PERBANDINGAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DAN …

i

PERBANDINGAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DAN

METODE MOMEN DALAM PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI

PARETO DENGAN DUA PARAMETER

Skripsi

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Disusun oleh :

I Made Yudha Pratama

NIM : 163114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

COMPARISON OF MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD AND

MOMENT METHOD FOR ESTIMATING THE TWO PARAMETER

PARETO DISTRIBUTION

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain Sarjana Mathematics Degree in Mathematics

By :


Student Number : 163114005

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

2020




v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya tulis ini saya persembahkan untuk :

Ida Sang Hyang Widhi Wasa

Kedua orang tua, yaitu

Papa saya I Nyoman Sarjana

Ibu saya I Gusti Ayu Ariani

Kakak saya yang tercinta Putu Oksi Adrian Pratama

Juga untuk segenap keluarga dan teman-teman yang kubanggakan




viii

ABSTRAK

Distribusi Pareto adalah salah satu distribusi peluang kontinu. Distribusi Pareto

tergolong dalam distribusi keluarga Eksponensial seperti distribusi peluang kontinu

lainnya, yaitu distribusi binomial, distribusi Normal, distribusi geometrik, distribusi

eksponensial, dan distribusi Poisson. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu

distribusi adalah pendugaan parameter. Metode yang digunakan dalam pendugaan

dua parameter distribusi Pareto adalah Metode Kemungkinan Maksimum dan

Metode Momen. Metode Kemungkinan Maksimum adalah metode penduga yang

memaksimumkan fungsi Likelihood 𝐿(𝜃|𝑋). Metode momen adalah metode

penduga yang didasarkan pada momen pada suatu sampel yang dapat dijadikan

sebagai penduga yang sesuai dengan momen pada suatu populasi. Pemilihan

metode terbaik diantara keduanya didasarkan pada perbandingan Rata-Rata

Kuadrat Galat (Mean Square Error). Metode yang lebih baik adalah metode yang

memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Perbandingan kedua metode

diterapkan pada data jumlah pendapatan perorangan pada tahun 1969 di daerah

texas.

Kata kunci: distribusi Pareto, pendugaan parameter, Metode Kemungkinan

Maksimum, Metode Momen, Rata-Rata Kuadrat Galat.


ix

ABSTRACT

Pareto distribution is one of the continuous probability density function. Pareto

distribution is a member of the Exponential family distribution like other

continuous probability density function, namely the binomial distribution, Normal

distribution, geometric distribution, exponential distribution, and Poisson

distribution. The most important part in analyzing a distribution is parameter

estimation. The method used in estimation of the two Pareto distribution parameters

is Maximum Likelihood Method and Moment Method. Maximum Likelihood

Method is an estimation method that maximizes the likelihood function 𝐿(𝜃|𝑋).

Moment Method is an estimation method based on the sample moment become the

estimator of the population related moment. Choosing the best method of the two

method is done by comparising the Mean Square Error. The better method has the

minimum Mean Square Error. The comparison of the two methods is applied to the

total personal income for year 1969 in Texas.

Keyword: Pareto distribution, parameter estimation, Maximum Likelihood

Method, Method of Moments, Mean Square Error


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena

berkat rahmat dan bimbingan-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.

Tugas akhir yang berjudul “Perbandingan Metode Kemungkinan Maksimum

dan Metode Momen dalam Pendugaan Parameter Distribusi Pareto dengan

Dua Parameter” dibuat sebagai salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar

Sarjana Matematika dalam program studi Matematika pada Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Sanata Dharma.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan bantuan dan

dukungan moral dari berbagai pihak. Melalui kesempatan ini penuli

menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc selaku dosen pembimbing yang

dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan, nasihat, dan

arahan kepada penulis.

2. Bapak/ Ibu dosen program studi Matematika Universitas Sanata Dharma

yang telah memberikan ilmu serta nasihat selama masa kuliah.

3. Kedua orang tua dan kakak dari penulis yang selalu memberikan

dukungan dan semangat kepada penulis.

4. Teman seperjuangan Devita, Elisabeth, Lydia, Rika, dan Resti yang

menemani penulis dalam bimbingan maupun proses pengerjaan tugas

akhir.

5. Teman-teman program studi Matematika angkatan 2016 yang saling

mendukung, membantu, dan memberikan semangat selama masa kuliah.

6. Semua pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu yang telah

memberikan dukungan baik secara langsung maupun tidak langsung dan

membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.


xi

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan, maka saran

dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi

penyempurnaan selanjutnya. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi semua

pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.

Yogyakarta, 14 Januari 2020

Penulis



xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ......................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................... vii

HALAMAN ABSTRAK ...................................................................................... viii

HALAMAN ABSTRACT ................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ......................................................................................... x

DAFTAR ISI ........................................................................................................ xii

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiv

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ........................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................. 2

C. Batasan Masalah ..................................................................................... 2

D. Tujuan Penulisan .................................................................................... 3

E. Manfaat Penulisan .................................................................................. 3

F. Metode Penulisan ................................................................................... 3

G. Sistematika Penulisan ............................................................................. 4

BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................ 6

A. Teori Peluang ........................................................................................ 6

B. Distribusi Peluang ................................................................................ 7

C. Keluarga Distribusi Eksponensial ........................................................ 23


xiii

D. Distribusi Fungsi dari Fungsi Variabel Acak ....................................... 24

E. Statistik Terurut (Order Statistics) ....................................................... 27

F. Teorema Limit Pusat ............................................................................ 29

G. Estimasi Parameter Fungsi Distribusi................................................... 31

H. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik ......................... 34

BAB III DISTRIBUSI PARETO .......................................................................... 36

A. Sejarah Distribusi Pareto ...................................................................... 36

B. Model Distribusi Pareto ........................................................................ 36

C. Estimasi Parameter Distribusi Pareto ................................................... 42

D. Distribusi Pareto Sebagai Anggota Keluarga Distribusi Eksponensial 47

E. Parameter Tunggal pada Distribusi Pareto ........................................... 48

F. Estimasi Parameter Tunggal pada Distribusi Pareto ............................ 48

G. Uji Kolmogorov-Smirnov ................................................................... 52

H. Uji Distribusi Pareto Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov........... 58

I. Kriteria Statistis pada Penduga Fungsi Distribusi Kumulatif Pareto ... 66

BAB IV PENERAPAN DISTRIBUSI PARETO ................................................ 68

A. Data dan Sumbernya ............................................................................. 68

B. Estimasi Model Distribusi Pareto ........................................................ 69

C. Uji Kecocokan Penduga Parameter Distribusi Pareto .......................... 71

D. Perbandingan Metode Kemungkinan Maksimum dan Metode

Momen .................................................................................................. 73

BAB V PENUTUP ................................................................................................ 74

A. Kesimpulan ........................................................................................... 74

B. Saran ..................................................................................................... 75

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 76

LAMPIRAN .......................................................................................................... 77


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Simulasi Data Kerugian dan Normalisasinya ....................................... 49

