UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARA

FACULTATEA DE FIZICA

PhD THESIS

(Summary + keywords + contents)

Fermion Scattering on Spherically

Symmetric Black Holes

PhD Supervisor,

Prof.univ.dr. COTAESCU I. Ion

PhD Student,

SPOREA Adrian-Ciprian

Timisoara,

2016

i

Keywords: black hole scattering, Dirac equation, fermions, curved space-times, differential

cross section, absorption, polarization, glory, orbiting scattering, Hawking radiation, greybody

factors, partial wave analysis, quantum field theory, general relativity.

Summary

This thesis explores some aspects of the scattering phenomena on black holes, and more

specifically the scattering of Dirac spin-half fermions on spherically symmetric black holes.

This topic enters into the more general subject of quantum field theory on curved spacetimes.

The thesis is organized as follows:

Chapter 1 (Introduction) starts with a general introduction of fermion scattering on black holes,

followed by a brief presentation of the main results obtained in the literature so far. The

introduction ends with a short summary of each chapter.

Chapter 2 (Spherically symmetric Black Holes) focuses on finding spherically symmetric

solutions to Einstein equations. A brief introduction of Einstein field equations of general

relativity as well as an extended derivation of the metric tensor for a general static and isotropic

specetime is given at the beginning of the chapter. Then, a pedagogical derivation of the three

types of black hole solutions (Schwarzschild, Reissner-Nordstrom, Schwarzschild-de Sitter)

used in this thesis is carefully detailed. The chapter ends with a brief discussion of classical

motion in the geometry of black holes, motion governed by the geodesic equations.

Chapter 3 (The Dirac equation in curved space-times) is dedicated to the study of the Dirac

equation in curved manifolds, focusing on charts with central symmetry. After giving the

general form of the Dirac equation, we move on to study it in the Cartesian gauge, focusing on

separation of angular variables. It is worth to point out that one of the main advantages of the

Cartesian gauge is the complete solving of the angular part of the Dirac equations in terms of

the usual spherical spinors encountered in central problems on Minkovski spacetime. Thus, only

a set of radial Dirac wave equations remain. In general, the radial equations are complicated

and, consequently, complete analytical solutions are difficult to find requiring numerical

methods to solve the equations. However, as showed in chapters 5, 6, 7, approximative

analytical solutions that are valid in certain regions of the geometry can be found. The last

section of the chapter is used to exemplify the power of the Cartesian gauge by solving the Dirac

equation in the geometry of a higher dimensional black hole. This is one of the original results

of the present thesis (C.A. Sporea and A. Borowiec, Mod. Phys. Lett. A 30 (2015) 1550145).

In Chapter 4 (Partial wave analysis), the method of partial wave analysis is introduced. This

method consists in finding the phase shifts contained in the scattered waves and how one can

express the scattering cross sections and the polarization degree in terms of the phase shifts.

Basically if one sends a plane wave towards a black hole, the wave will be scattered and an

ii

observer placed in the asymptotic region of the black hole will observe that the phase of the

plane wave got shifted. This will be used in the following chapters for analysing the scattering

phenomena of Dirac fermions on black holes. In the last section, an example of partial wave

analysis for studying the relativistic Dirac-Coulomb scattering is given.

Chapter 5, 6 and 7 present the original contributions of this PhD thesis. The most important

result obtained in this thesis is the derivation of analytic formulas for the phase shifts

characteristic to fermion scattering phenomena by Schwarzschild and Reissner-Nordsrtom black

holes. This is the first analytic result existing up to now in the literature; all the other existing

studies are based on numerical or are analytical-numerical derivations of the phase shifts.

Another important result obtained for the first time by us is the derivation of an analytical

expression for low-energy greybody factors for fermions emitted as Hawking radiation by a

Schwarzschild-de Sitter (SdS) black hole.

