periyot kavramı

İŞARET İŞLEME ve UYGULAMALARIİŞARET İŞLEME ve UYGULAMALARI

Deney 1 : Ayrık Sinyaller

Deney 1 : Ayrık SinyallerDeney 1 : Ayrık SinyallerDeney 1 : Ayrık SinyallerDeney 1 : Ayrık Sinyaller

1. Ayrık Sinüzoidaller2. Periyodik Ayrık Sinyalleri. Fourier Serilerinin Önemli Özellikleri

3. Peryodik Olmayan Sonlu‐uzunluklu Sinyaller

4. Sinyallerin tek çift ayrışımı5. Sinyal Kaydırma/Ters çevirme ve Frekans

Gösterimi6. Deney Prosedürü

Ayrık SinüzoidallerAyrık SinüzoidallerAyrık SinüzoidallerAyrık SinüzoidallerAnalog sinüzoidaller Fakat ayrık sinüzoidallerin

arflar per odik olmaklaherzaman periyodiktir. zarfları peryodik olmakla beraber işaretler herzaman değildir.

işareti ancak

( ) ( )0cosx t A t θ= Ω + ( ) ( )0cosx n A nω φ= +

işareti ancak0 0

0

2 periyot/

genlik

T snradian sn frekans

A

π= / Ω →

Ω →

→( ) ( )( ) ( )0cosx n N A n N x nω φ+ = + + =

eşitliğini sağlayan N , pozitif tamsayı ise periyodiktir.

g fazradianθ →

2

0

2N πω

=

Ayrık SinüzoidallerAyrık SinüzoidallerÖ klÖ klÖrneklerÖrnekler

1. N’nin örnekleme periyodu ile ilişkisi

( ) ( )A Ω sT ( ) ( ) ( )cos cosx T n A T n A nω= Ω =( ) ( )0cosx t A t= Ω sT ( ) ( ) ( )0 0 0 0cos cosx T n A T n A nω= Ω =

2 2 sTTω πΩ0 0

0

22 fT

f Hz işaretin frekansı

ππΩ = =

→

0 00

2 ssT

Tω π= Ω =

Ayrık işaretin periyodik olması için

0

0

s

f Hz işaretin frekansıT sn işaretin peryoduT sn örnekleme peryodu

→

→

→

0

0

2

s

TNT

πω

= =

s p yifadesi tamsayı olmalıdır.


2 işareti periyodik midir ?( ) 22cos nx n π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟2. işareti periyodik midir ?

E N 8 i if d

( ) 2cos8 4

x n = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Evet , peryot N=8 pozitif tam sayıdır.

ğlSağlama:

( )⎛ ⎞( ) ( ) ( )2 8 28 2cos 2cos 2

8 4 8 4n nx n x n

π π π ππ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞+ = + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠


3. Frekansı 1 rad/sn olan analog sinüzoitten periyodik olmayan ayrık sinüzoit üretelim.

T( ) ( )cosx t t= sT ( ) ( ) ( )cos 0,5st nT

x t x n n=

= =

1f Ayrık işareti

Nyquist kriterine göre. ’i belirleyelim.sT

2 2f f f> =01 1

2

ss

fT

fT

=

= =

y ş

0 20,5s

TNT

π= =

max 0

0

2 21 2

şartını sağlayan

s

s

f f fT f π> =

< =

00 2

fT π

ifadesi tamsayı olmadığı için

d k d ğ ldş ğ y

0,5s

sT

ol un=

periyodik değildir.


4. Önceki örnekteki ayrık işareti periyodik yapmak için:

T( ) ( )cosx t t= sT ( ) ( ) ( )coss

st nTx t x n T n

== =

0T

Şartını sağlayacak bir N tamsayısı ih li i

0s

TTN

π= <

tercih etmeliyiz veya

0 2 2TN ππ π

> = =

eşitsizliğini sağlayacak şekilde ( örneğin N=8) seçilirse ayrık işaret periyodik olur

Periyodik Ayrık SinyallerPeriyodik Ayrık SinyallerPeriyodik Ayrık SinyallerPeriyodik Ayrık Sinyaller

Eğer x(n) işareti sonsuz uzunlukta ve k herhangi bir tamsayı ise

( ) ( )x n x n kN= +

işareti N peryoduyla periyodiktir.

