Pfadintegralein Quantenmechanik, Statistik

und Polymerphysik

Pfadintegralein Quantenmechanik, Statistik

und Polymerphysik

Hagen KleinertFreie Universitat Berlin

Fur Annemarie und Hagen II

Die Natur weiß allein, was sie will.Goethe

Vorwort zur dritten englischen Ausgabe

This third edition improves and extends considerably the second edition of this bookwhich appeared five years ago.

Chapter 2 contains a quantum field-theoretic definition of path integrals.Chapter 3 gives an extension to the Bender-Wu recursion relation to more generalclasses of potentials.Chapter 4 contains a detailed discussion of the Thomas-Fermi approximation toatoms.Chapter 5 contains a proof of the convergence of variational perturbation theory.Chapter 6 shows how to obtain the spectrum of systems with infinitely high wallsfrom perturbation expansions. Chapter 17 contains a derivation of the operatorLangevin equation from the forward – backward path integral.

For a couple of years, the third edition has been freely available on the internet,and several readers have sent me printing errors, for instance Dr. E. Babaev,Dr. P. Hollister, , Dr. B. Kastening, Dr. S. Mukhin, Marieke van Vugt ... . Manyerrors were detected by Mr. T.S. Hatamian who had the good idea to create aninternet page under the URL http://MathematicusLabs.com/Kleinert where readerscan report their findings and ask questions. The errors are corrected in the internetedition of the book and the questions answered as often as possible.

As in the earlier editions, many improvements are n due to my wife Annemarie.

H. Kleinert

Berlin, January 2000

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Vorwort zur zweiten englischen Ausgabe

Seit das Buch vor drei Jahren zum erstenmal auf deutsch erschienen ist, habenmehrere bedeutende Entwicklungen stattgefunden, die ich in den Text einbezogenhabe.

Kapitel 4 now contains a discussion of the features of the semiclassicalquantization which are relevant for multidimensional chaotic systems.

Kapitel 3 derives perturbation expansions in terms of Feynman graphs, whose useis customary in quantum field theory. Correspondence is established with Rayleigh-Schrodinger perturbation theory. Graphical expansions are used in Kapitel 5 toextend the Feynman-Kleinert variational approach into a systematic variational

perturbation theory . Analytically inaccessible path integrals can now be evaluatedwith arbitrary accuracy. In contrast to ordinary perturbation expansions whichalways diverge, the new expansions are convergent for all coupling strengths,including the strong-coupling limit.

Kapitel 10 contains now a new action principle which is necessary to derive thecorrect classical euqations of motion in spaces with curvature and torsion.

Kapitel 19 is new. It deals with relativistic path integrals, which were previouslydiscussed only briefly in two sections at the end of Kapitel 15. As an application,the path integral of the relativistic hydrogen atom is solved.

Kapitel 16 is extended by a theory of particles with fractional statistics(anyons), from which I develop a theory of polymer entanglement. For this Iintroduce nonabelian Chern-Simons fields and show their relationship with variousknot polynomials (Jones, HOMFLY). The successful explanation of the fractionalquantum Hall effect by anyon theory is discussed—also the failure to explain high-temperature superconductivity via a Chern-Simons interaction.

Kapitel 17 offers a novel variational approach to tunneling amplitudes. It extendsthe semiclassical range of validity from high to low barriers. As an application, Iincrease the range of validity of the currently used large-order perturbation theoryfar into the regime of low orders. This suggests a possibility of greatly improvingexisting resummation procedures for divergent perturbation series of quantum fieldtheories.

The Index now also contains the names of authors cited in the text. This mayhelp the reader searching for topics associated with these names. Due to theirgreat number, it was impossible to cite all the authors who have made importantcontributions. I apologize to all those who vainly search for their names.

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In writing the new sections in Kapitels 4 and 16, discussions with Dr. D. Wintgenand, in particular, Dr. A. Schakel have been extremely useful. I also thank ProfessorsG. Gerlich, P. Hanggi, H. Grabert, M. Roncadelli, as well as Mr. A. Pelster andMr. R. Karrlein for a number of relevant comments. Printing errors were correctedby my secretary Ms. S. Endrias and by my editor Ms. Lim Feng Nee of WorldScientific.

Many improvements are due to my wife AnnemarieA. Kleinert.

H. Kleinert

Berlin, December 1994

Vorwort zur ersten deutschen Auflage

Die vorliegende deutsche Ausgabe des Buchs geht auf das Wintersemester 1990/91zuruck, als ich an der Freien Universitat eine Lehrveranstaltung uber Pfadintegra-le abhielt und um deutsche Vorlesungsskripte gebeten wurde. Zwei Studenten, I.Mustapic und B. Meller, boten sich an, eine grobe Ubersetzung meines englischenLehrbuchs zu erstellen. Den dann folgenden Aufwand, daraus einen verstandlichenund nicht allzu neudeutsch klingenden Text zu machen, habe ich allerdingserheblich unterschatzt. Nicht umsonst gibt es einen eigenen Berufszweig fur derartigeArbeiten. Ein professioneller Einsatz hatte es jedoch unmoglich gemacht, dasBuch zu einem studentenfreundlichen Preis auf den Markt zu bringen. Dieses Zielwurde erreicht. Dafur muß ich den Leser aber um Nachsicht fur viele stilistischeSchwachen bitten. Die Ubersetzung hat den Vorzug, daß in ihr eine ganze Reihevon Druckfehlern des englischen Originals korrigiert sind. Einige mogen freilich neuhinzugekommen sein, da mein inzwischen vierjahriger Sohn meine Abwesenheit vomBildschirm haufig dazu nutzte, sich in der Textverarbeitung zu uben.

Gegenuber der englischen Ausgabe wurden mehrere Kapitel erheblich erweitert.In Kapitel 3 wird die Rayleigh-Schrodinger-Storungstheorie abgeleitet und dieSchleifenentwicklung mit Hilfe von Feynmangraphen vorgestellt. In Kapitel 4 sindjetzt die Besonderheiten der semiklassischen Quantisierung mehrdimensionalerSysteme besprochen. Kapitel 5 enthalt ein neues, viel genaueres Naherungsverfahrenfur analytisch unzugangliche Pfadintegrale, das die Berechnung der Energien allerangeregten Zustande erlaubt. Neu ist das Kapitel 19 uber relativistische Pfadinte-grale. Bisher waren diese nur fur freie relativistische Teilchen in zwei Abschnittenam Ende von Kapitel 15 besprochen worden. Durch die Losung des relativistischenCoulombproblems erganzt verdienen sie ein eigenes Kapitel.

Eine wesentliche Erweiterung wurde an Kapitel 16 vorgenommen, wo Teilchenmit Bruchstatistik (Anyonen) im Detail behandelt werden und mit Hilfe einer Chern-Simons-Feldwirkung eine Theorie der Polymerverschlingungen entwickelt wird.Grundlage dafur ist das Verstandnis von nichtabelschen Chern-Simons-Feldern, diezu einer analytischen Berechnungsvorschrift fur die verschiedenen Knotenpolynome(Jones, HOMFLY ) fuhren. Die moglichen Anwendungen auf die Hochtemperatur-Supraleitung und die erfolgreiche Erklarung des fraktionalen Quanten-Halleffektssind skizziert.

