PerspectivaEl término perspectiva (en latín, perspicere "para ver a través de")1 se utiliza en las artes gráficas para designar a unarepresentación, generalmente sobre una superficie plana (como el papel o un lienzo), de un motivo tal como es percibido por lavista, de forma que se pueda intuir su configuración tridimensional.

Geométricamente, estas representaciones se obtienen a partir de la intersección de un plano (el plano del dibujo) con un conjuntode visuales (las líneas rectas o rayos que unen los puntos del objeto representado con el punto desde el que se observa(denominado el punto de vista)).

En este sentido, existen dos tipos fundamentales de perspectivas, en función de la posición relativa entre el modelo representadoy el punto de vista:

Perspectiva cónica: También denominada perspectiva central, sus características másdistintivas son que los objetos representados son más pequeños a medida que aumentasu distancia al observador; y la convergencia en un punto de fuga de la representaciónde las líneas paralelas del modelo. Las visuales forman un haz cónico, con su vértice enel punto de vista.2 Los pintores y arquitectos del Renacimiento italiano, incluidos Filippo Brunelleschi,Masaccio, Paolo Uccello y Piero della Francesca, así como el matemático Luca Pacioli,estudiaron la perspectiva central, escribieron tratados sobre ella y la incorporaron en susrealizaciones, contribuyendo así a las matemáticas del arte.A medio camino entre el arte y la técnica, arquitectos y urbanistas se han valido de estetipo de perspectivas para dar una mejor idea del aspecto que podrían tener suspropuestas constructivas, más allá de la información facilitada por planos en planta yalzado.Las fotografías producen este tipo de perspectivas3 (mediante un elemento fotosensibleque recoge la imagen proyectada desde el foco de una lente), al igual que los ojos de losanimales superiores (en los que se forma una imagen sobre la superficie de la retina,proyectada desde el foco del cristalino).4

Perspectiva axonométrica: es un tipo de proyección en la que todas las visuales sonparalelas entre sí, lo que equivale a que el punto de vista se sitúe en el infinito. En estetipo de perspectivas, las líneas paralelas en el modelo conservan su paralelismo en laimagen, por lo que los objetos no reducen su tamaño a medida que se alejan delobservador, ni existe ningún punto de fuga en el que converjan las líneas del dibujo.5 Es un sistema de representación gráfico más ligado a la ciencia y a la técnica que al arte.Sus orígenes no están claros, puesto que se conocen planos arquitectónicos que datande veinte siglos a. C., procedentes de Caldea, y existe una larga tradición en este campoligada a la cantería y a la ingeniería militar muy anterior al Renacimiento.6 En su formamoderna surgió de la mano del matemático francés Gaspard Monge (1746-1818) comouna generalización al espacio del sistema de coordenadas cartesianas del plano6 previamente formalizado en el siglo XVII, permitiendo visualizar de una formarelativamente sencilla y eficaz curvas, superficies y objetos tridimensionales sobre elplano del papel. Con el desarrollo de la industria mecánica de precisión a partir de finalesdel siglo XIX, la perspectiva axonométrica tomó carta de naturaleza a partir de lasistematización de su uso en cristalografía por el ingeniero de minas italiano QuintinoSella (1827-1884), convirtiéndose en una herramienta de gran utilidad para generarplanos detallados de piezas complejas, facilitando la comprensión de su configuracióngeométrica.6 Otra ventaja de este tipo de vistas es que es posible conocer directamente lasdimensiones del modelo original midiendo sobre los ejes del dibujo. En este sentido,numerosas normas técnicas especifican las características de este tipo deperspectivas.5

La aparición de programas de ordenador capaces de manejar con gran agilidad la información geométrica de modelos complejos,ha diluido la diferencia que existía entre estos dos tipos de perspectivas en lo relativo a su ejecución, especialmente cuando seconfeccionaban manualmente. En cualquier caso, los procedimientos gráficos y sus bases teóricas asociados a estos dos tipos desistemas de representación siguen formando parte de los programas académicos tanto de los centros de educación secundariacomo de las escuelas superiores de arquitectura, ingeniería y bellas artes de todo el mundo.7

Visión general

Desarrollo históricoAntecedentesAntigüedad y Edad MediaRenacimiento: base matemáticaManifestaciones posterioresEvolución de la perspectiva axonométricaPresente: gráficos por computadora

Tipos de perspectivaPerspectiva con un punto de fugaPerspectiva con dos puntos de fuga

Croquis realizados a mano de las perspectivas deuna habitación, en los que se aprecian las líneasauxiliares utilizadas

Analogía funcional entre el ojo humano y unacámara fotográfica. En ambos casos, las imágenesrecibidas se forman gracias a una proyeccióncentral

"Diferencia entre una perspectiva axonométrica(arriba) y una perspectiva cónica (abajo): en lacónica existen líneas paralelas del modelo queconvergen, y las casas van siendo más pequeñasa medida que se alejan del punto de vista;mientras que en la axonométrica todas las líneasparalelas se conservan como tales, y las casas nodecrecen de tamaño (nótese el efecto óptico queda la impresión de que las casas más alejadas sonmayores, cuando en realidad todas son del mismotamaño en el dibujo)

Índice

Perspectiva con tres puntos de fugaEscorzoPerspectiva con numerosos puntos de fugaPerspectiva curvilíneaPerspectiva sin puntos de fugaPerspectivas axonométricas

Métodos de construcción

Limitaciones

Véase también

Referencias

Bibliografía

Lecturas adicionales

Enlaces externos

Referencias adicionales

La perspectiva lineal siempre funciona representando la luz procedente de una escena quepasa a través de un rectángulo imaginario (realizado como el plano de la pintura), hastaalcanzar la vista del espectador, como si el espectador mirara a través de una ventana ypintara directamente sobre el cristal lo que se ve. Si se mira desde el mismo lugar donde sepintó el cristal de la ventana, la imagen pintada sería idéntica a lo que se veía a través de laventana sin pintar. Cada objeto pintado en la escena es una versión plana y reducida delobjeto situado al otro lado de la ventana.8 Dado que cada parte del objeto pintado seencuentra en la línea recta desde el ojo del espectador a la parte equivalente del objeto realrepresentado, el espectador no ve diferencia (sin considerar la percepción de profundidadbinocular) entre la escena pintada en el cristal de la ventana y la vista de la escena real.

