Kvartická a kubická rovnica

Peter Oeser 2. ročník

Kvartická rovnica

kde a ≠ 0• pri kvartických rovniciach používame nasledujúcu terminológiu: ax4 – kvartický člen bx3 – kubický člen cx2 – kvadratický člen dx – lineárny člen e – absolútny člen

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

• Riešenie kvartické rovnice možno nájsť analyticky len veľmi ťažko, jedná sa o najvyšší (štvrtý) stupeň algebrickej rovnice, ktorá je riešiteľná analyticky (to je pomocou 4 základných aritmetických operácií a odmocňování) 

• Ako prvý našiel riešenie Talian Ludovico Ferrari niekedy v 15. storočia, keď bol žiakom Girolama Cardano, však existuje veľa elegantnejších metód, ako takéto rovnice riešiť 

• Jednu z nich predložil Francúz René Descartes

René DescartesRené Descartes René Descartes

Kubická rovnica

1. Prevodom na kvadratické a lineárne rovnice

2. Pomocou kalkulačky3. S podporou počítača4. Cez Cardanov vzorec5. Pomocou niektorej numerickej metódy

ax3 + bx2 + cx + d = 0 kde a ≠ 0• kubická je nazývaná preto, že obsahuje člen s x3 pripomínajúci objem kocky (V= a3)• kubická rovnica môže mať až 3 korene• pri riešení kubickej rovnice môžeme použiť niekoľko postupov

Prevodom na kvadratické a lineárne rovnice

• najčastejšie využívaná možnosť • najprv urobíme rozklad na súčin, a potom riešime vzniknuté rovnice z

jednotlivých súčiniteľov• previesť na súčin môžeme pomocou vzorcov, vytyčovaním a

typovaním (s následným delením polynómov)

Vzorce 1. Druhá mocnina dvojčlena a + b

2. Druhá mocnina dvojčlena a - b

3. Druhá mocnina trojčlena a + b + c

4. Tretia mocnina dvojčlena a + b

5. Tretia mocnina dvojčlena a - b

6. N-tá mocnina dvojčlena a + b

7. Rozklad dvojčlena a2 - b2 na súčin

8. Rozklad dvojčlena a2 + b2 na súčin v množine reálnych čísel

• Rozklad dvojčlena a2 + b2 na súčin v množine imaginárnych čísel

• Rozklad dvojčlena a3 + b3 na súčin

• Rozklad dvojčlena a3 - b3 na súčin

• Rozklad dvojčlena an + bn na súčin pre liché n

• Rozklad dvojčlena an - bn na súčin pre liché i sudé n

Vytyčovaním

• vytyčovanie pred zátvorku je pomerne častý využívaný úkon• je založený na princípe, že kým každý člen daného výrazu obsahuje

rovnaký činiteľ, tak tento spoločný činiteľ môžeme dať pred zátvorku• pri počítaní limit vo vysokoškolskej matematike je postup trošku odlišný • v prvom rade nás totiž zaujíma, čo budeme vytyčovať, ale to, či je

súčiniteľ v každom člene, už nie je dôležité

• Delenie mnohočlenov jednočlenom

• Delenie mnohočlenov mnohočlenom

Delenie polymérov

bez zvyškuso zvyškom

• môžeme použiť programy typu Maple, Matlab nebo Excel z balíku MS Office

• pokiaľ nemáte čas sa hrať s pokročilými funkciami Excelu, môžete si vytvoriť iba graf kubickej funkcie, kde priesečníky s osou x sú hľadané korene

Pomocou počítača

• pokiaľ máte pokročilejší hardware typu Casio Algebra FX 2.0, tak vám stačí ísť touto cestou:

• rovnice (equations) > polynomické (polynomial) > stupeň polynómu: 3 > zadanie konštánt

Pomocou kalkulačky