Tabel 3.2 Data Kerugian Akibat Bencana Angin Topan Tahun 1977 .................. 50

Tabel 3.3 Data Tekanan Darah Sistolik ................................................................ 54


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Plot fungsi distribusi kumulatif Pareto 𝐹(𝑥) dengan 𝑘 = 1 dan variasi

nilai 𝑎, yaitu 𝑎 = 1 dengan grafik warna merah, 𝑎 = 2 dengan grafik warna biru

dan 𝑎 = 3 dengan grafik warna hijau ................................................................... 37

Gambar 3.2 Plot fungsi distribusi kumulatif Pareto 𝐹(𝑥) dengan 𝑎 = 1 dan variasi

nilai 𝑎, yaitu 𝑘 = 1 dengan grafik warna merah, 𝑘 = 2 dengan grafik warna biru

dan 𝑘 = 3 dengan grafik warna hijau ................................................................... 37

Gambar 3.3 Plot fungsi peluang pareto 𝑓(𝑥) dengan 𝑘 = 1 dan variasi nilai 𝑎,

yaitu 𝑎 = 1 dengan grafik warna merah, 𝑎 = 2 dengan grafik warna biru dan 𝑎 =

3 dengan grafik warna hijau .................................................................................. 39

Gambar 3.4 Plot fungsi peluang pareto 𝑓(𝑥) dengan 𝑎 = 1 dan variasi nilai 𝑘,

yaitu 𝑘 = 1 dengan grafik warna merah, 𝑘 = 2 dengan grafik warna biru dan 𝑘 =

3 dengan grafik warna hijau .................................................................................. 39

Gambar 3.5 Grafik fungsi distribusi Normal dan fungsi empiris.......................... 56

Gambar 3.6 Grafik fungsi distribusi Pareto berdasarkan penduga parameter dari

Metode Kemungkinan Maksimum dan fungsi empiris ......................................... 61


Metode Momen dan fungsi empiris ...................................................................... 64

Gambar 4.1 Histogram dari data jumlah pendapatan perorangan di Texas pada

tahun 1969 ............................................................................................................. 68

Gambar 4.2 Grafik fungsi peluang distribusi Pareto dengan �� = 20,2 dan �� =0,826060967 ........................................................................................................ 69

Gambar 4.3 Grafik fungsi peluang distribusi Pareto dengan �� = 20,06851803

dan �� = 1,105275084 ......................................................................................... 71


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan

dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data empiris yang berasal dari

sampel acak. Tujuan dari statistika adalah menggunakan informasi yang terkandung

dalam sampel untuk membuat kesimpulan tentang populasi dari mana sampel

tersebut diambil. Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan (merupakan

karakteristik) populasi. Pendugaan parameter dilakukan untuk mengaproksimasi

parameter yang tidak diketahui dari suatu populasi berdasarkan sampel.

Dalam mengkaji suatu distribusi, hal yang paling penting adalah masalah

menduga parameternya. Dalam teori peluang, distribusi Pareto adalah distribusi

peluang kontinu dengan dua parameter, yaitu 𝑎 dan 𝑘 yang bernilai

positif. Distribusi Pareto pertama kali diperkenalkan oleh Vilfredo Pareto yang

merupakan ahli ekonomi, insinyur, ahli sosiologi, pengamat politik, sekaligus

seorang filsuf kebangsaan Italia. Dalam bidang sosiologi Pareto dikenal karena

teorinya tentang interaksi elit dalam masyarakat. Sementara pada bidang ekonomi,

Pareto menekankan analisis ekonomi melalui pendekatan matematis. Pengamatan

Pareto pada kedua bidang tersebut menghasilkan banyak teori atau prinsip yang

tidak hanya digunakan di bidang ekonomi, namun juga digunakan di bidang

keteknikan atau aplikasi lainnya. Vilfredo Pareto menyampaikan gagasannya

tentang distribusi Pareto melalui buku Ekonomi yang dipublikasikan di Rome pada

tahun 1897. Hingga saat ini distribusi Pareto banyak digunakan dalam bidang

sosial-ekonomi seperti kependudukan, pendapatan, perpajakan, asuransi, dll.

Dalam menduga parameter distribusi Pareto dengan dua parameter, Penulis

menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method)

dan Metode Momen (Moment Method). Metode Kemungkinan Maksimum adalah

metode penduga yang memaksimumkan fungsi Likelihood 𝐿(𝜃|𝑋). Sedangkan


2

metode momen adalah metode penduga yang didasarkan pada momen pada suatu

sampel yang dapat dijadikan sebagai penduga yang sesuai dengan momen pada

suatu populasi.

Sesuai dengan uraian di atas, penulis ingin mempelajari lebih jauh tentang

distribusi Pareto, sifat-sifatnya, dan membandingkan pendugaan parameter

distribusi Pareto dengan dua parameter menggunakan Metode Kemungkinan

Maksimum dan Metode Momen.

Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean

Square Error) untuk menentukan metode terbaik dalam menduga parameter

distribusi Pareto dengan dua parameter. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran

keakuratan dari penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi

Pareto adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah:

1. Bagaimana definisi dan sifat-sifat statistis distribusi Pareto?

2. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Pareto dengan dua

parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum?

3. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Pareto dengan dua

parameter menggunakan Metode Momen?

4. Bagaimana membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi

parameter distribusi Pareto dengan dua parameter?

C. Batasan Masalah

Adapun beberapa hal yang dibatasi penulis dalam tulisan ini adalah:

1. Dalam mengestimasi parameter distribusi Pareto, penulis hanya membahas

pendugaan parameter distribusi Pareto dengan dua parameter

menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum dan Metode Momen.


3

2. Penulis hanya membahas generalisasi dari distribusi yang disebut juga

dengan Pareto tipe I. Penulis tidak membahas distribusi Pareto tipe II,III,

dan IV.

3. Penulis tidak membahas pendugaan interval dari distribusi Pareto dengan

dua parameter.

4. Penulis menerapkan distribusi Pareto terhadap pendapatan.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah:

1. Mengetahui sifat-sifat statistis dari distribusi Pareto dan penerapan

distribusi Pareto pada pemodelan distribusi pendapatan.

2. Mengestimasi parameter distribusi Pareto dengan Metode Kemungkinan

Maksimum dan Metode Momen.

3. Membandingkan kedua metode tersebut untuk menentukan metode terbaik

dalam mengestimasi parameter distribusi Pareto.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah dapat mempelajari

sifat-sifat distribusi Pareto dan metode pendugaan distribusi Pareto dengan dua

parameter serta menentukan metode terbaik dalam menduga parameter

distribusi Pareto dengan dua parameter.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir adalah

metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau

jurnal-jurnal yang berkaitan dengan distribusi Pareto dan cara menduga

parameter distribusi Pareto.