Todos los dibujos en perspectiva suponen que el espectador está a cierta distancia deldibujo. Los objetos se escalan en relación con ese punto de visión. Un objeto a menudo nose escala de manera uniforme: un círculo frecuentemente aparece como una elipse y uncuadrado puede aparecer como un trapezoide. Esta distorsión se conoce como escorzo.9

Los dibujos en perspectiva tienen una línea del horizonte, que casi siempre está implícita. Esta línea, directamente opuesta al ojo delespectador, representa objetos infinitamente lejanos, que se han reducido en la distancia al grosor infinitesimal de una línea. Esanálogo (y lleva el nombre) del horizonte de la Tierra.10

Cualquier representación en perspectiva de una escena que incluya líneas paralelas tiene uno o más puntos de fuga. Un dibujo enperspectiva de un solo punto significa que el dibujo tiene un único punto de fuga, normalmente (aunque no necesariamente)directamente opuesto al ojo del observador y generalmente (aunque no necesariamente) en la línea del horizonte. Todas las líneasparalelas a la línea de visión del espectador retroceden hacia el horizonte, dirigidas al punto de fuga. Este es el fenómeno estándarde la convergencia de las vías del tren. Un dibujo con dos puntos de convergencia tendría líneas paralelas a dos ángulos diferentes.Es posible cualquier número de puntos de fuga en un dibujo, uno para cada conjunto de líneas paralelas que están en un determinadoángulo respecto al plano del dibujo.2

Las perspectivas que contienen muchas líneas paralelas se observan a menudo cuando se dibujan obras de arquitectura (donde seutilizan con frecuencia líneas paralelas a los ejes x, y y z). Debido a que es raro tener una escena que consista únicamente en líneasparalelas a los tres ejes cartesianos, en la práctica no es frecuente ver perspectivas con solo uno, dos o tres puntos de fuga; inclusoun edificio sencillo frecuentemente tiene un techo puntiagudo que da como resultado un mínimo de seis conjuntos de líneasparalelas, que a su vez corresponden a hasta seis puntos de fuga.2

Por el contrario, las escenas de la naturaleza a menudo no poseen ningún conjunto de líneas paralelas y, por lo tanto, no tienenpuntos de fuga.11

Por otro lado, las perspectivas axonométricas ortogonales se pueden considerar casos especiales de la perspectiva cónica, en las quelas visuales que sirven para delinear el dibujo son paralelas entre sí (lo que equivale a situar el punto de vista infinitamente alejadodel modelo). Esto se traduce en la ausencia de puntos de fuga en el dibujo. Por otro lado, las axonometrías oblicuas no secorresponden con ningún tipo de modelo óptico de perspectiva, siendo un artificio gráfico matemático que permite simplificar la realización de determinadas representaciones de cuerpostridimensionales.

El intento de dar sensación de volumen a las representaciones pictóricas se encuentra más o menos presente desde las primeras muestras del arte paleolítico, como se puede apreciar en las pinturasrupestres de la cueva de Altamira (con unos 35.000 años de antigüedad), en las que se aprovecha el relieve de las rocas de la pared de la cueva para dotar de profundidad a los dibujos.12 Estatendencia alcanzó altas cotas de perfección técnica durante la época romana (seguramente basándose en procedimientos empíricos o intuitivos), pero no fue hasta el siglo XV, durante elRenacimiento italiano, cuando se sentaron las bases geométricas que permitieron convertir el dibujo en perspectiva en una técnica con sólidos fundamentos teóricos. Desde entonces, ha pasado ageneralizarse su uso, convirtiéndose en una útil herramienta primero para los pintores, después para los arquitectos y más adelante para los ingenieros, hasta llegar al desarrollo en el último cuartodel siglo XX de las aplicaciones por ordenador que permiten automatizar la generación de este tipo de vistas, que hasta entonces podían requerir de una laboriosa construcción gráfica.13

Un lápiz afilado en perspectivaextrema. Téngase en cuenta laprofundidad de campo

Visión general

Un cubo en una perspectiva con dospuntos de fuga

Rayos de luz viajando desde el objeto, através del plano del dibujo, y hastaalcanzar el ojo del espectador. Esta esla base de la perspectiva

Efectos del cambio de la posición relativa delpunto de vista y del plano del dibujo respecto almodelo: cuando el plano se acerca al punto devista, se obtiene el mismo dibujo pero de menortamaño; cuando el punto de vista se acerca almodelo, aumenta la convergencia de las líneas deldibujo

Desarrollo histórico

Antecedentes

Las primeras pinturas y dibujos artísticos generalmente clasificaban muchos objetos y personajes jerárquicamente según su importancia espiritual otemática, pero no según su distancia al espectador, y no usaban el escorzo. Las figuras más importantes a menudo se muestran como las más altasen una composición, especialmente de motivos hieráticos, lo que lleva a la llamada "perspectiva vertical", común en el arte del Antiguo Egipto,donde un grupo de figuras "más cercanas" se muestran debajo de la figura o figuras más grandes. En las pinturas egipcias se concebía un espaciobidimensional de la superficie a pintar, sin sugerir estrictamente una idea de concepción espacial. Disponían los personajes aumentando su tamañosegún su importancia, lo que los historiadores del arte denominan perspectiva jerárquica o teológica.14

El único método para indicar la posición relativa de los elementos en la composición era la superposición, de la que se hace mucho uso en trabajoscomo los mármoles de Elgin, las famosas esculturas que decoraban el Partenón de Atenas. Sin embargo, existen numerosos estudios acerca delpropio Partenón, que afirman que sus dimensiones (especialmente la forma e inclinación de sus columnas) fueron meticulosamente estudiadas paracontrarrestar los efectos de la perspectiva sobre las líneas maestras del edificio.15

Se considera que los primeros intentos por desarrollar una sistema de perspectiva comenzaron alrededor delsiglo V a. C. en el arte de la Antigua Grecia, como parte del interés en producir la ilusión óptica deprofundidad en los escenarios teatrales. Este hecho se describe en la Poética de Aristóteles como laescenografía: el uso de paneles planos en un escenario para dar la ilusión de profundidad.16 Los filósofosAnaxágoras y Demócrito elaboraron teorías geométricas de la perspectiva para ser usadas en laskenographia. Alcibíades tenía pinturas en su casa diseñadas usando esta técnica,17 por lo que este arte nose limitó simplemente a los escenarios.

Platón fue uno de los primeros en discutir los problemas de la perspectiva:

"Así (a través de la perspectiva) se revela dentro de nosotros todo tipo de confusión; y esta es la debilidad dela mente humana sobre la cual se impone el arte de conjurar y engañar por la luz y la sombra y otrosingeniosos artificios, que tienen un efecto sobre nosotros como la magia ... Y las artes de medir, numerar ypesar vienen al rescate de la comprensión humana -de ahí su belleza-, y los aparentes mayor o menortamaño, o más o menos peso, ya no tienen dominio sobre nosotros, sino que ceden ante el cálculo de lamedida y el peso."18

En su Óptica, Euclides introdujo una teoría matemática de la perspectiva, pero existe cierto debate sobre hasta qué punto coincide con la definiciónmatemática moderna. En los últimos períodos de la antigüedad, los artistas, especialmente aquellos de tradiciones menos populares, sabían que los objetos distantes podían mostrarse más pequeñosque los cercanos para aumentar el realismo, pero el hecho de que esta convención se utilizara realmente en un trabajo dependía de muchos factores. Algunas de las pinturas encontradas en lasruinas de Pompeya muestran un notable realismo y perspectiva para su tiempo.19 Se ha afirmado que los sistemas completos de perspectiva ya se desarrollaron en la antigüedad, pero la mayoría delos eruditos no lo aceptan. Casi ninguna de las muchas obras en las que se hubiera utilizado un sistema así ha sobrevivido. Un pasaje de Filóstrato sugiere que los artistas y teóricos clásicospensaban en términos de "círculos" a igual distancia del espectador, como un teatro semicircular clásico visto desde el escenario.20 En los dibujos del códice Vergilius Vaticanus, alrededor del año400 más o menos, las vigas del techo de las habitaciones se muestran convergentes en un punto de fuga común, pero esto no está sistemáticamente relacionado con el resto de la composición.

