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Pesquisa Operacional IApresentação Geral
Prof. Eduardo Uchoa
http://www.logis.uff.br/~uchoa/POI/
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Pesquisa Operacional (PO) é o uso do métodos científicos para
auxiliar a tomada de decisões. Caracteriza-se por:
a) emprego de matemática “avançada”
b) aplicação em problemas reais
c) multidisciplinaridade, envolve conceitos vindos de várias áreas, incluindo:
Matemática Estatística
Engenharia Computação
Administração Economia
Definição
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Outras Definições
� “Operations research is the application of advanced analytical
methods to help make better decisions.”Informs: http://www.informs.org/About-INFORMS/About-Operations-Research
� “A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para
a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada
de decisões, aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção, planejamento ou operação de
sistemas. A Pesquisa Operacional é usada para avaliar linhas
de ação alternativas e encontrar as soluções que melhor
servem aos objetivos dos indivíduos ou organizações.”SOBRAPO: http://www.sobrapo.org.br/o_que_e_po.php
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A Pesquisa Operacional é o “cálculo da
engenharia de produção”
A PO é uma disciplina básica, que oferece ferramentas aplicáveis
na maioria das demais áreas da Produção, incluindo:
• Planejamento e Controle de Produção (PCP)
• Logística
• Arranjo Físico
A PO e a Engenharia de Produção
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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“Pré-História” da PO
A partir do século XVII, muitos matemáticos clássicos criaram
ferramentas que podem ser aplicadas no auxílio à decisão:
� Newton, Leibniz, Taylor, Lagrange: Cálculo diferencial para
achar mínimos/máximos de funções.
� Cardano, Pascal, Huygens, Bayes, Poisson: Cálculo de
probabilidades.
� Euler, Kirchhoff, Hamilton: Teoria dos grafos, fluxos em redes, Otimização combinatória.
� Gauss, Fourier: Sistemas de equações lineares.
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Estabelecimento da PO como disciplina autônoma militar� 1936 criação da Bawdsey Manor Research Station em
Suffolk, Inglaterra: estudo do uso de radares para interceptar
aeronaves inimigas
� 1937 o termo Operational Research foi cunhado por A. P.
Rowe na BMRS
� 1939 Leonid V. Kantorovich modelou e propôs métodos de
solução para diversos problemas de planejamento na União
Soviética
� 1940 (WWII) criado The Anti-Aircraft Research Group na força aérea britânica (3 fisiologistas, 1 físico geral, 2 físicos
matemáticos, 2 matemáticos, 1 astrofísico, 1 oficial do
exército e 1 topógrafo)
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� 1941 primeira definição formal do Problema Clássico de Transporte por Frank L. Hitchcock
� 1942 formação da U.S. Navy Antisubmarine Warfare Operations Research Group (ASWORG)
� 1943-1945 diversos grupos apoiando o planejamento logístico (abastecimento) das tropas aliadas,estratégias de ataque e defesa aérea e marítima, etc.
� 1945 ao final da WWII é criado o projeto RAND para trabalhar no planejamento militar e em problemas do governo norte americano
� 1947 George B. Dantzig formalizou a Programação Linear e criou o método Simplex para solução de problemas deste tipo na USAF
Estabelecimento da PO como disciplina autônoma militar
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� 1951 primeiro uso de um modelo de
programação linear na indústria: problema
da mistura (blend) ótima nas refinarias de
petróleo.
� 1950-1960� Estabelecimento das primeiras sociedades de
profissionais de PO nos EUA e na Europa
� Começo do ensino de PO nas universidades
A PO entra no mundo civil
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� Usada rotineiramente por empresas e
organizações nos mais diversos setores da
indústria, serviços, finanças ou governo.