Bir peryodik ayrık sinyalin Fourier serisi açılımı:21N

Fo rier serisi katsa lar

( ) ( )21

0

1 .N j nk

N

k

x n X k eN

π−

=

= ∑Fourier serisi katsayıları

( ) ( )21

.N j nk

NX k x n eπ− −

=∑( ) ( )0n=∑

Periyodik Ayrık SinyallerPeriyodik Ayrık SinyallerPeriyodik Ayrık SinyallerPeriyodik Ayrık Sinyaller

21N π 21N π

( ) ( )21

0

1 .N j nk

N

k

x n X k eN

π−

=

= ∑ ( ) ( )21

0

.N j nk

N

n

X k x n eπ− −

=

=∑

• N peryoduyla periyodik bir ayrık sinyal, [‐π, π) veya eşdeğer [0, 2π) aralığında N farklı harmoniğe sahiptir. X(k) peryot N ile periyodiktir bu yü den X(k) sadece m herhangi bir tam sayı olmak ü ere k m N 1+myüzden X(k) sadece, m herhangi bir tam sayı olmak üzere k=m,...,N‐1+m aralığında hesaplanması yeterlidir.• X(k) Fourier seri katsayıları komplextir dolayısıyla genlik ve fazlarıyla tasvir edilmelidirler.• Bir peryodik ayrık sinyalin Fourier serisi, o sinyalin bir peryodunun DTFT dönüşümü ve z‐dönüşümü ile ilgilidir.

( ) ( ) ( )jX k X Xω( ) ( ) ( ) 2 /2 /

j k Nj

z ek NX k X e X z π

ω

ω π === =

Fourier Serilerinin Önemli ÖzellikleriFourier Serilerinin Önemli ÖzellikleriFourier Serilerinin Önemli ÖzellikleriFourier Serilerinin Önemli Özellikleri

Eğer x(n) ve y(n) işaretleri N peryodu ile periyodik iseler

1. z(n)= x(n)+ y(n) işareti dahi N peryodu ile periyodiktir ve Fourier serisi katsayısı Z(k)= X(k)+ Y(k) ifadesi ile bulunabilir.bulunabilir.

2. v(n)= x(n)+ y(n) işareti dahi N peryodu ile periyodiktir ve Fourier serisi katsayısı, * bir peryotta konvolüsyonu

( ) ( / ) ( )* ( )göstermek üzere, V(k)= (1/N)[X(k)* Y(k)] ifadesi ile bulunabilir.

3 X(k) Fourier serisi katsayılarını hesaplamanın en hızlı3. X(k) Fourier serisi katsayılarını hesaplamanın en hızlı yöntemi FFT algoritmasıdır.

Fourier Serilerinin Önemli ÖzellikleriFourier Serilerinin Önemli ÖzellikleriÖÖÖrnek 1Örnek 1

( ) ( )1 cos 2 / 4 4x n n Nπ= + → =

( )cos2

j je eθ θ

θ−+

= ( ) ( )211 .

N m j nkN

k m

x n X k eN

π− +

=

= ∑k m

( )2 /4 2 /4

1j n j ne ex nπ π−+

= + ( ) ( )1 3 2X X− = =( )2 24 4

21 2 4 2 04

j n j ne e

π π−⎡ ⎤

= + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )0 4

1 2

X

X

=

=

( )( )4 1 1 2

4

1 j nkNX k eπ− + −

⎢ ⎥⎣ ⎦

= ∑( )2 0X =

( )14 k

X k e=−∑


( ) ( ) ( ) ( )cos 2 / 3 3, 2cos 2 / 2 2x yx n n N y n n Nπ π= → = = → =( ) ( ) ( ) ( ) y

j je eθ θ−+ 211 N m j nkπ− +

( ) ( ) ( ) ?zz n x n y n N= + → =

( )cos2

e eθ += ( ) ( )1 .