Los artistas chinos utilizaron la proyección oblicua desde el siglo I hasta el siglo XVIII. No es seguro cómo llegaron a usarla; algunas autoridades sugieren que los chinos adquirieron esta técnicade la India, que a su vez la adquirió de la Antigua Roma.21 La proyección oblicua también aparece en el arte japonés, como en las pinturas Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815).21 En el sigloXVIII, los artistas chinos comenzaron a combinar la perspectiva oblicua con la disminución regular del tamaño de las personas y los objetos con la distancia; no se elige ningún punto de vistaparticular, pero se logra un efecto convincente.21

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1) Codex Amiatinus (siglo VII). Imagen de Esdras, del quinto folio del inicio de un Antiguo Testamento 2) Acuarela china de la dinastía Song de un molino en perspectiva oblicua, siglo XII 3) Ilustración del siglo XV de una traducción al francés antiguo de la Histoire d'Outremer de Guillermo de Tiro22 4) Intento geométricamente incorrecto de una perspectiva en una pintura de 1614 de la antigua Catedral de San Pablo (Sociedad de Anticuarios de Londres)

En el período de la Antigüedad tardía, el uso de técnicas de perspectiva disminuyó. El arte de las nuevas culturas del período de las grandes migraciones no tenía tradición de intentarcomposiciones con gran número de figuras, y el arte medieval temprano tardó mucho y fue inconsistente en volver a aprender la convención de los modelos clásicos, aunque el proceso ya se puedeapreciar en el arte carolingio.23

Varias pinturas durante la Edad Media muestran intentos de proyecciones en dibujos de muebles, donde las líneas paralelas se representan con éxito en proyección isométrica o mediante líneas a suvez paralelas, pero sin un único punto de fuga.

Los artistas medievales en Europa, como los del mundo islámico y China, conocían el principio general de variar el tamaño relativo de los elementos según la distancia, pero contaban con motivoscompositivos para ignorarlo, incluso más que el arte clásico. Los edificios a menudo se muestran oblicuamente según una convención particular. El uso y la sofisticación de los intentos detransmitir distancia aumentaron constantemente durante este período, pero sin basarse en una teoría sistemática. El arte bizantino también conocía estos principios, pero mantenía la convención de

Escena de una cacería. Pintura delantiguo Egipto

Antigüedad y Edad Media

Mural romano deBoscoreale (del 43 al 30 a.C.)

Imagen del Vergilius Vaticanus

la perspectiva invertida para destacar las figuras principales.24 Hasta llegar al final de la Baja Edad Media, los intentos de conseguir una cierta idea de perspectiva se encuentran en la perspectivacaballera,25 donde los objetos más alejados se sitúan en la parte superior de la composición y los más cercanos, en la inferior.

El artista que se considera el antecesor del renacimiento italiano, el pintor gótico Giotto (1267-1336), fue uno delos primeros pintores que comenzó a dotar de tridimensionalidad de forma coherente aunque todavía intuitiva asus composiciones.26 Los artistas empiezan a buscar la sensación espacial a través de la observación de lanaturaleza. Con las obras de Fra Angelico (1390-1455) —como en La Anunciación— y sobre todo con las deMasaccio27 —en su Trinidad (h. 1420-1425)—, se logra la sensación de espacio mediante el uso metódico de laperspectiva cónica, donde las líneas paralelas de un objeto convergen hacia un determinado punto de fuga. Eltamaño de las figuras se va reduciendo en función de la distancia, lo que provoca la ilusión óptica deprofundidad.

Entre los años 1416 y 1420, Filippo Brunelleschi (1377-1476), artista y arquitecto florentino del renacimientoitaliano, para poder representar los edificios en perspectiva, realizó una serie de estudios con la ayuda deinstrumentos ópticos. Con ellos, descubrió los principios geométricos que rigen la perspectiva cónica, una formade perspectiva lineal basada en la intersección de un plano con un imaginario cono visual cuyo vértice sería elojo del observador. Los objetos parecen más pequeños cuanto más lejos están. Además, pictóricamente, tienen colores más tenues, poseen contornosmás difusos y menos contraste cuanto más alejados están.28

En 1434, Brunelleschi demostró el método geométrico de la perspectiva utilizado hoy por los artistas. Al pintar los contornos de varios edificios deFlorencia sobre un espejo, cuando prolongó sus líneas maestras, se dio cuenta de que convergían en la recta del horizonte. Según Giorgio Vasari,introdujo una demostración de su técnica en la puerta incompleta de la catedral de Santa María del Fiore. Hizo que el espectador mirara a través de unpequeño agujero en la parte posterior de una pintura del Baptisterio, frente al propio edificio. Luego, disponía un espejo, de cara al espectador, quereflejaba su pintura. Para el espectador, la pintura del Baptisterio y el edificio en sí eran casi indistinguibles.29

En el campo de la escultura, los bronces concebidos por Lorenzo Ghiberti (1378-1455) para la puerta norte del baptisterio de la catedral de Florenciatambién muestran un completo dominio de la técnica de la perspectiva.30

Poco después, casi todos los artistas de Florencia e Italia utilizaron la perspectiva geométrica en sus pinturas,31 notablemente Paolo Uccello, Masolinoda Panicale y Donatello. El propio Donatello comenzó a representar suelos enlosados con aspecto de tablero de ajedrez en un grabado sobre elnacimiento de Cristo. Aunque históricamente improbables, estos enlosados obedecían las leyes primarias de la perspectiva geométrica: las líneasconvergían aproximadamente a un punto de fuga, y la velocidad a la que las líneas horizontales retrocedían en función de la distancia se determinaba

gráficamente. Este aspecto se convirtió en una parte integral del arte del Quattrocento.32

Melozzo da Forlì utilizó por primera vez la técnica del escorzo hacia arriba (en Roma, Loreto, Forlì y otros lugares), haciéndose célebre por ello.33 La perspectiva no solo era una forma de mostrarla profundidad, también era un nuevo método de composición pictórico. Las pinturas comenzaron a mostrar una escena única y unificada, en lugar de una combinación de varios encuadresdistintos.

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1) Disputa con los doctores, uno de los bronces que decora la puerta norte del baptisterio de la catedral de Florencia, obra de Lorenzo Ghiberti 2) Uso del escorzo hacia arriba en los frescos de Loreto, obra de Melozzo da Forlì 3) Uso de la perspectiva en los frescos de la Capilla Sixtina (1481–82) obra de Pietro Perugino, preludio del Renacimiento en Roma

Como demuestra la rápida proliferación de pinturas con perspectivas rigurosas en Florencia, Brunelleschi probablemente entendió (con la ayuda de su amigo el matemático Toscanelli),34 pero nopublicó, las matemáticas subyacentes detrás de la perspectiva.

Décadas más tarde, su amigo Leon Battista Alberti (1404-1472) escribió De pictura (1435/1436), un tratado sobre los métodos adecuados para mostrar la distancia en la pintura. El principal avancede Alberti no fue mostrar las matemáticas en términos de proyecciones cónicas, ya que en realidad le parecían implícitas a la vista. En cambio, formuló una teoría basada en proyecciones planas, osobre cómo los rayos de luz, pasando del ojo del espectador desde el paisaje, incidirían en el plano de la imagen (la pintura). Luego pudo calcular la altura aparente de un objeto distante utilizandodos triángulos semejantes. Las matemáticas asociadas a los triángulos semejantes son relativamente simples, y ya habían sido formuladas por Euclides hacía mucho tiempo.35 Al mirar una pared,por ejemplo, el primer triángulo tiene un vértice en el ojo del observador y los otros dos vértices en la parte superior e inferior de la pared. La parte inferior de este triángulo es la distancia desde elobservador a la pared. El segundo triángulo semejante tiene un punto en el ojo del observador, y cuenta con una longitud igual a la existente entre el ojo del espectador y la pintura. La altura delsegundo triángulo se puede determinar a través de una relación simple, como demuestra Euclides.