In Chapter 5 (Scattering by a Schwarzschild black hole) we study the scattering of fermions on

Schwarzschild black holes. In the first section of the chapter the relevant results (obtained in the

literature using classical and semi-classical scattering theory) are briefly summarised. Next, the

approximative analytical solutions to the Dirac equation in Schwarzschild geometry are

presented with a focus on the scattering modes. Further, the partial wave method is used on the

scattering solutions in order to find an analytical expression for the phase shifts 𝛿𝑘. The

Newtonian limit and boundary conditions are also discussed. Once the phase shifts are found

we can use them to write down the scattering and absorption (total and differential) cross

sections together with the polarization degree. The last section of the chapter is dedicated to a

graphical analysis of our results that are encoded in quite complex analytical formulas. The

graphical analysis facilitates the physical interpretation of the analytical results. Thus, as

reported also by other studies, we have found that the scattering of spin 1/2 waves by

Schwarzschild black holes can produce glory (i.e. backward scattering at angles close to 𝜋) and

orbiting/spiral scattering (i.e. the presence of oscillations in the scattering intensity). Besides the

dependence on 𝜃 of the forward and backward scattering we also analyze the energy dependence

of the differential cross scattering. An initially unpolarized beam can become partially polarized

after the interaction with the black hole. The effects of the black hole mass upon the polarization

is also discussed. It is showed that the beam could also be polarized in a direction orthogonal to

the scattering plane (in close relation with the well-known Mott polarization). The graphical

analysis ends with the discussion of the absorption cross section. The main results of this chapter

where published in "Partial wave analysis of the Dirac fermions scattered from Schwarzschild

black holes" (I.I. Cotaescu, C. Crucean and C.A. Sporea, Eur. Phys. J. C, Vol. 76:102, 2016).

In Chapter 6 (Scattering by a Reissner-Nordstrom black hole) besides finding the Reissner-

Nordstrom phase shifts, we also discuss about bond states in this geometry. A preliminary

analysis indicates that the bound states are in fact quasi-stable states, but further investigations

are needed to confirm this. The bound states are contained in the modes forming the discrete

part of the spectrum, while the continuous modes give the scattering solutions. Both the discrete

and the scattering solutions of the Dirac equations in Reissner-Nordstrom geometry were

iii

obtained for the first time in this thesis. The chapter ends with a graphical analysis of the

scattering, absorption and polarization that now depend also on the charges of the fermion and

the charge of the black hole. A part of the results contained in this chapter where published in

"Partial wave analysis of the Dirac fermions scattered from Reissner - Nordstrom charged black

holes" (I.I. Cotaescu, C. Crucean and C.A. Sporea, Eur. Phys. J. C, Vol. 76:413, 2016).

In Chapter 7 (Scattering by a Schwarzschild-de Sitter black hole) we show how to obtain the

low energy greybody factors for fermions emitted as Hawking radiation by a Schwarzschild-de

Sitter (SdS) black hole. An introductory section is dedicated to the review of Hawking radiation.

Approximative analytical solutions to the Dirac equation near the SdS black hole horizon, near

the cosmological horizon and in a region between the two horizons are found. Using a matching

technique we are able to connect two by two the solutions and to read in the end the expression

of the greybody factors which are in fact related to the absorption cross section on a SdS black

hole. A brief discussion of the Hawking energy spectrum obtained by plugging in the greybody

factors into the energy flux formula is given at the end. This chapter is mainly based on the

paper "Low energy Greybody factors for fermions emitted by a Schwarzschild-de Sitter black

hole" (C.A. Sporea and A. Borowiec, Int. J. Mod. Phys. D, Vol. 25, No. 4 (2016) 1650043)

The thesis ends with 4 Appendices. The most important is Appendix D, in which a part of Maple

codes and programs developed by us using Maple 2015 is detailed. These programs were used

for the derivation of solutions to the Dirac equation and for graphical representations of the

scattering cross sections, the polarisation and the Hawking SdS energy spectrum.

Contents

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

List of publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

1 Introduction 1

2 Spherically symmetric Black Holes 6

2.1 Einstein field equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Static and isotropic spacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Solutions to Einstein Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 The Schwarzschild Black Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.2 The Schwarzschild - de Sitter black hole . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3 The Reissner-Nordstrom black hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Geodesics in black hole geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 The Dirac equation in curved space-times 16

3.1 The Dirac Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 The Cartesian gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 The Cartesian gauge in spherical variables . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 The Dirac equation in Cartesian gauge . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Separation of angular variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 The radial problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 The scalar product and radial currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Solutions to the Dirac equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6.1 Solutions in Minkowski geometry with a Coulomb field . . . . . . . 25

