persamaan boussinesq

Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yangMelalui Sebuah Gundukan

Muhammad Sukron(10610067)Pembimbing:

1. Mohammad Jamhuri, M.Si2. Achmad Nashichuddiin, M.A

MatematikaFakultas Sains dan Teknologi

UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

October 24, 2014

Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 1 / 33

Latar Belakang

Figure: Sketsa Aliran Gelombang yang melaui gundukan

firman Alloh yang melatar belakangi penelitian ini adalah Q.S. Al-BaqarohAyat 164 dan Q.S Yunus Ayat 101.


Rumusan Masalah

Bagaimana penurunan persamaan Boussinesq pada gelombang yangmelului sebuah gundukan?


Manfaat

1 Hasil yang diperoleh dari penelitian ini diharapkan dapat menjelaskanbagaimana penurunan persamaan persamaan Boussinesq padaperjalanan gelombang permukaan yang melalui sebuah gundukan.

2 Hasil penelitian ini diharapkan bisa menjadi landasan untuk melakukanpenelitian pada gelombang terkait.


Manfaat

1 Hasil yang diperoleh dari penelitian ini diharapkan dapat menjelaskanbagaimana penurunan persamaan persamaan Boussinesq padaperjalanan gelombang permukaan yang melalui sebuah gundukan.

2 Hasil penelitian ini diharapkan bisa menjadi landasan untuk melakukanpenelitian pada gelombang terkait.


Batasan Masalah

Batasan Masalah dalam penelitian ini adalah:1 Permasalahan ditinjau sebagai masalah satu dimensi.2 Fluida diasumsikan ideal.3 Fluida diasumsikan sebagai fluida tak berotasi.4 Fluida diasumsikan memiliki rapat massa yang homogen atau konstan.5 Tekanan hidrostatiknya diasumsikan sangat kecil, sehingga dapat

diabaikan.


Batasan Masalah


diabaikan.


Batasan Masalah


diabaikan.


Batasan Masalah


diabaikan.


Batasan Masalah


diabaikan.


Metode Penelitian

1 Menurunkan persamaan-persamaan dasar dari hukum–hukumkesetimbangan yang terjadi pada aliran fluida.

2 Melakukan penskalaan yang bertujuan untuk menondimensionalkanvariabel-variabel yang digunakan.

3 Mengaproksimasi variabel-variabel yang digunakan.4 Menyelesaikan sistem dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap

orde dari deret, mulai dari orde terkecil sampai orde yang dikehendaki.5 Memberikan kesimpulan dari sistem yang diperoleh.


Metode Penelitian






Metode Penelitian






Metode Penelitian






Metode Penelitian






Persamaan Dasar Pada Fluida

Persamaan Kontinuitas

∂u∂x

+∂v∂y

+∂w∂z

= 0 (1)

dimana u, v , dan w menotasikan kecepatan partikel yang bergeraksearah dengan x , y , dan z .


Persamaan momentum

∂q∂t

+ (q.∇)q = −1ρ∇P + g (2)

dimana ∇ = ( ∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂z ) ,q = (u, v ,w), dan g = −∇gy .

Persamaan Bernoulli

∂φ

∂t+ (

12|q|2) +

1ρP + gy = f (t) (3)

Persamaan Laplace

∂2φ

∂x2 +∂2φ

∂y2 +∂2φ

∂z2 = 0 (4)


Kondisi Batas I

Kondisi Batas Kinematik Pada Permukaan Fluida

∂φ

∂x− ∂η

∂t− ∂φ

∂x∂η

∂x= 0 (5)

Kondisi Batas Dinamik Pada Permukaan Fluida

∂φ

∂t+

12|∇φ|2 + gη(x , t) =

12U2

0 (6)

Kondisi Batas Kinematik Pada Dasar Fluida

∂φ

∂y= −∂h

∂x∂φ

∂x(7)


Kondisi Batas II

Figure: Aliran fluida dengan hukum kesetimbangan fluida


Keteraturan Alam Semesta dalam Al-Qur’an

Firman Allah dalam Q.S Al-Qomar ayat 49:

artinya: “sesungguhnya kami menciptakan segala sesuatu sesuaidengan ukurannya”. Secara global, menurut tafsir Muyassar ayatdiatas menjelaskan bahwasanya Allah menciptakan segala sesuatu danmenentukan ukurannya sesuai dengan ketetapan, ilmu pengetahuan,dan suratan takdir-Nya. Jadi, semua yang terjadi di alam semesta inipastilah berdasarkan takdir Allah SWT (Al-Qarni, 2007).selain ayat itu Allah berfirman dalam Q.S. Al-Furqon ayat 2:

artinya: “Dan Dia telah menciptakan segala sesuatu, dan Diamenetapkan ukuran-ukurannya dengan serapi-rapinya” .