Reflexionó sobre las imágenes que se inscriben en el interior de la "ventana" formada por un cubo abierto por un lado e hizo alabanzas sobre "las caras que en las pinturas dan la impresión de salirdel cuadro, como si estuviesen esculpidas". Para ello, "a un pintor se le debe instruir, en la medida de lo posible, en todas las artes liberales, pero (...) sobre todo, en la geometría", definiendo así laspremisas de una teoría de la perspectiva. Alberti también se formó en la ciencia de la óptica a través de la escuela de Padua y bajo la influencia de Biagio Pelacani da Parma que estudió el Libro deÓptica de Alhacén36 (véase lo que se señaló anteriormente en este sentido con respecto a Ghiberti). El "Libro de Óptica" de Alhacén, traducido alrededor de 1200 al latín, sentó las basesmatemáticas para la perspectiva en Europa.37

Renacimiento: base matemática

Perspectiva lineal renacentista enLa Trinidad de Masaccio (1425?-1428?) de Santa María Novella(Florencia). Se cree que es latercera pintura realizada conperspectiva cónica, y es laprimera conservada.

"Adoración de los ReyesMagos", obra de Giotto

La codificación de la perspectiva humanista europea se desarrolló en la Umbría italiana, a mediados del siglo XV, bajo la influencia de la obra de Piero dellaFrancesca (1415-1492): a partir de la mera intuición y de los medios técnicos, la perspectiva se hace teoría matemática. También fue el primer pintor enllevar a cabo un estudio científico de la luz en la pintura.

La ciudad ideal (1475), atribuido a Piero della Francesca.

Elaboró su teoría sobre Della Pittura en De Prospectiva Pingendi en la década de 1470.38 Alberti se había limitado a figuras sobre el plano del suelo y dabauna base general para la perspectiva. Della Francesca desarrolló esta teoría, cubriendo de forma explícita los sólidos en cualquier área del plano pictórico.También comenzó la práctica común de usar figuras ilustradas para explicar los conceptos matemáticos, haciendo que su tratado fuese más fácil de entenderque el de Alberti. Della Francesca también fue el primero en dibujar con precisión los sólidos platónicos, que aparecían en perspectiva.39

En 1509 apareció el De divina proportione (Sobre la proporción divina) de Luca Pacioli, ilustrado por Leonardo da Vinci, donde se resume el uso de la perspectiva en la pintura.40

A caballo entre los siglo XV y XVI, se perfecciona la perspectiva bajo la aportación del propio Leonardo da Vinci (1452-1519) en su Tratado de la pintura (publicado en 1680) con la perspectivadel color, donde los colores se difuminan según va aumentando la distancia; y la perspectiva menguante, donde los objetos o figuras van perdiendo nitidez con la distancia.41

Retrato del matrimonioArnolfini, obra de Van Eyck

Luca Pacioli demostrando uno de los teoremas deEuclides (Jacopo de'Barbari, 1495)

La virgen y el niño consanta Ana (Leonardo)

Grabado de Durero mostrando un sistema de visualesde referencia para realizar dibujos en perspectiva.

La perspectiva se mantuvo, durante un tiempo, en el dominio de Florencia. Jan van Eyck (1390-1441), entre otros, no pudo crear una estructura consistente para las líneas convergentes en laspinturas, como en el Retrato de Giovanni Arnolfini y su esposa42 de Londres, porque no estaba al tanto del avance teórico que estaba ocurriendo en ese momento en Italia. Sin embargo, logróefectos muy sutiles mediante manipulaciones de escala en sus interiores.

Alberto Durero (1471-1528), figura clave del Renacimiento en Alemania tanto por su obra pictórica como por sus estudios sobre el arte del dibujo, continuó con el desarrollo de las técnicas de laperspectiva.43 Entre sus grabados figuran detalladas imágenes de la práctica de los métodos teóricos utilizados para volcar modelos reales al plano del dibujo.

Poco a poco, y en parte a través del movimiento de las academias de las artes, las técnicas italianas se convirtieron en parte de la formación de artistas en toda Europa, y más tarde en otras partesdel mundo.

Durante los tres siglos que siguieron al Renacimiento, hasta finales del siglo XIX aproximadamente,la perspectiva continuó siendo una herramienta fundamental a disposición de los pintores, aunque endistintas épocas surgieron voces que criticaron el rigor matemático de las composiciones como unacortapisa a la libertad expresiva de los artistas. El pintor italiano de finales del siglo XVI FedericoZuccaro acusaba a esta técnica de quitar al arte toda su gracia y su espíritu.13

Así, tras el Renacimiento, durante la época manierista, ya no se intenta representar la realidad demanera naturalista, se hace más complicada, se crean perspectivas ilusorias con puntos de fugamúltiples o sacando el punto de fuga fuera de la pintura y se distorsionan deliberadamente lasproporciones en un espacio desarticulado e irracional para lograr un efecto emocional y artístico.13 Poco después, el astrónomo y matemático italiano Guidobaldo Del Monte (1545-1607), en su obraPerspectivas Libri Sex (1600), idea una formulación matemática de la proyección cónica más acordecon sus propiedades geométricas.6

A finales del siglo XVI la técnica de la perspectiva cónica llegó a China y Japón a través de las primeras misiones jesuitas en Asia, produciendo un choque con lastradiciones pictóricas locales, acostumbradas a respetar el paralelismo de las líneas en sus composiciones.44

Ya en plena etapa barroca, la forma es definida sobre todo por el color, la luz y el movimiento, con lo que las composiciones se complican, se adoptan perspectivasinsólitas y los volúmenes se distribuyen de manera asimétrica. Pintores como el holandés Johannes Vermeer (1632-1675) o el español Diego Velázquez (1599-1660)incorporaron contrastes de luminosidad a sus pinturas para dotarlas de una atmósfera propia (efecto conocido como perspectiva aérea,45 con el que se intentarepresentar la atmósfera, el aire que envuelve a los objetos, degradando su color a medida que se van alejando del espectador, aportando así no solo una sensación deprofundidad).

Sacra Conversación, obrade Piero della Francesca

Manifestaciones posteriores

Dos pintoresaprendicesestudiando latécnica de laperspectiva. Dibujode FedericoZuccaro, 1609

Piazza San Marco con la Basílica, (1730), obra deCanaletto.

Desde el punto de vista teórico, la culminación de estas tradiciones del Renacimiento encuentra su última síntesis en la investigación sobre la perspectiva, la óptica y la geometría proyectiva delarquitecto, geómetra y óptico francés del siglo XVII Girard Desargues (1591-1661).46 Más adelante, el pintor español Antonio Palomino (1655-1726) publicó un tratado en el que dio a conocer elmétodo del triángulo áureo para dibujar perspectivas, que hasta entonces permanecía restringido al círculo de dibujantes y pintores.6 En 1715, la publicación del tratado de perspectiva lineal delmatemático británico Brook Taylor (1685-1731),47 permitió que la enseñanza de la perspectiva a los artistas se basase en el estudio de las matemáticas subyacentes a esta técnica.

