Upload
rahmat29
View
213
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
1/31
BA B II
M A KSIM UM & M INIM UM(A P L IKA SI TURUNA N)
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
2/31
Mak si mum dan Mi ni mum
Definisi 1.
MisalkanS adalahdomain fungsi f yang memuat
titikc.(i) f(c) ≥ f(x) ⇒ f(c) adalah nilai maksimum
(ii) f(c) ≤ f(x) ⇒ f(c) adalah nilai minimum
(iii)f(c) adalah nilai maksimum/nilai minimum⇒ f(c) adalah nilai ekstrim
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
3/31
Titik K ritis
T e o r e m a 1 .
f(c) adlhnilai ekstrim⇒ c haruslahmerupakan
titikkritis, yaituberupasalahsatudari :
(i) Titikujunginterval
(ii) Titikstasioner⇒
f ’(c) = 0(iii) Titiksingular ⇒ f ’(c) = tidakada
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
4/31
ProsedurMenghitung
NilaiMaksimumatauNilaiMinimumLangkah 1 .
Carilahtitik-titikkritisdari fungsi f
Langkah 2 .
Hitungnilai fungsi f padasetiaptitikkritis
Nilai fungsi f yang terbesar⇒Nilai Maksimum
Nilai fungsi f yang terkecil ⇒Nilai Minimum
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
5/31
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
6/31
(iii)Titiksingular
f ’(x) ada, makatdkadatitiksingularnya
Jadi, nilai maksimumnyaadalah6,25 dannilaiminimumnyaadalah-14
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
7/31
C o n t o h 2 .
Tentukannilai maksimumdanminimum darif(x) = -2x3+3x2 dari selang[-1/2, 2] !
Jawab:
(i) Titikujunginterval
x=-1/2 =-0,5⇒ f(-0,5) = -2(-0,5)3+3(-0,5)2
= -2(-0,125)+3(0,25)= 0,25 + 0,75 = 1
x=2 ⇒ f(2) = -2(2)3+3(2)2
= -2(8)+3(4)
= -16 + 12 = -4
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
8/31
(ii) Titikstasioner⇒f ’(x) = -6x2+6x = 0
-6x(x-1) = 0
-6x =0 atau x-1=0x =0 atau x =1
x=0 ⇒ f(0) = -2(0)3+3(0)2 = -2(0)+3(0)
= 0+0 = 0x=1 ⇒ f(1) = -2(1)3+3(1)2 = -2(1)+3(1)
= -2+3 = 1
(iii)Titiksingularf ’(x) ada, makatdkadatitiksingularnya
Jadi, nilai maksimumnyaadalah1 dannilai
minimumnyaadalah-4
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
9/31
Kemon ot on an
(i) Monotonnaik ⇔ x1< x2⇒ f(x1) f(x2)
(iii)Monotontakturun⇔ x1< x2⇒ f(x1) ≤ f(x2)(iv) Monotontaknaik ⇔ x1< x2⇒ f(x1) ≥ f(x2)
(v) Konstan ⇔ x1< x2⇒ f(x1) =f(x2)
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
10/31
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
11/31
(i) f ’(x) > 0 ⇒ f naik
(ii) f ’(x) < 0 ⇒ f turun
(iii) f ’(x) = 0 ⇒ f stasioner
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
12/31
Kecekungan
Misalkan f ’’(x) terturunkanduakali
(i) f ’’(x) > 0⇒ f cekungkeatas
(ii) f ’’(x) < 0⇒ f cekungkebawah
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
13/31
Cekung
ke atas
Cekung
ke
bawah
Gambar 3. Hubungan antara turunan pertama,
turunan kedua dan kecekungan
0)('
x f 0)(' x f
0)(' x f 0)(' x f 0)(" x f
0)(" x f
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
14/31
Menggambar Gr af i k F ungsi
Tentukandaerahasal dandaerahnilai fungsi
Untuk memberi visualisasi grafik fungsi yang
lebih teliti dan informasi mengenai perilakufungsi :
(i) Tentukantitik-titikkritisdannilai fungsititikkritis
(ii) Tentukanselangkemonotonan fungsi
(iii)Tentukanarahkecekunganfungsi
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
15/31
Contoh3.
Gambarlahgrafikfungsi f(x) = x2 – 6x + 9 ! Jawab:
(i) TitikKritis
a) Titikujunginterval→ (-∞, ∞)b) Titikstasioner
f ’(x) = 2x – 6 = 0
2x = 6x = 6/2 = 3
x=3 ⇒ f(3) = (3)2-6(3)+9 = 9-18+9= 0
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
16/31
c) Titiksingular
f ’(x) ada, makatdkadatitiksingularnya
(ii)Selangkemonotonan fungsi
Berarti terdapatselang(-∞,3) dan (3,∞)
Untuk selang(-∞,3)Pilihx = 0⇒ f ’(0) = 2(0)-6 = 0–6 = -6 < 0
(-∞,3) ⇒ f turun
Untukselang(3,∞)Pilihx = 4⇒ f ’(4) = 2(4) - 6 = 8–6 = 2 > 0
(3,∞) ⇒ f naik
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
17/31
(iii)Arahkecekunganfungsi
f ’(x) = 2x-6
f ’’(x) = 2 > 0
Jadi, f(x) = x2 – 6x + 9 cekungkeatas
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
18/31
f(x) = x2 – 6x + 9
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
19/31
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) = x2 – 6x + 9
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
20/31
A p l i k asi T ur un an
Contoh4 :Sebuahtanggayang panjangnya5 m bersandar
padadindingtegak, danujungbawahnyaterletak
padalantai datar. Jikapadasaatujungatastanggaberada4 meter di ataslantai, kecepatanmeluncurnyaadalah3 meter/detik. Tentukan
kecepatan meluncur ujung tangga di lantai pada
saat itu!
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
21/31
J awab :
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
22/31
J awab :
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
23/31
J awab :
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
24/31
Contoh5 :
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
25/31
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
26/31
J awab :
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
27/31
J awab :
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
28/31
Contoh6 :
Sehelai kartonberbentukbujursangkardenganluas81 cm2. Padakeempatujung-
ujungkartontersebutdigunting
bujursangkar yang ukurannyasama.Selanjutnyakartontersebutdilipatkeatas
sehinggadiperolehsebuahkotaktanpatutup.
Tentukanvolume dos yang paling besar yangdapatdibuatdari kartontersebut!
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
29/31
L=81 cm2 9 cm
9 cm 9–2xx x
x
x
xx
xxx
x xx
xx x
x
9–2x
9–2x
9–2x
xx
x x
p = 9-2xl = 9-2x
t = x
Vol = V(x) = p x l x t = (9-2x)(9-2x)x
= (81-18x-18x+4x2)x
= 4x
3
-36x
2
+81x
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
30/31
8/18/2019 Pert 5 Maksmin
31/31
Contoh7 :
Sebuah kebun berbentuk persegipanjang akan dipagari dengan kawatberduri. Pada bagian pojok kebun
terdapat tembok siku-siku sepanjang 4m dan 2 m, sehingga bagian tersebuttidak perlu dipagari . Tentukan luas
maksimum kebun yang dapat dipagarioleh 30 meter pagar kawat.