ДІОФАНТОВІ РІВНЯННЯ ТА МЕТОДИ ЇХ РОЗВЯЗАННЯ

1. Історія діофантових рівнянь

2. Лінійні діофантові рівняння

3. Частинний розв’язок діофантового рівняння

4. Діофантові рівняння вищих степенів

5. Задачі математичних конкурсів

6. Завдання для самостійного опрацюванняТрадиційно основним завданням шкільного курсу алгебри є навчити учнів

розв'язувати рівняння та задачі, що зводяться до них. Недаремно упродовж багатьох років алгебру розглядали як науку про рівняння і способи їх розв'язування. Велике значення рівнянь підкреслював А.Ейнштейн, він казав: «Мені доводиться ділити свій час між політикою і рівняннями. Проте рівняння, на мій погляд, набагато важливіші, тому що політика існує тільки для даного часу, а рівняння будуть існувати вічно». Не можна стверджувати що, наприклад, тема «Функції» має меншу важливість, але навіть функцію, з певної точки зору, можна розглядати, як рівняння виду , що виконується за певних умов та має певні властивості. Крім цього, слід відзначити, що багато задач шкільного курсу геометрії теж розв'язується алгебраїчним способом, тобто за допомогою рівнянь. Отже, без уміння розв'язувати рівняння різного типу та різного ступеня складності не можна оволодіти шкільною програмою з математики.

Упродовж вивчення алгебри учні опановують уміння розв'язувати квадратні, ірраціональні, логарифмічні, тригонометричні, показникові рівняння, а також їх системи, але, на жаль, усі ці рівняння відносяться до так званих в и з на ч е ни х , т о бт о р і в н я нь з однією змінною або (якщо це система) систем, де кількість змінних дорівнює кількості рівнянь. Загальноприйнята шкільна програма з математики зовсім «забула» про існування невизначених рівнянь (рівнянь, що мають кілька змінних або систем, де кількість змінних більша від кількості рівнянь). Задачі на подібні рівняння зустрічаються лише на математичних олімпіадах. Виникає питання: якщо учень не знайомий навіть з основами теорії невизначених рівнянь, як же він буде їх розв'язувати? Тому за доцільне буде ознайомити учнів з найпростішими невизначеними, або діофантовими рівняннями під час вивчення відповідних тем шкільної програми з алгебри. До речі, не всі невизначені рівняння є діофантовими. Діофантовими називаються лише ті алгебраїчні рівняння або їх системи з цілими коефіцієнтами, в яких кількість змінних більша, ніж кількість рівнянь, а знайти треба тільки цілі або раціональні розв'язки. Отже, до діофантових рівнянь найчастіше зводяться задачі, за змістом яких невідомі значення величин можуть бути тільки цілими числами. Важливість даної теми ще й у тому, що діофантові рівняння дають велику можливість для розвитку логічного мислення учнів, бо загальних способів їх розв'язування немає, до кожного типу рівнянь треба підходити творчо, використовуючи пошукові методи, які, в першу чергу, направлені на формування учня як особистості, здатної до самостійної, творчої і діяльності.

Коли ж ми можна розпочати знайомство учнів з найпростішими діофантовими рівняннями? Слід підкреслити, що невизначені рівняння все ж таки з'являються в шкільному курсі алгебри. У 7 класі вводять поняття лінійного рівняння з двома змінними або рівняння вигляду , вводять означення розв'язку подібного рівняння, а потім переходять до його геометричного змісту, але алгебраїчні способи розв'язування при цьому не розглядаються. Саме у цій темі можна почати розглядати основи теорії невизначених рівнянь першого степеня. Потім у 8 класі під час вивчення теми „Квадратні рівняння” показати способи розв’язування найпростіших діофантових

рівнянь другого степеня і т. д. Більш ширше діофантові рівняння можна розглянути у ході підготовки до олімпіад, конкурсів.

Історія діофантових рівняньІз часів Евкліда й Архімеда змінюються зміст і форма античної математики. Процес

формування нових теорій сповільнюється, а згодом припиняється й зовсім. Але він був тривалим і позначився не відразу. Найвиразніше він виявився в творчості останнього видатного математика античного світу – Діофанта Олександрійського.

Історія майже нічого не зберегла про його життя. Тільки опосередковано вдалося встановити, коли приблизно він жив. А в популярному в X-XIV ст. збірнику віршованих арифметичних задач „Грецька онтологія” вміщено задачу під назвою „Епітафія Діофанта”.