Otro destacado pintor que hizo un uso habitual de la perspectiva en sus minuciosas vistas urbanas de Venecia, fue el italiano Canaletto (1697-1768),48 extendiendo a la época de la Ilustración latradición geométrica del período anterior.

La segunda mitad del siglo XVIII asistió al auge del estilo neoclásico, con pintores de corte academicista como el francés Jacques-Louis David (1748-1825), en cuyas obras la perspectiva servía detelón de fondo a temas de carácter historicista o alegórico,49 pero sin el protagonismo de la etapa anterior.

En el plano teórico, figuras como los franceses Gaspard Monge (1746-1818), creador de la geometría descriptiva, y Jean-Victor Poncelet (1788-1867), recuperador de la geometría proyectiva,sentaron las bases que ligaron la geometría de la perspectiva a la técnica y a otras ramas de la matemática como el álgebra. Finalmente, Otto Wilhelm Fiedler (1832-1912) definió rigurosamente ensu tesis doctoral de 1859 el sistema de proyección central, fijando los fundamentos matemáticos de la perspectiva cónica tal como se conocen en la actualidad.6

Tras la revolución francesa, surgió el movimiento romántico, preludio de las corrientes artísticas de vanguardia de la primera parte del siglo XX. Durante este período se impuso un concepto másnaturalista del arte, menos ligado al rigor geométrico de las escenas imperante hasta entonces. Además, el perfeccionamiento de la fotografía en las últimas décadas del siglo XIX, contribuyó afacilitar la creación de vistas en perspectiva, trivializando de alguna manera la laboriosa tarea que suponía la creación manual de imágenes pictóricas en perspectiva.50

La aparición del cubismo de la mano de Pablo Picasso (1881-1873) supuso una ruptura absoluta con el concepto académico de perspectiva, con su propósito de reflejar simultáneamente lasdistintas facetas de un objeto tridimensional desarrolladas sobre el plano del cuadro.51

Militar y muchacha riendo (1658). Lacomposición del cuadro de JohannesVermeer utiliza la convergencia de laslíneas de la ventana

Las meninas, obra en la queVelázquez se sirve de la luz paradotar de profundidad al cuadroestructurado en sucesivos planos

Retrato de Pablo Picasso, porJuan Gris, muestra de la rupturadel cubismo con el conceptoclásico de perspectiva.

Juego visual, en el que laperspectiva de un conjunto deobjetos forma un retrato deMae West, obra de SalvadorDalí

Sin embargo, movimientos posteriores a lo largo del siglo XX, como el surrealismo representado por Salvador Dalí (1904-1989),52 o el hiperrealismo practicado por Antonio López (1936),53 sehan servido de la perspectiva como recurso expresivo de primer orden. En este sentido, se pueden citar los trabajos del grabador holandés M. C. Escher (1898-1972), que exploró los límites teóricosde la perspectiva produciendo paradójicos efectos con objetos geométricamente imposibles.54

El avance en la geometría proyectiva durante los siglos XIX y XX, condujo al desarrollo de la geometría analítica y de la geometría algebraica, que un tiempo después formarían parte del soportematemático ligado a la relatividad55 y a la mecánica cuántica.56

Las proyecciones ortogonales (sin puntos de fuga) tienen una larga historia, especialmente si se incluyen en esta categoría los planos en planta, de los que seconoce un ejemplo procedente de Caldea de hace más de 4000 años, en el que se representa un templo correspondiente a la época del rey Gudea.6

Posteriormente, el desarrollo de la geometría en el antiguo Egipto quedó ligado a la realización de dibujos esquemáticos sobre papiros, tradición que a travésde la Grecia clásica (donde no son infrecuentes las cerámicas con reproducciones axonométricas de elementos arquitectónicos) pasó hasta Roma. En estesentido, en los diez libros del arquitecto romano Vitrubio57 ya se escribe acerca de la necesidad de realizar planos antes de construir cualquier obra.

La Edad Media en Europa supuso un periodo de estancamiento respecto a los conocimientos técnicos adquiridos por los constructores y artistas romanos. Sinembargo, una excepción notable fue el maestro de obra francés de comienzos del siglo XIII Villard de Honnecourt, que en su Libro del Cantero incluyeesquemas geométricos en perspectiva para el encaje de los sillares.44

El vertiginoso desarrollo de la perspectiva cónica en la Italia del Renacimiento supuso un cierto arrinconamiento del sistema axonométrico en el arte, que sinembargo conservó un papel importante en la ingeniería militar y en los dibujos técnicos, como acreditan los numerosos planos de máquinas contenidos en loscódices de Leonardo da Vinci.44 Los tratadistas del renacimiento, deslumbrados por los logros pictóricos de la perspectiva cónica, apenas se ocuparon de laaxonométrica. Tan solo Luca Pacioli hizo alguna referencia a su utilidad para representar los sólidos platónicos en su obra Divina Proportio de 1509.

Durante el siglo XVI aparecen las primeras obras sobre estereotomía de la piedra y la madera, pero sobre todo cobra auge la arquitectura militar, connumerosos tratados sobre fortificaciones como el de italiano Francesco di Giorgio (1439-1502), que compartió el espíritu geométrico de la obra deLeonardo.44 Junto con Jacopo Castriotto, Girolamo Maggi (c. 1523-1572) instauró la tradición del dibujo axonométrico en los tratados militares,contraponiéndolo explícitamente a las perspectivas cónicas.

La codificación científica de la axonometría puede atribuirse al francés Desargues y a su discípulo Abraham Bosse (c. 1602–1676). Como en el caso de perspectiva cónica, Gaspard Monge y Jean-Victor Poncelet sentaron las bases rigurosas de las proyecciones ortogonales, relacionando ambas.

En 1820, el químico británico William Farish (1759-1837) inventó la perspectiva isométrica. La referencia en la Enciclopedia Británica de 1835 a esta técnica hizo que adquiriera gran popularidad.Julius Ludwig Weisbach (1806-1871), Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876) y Oskar Schlömilch (1823-1901) completaron la formulación axiomática de la axonometría en el periodo de transiciónentre los siglos XIX y XX. En España, el ingeniero Eduardo Torroja (1899-1961)58 sistematizó en un manual los distintos tipos de perspectiva axonométrica.6

Evolución de la perspectiva axonométrica

Axonométrica realizada porVillard de Honnecourt (hacia1230)

En el campo académico, fue el científico italiano Quintino Sella (1827-1884) uno de los primeros en aplicar sistemáticamente la perspectivaaxonométrica a sus estudios de cristalografía, y la enseñanza de esta disciplina llegó a los Estados Unidos de la mano del ingeniero de origenfrancés Claudius Crozet (1789-1864).

La generalización de las máquinas herramienta a partir del siglo XIX permitió industrializar la fabricación de componentes mecánicos de precisión,generando nuevas necesidades para las que los planos técnicos en perspectiva axonométrica se ajustan a la perfección. Así, ingenieros como JosephWhitworth (1803–1887) o Charles Renard (1847-1905) normalizaron respectivamente los pasos de rosca y el grosor de los cables, y tanto ladocumentación de sus patentes como la descripción gráfica de sus productos se sirvieron frecuentemente de este tipo de dibujos.6

El primer tercio del siglo XX vio el nacimiento de las organizaciones nacionales de normalización, culminada con la creación de la ISO en 1947,estableciéndose estándares técnicos que han servido para unificar internacionalmente los criterios con los que se realizan las perspectivasaxonométricas de carácter técnico.

