PERMEABILITÀ E MOTI DI FILTRAZIONE - ing.unitn.itlabgtec/corso_geotecnica/Dispense_Tarantino/... · La velocità di filtrazione Il moto di filtrazione avviene nella direzione del

1.1

Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

PERMEABILITPERMEABILITÀÀE MOTI DI FILTRAZIONE E MOTI DI FILTRAZIONE

1.2


Richiami di idraulicaRichiami di idraulica

1.3


Pressione idrostaticaPressione idrostatica

uw

Wzz

∆x ∆y

uw ∆x ∆y = W = γw z ∆x ∆y ⇒ uw = γw z

La pressione idrostatica dell’acqua è pari al prodotto del peso specifico dell’acqua γw per l’affondamento z rispetto alla superficie a pressione nulla

1.4


Il carico piezometricoIl carico piezometrico

z1z21

2

uw1 = γw z1 ≠ uw2 = γw z2

La pressione differisce da punto a punto tuttavia il fluido è in quietez’1

z’2z’=0

H

Carico piezometrico

w

wuzhγ

+= '

( )

( ) HzHzu

zh

HzHzu

zh

w

w

w

w

w

w

w

w

=−

+=+=

=−

+=+=

γγ

γ

γγ

γ'''

'''

22

222

11

111

h1 = h2

Il carico idraulico è costante da punto a punto ⇒ il fluido è in quiete

z’ = altezza geodeticauw/γw = altezza piezometrica

1.5


HB

HA

Liquido in quieteLiquido in quiete

A

B

z’=0

h uA=γw HA

uB=γw HB

uA ≠ uB

hA = hB Liquido in quiete

1.6


Liquido in movimentoLiquido in movimento

HB

HA

A

B

uA = uB

z’=0

hA ≠ hB

H

Liquido in movimento

uA=γw HA

uB=γw HB

1.7


FILTRAZIONE NEI TERRENIFILTRAZIONE NEI TERRENI

1.8


Pressione dellPressione dell’’acqua interstizialeacqua interstiziale

zw

uw=γw zw

Il comportamento meccanico del terreno dipende dalla pressione efficace σ’=σ-uw, e quindi dalla pressione totale e dalla pressione dell’acqua interstiziale uw

1.9


Falda in quieteFalda in quiete

zwA

zwB

La pressione dell’acqua interstiziale in ogni punto è pari al prodotto del peso specifico dell’acqua γw per l’affondamento zw rispetto alla superficie a pressione nulla

uA=γw zwA

uB=γwzwB

1.10


Falda in movimentoFalda in movimento

zwA

zwB

La pressione dell’acqua interstiziale non è più idrostatica

uA=γw zwA

uB=γwzwB

Come calcolare la pressione dell’acqua interstiziale?

1.11


La velocitLa velocitàà di filtrazionedi filtrazione

Il moto di filtrazione avviene nella direzione del carico piezometrico decrescente

terreno

La velocità di filtrazione si definisce come rapporto tra la portata filtrante Q e la sezione filtrante totale A:Q

A

AQv =

1.12


Effetto del percorso di filtrazioneEffetto del percorso di filtrazione

QL

L/2 2Q

A pari dislivello piezometrico, la portata filtrante è inversamente proporzionale al percorso di filtrazione

1.13


Effetto della differenza di carico Effetto della differenza di carico piezometricopiezometrico

Q

∆h

La portata filtrante è proporzionale al dislivello piezometrico

2Q

2∆h

1.14


Effetto del tipo di terrenoEffetto del tipo di terreno

Qsabbia

∆h

Qargilla

∆h

Qsabbia >> Q argilla

1.15


La relazione di DarcyLa relazione di Darcy

Qsabbia

∆h

L

ALhK

AQv ∆

==

v = velocità di filtrazioneQ = portata filtranteA = area filtrante totale K = conducibilità idraulicah = dislivello carico piezometricoL = percorso di filtrazione

1.16


Generalizzazione della relazione di Darcy Generalizzazione della relazione di Darcy al caso tridimensionaleal caso tridimensionale

∂∂∂∂∂∂

−=

zhyhxh

KKKKKKKKK

vvv

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

Se x, y, z direzioni principali:

∂∂∂∂∂∂

−=

zhyhxh

KK

K

vvv

zz

yy

xx

z

y

x

000000

1.17


Relazione di Darcy Relazione di Darcy nel caso di mezzo isotroponel caso di mezzo isotropo

hKv grad −=r

vr

xdr

0 grad =−=⋅−=⋅ KdhxdhKxdvrrr

Il vettore velocità è ortogonale alla superficie equipotenziale e diretto secondola direzione del carico piezometrico decrescente

h=cost.

1.18


La conducibilitLa conducibilitàà idraulicaidraulica

sabbia K = 10-2 – 10-6 m/s

limo K = 10-6 – 10-8 m/s

argilla K = 10-8 – 10-11 m/s

Come ordine di grandezza del coefficiente di permeabilità si possono indicare i seguenti valori:

La conducibilità idraulica varia di molti ordini di grandezza al variare della granulometria del terreno

1.19


VelocitVelocitàà effettiva di filtrazioneeffettiva di filtrazione

Ipotizzando che la porosità superficiale sia uguale alla porositàvolmetrica n:

La relazione tra velocità di filtrazione effettiva vw e gradiente idraulico è di tipo lineare

+−= zuKvn

w

ww

γ grad

r

1.20


Intepretazione della relazione di DarcyIntepretazione della relazione di Darcy

Equazione di Navier-Stokes per fluido incompressibile:

La relazione tra velocità e gradiente idraulico è di tipo lineare nel caso di moto laminare