Задача зводиться до рівняння першого степеня, розв’язавши яке дізнаємося, що Діофант жив 84 роки. Ось і всі відомості про його життя.

Ще більшою загадкою, ніж біографія Діофанта, стала для науки його „Арифметика”, з 13 книг якої збереглося лише шість. У них подано 189 задач з розв’язаннями і поясненнями. За формою „Арифметика” просто збірник задач, але за змістом – унікальне явище, справжнє чудо історії математики.

Уже вступ до книги свідчить про великий крок уперед, який зробив Діофант порівняно з математиками класичної давнини. Для них одиниця ще була не

подільна, її частини, тобто дроби виду , були тільки відношеннями цілих чисел, а не

числами, - відношенням діагоналі квадрата до сторони. Про від’ємні числа ще й не йшлося. Діофант шукає розв’язки задач у додатних раціональних числах, а в проміжних обчисленнях користується і від’ємними числами. Він перший вводить буквену символіку для перших шести степенів невідомого і вільного члена, знак від’ємного показника степеня та рівності. Діофант формулює правило додавання до обох частин рівняння однакових членів, зведення подібних. Назви степенів змінної ще мають геометричну інтерпретацію (квадрат, куб), які збереглися й до наших днів, але вчений розглядає квадрато-квадрати і квадрато-куби як числа і підсумовує квадрат з кубом і т.д. Отже, алгебру Діофант будує вже не на геометрії, як це робив Евклід, а на арифметиці, при цьому зі своєю мовою і символікою. Природно, що такі ідеї мали бути результатом певного розвитку математичної думки. Проте ми не бачимо в творця „Арифметики” попередників і не зрозуміло, як здійснювалася еволюція його поглядів, що була, здається, під силу лише поколінням учених. Це найбільша загадка математики.

Найпростіші діофантові рівняння розв’язували вже шумеро-вавілонські математики, піфагорійці й Евклід. Діофант розробляє, по суті, цілу теорію таких рівнянь. З неї в сучасній науці сформувалася окрема галузь математики – діофантовий аналіз, або діофантова геометрія.

Ідеям і задачам Діофанта судилася довга й щаслива доля. Він передав їх математикам Середньої Азії, Близького Сходу та Індії. У XVII ст. їх висвітлив по-новому П'єр Ферма (1601—1665). Відтоді проблеми, які заповів нащадкам Діофант, привертають увагу найвидатніших учених. Деякі з них розв'язані, інші — не розкрито й досі. Дві проблеми Діофанта особливо пам'ятними сторінками вписані в історію математики.

Діофантові рівняння представляють великий науковий інтерес у теорії чисел і безпосередньо зв'язані з рішенням задач, що виникають у реальному житті. Зокрема, відомою задачею теорії діофантових рівнянь донедавна була проблема Ферма.

П’єр Ферма (1601 - 1665), вивчаючи "Арифметику" Діофанта, зробив на полях цієї книги знамениту позначку: "Я знайшов воістину дивний доказ того, що рівняння

при n > 2, не має рішень у цілих числах, однак поля цієї книги занадто малі, щоб тут його умістити". Це одне із самих марних математичних тверджень, твердження одержало назву “Великої теореми Ферма" і, чомусь, викликало дійсний ажіотаж серед математиків і аматорів (особливо після призначення в 1908 році за його доказ премії в 100

000 німецьких марок). Спроби довести цю теорему породили цілі розділи сучасної алгебри, алгебраїчної теорії чисел, теорії функцій комплексної змінної й алгебраїчної геометрії, практична користь від який уже не підлягає ніякому сумніву. Сама теорема була доведена в 1995 році; П’єр Ферма перебільшив на полях "Арифметики", тому що він фізично не міг придумати подібного доказу, що вимагає колосальної сукупності математичних знань. Елементарного доказу великої теореми Ферма поки ніхто з жителів нашої планети знайти не зміг, хоча над його пошуком билися кращі розуми останніх трьох сторіччя.

У 1900 р. видатний німецький математик Д. Гільберт (1862—1943) на другому Міжнародному математичному конгресі виголосив доповідь «Математичні проблеми», в якій поставив перед вченими 23 задачі з різних розділів математики, розв'язання яких мало важливе значення для подальшого розвитку математики.

Десятою проблемою була «задача про розв'язність діофантового рівняння», сформульована так: «Нехай дано діофантове рівняння з довільними невідомими і цілими раціональними числовими коефіцієнтами. Назвіть спосіб, за допомогою якого можна після скінченого числа операцій встановити, чи розв'язне це рівняння в цілих раціональних числах».