El origen de los gráficos interactivos por ordenador se sitúa en 1963, cuando Ivan Sutherland presentó en el MIT su tesis doctoral59 sobre un sistemainformático que permitía manejar gráficamente elementos geométricos. Esta aplicación pionera daría lugar a la aparición del CAD, sentando las basesteoricoprácticas de los primeros programas de diseño asistido.6

Numerosos videojuegos y películas de animación con escenarios tridimensionales, así como la inmensa mayoría de aplicaciones de diseño gráfico porordenador, se valen de versiones numéricas más o menos simplificadas para generar imágenes en perspectiva.60

Los programas de ordenador generalmente utilizan modelos numéricos en coordenadas tridimensionales de los motivos a representar, formados porsuperficies compuestas de numerosas escamas triangulares o poligonales,61 normalmente dotadas de color y de textura. Una vez situados el punto de vista yel plano del dibujo en el mismo sistema de coordenadas tridimensionales del modelo observado (como si fueran el ojo del observador y una ventana por laque estuviese mirando), el programa de ordenador calcula las intersecciones con el plano del dibujo de las ternas de rayos que conectan cada triángulo delmodelo con el punto de vista de la escena. Cada terna de puntos de corte con el plano de dibujo, genera un triángulo proyectado en el citado plano, quehereda el color y la textura del triángulo original del modelo. De acuerdo con las coordenadas de los triángulos proyectados sobre el plano de dibujo, elcódigo del programa se encarga de dar a la tarjeta gráfica62 del ordenador las instrucciones necesarias para controlar el encendido de los píxeles del monitorque finalmente componen la imagen generada.63

El constante incremento de la potencia de cálculo de los equipos informáticos y las sucesivas mejoras en los algoritmos que calculan la geometría y la modelización de los objetos visualizados (concomportamientos tan complejos como los de las sombras propias y arrojadas; los brillos y reflejos; los líquidos; el fuego; los objetos transparentes; los movimientos de los seres vivos y las texturasdel pelo y de la piel...) han permitido la creación de aplicaciones (especialmente videojuegos) capaces de generar en tiempo real escenas en perspectiva cada vez de mayor realismo. Dado que sedispone de las herramientas matemáticas necesarias para la generación de estas imágenes, parece que es cuestión de tiempo que se disponga de la potencia de cálculo requerida para que lasimágenes generadas por ordenador lleguen a ser prácticamente indistinguibles a simple vista de las imágenes reales captadas por los equipos de vídeo o las cámaras de cine.64

Imagen generada con Google Sketchup ytexturizada con IRender nXt

Vista de una ciudad imaginaria creada conel programa gratuito CityGen

Ejemplo de perspectiva generada conordenador utilizando la aplicación Mental Ray

El diseño asistido por computadora y la mayoría de los videojuegos (especialmente las aplicaciones que usan polígonos en 3-D) utilizan álgebra lineal, y en particular la multiplicación de matricespara realizar los cálculos necesarios para la generación de imágenes en perspectiva. Los cálculos básicos necesarios son muy simples: para conocer las coordenadas de una visual sobre el plano deldibujo, basta determinar el punto de intersección entre ambos, lo que equivale a la resolución trivial de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. En realidad, las matemáticas65 subyacentes a la geometría de la perspectiva son muy sencillas, y la complejidad de la generación de imágenes realistas radica tanto en el gran número de objetos elementales que deben manejarsesecuencialmente, como en los elevados requerimientos de cálculo de los sofisticados algoritmos que modelizan el comportamiento de la luz incidiendo sobre la modelización de los objetos quecomponen una escena.

Además de conocidos programas de CAD como Autocad, Microstation, SolidEdge, CATIA, SolidWorks, Pro/Engineer o Euclid,66 existen programas ya clásicos como Autodesk 3ds Max, MentalRay o Google Sketchup67 especializados en la generación de imágenes tridimensionales. Numerosas de estas aplicaciones se sirven de paquetes de rutinas gráficas como OpenGL o Direct3D, queoptimizan el rendimiento de las tarjetas gráficas de los ordenadores.68

De los muchos tipos de dibujos en perspectiva cónica, los más habituales son con un punto de fuga, con dos o con tres; característica que sirve para denominarlos, aunque conceptualmente son elmismo tipo de sistema de representación. Por su parte, las perspectivas axonométricas presentan una mayor variedad de tipologías:

Perspectiva Cónica Axonométrica

Ortogonal

Isométrica Dimétrica Trimétrica

Oblicua

Diseño axonométrico de unmecanismo obra de Leonardo daVinci

Ejemplo de perspectivaisométrica, obra de WilliamFarish (1822)

Presente: gráficos por computadora

Tipos de perspectiva

Caballera

Militar

Los sistemas de perspectiva curvilíneos forman parte de las cónicas, dado que todas las visuales que sirven para definir el dibujo pasan por un único vértice común (el punto de vista), con lasalvedad de que se utilizan superficies de proyección distintas del plano (como cilindros o esferas).

Un dibujo en perspectiva de este tipo contiene solo unpunto de fuga en la línea del horizonte. Se usageneralmente para representar imágenes de motivoslineales, como carreteras, vías férreas, pasillos o edificiosvistos de manera que el frente esté directamente delantedel observador. Cualquier objeto que se compone delíneas, ya sea directamente paralelas a la línea de visióndel espectador o directamente perpendiculares (como lastraviesas del ferrocarril) se puede representaradecuadamente con una perspectiva de un punto de fuga,en el que convergen las líneas que se alejan delespectador.69

La perspectiva de un punto se da cuando el plano del dibujo es paralelo a dos ejes de una escena con motivos rectilíneos, compuesta enteramente de elementos lineales que se cortan solo en ángulosrectos. Si un eje es paralelo al plano de la imagen, entonces todos los elementos son paralelos al plano de la imagen (ya sea horizontal o verticalmente) o perpendiculares a él. Todos los elementosque son paralelos al plano de la imagen se dibujan como líneas paralelas. Todos los elementos que son perpendiculares al plano de la imagen convergen en un único punto (un punto de fuga) en elhorizonte.2

Ejemplos de perspectiva con un punto de fuga

La perspectiva con dos puntos de fuga, que pueden colocarsearbitrariamente en el horizonte, se suele usar para dibujar los mismosobjetos que una perspectiva de un punto, pero cuando están rotados: porejemplo, cuando se mira hacia la esquina de una casa, o en la vista de doscaminos bifurcados cuya anchura aparente se reduce con la distancia. Unode los puntos de fuga representa un conjunto de líneas rectas paralelas, y elsegundo representa otro. Vistas desde una esquina, las aristas horizontales deuna de las paredes de una casa convergerían hacia un punto de fuga,mientras que las de la otra pared se dirigirían hacia el punto de fugaopuesto.69

La perspectiva de dos puntos de fuga se produce cuando el plano del dibujo es paralelo a un eje coordenado (generalmente el eje vertical) pero no a los otros dos ejes. Si la escena que se visualizaconsiste únicamente en un cilindro con su base sobre un plano horizontal, no existe diferencia en la imagen del cilindro entre una perspectiva de un punto y de dos puntos de fuga.