Fortschritte gab es seit Herausgabe des englischen Buchs auf dem Gebietder Tunnelprozesse. Die Theorie ist in Kapitel 17 beschrieben. Wahrend sichbisher die Tunnelwahrscheinlichkeiten nur bei hohen Barrieren berechnen ließen,

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wo semiklassische Methoden anwendbar sind, ermoglicht der Einsatz einesneuen Variationsverfahrens die Berechnung der Zerfallsbreiten aller metastabilenangeregten Zustande. Als wichtige Konsequenz werden fruhere Aussagen uber dasWachstumsverhalten der Storungskoeffizienten bei hohen Ordnungen so verbessert,daß sie auch bei niedrigen Ordnungen genaue Ergebnisse liefern. Dadurch eroffnetsich die Moglichkeit der Entwicklung von Resummierungsverfahren, die diebisherigen an Genauigkeit weit ubertreffen.

Der Index der deutschen Ausgabe enthalt nun auch die im Text zitierten Autoren.Das soll dem Auffinden von Themenkreisen dienlich sein, die mit bestimmten Namenbehaftet sind. Aufgrund ihrer großen Zahl konnten nicht alle Autoren berucksichtigtwerden, die wichtige Beitrage geleistet haben. Manche werden ihr Zitat schmerzlichvermissen, wofur ich um Nachsicht bitte.

Die neuen Abschnitte in Kapitel 4 und 16 wurden durch Diskussionen mitR. Karrlein und Dr. A. Pelster, Dr. D. Wintgen, Dr. P. Bruegmann, Dr. F. Nill undganz besonders Dr. A. Schakel verbessert und bereichert. Viele nutzliche Hinweisestammen von den Kollegen G. Gerlich, P. Hanggi, H. Grabert und M. Roncadelli.Schließlich danke ich Herrn H. Engesser vom B.-I.-Wissenschaftsverlag, meinerSekretarin S. Endrias und meiner Frau Dr. A. Kleinert fur stilistische undorthographische Korrekturen.

Berlin, Juni 1993H. Kleinert

Vorwort zur englischen Auflage

Dieses Buch entstand aus meiner im Wintersemester 1989/1990 an der FreienUniversitat Berlin gehaltenen Vorlesung uber Pfadintegrale. Mein Interesse andiesem Gegenstand geht auf das Jahr 1972 zuruck, als mich R.P. Feynman aufdas ungeloste Pfadintegral des Wasserstoffatoms hinwies. Damals verbrachte ichmein Forschungssemester am California Institute of Technology (Caltech), wo mirFeynman seine Frustration daruber gestand, daß er das Pfadintegral dieses sogrundlegenden Quantensystems bisher nicht zu losen vermocht hatte. Deshalb habeer es aufgegeben, seinen Kurs uber Quantenmechanik wie in den ersten Jahrenseiner Professur auf Pfadintegralen aufzubauen.1 Als wir einmal auf dieses Thema zusprechen kamen, sagte er zu mir:

”Kleinert, wo Sie doch dieses gruppentheoretische

Zeug uber das Wasserstoffatom ausgetuftelt haben, sollten Sie sich doch eigentlicheinmal das Pfadintegral vornehmen!“ Dabei bezog er sich auf meine Dissertationaus dem Jahre 1967,2 in der ich gezeigt hatte, daß alle dynamischen Eigenschaftendes Wasserstoffatoms mit Hilfe von Gruppenoperationen ausgerechnet werdenkonnen, wenn man die bis dahin bekannte Symmetriegruppe O(4) zur dynamischen

Gruppe O(4, 2) erweitert. Tatsachlich spielte in dieser Arbeit der vierdimensionaleharmonische Oszillator bereits dieselbe wichtige Rolle wie spater im Pfadinte-gral, und nur wenige Schritte fehlten fur dessen Losung, wie sich herausstellensollte. Nach meiner Ruckkehr an die Freie Unversitat Berlin geriet die Fragezunachst in Vergessenheit, da ich damit beschaftigt war, Pfadintegrale in einemganz anderen Zusammenhang einzusetzen, namlich als Funktionalintegrale uberFeldkonfigurationen, die es erlauben, eine direkte feldtheoretische Umformung vonQuarktheorien in eine kollektive Quantenfeldtheorie von Hadronen durchzufuhren.3

Dadurch wurde ich zur Entwicklung einer ahnlichen Theorie fur die kondensierteMaterie (Supraleiter, superflussiges 3He) und fur die Kernphysik angeregt undgelangte so mit Hilfe von Funktionalintegralen zu einer einheitlichen Beschreibung

1Im Vorwort des Textbuchs von R.P. Feynman und A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path

Integrals , McGraw-Hill, New York, 1965 heißt es dazu: “Over the succeeding years ... Dr. Feynman’sapproach to teaching the subject of quantum mechanics evolved somewhat away from the initialpath integral approach.”

2H. Kleinert, Group Dynamics of the Hydrogen Atom, Vorlesungen an der BoulderSommerschule von 1967, in Lectures in Theoretical Physics , Gordon and Breach, N. Y., 1968,Vol. X B, S. 427, hrsg. von A.O. Barut und W.E. Brittin und Fortschr. Phys. 6 , 1, (1968).

3Siehe meine Erice Vorlesungen von 1976, Hadronization of Quark Theories , erschienen inUnderstanding the Fundamental Constituents of Matter , Plenum Press, New York, 1978, S. 289,hrsg. von A. Zichichi.

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von Mesonen und von kollektiven Phanomenen in mehreren, auf den ersten Blickvollig verschiedenen physikalischen Systemen.4

Das Wasserstoffatom ruckte erst im Jahre 1978 wieder in mein Blickfeld, alsich erneut eine Vorlesung uber Quantenmechanik hielt. Inzwischen war es ublichgeworden, Pfadintegrale wenigstens kurz vorzustellen, um das nutzliche Konzeptder Quantenfluktuationen einzufuhren. Zur gleichen Zeit stieß I.H. Duru, einpostdoktoraler Humboldt-Stipendiat aus der Turkei, zu meiner Arbeitsgruppe.Da er sich in der Quantenmechanik des Wasserstoffatoms auskannte, schlug ichihm die gemeinsame Arbeit am Pfadintegral dieses Systems vor. Er erlernteschnell die wesentlichen Techniken, und sehr bald fanden wir den wichtigstenSchritt zur Losung:5 die Transformation der Zeit im Pfadintegral zu einer neuenpfadabhangigen Pseudozeit bei gleichzeitiger Transformation der Koordinaten zu

”Quadratwurzelkoordinaten“. Das Verfahren wird in den Kapiteln 13 und 14genauer erklart. Leider gelang es uns damals nur, diese beiden Transformationenauf eine sehr formale Art im Pfadintegral auszufuhren. Dadurch erhielten wirzwar das richtige Ergebnis, aber, wie wir inzwischen wissen, mit mehr Gluckals Verstand. Unsere Methode wurde bald darauf wegen der unzulanglichenBerucksichtigung der Zeitgitterung kritisiert.6 Diese hatte im Prinzip ungewunschteFluktuationskorrekturen zum Ergebnis liefern konnen, fur die unser Vorgehen blindwar, und die, wie wir jetzt wissen, nur zufallig verschwinden. Andere Autoren fuhrteneine detaillierte Gitterung durch, erhielten aber das richtige Resultat nur nach einerinkonsistenten Transformation des Pfadintegralmaßes.A. Inomata, Phys. Lett. A 87 ,387 (1981); 7 Als ich selbst die Gittereffekte ohne diese Inkonsistenz auszurechnenversuchte, konnte ich nur in D = 2 Dimensionen die Abwesenheit unerwunschterFluktuationskorrekturen bestatigen.8 In D = 3 Dimensionen gelang dies nicht, unddie Korrekturen ruinierten das formal so schon erhaltene Ergebnis, ohne daß ich denGrund dafur finden konnte.