4

G. Sistematika Penulisan

Penulisan skripsi ini disusun dengan sistematika penulisan sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

A. Teori Peluang

B. Distribusi Peluang

C. Keluarga Distribusi Eksponensial

D. Distribusi Fungsi dari Fungsi Variabel Acak

E. Statistik Terurut (Order Statistics)

F. Teorema Limit Pusat

G. Estimasi Parameter Fungsi Distribusi

H. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik

BAB III DISTRIBUSI PARETO

A. Sejarah Distribusi Pareto

B. Model Distribusi Pareto

C. Estimasi Parameter Distribusi Pareto

D. Distribusi Pareto Sebagai Anggota Keluarga Distribusi Eksponensial

E. Parameter Tunggal pada Distribusi Pareto

F. Estimasi Parameter Tunggal pada Distribusi Pareto


5

G. Uji Kolmogorov-Smirnov

H. Uji Distribusi Pareto Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov

I. Kriteria Statistis pada Penduga Fungsi Distribusi Kumulatif Pareto

BAB IV PENERAPAN DISTRIBUSI PARETO

A. Data dan Sumbernya

B. Estimasi Model Distribusi Pareto

C. Uji Kecocokan Penduga Parameter Distribusi Pareto

D. Perbandingan Metode Kemungkinan Maksimum dan Metode Momen

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Teori Peluang

Definisi 2.1

Misalkan 𝑆 adalah ruang sampel yang terkait dengan suatu percobaan.

Untuk setiap kejadian 𝐴 dalam 𝑆, dilambangkan dengan 𝑃(𝐴) disebut

peluang dari 𝐴 yang memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut :

Aksioma 1 : 𝑃(𝐴) ≥ 0.

Aksioma 2 : 𝑃(𝑆) = 1.

Aksioma 3 : Jika 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … membentuk urutan berpasangan kejadian

saling asing dalam 𝑆, maka 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ …) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)∞𝑖=1 .

Definisi 2.2

Peluang bersyarat dari kejadian 𝐴 jika diketahui kejadian 𝐵 terjadi adalah :

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

dengan 𝑃(𝐵) > 0. Lambang 𝑃(𝐴|𝐵) dibaca “peluang bersyarat dari 𝐴 jika

diketahui kejadian 𝐵 .

Definisi 2.3

Dua kejadian yaitu 𝐴 dan 𝐵 bersifat saling bebas jika memenuhi sifat

sebagai berikut :

𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴),

𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵),

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).

Teorema 2.1

Peluang dari gabungan dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 adalah

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)


7

Bukti :

Ingat bahwa 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) dimana 𝐴 dan (𝐴 ∩ 𝐵) saling asing.

Selanjutnya, 𝐵 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) dimana (𝐴 ∩ 𝐵) dan (𝐴 ∩ 𝐵) juga

saling asing. Dengan aksioma ke-3 didapat :

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

dan

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Kemudian substitusi 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ke dalam persamaan 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵), sehingga

didapat

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Jadi, terbukti bahwa 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) .

Teorema 2.2

Jika 𝐴 adalah suatu kejadian dan �� adalah komplemen kejadian 𝐴, maka

𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(��).

Bukti :

Diketahui bahwa himpunan semesta 𝑆 = 𝐴 ∪ ��. Karena 𝐴 dan �� saling

asing, maka 𝑃(𝑆) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(��). Jadi berdasarkan definisi 2.1 didapat

1 = 𝑃(𝐴) + 𝑃(��) atau 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(��).

B. Distribusi Peluang

1. Distribusi Peluang Diskrit

Definisi 2.4

Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang domainnya merupakan suatu

ruang sampel .


8

Definisi 2.5

Variabel acak 𝑋 bersifat diskrit jika himpunan nilai-nilainya berhingga atau

tak berhingga terbilang .

Definisi 2.6

Peluang untuk 𝑋 yang bernilai 𝑥, yaitu 𝑃(𝑋 = 𝑥) didefinisikan sebagai

jumlah peluang dari semua titik sampel dalam 𝑆 yang memberikan nilai 𝑥.

Lambang 𝑃(𝑋 = 𝑥) juga dapat ditulis sebagai 𝑝(𝑥) .

Definisi 2.7

Setiap distribusi peluang diskrit memenuhi sifat sebagai berikut :

a. 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk semua 𝑥

b. ∑ 𝑝(𝑥) = 1𝑥

Definisi 2.8

Distribusi kumulatif 𝐹(𝑥) dari suatu variabel acak diskrit 𝑋 dengan

distribusi peluang 𝑓(𝑥) dinyatakan oleh :

𝐹(𝑥) = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑥) =∑ 𝑓(𝑡) ,𝑡≤𝑥

−∞ < 𝑥 < ∞ .

Contoh-contoh distribusi peluang diskrit adalah distribusi Binomial,

distribusi Geometrik, distribusi Binomial Negatif, distribusi

Hipergeometrik, dan distribusi Poisson. Selanjutnya akan dibahas mengenai

distribusi Binomial dan distribusi Poisson.

Definisi 2.9

Eksperimen Binomial memiliki sifat sebagai berikut :

a. Eksperimen terdiri dari 𝑛 ulangan yang identik.


9

b. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua hasil, yaitu sukses (S) atau

gagal (F).

c. Peluang sukses untuk sebuah ulangan adalah 𝑝 dan tetap sama untuk

setiap ulangan lainnya. Peluang gagal pada ulangan tersebut adalah 𝑞 =

(1 − 𝑝).

d. Setiap ulangan bersifat saling bebas.

e. Variabel acak 𝑋 adalah banyaknya sukses yang terjadi selama 𝑛

ulangan.

Definisi 2.10

Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi binomial dengan 𝑛 ulangan dan

peluang sukses 𝑝 jika dan hanya jika fungsi peluangnya

𝑝(𝑥) = (𝑛

𝑥) 𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥, 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑝 ≤ 1.

Contoh 2.1

Sebuah percobaan dari suatu perusahaan obat menunjukan bahwa 30%

orang yang terkena suatu penyakit dapat disembuhkan dari obat yang dibuat

oleh perusahaan tersebut. Perusahaan obat ini akan mengembangkan suatu

metode pengobatan yang baru. Dipilih 10 orang yang terkena penyakit untuk

menjalani metode pengobatan baru tersebut dengan hasil 9 orang sembuh

dari penyakit. Tentukan peluang bahwa terdapat minimal 9 dari 10 orang

yang mengambil metode pengobatan tersebut akan sembuh !

Jawab :

Dimisalkan 𝑋 adalah banyaknya orang yang sembuh. maka peluang satu

orang yang terkena penyakit akan sembuh dari obat yang dibuat perusahaan

adalah 𝑝 = 0,3. Dengan jumlah percobaan yaitu 𝑛 = 10, peluang bahwa

tepat 9 orang sembuh adalah


10

𝑃(𝑋 = 9) = 𝑃(9) = (10

9) 0,390,7 = 0,000138.

Selanjutnya dihitung peluang bahwa tepat 10 orang sembuh, yaitu

𝑃(𝑋 = 10) = 𝑃(10) = (10

10) 0,3100,70 = 0,000006.