Найпростіші діофантові рівняння 1-го степеня з двома невідомими розв'язали піфагорійці. До діофантового рівняння привело розв'язання

знаменитої задачі Архімеда про биків. Індійські математики розв'язали рівняння і його окремий випадок . Ж.-Л. Лагранж (1736—І813) дослідив

розв'язки рівняння .Учені дістали багато інших важливих результатів. Та все це було лише початком у

дослідженні надзвичайно складної загальної проблеми про розв'язність загального діофантового рівняння п-го степеня від т змінних.

Відповіді довелося чекати 70 років. У 1970 р. на Міжнародному математичному конгресі в Ніцці двадцятирічний радянський аспірант Юрій Володимирович Матіясевич сколихнув математичний світ справжньою сенсацією століття — доповів про розв'язання 10-ї проблеми Гільберта. Він довів, що ніякого загального методу для розв'язання діофантового рівняння не існує.

Доведення Матіясевича дало ще побічні результати, яких він не шукав і які буквально приголомшили математиків своєю несподіванкою. Виявилося, що існує цілочисловий многочлен (щоправда, досить високого степеня і від великого числа змінних) — такий, що при всіх цілих значеннях змінних, коли він додатний, він подає тільки прості числа. Виявляється, що універсальний генератор простих чисел, за яким полювали математики від Ейлера до наших днів, не казкова жар-птиця. Існує й такий многочлен, усі цілі значення якого (при цілих значеннях змінних) подають послідовність: , і тільки такі числа. Результати Матіясевича проливають світло на існування глибоких ще не розгаданих залежностей на множині цілих чисел.

У другому томі «Математичної енциклопедії» дев'ять статей названо і м ' я м ученого, ідеї якого живуть і в наш космічний вік. Це статті:

1. Діофантовий аналіз.2. Діофантовий предикат.3. Діофантова геометрія.4. Діофантова множина.5. Діофантові наближення.6. Діофантові проблеми адитивного типу.7. Діофантові рівняння.8. Діофантові наближення метричної теорії.9. Діофантові наближення проблема ефективізації.

Лінійні діофантові рівнянняДіофантовими називаються алгебраїчні рівняння і системи алгебраїчних рівнянь з

цілими коефіцієнтами, що мають число невідомих, переважаюче число рівнянь. Система стає невизначеною і тому знаходять цілі або раціональні розв`язки.

В інших джерелах можна знайти наступне визначення діофантового рівняння. Діофантовими рівняннями називаються рівняння виду .

Лінійним діофантовим рівнянням із двома невідомими називається рівняння виду де - цілі числа,

Це рівняння має безліч розв`язків: ,де - будь-який розв`язок,

Метод спуску.Для розв`язування діофантових рівнянь першого степеня з двома невідомими можна

використовувати метод спуску. Розглянемо даний метод на прикладі.

Приклад 1. Розв`язати в цілих числах рівняння Розв`язання

1. Виберемо змінну, що має найменший коефіцієнт, і виразимо його через іншу

змінну:

Виділимо цілу частину:

Все число буде цілим, якщо цілим виявиться значення Це можливо тоді,

коли число без остачі поділиться на 5. Вводимо нову змінну , тоді останнє рівняння запишемо у вигляді: .

Ми прийшли до рівняння такого ж типу як і вихідне рівняння, але вже з меншими коефіцієнтами. Розв`язувати його потрібно відносно змінних і . Аналогічно:

2.

3.

Дробів більше нема, спуск закінчено.4. Тепер необхідно „піднятися нагору”. Виразимо через змінну спочатку ,

потім і .

5. Формули становлять загальний розв’язок рівняння в цілих числах.

Відповідь: Приклад 2. Розв’язати в цілих числах рівняння методом спуску.

Розв’язання

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)8)9)

Відповідь:

Приклад 3. Розв’язати в цілих числах рівняння методом спуску. Розв’язання:

Відповідь:

2. Метод ланцюгових дробів

Загальний розв`язок в цілих числах невизначеного рівняння , де , можна записати у вигляді: , де Розглянемо приклад.

Приклад 1. Розв`язати в цілих числах рівняння Розв`язання

,

Розкладемо дріб у ланцюговий дріб, одержимо:

38 1170 0

117 38

114 3

38 3

3 12

8

6

3 2

2 1

2 1

2 2

0

Складаємо таблицю:

Тоді загальний розв’язок буде

, тоді приймаючи , одержимо: .Відповідь:

Приклад 2. Розв’яжіть в цілих числах рівняння методом ланцюгових дробів.