La relazione tra velocità e gradiente idraulico dipende dalle proprietàdel fluido e dalla geometria

( )gzvudtvd

ww

w∇−+∇−=

rr

ρµ

ρ1

Integrazionedell’equazione di Navier-Stokes nel caso di moto laminare, moto uniforme e condotto cilindrico (formula di Poiseuille)

dldhDgv w 2

321

µρ

=

1.21


PermabilitPermabilitàà intrinsecaintrinseca

dldhDgv w

= 2

321

µρ

K

[ ]2L gK

gKk ηρµ==

Per l’acqua a 20°C η=10-6 m2/s e

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]25

2

26

m 108.9

10 −−

⋅≅⋅

= smKsm

smsmKk

1.22


ValiditValiditàà della relazione di Darcydella relazione di Darcy

Regime turbolento

nkvdv

ηη==Re

10Re1.0 <<Interazioni fisico-chimiche

[ ]n

msmKKinkv 2510Re

−⋅==ηη

Per i=1, K=10-2m/s (ghiaia), n=0.5

[ ] 4.45.0

101010

11010Re252

6

225

=⋅⋅

==−−

−

−− mn

msmKKiη

1.23


Relazione di Darcy nel caso di velocitRelazione di Darcy nel caso di velocitààdel solido non nulladel solido non nulla

Nel caso in cui anche le particelle solide siano interessate al moto, la relazione di Darcy deve essere scritta in termini di velocità relativa del liquido rispetto alla fase solida:

( )

+−==− zuKvnvvn

w

wswsw

γ grad ,rrr

1.24


Meccanica dei mezzi continui multifaseMeccanica dei mezzi continui multifaseSistema di continui sovrapposti, ciascuno caratterizzato da un campo di velocità

( )( )( )txvv

txvv

txvv

aa

ww

ss

,,

,

vrr

vrr

vrr

=

=

= Fase solida

Fase liquida

Fase gassosa

Ciascuna fase occupa una frazione del volume totale

)1(

1

SnnSn

−

− Fase solida

Fase liquida

Fase gassosa

1.25


Bilancio di massa della fase liquidaBilancio di massa della fase liquida(formulazione euleriana)(formulazione euleriana)

Variazione di massa nell’unità di tempowvr

Nvwrr

⋅

V

dV( )∫

∂∂V

w dVnSt

ρ

Massa uscente nell’unità di tempo

( ) dANvnSnSdANvV

www

Vw ∫ ⋅=∫ ⋅

∂∂

rrrrρρ

( ) ( ) 0=∫ ⋅∇+∫∂∂

V

ww

Vw dVvnSdVnS

tr

ρρ

1.26


Bilancio di massa locale della fase liquidaBilancio di massa locale della fase liquida

( ) ( ) 0=⋅∇+∂∂ w

ww vnSnSt

rρρ

Ipotizzando il terreno saturo (S=1) ed il liquido incomprimibile (dρw=0) si ottiene:

( ) 0=⋅∇+∂∂ wvnnt

r

Introducendo la velocità relativa tra liquido e solido

( )[ ] 0, =+⋅∇+∂∂ sws vvnnt

rr

1.27


Bilancio di massa locale della fase solidaBilancio di massa locale della fase solida

Ipotizzando solido incomprimibile (dρw=0) si ottiene:

( ) ( )[ ] 011 =−⋅∇+−∂∂ svnnt

r

( )[ ] ( )[ ] 011 =−⋅∇+−∂∂ s

ss vnnt

rρρ

1.28


Equazione di continuitEquazione di continuitàà della misceladella miscela

( ) ( )[ ]( ) ( )

0

011

011

=∇⋅−⋅∇−⋅∇+∂∂

−

=−∇⋅+⋅∇−+∂∂

−

=−⋅∇+−∂∂

nvvnvtn

nvvntn

vnnt

sss

ss

s

rrr

rr

r

( )[ ]( ) ( )

( ) 0

0

0

,

,

,

=∇⋅+⋅∇+⋅∇+∂∂

=⋅∇+⋅∇+∂∂

=+⋅∇+∂∂

nvvnvntn

vnvntn

vvntn

sssw

ssw

sws

rrr

rr

rr

Bilancio di massa della fase liquida

Bilancio di massa della fase liquida ( ) 0, =⋅∇+⋅∇ ssw vvnrr

1.29


Equazione generale dei moti di filtrazioneEquazione generale dei moti di filtrazione

( ) 0, =⋅∇+⋅∇ ssw vvnrr

( )

+−⋅∇=⋅∇ zukvn

w

wsw

γgrad ,r

( ) ( ) ( )vv

s

i

si

ssi

s

ii

sis

tDtD

xv

DtDv

DtD

xxvv εε −

∂∂

≅−=

∂∂

=∂∂

=∂∂

=⋅∇r

0grad =∂∂

−

+−⋅∇

tzuk v

w

w εγ

i.p.d.

problema accoppiato

1.30


Equazione generale dei moti di filtrazioneEquazione generale dei moti di filtrazionein condizioni monodimensionaliin condizioni monodimensionali

0grad =∂∂

−

+−⋅∇

tzuk v

w

u εγ

0z

=∂∂

−

+

∂∂

−∂∂

tzuk

zv

w

u εγ

tzuk vw

w ∂∂

=∂∂

−ε

γ 2

2

1.31


Moti di filtrazione in condizioni Moti di filtrazione in condizioni monodimensionali e stazionariemonodimensionali e stazionarie

02

2

=∂∂zuw

La pressione idrostatica u0 in condizioni cdi flusso monodimensionale in regime stazionario varia lineramente con la profondità

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