3.6.2 Solutions in the geometry of a higher dimensional Black Hole . . . . 27

4 Partial wave analysis 33

4.1 Expansion in spherical waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Phase shifts and the scattered amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Partial amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Scattering cross sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.1 Elastic scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.2 Inelastic scattering. Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 An example: relativistic Dirac-Coulomb scattering . . . . . . . . . . . . . . 40

v

5 Scattering by a Schwarzschild black hole 42

5.1 Classical and semi-classical scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 The Dirac equation in Schwarzschild geometry . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.1 Solutions near the black hole horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.2 Analytic asymptotic solutions. Scattering modes . . . . . . . . . . . 46

5.3 Partial wave analysis. Phase shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3.1 The Newtonian limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5 Scattering cross sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5.1 Elastic scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5.2 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.6 Graphical analysis of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6.1 Forward and backward scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.6.2 Dependence on energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6.3 Polarization degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.6.4 Absorption cross section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Scattering by a Reissner-Nordstrom black hole 68

6.1 The Dirac equation in Reissner-Nordstrom geometry . . . . . . . . . . . . 68

6.1.1 Near horizon solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Asymptotic spinors in Reissner-Nordstrom geometry . . . . . . . . . . . . . 71

6.3 Bound states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.4 Partial wave analysis. Phase shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.5 Graphical analysis of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.5.1 Forward and backward scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.5.2 Dependence on energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5.3 Polarization degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5.4 Absorption cross section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Scattering by a Schwarzschild-de

Sitter black hole. Greybody factors 90

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2 Hawking radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3 Solutions to field equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3.1 Solutions near the two horizons rb and rc . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3.2 Solutions in the intermediate region rb < r < rc . . . . . . . . . . . 94

7.4 Greybody factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.5 Energy spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Appendices 101

vi

A GR + Static isotropic metric 102

A.1 Geodesics in black hole geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

B Dirac equation 105

C Special functions 108

C.1 Spherical harmonics and Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 108

C.2 Whittaker functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

D Maple codes 110

Bibliography 129

vii

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARA

FACULTATEA DE FIZICA

TEZA DE DOCTORAT

(Rezumat + cuvinte cheie + cuprins)

Imprastierea fermionilor pe gauri

negre cu simetrie sferica

Coordonator stiintific,

Prof.univ.dr. COTAESCU I. Ion

Doctorand,

SPOREA Adrian-Ciprian

Timisoara,

2016

i

Cuvinte cheie: găuri negre, ecuația Dirac, fermioni, spații-timp curbate, secțiuni diferențiale de

împrăștiere, secțiunea de absorbție, polarizarea, glory, orbiting scattering, radiația Hawking,

factorii de formă, analiza în unde parțiale, teoria cuantică de câmp, teoria relativității generale.

Rezumat

Teza de față abordează unele aspecte ale fenomenelor de împrăștiere pe găuri negre, axându-se

în principal pe studiul împrăștierii fermionilor Dirac pe găuri negre cu simetrie sferică. Acest

subiect se încadrează în tema mai generală a teoriei de câmp pe spații-timp curbate.

Teza este structurată după cum urmează:

Capitol 1, intitulat Introducere, începe cu o expunere generală a problemei împrăștierii

fermionilor pe găuri negre, urmată de o scurtă prezentare a principalelor studii existente până la

acest moment în literatura de specialitate. Restul introducerii este dedicat expunerii pe scurt a

fiecarui capitol în parte.

În urmatoarele trei capitole (respectiv capitolele 2, 3 și 4) sunt introduse principalele notiuni și

concepte care vor fi folosite ulterior în capitolele 5, 6 și 7, capitole care includ rezultatele

originale prezentate în teză.

Capitolul 2, intitulat Găuri negre cu simetrie sferică, începe cu o scurtă introducere a ecuațiilor

Einstein din Teoria Generală a Relativității și se continuă cu o prezentare detaliată a obținerii

tensorului metric caracteristic unui spațiu-timp omogen și izotrop. Restul capitolului este dedicat

aproape în întregime obținerii de soluții, tip gaură neagră cu simetrie sferică, ale ecuațiilor

Einstein și anume: soluția Schwarzschild, soluția Reissner-Nordstrom (gaură neagră încărcată

electric) și respectiv, soluția Schwarzschild-de Sitter. În ultima parte a capitolului este discută

pe scurt mișcarea clasică în geometria unei găuri negre așa cum rezultă din ecuațiile geodezice.