Jadi peluang bahwa terdapat minimal 9 dari 10 orang sembuh dari

pengobatan adalah

𝑃(𝑋 ≥ 9) = 𝑃(9) + 𝑃(10) = 0,000138 + 0,000006 = 0,00144.

Definisi 2.11

Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi Poisson jika dan hanya jika fungsi

peluangnya

𝑝(𝑥) =𝜆𝑥

𝑥!𝑒−𝜆, 𝑥 = 0,1,2, … 𝑑𝑎𝑛 𝜆 > 0

Contoh 2.2

Diketahui sistem acak dari patroli polisi sudah direncanakan sedemikan

hingga petugas patroli berkemungkinan mengunjungi lokasi yang

ditentukan sebanyak 𝑋 = 0,1,2,3,… kali dalam periode setengah jam

dengan setiap lokasi dikunjungi dengan rata-rata sekali untuk setiap periode.

Asumsikan bahwa 𝑋 diaproksimasikan berdistribusi Poisson. Tentukan

peluang petugas patrol tersebut tidak mengunjungi lokasi yang ditentukan

dalam periode setengah jam. Berapa peluang bahwa lokasi tersebut

dikunjungi dua kali ?

Jawab :

Untuk contoh diatas, waktu periodenya adalah setengah jam dan rata-rata

jumlah kunjungan untuk setiap interval setengah jam adalah 𝜆 = 1. Dengan

asumsi bahwa 𝑋 diaproksimasikan berdistribusi Poisson, didapat


11

𝑝(𝑥) =1𝑥

𝑥!𝑒−1 =

𝑒−1

𝑥! , 𝑥 = 0,1,2, …

Kejadian bahwa lokasi yang ditentukan tidak dikunjungi dalam periode

setengah jam dapat dikorrespondensikan dengan (𝑋 = 0), sehingga

𝑃(𝑋 = 0) = 𝑃(0) =𝑒−1

0!= 𝑒−1 = 0,368.

Peluang lokasi tersebut dikunjungi dua kali adalah

𝑝(2) =𝑒−1

2!= 0,184.

2. Distribusi Peluang Kontinu

Definisi 2.12

Diketahui 𝑋 adalah suatu Variabel acak. Fungsi distribusi dari 𝑋 dinotasikan

dengan 𝐹(𝑥), dengan 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) untuk −∞ < 𝑥 < ∞ .

Definisi 2.13

Variabel acak 𝑋 dengan fungsi distribusi 𝐹(𝑥) dikatakan kontinu jika 𝐹(𝑥)

kontinu untuk −∞ < 𝑥 < ∞ .

Definisi 2.14

Jika diketahui 𝐹(𝑥) adalah fungsi distribusi dengan variabel acak kontinu

𝑋, maka fungsi peluang dari 𝑥 dapat didefinisikan sebagai :

𝑓(𝑥) =𝑑𝐹(𝑥)

𝑑𝑥= 𝐹′(𝑥)

Dari Definisi 2.13 dan 2.14, 𝐹(𝑥) dapat didefinisikan sebagai :

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡𝑥

−∞

Definisi 2.15

Fungsi 𝑓(𝑥) adalah fungsi peluang dengan peubah acak kontinu 𝑋, jika

memenuhi:


12

a. 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ.

b. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1∞

−∞.

Teorema 2.3

Jika variabel acak kontinu 𝑋 memiliki fungsi peluang 𝑓(𝑥) dan 𝑎 < 𝑏, maka

peluang bahwa 𝑋 berada pada interval [𝑎, 𝑏] adalah

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.𝑏

𝑎

Bukti :

Jika 𝑋 adalah variabel acak kontinu dan 𝑎 dan 𝑏 adalah suatu konstanta

dengan 𝑎 < 𝑏, maka 𝑃(𝑋 = 𝑎) = 0 dan 𝑃(𝑋 = 𝑏) = 0, sehingga didapat

𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏)

= 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.𝑏

𝑎

Jadi, terbukti bahwa 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.𝑏

𝑎

Definisi 2.16

Parameter dalam fungsi peluang adalah suatu konstanta yang menentukan

bentuk spesifik dari fungsi peluang.

Contoh-contoh distribusi peluang kontinu adalah distribusi Normal,

distribusi Gamma, distribusi Eksponensial, distribusi Uniform, dan

distribusi Beta. Selanjutnya akan dibahas mengenai distribusi Uniform,

distribusi Normal, dan distribusi Eksponensial.


13

Definisi 2.17

Jika 𝜃1 < 𝜃2, maka variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi uniform secara

kontinu pada interval (𝜃1, 𝜃2) jika dan hanya jika fungsi peluang dari 𝑋

adalah

𝑓(𝑥) =

{

1

𝜃2 − 𝜃1, 𝜃1 ≤ 𝑥 ≤ 𝜃2

0, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Contoh 2.3

Siklus waktu pada truk pengangkut beton yang mengunjungi lokasi

pembangunan jalan raya berdistribusi uniform dengan interval 50 sampai 70

menit. Berapa peluang bahwa truk akan tiba dalam 5 menit terakhir dari

siklus waktu yang ada.

Jawab :

Waktu kedatangan truk ke lokasi pembangunan jalan berdistribusi uniform

dengan interval (50,70). Jika 𝑋 dinotasikan sebagai waktu kedatangan,

maka peluang truk akan tiba dalam 5 menit terakhir dari interval di atas

adalah :

𝑃(65 ≤ 𝑋 ≤ 70) = ∫1

70 − 50

70

65

𝑑𝑦 = 70 − 65

20=5

20=1

4 .

Jadi peluang kedatangan truk ke lokasi pembangunan jalan dalam waktu 65

sampai 70 menit (5 menit terakhir dari siklus waktu) adalah 1

4 .


14

Definisi 2.18

Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi Normal jika dan hanya jika untuk

𝜎 > 0 dan −∞ < 𝜇 < ∞, fungsi peluang dari 𝑋 adalah

𝑓(𝑥) =1

𝜎√2𝜋𝑒− (𝑥−𝜇)2

2𝜎2 , −∞ < 𝑥 < ∞.

