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Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick
1) Mise en évidence de la diffusion
Définition :
Un phénomène de diffusion apparaît donc comme un phénomène de transport de particules sans mouvement macroscopique du support, ici l'air.
Propriété :
Ce transport se produit dans un système initialement hors équilibre, des régions riches en particules vers les régions pauvres en particules ;il tend à uniformiser irréversiblement la répartition des particules qui diffusent.
Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick
1) Mise en évidence de la diffusion
2) Courant de particules
a) Les échelles
Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick
1) Mise en évidence de la diffusion
2) Courant de particules
a) Les échelles
b) Le vecteur densité de flux de particules
Md
dN(t)
n(M,t)
dN(t) = n(M,t).d
Surface mésoscopique dS
dSM
Définition :
2N, le nombre élémentaire de particules diffusées à travers la surface élémentaire dS, centrée en M, ouverte, orientée dans le sens de dS entre les instants t et t + dt, est compris dans un cylindre oblique de base dS et de génératrice dr = v.dt :
2N = n(M,t).dS.dr = n(M,t).v(M,t).dS.dt
d = dS.dr = v.dS.dt
2N = n.d = n.v.dS.dt
dr = v.dt
dS
v
dSM
2N = jN.dS.dt
Surface mésoscopique dS
dSM
jN
2N = jN.dS.dt > 0dS
jN
2N : grandeur algébrique
2N = jN.dS.dt < 0dS
jN
2N = jN.dS.dtdS
jNux
2N’ = jN.dS’.dt
dS’
jN
ux
2N’ = 2N
dS’ dS
dS’.ux = dS.ux
A partir de ce vecteur jN nous pouvons définir le flux
élémentaire algébrique de particules diffusées :
Définition :
= jN.dS 2N = .dt
d
+
P
dS
MjN(M)
= Σ
Nj .dS
Phénomène de diffusion ; Loi de FickI) Courant de particules. Loi de Fick
1) Mise en évidence de la diffusion
2) Courant de particules
3) Loi de Fick
Deux observations qualitatives :
• La diffusion cesse lorsque la densité particulaire n(M,t) est homogène ;M, jN(M,t) doit s'annuler lorsque gradn = 0
• Le transfert par diffusion appauvrit les zones riches en particules diffusées donc jN(M,t) est dirigé des régions riches vers les régions pauvres, i.e. dans le sens des n(M,t) décroissants ou dans le sens opposé à gradn
Loi de diffusion de Fick
En M, à la date t :
jN = – D.gradn
Ordres de grandeur :
• Pour un gaz
• Pour un liquide
• Pour un solide
: D 10–5 m2.s–1
: D 10–9 m2.s–1
: D 10–30 m2.s–1
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
a) Le cas unidimensionnel
Ne(x + dx,t)
Ne(x,t)
jNux
x + dx
dS2
S
dS1
S
x
1 2
Nc(t)
En M, à la date t :
Equation locale unidimensionnelle de la conservation du nombre de particules diffusées
σNj n
x t
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
a) Le cas unidimensionnel
b) Le cas tridimensionnel
) Bilan global
M
V
jN(M,t)
dS(P)
jN(P,t)
P
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
a) Le cas unidimensionnel
b) Le cas tridimensionnel
) Bilan global
) Bilan local
En M, à la date t :
Equation locale de la conservation du nombre de particules diffusées
σn
div tNj
σn
div(n. ) t
v
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
2) L'équation de diffusion
a) L’équation de diffusion
En M, à la date t :
Equation locale de diffusion de particules
Δ σn
D. n t
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
2) L'équation de diffusion
a) L’équation de diffusion
b) Linéarité et unicité de la solution
) La linéarité
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
2) L'équation de diffusion
a) L’équation de diffusion
b) Linéarité et unicité de la solution
) La linéarité
) L’unicité de la solution
Phénomène de diffusion ; Loi de FickII) L'équation de diffusion des particules
1) Bilan de matière
2) L'équation de diffusion
a) L’équation de diffusion
b) Linéarité et unicité de la solution
c) Irréversibilité
Phénomène de diffusion ; Loi de FickIII) Exemples de diffusion, = 0
1) Le régime stationnaire ou permanent
N0
jN(0) = 0jN(L) = 0
Régime stationnaire sans aide extérieure
n0.S.L = N0
0 L x
jN(L) 0
Régime stationnaire avec aide extérieure
0 L x
n(x) = n0 + (nL – n0) Lx
n0 nL
jN(0) 0
Phénomène de diffusion ; Loi de FickIII) Exemples de diffusion, = 0
1) Le régime stationnaire ou permanent
2) Le régime d'homogénéisation
a) Expression de la solution
N0
t, n(x = ,t) = 0
Régime d’homogénéisation
0 x
n(x,t) =
Dt4x
expDt4S
N 20
Phénomène de diffusion ; Loi de FickIII) Exemples de diffusion, = 0
1) Le régime stationnaire ou permanent
2) Le régime d'homogénéisation
a) Expression de la solution
b) Commentaires
Diffusion de particules
Densité volumique
0x
n(x)
largeur à mi – hauteur : 2 = 2 D.t.ln2