Upload
zaim-al-rasyid
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
1/63
PERTEMUAN KE-6
LIMIT FUNGSI
Oleh :
KBK ANALISIS
MATA KULIAH BERSAMA
FMIPA UGMFMIPA UGM
MATEMATIKA KONTEKSTUAL
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
2/63
APA ITU LIMIT?
Arti kata:
batas, membatasi, mempersempit,
mendekatkan.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
3/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Dalam kehidupan sehari-hari,
orang sering dihadapkan pada
masalah-masalah pendekatan
suatu nilai/besaran.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
4/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Contoh:
a. Letak rumah Budi dekat dengan rumah Tono.
b. Ketika hari sudah mendekati senja, datanglah yang
ditunggu-tunggu.
c. Nilai ujian matematika Anton hampir 9.
d. ……dst.
Pertanyaan:
Seberapa dekat/mendekati/hampir besaran-besaran
atau nilai-nilai pada contoh di atas dengan
besaran/nilai yang sebenarnya?
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
5/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Dari ketiga contoh tersebut, kitamungkin tidak mengetahui
letak/berat/nilai yang
sesungguhnya.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
6/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
(CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT
DENGAN MASALAH PENDEKATAN)
1. Perhatikan gambar berikut.
……. dst.
Di dalam lingkaran dibuat bidang segin (n
polygon) sehingga titik-titik sudut segin tersebut
berada pada lingkaran. Tentu dapat dibayangkan
bahwa apabilan “sangat besar”, maka luas segin
akan mendekati luas lingkaran.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
7/63
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT
DENGAN MASALAH PENDEKATAN
2. Masalah penjumlahan:
4
3
4
1
2
1=+
8
7
8
1
4
1
2
1=++
16
15
16
1
8
1
4
1
2
1=+++
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
8/63
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT
DENGAN MASALAH PENDEKATAN
………………..
………………….dst.
32
31
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1=++++
( )
( )211
211
2
1
2
1
...32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
−
−
=++++++
n
n
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
9/63
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT
DENGAN MASALAH PENDEKATAN
Apabila jumlahan dilakukan untukn “sangat
besar”, maka hasil jumlahan akan “mendekati”1.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
10/63
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT
DENGAN MASALAH PENDEKATAN
3. Masalah mekanika:
Seseorang berangkat ke tempat kerja menggunakan
sepeda motor, dari rumah pukul 07.00 sampai ke
tempat kerja pukul 07.30. Jarak rumah ke tempat
kerja 15 km. Orang tersebut mengendarai sepeda
motor dengan kecepatan rata-rata
km/jam3000.0730.07
15 =−
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
11/63
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT
DENGAN MASALAH PENDEKATAN
Secara umum, apabila pada pukul 07 lebiht menit,
orang tersebut telah menempuh jarak x km, maka
kecepatan rata-rata orang tersebut berkendaraan
adalah
km/jam.60
km/menitt
x
t
x=
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
12/63
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT
DENGAN MASALAH PENDEKATAN
Yang menjadi pertanyaan adalah berapasesungguhnya kecepatan orang tersebut dalamberkendaaan ketika jam menunjukkan pukul 07 lebih
t menit?Pertanyaan ini sulit dijawab, karena nilaiperbandingan jarak tempuh dan selang waktu, yaitu
menjadi mendekati 0/0. Namun demikian nilaipendekatannya dapat ditentukan.
t
x
∆
∆
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
13/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Salah satu masalah utama di dalam kalkulus adalah
nilai slope/kemiringan suatu garis , yaitu ,
ketika nilai tersebut menjadi hampir 0/0.
Nilai eksak slope dengan kondisi seperti tersebut di
atas sangat sulit ditentukan, namun nilai
pendekatannya tidaklah sulit untuk ditentukan.
Proses menentukan nilai pendekatannya itulah yangmenjadi ide dasar konsep limit.
x y ∆∆
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
14/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Perhatikan bahwa untuk berbagai nilai dan
, maka nilai berupa bilangan rasional.
Oleh karena itu, ide dasar konsep limit tidak lainadalah barisan bilangan rasional.
x y ∆∆
y∆ x∆
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
15/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
(BARISAN BILANGAN RASIONAL)
Barisan bilangan rasional antara lain dapatditemukan dalam geometri, yaitu ketika seseorangakan menentukan hasil bagi keliling sebaranglingkaran dengan diameternya (bilangan π).