Erst kurzlich stieß ich durch Zufall auf den Schwachpunkt des Vorgehens. Ichhatte gerade ein Buch uber ein ganz anderes Gebiet beendet, das den Einsatzvon Eichfeldern in der kondensierten Materie zum Thema hat.9 Im zweiten Band,der die Eigenschaften von Defektsystemen in Kristallen beschreibt, werden dieseDefekte zunachst operationell mit Hilfe von gedanklich ausgefuhrten Schneide- undKlebprozeduren aus einem idealen Kristall hergestellt. Mathematisch entsprichtdieses Vorgehen nichtholonomen Abbildungen von euklidischen Raumen in solchemit Krummung und Torsion. Plotzlich wurde mir klar, daß die Transformation zuden

”Quadratwurzelkoordinaten“ (die das System harmonisch und integrabel werden

laßt, bekanntermaßen nichtholonom ist und in einen gekrummten Raum fuhrt) auch

4H. Kleinert, Phys. Lett. B 69 , 9 (1977); Fortschr. Phys. 26 , 565 (1978); 30 , 187, 351 (1982).5I.H. Duru und H. Kleinert, Phys. Lett. B 84 , 30 (1979); Fortschr. Physik 30 , 401 (1982).6G.A. Ringwood und J.T. Devreese, J. Math. Phys. 21 , 1390 (1980).7R. Ho und A. Inomata, Phys. Rev. Lett. 48 , 231 (1982).8H. Kleinert, Phys. Lett. B 189 , 187 (1987). Die Arbeit spezifiziert auch den Fehler in Ref. 7.9H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter , World Scientific, Singapur, 1989, Vol. I,

Superflow and Vortex Lines , und Vol. II, Stresses and Defects .

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eine nichtverschwindende Torsion erzeugt, was bisher ubersehen worden war. In D =2 Dimensionen hingegen, wo die Losung des zeitgegitterten Pfadintegrals problemlosgelungen war, blieb der transformierte Raum torsionsfrei. Die Transformationdes zeitgegitterten Pfadintegralmaßes mußte deshalb in bisher unverstandenerWeise empfindlich von der Torsion abhangen. Es war also wesentlich, erst einmaldas richtige Pfadintegral fur ein Teilchen in einem Raum mit Krummung undTorsion zu finden. Dies stellte sich als eine nichttriviale Aufgabe heraus, daschon fur einen Raum, der nur gekrummt ist, unterschiedliche Vorschriften furdie Pfadintegralberechnung in der Fachliteratur existieren. Im Ergebnis liefern sieverschiedene Zusatzenergien proportional zum Krummungsskalar.10 Damit spiegelnsie unterschiedliche Ordnungsvorschriften in der Operator-Quantenmechanik wieder.

Als ich versuchte, diese Vorschriften auf Raume mit Torsion zu erweitern, erhieltich stets sehr komplizierte und nichtkovariante Ergebnisse. Alle mußten deshalbeinen grundlegenden Fehler enthalten. Bei meiner Suche nach dem richtigen Pfadin-tegral ließ ich mich von der Idee leiten, daß in Raumen mit konstanter Krummungdas Pfadintegral dasselbe Ergebnis liefern sollte wie die Operator-Quantenmechanik,die auf den Vertauschungsregeln der Erzeugenden der Drehimpulse beruht. Durcheinen konsequenten Einsatz der nichtholonomen Koordinatentransformationengelang es mir schließlich, ein konsistentes Quantenaquivalenzprinzip fur Pfadintegra-le zu finden,11 das damit auch eine eindeutige Antwort auf die Ordnungsproblemeder Operator-Quantenmechanik liefert.

Danach wurde es endlich moglich, auch das bislang offen gebliebene Problem derfehlenden Fluktuationskorrekturen im Pfadintegral des D = 3 Wasserstoffatoms zulosen. Der detaillierte Beweis wird in Kapitel 13 dieses Buchs geliefert.

In Kapitel 14 wird das am Coulomb-System bewahrte Transformationsverfahrenverallgemeinert. Es fuhrt zur Losung der Pfadintegrale einer Reihe eindimensionalerSysteme, die sich leicht verlangern ließe.

BesondereBetonung erfahren in Kapitel 8 Stabilitatsprobleme (Pfadabsturzprobleme) imeuklidischen Feynmanschen zeitgegitterten Pfadintegral, die nach einer verbessertenVorgehensweise verlangen, sobald das Potential gewisse, nach unten unbeschrankteSingularitaten enthalt. Ein allgemeines Stabilisierungsverfahren wird in Kapitel12 vorgestellt. Es kann stets dann eingesetzt werden, wenn Zentrifugalbarrieren,Winkelbarrieren oder Coulombpotentiale auftauchen und fuhrt zu einer neuen,universell anwendbaren Pfadintegralformel.12

Ein anderes von Feynman vorgeschlagenes Vorhaben, eine Verbesserung desin seinem Buch Statistical Mechanics (Benjamin, Reading, 1972; Abschnitt 3.5)entwickelten Variationsverfahrens fur Pfadintegralberechnungen, wurde schneller zu

10B.S. DeWitt, Rev. Mod. Phys. 29 , 337 (1957); K.S. Cheng, J. Math. Phys. 13 , 1723 (1972); H.Kamo und T. Kawai, Prog. Theor. Phys. 50 , 680, (1973); T. Kawai, Found. Phys. 5 , 143 (1975);H. Dekker, Physica 103A, 586 (1980); M.S. Marinov, Physics Reports 60 , 1 (1980); G.M. Gavazzi,Nuovo Cimento A 101 , 241 (1981).

11H. Kleinert, Mod. Phys. Lett. A 4 , 2329 (1989); Phys. Lett B 236 , 315 (1990).12H. Kleinert, Phys. Lett. B 224 , 313 (1989).

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Ende gefuhrt. Wir begannen die Arbeit wahrend meines Forschungssemesters ander Universitat von Kalifornien in Santa Barbara im Jahre 1982. Nach mehrerenTreffen und Diskussionen mit ihm dort und am Caltech war eine Losung gefundenund ein Vorabdruck angefertigt. Dann aber erkrankte Feynman und konnte dieAbschlußkorrekturen nicht mehr lesen. Erst als ich nach drei Jahren wieder einForschungssemester in Kalifornien verbrachte, hatte er sich soweit erholt, daß wirdie Arbeit endlich zur Veroffentlichung einschicken konnten.13

Auf Grund des gegenwartigen Interesses an Gittereichtheorien habe ich es alsnutzlich angesehen, einige Pfadintegrale explizit mit endlicher Zeitgitterung zu losen,ohne gleich am Anfang zum Kontinuumslimes uberzugehen, wie dies in anderenTextbuchern geschieht. Das soll zu einem besseren Verstandnis einiger typischerGittereffekte fuhren, die in Computersimulationen verschiedenster Systeme anfallen.