� A PO contribui significativamente para a eficiência
da economia mundial
� Tradicionalmente a PO tem sido usada para minimizar
custos e/ou maximizar lucros
� Atualmente também existem outras preocupações:
� minimizar impactos ecológicos e riscos de acidentes
� maximizar benefícios sociais
A PO hoje
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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� Entretanto, a PO ainda é muito menos usada do
que poderia!
� Conflitos com outras culturas empresariais
� Disputas políticas (decisão = poder)
� Dificuldades em obter dados confiáveis
A PO hoje
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� Entretanto, a PO ainda é muito menos usada do
que poderia!
� Dificuldades em aplicar adequadamente as técnicas de PO aos problemas complexos do mundo real!
� O uso avançado de PO é uma técnica, mas também é uma arte.
� Existe escassez (no mundo, mas no Brasil isso é mais grave) de profissionais experientes com essa competência.
A PO hoje
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� Toda a PO está baseada na construção de
modelos matemáticos para representar de
forma simplificada os sistemas reais.
Como funciona a PO?
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Um modelo é uma representação
simplificada de um sistema real
Modelo
Conclusões
do Modelo
Conclusões
sobre o
Sistema Real
Modelagem
Dedução
Interpretação
Sistema
Real
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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Para que serve um modelo?
Um modelo é útil quando permite que se chegue a conclusões adequadas sobre o sistema real, dentro de seu limite de aplicabilidade.
Como a PO trabalha com modelos matemáticos, a utilidade de um modelo também depende da existência de métodos matemático-computacionais capazes de resolver o modelo.
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Principais Áreas da PO
� Otimização� Programação Matemática
� Programação Linear
� Programação Inteira
� Programação Não-Linear
� Otimização Combinatória
� Heurísticas/Metaheurísticas
� Simulação
� Previsão
� Análise Multi-critério
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Nosso curso de PO I
� Otimização� Programação Matemática
� Programação Linear
� Programação Inteira
� Programação Não-Linear
� Otimização Combinatória
� Heurísticas/Metaheurísticas
� Simulação
� Previsão
� Análise Multi-critério
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Um modelo de programação matemática é definido por
um sistema de equações/inequações.
• As variáveis representam as decisões a serem
tomadas.
• As equações/inequações representam as
restrições que existem sobre essas decisões,
refletindo as características do sistema real.
• Uma função objetivo indica qual dentre as
possíveis decisões é a mais desejável (solução
ótima).
Programação Matemática
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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Tipos de Modelos de Programação Matemática
� Programação Linear: todas as restrições e a FO
são funções lineares
� Um número razoável de sistemas reais podem ser bem modelados como PLs
� Métodos de solução extremamente eficazes, problemas com milhões de variáveis e restrições
podem ser resolvidos num laptop
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Tipos de Modelos de Programação Matemática
� Programação Inteira: todas as restrições e a FO
são funções lineares, mas algumas variáveis
podem ser obrigadas a terem valores inteiros.
� Um número enorme de sistemas reais podem ser bem modelados como PIs
� Métodos de solução bem menos eficazes, problemas com alguns milhares de variáveis e restrições já
podem ser intratáveis
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Tipos de Modelos de Programação Matemática
� Programação Não-Linear (será vista em PO II):
as restrições e a FO podem ser funções não-
lineares.
� Um número enorme de sistemas reais podem ser bem modelados como PNLs.
� Métodos de solução eficazes apenas para alguns casos particulares (ex: funções quadráticas, funções
convexas). Problemas envolvendo funções mais
complicadas com algumas dezenas de variáveis e restrições já podem ser intratáveis
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Nos anos 1940, a força aérea dos EUA usava a palavra
“programa” como sinônimo de “planejamento”. O seu
uso pioneiro de modelos matemáticas para auxiliar
seus planejamentos disseminou o nome Programação
Matemática.
• Esse nome histórico causa confusão entre os leigos,
porque a partir dos anos 1950 a palavra “programação”
passou a ser universalmente associada com escrita de
código para computadores.