Capitolul 3, intitulat Ecuația Dirac pe spații-timp curbate, este dedicat studiului ecuației Dirac

pe spații-timp curbate, cu un accent pe studierea hărților cu simetrie centrală. După prezentarea

generală a ecuației Dirac se trece la definirea etalonării Carteziene. În continuare am studiat

ecuația Dirac în această etalonare, punând accentul pe separarea variabilelor unghiulare. Trebuie

menționat aici faptul că unul dintre principalele avantaje ale etalonării Carteziene (în comparație

cu alte etalonări folosite în literatură) este acela că soluțiile ecuațiilor unghiulare, care rezultă

după separarea variabilelor, coincid cu spinorii sferici ai ecuației Dirac în problemele cu simetrie

centrală de pe spațiul-timp Minkovski. Așadar, mai rămâne de rezolvat doar un sistem de ecuații

radiale a căror formă depinde de geometria spațiu-timp avută în considerare. În general aceste

ecuații radiale sunt prea complicate pentru a putea fi rezolvate analitic, motiv pentru care

folosirea metodelor numerice în rezolvarea ecuațiilor devine obligatorie. Cu toate acestea, așa

cum vom arăta în capitolele 5, 6 și 7, pot fi găsite soluții analitice aproximative care sunt valabile

ii

doar în anumite regiuni ale geometriei. În ultima parte a capitolului exemplificăm puterea

etalonării Carteziene prin aplicarea ei la rezolvarea ecuației Dirac în geometria unei găuri negre

multidimensionale. Soluțiile noi obținute reprezintă de fapt unul din rezultatele originale ale

aceste teze, rezultate care au fost publicate în lucrarea cu titlul „New modes for massive Dirac

field in higher dimensional Black Holes” (C.A. Sporea, A. Borowiec, Mod. Phys. Lett. A, Vol.

30 (2015) 1550145).

În Capitolul 4, intitulat Analiza în unde parțiale, este prezentată metoda analizei în unde parțiale

care constă practic în găsirea diferențelor de fază cu ajutorul căroră pot fi calculate ulterior toate

mărimile caracteristice împrăstierii (secțiunile diferențiale și totale, gradul de polarizare). Din

punct de vedere fizic interacțiunea dintre o undă plană și câmpul gravitațional produs de o gaură

neagră se reduce la apariția unei diferențe de fază în unda plană împraștiată. În ultima parte a

capitolului prezentăm un examplu pedagogic de determinare a diferențelor de fază cu ajutorul

analizei în unde parțiale prin aplicarea acesteia la problema împrăștierii Dirac-Coulomb

relativiste cu scopul de exemplificare a pașilor care vor fi urmați în capitoele 5 și 6 la

determinarea diferențelor de faza în cazul împrăștierii pe găuri negre Schwarzschild și respectiv

Reissner-Nordstrom.

Capitolul 5, împreună cu capitolele 6 și 7 conțin contribuțiile originale ale acestei Teze de

Doctorat, rezultate pe care dorim să le prezentăm pe scurt în cele ce urmează. Cel mai important

rezultat științific obținut în această teză este determinarea și găsirea unor expresii analitice

pentru diferențele de fază 𝛿𝑘 în cazul împrăștierii fermionilor pe o gaură neagră de tip

Schwarzschild și respectiv, pe o gaură neagră Reissner-Nordstrom încarcată electric. Merită

subliniat faptul că, în ciuda seniorității acestei probleme, rezultatul nostru este primul rezultat

analitic obținut pană acum în literatura de specialitate; studiile deja existente s-au bazat în

principal pe metode numerice sau în cel mai bun caz pe o combinație de metode analitice și

numerice. Un alt rezultat important obținut pentru prima dată în această Teză este găsirea și

deducerea unor expresii analitice pentru factorii de formă (greybody factors) caracteristici

fermionilor de joasă energie emiși sub formă de radiație Hawking de către o gaură neagră

Schwarzschild-de Sitter (SdS). Precizăm că rezultatele noastre analitice sunt în bun acord cu

cele obținute folosind metode numerice.