Untuk mengetahui hasil bagi keliling sebaranglingkaran dengan diameternya, kita gambarkanpoligon (segi banyak) beraturan di dalam lingkaran.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
16/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
(BARISAN BILANGAN RASIONAL)
Betul bahwa keliling setiap poligon tidak akan
pernah sama dengan keliling lingkaran. Akantetapi apabila jumlah sisi poligon “cukup besar”,
maka selisih antara keliling lingkaran dengan
keliling poligon tersebut sangatlah kecil, lebih
kecil dari sebarang bilangan positif yang
diberikan, misalkan
0.00000000000000000000000000000001
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
17/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
(BARISAN BILANGAN RASIONAL)
Jadi, apabila jumlah sisi poligon terus diperbesar ,misalkan dari 4 sisi, 5 sisi, …, 60 sisi, 61 sisi, 62, 63,64, dan seterusnya, dan kita lakukan pembagiankeliling masing-masing poligon dengan diamter
lingkaran, maka kita akan dapatkan barisanbilangan rasional, yang masing-masing bilangannilainya kurang dari hasil bagi keliling lingkarandengan diameternya (sebut π).
Bilangan di dalam barisan yang kita dapatkantersebut, “semakin lama akan semakin dekat” denganπ (yaitu limit atau batas barisan).
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
18/63
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
(GENERALISASI MASALAH)
Pada prinsipnya, nilai-nilai yang terletak pada sumbu Y dapat dipakai untuk menggambarkan nilaisebarang besaran. Demikian pula nilai-nilai yang
terletak pada sumbu X.
Apabila nilai pada sumbu Y menyatakan jaraktempuh benda yang bergerak dan nilai pada sumbu Xmenyatakan waktu tempuh, maka slope mempunyai
arti kecepatan/laju rata-rata.
ARTI LEBIH UMUM: Kecepatan/laju rata-ratadiartikan sebagai perbandingan perubahan suatubesaran terhadap perubahan besaran yang lain.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
19/63
FUNGSI
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali dijumpaiadanya keterkaitan atau hubungan antara satu obyekdengan obyek yang lain. Misalnya antara pedagangdan pembeli suatu barang, antara majikan danpelayan, antara bank dan nasabah, dst.
Hubungan-hubungan tersebut secara umum disebutrelasi.
Secara sistemik, suatu relasi menggambarkanhubungan antara anggota dari suatu kumpulan obyek
dengan anggota dari kumpulan obyek yang lain. Relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu apabilasetiap unsur dalam suatu kumpulan obyekmempunyai hubungan dengan tepat satu obyek darikumpulan yang lain, disebut fungsi.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
20/63
FUNGSI
Secara matematis, pengertian fungsi diberikan
sebagai berikut:
Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasidari A ke B adalah suatu himpunan .
Relasi dari A ke B sehingga untuk setiap anggota
A berelasi dengan tepat satu anggota B disebutfungsi dari A ke B.
B A R ×⊂
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
21/63
FUNGSI
Jika sebarang anggota A diwakili dengan
variabel x dan anggota B yang oleh fungsi f berelasi dengan x adalah y, maka fungsi f biasa
diberikan dengan rumus
)( x f y =
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
22/63
LIMIT FUNGSI
Dari contoh-contoh masalah pendekatan
sebagaimana diuraikan di atas, kiranya secara
matematis dapat dibuat rumusan umumnya:
“Apabila diberikan suatu fungsi f dengan rumus
y= f( x), maka berapa nilai y apabila x “sangat
dekat” denganc?”
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa
contoh berikut.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
23/63
LIMIT FUNGSI
Contoh 1. Diberikan . Berapa nilai
pada saat x “sangat dekat” dengan 0?
Jawab:
Nilai eksak yang menjadi jawaban pertanyaan diatas sulit ditentukan, bahkan tidak mungkin.
Mengapa demikian? Karena kita tidak dapat
memberikan kepastian nilai x yang dimaksud.
Meskipun demikian, nilai pendekatan untuk
yang dimaksud bisa ditentukan. Perhatikan
tabel berikut.
1)( += x x f )( x f
)( x f
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
24/63
LIMIT FUNGSI
x f( x) x f( x)
–1 0 1,24 2,24
–0,55 0,45 0.997 1,997
–0,125 0,875 0,00195 1,00195
–0,001 0,999 0,0000015 1,0000015
–0,000001 0,999999 0,000000001 1,000000001
… … … …
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
25/63
LIMIT FUNGSI
Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai x
semakin “dekat” dengan 0, maka akan
semakin “dekat” dengan 1.