Um nome pouco feliz
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Recentemente a Mathematical Programming Society
trocou o seu nome para Mathematical Optimization
Society. Na nova nomenclatura (ainda pouco usada)
teríamos:
• Otimização Linear
• Otimização Inteira
• Otimização Não-Linear
Programação Matemática = Otimização Matemática
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O nome histórico “Operations Research” não diz nada
para um leigo. Alguns quase sinônimos que também
são usados:
• Management Science
• Decision Science
• Analytics
O nome “Pesquisa Operacional”também não é dos melhores ...
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Exemplo de Modelo de PL: Problema do Mix Ótimo de ProduçãoPara maximizar seu lucro, uma fábrica de cadeiras precisa decidir quais modelos deve produzir.
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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Problema do Mix Ótimo de Produção
Entretanto, a produção é restrita pela disponibilidade de matéria-prima: madeira (50 lâminas/semana) e tecido (75 metros/semana).
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Produção de Cadeiras: Lucro X Gasto de Matéria-prima
150 400 200
1 4 1
1 1 2
300
3
1
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Modelo de Programação Linear
x1 x2 x4150 + 400 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1 ≤ 50
x1 x2 x41 + 1 + 2 ≤ 75
max x3+ 300
x3+ 3
x3+ 1
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
S.a
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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Modelo de Programação Linear
x1 x2 x4150 + 400 + 200
x1 x2 x41 + 4 + 1 ≤ 50
x1 x2 x41 + 1 + 2 ≤ 75
max x3+ 300
x3+ 3
x3+ 1
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Solução ótima: x1=25, x2 = x3 = 0, x4=25; lucro = R$ 8750/semana
S.a
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Programação Inteira
Tipo de modelo matemático que difere da programação linear simplesmente porque algumas (ou todas as) variáveis podem ser definidas como inteiras.
Esse recurso adicional (a primeira vista banal) permite modelar um número muito maior de situações.
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Exemplo: Problema da Mochila
Um viajante precisa decidir entre n possíveis objetos para colocar na sua mochila com capacidade de peso P. Cada objeto i oferece um ganho gi mas possui um peso pi. O problema é escolher um subconjunto dos objetos com peso ≤ P que maximize o ganho total.
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Exemplo: Problema da Mochila
P=10 p1=1 p2=2 p3=4 p4=4 p5=5 p6=6 . g1 =3 g2=3 g3=5 g4=5 g5= 6 g6=9
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3 45
6
32
Modelo de Programação Inteira
inteiros,,,,,
1,,,,,0
1065442.a.S
965533Max
654321
654321
654321
654321
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
≤≤
≤+++++
+++++
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Modelo de Programação Inteira
inteiros,,,,,
1,,,,,0
1065442.a.S
965533Max
654321
654321
654321
654321
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
≤≤
≤+++++
+++++
Solução ótima: x1, x2 e x6 =1, ganho total 15
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Solução Ótima
P=10 p1=1 p2=2 p3=4 p4=4 p5=5 p6=6 . g1 =3 g2=3 g3=5 g4=5 g5= 6 g6=9
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3 45
6
1
2
6
Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense
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Bibliografia do Curso“Pesquisa Operacional”, Arenales, Armentano, Morabito, Yanasse. Ed. Campus, 2007
“Introdução à Pesquisa Operacional”, Hillier, Lieberman. McGraw-Hill, 2006.
“Técnicas de Otimização”, Pizzolato, Gandolpho. LTC, 2009.
“Linear Programming”, Chvátal. Ed. Freeman, 1983 (Caps. 1-5)
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OBSERVAÇÃO
Este material refere-se às notas de aula do curso
TEP117 (Pesquisa Operacional I) da Universidade
Federal Fluminense (UFF) e não pode ser
reproduzido sem autorização prévia do autor.
Quando autorizado, seu uso é exclusivo para
atividades de ensino e pesquisa em instituições
sem fins lucrativos.