Upload
lestari-tia
View
10.617
Download
43
Embed Size (px)
Citation preview
Outline
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Jember
27 Februari, 2014
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Outline
Outline
1 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
2 Menyelesaikan Persamaan Diferensial
3 Peluruhan Radioaktif
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Outline
Outline
1 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
2 Menyelesaikan Persamaan Diferensial
3 Peluruhan Radioaktif
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Outline
Outline
1 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
2 Menyelesaikan Persamaan Diferensial
3 Peluruhan Radioaktif
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Pertumbuhan populasi y yaitu kelahiran dikurangi kematiandalam jangka waktu yang pendek t sebanding denganbanyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dansebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadiy = kyt atau
yt
= ky
Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial
dydt = ky
k > 0 populasi bertambah. k < 0 populasi berkurang. Untukpopulasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa k sekitar 0,0198.Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Menyelesaikan Persamaan Diferensial
dydt = ky dengan syarat awal y = y0 apabila t = 0. Denganmemisahkan peubah dan mengintegrasikan, diperoleh
dyy = kdt
dyy =
kdt
ln y = kt + C (1)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Menyelesaikan Persamaan Diferensial
Syarat y = y0 pada saat t = 0 akan menghasilkan C = ln y0pada persamaan (1). Sehingga,
ln y ln y0 = kt
ln yy0= kt
yy0
= ekt y = y0ekt
Ketika k > 0, jenis pertumbuhannya disebut PertumbuhanEksponensial dan ketika k < 0, disebut PeluruhanEksponensial.
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh SoalContoh 1Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan 4milyar. Berapa jumlah penduduk pada tahun 2000 ? Setelahberapa tahun penduduk dunia menjadi dua kali lipatnya ?Penyelesaiant = banyaknya tahun setelah 1975, y dinyatakan dalam satuanmilyar sehingga y0 = 4, karena k = 0, 0198 maka diperoleh
y = 4e0,0198t
Pada tahun 2000, berarti t = 25, sehingga diperoleh
y = 4e0,0198(25) 6, 6milyar
.Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh SoalContoh 1Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan 4milyar. Berapa jumlah penduduk pada tahun 2000 ? Setelahberapa tahun penduduk dunia menjadi dua kali lipatnya ?Penyelesaiant = banyaknya tahun setelah 1975, y dinyatakan dalam satuanmilyar sehingga y0 = 4, karena k = 0, 0198 maka diperoleh
y = 4e0,0198t
Pada tahun 2000, berarti t = 25, sehingga diperoleh
y = 4e0,0198(25) 6, 6milyar
.Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh Soal
Penyelesaian Lanjut...Penduduk dunia mencapai 8 milyar (2 kali lipatnya),dirumuskan dengan 8 = 4e0,0198t , setelah kedua ruas dibagi 4,dan melakukan logaritma maka diperoleh
ln 2 = 0, 0198t
t =ln 2
0, 0198Sehingga diperoleh t = 35 tahun
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh Soal
Contoh 2Banyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hariada 10.000. Setelah 2 jam, banyaknya menjadi 40.000. Berapabanyaknya bakteri pada pukul 17.00 ?
Penyelesaiany0 = 10.000 dan y = 40.000 pada saat t = 2, sehinggadiperoeh y = y0ekt dan 40.000 = 10.000ek(2)
ln 4 = 2k k = (ln 4)2 = ln 2 0, 693
Jadi y = y0e0,693t untuk t = 5, diperolehy = 10.000e0,693(5) 320.000
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Contoh Soal
Contoh 2Banyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hariada 10.000. Setelah 2 jam, banyaknya menjadi 40.000. Berapabanyaknya bakteri pada pukul 17.00 ?
Penyelesaiany0 = 10.000 dan y = 40.000 pada saat t = 2, sehinggadiperoeh y = y0ekt dan 40.000 = 10.000ek(2)
ln 4 = 2k k = (ln 4)2 = ln 2 0, 693
Jadi y = y0e0,693t untuk t = 5, diperolehy = 10.000e0,693(5) 320.000
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Peluruhan Radioaktif
Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yangmengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktifmengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanyasaja sekarang untuk k < 0.
yt
= ky
ContohKarbon 14, salah satu dari tiga isotop karbon adalah zatradioaktif. Zat ini meluruh dengan laju yang sebanding denganbanyaknya zat itu pada suatu saat. Setengah umurnya adalah5730/tahun, maksudnya zat tersebut memerlukan waktu 5730untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awalada 10 gram, berapa sisanya setelah 2000 tahun ?Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Peluruhan Radioaktif
Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yangmengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktifmengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanyasaja sekarang untuk k < 0.
yt
= ky
ContohKarbon 14, salah satu dari tiga isotop karbon adalah zatradioaktif. Zat ini meluruh dengan laju yang sebanding denganbanyaknya zat itu pada suatu saat. Setengah umurnya adalah5730/tahun, maksudnya zat tersebut memerlukan waktu 5730untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awalada 10 gram, berapa sisanya setelah 2000 tahun ?Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014
Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial
Peluruhan Radioaktif
Peluruhan Radioaktif
Penyelesaian12 = 1e
k(5730)
ln 2 = 5730k
k = ( ln 2)5730k 0, 000121
Jika y0 = 10 dan t = 2000, makay = 10e0,000121(2000) 7, 80 gram
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014