j nkN

k m

x n X k eN =

= ∑

( ) ( ) ( )2 22 13 21 1j nk j nk

z n X k e Y k eπ π

= +∑ ∑( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 02 22 12 36 6

3 2

2 36 6

k k

j nk j nk

z n X k e Y k e

X k e Y k eππ

= =

= +

= +

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

2 46

0

2 26

2 36

6 6

1 3 16

2 22 0 20 3 0 1 0

k k

j nnj njX Y eX eeY X

π ππ

= =

⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦+

∑ ∑

( )25

0

1 66

j nk

zk

NZ Nekπ

=

⎢ ⎥⎣ ⎦

= → =∑


( ) ( ) ( ) ( )cos 2 / 4 4, 2cos 2 / 8 8x yx n n N y n n Nπ π= → = = → =( ) ( ) ( ) ( ) y

j je eθ θ−+

( ) ( ) ( ) ?zz n x n y n N= → =

( )cos2

e eθ +=

( ) ( )2 /4 2 /4 2 /8 2 /8j n j n j n j nπ π π π− −

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 1/4 1/8 2

2 /4 2 /4 2 /8 2 /

1/4 1/8 2 1/4 1/8 2 1/4 1/8

8

2 2

j n

j n j

j n j n j n

j n n nj

e e e ez n

π π π π

π ππ π−+ − ++ −

+ +=

+ + +( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4

0,5cos 2 / 8 cos 6 / 8 8

j jj

z

je e

n

e

N

e

nπ π

+ + +=

= + → =( ) ( ), z


ve periyotlarına sahip iki periyodik işaretin x yN N

çarpım yada toplamınınperiyodu aşağıdaki formül yardımıyla bulunabilir

y

( )

periyodu aşağıdaki formül yardımıyla bulunabilir.

x yz

N NN =

( )zx yebob N N

Aperyodik SonluAperyodik Sonlu‐‐uzunluklu Sinyalleruzunluklu SinyallerAperyodik SonluAperyodik Sonlu uzunluklu Sinyalleruzunluklu Sinyallerx(n) ( )x n

Ln

N n

( ) ( ) ( )21

2 /0

0, , 1L j nk jL

k Ln

X k x n e X e k Lπ

ω

ω π

− −

==

= = = −∑ …

Yukarıdaki ifade hem peryodik hemde aperyodik işaretler için kullanılabilir

0n

kullanılabilir.

Aperyodik olduğunda L ≥ N alınır, L’ nin büyüklüğü oranında çözünürlük artar.

P i dik ld ğ d d L N l bil ği ibi f k ö ü ü lüğü üPeriyodik olduğu durumda L=N alınabileceği gibi frekans çözünürlüğünü artırmak için m p. tamsayı olmak üzere L=mN de alınabilir

Aperiyodik sinyal için DFT yada periyodik Aperiyodik sinyal için DFT yada periyodik i i F i i i l l h l ?i i F i i i l l h l ?için Fourier serisi açılımı nasıl hesaplanır ?için Fourier serisi açılımı nasıl hesaplanır ?

1. İşaret üretilir◦ periyodikse , m p. tamsayı olmak üzere L=mN

uzunluktauzunlukta◦ aperiyodikse , L ≥ N uzunlukta, (N uzunluklu

işaretin sonuna L – N adet sıfır eklenerek)2. L uzunluklu FFT hesaplanır, X(k),0 ≥ k ≥ L-13. Frekans spektrumları çizilir:

│X(k) │ (X(k)) 0 ≥ k ≥ L 1│X(k) │, ve arg(X(k)), 0 ≥ k ≥ L-1

Sinyallerin tek ve çift ayrışımıSinyallerin tek ve çift ayrışımıSinyallerin tek ve çift ayrışımıSinyallerin tek ve çift ayrışımı1 1( ) ( ( ) (- )) ( ( ) - (- ))f t f t f t f t f t= + +