Penskalaan I

Skala digunakan untuk membandingkan keadaan nyata dengan model.

Skala-Skala yang digunakan

x =xλ

t =

√gh0

λt

y =yh0

dan φ =h0

λaU0φ

h =ha

η =η

a

dimana λmerupakan panjang gelombang dan a adalah amplitudogelombang.

Pertama dilakukan penskalaan pada persamaan (4), sehingga

µ2Φxx + Φyy = 0 (8)


Penskalaan II

Kedua dilakukan penskalaan pada kondisi batas kinematik pada dasarfluida yaitu persamaan (7), sehingga

Φy = −µ2 (1 + εΦx) hx (9)

Ketiga dilakukan penskalaan pada persamaan (5) yaitu kondisi bataskinematik pada permukaan fluida, sehingga

FΦy = µ2ηt + µ2F (1 + εΦx) ηx (10)

Keempat dilakukan penskalaan pada persamaan (6), sehingga

εFΦt +12F 2(1 + 2εΦx + ε2Φ2

x +ε2

µ2 Φ2y

)+ εη = 0 (11)

dimana µ = h0λ , ε = a

h0, dan F = U0√

gh0.


Ekspansi I

Ekspansi digunakan untuk menentukan nilai dari Φpada persamaanLaplace (8) dan kondisi batas kinemeatik pada dasar fluida (9).denganfungsi potensial yang dapat di ekspresikan dalam sebuah deret sebagaiberikut:

Φ = Φ0 + µ2Φ1 + µ4Φ2 + · · · (12)

selanjutnya disubstitusikan persamaan (12) ke dalam persamaan (8)dan(9), sehingga

µ2 (Φ0xx + µ2Φ1xx + µ4Φ2xx + · · ·)

+(Φ0yy + µ2Φ1yy + µ4Φ2yy + · · ·

)= 0 (13)

dan

µ2hx + µ2ε(Φ0x + µ2Φ1x + µ4Φ2x + · · ·

)hx +(

Φ0y + µ2Φ1y + µ4Φ2y + · · ·)

= 0 (14)


Ekspansi IIpersamaan (13) dan (14) dapat dituliskan:

Φ0yy + µ2 (Φ0xx + Φ1yy ) + µ4 (Φ1xx + Φ2yy ) + · · · = 0 (15)

dan

Φ0y + µ2 (Φ1y + (1 + εΦ0x) hx) + µ4 (εhxΦ1x + Φ2y ) + · · · = 0 (16)

sehingga untuk orde pertama diperoleh:

Φ0yy (x , y , t) = 0 (17)

danΦ0y (x , y , t) = 0 (18)

orde µ2 diperolehΦ0xx + Φ1yy = 0 (19)

danΦ1y + hx = 0 (20)


Solusi dari orde 1 I

Solusi dari orde 1, yaitu langkang pertama adalah dari persamaan (17)

Φ0yy (x , y , t) = 0ˆΦ0yy (x , y , t) dy =

ˆ0dy

Φ0y (x , y , t) = Φ0 (21)

dengan Φ0 merupakan konstanta terhadap y , sehingga dapatdituliskan sebagai Φ0 (x , t).


Solusi dari orde 1 II

dengan kondisi batas pada saat y = −1

Φ0y (x ,−1, t) = 0

sehingga jika y = −1disubstitusikan dalam persamaan (21) sehinggaberakibat Φ0 (x , t) = 0, sehingga persamaan (21) menjadi:

Φ0y (x , y , t) = 0

selanjutnya diintegralkan kembali terhadap y , sehingga

Φ0y (x , y , t) = 0ˆΦ0y (x , y , t) dy = 0

Φ0 (x , y , t) = Φ00(x , t) (22)


Solusi orde µ2 I

Selanjutnya dari orde µ2 mempunyai:

Φ0xx + Φ1yy = 0

atauΦ1yy = −Φ0xx (23)

dari persamaan (22) diperoleh

Φ0xx (x , y , t) = Φ00xx (x , t)

sehingga persamaan (23) menjadi

Φ1yy (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)