CATATAN:
Adalah suatu kebetulan bahwa .
Dengan grafik, dapat digambarkan sebagaiberikut.
)( x f
1)0( = f
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
26/63
LIMIT FUNGSI
Dari grafik dapat dilihat, apabila x sangat
“dekat” dengan 0, baik untuk x0, maka sangat “dekat” dengan 1.
1
)( x f
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
27/63
LIMIT FUNGSI
Contoh 2. Diberikan
Berapa nilai pada saat x sangat “dekat” dengan 1?
Jawab:
Untuk kasus ini, jelas bahwa tidak ada atau tak
terdefinisi.
Yang menjadi pertanyaan, apakah hal itu berakibat juga tidak ada untuk setiap x sangat “dekat” dengan
1?
1
1)(
2
−
−=
x
x x g
)( x g
)1( g
)( x g
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
28/63
LIMIT FUNGSI
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlu
menganalisanya dengan cermat.
Perhatikan bahwa untuk ,
(Dalam hal ini, kita definisikan ).
Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilai
g( x) dapat dilihat pada tabel berikut.
)(11
)1)(1(
1
1)(
2
x f x x
x x
x
x x g =+=
−
+−=
−
−=
1
≠ x
1)( += x x f
1≠ x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
29/63
LIMIT FUNGSI
x g( x) x g( x)
0 1 1,24 2,24
0,557 1,557 1,0997 2,0997
0,799999 1,799999 1,00195 2,00195
0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015
0,999999999 0,999999999 1,000000001 2,000000001
… … … …
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
30/63
LIMIT FUNGSI
Dengan grafik, nilai g( x) untuk berbagai nilai x
yang sangat “dekat” dengan 1 dapat dilihat pada
gambar berikut.
1
2
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
31/63
LIMIT FUNGSI
Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik,
diperoleh bahwa semakin “dekat” nilai x dengan
1, maka nilai g( x) semakin “dekat” dengan 2.
Selanjutnya, perhatikan contoh berikut.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
32/63
LIMIT FUNGSI
Contoh 3. Diberikan
Berapa nilai pada saat x sangat “dekat” dengan
1?
=
≠−
−
=
1,1
1,1
1
)(
2
x
x x
x
xh
)( xh
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
33/63
LIMIT FUNGSI
Jawab:
Jelas bahwa . Muncul pertanyaan serupa dengan
pertanyaan pada Contoh 2, yaitu:
Apakah keadaan tersebut, yaitu , akan mengakibatkan
juga akan bernilai 1 ketika x sangat “dekat” dengan 1?
)( xh1)1( =h
1)1( =h
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
34/63
LIMIT FUNGSI
Sama halnya seperti fungsi g pada Contoh 2,
bahwa untuk ,
(Dalam hal ini, kita definisikan ).
Selanjutnya, untuk berbagai nilai , nilai
h( x) dapat dilihat pada tabel berikut.
)(11
)1)(1(
1
1)(2
x f x x
x x
x
x xh =+=−
+−=−−=
1≠ x
1)( += x x f
1≠ x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
35/63
LIMIT FUNGSI
x h( x) x h( x)
0 1 1,24 2,24
0,557 1,557 1,0997 2,0997
0,799999 1,799999 1,00195 2,00195
0,999999001 1,999999001 1,0000015 2,0000015
0,999999999 0,999999999 1,000000001 2,000000001
… … … …
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
36/63
LIMIT FUNGSI
Dengan grafik, nilaih( x) untuk berbagai nilai x
yang sangat “dekat” dengan 1 dapat dilihat pada
gambar berikut.
1
2
•
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
37/63
LIMIT FUNGSI
Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik,
diperoleh bahwa semakin “dekat” nilai x dengan
1, maka nilaih( x) semakin “dekat” dengan 2.
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
38/63
LIMIT FUNGSI
Dari Contoh 1, Contoh 2, dan Contoh 3, apabila kita
perhatikan beberapa hal yang sama (dalam hal ini
tidak usah memperhatikan nilai fungsi di 0 untuk
Contoh 1 dan nilai fungsi di 1 untuk Contoh 2 dan
Contoh 3), berturut-turut kita katakan:Limit f( x) untuk x mendekati 0 sama dengan 1,
Limit g( x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,
Limith( x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,
dan masing-masing ditulis dengan
2)(limdan,2)(lim,1)(lim110
===→→→
xh x g x f x x x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
39/63
LIMIT FUNGSI
Dengan demikian, dapat diturunkan definisi
limit fungsi secara formal, yaitu sebagai berikut.