çift sinyal tek sinyal

( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))2 2

f f f f f

Sinyallerin tek ve çift ayrışımıSinyallerin tek ve çift ayrışımıSinyallerin tek ve çift ayrışımıSinyallerin tek ve çift ayrışımı

Sağlama:

Sinyal Kaydırma ve Frekans GösterimiSinyal Kaydırma ve Frekans GösterimiSinyal Kaydırma ve Frekans GösterimiSinyal Kaydırma ve Frekans Gösterimi

( ) ( )y n x n M= −

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1

0

N N Mj nk j M kN N

n n M

Y k x n M e x eπ π μ

μ− − −− − +

= =

= − =∑ ∑

( )

02

n n M

j MkNe X kπ

= =−

−=

( ) ( ) ( ) ( ) 2arg argY k X k Y k X k kN

Mπ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ N⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Sinyal Ters Çevirme ve Frekans Sinyal Ters Çevirme ve Frekans i ii iGösterimiGösterimi

( ) ( )( ) ( )

2 21L L

y n x L n= −

( ) ( ) ( ) ( )2 21

0 1

2

L Lj nk j L kL L

n

Y k x L n e x eπ π μ

μ

μ− − − −

= =

== −∑ ∑

( ) ( )2

*

1

L j kLx e X kπ μ

μ

μ=

= =∑

( ) ( ) ( ) ( )arg argY k X k Y k X k⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

DENEYDENEYBölüm 1 : Periyodik sinyallerBölüm 1 : Periyodik sinyallerBölüm 1 : Periyodik sinyallerBölüm 1 : Periyodik sinyaller

1. Her 16 noktada bir tekrar eden 128 noktalı bir kare sinyal üretin. Bu sinyalin periyodik bir kare sinyalin parçası olduğunu farzedelim.

( * * / ) b l lsquare(2*pi*n/T), subplot, plot, axis2. Her 16 noktada bir tekrar eden 128 noktalı bir üçgen sinyal üretin. Bu

sinyalin periyodik bir üçgen sinyalin parçası olduğunu farzedelim. sawtooth(2*pi*n/T,0.5), subplot, plot, axis( p / , ), p , p ,

3. Ürettiğiniz iki sinyali toplayın. Periyodik mi? Öyle ise periyodu nedir ?4. Ürettiğiniz iki sinyali çarpın. Periyodik mi? Öyle ise periyodu nedir ?5. Kare sinyal, üçgen sinyal ve toplamlarının frekans bölgesi genlik

kt l i di i fft fft hift b b l t l t ispektrumlarını çizdirin. fft, fftshift, abs, subplot, plot, axis.İşaretlerin birden fazla periyodu kullanıldığı için, çizdirilen şekillerin frekans çözünürlünü artırmakla beraber harmonik sayısını değiştirmediğine dikkat ediniz.

6. Kare sinyal, üçgen sinyal ve toplamlarının temel frekansları nedir ? (5). maddede çizdirilen şekillerde sıfırdan farklı harmoniklerin sayısı kaçtır ? Kare sinyal ve üçgen sinyalin harmonik sayıları ile toplamlarının harmonik sayısı arasında nasıl bir ilişki vardır ?

DENEYDENEYBölüm 1 : Periyodik sinyallerBölüm 1 : Periyodik sinyallerBölüm 1 : Periyodik sinyallerBölüm 1 : Periyodik sinyaller

7. Her 16 noktada bir tekrar eden ve her 8 noktada bir tekrar eden 128 noktalı iki sinüzoidalal sinyal üretin Butekrar eden 128 noktalı iki sinüzoidalal sinyal üretin. Bu sinyallerin periyodik sinüzoidalal sinyallerin parçaları olduğunu farzedelim. sin/cos(2*pi*n/T), subplot, plot, axisp ,

8. Ürettiğiniz iki sinyali çarpın. Periyodik mi? Öyle ise periyodu nedir ?