Definisi 2.19

Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter

𝛽 > 0 jika dan hanya jika fungsi peluang dari 𝑋 adalah

𝑓(𝑥) =

{

1

𝛽 𝑒−𝑥𝛽 , 0 ≤ 𝑥 < ∞


Jika dimisalkan parameter 𝛽 =1

𝜆 , maka bentuk lain dari fungsi peluang 𝑋

yang berdistribusi Eksponensial adalah :

𝑓(𝑥) = {𝜆𝑒−𝜆𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < ∞


Teorema 2.4

Fungsi distribusi kumulatif Eksponensial dengan variabel acak 𝑋 dan

parameter 𝛽 =1

𝜆 adalah :

𝐹(𝑥) = {1 − 𝑒−𝜆𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < ∞


Bukti :

Untuk 𝑥 ≥ 0, berlaku fungsi peluang Eksponensial, yaitu :

𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒−𝜆𝑥


15

Dicari fungsi distribusi kumulatif Eksponensial 𝐹(𝑥) untuk 𝑥 ≥ 0 dengan

perhitungan sebagai berikut :

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡𝑥

−∞

= ∫ 𝜆𝑒−𝜆𝑡 𝑑𝑡𝑥

0

= 𝜆∫ 𝑒−𝜆𝑡 𝑑𝑡𝑥

0

Misalkan −𝜆𝑡 = 𝑢, maka didapat

𝑑𝑢

𝑑𝑡= −𝜆

𝑑𝑡 = −1

𝜆 𝑑𝑢

Jadi,

𝜆∫𝑒−𝜆𝑡 𝑑𝑡 = 𝜆 (−1

𝜆)∫𝑒𝑢 𝑑𝑢

= −[𝑒𝑢]

= −𝑒𝜆𝑡

Sehingga,

𝜆∫ 𝑒−𝜆𝑡 𝑑𝑡𝑥

0

= [−𝑒𝜆𝑡]0

𝑥

= [−𝑒𝜆𝑥 − (−1)]

𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒−𝜆𝑥, 𝑥 ≥ 0

Jadi fungsi distribusi kumulatif Eksponensial untuk 𝑥 ≥ 0 adalah

𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒−𝜆𝑥.


16

3. Nilai harapan

Definisi 2.20

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak. Nilai harapan dari 𝑋 dilambangkan

dengan 𝐸(𝑋) yang didefinisikan sebagai berikut :

𝐸(𝑋) =

{

∑𝑥 𝑝(𝑥)

𝑥

, jika X adalah variabel acak diskrit

∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥,∞

−∞

jika X adalah variabel acak kontinu

Teorema 2.5

Jika 𝑋 adalah variabel acak dan 𝑔(𝑋) adalah fungsi yang bernilai real dari

𝑋, maka nilai harapan dari 𝑔(𝑋) adalah sebagai berikut :

𝐸[𝑔(𝑋)] =

{

∑𝑔(𝑥)𝑝(𝑥)

𝑥

, jika X adalah variabel acak diskrit

∫ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥,∞

−∞

jika X adalah variabel acak kontinu

Bukti :

Akan dibuktikan bahwa 𝐸[𝑔(𝑋)] = ∑ 𝑔(𝑥)𝑝(𝑥)𝑥 pada kasus dengan nilai

variabel acak diskrit 𝑋 berhingga yaitu 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. Karena fungsi 𝑔(𝑥)

mungkin bukan fungsi satu-satu, diasumsikan bahwa 𝑔(𝑋) mengambil nilai

𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑚 (dimana 𝑚 ≤ 𝑛). Hal ini berarti 𝑔(𝑋) adalah variabel acak

sedemikian hingga untuk 𝑖 = 1,2, … ,𝑚,

𝑃[𝑔(𝑋) = 𝑔𝑖] =∑𝑝(𝑥𝑗∀𝑥𝑗

) = 𝑝∗(𝑔𝑖)

Sehingga berdasarkan definisi 2.20

𝐸[𝑔(𝑋)] =∑𝑔𝑖𝑝∗(𝑔𝑖)

𝑚

𝑖=1


17

= ∑𝑔𝑖

𝑛

𝑖=1

{∑𝑝(𝑥𝑗)

∀𝑥𝑗

}

=∑∑𝑔𝑖∀𝑥𝑗

𝑚

𝑖=1

𝑝(𝑥𝑗)

= ∑𝑔(𝑥𝑗)𝑝(𝑥𝑗)

𝑛

𝑗=1

.

Jadi, terbukti bahwa 𝐸[𝑔(𝑋)] = ∑ 𝑔(𝑥)𝑝(𝑥)𝑥 .

Untuk kasus 𝐸[𝑔(𝑋)] = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞ dapat dibuktikan secara analog.

Teorema 2.6

Jika 𝑋 adalah variabel acak dan 𝑐 adalah suatu konstanta, maka 𝐸(𝑐) = 𝑐 .

Bukti :

Kasus 1 : untuk 𝑋 variabel acak diskrit

𝐸(𝑐) =∑𝑐𝑝(𝑥) =

𝑥

𝑐∑𝑝(𝑥) = 𝑐(1) = 𝑐

𝑥

Kasus 2 : untuk 𝑋 variabel acak kontinu

𝐸(𝑐) = ∫ 𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

∞

−∞

= 𝑐(1) = 𝑐

Jadi , terbukti bahwa 𝐸(𝑐) = 𝑐

Teorema 2.7

Jika diketahui 𝑋 adalah variabel acak dan 𝑐 adalah suatu konstanta, maka

berlaku 𝐸[𝑐𝑋] = 𝑐𝐸[𝑋] .

Bukti :

Kasus 1 : untuk 𝑋 variabel acak diskrit


18

𝐸[𝑐𝑋] =∑𝑐𝑥𝑝(𝑥) = 𝑐∑𝑥𝑝(𝑥) = 𝑐𝐸[𝑋].

𝑥𝑥

Kasus 2 : untuk 𝑋 variabel acak kontinu

𝐸[𝑐𝑋] = ∫ 𝑐𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= 𝑐∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐𝐸[𝑋].∞

−∞

Jadi, terbukti bahwa 𝐸[𝑐𝑋] = 𝑐𝐸[𝑋].

Teorema 2.8

Jika diketahui 𝑋 adalah variabel acak diskrit dengan fungsi peluang 𝑝(𝑥)

dan 𝑔1(𝑋), 𝑔2(𝑋), … , 𝑔𝑘(𝑋) adalah 𝑘 fungsi dari 𝑋, maka berlaku :

𝐸[(𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) +⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)] = 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)]

Bukti :

𝐸[(𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)]

=∑[𝑔1(𝑥) + 𝑔2(𝑥) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑥)]𝑝(𝑥)

𝑥

= ∑[𝑔1(𝑋)𝑝(𝑥) + 𝑔2(𝑥)𝑝(𝑥) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑥)𝑝(𝑥)]

𝑥

=∑𝑔1(𝑥)𝑝(𝑥)

𝑥

+∑𝑔2(𝑥)𝑝(𝑥)

𝑥

+⋯+∑𝑔𝑘(𝑥)𝑝(𝑥

𝑥

)

= 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)]

Jadi terbukti bahwa untuk 𝑋 adalah variabel acak diskrit dengan fungsi

peluang 𝑝(𝑥) dan 𝑔1(𝑋), 𝑔2(𝑋),… , 𝑔𝑘(𝑋) adalah 𝑘 fungsi dari 𝑋 berlaku



19

Teorema 2.9

Jika 𝑋 adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas 𝑓(𝑥) dan

𝑔1(𝑋), 𝑔2(𝑋),… , 𝑔𝑘(𝑋) adalah 𝑘 fungsi dari 𝑋, maka

𝐸[(𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)] = 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)]

Bukti :

𝐸[(𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)]

= ∫ [𝑔1(𝑥) + 𝑔2(𝑥) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑥)]𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ [𝑔1(𝑥)𝑓(𝑥) + 𝑔2(𝑥)𝑓(𝑥) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑥)𝑓(𝑥)]𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑔1(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

+∫ 𝑔2(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

+⋯+∫ 𝑔𝑘(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)]

Jadi terbukti bahwa untuk 𝑋 adalah variabel acak kontinu dengan fungsi

densitas 𝑓(𝑥) dan 𝑔1(𝑋), 𝑔2(𝑋),… , 𝑔𝑘(𝑋) adalah 𝑘 fungsi dari 𝑋 berlaku


4. Variansi

Definisi 2.21

Jika 𝑋 adalah variabel acak dengan rata-rata (𝑋) = 𝜇 , maka variansi dari

variabel acak 𝑋 adalah nilai harapan dari (𝑋 − 𝜇)2 atau dapat ditulis :

𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2].