Die Pfadintegralbeschreibung von Polymeren wird in Kapitel 15 vorgestellt,wo Steifigkeitseffekte und das beruhmte Ausschlußvolumenproblem diskutiert undParallelen zum Pfadintegral relativistischer Teilchenbahnen aufgezeigt werden.Dieses Kapitel kann als Vorbereitung auf aktuelle Forschung an fluktuierendenFlachen mit extrinsischer Krummungssteifigkeit dienen, die in der Membranphysikeine wichtige Rolle spielen und Anwendungen in der Teilchenphysik haben, wosie als Weltflachen von Flußrohren zwischen Quarks vorkommen.14 In demselbenKapitel habe ich auch die feldtheoretische Beschreibung der Polymerstatistikeingefuhrt, da sie von wachsender Bedeutung fur das Verstandnis verschiedensterPhasenubergange ist, die durch fluktuierende linienartige Anregungen getriebenwerden (z.B. von Vortexlinien in Supraflussigkeiten und Supraleitern, oder vonDefektlinien in Kristallen und Flussigkristallen).15

Spezielle Beachtung finden in Kapitel 16 gewisse einfache topologischeFragestellungen bei Polymeren und Teilchenbahnen. Bei Teilchenbahnen entstehensie in Gegenwart von magnetischen Flußrohren (Aharonov-Bohm-Effekt). IhreBeziehung zur Bose- und Fermistatistik von Vielteilchensystemen wird dargelegt.Dabei wird das kurzlich popular gewordene Konzept der Bruchstatistik (oderfraktionalen Statistik) eingefuhrt. Ein Einblick in Verflechtungsprobleme voneinzelnen und Linienpaaren (Bandern), die bei Polymeren oder Teilchenbahnen eineRolle spielen, wird gegeben. Ihre Anwendungen auf Biophysik und Teilchenphysikwerden skizziert.

Kapitel 17 befaßt sich mit den physikalisch in vieler Hinsicht wichtigenTunnelphanomenen, fur deren Beschreibung Pfadintegrale besonders geeignet sind.

Schließlich enthalt Kapitel 18eine kurze Einfuhrung in die Pfadintegralbeschreibung der Quantenstatistik vonSystemen außerhalb des thermischen Gleichgewichts, aus der dann die Langevin-und Fokker-Planck-Gleichungen abgeleitet werden.

Den Studenten meiner Vorlesung, meinen Assistenten und wissenschaftlichenMitarbeitern mochte ich fur viele Diskussionen Dank sagen, unter anderen den

13R.P. Feynman und H. Kleinert, Phys. Rev. A 34 , 5080, (1986).14A.M. Polyakov, Nucl. Phys. B 268 , 406 (1986); H. Kleinert, Phys. Lett. B 174 , 335 (1986).15Siehe Fußnote 9.

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Herren T. Eris, C. Holm, B. Meller, A. Niemeyer, T. Sauer, L. Semig, J. Zaun, undden Doktoren D. Johnston, G. German, und P. Kornilovitch. Dank geht vor allem anF. Langhammer und I. Mustapic fur viel konstruktive Kritik. Dr. U. Eckern von derUniversitat Karlsruhe raumte einige Unklarheiten uber die Pfadintegralableitungder Fokker-Planck-Gleichung in Kapitel 18 aus. Nutzliche Kommentare stammenvon Dr. P.A. Horvathy, Dr. J. Whitenton, und meinem Kollegen W. Theis,dessen sorgfaltige Lekture Schwachen des ersten Manuskripts aufdeckte. Zu Dankverpflichtet bin ich auch Dr. W. Janke, der mit mir uber die Jahre an vielenProjekten zusammengearbeitet hat, wobei oft uber Pfadintegrale diskutiert wurde.

Besondere Anerkennung gebuhrt meiner Sekretarin S. Endrias fur ihre Muhenbei der Erstellung des Manuskripts in LATEX und unserem technischen Zeichner U.Grimm fur die Anfertigung der Figuren.

Schließlich mochte ich meiner Frau Dr. Annemarie Kleinert danken, die mir durchihre unendliche Geduld und standigen Ermutigungen die ideale Arbeitsatmospharefur dieses Buch schuf.

Berlin, Januar 1990H. Kleinert

Inhalt

1 Grundlagen 1

1.1 Klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Relativistic Mechanics in Curved Spacetime . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Diracs Bra-Ket-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Observable Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6 Quantenmechanik verallgemeinerter Lagrange-Systeme . . . . . . . . 311.7 Teilchen auf einer Kugeloberflache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8 Der Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9 Der Zeitentwicklungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.10 Eigenschaften des Zeitentwicklungsoperators . . . . . . . . . . . . . 501.11 Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.12 Heisenbergbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.13 Klassische Statistik und Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . 67Appendix 1AAsymmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2 Pfadintegrale — Definition und Losung fur harmonische Systeme 76

2.1 Pfadintegraldarstellung der Zeitentwicklungsamplitude . . . . . . . . 762.2 Exakte Losung fur ein freies Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.3 Amplitude des freien Teilchens bei endlicher Gitterkonstante . . . . 962.4 Exakte Losung fur den harmonischen Oszillator . . . . . . . . . . . . 972.5 Oft gebrauchte Fluktuationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.6 Oszillatoramplitude auf endlichem Gitter . . . . . . . . . . . . . . . 1042.7 Gelfand-Yaglom-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.8 Path Integral for Harmonic Oscillator with Arbitrary Time-

Dependent Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.9 Wellenfunctionen des freien Teilches und des harmonischen Oszillators1172.10 Pfadintegrale und Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.11 Die Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.12 Quantenstatistik des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . 1262.13 Zeitabhangiges harmonisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.14 Funktionalmaß im Fourierraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.15 Der klassische Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.16 Rechenmethoden auf der gegitterten Zeitachse. Poisson-Formel . . . 138

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2.17 Field-Theoretic Definition of Harmonic Path Integral by AnalyticRegularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.18 Verhalten der thermodynamischen Observablen fur große N . . . . . 1462.19 Amplitude eines frei fallenden Teilchens . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.20 Geladenes Teilchen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.21 Eichinvarianz und alternative Pfadintegraldarstellung . . . . . . . . 155Appendix 2AAbleitung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel . . . . . . . . . . . 157Appendix 2BDirekte Berechnung der zeitgegitterten Oszillatoramplitude . . . . . 159Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3 Außere Quellen, Korrelationsfunktionen und Storungstheorie 164

3.1 Außere Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.2 Greensche Funktion des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . 167

3.2.1 Wronskische Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.2.2 Spektraldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.3 Periodische und antiperiodische Greensche Funktionen des Oszillators1723.4 Summation der Spektraldarstellung der Greenschen Funktion . . . . 1783.5 Wronski Construction for Periodic and Antiperiodic Green Functions 1803.6 Zeitentwicklungsamplitude in Anwesenheit eines Quellenterms . . . . 1813.7 Außere Quellen im quantenstatistischen Pfadintegral . . . . . . . . . 185