Solusi orde µ2 IIselanjutnya di integralkan maka diperoleh

Φ1yy (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)ˆΦ1yy (x , y , t) dy = −

ˆΦ00xx (x , t) dy

Φ1y (x , y , t) = −Φ00xx (x , t) y + Φ10(x , t) (24)

dengan Φ10 (x , t) merupakan konstanta pengintegralan terhadap y .dengan kondisi batas pada saat y = −1, dari persamaan (20),sehingga

Φ1y (x ,−1, t) = −hx

sehingga dari persamaan (24) diperoleh

−Φ00xx (x , t) (−1) + Φ10(x , t) = Φ1y (x ,−1, t)

Φ00xx (x , t) + Φ10(x , t) = −hx

Φ10(x , t) = −Φ00xx (x , t)− hx (25)Muhammad Sukron(10610067) Pembimbing: 1. Mohammad Jamhuri, M.Si 2. Achmad Nashichuddiin, M.A (Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang)Penurunan Persamaan Boussinesq Pada Gelombang yang Melalui Sebuah GundukanOctober 24, 2014 18 / 33

Solusi orde µ2 III

sehingga dari persamaan (24) dan (25), diperoleh

Φ1y (x , y , t) = −Φ00xx (x , t) y − Φ00xx (x , t)− hx (26)


Solusi orde µ2 IV

Selanjutnya untuk mencari Φ1, maka di integralkan kembali terhadapy , sehingga:

ˆΦ1y (x , y , t) dy =

ˆ−Φ00xx (x , t) y − Φ00xx (x , t)−

hxdy

Φ1 (x , y , t) = −12

Φ00xx (x , t) y2 − Φ00xx (x , t) y −

hxy + Φ10(x , t)

Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)

(12y2 + y

)−

hxy + Φ10(x , t)

Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)

(y2 + 2y

2

)−

hxy + Φ10(x , t)


Solusi orde µ2 V

sehingga

Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)12(y2 + y + 1

)− hxy +

Φ10(x , t) +12

Φ00xx (x , t)

Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)12(y2 + y + 1

)− hxy + F (x , t)

Φ1 (x , y , t) = −Φ00xx (x , t)(y + 1)2

2− hxy + F (x , t) (27)

sehingga Φdiperoleh

Φ = Φ00(x , t) + µ2

[−Φ00xx (x , t)

(y + 1)2

2− hxy + F (x , t)

](28)


proses penurunan persamaan boussinesq I

Langkah selanjutnya yaitu dari persamaan (28) diperoleh

Φx = Φ00x + µ2

[−Φ00xxx

(y + 1)2

2− hxx + Fx

]⇔ Φx (x , 0, t) = Φ00x + µ2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]

Φy = µ2 [−Φ00xx (y + 1)− hx ]

⇔ Φy (x , 0, t) = µ2 [−Φ00xx − hx ]

Φt = Φ00t + µ2

[−Φ00xxt

(y + 1)2

2+ Ft

]⇔ Φt (x , 0, t) = Φ00t + µ2 [−Φ00xxt + Ft ]


proses penurunan persamaan boussinesq II

Selanjutnya disubstitusikan ke dalam kondisi batas permukaan fluidayaitu persamaan (10) dan (11). maka persamaan (10) menjadi

F [−Φ00xx − hx ] = ηt + F (1 + ε [Φ00x ]) ηx

F(εµ2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]

)ηx

dengan ε = µ2 maka persamaan diatas menjadi

F [−Φ00xx − hx ] = ηt + F (1 + εΦ00x) ηx

F(ε2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]

)ηx

jika persamaan diatas di ambil samapi orde ε sehingga diperoleh

F [−Φ00xx − hx ] = ηt + F (1 + εΦ00x) ηx

ηt + Fηx + εFΦ00xηx + FΦ00xx + Fhx = 0 (29)


proses penurunan persamaan boussinesq III

selanjutnya persamaan (11) menjadi

εF(Φ00t + µ2 [−Φ00xxt + Ft ]

)+

12F 2 +

12F 2 (2ε (Φ00x + µ2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]

))+

12F 2(ε2(Φ00x + µ2 [−Φ00xxx − hxx + Fx ]

)2)+

12F 2(ε2

µ2

(µ2 [−Φ00xx − hx ]

)2)+ εη = 0


proses penurunan persamaan boussinesq IV

dengan asumsi ε = µ2 maka persamaan diatas menjadi

εF (Φ00t + ε [−Φ00xxt + Ft ]) +12F 2 +

12F 2 (2ε (Φ00x + ε [−Φ00xxx − hxx + Fx ])) +

12F 2(ε2 (Φ00x + ε [−Φ00xxx − hxx + Fx ])2

)+

12F 2(ε2

ε(ε [−Φ00xx − hx ])2

)+ εη = 0

selanjutnya persamaan diatas diambil sampai dengan orde ε, sehinggadiperoleh

εFΦ00t +12F 2 + εF 2Φ00x + εη = 0

atauε(FΦ00t + F 2Φ00x + η

)+

12F 2 = 0 (30)


proses penurunan persamaan boussinesq Vselanjutnya, dengan di definisikan bahwa kecepatan rata-rata (averagevelocity) adalah

u =1

εη + 1 + εh

εηˆ

−(1+εh)

φxdy ≈ 1ε

+ Φ00x (31)

sehingga dari persamaan (31) diperoleh

Φ00xx = ux


ηt + Fηx + εFΦ00xηx + FΦ00xx + Fhx = 0

ηt + Fηx + εF(

u − 1ε

)ηx + Fux + Fhx = 0

ηt + Fηx + εFuηx − Fηx + Fux + Fhx = 0ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0 (32)


proses penurunan persamaan boussinesq VI

selanjutnya persamaan (30)

ε (FΦ00t + εFΦ00x + η) +12F 2 = 0

denganΦ00t adalah

Φ00x = u − 1εˆ

Φ00xdx =

û − 1

εdx

Φ00 =

ûdx − 1

εx

Φ00t =

ûtdx


proses penurunan persamaan boussinesq VII


ε

(Fˆ

utdx + F 2(

u − 1ε

)+ η

)+

12F 2 = 0

ε

(Fˆ

utdx + F 2u − F 2 1ε

+ η

)+

12F 2 = 0

Fˆ

utdx + F 2u − F 2 1ε

+ η +12ε

F 2 = 0

Fˆ

utdx + F 2u + η − 12ε

F 2 = 0

untuk menghilangkan integral maka di turunkan terhadap x , sehingga

Fut + F 2ux + ηx = 0 (33)


proses penurunan persamaan boussinesq VIII

sehingga dari persamaan (32) dan (33) diperoleh suatu sistempersamaan differensial parsial

ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0Fut + F 2ux + ηx = 0 (34)

dimana persamaan (34) dapat digolongkan ke dalam persamaanBouussinesq.


Persamaan Dalam Al-Qur’an

Dengan diperoleh persamaan ini maka membuktikan bahwa terdapatmodel matematika untuk fenomena alam yang terkait dengangelombang permukaan. Adanya model ini menjelaskan bahwaketeraturan alam ini membuktikan hubungan yang menjelaskanAl-Qur’an surat Al-Qomar ayat 49.sebagai mana juga firman Allah dalam surat Al-Hijjr ayat 21:

artinya: “Dan tidak ada sesuatupun melainkan pada sisi Kami-lahkhazanahnya dan Kami tidak menurunkannya melainkan denganukuran yang tertentu”.


Kesimpulan

Langkah-langkah untuk menurunkan persamaan gelombang permukaanyang mengalami sebuah gangguan pada dasar saluran yaitu:

1 Menurunkan hukum-hukum kesetimbangan dalam fluida2 Penskalaan3 Aproksimasi variabel dengan deret4 Peninjauan tiap-tiap orde pada deret, dan5 Menyederhanakan dalam model matematika

sehingga diperoleh persamaan boussinesq sebagai berikut:

ηt + εFuηx + Fux + Fhx = 0Fut + F 2ux + ηx = 0

dimana:η menunjukkan ketinggian permukaan fluida,u merupakankecepatan rata-rata,F merupakan froud number, danε merupakaperbandingan dari amplitudo gelombang dengan kedalaman saluran.


Kesimpulan







Kesimpulan







Kesimpulan







Kesimpulan







Kesimpulan







Saran

Agar penelitian selanjutnya untuk mencari solusi dari persamaanBoussinesq yang di hasilkan



WASALAMU’ALAIKUM WAROHMATULLOHI WABAROKATUH


Documents

persamaan boussinesq