Розв’язання

n 0 1 2 3 40 3 12 1 2

1 0 1 12 13 380 1 3 37 40 117

117 3430 0

343 117234 2

117 109109 1

109 88 132924

8 55 1

5 33 1

3 22 1

2 12 20

Складаємо таблицюn 0 1 2 3 4 5 6 7

0 2 1 13 1 1 1 21 0 1 1 14 15 29 14 1170 1 2 3 41 44 85 129 343

, тоді приймаючи , одержимо: .Відповідь:

Приклад 3. Розв’яжіть в цілих числах рівняння методом ланцюгових дробів.

Розв’язання

12 31

0 031 1224 2

12 77 1

7 55 1

5 24 2

2 12 20

0 1 2 3 4 5

0 2 1 1 2 2

1 0 1 1 2 5 12

0 1 2 3 5 13 31

Відповідь:

Частинний розв’язок діофантового рівнянняІснує дуже багато способів знаходження частинного розв’язку діофантового

рівняння. Найпростіший спосіб – спосіб розв’язання підбором. Розглянемо даний спосіб на прикладі.

Приклад 1. Знайти частинний розв’язок рівняння .Розв’язання

;Підбором визначаємо: - частинний розв’язок.Відповідь:

Спосіб підстановки1) Виражаємо через , або через .2) Надаємо значення і одержуємо значення . Нехай Даний спосіб базується на теоремі: якщо НСД , то серед чисел

завжди знайдеться одне число , при якому вираз буде кратний .

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок рівняння .Розв’язання

,

3)

4) - частинний розв’язок.

Відповідь:

Застосування алгоритму Евкліда для розв’язання невизначеного рівняння

Застосовуємо алгоритм Евкліда до чисел а і в за схемою:

Оскільки , то число кроків скінчене. - остачі від ділення.

Складаємо таблицю:

Неповні частки

1

Де:

Підстановкою в рівняння визначаємо, що - частинний розв’язок.

Приклад 3. Знайти частинний цілий розв’язок рівняння Розв’язання

37 2323 1

23 1414 1

14 99 1

9 55 1

5 44 1

4 14 40

1 -1 2 -3 5 -8

Відповідь:

Спосіб розв’язання – використання розв’язків рівняння

1) Шукаємо частинний розв’язок рівняння - .2) Шукаємо частинний розв’язок рівняння .

Приклад 4. Знайти частинний розв’язок рівняння Розв’язання

Шукаємо частинний розв’язок рівняння з прикладу 3.

Відповідь:

Використання ланцюгових дробів

1) Знаходимо передостанній підхідний дріб .

2) Знаходимо різницю:

3) Помножимо ліву і праву частини рівності на с: .4) Порівнюємо одержану рівність з рівнянням і визначаємо .

Приклад 5. Знайти частинний розв’язок рівняння .Розв’язання

,

п 0 1 2 32 1 6 2

1 2 3 20 430 1 1 7 15

Передостанній

підхідний дріб:

,

Відповідь:

43 1530 2

15 1313 1

13 212 6

2 12 20

Діофантові рівняння вищих степенівДіофантовим рівнянням вищих степенів називається діофантове рівняння степінь

якого не менший другого.Під час розв’язування таких рівнянь є корисними такі факти.І. Розв’язки рівняння можна знайти, якщо виразити одну змінну через іншу і

дослідити, для яких значень другої змінної перша змінна набуває цілих значень.

Приклад 1. Розв’язати в натуральних числах рівняння .Розв’язання

Виразимо у через х:

Оскільки у та х – натуральні числа, то вираз має бути натуральним числом, а

- дільником числа 8. Отже, або , звідки або

Задовольняє умові задачі Відповідь: ІІ. Якщо ліва частина рівняння розкладається на множники, які набувають цілих

значень для цілих значень змінних, а права частина рівняння – ціле число, то дане рівняння можна замінити рівносильною йому сукупністю систем рівнянь.

Наприклад, рівняння рівносильне сукупності систем:

ІІІ. Рівняння не має розв’язків у цілих числах, якщо для довільних цілих значень змінної в лівій і правій частинах рівняння отримуються цілі числа, для яких виконується хоча б одна з таких умов:

1) Ліва і права частини під час ділення на деяке ціле число дають різні остачі. Наприклад, у рівнянні для довільних цілих чисел ліва частина

рівняння, тобто вираз , ділиться на 3, а права частина під час ділення на 3 дає в остачі 1.