Posee un conjunto de líneas paralelas al plano de la imagen y dos conjuntos oblicuos al mismo. Cada familia de líneas paralelas oblicuas al plano de la imagen converge en su propio punto de fuga,lo que significa que esta configuración requerirá dos puntos de fuga.2

La perspectiva con tres puntos de fuga se usa a menudo para representaredificios vistos desde arriba o desde abajo. Además de los dos puntos defuga ya descritos, uno para cada familia de paredes, en este caso selocaliza un tercer punto de fuga sobre el que convergen las líneasverticales de las paredes. Para un objeto visto desde arriba, este tercer

Perspectiva con un punto de fuga

Perspectiva con unpunto de fuga

Modelo representado en perspectiva con un puntode fuga

Perspectiva con un punto de fuga:línea de ferrocarril en España

Perspectiva con dos puntos de fuga

Perspectiva con dospuntos de fuga

Un cubo dibujado usando unaperspectiva con dos puntos de fuga

Perspectiva de un edificio con dospuntos de fuga

Perspectiva con tres puntos de fuga

punto de fuga está debajo del suelo. Para un objeto visto desde abajo,como cuando el espectador mira hacia arriba a un edificio alto, el tercerpunto de fuga se sitúa en el zenith.69

La perspectiva de tres puntos de fuga se produce al dibujar un motivo concaras ortogonales, cuando el plano de la imagen no es paralelo a ningunode los tres ejes de la escena, correspondiendo cada uno con uno de los trespuntos de fuga de la imagen.

Las perspectivas con uno, dos y tres puntos de fuga parecen incorporardiferentes formas de cálculo del dibujo, y se podría pensar que se generanmediante diferentes métodos. Matemáticamente, sin embargo, las tres sonidénticas; la diferencia radica meramente en la orientación relativa de las caras ortogonales de la escena rectilínea respecto al espectador y al plano del dibujo.2

El escorzo es el efecto visual o ilusión óptica que hace que un objeto o una distancia parezcan máscortos de lo que realmente son porque están girados hacia el espectador. Además, en las imágenes losobjetos generalmente no se escalan de manera uniforme: un círculo a menudo aparece como unaelipse70 y un cuadrado puede aparecer como un trapezoide.

Aunque el escorzo es un elemento importante en el arte donde se representa la perspectiva visual,también se produce en otros tipos de representaciones bidimensionales de escenas tridimensionales.Algunos otros tipos en los que puede producirse escorzo incluyen dibujos en proyección paralelaoblicua.71

En pintura, el escorzo en la representación de la figura humana se perfeccionó en el Renacimientoitaliano, y la famosa pintura de la "Lamentación sobre Cristo muerto" de Andrea Mantegna (1480) esuna de las realizaciones más conocidas de una serie de obras que muestran la nueva técnica, queposteriormente se convirtió en una parte estándar de la formación de los artistas.72

Las perspectivas de un punto, de dos puntos y de tres puntos dependen de la estructura de la escena que se está observando. Solo existen paraescenarios estrictamente cartesianos (con tres ejes rectilíneos generalmente ortogonales). Al insertar en una escena cartesiana un conjunto de líneasparalelas entre sí que no son paralelas a ninguno de los tres ejes principales, se crea un nuevo punto de fuga distinto. Por lo tanto, es posible teneruna perspectiva con infinitos puntos de fuga si la escena que se está viendo no se ajusta a un sistema de ejes cartesianos, sino que consiste eninfinitas parejas de líneas paralelas, donde cada par de rectas no es paralelo a ningún otro par.2

La perspectiva curvilínea,73 también llamada perspectiva de punto infinito o perspectiva de cuatro puntos, es la variante curvilínea de laperspectiva de dos puntos. Una imagen en perspectiva curvilínea puede representar una panorámica74 de 360 ° e incluso más allá de 360 ° paradiseñar escenas imposibles. Se puede utilizar con una línea del horizonte tanto horizontal como vertical. En esta última configuración puederepresentar tanto una vista de gusano como una vista aérea de una escena al mismo tiempo.

El método habitual de generar perspectivas curvilíneas es proyectar el modelo sobre una superficie teórica curvada, en vez de hacerlo sobre unplano (aunque finalmente, el resultado se dibuje sobre un plano). Así, se habla de una perspectiva de cuatro puntos de fuga cuando se utiliza uncilindro que rodea al observador (los cuatro puntos se sitúan delante, detrás y a ambos lados, cubriendo 360°); cuando se utiliza media esfera sehabla de cinco puntos (arriba, abajo, izquierda, derecha y al frente); y con una esfera completa, se habla de seis puntos (se añade un punto de fugasituado detrás).69

Al igual que todas las demás variantes escorzadas de perspectiva (perspectivas de un punto a seis puntos),69 comienza con una línea del horizonte,seguida de cuatro puntos de fuga igualmente espaciados para delinear cuatro líneas verticales. Los puntos de fuga creados para generar lasortogonales curvilíneas se localizan libremente en las cuatro líneas verticales colocadas en el lado opuesto de la línea del horizonte. La únicadimensión no escorzada en este tipo de perspectiva es la de las líneas rectas paralelas entre sí, perpendiculares a la línea del horizonte, similares alas líneas verticales utilizadas en la perspectiva con dos puntos.69

Una perspectiva sin puntos de fuga (perspectiva con "cero puntos de fuga") se produce cuando elespectador está observando una escena no lineal, y que por lo tanto no contiene rectas paralelas.75 El ejemplo más común de una vista no lineal de este tipo es una escena natural (por ejemplo, unacadena montañosa) que a menudo no contiene ninguna línea paralela. Esto no debe confundirsecon las vistas de un sistema diédrico, ya que una vista sin puntos de fuga explícitos puede habersedibujado de tal manera que hubiera habido puntos de fuga si hubiera habido rectas paralelas, y asídisfrutar de la sensación de profundidad como en una proyección en perspectiva cualquiera.11

Por otro lado, una proyección paralela, como la diédrica, se puede aproximar a una perspectivacuando el objeto en cuestión se observa desde muy lejos, porque las líneas de proyección tienden a hacerse paralelas cuando el punto de vista seaproxima al infinito. Esto puede explicar la confusión de las perspectivas sin puntos de fuga con las proyecciones ortogonales, ya que las escenasnaturales a menudo se ven desde muy lejos, y el tamaño de los objetos dentro de la escena suele ser insignificante en comparación con su distanciaal punto de vista. La apariencia de cualquier pequeño objeto en dicha escena se asemejaría así a su aspecto en una proyección paralela.76

Perspectiva con trespuntos de fuga

Modelo dibujado según unaperspectiva con tres puntos defuga

Fotografía formando una perspectivacon tres puntos de fuga.

Escorzo

Dos proyecciones diferentes de unapila de dos cubos, que ilustran elescorzo en una proyección paralelaoblicua ("A") y el escorzo enperspectiva ("B")

Andrea Mantegna, Lamentaciónsobre Cristo muerto

Perspectiva con numerosos puntos de fuga

Dibujo en perspectiva de unaescalera con diversos puntos defuga, aunque no todos quedansituados en el interior del dibujo

Perspectiva curvilínea

Ejemplo de perspectiva curvilínea

Perspectivas cónica, cilíndrica yesférica

Perspectiva sin puntos de fuga

Panorámica del Monte Everest. Apesar de ser una perspectiva, laausencia de líneas paralelas en laescena impide visualizar ningúnpunto de fuga preferente

Este tipo de proyecciones se caracterizan porque las visualesson paralelas entre sí, lo que en teoría equivale a que elpunto de vista de la proyección se sitúe en el infinito. En lapráctica, presentan la ventaja de que permiten medirdirectamente sobre los tres ejes coordenados las dimensionesdel modelo representado.