9. Sinüzoidalal sinyallerin ve çarpımlarının frekans bölgesi y ç p ggenlik spektrumlarını çizdirin. fft, fftshift, abs, subplot, plot, axis.

10. Sinüzoidalal sinyallerin ve çarpımlarının temel frekansları y ç pnedir ? (10). maddede çizdirilen şekillerde sıfırdan farklı harmoniklerin sayısı kaçtır ? Sinüzoidalal sinyallerin harmonik sayıları ile çarpımlarının harmonik sayısı

d l bi ili ki d ?arasında nasıl bir ilişki vardır ?

DENEYDENEYBölüm 2 : Bölüm 2 : PeryodiklikPeryodiklik veve AyrAyrıık k SinüzoidallerSinüzoidaller

( ) ( )cosx n nπ=( ) ( )cosx n nπ1. Yukarıda verilen formdaki sinyali 128 örnekli üretin. subplot,

plot, axis2 Sinyalin frekansı nedir ?2. Sinyalin frekansı nedir ?3. Sinyal periyodikmi ? Örnek cinsinden periyodu nedir ? Periyod

ile sinyalin frekansı arasında nasıl bir ilişki vardır?

( ) ( )cos 2x n n=

Y k d il f d ki i li 128 ö kli ü ti4. Yukarıda verilen formdaki sinyali 128 örnekli üretin. subplot, plot, axis

5. Sinyalin frekansı nedir ?l d k Ö k d d d6. Sinyal periyodikmi ? Örnek cinsinden periyodu nedir ?

Periyod ile sinyalin frekansı arasında nasıl bir ilişki vardır?

DENEYDENEYBölüm 3 : Bölüm 3 : Sinyallerin tek ve çift ayrışımıSinyallerin tek ve çift ayrışımı

1. Tekdüze dağılıma sahip 129 örnek uzunluklu bir rasgele sinyal üretin randuzunluklu bir rasgele sinyal üretin. rand, subplot, plot, axis

2. Sinyalin tek ve çift ayrışımını yapın. fliplr2. Sinyalin tek ve çift ayrışımını yapın. fliplr yada flipud, subplot, plot, axis

3. Sinyalin tek bileşenin orta noktasının değeri ( 64) di ?(n=64) nedir ?

4. Sinyalin tek bileşenin ortalama değeri kaçtır ?kaçtır ?

5. Sinyalin tek bileşenin ortalama değeri ile sinyalin ortalama değeri arasında nasıl bir ili ki d ?ilişki vardır ?

DENEYDENEYllBölüm 4 : Bölüm 4 : Sinyallerin ters çevrilmesi ve kaydırılmasıSinyallerin ters çevrilmesi ve kaydırılması

1. Bir “raised cosine” sinyal üretin: cos, subplot, plot, axis( ) ( )1 cos 0 1 7c n n nπ π+ / 4

2. İlk 8 örneği c(n), diğer örnekleri 0 olan x(n) işareti üretin. zeros, subplot, plot, axis

3 x(n) işaretini 10 örnek geciktirin (sağa kaydırın)

( ) ( )1 cos , 0,1, ,7.c n n nπ π= + / 4 − = …

3. x(n) işaretini 10 örnek geciktirin (sağa kaydırın).4. x(n) işaretinin ve geciktirilmiş versiyonunun FFT’lerini

hesaplayın. FFT’lerinin genliklerini karşılaştırın. Eşitler mi? Öyle ise gecikme x(n) işaretinin frekans gösteriminde nasıl y g ( ) ş gbir değişikliğe neden olur?

5. x(n) işaretini ters çevirdiğimizi ve FFT’sini hesapladığımızı farz edelim. FFT’lerinin genliklerini karşılaştırın. Eşitler mi? Öyle ise gecikme x(n) işaretinin frekans gösteriminde nasılÖyle ise gecikme x(n) işaretinin frekans gösteriminde nasıl bir değişikliğe neden olur?

Documents

periyot kavramı