PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)hcmute.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/fas/Dethi_dapan/HK1_17_18/Hàm... · biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN

ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2017-2018 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian: 90 phuùt (30/12/2017) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M

aõ ñeà: 0010-3012-2017-0011-0001 (Noäp laïi ñeà naøy)

PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)

Caâu 1 Với điều kiện và , xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt

phẳng phức): ,

ba, 022 ba

ibazo 5

2

1 (z )π

ieiba 5

6

3 )(π

ieibaz 5

4

2 )(π

ieibaz 5

8

4 )(π

ieibaz , , , .

Khẳng định nào sau đây sai? A) có biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh một hình ngũ giác đều. 4321 ,,,, zzzzzo

B) có biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh một ngôi sao năm cánh đều. 4321 ,,,, zzzzzo

C) có biểu diễn hình học cùng thuộc một đường tròn tâm là gốc tọa độ . 4321 ,,,, zzzzzo )0,0(O

D) có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình vuông và . 4321 ,,,, zzzzzo 4zzo

2018

2

5i

i

2-3iCaâu 2 Cho soá phöùc z = + e . Khi ñoù, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa laø: z

A) 3cos , 3sin 1Re 2ez 1Im 2ez B) 3cos , 3sin 1Re 2ez 1Im 2ez

C) 3cos , 3sin 2Re 2ez Im 2ez D) 3cos , 3sin 2Re 2ez Im 2ez

- 1 -

Câu 3 Ảnh của đường tròn qua phép biến hình w = 122 yxz

3= là ivu

A) Đường tròn 12 . C) Đường tròn 92 . 2 vu 2 vuB) Đường tròn 32 . D) Đường thẳng v = -u . 2 vu

Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai?

A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên nöûa maët phaúng mở 3Im: zzD thì hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .

B) Nếu hàm ),( yxu điều hòa và ),( yxv không điều hòa trên miền D thì haøm )(zf = u(x,y)+ iv(x,y) không

giải tích trên mieàn D. C) Nếu caùc hàm ),(), điều hòa trên miền D thì haøm )(zf = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích trên mieàn D. ,( yxvyxu

D) Hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) khả vi trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D.

Câu 5 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , xyxyxu 377),( 22 5143 xyyv . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp.

C) u điều hòa, v không điều hòa. D) v điều hòa, u không điều hòa

Caâu 6 Cho phöông trình vi phaân: = (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 8. yy 6' )2(5)2( tetu

Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)

Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: YpY 6 = 5

2

p

e p

+ 8 (2)

Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= )5)(6(

2

pp

e pπ

+ 6

8

p (3)

Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =

5

1

6

12

ppe pπ +

6

8

p

Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = )2(2(5)2(6 πtuee πtπt + 8 te6

A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.

B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.

Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Haøm phöùc )(zf = u(x,y)+ iv(x,y) bò chaën (veà mudun) treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y),

v(x,y) bò chaën treân mieàn D. B) Neáu haøm phöùc )(zf = u(x,y) +i v(x,y) khoâng bò chaën (veà mudun) treân mieàn D thì v(x,y) khoâng bò chaën

treân mieàn D. C) Haøm phöùc )(zf = u(x,y) +i v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) lieân

tuïc treân mieàn D. D) Cho haøm bieán phöùc )(zf = u(x,y) +iv(x,y), z0 = x0 +iy0 vaø giaû söû caùc giôùi haïn ñeàu toàn taïi.

Khi ñoù: +i .

o

oyx

,x(ulim

0

yx

)y)z(fzz

lim

o

oyyxx

)y,x(vlim

Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm )(zf vaø , Azf

(vôùi A0 ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm )(zf .

)(lim zfaz

az m

az

)()(lim

B) iz 2 laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm 2)2()(

53

iz

ezf

izz

C)

432)2(

53

iz

dziz

e izz= )132 6 ie D) (iπ

242)2(

53

iz

dziz

e izz= 0

Câu 9 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?