Se clasifican en dos tipos principales:77

Ortogonales: en estos sistemas, la posición delos ejes coordenados del dibujo, se correspondecon la proyección real de los ejes del sistema decoordenadas del modelo sobre el plano del dibujo,cuando son cortadas por este. En el caso de laperspectiva isométrica, los tres ángulos queforman los ejes coordenados del dibujo soniguales (120° cada uno), lo que hace posible quese puedan obtener las medidas del modelo sobrelos ejes sin necesidad de escalarlas entre sí.Cuando dos de los puntos de corte del plano del dibujo con el sistema de coordenadas del modelo equidistan del origen, se obtiene una perspectiva dimétrica (dos ejescomparten escala, distinta de la del tercer eje); y cuando las tres distancias son distintas, se obtiene una trimétrica (es decir, en cada eje se mide con una escala distinta). Elescalado de los ejes es el resultado de los posibles distintos valores de las distancias entre el origen de coordenadas del modelo y los puntos de corte con el plano deldibujo.Oblicuas: en este caso, uno de los ángulos de las coordenadas del dibujo mide 90°, por lo que sus dos ejes conservan la misma escala, debiéndose adoptar una escaladistinta para el tercer eje. A este tipo corresponden la perspectiva caballera y la perspectiva militar. Desde el punto de vista de la geometría euclídea, son vistas imposibles,puesto que si la proyección ortogonal sobre el plano del dibujo de la cara de un cubo es un cuadrado, en la práctica no sería posible ver ninguna otra de sus caras.

Existen varios métodos para generar perspectivas, que incluyen:

Dibujo a mano alzada (común en el arte)Estimar las dimensiones de una vista utilizando herramientas como un compás de proporciónUtilizar una retícula en perspectiva, lo que permite situar las coordenadas tridimensionales de un modelo cuyasdimensiones se conocenConstrucción gráfica (método común en arquitectura, hasta que se generalizó el uso de programas de dibujo porordenador)Copiar una fotografíaDeformar una fotografía mediante un programa de ordenador, haciendo converger sus líneas paralelas hacia un ladodeterminado de la imagenComputar la posición de los puntos de la imagen mediante una proyección tridimensional (común en las aplicaciones 3Dpara ordenador)

Las imágenes de perspectiva se calculan suponiendo una relación determinada entre el punto devista y el plano donde se proyecta la imagen, que a su vez poseen una determinada posiciónrespecto al modelo que se quiere dibujar. Para que la imagen resultante aparezca idéntica a laescena original, un espectador de la perspectiva debe ver la imagen desde el punto de vista exactoutilizado en los cálculos relativos a la imagen. Esto provoca lo que aparecerían como distorsionesen la imagen cuando se mira desde un punto diferente. En la práctica, a menos que el usuario elijaun ángulo extremo, como mirar la imagen desde la esquina inferior de la ventana, la perspectivanormalmente se ve más o menos correcta. Este efecto se conoce como la paradoja de Zeeman.78

Se ha sugerido que un dibujo en perspectiva todavía parece estar en perspectiva cuando secontempla descentradamente porque todavía se percibe como un dibujo, al carecer de laprofundidad de campo que sí posee el modelo original.79

Sin embargo, para una perspectiva típica, el campo de visión es lo suficientemente estrecho (amenudo solo 60 grados) como para que las distorsiones sean lo suficientemente pequeñas, deforma que la imagen se pueda ver desde un punto diferente al punto de vista calculado real sinaparecer significativamente distorsionada. Cuando se requiere un ángulo de visión mayor, el método estándar de proyectar rayos sobre unasuperficie plana no es práctico. Como máximo teórico, el campo de visión de una imagen plana debe ser inferior a 180 grados, porque a medida que

el campo de visión aumenta hacia 180 grados, la anchura requerida del plano de imagen se aproxima al infinito.

Para crear una imagen de rayos proyectados con un gran campo de visión, se puede proyectar la imagen sobre una superficie curva. Para tener un gran campo de visión horizontal en la imagen, unasuperficie que es un cilindro vertical (es decir, el eje del cilindro es paralelo al eje z) será suficiente (de manera similar, si el campo de visión amplio que se desea está solo en la dirección verticalde la imagen, un cilindro horizontal será suficiente). Una superficie de imagen cilíndrica permitirá una imagen proyectada de rayos de hasta 360 grados completos en la dimensión horizontal overtical de la imagen en perspectiva (dependiendo de la orientación del cilindro). Del mismo modo, al usar una superficie de imagen esférica, el campo de visión puede ser de 360 grados completosen cualquier dirección (téngase en cuenta que para una superficie esférica, todos los rayos proyectados desde la escena hasta el ojo se cruzan con la superficie en ángulo recto).69

Del mismo modo que una imagen de perspectiva estándar debe verse desde el punto de vista calculado para que la imagen parezca idéntica a la escena real, una imagen proyectada en un cilindro oesfera debe ser vista desde el punto de vista calculado para que sea exactamente idéntica a la escena original. Si una imagen proyectada sobre una superficie cilíndrica se "desenrolla" en una imagenplana, se producen diferentes tipos de distorsiones. Por ejemplo, muchas de las líneas rectas de la escena se dibujarán como curvas. Una imagen proyectada en una superficie esférica puedeaplanarse de varias maneras:69

Perspectivas axonométricas

Perspectiva caballera de los jardines de las Tullerías (Jacques Ier Androuetdu Cerceau)

Perspectiva isométrica de una piezamecánica, con sus vistas en planta yalzado

Métodos de construcción

Perspectiva del Campidoglio, en Roma.Miguel Ángel diseñó la composición deesta pequeña plaza; dispuso los edificioslaterales confluyendo hacia el fondo parareforzar la sensación de profundidad.

Limitaciones

Sátira sobre la Perspectiva Falsa porWilliam Hogarth, 1753

Epimeteo (abajo izquierda) y Jano(derecha). Las dos lunas de Saturnoaparecen cercanas debido alescorzo; en realidad, Jano está unos40.000 km más cerca de la naveCassini que Epimeteo.

Una imagen equivalente a un cilindro desenrolladoUna parte de la esfera se puede aplanar en una imagen equivalente a una perspectiva estándarUna imagen similar a una fotografía de ojo de pez

Perspectiva

Perspectiva cónica

Perspectiva axonométrica

Perspectiva ortogonalPerspectiva isométricaPerspectiva dimétricaPerspectiva trimétrica

Perspectiva oblicuaPerspectiva caballeraPerspectiva militar

AnamorfosisPerspectiva aéreaÁngulo de cámara

Perspectiva curvilíneaDibujo de corteTeorema de Desargues

Control de la perspectivaDistorsión de la proyecciónperspectivaProyección tridimensional

Geometría proyectivaPerspectiva invertidaZograscopio

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22. Claramente, hay un intento general de reducir el tamaño de los elementos másdistantes, pero de forma no sistemática. Las secciones de la composición están auna escala similar, con la distancia relativa mostrada por superposición, y otrosobjetos son más altos que los más cercanos, aunque los trabajadores de laizquierda muestran un ajuste de tamaño más fino. Pero este criterio esabandonado a la derecha, donde la figura más importante es mucho más grandeque el albañil. Los edificios rectangulares y los bloques de piedra se muestranoblicuamente.

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Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

Enlaces externos

Referencias adicionales