3.7.1 Rechnung bei imaginaren Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . 1873.8 Greensche Funktionen auf einem Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.9 Korrelationsfunktionen, erzeugendes Funktional, Wick-Entwicklung . 1923.10 Teilchen im Warmebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.11 Harmonischer Oszillator im Warmebad . . . . . . . . . . . . . . . . 1983.12 Storungsentwicklung anharmonischer Systeme . . . . . . . . . . . . . 2013.13 Berechnung der Storungsreihe mit Hilfe von Feynmangraphen . . . . 2033.14 Perturbative Definition of Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.15 Rayleigh-Schrodinger Storungsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

3.15.1 Scattering Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123.16 Functional Determinants from Green Functions . . . . . . . . . . . . 214Appendix 3AFeynman-Integrale fur T 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Appendix 3B[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Appendix 3CRekursionsbeziehungen fur Storungskoeffizienten . . . . . . . . . . . 225Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

4 Semiklassische Zeitentwicklungsamplitude 229

4.1 Die Wentzel-Kramers-Brillouin-Naherung . . . . . . . . . . . . . . . 2294.2 Semiklassische Entwicklung von Pfadintegralen . . . . . . . . . . . . 234

4.2.1 Sattelpunktsentwicklung von Integralen . . . . . . . . . . . 2344.2.2 Sattelpunktsentwicklung von Pfadintegralen . . . . . . . . . 237

4.3 Van Vleck-Pauli-Morette-Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.4 Fundamental Composition Law for Semiclassical Time Evolution

Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

xix

4.5 Fundamentales Kompositionsgesetz fur semiklassische Zeitentwick-lungsamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.6 Semiklassische Festenergieamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2514.7 Semiclassical Amplitude in Momentum Space . . . . . . . . . . . . . 2544.8 Semiklassische quantenmechanische Zustandssumme . . . . . . . . . 2564.9 Mehrdimensionale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614.10 Quantum Corrections to Classical Density of States . . . . . . . . . 2664.11 Thomas-Fermi Model of Neutral Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.11.1 Semiclassical Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2714.11.2 Quantum Correction Near the Origin . . . . . . . . . . . . . 2794.11.3 Exchange Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2824.11.4 Higher Quantum Corrections to Thomas-Fermi Energies . . 283

4.12 Classical Action of Coulomb System . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

4 Variationsmethoden 229

4.1 Lokale Harmonische Vergleichszustandssumme . . . . . . . . . . . . 2294.2 Lokaler Harmonischer Naherungsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4 Pfadintegrale in topologisch eingeschrankten Raumen 229

4.1 Teilchen auf einem Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.2 Unendliche Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.3 Teilchen in einem Kasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.4 Strong-Coupling Theory for Particle in Box . . . . . . . . . . . . . . 241

4.4.1 Partition Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414.4.2 Perturbation Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2424.4.3 Variational Strong-Coupling Approximations . . . . . . . . 2444.4.4 Special Properties of Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.4.5 Exponentially Fast Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

5 Systeme mit vielen Teilchenbahnen. Statistik und zweite

Quantisierung 251

5.1 Ensembles of Bose and Fermi Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.1.1 Bose-Einstein Condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2535.1.2 Bose-Einstein Condensation of Particles in Harmonic Trap . 261

5.2 Gas of Free Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2665.3 Statistics Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2735.4 Bruchstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2795.5 Zweitquantisierte Bosefelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2805.6 Fluktuierende Bosefelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

5.6.1 Dimensional Regularization of Functional Determinants . . 2905.7 Zweitquantisierte Fermi-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925.8 Fluktuierende Fermi-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.9 Hilbert Space of Quantized Grassmann Variable . . . . . . . . . . . 296

xx

5.9.1 One Real Grassmann Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 2965.9.2 Harmonic Oscillator with Grassmann Variables . . . . . . . 2995.9.3 Spin System with Grassmann Variables . . . . . . . . . . . 300

5.10 Fermionische Funktionaldeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . 3015.11 Außere Quellen im a∗, a-Pfadintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . 3055.12 Verallgemeinerung auf Paarterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085.13 Raumliche Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

6 Pfadintegrale in spharischen Koordinaten 312

6.1 Polarkoordinaten in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126.2 Schwierigkeiten mit der Feynman-Formel in Radialkoordinaten . . . 3166.3 Vermeidbare Irrwege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3206.4 Zeitgitterungskorrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3236.5 Radialkoordinaten in drei und mehr Dimensionen . . . . . . . . . . . 328

6.5.1 Drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3296.5.2 D Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

6.6 Radiales Pfadintegral fur harmonischen Oszillator und . . . . . . . 3376.7 Teilchen nahe einer Kugeloberflache in D Dimensionen . . . . . . . . 3396.8 Winkelbarrieren nahe einer Kugeloberflache . . . . . . . . . . . . . . 342

6.8.1 Winkelbarrieren in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . 3436.8.2 Winkelbarrieren in vier Dimensionen . . . . . . . . . . . . . 348

6.9 Teilchen auf einer Kugeloberflache in D Dimensionen . . . . . . . . 3536.10 Pfadintegrale auf Gruppenraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3576.11 Pfadintegral fur den Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

7 Festenergieamplitude und Wellenfunktionen 364

7.1 Allgemeine Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3647.2 Freies Teilchen in D Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3677.3 Harmonischer Oszillator in D Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . 3717.4 Freies Teilchen als Grenzfall ω → 0 des Oszillators . . . . . . . . . . 3777.5 Teilchen im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

8 Kurzzeitamplitude in Raumen mit Krummung und Torsion 387

8.1 Das Einsteinsche Aquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3888.2 Klassische Bewegung eines Massenpunktes im metrisch-affinen Raum 389

8.2.1 Bewegungsgleichungen eines Massenpunks . . . . . . . . . . 3898.2.2 Nichtholonome Abbildungen in Raume mit Torsion . . . . . 3928.2.3 Neues Aquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3978.2.4 Klassisches Wirkungsprinzip in Raumen mit Krummung

und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3988.3 Alternative Formulierung des Wirkungsprinzips mit Torsion . . . . . 402

xxi

8.4 Pfadintegral in Raumen mit Krummung und Torsion . . . . . . . . . 4038.4.1 Nichtholonome Transformation der Wirkung . . . . . . . . . 4038.4.2 Das Maß der Pfadintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . 4078.4.3 Koordinateninvarianz von Pfadintegralen . . . . . . . . . . . 414

8.5 Koordinateninvarianz des Pfadintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . 4148.6 Losung der Pfadintegrale auf Kugeloberflachen in D Dimensionen . . 4148.7 Externe Potentiale und Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . 4158.8 Perturbative Calculation of Path Integrals in Curved Space . . . . . 4178.9 Model Study of Coordinate Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

8.9.1 Expansion Terms of Free-Energy Density . . . . . . . . . . . 4248.9.2 Diagrammatic Expansion in d Time Dimensions . . . . . . . 425

8.10 Calulating the Loop Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4268.10.1 Reformulation in Configuration Space . . . . . . . . . . . . 4338.10.2 Integrals over Products of Two Distributions . . . . . . . . 4348.10.3 Integrals over Products of Four Distributions . . . . . . . . 435

8.11 Distributions as Limits of Bessel Function . . . . . . . . . . . . . . . 4378.11.1 Correlation Function and its Derivatives . . . . . . . . . . . 4388.11.2 Integrals over Products of Two Distributions . . . . . . . . 4398.11.3 Integrals over Products of Four Distributions . . . . . . . . 441