Nilai standar deviasi dari 𝑋 adalah akar kuadrat positif dari 𝑉(𝑋) atau dapat

ditulis

𝜎 = √𝑉(𝑋)


20

Teorema 2.10

Jika 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi peluang 𝑝(𝑥) dan rata-rata

𝐸(𝑋) = 𝜇, maka 𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2.

Bukti :

𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]

= 𝐸[𝑋2 − 2𝜇𝑋 + 𝜇2]

= 𝐸[𝑋2] − 𝐸[2𝜇𝑋] + 𝐸[𝜇2]

= 𝐸[𝑋2] − 2𝜇𝐸[𝑋] + 𝐸[𝜇2]

= 𝐸[𝑋2] − 2𝜇2 + 𝜇2

= 𝐸[𝑋2] − 𝜇2.

Jadi, terbukti bahwa 𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2

5. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 2.22

Momen ke-𝑘 dari variabel acak 𝑋 di sekitar titik asal adalah 𝐸(𝑋𝑘) = 𝜇′𝑘.

Definisi 2.23

Fungsi pembangkit momen 𝑚(𝑡) untuk variabel acak 𝑋 adalah 𝑚(𝑡) =

𝐸(𝑒𝑡𝑋). Fungsi pembangkit momen untuk 𝑋 dikatakan ada jika ada sebuah

konstanta positif 𝑎 sedemikian hingga 𝑚(𝑡) berhingga untuk |𝑡| < 𝑎.

Teorema 2.11

Jika 𝑚(𝑡) ada, maka untuk sebarang bilangan positif 𝑘,

𝑑𝑘𝑚(𝑡)

𝑑𝑡𝑘]𝑡=0

= 𝑚(𝑘)(0) = 𝜇′𝑘.

Bukti :

𝑑𝑘𝑚(𝑡)

𝑑𝑡𝑘 atau 𝑚(𝑘)(𝑡) adalah turunan ke-𝑘 dari 𝑚(𝑡) terhadap 𝑡. Karena

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) = 1 + 𝑡𝜇′1+𝑡2

2!𝜇′2 +

𝑡3

3!𝜇′3 +⋯,

sehingga


21

𝑚(1)(𝑡) = 𝜇′1 +2𝑡

2!𝜇′2 +

3𝑡2

3!𝜇′3 +⋯

𝑚(2)(𝑡) = 𝜇′2 +2𝑡

2!𝜇′3 +⋯

Secara umum,

𝑚(𝑘)(𝑡) = 𝜇′𝑘 +2𝑡

2!𝜇′𝑘+1 +

3𝑡2

3!𝜇′𝑘+2 +⋯

Ketika 𝑡 = 0, didapat 𝑚(1)(𝑡) = 𝜇′1 dan 𝑚(2)(𝑡) = 𝜇′2, sehingga secara

umum

𝑚(𝑘)(𝑡) = 𝜇′𝑘

Jadi, terbukti bahwa

𝑑𝑘𝑚(𝑡)

𝑑𝑡𝑘]𝑡=0

= 𝑚(𝑘)(0) = 𝜇′𝑘.

Contoh 2.4

Tentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi Binomial.

Jawab :

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋)

= ∑𝑒𝑡𝑥𝑝(𝑥)

𝑛

𝑥=0

=∑𝑒𝑡𝑥 (𝑛

𝑥)

𝑛

𝑥=0

𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

=∑(𝑝𝑒𝑡)𝑥𝑞𝑛−𝑥 (𝑛

𝑥)

𝑛

𝑥=0

= (𝑛

0) 𝑞𝑛 + (

𝑛

1) 𝑝𝑒𝑡𝑞𝑛−1 + (

𝑛

2) (𝑝𝑒𝑡)2𝑞𝑛−2 +⋯+ (

𝑛

𝑛) (𝑝𝑒𝑡)𝑛

= (𝑝𝑒𝑡 + 𝑞)𝑛

Ingat bahwa

(𝑞 + 𝑝)𝑛 = (𝑛

0) 𝑞𝑛 + (

𝑛

1) 𝑝𝑞𝑛−1 + (

𝑛

2) 𝑝2𝑞𝑛−2 +⋯+ (

𝑛

𝑛) 𝑝𝑛

Jadi fungsi pembangkit momen dari distribusi Binomial adalah 𝑚(𝑡) =

(𝑝𝑒𝑡 + 𝑞)𝑛 .


22

Contoh 2.5

Tentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal.

Jawab :

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋)

= ∫1

𝜎√2𝜋𝑒𝑡𝑥𝑒

− (𝑥−𝜇)2

2𝜎2 𝑑𝑥∞

−∞

Misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝜇 , maka 𝑥 = 𝑢 + 𝜇 dan 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Sehingga diperoleh

𝑚(𝑡) = ∫1

𝜎√2𝜋 𝑒𝑡𝑢+𝜇𝑡𝑒−

𝑢2

2𝜎2 𝑑𝑢

∞

−∞

= 𝑒𝜇𝑡 ∫1

𝜎√2𝜋 𝑒𝑡𝑢−

𝑢2

2𝜎2 𝑑𝑢

∞

−∞

= 𝑒𝜇𝑡 ∫1

𝜎√2𝜋 𝑒2𝜎2𝑡𝑢−𝑢2

2𝜎2 𝑑𝑢

∞

−∞

= 𝑒𝜇𝑡 ∫1

𝜎√2𝜋 𝑒𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢−2𝜎2 𝑑𝑢 .

∞

−∞

Karena (𝑢 − 𝑡𝜎2)2 = 𝑢2 − 2𝜎2𝑡𝑢 + 𝑡2𝜎4, maka

= 𝑒𝜇𝑡 ∫1

𝜎√2𝜋 𝑒(𝑢−𝑡𝜎2)

2−𝑡2𝜎4

−2𝜎2 𝑑𝑢

∞

−∞

= 𝑒𝜇𝑡𝑒𝑡2𝜎4

2𝜎2 ∫1

𝜎√2𝜋 𝑒(𝑢−𝑡𝜎2)

2

−2𝜎2 𝑑𝑢

∞

−∞

= 𝑒𝜇𝑡+𝑡2𝜎2

2 ∫1

𝜎√2𝜋 𝑒(𝑥−𝜇−𝑡𝜎2)

2

−2𝜎2 𝑑𝑥

∞

−∞

Karena ∫1

𝜎√2𝜋 𝑒

(𝑥−𝜇−𝑡𝜎2)2

−2𝜎2 𝑑𝑥 ∞

−∞= 1 , maka

𝑚(𝑡) = 𝑒𝜇𝑡+𝑡2𝜎2

2 .


