., Wells, J. C., Takakura, H. “Tính toán mô phỏng quá trình hóa rắn với đối lưu tự nhiên bằng phương pháp Front tracking,” Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học Cơ học Thủy khí Toàn quốc năm 2012, Nha Trang, Vietnam, pp. 705–719.

[9] Trường, V. V., Anh, T. V., Long, N. C. “Tính toán mô phỏng số 2D dòng chảy qua hai dãy cánh công tác chuyển động và cánh hướng dòng của bơm ống phun,” Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học Cơ học Thủy khí Toàn quốc năm 2014, Ninh Thuận, Việt Nam, p. ...–...

[10] Liu, Y., Phan-Thien, N., Kemp, R. (1996). “Coupled conduction-convection problem for a

cylinder in an enclosure” .Computational mechanics, Vol 18, pp. 429–443. [11] Moukalled, F., Acharya, S. (1996). “Natural convection in the annulus between concentric

horizontal circular and square cylinders” .Journal of Thermophysics and Heat Transfer, Vol 10,

pp. 524–531.

Phương pháp biên nhúng cho mô phỏng số truyền nhiệt đối lưu tự nhiên

[12] Bharti, R. P., Chhabra, R. P., Eswaran, V. (2007). “A numerical study of the steady forced convection heat transfer from an unconfined circular cylinder” .Heat and Mass Transfer, Vol 43,

pp. 639–648. [13] Zhang, N., Zheng, Z. C., Eckels, S. (2008). “Study of heat-transfer on the surface of a circular

cylinder in flow using an immersed-boundary method” .International Journal of Heat and Fluid

Flow, Vol 29, pp. 1558–1566. [14] Soares, A. A., Ferreira, J. M., Chhabra, R. P. (2005). “Flow and forced convection heat transfer in

crossflow of non-Newtonian fluids over a circular cylinder” .Ind. Eng. Chem. Res., Vol 44, pp.

5815–5827. [15] Dennis, S. C. R., Hudson, J. D., Smith, N. (1968). “Steady laminar forced convection from a

circular cylinder at low Reynolds numbers” .Physics of Fluids (1958-1988), Vol 11, pp. 933– 940. [16] Wang, Z., Fan, J., Luo, K., Cen, K. (2009). “Immersed boundary method for the simulation of

flows with heat transfer” .International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol 52, pp. 4510–

4518.