În Capitolul 5, intitulat Împrăștierea pe gaură neagră Schwarzschild, este studiată în

profunzime problema împrăștierii fermionilor pe o gaură neagră de tip Schwarzschild. Astfel,

capitolul începe cu o scurtă prezentare a rezultatelor relevante obținute în literatură cu ajutorul

metodelor de împrăștiere clasice și semi-clsaice. În continuare sunt prezentate soluțiile analitice

aproximative ale ecuației Dirac în geometria Schwarzschild, punându-se accentul pe soluțiile de

împrăștiere care vor fi folosite pentru obținerea diferențelor de fază 𝛿𝑘 cu ajutorul analizei în

unde parțiale. Limita Newtoniană și problema condițiilor pe frontieră sunt de asemenea

abordate. Cu ajutorul diferențelor de fază se calculează forma explicită a secțiunilor de

împrășiere (diferențială, totală și de absorbție), precum și gradul de polarizare. Ultima partea a

capitolului este dedicată interpretării fizice folosindu-ne de analiza grafică a rezultatelor

iii

conținute în expresii analitice complexe. Rezultatele noastre referitoare la împrăștierea undelor

cu spin ½ pe o gaură neagră Schwarzschild ne indică prezența fenomenelor de glory (i.e.

împrăștierea înapoi la unghiuri apropiate de 𝜋) și de orbiting/spiral scattering (prezența

oscilațiilor în amplitudinea de împrăștiere) confirmând astfel rezultatele altor studii din

literatură. Pe langă dependența de unghiul 𝜃 a împrăștierii înainte și înapoi, este analizată de

asemenea și dependența de energie a secțiunii diferențiale de împrăștiere. Un fascicul de unde

incidente nepolarizat poate deveni parțial polarizat în urma împrăștierii pe o gaură neagră. A

fost discutată de asemenea și dependența gradului de polarizare cu masa găurii negre, precum și

polarizarea pe o direcție ortogonală cu planul de împrăștiere (polarizarea Mott). Analiza grafică

se încheie cu studierea secțiunii de absorbție. Principalele rezultate din acest capitol au fost

publicate în „Partial wave analysis of the Dirac fermions scattered from Schwarzschild black

holes” (I.I. Cotaescu, C. Crucean, C.A. Sporea, Eur. Phys. J. C, Vol. 76:102, 2016).

Capitolul 6, intitulat Împrăștierea pe o gaură neagră Reissner-Nordstrom, urmează în mare

structura capitolului precedent cu deosebirea majoră că în acest capitol am studiat și problema

stărilor legate în geometria Reissner-Nordstrom. O analiză preliminară ne indică faptul că aceste

stari legate sunt de fapt stări meta-stabile, fiind necesare însă și alte studii suplimentare care să

confirme acest lucru. Stările legate sunt conținute în soluțiile care formează spectrul discret, în

timp ce stările de împrăștiere fac parte din spectrul continuu. Atât stările discrete cât și cele de

împrășiere, mai sus amintite, ale ecuație Dirac în geometria Reissner-Nordstrom au fost obținute

pentru prima data în teza de fața. Întregul capitol este axat în principal pe găsirea diferențelor

de fază caracteristice împrăștierii, precum și pe analiza rezultatelor împrăștierii folosind metode

grafice cu deosebirea că acum secțiunea diferențială de împrăștiere, absorbția și respectiv,

polarizarea vor depinde și de sarcina electrică a fermionilor precum și de sarcina electică a găurii

negre. O parte din rezultatele prezentate în acest capitol au fost publicate în „Partial wave

analysis of the Dirac fermions scattered from Reissner - Nordstrom charged black holes” (I.I.

Cotaescu, C. Crucean, C.A. Sporea, Eur. Phys. J. C, Vol. 76:413, 2016).

În capitolul 7, intitulat Împrăștierea pe o gaură neagră Schwarzschild-de Sitter, este discutată

problema factorilor de formă (greybody factors) caracteristici fermionilor de joasă energie

emișii sub formă de radiație Hawking de către o gaură neagră Schwarzschild-de Sitter (SdS).

