Kuliah 2 [Lanjutan]Akar Fungsi : Metode Secant Metode Newton Raphson Contoh solusi akar fungsi dengan komputasi komputer

Secant Method

Overview Metode Secant Sekali lagi tebakan awal

adalah dipilih. Metode ini tidak

mengharuskan bahwa akar (root) adalah bracketed!

Dalam metode ini, suatu garis lurus digambar melalui titik-titik untuk mendapatkan satu titik baru yang dekat akar persamaan.

Ini diulagi sampai akar sebenarnya ditemukan.

Secant Method Pertama kita menebak dua

titik (x0,x1), dimana adalah diharapkan titik-titik tersebut dekat dengan akar (untuk inisialisasi mungkin bisa menggunakan metode bagi dua).

Satu garis adalah kemudian digambar melalui dua titik dan kita mencari dimana garis itu berpotongan pada sumbu X, x2.

Secant Method Jika f(x) adalah benar-

benar linear, garis lurus akan memotong sumbu X pada akar.

Bagaimanapun jika fungsi itu non linear, perpotongan garis lurus adalah bukan pada akar tetapi dekat pada akar.

Secant Method Dari segitiga

sebangun, kita dapat tuliskan persamaan sbb:

10

10

1

21

xfxfxx

xfxx

1x 0x2x

1xf 0xf

Secant Method Selanjutnya cari

nilai akar, x2:

10

10112 xfxf

xxxfxx

Secant Method Persamaan Iterasi

dari metode ini adalah:

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

1

11

Algoritma Metode Secant Berikan dua nilai tebakan awal x0, x1 yang dekat

dengan akar fungsi, Jika maka Tukar x0 dan x1. Ulangi Set Set x0 = x1 Set x1 = x2 Sampai < nilai toleransi.

10 xfxf

10

10112 *

xfxfxxxfxx

2xf

Contoh Soal Hitung salah satu akar dari

persamaan pangkat tiga berikut ini:f(x)=x3+x2 – 3x – 3=0

Solusi:Dihitung nilai f(x) pada interval antara

dua titik, misalnya x=1 dan x=2.Untuk x=1, f(x=1)=-4

x=2, f(x=2)=3

Dengan menggunakan persamaan:

Iterasi keduax2=2, f(x2=2)=3x3=1,57142, f(x3=1,57142) = -1,36449

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

1

11

57142,1

3)4()21(32

21

21223

xfxf

xxxfxx

70540,1)36449,1(3

)57142,12(36449,157142,14

x

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut:

iterasi x1 x2 x3 f(x1) f(x2) f(x3)

1 1,0 2,0 1,57142 -4,0 3,0 -1,36449

2 2,0 1,57142 1,70540 -3,0 -1,36449 -0,24784

3 1,57142 1,70540 1,73513 -1,36449 -0,24784 0,02920

4 1,70540 1,73513 1,73199 -024784 0,02920 -0,000575

5 1,73513 1,73199 1,73205

Diskusi Metode Secant Metode secant menpunyai convergence

lebih baik dibandingkan metode bagi dua atau bisection method

Karena akar tidak bracketed, maka mungkin ada kasus patologis di mana algoritma menyimpang dari akar (divergen).

Mungkin salah jika fungsi bukan kontinue.

Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson Metode Newton ini sangat bergantung

pada matematika kalkulus dan menggunakan pendekatan linier untuk fungsi dengan mencari tangen terhadap suatu kurva.

Metode Newton Raphson Membutuhkan satu

tebakan awal, x0, yang dekat pada akar sebenarnya.

Titik dimana garis singgung terhadap suatu fungsi {f(x)} menemukan sumbu x adalah perkiraan akar fungsi selanjutnya, x1.

Prosedur ini diulang sampai

nilai fungsi x adalah cukup dekat terhadap nilai nol.

Metode Newton Raphson Persamaan metode

Newton ini dapat ditentukan secara grafis!

Dari gambar di samping, tan Ө = ƒ'(x0) = ƒ(x0)/(x0 – x1)

Sehingga, x1=x0

-ƒ(x0)/ƒ'(x0).

Metode Newton RaphsonPersamaan umum metode Newton ini adalah: xn+1 = xn – f(xn)/ƒ'(xn)

Algoritma:Pilih nilai awal untuk x Ulangi x:= x – f(x)/ƒ'(x)Kembali nilai x

Contoh Soal Metode Newton RaphsonHitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut ini dengan metode Newton:

f(x)=x3+x2 – 3x – 3=0

Solusi:Turunan pertama dari persamaan tersebut di atas adalah: f’(x)=3x2+2x-3 Dengan menggunakan persamaan xn+1 = xn – f(xn)/ƒ'(xn)

Pada awal perhitungan ditentukan nilai xi sembarang misalnya x1=1, sehingga:f(x1=1) = (1)3 +(1)2 – 3(1) -3 =-4f’(x1=1) = 3(1)2 + 2(1) – 3 = 2x2 =1 – (-4/2) = 3

Langkah berikutnya ditetapkan x2 = 3, sehingga: f(x2=3) = (3)3 +(3)2 – 3(3) -3 =24f’(x2=3) = 3(3)2 + 2(3) – 3 = 30X3 =3 – (24/30) = 2,2

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama sampai didapat nilai f(x*) hampir nol dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut:

iterasi xi Xi+1 f(xi) f(xi+1)

1 1,0 3,0 -4,0 24

2 3,0 2,2 24 5,883

3 2,2 1,83 5,888 0,987387

4 1,83 1,73778 0,987387 0,005442

5 1,73778 1,73207 0,005442 0,0001816

Contoh solusi akar fungsi dengan komputasi komputer

Carilah solusi akar fungsi positip persamaan polinomial berikut ini dengan metode Newton Raphson dan komputasi persamaan tersebut dengan program komputer MabLab.

f(x) = x2 - 5

SolusiLangkah Pertama.

Plot kurva dari persamaan polinomial tersebut sehingga garisnya melintasi sumbu X.Gunakan perintah program Matblab untuk memplot kurva, dengan listing program:

Misalnya interval sumbu X yang dipilih dalam rentang -4<x<4 Tulis dalam window editor program:x=linspace(-4,4,100); artinya=diberi 100 nilai diantara -4 dan 4y=x.^2-5;plot(x,y);grid

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Hasil eksekusi program (Grafik)

Root

Diambil tebakan akar pertama (approximation)adalah x0=2, maka:

x1 = x0 – f(x0)/ƒ'(x0) = 2 – [(2)2-5]/2(2) = 2.25

Aproksimasi kedua:

x2 = x1 – f(x1)/ƒ'(x1) = 2.25 – [(2.25)2-5]/2(2,25) = 2.2361

Solusi ini diverifikasi dengan program Matlab

Solusi manual

Script:

p=input('Enter coefficient of p(x) in descendeng order:');Artinya: masukkan koefisien persamaan polinomial dalam bentuk descendeng order. x0=input('Enter starting value:');Artinya: masukkan tebakan/aproksimasi pertama.q=polyder(p);Artinya: hitung turunan dari persamaan polinomial x1=x0-polyval(p,x0)/polyval(q,x0);Artinya: hitung nilai aproksimasi dengan metode Newton Raphsonfprintf('\n');Artinya: print blank area (spasi)fprintf('The next approximation is: %9.6f\n',x1);Artinya: print nilai aproksimasi kedua dengan 9 digit dimana digit 6 adalah desimal

Solusi program matlab

Kita amati bahwa nilai perkiraan/aproksimasi secara manual dan kompter adalah sesuai.