A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) = 1

1 0 Tppt f t dt

ee

T

( )

B) Neáu vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =

πtπkhitt

πtkhitf

2sin

00)( dtttpt

pπ πe

e)sin(

1

1 2π

tshtchp

p7379

49

2192

64

6

)4(

!35]8cos65[ 24

43

p

p

pptet t -1C) L D) L

Caâu 10 Khẳng định nào sau đây sai?

ize 2

1

ize 2

1

0 )2(!

1

nnizn

A) Khai trieån Laurent của quanh điểm bất thường cô lập = là izo 2

izeizzf 2

14)2()( B) Khai trieån Laurent của hàm quanh điểm bất thường cô lập izo 2 là

= )(zf

0

4

)2(!

1)2(n

nizniz

0

4)2(!

1

nnizn

=

82

2

14)2(

iz

iz dzeiz

- 2 -

C) =!5

12 iπ D) là cực ñieåm cấp 4 của hàm iz 2o izeizzf 24)2()(

1

.

PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)

Caâu 11 ( 1,5ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân

vôùi ñieàu kieän vaø tyyy 4sin37'8'' 0)0( y 0)0(' y

Caâu 11 ( 1,5ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân

- 3 -

y(t)= 8e-5t+2 duutt

uy )cos(0

)(

Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân

, ñieàu kieän x(0)= y(0) = 0

teyyx

yx27'

16'

b) Tính , . Xaùc toïa ñoä gaàn ñuùng trong maët phaúng Oxy cuûa ñieåm sau

khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.

)(lim txt

)(lim tyt

)();( tytxM

Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. CHUAÅN ÑAÀU RA

Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2

G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Caâu 11, Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân, heä phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.

G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3

Ngaøy 28 thaùng 12 naêm 2017 Thoâng qua Boä moân Toaùn

- 4 -

- 5 -

- 6 -

TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN

THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2017-2018 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE

Maõ ñeà: 0011-3012-2017-0011-0001

Giaùm thò 1 Giaùm thò 2

Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM

Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. Thôøi gian : 90 phuùt (30/12/2017) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi.

Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.

BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM

Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Traû lôøi

BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN









Khi ñoù: +i .

o

oyx

,x(ulim

0

yx

)y)z(fzz

lim

o

oyyxx

)y,x(vlim



)(lim zfaz

az m

az

)()(lim


53

iz

ezf

izz

C)

432)2(

53

iz

dziz

e izz= )132 6 ie D) (iπ

242)2(

53

iz

dziz

e izz= 0


1

1 0 Tppt f t dt

ee

T

( )A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =


πtπkhitt

πtkhitf

2sin

00)( dtttpt

pπ πe

e)sin(

1

1 2π

tshtchp

p7379

49

2192

64

6

)4(

!35]8cos65[ 24

43

p

p

pptet t -1C) L D) L


ize 2

1

ize 2

1

0 )2(!

1

nnizn


izeizzf 2


= )(zf

0

4

)2(!

1)2(n

nizniz

0

4)2(!

1

nnizn

=

- 1 -

82

2

14)2(

iz

iz dzeiz

- 2 -

C) =!5


1

.


phẳng phức): ,

ba, 022 ba

ibazo 5

2

1 (z )π

ieiba 5

6

3 )(π

ieibaz 5

8

4 )(π

ieibaz 5

4

2 )(π

ieibaz , , , .





2018

2

5i

i





3= là ivu












2

p

e p

+ 8 (2)


2

pp

e pπ

+ 6

8

p (3)


5

1

6

12

ppe pπ +

6

8

p








- 3 -

y(t)= 8e-5t+2 duutt

uy )cos(0

)(



teyyx

yx27'

16'



)(lim txt

)(lim tyt

)();( tytxM




G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3


- 4 -

- 5 -

- 6 -



Maõ ñeà: 0011-3012-2017-0011-0010






Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Traû lôøi






- 1 -






2

p

e p

+ 8 (2)


2

pp

e pπ

+ 6

8

p (3)


5

1

6

12

ppe pπ +

6

8

p








Khi ñoù: +i .

o

oyx

,x(ulim

0

yx

)y)z(fzz

lim

o

oyyxx

)y,x(vlim



)(lim zfaz

az m

az

)()(lim


53

iz

ezf

izz

C)

432)2(

53

iz

dziz

e izz= )132 6 ie D) (iπ

242)2(

53

iz

dziz

e izz= 0


1

1 0 Tppt f t dt

ee

T



πtπkhitt

πtkhitf

2sin

00)( dtttpt

pπ πe

e)sin(

1

1 2π

tshtchp

p7379

49

2192

64

6

)4(

!35]8cos65[ 24

43

p

p

pptet t -1C) L D) L


ize 2

1

ize 2

1

0 )2(!