Capitolul începe cu o scurtă introducere în teoria radiației Hawking și se continuă apoi cu găsirea

de soluții analitice aproximative ale ecuației Dirac valide în vecinătatea orizontului găurii negre

SdS, în vecinatatea orizontului cosmologic și respectiv, într-o regiune dintre cele două

orizonturi. În urma conectării acestor soluții două câte două este posibilă calcularea secțiunii de

absorbție și implicit găsirea unei expresii analitice (valabilă doar la energi mici) pentru factorii

de formă. În încheiere este prezentată o scurtă discuție a spectrului energiei radiației Hawking

emise sub formă de fermioni de o gaură neagră SdS. Acest capitol a avut la bază o lucrare deja

publicată, și anume “Low energy Greybody factors for fermions emitted by a Schwarzschild-de

Sitter black hole" (C.A. Sporea, A. Borowiec, Int. J. Mod. Phys. D, Vol. 25, No. 4 (2016)

1650043).

iv

Teza se încheie cu o serie de 4 Anexe, dintre care cea mai improtantă este Anexa D), în care

sunt prezentate o parte semnificativă a programelor Maple (dezvoltate de autor cu Maple 2015)

folosite în această Teză. Aceste programe au fost folosite în special pentru rezolvarea ecuației

Dirac, pentru analiza grafică a secțiuniilor de împrăștiere, a absorbției, a polarizarii precum și a

factorilor de formă (greybody factors) și a spectrului radiației Hawking emise.

Cuprins

Prefata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Lista articolelor publicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

1 Introducere 1

2 Gauri negre cu simetrie sferica 6

2.1 Ecuatiile de camp Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Spatii-timp statice si izotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Solutii ale ecuatiilor Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Solutia Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.2 Solutia Schwarzschild - de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3 Solutia Reissner-Nordstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Geodezice ın geometria unei gauri negre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Ecuatia Dirac pe spatii-timp curbate 16

3.1 Ecuatia Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Gauge-ul Cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Gauge-ul Cartezian ın coordonate sferice . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Ecuatia Dirac ın gauge-ul Cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Separarea variabilelor sferice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Problema radiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Produsul scalar si curentii radiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Solutii ale ecuatiei Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6.1 Solutii ın camp extern Coulomb pe geometria Minkowski . . . . . . 25

3.6.2 Solutii ın geometria unei gauri negre multidimensionale . . . . . . . 27

4 Analiza ın unde partiale 33

4.1 Expansiunea undelor plane ın armonice sferice . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Defazajele de faza si amplitudinea de ımprastiere . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Amplitudinile partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Sectiuni de ımprastiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.1 Imprastierea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.2 Imprastierea inelastica. Absorbtia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Exemplu: ımprasierea relativista Dirac-Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 40

v

5 Imprastierea pe o gaura neagra Schwarzschild 42

5.1 Imprastierea clasica si semi-clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Ecuatia Dirac ın geometria Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.1 Solutii ın apropierea orizontului gauri negre . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.2 Solutii analitice asimptotice. Modurile de ımprastiere . . . . . . . . 46

5.3 Analiza ın unde partiale. Defazajele de faza . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3.1 Limita Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 Conditii pe frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5 Sectiuni de ımprastiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5.1 Imprastierea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5.2 Absorptia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.6 Analiza grafica a rezultatelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6.1 Imprastierea ınainte si ınapoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.6.2 Dependenta de energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6.3 Gradul de polarizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.6.4 Sectiunea de absorbtie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Imprastierea pe o gaura neagra Reissner-Nordstrom 68

6.1 Ecuatia Dirac ın geometria Reissner-Nordstrom geometry . . . . . . . . . . 68

6.1.1 Solutii ın apropierea orizontului gaurii negre . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Spinorii asimptotici ın geometria Reissner-Nordstrom . . . . . . . . . . . . 71

6.3 Stari legate. Nivele discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.4 Analiza ın unde partiale. Defazajele de faza . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.5 Analiza grafica a rezultatelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.5.1 Imprastierea ınainte si ınapoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.5.2 Dependenta de energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5.3 Gradul de polarizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.5.4 Sectiunea de absorbtie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Imprastierea pe o gaura neagra Schwarzschild-de Sitter.

Greybody factors 90

7.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2 Radiatia Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3 Solutii ale ecuatiilor de camp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3.1 Solutii ın apropierea orizonturilor rb si rc . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3.2 Solutii valabile ın zona rb < r < rc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.4 Greybody factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.5 Spectrul energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Anexe 101

vi

A GR + metrica statica si izotropa 102

A.1 Geodezice ın geometria unei gauri negre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

B Ecuatia Dirac 105

C Functii speciale 108

C.1 Armonicele sferice si polinoamele Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

C.2 Functiile Whittaker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

D Programe Maple 110

Bibliografie 129

vii