8.12 Perturbative Definition on Finite-Time Intervals . . . . . . . . . . . 4438.12.1 Diagrammatic Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4438.12.2 Cumulant Expansion for Free Particle in Curvilinear

Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4458.12.3 Propagator in d Time Dimension . . . . . . . . . . . . . . . 446

8 Schrodingergleichung im allgemeinen metrisch-affinen Raum 387

8.1 Rekursionsbeziehung fur die Zeitentwicklungsamplitude . . . . . . . 3878.1.1 Von der Rekursionsbeziehung zur Schrodingergleichung . . . 3888.1.2 Die umstandliche Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

8.2 Aquivalente Kurzzeitamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3958.3 Außere Potentiale und Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . 3998.4 Unitaritatsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4008.5 Fruhere Versuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4028.6 DeWitt-Seeley Expansion of Time Evolution Amplitude . . . . . . . 404Appendix 8ABerechnung des effektiven Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408Appendix 8BDie DeWittsche Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

9 Neue Pfadintegralformel fur singulare Potentiale 413

9.1 Pfadabsturz in der euklidischen Feynman-Formel des Coulombsystems4139.2 Stabiles Pfadintegral bei singularen Potentialen . . . . . . . . . . . . 4169.3 Zeitabhangige Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4229.4 Zusammenhang mit der Schrodingertheorie. Wellenfunktionen . . . . 424Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

xxii

10 Pfadintegral des Coulomb-Systems 427

10.1 Pseudozeit-Entwicklungsamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

10.2 Losung fur D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

10.3 Abwesenheit von Pseudozeit-Gitterkorrekturen fur D = 2 . . . . . . 434

10.4 Losung fur D = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

10.5 Abwesenheit von Pseudozeit-Gitterkorrekturen fur D = 3 . . . . . . 447

10.6 Geometrische Begrundung fur Fehlen von Gitterkorrekturen . . . . . 450

10.7 Vergleich mit der Schrodingertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

10.8 Polare Zerlegung und Coulomb-Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . 457

10.9 Zur Geometrie des uµ-Raums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

10.10 Solution in Momentum Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

10.10.1 Gauge Invariant Canonical Path Integral . . . . . . . . . . . 464

10.10.2 Another Form of Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

10.10.3 Absence of Extra R-Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

Appendix 10AGruppentheoretische Eigenschaften der Coulomb-Zustande . . . . . 468

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

11 Losung weiterer Pfadintegrale nach der Duru-Kleinert-Methode 474

11.1 Eindimensionale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

11.2 Herleitung des effektiven Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

11.3 Vergleich mit der Schrodingertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

11.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

11.4.1 Radialer harmonischer Oszillator und Morse-System . . . . 484

11.4.2 Radiales Coulomb-System und Morse-Potential . . . . . . . 486

11.4.3 Aquivalenz zwischen radialem Coulomb-System undradialem Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

11.4.4 Winkelbarrieren nahe einer Kugel und Rosen-Morse-Potential495

11.4.5 Winkelbarriere nahe einer D = 4 Kugel undverallgemeinertes Rosen-Morse-Potential . . . . . . . . . . . 498

11.4.6 Hulthen-Potential und verallgemeinertes Rosen-Morse-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

11.4.7 Erweitertes Hulthen-Potential und verallgemeinertesRosen-Morse-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

11.5 D-Dimensionale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

11.6 Das Pfadintegral des Dioniums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

11.6.1 Formale Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

11.6.2 Abwesenheit von Zeitgitterungskorrekturen . . . . . . . . . 511

11.7 Zeitabhangige Duru-Kleinert-Transformation . . . . . . . . . . . . . 515

Appendix 11AAffine Zusammenhange des Dionium-Systems . . . . . . . . . . . . . 518

Appendix 11BAlgebraische Eigenschaften der Dionium-Zustande . . . . . . . . . . 519

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

xxiii

12 Pfadintegrale in der Polymerphysik 521

12.1 Polymere und ideale Zufallsketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

12.2 Momente der Endabstandsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

12.3 Exakte Endabstandsverteilung in D = 3 Dimensionen . . . . . . . . 526

12.4 Langes Polymer mit kleinen Endabstanden . . . . . . . . . . . . . . 527

12.5 Sattelpunktsnaherung zur Verteilung in D = 3 Dimensionen . . . . . 530

12.6 Pfadintegral fur die Grenzverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

12.7 Steife Polymere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

12.8 Der Eigenvolumeneffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

12.9 Florysche Abschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

12.10 Feldtheorie fur Polymere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

12.11 Fermi Fields for Self-Avoiding Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

13 Polymere -1ptund -1ptTeilchenbahnen -1ptin -1ptmehrfach -1ptzu-

sammenhangenden -1ptRaumen 557

13.1 Einfaches Modell fur verflochtene Polymere . . . . . . . . . . . . . . 557

13.2 Verflochtene fluktuierende Teilchenbahn. Aharonov-Bohm-Effekt . . 561

13.3 Aharonov-Bohm-Effekt und Bruchstatistik . . . . . . . . . . . . . . 572

13.4 Selbstverflochtene Polymere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

13.5 Gaußsche Invariante zweier Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

13.6 Gebundene Zustande von Polymeren. Bander . . . . . . . . . . . . . 595

13.7 Chern-Simons-Theorie der Verflechtungen . . . . . . . . . . . . . . . 602

13.8 Entangled Pair of Polymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

13.8.1 Polymer Field Theory for Probabilities . . . . . . . . . . . . 608

13.8.2 Calculating the Partition Function . . . . . . . . . . . . . . 610

13.8.3 Calculation of Numerator in Second Moment . . . . . . . . 612

13.8.4 First Diagram in Fig. 16.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

13.8.5 Second and Third Diagrams in Fig. 16.23 . . . . . . . . . . 616

13.8.6 Fourth Diagram in Fig. 16.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

13.8.7 Second Topological Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

13.9 Chern-Simons-Theorie der Statistischen Wechselwirkung . . . . . . . 619

13.10 Zweitquantisierte Anyonenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

13.11 Fraktionaler Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

13.12 Anyonische Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

13.13 Nichtabelsche Chern-Simons-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

Appendix 13ACalculation of Feynman Diagrams for Polymer Entanglement . . . . 633

Appendix 13BKauffman- und BLM/Ho-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

Appendix 13C[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

Appendix 13DLondon-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

Appendix 13EHall-Effekt im Elektronenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

xxiv

14 Tunnelprozesse 647

14.1 Die Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64714.2 Klassische Losungen – Kinks und Antikinks . . . . . . . . . . . . . . 65014.3 Quadratische Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

14.3.1 Die Nullfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66014.3.2 Kontinuumsbeitrag zum Fluktuationsfaktor . . . . . . . . . 664

14.4 Allgemeine Formel fur Eigenwertprodukte . . . . . . . . . . . . . . . 66714.5 Die Fluktuationsdeterminante im Kurzverfahren . . . . . . . . . . . 66914.6 Wellenfunktionen der Doppelmulde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67314.7 Kink-Antikink-Gas und Niveau-Aufspaltungsformel . . . . . . . . . . 67414.8 Fluktuationskorrektur zur Energieaufspaltung . . . . . . . . . . . . . 67914.9 Tunnelprozesse und Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68414.10 Divergenz der Storungsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

14.10.1 Verhalten bei hohen Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 69314.10.2 Semiklassisches Hoch-k-Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . 69714.10.3 Fluktuationskorrekturen zu Imaginarteil und

Hochordnungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70314.10.4 Variationsnaherung fur Zerfallsprozesse . . . . . . . . . . . 70514.10.5 Konvergenz der Variations-Storungsentwicklungen . . . . . . 713

14.11 Zerfall von Suprastromen in dunnen Drahten . . . . . . . . . . . . . 72114.12 Zerfall metastabiler thermodynamischer Phasen . . . . . . . . . . . . 734

14 Nichtgleichgewichts-Quantenstatistik 647

14.1 Lineare Antworttheorie und zeitabhangige Greensche Funktionen . . 64714.2 Spektraldarstellungen von Greenschen Funktionen bei T 6= 0 . . . . 65114.3 Weitere wichtige Greensche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 65414.4 Hermitian Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65714.5 Greensche Funktionen des anharmonischen Oszillators bei T 6= 0 . . 658

14.5.1 Creation Annihilation Operators . . . . . . . . . . . . . . . 65814.5.2 Real Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

14.6 Greensche Funktionen des Nichtgleichgewichts . . . . . . . . . . . . 66314.7 Storungstheorie des Nichtgleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . 67214.8 Pfadintegral mit thermodynamischem Reservoir. Langevin-Gleichung 67514.9 Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

14.9.1 Canonical Path Integral for Probability Distribution . . . . 68214.9.2 Solving the Operator Ordering Problem . . . . . . . . . . . 68414.9.3 Strong Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

14.10 Langevin Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69314.11 Stochastiches Kalkul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69614.12 Supersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70114.13 Stochastische Quanten-Liouville-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 70314.14 Bezug zur Quanten-Langevin-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 70514.15 Electromagnetic Dissipation and Decoherence . . . . . . . . . . . . . 706

14.15.1 Forward–Backward Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . 706

xxv

14.16 Master Equation for Time Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 71014.17 Line Width . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71314.18 Lamb shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71514.19 Langevin Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71714.20 Fokker-Planck-Gleichung in Raumen mit Krummung und Torsion . . 71914.21 Stochastic Interpretation of Quantum-Mechanical Amplitudes . . . . 72014.22 Stochastic Equation for Schrodinger Wave Function . . . . . . . . . 72314.23 A Real Stochastic and a Deterministic Equation for Schrodinger

Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72414.23.1 Stochastic Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 72514.23.2 Equation for Noise Average . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72614.23.3 Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72614.23.4 General Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72714.23.5 Deterministic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

14.24 Heisenbergbild fur die zeitliche Wahrscheinlichkeitsentwicklung . . . 729Appendix 14AUngleichungen fur diagonale Greensche Funktionen . . . . . . . . . . 733Appendix 14BAllgemeines erzeugendes Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737Appendix 14CZerlegung von Operatorprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

15 Relativistische Teilchenbahnen 747

15.1 Besonderheiten des relativistischen Pfadintegrals . . . . . . . . . . . 74815.2 Fluktuationswirkung fur relativistische Teilchenbahnen . . . . . . . . 75115.3 Das relativistische Coulombsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75515.4 Path Integral for Dirac Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765

Namen- und Sachverzeichnis 835

Figuren

1.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchen hinter einemDoppelspalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Veranschaulichung der Zeitordnungsvorschrift in Gleichung (1.299) . 49

2.1 Zickzack-Bahnen, auf denen ein Massenpunkt alle Moglichkeitenausprobiert, den Punkt xb, tb von xa, ta aus zu erreichen. . . . . . . . 84

2.2 Fluktuationsdeterminante aus der Losung der Bewegungsgleichungmit Anfangswert 0 und Anfangssteigung 1 . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.3 Geometrische Darstellung derEigenwerte (2.322) der Fluktuationsmatrix (2.323) fur gerade undungerade N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.4 Die Funktion∑N

n=−N e2πiµn in der Poissonschen Summenformel. Im

Limes N → ∞ nimmt µ nur noch ganzzahlige Werte an . . . . . . . 139

2.5 Innere Energie U und spezifische Warme C als Funktionen derTemperatur auf verschiedenen Zeitgittern . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.1 Pol in der komplexen ω′-Ebene der fouriertransformiertenGreenschen Funktion Gp,a

ω (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.2 Die beiden Pole in der komplexen ω′-Ebene der fouriertransformier-ten Greenschen Funktion Gp,a(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.3 Density of states for weak and strong damping in natural units . . . 200

3.4 Storungsentwicklung der freien Energie der x4-Theorie bis zurOrdnung g3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

4.1 Solution for the screening function f(ξ) of the Thomas-Fermi model 275

4.1 Pfad mit 3 Sprungen von 2π nach 0 und einem Sprung von 0 nach2π im erweiterten Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.2 Darstellung der Pfadsummation in der Nahe einer reflektierendenWand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

4.3 Darstellung der Pfadsummation in einem Kasten . . . . . . . . . . . 240

4.4 Aquivalenzen von Pfaden in einem Kasten und Pfaden auf einemKreis mit einer unendlichen Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

4.5 Variational Funktionen fN(c) up to N = 16 . . . . . . . . . . . . . 246

4.6 Exponentially fast convergence of the strong-couplingapproximations towards the exact value . . . . . . . . . . . . . . . . 246

xxvi

xxvii

5.1 Paths summed in partition function (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.2 Periodic representation of paths summed in partition function (7.9),once in an extended zone scheme, and once on a D-dimensionalhypercylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.3 Among the w! permutations of the different windings around thecylinder, (w − 1)! are connected[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

5.5 Specific heat of ideal Bose gas with phase transition at Tc . . . . . . 261

5.6 Condenstate fraction Ncond/N ≡ 1 − Nn/N as a function oftemperature for a total number of N particles . . . . . . . . . . . . . 264

5.7 Peak of specific heat for a large and various finite numbers ofparticles N in a trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

5.8 Temperature behavior of specific heat of a free Fermi gas . . . . . . 272

8.1 Geradlinige Stufenversetzung in einem Kristall . . . . . . . . . . . . 396

8.2 Disklination in einem Kristall mit fehlendem Materialsektor . . . . . 397

8.3 Abbildungen einer Variation von der Form einer δ-Funktions unterholonomen und nichtholonomen Transformationen dqµ = dxiei

µ(q) . 401

10.1 Darstellung der zwei moglichen Endpunkte des zweidimensionalenharmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

12.1 Zufallskette mit N Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

12.2 Endabstandsverteilung PN (R) einer Zufallskette mit N Gliedern . . 527

12.3 Vergleich des kritischen Exponenten ν der Flory-Naherung mit demErgebnis aus der divergenten ǫ-Entwicklung der Quantenfeldheorieund ihrer Pade-Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

13.1 Der zweite Virialkoeffizient B2 als Funktion des Flusses µ0 furverschiedene magnetische Feldstarken B = −2ηMc/ehβ . . . . . . . 576

13.2 Linkshandige Kleeblattschlinge eines Polymers . . . . . . . . . . . . 577

13.3 Zusammengesetzter Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

13.4 Illustration des Multiplikationsgesetzes in der Knotengruppe . . . . 578

13.5 Nichtaquivalente zusammengesetzte Knoten mit isomorpherKnotengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

13.6 Reidemeister-Verschiebungen im Projektionsbild eines Knotens . . . 580

13.7 Die einfachen Knoten bis zu 8 echten Kreuzungen . . . . . . . . . . 581

13.8 Numerierung der Unterkreuzungen zur Kronstruktion desAlexander-Polynoms der linkshandigen Kleeblattschlinge . . . . . . . 582