1

nnizn


izeizzf 2


= )(zf

0

4

)2(!

1)2(n

nizniz

0

4)2(!

1

nnizn

=

- 2 -

C)

82

2

14)2(

iz

iz dzeiz =!5


1

.


phẳng phức): ,

ba, 022 ba

ibazo 5

2

1 (z )π

ieiba 5

6

3 )(π

ieibaz 5

4

2 )(π

ieibaz 5

8

4 )(π

ieibaz , , , .





2018

2

5i

i





3= là ivu











- 3 -

y(t)= 8e-5t+2 duutt

uy )cos(0

)(



teyyx

yx27'

16'



)(lim txt

)(lim tyt

)();( tytxM




G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3


- 4 -

- 5 -

- 6 -



Maõ ñeà: 0010-3012-2017-0011-0011






Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Traû lôøi







ize 2

1

ize 2

1

0 )2(!

1

nnizn


izeizzf 2


= )(zf

0

4

)2(!

1)2(n

nizniz

0

4)2(!

1

nnizn

=

- 1 -

C)

82

2

14)2(

iz

iz dzeiz =!5

12 iπ D) iz 2o là cực ñieåm cấp 4 của hàm izeizzf 24)2()(

1

.





Khi ñoù: +i .

o

oyx

,x(ulim

0

yx

)y)z(fzz

lim

o

oyyxx

)y,x(vlim


phẳng phức): ,

ba, 022 ba

ibazo 5

2

1 (z )π

ieiba 5

6

3 )(π

ieibaz 5

4

2 )(π

ieibaz 5

8

4 )(π

ieibaz , , , .





2018

2

5i

i






)(lim zfaz

az m

az

)()(lim


53

iz

ezf

izz

C)

432)2(

53

iz

dziz

e izz= )132 6 ie D) (iπ

242)2(

53

iz

dziz

e izz= 0


1

1 0 Tppt f t dt

ee

T



πtπkhitt

πtkhitf

2sin

00)( dtttpt

pπ πe

e)sin(

1

1 2π

tshtchp

p7379

49

2192

64

6

)4(

!35]8cos65[ 24

43

p

p

pptet t -1C) L D) L




2

p

e p

+ 8 (2)


2

pp

e pπ

+ 6

8

p (3)


5

1

6

12

ppe pπ +

6

8

p




- 2 -


3= là ivu













- 3 -

y(t)= 8e-5t+2 duutt

uy )cos(0

)(



teyyx

yx27'

16'



)(lim txt

)(lim tyt

)();( tytxM




G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3


- 4 -

- 5 -

- 6 -



Maõ ñeà: 0010-3012-2017-0011-0100






Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Traû lôøi


ÑAÙP AÙN MOÂN HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE

(Ngaøy thi: 30/12/2017)

PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Maõ ñeà: 0010-3012-2017-0011-0001

Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Traû lôøi D B C C B C B 0.5(*); C B D,B(**)

Maõ ñeà: 0010-3012-2017-0011-0010

Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Traû lôøi B 0.5(*); C B D,B(**) D B C C B C

Maõ ñeà: 0010-3012-2017-0011-0011

Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Traû lôøi B C B 0.5(*); C B D,B(**) D B C C

Maõ ñeà: 0010-3012-2017-0011-0100

Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Traû lôøi D,B(**) B D B 0.5(*); C B C C C B

(*) Tất cả bài thi đều được 0.5 điểm câu này. (do lỗi đánh máy+in+photo)

’ trong đề thi chính thức. (**) có chọn B-là do lỗi đánh máy ‘ ’ thành ‘izo 2 izo

BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN Caâu hoûi

Noäi dung Ñieåm

Caâu 11 1 ñieåm Ñaët = )( pYY )t(y L . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát

tuyeán tính vaø tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc:

= YypYypyYp 7)0(8)0(')0(2 t4sin3L

)78( 2 ppY 16

432

pp

Y)16)(7)(1(

48432

2

pppppp

0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ

- 1 -

Phân tích thành phân thức đơn giản

- 2 -

Y16

4

71)16)(7)(1(

48432

(*)

2

2

p

EDppC

pB

pA

pppppp

Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc

)(ty = ][1 YL ]16

4

167

1

1

11[ 22

1

pE

ppD

pC

pB

pAL

)(ty tEtDCeBeA tt 4sin4cos7

Tìm döïa vaøo ñaúng thöùc: DCBA ,,,

16

4

71)16)(7)(1(

48432

(*)

2

2

p

EDppC

pB

pA

pppppp

A7

3

)160)(70)(10(

4804032

2

, 102

47

)16)1)((71)(1(

48)1(4)1(32

2

B

2730

167

)16)7)((17)(7(

48)7(4)7(32

2

C

Từ đẳng thức (*)

16)2(

42

7212250

13:2

161

4

71111432

55:1

2

2

EDCBApCho

EDCBApCho

Thay 2730

167,

102

47,

7

3 CBA vào hệ trên rồi giải tìm ta được ED,

1105

9,

1105

32 ED

Vậy nghiệm phương trình vi phân là

)(ty ttee tt 4sin1105

94cos

1105

32

2730

167

102

47

7

3 7

0,25ñ 0,5ñ

Caâu 12 1,5ñ

Aùp duïng tích chaäp, phöông trình ñöôïc vieát laïi y(t)= te 58 tty cos*)(2

Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát tuyeán tính vaø ñònh lyù Borel ta ñöôïc L y(t) = L +2 L te 58 tty cos*)(

Y = 5

8

p 2L y(t) L cost

0,5ñ

Y = 5

8

p +2Y

12 pp

Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc

Y = 2

2

)1)(5(

)1(8

pp

p (*)

2)1(

)1(

5 pCpB

pA

2)1(15

pC

pB

pA

Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm

= =)(ty ][1 YL ])1(

1

1

1

5

1[ 2

1

pC

pB

pAL

)(ty ttt CteBeAe 5

Tìm döïa vaøo ñaúng thöùc (*) CBA ,,

2

2

)1)(5(

)1(8

pp

p (*)

2)1(15

pC

pB

pA

9

52A ,

9

20B ,

3

8C

Vậy nghiệm phương trình tích phân là )(ty ttt teee 3

8

9

20

9

52 5

0,25ñ 0,25ñ 0,5ñ

Caâu 13 2 ñ Ñaët yY,xX LL ; bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:

yx 16

teyx 27 LLLL

L LLy

2

1)7(

16

pYpX

pYpX

62)6)(2(

262)6)(2(

14

pF

pE

pD

ppppY

pC

pB

pA

ppppX

Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc:

][

][1 Y

Xy L

L

- 3 -

1x

]6

1

2

11[

]6

1

2

11[

1

1

pF

pE

pD

pC

pB

pA

y

x

L

L

tt

tt

FeEeDyCeBeAx

62

62

Tìm CBA ,, dựa vào

62)6)(2(

14

pC

pB

pA

pppp

6

7

)60)(20(

140

A , 2

3

)62)(2(

142

B , 3

1

)26)(6(

146

C

0.5ñ 0.5ñ 0.5ñ

Tìm FED ,, dựa vào

62)6)(2(

2

pF

pE

pD

pppp

6

1

)60)(20(

20

D , 2

1

)62)(2(

22

E , 3

1

)26)(6(

26

F

b) DFeEeDtyACeBeAtx tt

tt

tt

tt

][lim)(lim;][lim)(lim 33

)3

1;

6

7( MSau khoảng thời gian t đủ lớn, tọa độ gần đúng điểm là . M

0.5ñ

*** HEÁT***

- 4 -

Documents

PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)hcmute.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain/fas/Dethi_dapan/HK1_17_18/Hàm... · biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh