Persamaan umum energi

sc

dVet

dAnVP

edt

Wv

dt

Ws

dt

Q

.

1......

Z

X

Y

Z

Y

X

dt

Q

2........

zyxqyxz

Tk

z

Tk

zzz

1.1 Konduksi

1.2 Heat Generation (chemical Reaction, Dissipation of Electrical or

Nuklear Energy)

zxy

Tk

y

Tkzy

x

Tk

x

Tk

dt

Q

yyyxxx

2........

zyxqyxz

Tk

z

Tk

zzz

y

yTkyTk

x

xTkxTkyyyxxx

////

1

qz

zTkzTkzzz

//

7......................2

/2//2/

/2//2/

/2//2/

2

22

22

22

UGyV

t

z

zPUGyVVzPUGyVVz

y

PUGyVVyPUGyVVy

x

PUGyVVxPUGyVVx

zz

yyy

xxx

8...........22

22

22

22

PuGy

v

t

PuGy

vv

z

PuGy

vv

y

PuGy

vv

x

qz

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x

z

yx

9.......2

.2

.22

Dt

GyD

Dt

Dv

tvGyU

vv

qz

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x

FunctionnDissipatio

vv

vvGvDt

GyD

Dt

DuqTk

PvPv

vvGvPvDt

Dv

Dt

GyD

Dt

Du

Dt

DvPV

qz

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x

2

2

22

2

)(

2

)(

2

dt

DTcqTk

z

Vx

x

Vz

y

Vz

z

Vy

x

Vy

y

Vx

x

Vx

y

Vy

x

Vx

v

222

222

2

Special Forms of The Differential Energy Equation

Untuk fluida incompressible tanpa energy sources dan harga konstan, berlaku persamaan :

17............2TkDt

DTcv

Untuk aliran fluida yang isobar, tanpa source energy dan

k konstan, persamaan energinya :

18............2TkDt

DTcv

Note : Dua persamaan diatas identik, tapi diaplikasikan

untuk kondisi physical yang berbeda

Pada situasi dimana tidak ada pergerakan fluida, transfer panasnya secara konduksi.

Untuk kondisi dimana Cv dan Cp, persamaan energinya :

19...........2Cp

qT

t

T

20...........2Tt

T

adalah ratio k/Cp Diffusifitas thermal

Bila medium konduksinya tidak memiliki sumber panas,

persamaan diatas menjadi : Persamaan Fourier Field, yaitu :

Persamaan diatas mengacu pada FOURIER`S SECOND

LAW untuk konduksi panas

Untuk sistem yang memiliki sumber panas, namun tidak ada variasi waktu, persamaan (19) berubah menjadi POISON

EQUATION

21..........2 ck

qT

22..........02

k

qT

23...........02 T

Bentuk akhir dari persamaan konduksi panas digunakan untuk kondisi

steady state tanpa sumber panas. Pada kasus seperti ini distribusi

temperatur harus memenuhi Persamaan LAPLACE, yaitu :

Dimana : 2 adalah opeator Laplacion

FOURIER FIELD EQUATION, bila dituliskan dengan

Koordinat Rectangular, menjadi :

24..........2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

t

T

25..........11

2

2

2

2

22

2

z

TT

rr

T

rr

T

t

T

26...........sin

1sin

sin

112

2

222

2

2

z

T

r

T

rr

Tr

rrt

T

Dengan koordinat silindris :

Dengan koordinat spheris :

Persamaan umum energi (Koordinat Silinder)

222

222

2

2

2

2

2

11

12

11

r

v

rr

v

rz

v

r

vv

rz

v

z

vzv

v

rr

v

z

TT

rr

Tr

rrk

z

Tv

T

r

v

r

Tv

t

TrCp

rrzz

rr

zr

Ada empat tipe dasar kondisi boundary pada konduksi

1. Kondisi temperatur

boundary yang telah

diketahui, T = Tb

2. Heat flux boundary

yang diketahuiqb

3. Kondisi boundary

konveksi, hx, Tx

4. Kondisi boundary

radiasi, Fbx, Tx

Outward normal n

Boundary

(1)

(2)

(3)

(4)

Tb known

qb known

h~ (Tb - T~)

Interior:

T(x,y,z,t)

bn

Tkq

" 44 TTF bb

Environment

T

0

bn

Tdiketahuiq

n

Tk b

b

"

diketahuiqn

Tk b

b

"

Ada empat tipe dasar kondisi boundary pada konduksi

Kondisi temperatur boundary yang telah diketahui, T = Tb, kondisi ini paling sederhana tapi tidak realistis. Boundary heat flux tidak dihitung sampai penyelesaian ditemukan.

Heat flux boundary yang diketahui, qb. Sama untuk turunan temperatur normal yang diketahui pada boundary,ditunjukkan pada gambar diatas, n adalah batas luar normal koordinat dari boundary, persamaanya adalah :

0

bn

TPada kondisi boundary terisolasi maka,

Ketika heat flux diketahui, temperatur boundary tidak dihitung sampai

penyelesaian ditemukan

3. Kondisi boundary konveksi,diketahui hx, Tx. Kondisi konduksi didalam terhadap kondisi konveksi diluar permukaan disamakan.

TTh

n

Tk b

Kondisi diatas disebut mixed condition

antara temperatur dan gradien normal pada

boundary. Kita tidak mengetahui temperatur

boundary atau heat flux sampai ditemukan

penyelesaian

44`

TTF

n

Tk bb

4. Kondisi boundary radiasi,diketahui Fbx, Tx, Kondisi boundary konveksi,diketahui hx, Tx. Kondisi konduksi didalam dan kondisi radiasi diluar boundary disamakan.

Kondisi diatas merupakan mixed condition dan kita tidak mengetahui

boundary flux atau temperatur sampai masalah ini dipecahkan. Tidak

seperti kondisi (1,2,3), radiasi boundari merupakan kondisi non linier

karena Term

Walaupun persamaan diatas merupakan persamaan linier seperti

persamaan 3.11 penyelesaiannya tidak linier dan analisis Fourier series ini

tidak bisa digunakan

Akhirnya, kondisi awal menyatakan , bahwa nilat T dimana saja harus

diketahui to : At t = to

T = To(x,y,z) = diketahui

Kondisi komplit ini diperlukan untuk menyelesaikan persamaan konduksi

panas

Contoh

Menggunakan temperatur referensi To dan panjang referensi L, persamaaan konduksi panas (3.11) yang tidak berdimensi dan empat persaman(3.14-3.17) kondisi boundary. Akankah parameter dimensionless yang penting itu timbul?

Solusi,Memilih variabel dimensionless

TTTTLttLzzLyyLxx o/,/;/;/;/

2

Substitusikan semua variabel ini ke persamaan (3.11) yang kemudian

memberikan persamaan konduksi panas nondimensional

tTTk

Lq

zyx o

2

2

2

2

2

2

2

TTkLqn

ob

b

/"

0

bn

kLhBiBin

b

b

/.,

kondisi boundary konveksi lebih familiar ke bilangan Biot

Parameter satu-satunya adalah dimensionless heat

generation dimana bentuk ini telah diprediksikan pada

persamaan (2.10)

Heat flux condition dirumuskan menjadi persamaan 3.14a

Parameter sebelah kanan adalah bilangan Biot,untuk kasus

insulated boundary tidak ada parameter sehingga

3.11a

TTkLq 02 /

3.14a

3.15a

3.16a

143

bb

b

TLTF

n

T 3.17a

Koefisien sebelah kanan juga adalah bilangan Biot. Disimpulkan

bahwa persoalan kondisi panas nondimensional memberikan(1.

parameter heat generation 2. tiga tipe bilanganBiot boundary yang

berbeda untuk (a) flux yang diketahui, (b) konveksi atau (c) radiasi.

Kondisi radiasi ini jika kita menggunakan variabel . Didapat persamaan temperatur baru :

T* = T/TKemudian kondisi radiasi, pada terms T* didapat

Tentukan laju perpindahan panas dari fin sepanjang anoda alumunium

ditunjukkan pada gambar dibawah ini. Temperatur awal T0 adalah 80oC,

temparatur udara dan lingkungan adalah 25oC, dan kooefisien perpindahan

panas untuk konveksi pendingin adalah 10 W/(m2 oC)

L

w

To = 80oC

dV = A dx F

TF = TR = 25 C

h = 10 W/ (m2 oC)

L = sangat panjang

F = 1 mm

w = 31 mm

p = 64 mm

A = 31 mm2

Penyelesaian

Tujuannnya, menemukan qF dari konveksi dan radiasi fin

Asumsi/ kondisi

Steady state

Satu dimensional fin yang panjang

Keseragaman propertis

Konveksi alami dan radiasi pendinginan panas benda hitam

Fs R = 1 untuk fin pada lingkungan

Properties anoda alumunium k = 200W/ (m2 oC)

Analisis : Perpindahan panas fin ini dapat di aproximasi melalui analisa satu

dimensi jika bilangan Biot Rk/Rs sangat kecil. Asumsi kondisi benda hitam,

Bilangan Biot untuk kombinasi konveksi dan radiasi di aproximasi

22 RsRsRss

k TTTTFhk

l

R

RBi

Dimana l sama dengan V/As untuk fin dan Fs R = 1. ukuran konservative,

Ts dan TR keduanya sama untuk 353 K (=80oC). Bilangan Biot kemudian

ditemukan untuk 4.32 x 10-5, analisis satu dimensi dapat digunakan

Untuk element lumped-differential ditunjukkan pada gambar, aplikasi

dari hukum pertama termodinamika ditunjukkan

Selanjutnya

Karena temperatur sepanjang fin adalah fungsi x, kita menggunakan

hukum Newton untuk pendingin sama dengan persamaan (1-18) yaitu :

44 RssARdAsR TTdAFdq

Rcdxxx dqdqqq

Rcx dqdqdx

dx

dq0

(a)

0TT

0x

xdx

dTatauTT 0

Dimana FdAs AR melambangkan fraksi energi radiasi yang menuju dAsmeninggalkan AR. Substitusi hukum partikular kedalam persamaan (a), kita

dapatkan

atau

Dimana hx di aproximasi melalui h, FdAs AR diaproximaksi melalui Fs R, m2 = hp/ (kA)

Untuk kasus ini dimna TF dan TR keduanya sama untuk T dan fin sangat

panjang kita daptakan

44 RARdAsFx TTFdxpTTdxphdxdx

dTkA

dx

d

442442

2

RRR

ARdAs

Fx TTmTT

kA

pFTT

kA

ph

dx

Td

pada

(b)

Jalan mudah untuk menyelesaikan sistem linier persamaan untuk T

menggunakan pendekatan numerik finite-differensial pada chapter 4.

Walau bagaimanapun, kita dapat membuat solusi analitic untuk gradien

temperatur dengan membuat substitusi

Persamaan differensial non linier ini bentuknya menjadi

Berdasarkan persamaan (c) untuk itu, persamaan (d) dapat ditulis

menjadi

4422 TTmTTmdT

dR

4422 TTmTTmdx

dR

dx

dT (c)

(d)

Memisahkan variabel dan mengintegrasi untuk mendapatkan

Dimana tanda negatif adalah tahanan karena gradien yang diketahui negatif

pada kasus ini adalah To > T

Konstanta C1 dapat dihitung dengan mengetahui melalui kondisi boundary

yang ditunjukkan dengan persamaan (b), yaitu

2/1

1

45

22

2

522

CTT

TmTT

Tm

dx

dTR

1

45

22

22

522CTT

TmTT

Tm R

2/1

1

55

222

2

5220

CTT

mTT

mdx

dTR

(e)

Dimana T() = T oleh karena itu, C1 menjadi

Dan persamaan (e) menjadi

Laju perpindahan panas dari fin dapat ditulis

522

2

15

4

2

TmT

mC R

2/1

545

222

2

5

4

5222

TTT

Tm

TTT

Tm

dx

dTR

0dx

dTkAqF

2/1

5

0

45

0

22

0

2

0

2

455

22

2

TTTT

mTTTT

mkA R

2/1

5

0

45

0

2

0 455

2

TTTTpFkATTpkAh s

22

RcF qqq

TTpkAhqc 0

2/1

5

0

45

0 455

2

TTTTpFkAq sR

Dimana

dan

Menghitung qc dan qR, didapat

W

CCmxCm

Wm

Cm

Wq oo

ooc

46.3

2983531031200064.010

2/1

26

22

WKKKxmKm

Wxmx

Cm

Wq

oR94.2298429853521064.01067.51031200

5

22/1

555

42

826

2

WWWqF 54.494.246.322

Jumlah laju perpindahan panas dari fin adalah

qF sekitar 31% lebih besar daripada qckesimpulannya radiasi memainkan

peranan yang sangat penting pada laju

perpindahan panas dari fins dengan

permukaan blackbody didekatnya