13.9 Die exzeptionellen Knoten von Kinoshita und Terasaka (a), Conway(b) und Seifert (c), alle mit demselben Alexander-Polynom wie dertriviale Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

13.10 Graphische Regel zur Zerlegung einer Kreuzung fur die Erzeugungdes Kauffmanschen Klammerpolynoms . . . . . . . . . . . . . . . . 586

xxviii

13.11 Zerlegung der linkshandigen Kleeblattschlinge zur Konstruktion desKauffmanschen Klammerpolynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

13.12 Docken-Operation. Durch sie werden hohere Knoten mit niedrigerenin Beziehung gesetzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

13.13 Konfigurationen zur Berechnung des Jones-Polynoms zweierknotenfreier Schlingen mit Hilfe der Docken-Beziehung . . . . . . . 587

13.14 Docken-Operation fur die Berechnung des Jones-Polynoms derrechtshandigen Kleeblattschlinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

13.15 Docken-Operation fur die Berechnung des Jones-Polynoms derrechtshandigen Hopf-Verkettung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

13.16 Knoten mit 10 und 13 echten Kreuzungen, die durch Jones-Polynomenicht unterschieden werden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

13.17 Bruchteil fN von unverknoteten geschlossenen Polymeren der LangeL = Na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

13.18 Idealisiertes Bild einer kreisformigen DNA-Doppelhelix . . . . . . . . 59613.19 Naturliches DNA-Molekul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59613.20 Die einfachen Verkettungen zweier Polymere bis zu 8 Kreuzungen . . 59813.21 Illustration der Calagareau-White-Beziehung . . . . . . . . . . . . . 60113.22 Closed polymers along the contours C1, C2 respectively . . . . . . . . 60613.23 Four diagrams contributing in Eq. (16.242). The lines indicate

correlation functions of Ψi-fields. The crossed circles with label idenote the insertion of |ψαi

i (xi)|2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

13.24 Four diagrams contributing in Eq. (16.242). The lines indicatecorrelation functions of Ψi-fields. The crossed circles with label idenote the insertion of |ψαi

i (xi)|2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

13.25 Theoretische Werte ν fur den fraktionalen Quanten-Hall-Effekt . . . 62813.26 Die Windungen LT+ und LT−, deren Entfernung die Verdrillungszahl

eines Bands w um eine Einheit erniedrigt bzw. erhoht . . . . . . . . 635

14.1 Symmetrisches Doppelmuldenpotential vierter Ordnung . . . . . . . 64814.2 Klassische Kink-Losung im Doppelmuldenpotential . . . . . . . . . . 65114.3 Umgeklapptes Doppelmuldenpotential fur die Bewegung von x als

Funktion der imaginaren Zeit τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65214.4 Potential fur die Schrodingergleichung der quadratischen Fluktuatio-

nen um eine Kink-Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65514.5 Die Vertizes und Linien der Feynmangraphen fur den

Korrekturparameter c1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68214.6 Extrema xex des asymmetrischen Doppelmuldenpotentials als

Funktion der Asymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68514.7 Klassische Blaschenlosung im umgeklappten asymmetrischen Poten-

tial vierter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68614.8 Folge von Pfaden als Funktion eines Parameters ξ . . . . . . . . . . 68914.9 Blaschenwirkung als Funktion des Deformationsparameters ξ mit

einem Maximum am kritischen Blaschen bei ξ = 1 . . . . . . . . . . 689

xxix

14.10 Linien mit konstantem Re(t2 + t3) in der komplexen t-Ebene undkonvergente Integrationskonturen Ci . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

14.11 Potential eines anharmonischen Oszillators mit kleiner negativerKopplungskonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

14.12 Rosen-Morse-Potential der Fluktuationen um die klassischeBlaschenlosung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

14.13 Korrekturfaktor zum semiklassischen Imaginarteil der niedrigstenEnergiezustande des anharmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . 710

14.14 Die ersten 6 Energiewerte des anharmonischen Oszillators alsFunktion von g aus dem hier berechneten Imaginarteil . . . . . . . . 712

14.15 Schnitte in der komplexen g-Ebene. Ihre Momente bezuglich der inverse Kopplungskonstantenbestimmen die Umentwicklungskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . 715

14.16 Theoretisch erhaltenes Konvergenzverhalten der Nten Naherungenfur α0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

14.17 Theoretisch erhaltene Oszillationen um die exponentiell schnelleAnnaherung von α0 an den exakten Grenzwert als Funktion derOrdnung N der Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

14.18 Vergleich der Verhaltnisse Rn zwischen sukzessivenEntwicklungskoeffizienten der Starkkopplungsentwicklung mit dentheoretischen Werten Ras

n aus einer Entwicklung der Superpositionzweier Quadratwurzelsingulariten bei g = 0.156× exp(±0.69) . . . . 721

14.19 Starkkopplungsentwicklung der Grundzustandsenergie im Vergleichmit den exakten und storungestheoretischen Werten zweiter unddritter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

14.20 Renormierungsgruppen-Trajektorien, d.h. Kurven mit gleichem Tcund identischen Supraleitungseigenschaften in der g, µ-Ebene . . . . 724

14.21 Das Potential V (ρ) = −ρ2 + ρ4/2− j2/ρ2 mit der zu uberquerendenBarriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

14.22 Kondensationsenergie als Funktion der Wellenzahl kn = 2πn/L . . . 72914.23 Spiral-Feldkonfiguration des Ordnungsparameters im supraleitenden

Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73014.24 Extremaler Ausflug entsprechend einem D = 1-kritischen Blaschen

des Ordnungsparameters im supraleitenden Draht . . . . . . . . . . 73014.25 Infinitesimale Verschiebung des kritischen Blaschens ρ′kl als

antisymmetrische Wellenfunktion mit Energie null . . . . . . . . . . 73214.26 Widerstand eines supraleitenden dunnen Drahts als Funktion

der Temperatur bei einem Strom von 0.2µA und Vergleich mitexperimentellen Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733

14.27 Blaschen-Energie als Funktion des Radius R. . . . . . . . . . . . . . 735

14.1 Geschlossene Integrationskontur um die Zeitachse des Vorwarts –Ruckwarts-Pfadintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

14.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

List of Tables

4.1 First eight variational Funktionen fN (c) . . . . . . . . . . . . . . . . 245

13.1 Anzahl der einfachen und zusammengesetzten Knoten . . . . . . . . . 58013.2 Die Unterkreuzungen der Kleeblattschlinge und des Knotens 41. . . . 58213.3 Alexander-Polynome sowie die weiter unten besprochenen Jones- und

HOMFLY-Polynome der einfachen Knoten . . . . . . . . . . . . . . . 58413.4 Die Kauffmanschen Klammerpolynome der Knoten und Verkettungen

in der Zerlegung der linkshandigen Kleeblattschlinge . . . . . . . . . 58713.5 Alexander-Polynome A(s, t) und HOMFLY-Polynome H(t, α) der

einfachen Verkettungen zweier geschlossener Kurven . . . . . . . . . 599

14.1 Koeffizienten der Storungsreihe fur die Grundzustandsenergie desanharmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

xxx