2) Остання цифра числа в лівій частині інша, ніж остання цифра числа в правій частині.

Наприклад, у рівнянні для довільних натуральних х та у числа, які одержують ся в лівій частині, закінчуються цифрами 1;5 і 9, а числа, які одержують ся в правій частині, закінчуються цифрами 3 і 7.

3) Одна з частин рівняння є точним квадратом (кубом), але друга частина такою не є.

Наприклад, у рівнянні ліва частина для довільного натурального х є точним квадратом, тоді як права частина ні для якого натурального у не може бути точним квадратом (точний квадрат під час ділення на 3 дає в остачі нуль або 1).

Приклад 2. Розв’язати в натуральних числах рівняння Розв’язання

,Права частина може закінчуватися цифрами 0;1;5;6.Якщо число х закінчується цифрами 0 або 5, то ліва частина рівняння закінчується

цифрою 3.

Якщо ж х закінчується цифрами 1,2,3,4,6,7,8,9, то ліва частина рівняння закінчується цифрою 9.

Отже, рівняння розв’язків немає.Відповідь: рівняння розв’язків немає.

Приклад 3. Довести, що довільне просте число >2 єдиним способом можна подати у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел.

Розв’язання За умовою

,х,у – натуральні числа.Оскільки x>y, x-y<x+y, то одержимо

Тобто розв’язок рівняння єдиний.

Приклад 4. Розв’язати в цілих числах рівняння Розв’язання

Оскільки , то

Відповідь: (-1;-2), (5;2), (1;2), (-5;-2).

Приклад 5. Знайти натуральні розв’язки рівняння .Розв’язання

,

- дільник числа 243.

Відповідь: (24;8), (54;2).

Задачі математичних конкурсівПриклад 1. Деяка кількість екскурсантів, що розташувалася порівно у 5 автобусах

(кожний автобус не більше 54 чол.) була доставлена на вокзал, там до них приєдналось ще 7 чол. і всі екскурсанти розташувались у 14 вагонах поїзда. Скільки було екскурсантів?

Розв’язанняНехай х місць в одному автобусі, тоді 5х – в 5 автобусах і 14у – в 14 вагонах поїзда.

Тоді

п 0 1 2 30 2 1 4

1 0 1 1 50 1 2 3 14

Приклад 2. Знайти всі двозначні числа, які діляться на добуток їх цифр.Розв’язання

Позначимо через х – кількість десятків, а через у – кількість одиниць у шуканих числах.

За умовою де - ціле число,

- повинен бути цілим числом.

Якщо у=х, то

Шукане число 11.

5 140 0

14 510 2

5 44 1

4 14 40

Якщо у=2х, то ,,

Шукані числа 12; 24; 36.Якщо у=3х, то

, то , то можливих значень для х немає.Якщо у=5х, то

Шукане число 15.Якщо у=6х, у=7х, у=8х і т.д., то значення Ø.Відповідь: 11; 12; 24; 36; 15.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .Розв’язання

З умови задачі випливає, що x>y, тобто . Тоді

Звідси , тобто у=1 або у=2 . якщо у=1, то , що неможливо. Якщо у=2 , то , тобто . Тоді

.Відповідь: (3;2;2).

Приклад 4. Знайти всі цілі числа, які є розв’язками рівняння .Розв’язання

,

Представимо кожен із дробів у вигляді ланцюгових дробів.

Перевіримо і робимо висновок:

- розв’язки рівняння.

Відповідь: (1;2;3), (2;-2;4).

Приклад 5. Розв’язати рівняння - просте число, .Розв’язання

,Якщо х=2, то , що неможливо, оскільки . Отже, .Якщо х=3, то , що неможливо, оскільки . Отже, .При , Але ж тоді , тобто , що суперечить рівності

.Нехай , х –просте непарне число. Використовуючи біном Ньютона, одержуємо:

Оскільки , то ділиться на 5 і не ділиться на , тобто ділиться на 5 і не ділиться на , що неможливо, оскільки .

Відповідь: рівняння розв’язків немає.

Завдання для самостійного опрацювання:

1. Розв’язати рівняння 3х + 5у = 7 у цілих числах.2. Розв’язати рівняння 35х - 2004у = 11 у цілих числах.3. Розв’язати рівняння х2 - ху - 2у2 = 7 у цілих числах.4. Додали суму, різницю, добуток і частку від ділення двох цілих чисел і

дістали 450. Знайти ці числа.