23

C. Keluarga Distribusi Eksponensial

Definisi 2.24

Keluarga distribusi dalam ruang Euclidean dikatakan tergolong dalam

keluarga Eksponensial jika fungsi peluangnya berbentuk :

𝑝Ѳ(𝑥) = 𝐶(𝜃) 𝑒𝑥𝑝 [∑𝑄𝑖(𝜃)𝑡𝑖(𝑥)

𝑘

𝑖=1

] ℎ(𝑥),

dengan 𝜃 adalah parameter dan fungsi 𝑄 dan 𝑡𝑖 bernilai real.

Contoh 2.6

Diketahui 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) adalah sampel acak dari distribusi Normal

𝑁(𝜇, 𝜎2). Buktikan bahwa distribusi Normal tergolong dalam keluarga

eksponensial !

Jawab :

Jadi untuk 𝜃 = (𝜇, 𝜎2) didapat :

𝑝Ѳ(𝑥) =1

(2𝜋)𝑛𝜎𝑛 exp [−

1

2𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

]

=1

(2𝜋)𝑛𝜎𝑛exp [−

1

2𝜎2(∑𝑥𝑖

2 − 2𝜇

𝑛

𝑖=1

∑𝑥𝑖 − 𝑛𝜇2

𝑛

𝑖=1

)]

=𝑒𝑥𝑝 (

𝑛𝜇2

2𝜎2)

(2𝜋)12𝑛𝜎𝑛

exp [−∑ 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2𝜎2+𝜇

𝜎2∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

]

= 𝐶(Ѳ) exp{𝑄1(𝜃)𝑡1(𝑥) + 𝑄2(𝜃)𝑡2(𝑥)},

dimana

𝐶(Ѳ) = (2𝜋)−12𝑛𝜎−𝑛𝑒𝑥𝑝 [

𝑛𝜇2

2𝜎2]

𝑄1(𝜃) = −1

2𝜎2

𝑡1(𝑥) =∑𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑄2(𝜃) =𝜇

𝜎2


24

𝑡2(𝑥) =∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Jadi berdasarkan definisi 2.24, distribusi Normal tergolong dalam keluarga

eksponensial (Silvey, 1975).

Distribusi peluang yang termasuk dalam keluarga ekponensial adalah

distribusi binomial, distribusi Normal, distribusi geometrik, distribusi

eksponensial, dan distribusi Poisson (Silvey, 1975).

D. Distribusi Fungsi dari Fungsi Variabel Acak

Materi sebelumnya membahas tentang distribusi peluang, baik yang

bersifat diskret maupun yang bersifat kontinu. Distribusi tesebut banyak

digunakan dalam berbagai bidang, termasuk keandalan (reliabilitas),

pengendali mutu, dan teknik penarikan sampel. Selanjutnya, akan dibahas

topik yang lebih umum, yaitu distribusi fungsi dari fungsi variabel acak.

Dalam metode statistik standar, hasil pengujian hipotesis statistik,

pendugaan (estimasi), atau bahkan grafik statistik tidak melibatkan variabel

acak tunggal melainkan suatu fungsi dari satu atau lebih variabel acak.

Akibatnya, inferensi dalam statistik memerlukan distribusi fungsi yang ada.

Sehingga penentuan distribusi fungsi sangat penting dalam berbagai bidang

statistik yang ada (Walpole et al, 2012).

Berikut akan dibahas metode beserta langkah-langkahnya untuk

menentukan distribusi fungsi untuk fungsi variabel acak, yaitu metode

distribusi fungsi dan metode tranformasi.

1. Metode Distribusi Fungsi

Diketahui fungsi 𝑈 dengan variabel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛.

a. Tentukan daerah 𝑈 = 𝑢 pada ruang (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛).

b. Tentukan daerah 𝑈 ≤ 𝑢.

c. Tentukan 𝐹𝑈(𝑢) = 𝑃(𝑈 ≤ 𝑢) dengan mengintegrasikan

𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) pada daerah 𝑈 ≤ 𝑢.

d. Tentukan fungsi peluang 𝑓𝑈(𝑢) dengan mencari turunan dari 𝐹𝑈(𝑢),

yaitu


25

𝑓𝑈(𝑢) =𝑑𝐹𝑈(𝑢)

𝑑𝑢

Contoh 2.7

Proses memurnikan gula menghasilkan 1 ton gula murni setiap hari.

Diketahui 𝑋 adalah variabel acak yang dinotasikan sebagai jumlah

produksi gula sebenarnya dengan faktor mesin yang rusak atau bekerja

kurang optimal. Fungsi peluang dari 𝑋 adalah sebagai berikut

𝑓(𝑥) = {

2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1


Perusahaan dibayar dengan rata-rata $300 per ton untuk gula murni

tersebut dan harus membayar biaya perbaikan mesin sebesar $100 per

hari. Dengan demikian, keuntungan hariannya adalah 𝑈 = 3𝑋 − 1

dalam ratusan dolar. Tentukan fungsi peluang dari 𝑈

Jawab :

Dengan metode distribusi fungsi, dicari 𝐹𝑈(𝑢), yaitu

𝐹𝑈(𝑢) = 𝑃(𝑈 ≤ 𝑢) = 𝑃(3𝑋 − 1 ≤ 𝑢) = 𝑃 (𝑋 ≤𝑢 + 1

3)

Jika 𝑢 < −1, maka (𝑢 + 1) 3⁄ < 0, sehingga

𝐹𝑈(𝑢) = 𝑃 (𝑋 ≤𝑢 + 1

3) = 0.

Jika 𝑢 > 2, maka (𝑢 + 1) 3⁄ > 1, sehingga

𝐹𝑈(𝑢) = 𝑃 (𝑋 ≤𝑢 + 1

3) = 1.

Jika −1 ≤ 𝑢 < 2, maka peluang 𝑃(𝑋 ≤ (𝑢 + 1) 3⁄ ) dapat ditulis

sebagai integral dari 𝑓(𝑥), sehingga

𝐹𝑈(𝑢) = 𝑃 (𝑋 ≤𝑢 + 1

3) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

(𝑢+1) 3⁄

−∞

= ∫ 2𝑥 𝑑𝑥(𝑢+1) 3⁄

0


26

= (𝑢 + 1

3)2

.

Jadi didapat 𝐹𝑈(𝑢) sebagai berikut

𝐹𝑈(𝑢) =

{

0, 𝑢 ≤ −1,

(𝑢 + 1

3)2

, −1 ≤ 𝑢 ≤ 2

1, 𝑢 > 2,

,

dan fungsi peluang dari 𝑈 adalah

𝑓𝑈(𝑢) =𝑑𝐹𝑈(𝑢)

𝑑𝑢= {

2

9(𝑢 + 1), −1 ≤ 𝑢 < 2,

0, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 .