Definisi 4.Fungsi f dikatakan mempunyai limit
L untuk x mendekatic, ditulis
jika untuk nilai x yang sangat “dekat” denganc,tetapi , berakibat f( x) “mendekati” L.
L x f c x
=→
)(lim
c x ≠
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
40/63
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(i)
(ii)
(iii) Jika dan ada, dan
maka:
(a)
(b)
)(lim x f c x→
)(lim x g c x→
k k c x
=→
lim
c xc x
=→lim
Rk ∈
{ } )(lim)(lim)()(lim x g x f x g x f c xc xc x →→→ +=+
)(lim)(lim x f k xkf c xc x →→
=
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
41/63
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(c)
(d)
{ } )(lim).(lim)().(lim x g x f x g x f c xc xc x →→→
=
0)(limasalkan,)(lim
)(lim
)(
)(lim ≠=
→→
→
→ x g
x g
x f
x g
x f c x
c x
c x
c x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
42/63
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(e) untuk sebarang ,
{ } { }{ } { }
{ } { }.0)(limgenap,untuk asalkan
,)(lim)(lim)3(
0)(limasalkan
,)(lim)(lim)2(
)(lim)(lim)1(
/1/1
≥
=
≠
=
=
→
→→
→
−
→
−
→
→→
x f n
x f x f
x f
x f x f
x f x f
c x
n
c x
n
c x
c x
n
c x
n
c x
n
c x
n
c x
N n∈
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
43/63
CONTOH-CONTOH
1. Hitung .
Penyelesaian:
( )63lim 2
1−−
−→ x x
x
( )
( )261)1(3
61lim3
6)1(lim3
6limlim3lim63lim
2
2
1
2
1
11
2
1
2
1
−=−+−=
−+=
−−−=
−−=−−
−→
−→
−→−→−→−→
x
x
x x x x
x
x
x x x x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
44/63
CONTOH-CONTOH
2. Hitung .
Penyelesaian:
3
152lim
2
2 +
−−
→ x
x x
x
( )
( )
( )
3
32
152.22
3limlim
15limlim2lim
3lim
152lim
3
152lim
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
−=
+−−
=+
−−=
+
−−=
+−−
→→
→→→
→
→
→
x x
x x x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
45/63
CONTOH-CONTOH
3. Hitung .
Penyelesaian:
15
1
lim2 −→ x x
3
1
12.5
1
1limlim5
1
)15(lim
1
15
1
lim15
1
lim15
1
lim
2/1
2/1
22
2/1
2
2/1
2
2/1
22
=
−
=
−=
−=
−=
−=−
→→→
→→→
x x x
x x x
x x
x x x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
46/63
CONTOH-CONTOH
4. Hitung .
Penyelesaian:
Karena ,
maka sifat
tak dapat langsung digunakan. Apakah dengan
demikian limit yang ditanyakan menjadi tak ada?
1
23lim
2
2
1 −
+−→ x
x x
x
( ) ( ) 023limdan01lim 21
2
1=+−=−
→→ x x x
x x
)(lim
)(lim
)(
)(lim
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
→
→
→=
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
47/63
CONTOH-CONTOH
Perhatikan bahwa untuk , .
Oleh karena itu,,
1
2
)1)(1(
)2)(1(
1
232
2
+−
=+−−−
=−+−
x
x
x x
x x
x
x x
2
1
11
21
)1(lim
)2(lim
1
2lim
1
23lim
1
1
12
2
1
−=+−=
+−=
+−
=−+−
→
→
→→
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
1≠ x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
48/63
CONTOH-CONTOH
5. Hitung .
Penyelesaian:
2
35lim
2
2 −
−+→ x
x
x
( )
( )( )
( )( )
3
2
39
22
35
2lim
352
22lim
352
95lim
35
35.2
35lim2
35lim
22
222
2
2
2
22
2
2
2
=++
=++
+=
++−
+−
=++−
−+
=
++++
−−+=
−−+
→
→→
→→
x
x
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
49/63
LIMIT TAK HINGGA
Untuk , definisi limit dapat dituliskan
sebagai berikut.
Definisi 5.Fungsi f dikatakan mempunyai limit
L untuk x mendekati∞, ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat besar takterbatas” arah positif berakibat f( x) “mendekati”
L.
L x f x
=∞→
)(lim
∞=c
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
50/63
LIMIT TAK HINGGA
Untuk , definisi limit dapat dituliskan
sebagai berikut.
Definisi 6.Fungsi f dikatakan mempunyai limit
L untuk x mendekati ∞ ─ , ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat besar takterbatas” arah negatif berakibat f( x) “mendekati”
L.
L x f x
=−∞→
)(lim
−∞=c
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
51/63
LIMIT TAK HINGGA
Definisi 7.Fungsi f dikatakan mempunyai limit
tak hingga untuk x mendekatic, ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat dekat” denganc,
tetapi berakibat nilai f( x) menjadi “besar
tak terbatas” arah positif.
∞=→
)(lim x f c x
c x ≠
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
52/63
LIMIT TAK HINGGA
Definisi 8.Fungsi f dikatakan mempunyai limit
negatif tak hingga untuk x mendekatic, ditulis
jika untuk nilai x yang “sangat dekat” denganc,
tetapi berakibat nilai f( x) menjadi “besar
tak terbatas” arah negatif.
−∞=→
)(lim x f c x
c x ≠
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
53/63
LIMIT TAK HINGGA
Definisi 9.Fungsi f dikatakan mempunyai limit
tak hingga untuk x mendekati tak hingga ,
ditulis
jika untuk nilai x yang “cukup besar” arah
positif, berakibat nilai f( x) menjadi “besar tak
terbatas” arah positif.
∞=∞→
)(lim x f x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
54/63
LIMIT TAK HINGGA
Untuk limit-limit
didefinisikan secara sama.
−∞=∞=−∞=−∞→−∞→∞→
)(limdan,)(lim,)(lim x f x f x f x x x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
55/63
LIMIT TAK HINGGA
Dari definisi-definisi di atas, mudah dipahami:
−∞==
∞==
∞=
−∞→−∞→
∞→∞→
→
→
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
lim.601
lim.4
lim.50
1
lim.3
0untuk ,1
lim.2
0untuk ,1
lim.1
0
0
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
56/63
CONTOH-CONTOH
( ) ∞=+−=+−=
−==−
−∞=∞−=
−=
−
∞→∞→∞→
∞→∞→
→→→
7lim)3(lim73lim.3
0
)1(,1
lim1
1lim.2
.11
lim)1(lim1
lim.1
2
2
0020
x x x
y x
x x x
x x x x
x y y x
x x
x
x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
57/63
CONTOH-CONTOH
1.Hitunglah
Penyelesaian:Perhatikan bahwa
Hal ini berakibat nilai limit yang ditanyakan
menjadi susah dikatakan. Apakah limit tersebut
tak ada?
52
13lim
2
2
+−−
∞→ x x
x
x
∞=+−∞=−∞→∞→
)52(limdan)13(lim 22 x x x x x
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
58/63
CONTOH-CONTOH
Perhatikan bahwa
Oleh karena itu, menggunakan sifat limit
diperoleh
31
3
521
13lim
52
13lim
2
2
2
2
==+−
−=
+−−
∞→∞→ x x
x
x x
x
x x
2
2
22
22
2
2
521
13
)521(
)13(
52
13
x x
x
x x x
x x
x x
x
+−−
=+−−
=+−−
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
59/63
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Contoh 6.Tunjukkan bahwa keliling lingkaran
dengan jari-jari R sama dengan .
Penyelesaian: Dibuat segin beraturan di dalam
lingkaran sehingga setiap titik sudutnya berada
pada lingkaran.
Rπ 2
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
60/63
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Keliling segin tersebut adalah
Untukn cukup besar, maka nilai akan
mendekati keliling lingkaran. Oleh karena itu,
keliling lingkaran adalah
( )( ) ( )( )
n
n Rn Rn Ln
1
2cos122cos12
2
2 π
π
−=−=
n L
R L L nn
π 2lim ==∞→
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
61/63
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Contoh 7.Suatu partikel bergerak mengikuti
persamaan
dengant menyatakan waktu (dalam jam) dan
S(t) menyatakan jarak tempuh. Berapa
kecepatan partikel pada jam 2?
0,4)( 2 ≥+= t t t t S
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
62/63
CONTOH APLIKASI LIMIT FUNGSI
Penyelesaian:
Kecepatan rata-rata partikel dari jam 2 sampai
dengan jam 2+h,dengan adalah
Apabila diambilh sangat kecil mendekati 0,
maka akan diperoleh kecepatan pada saat jam 2,yaitu
hh
S hS vh +=−+= 8)2()2(
0≠h
8lim)2(0
==→ hh
vv
8/18/2019 PERTEMUAN KE-6,7.ppt
63/63
SELESAI