2. Metode Tranformasi

Diketahui 𝑈 = ℎ(𝑋) dimana ℎ(𝑥) adalah fungsi naik atau turun dari 𝑥

untuk semua nilai 𝑥 sesedemikian hingga 𝑓𝑋(𝑥) > 0.

a. Tentukan fungsi invers 𝑥 = ℎ−1(𝑢).

b. Evaluasikan persamaan

𝑑ℎ−1

𝑑𝑢=𝑑[[ℎ−1(𝑢)]

𝑑𝑢.

c. Tentukan 𝑓𝑈(𝑢), yaitu

𝑓𝑈(𝑢) = 𝑓𝑋[ℎ−1(𝑢)] |

𝑑ℎ−1

𝑑𝑢|

Contoh 2.8

Dari contoh 2.7, tentukan fungsi peluang dari 𝑈 dengan metode tranformasi.

Jawab :

Fungsi keuntungan dari soal contoh 2.7 adalah ℎ(𝑥) = 3𝑥 − 1 yang

merupakan fungsi naik dalam 𝑥. Jika 𝑢 = 3𝑥 − 1, maka

𝑥 = ℎ−1(𝑢) =𝑢 + 1

3


27

dan

𝑑ℎ−1

𝑑𝑢=𝑑[[ℎ−1(𝑢)]

𝑑𝑢=1

3

Jadi, didapat 𝑓𝑈(𝑢) sebagai berikut

𝑓𝑈(𝑢) = 𝑓𝑋[ℎ−1(𝑢)] |

𝑑ℎ−1

𝑑𝑢|

=

{

2[ℎ−1(𝑢)] |

𝑑ℎ−1

𝑑𝑢| = 2 (

𝑢 + 1

3) |1

3| , 0 ≤

𝑢 + 1

3≤ 1,


atau ekuivalen dengan,

𝑓𝑈(𝑢) = {

2

9(𝑢 + 1), −1 ≤ 𝑢 < 2,

0, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 .

E. Statistik Terurut (Order Statistics)

Banyak fungsi variabel acak yang menarik untuk dipraktikan

tergantung pada besar relatifnya variabel yang diamati. Contoh

penerapannya adalah pengamatan waktu tercepat dalam balap mobil atau

tikus dengan berat paling besar diantara banyak tikus yang diberi makan

pada waktu diet. Jadi dalam pengamatan tersebut, variabel acak yang

diamati sering diurutkan sesuai dengan besar variabelnya. Variabel terurut

yang dihasilkan disebut dengan statistik terurut (order statistics).

Secara formal diketahui 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak kontinu

yang saling bebas dengan fungsi distribusi 𝐹(𝑥) dan fungsi peluang 𝑓(𝑥).

Dinotasikan variabel acak order 𝑋𝑖 dengan 𝑋(1), 𝑋(2), … , 𝑋(𝑛) dimana

𝑋(1) ≤ 𝑋(2) ≤ ⋯ ≤ 𝑋(𝑛).

Jadi, minimum dari variabel acak 𝑋𝑖 dinotasikan sebagai berikut,

𝑋(1) = 𝑚𝑖𝑛(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)


28

dan maksimum dari variabel acak 𝑋𝑖 adalah

𝑋(𝑛) = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)

Fungsi peluang densitas untuk 𝑋(1) dan 𝑋(𝑛) dapat ditentukan dengan

metode distribusi fungsi. Pertama dicari fungsi peluang dari 𝑋(𝑛). Karena

𝑋(𝑛) adalah maksimum dari 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, maka kejadian 𝑋(𝑛) ≤ 𝑥 berlaku

jika dan hanya jika kejadian 𝑋𝑖 ≤ 𝑥 berlaku untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Jadi,

𝑃(𝑋(𝑛) ≤ 𝑥 ) = 𝑃(𝑋1 ≤ 𝑥 , 𝑋2 ≤ 𝑥 , … , 𝑋𝑛 ≤ 𝑥 )

Karena 𝑋𝑖 saling bebas dan 𝑃(𝑋𝑖 ≤ 𝑥 ) = 𝐹(𝑥) untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, maka

fungsi distribusi dari 𝑋(𝑛) adalah sebagai berikut :

𝐹𝑋(𝑛)(𝑥) = 𝑃(𝑋(𝑛) ≤ 𝑥 )

= 𝑃(𝑋1 ≤ 𝑥)𝑃(𝑋2 ≤ 𝑥)…𝑃(𝑋𝑛 ≤ 𝑥)

= [𝐹(𝑥)]𝑛.

Dinotasikan 𝑔(𝑛)(𝑥) adalah fungsi peluang dari 𝑋(𝑛), sehingga dengan

mengambil turunan dari kedua sisi, didapat

𝑔(𝑛)(𝑥) = 𝑛[𝐹(𝑥)]𝑛−1𝑓(𝑥).

Fungsi peluang untuk 𝑋(1) dapat ditentukan dengan cara yang serupa.

Distribusi fungsi dari 𝑋(1) adalah

𝐹𝑋(1)(𝑥) = 𝑃(𝑋(1) ≤ 𝑥 ) = 1 − 𝑃(𝑋(1) > 𝑥).

Karena 𝑋(1) adalah minimum dari 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, maka kejadian (𝑋(1) > 𝑥)

berlaku jika dan hanya jika kejadian (𝑋𝑖 > 𝑥) berlaku untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Karena 𝑋𝑖 saling bebas dan 𝑃(𝑋𝑖 > 𝑥 ) = 1 − 𝐹(𝑥) untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛,

maka berlaku :

𝐹𝑋(1)(𝑥) = 𝑃(𝑋(1) ≤ 𝑥 ) = 1 − 𝑃(𝑋(1) > 𝑥)

= 1 − 𝑃(𝑋1 > 𝑥 , 𝑋2 > 𝑥 , … , 𝑋𝑛 > 𝑥)


29

= 1 − [𝑃(𝑋1 > 𝑥)𝑃(𝑋2 > 𝑥)…𝑃(𝑋𝑛 > 𝑥)]

= 1 − [1 − 𝐹(𝑥)]𝑛.

Jadi, jika 𝑔(1)(𝑥) dinotasikan sebagai fungsi peluang dari 𝑋(1), dengan

menurunkan kedua sisi dari persamaan terakhir diatas, didapat,

𝑔(1)(𝑥) = 𝑛[1 − 𝐹(𝑥)]𝑛−1𝑓(𝑥).

F. Teorema Limit Pusat

Teorema 2.12

Misalkan 𝑋 dan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak dengan fungsi

pembangkit momen 𝑚(𝑡) dan 𝑚1(𝑡),𝑚2(𝑡),𝑚3(𝑡), … Jika

lim𝑛→∞

𝑚𝑛(𝑡) = 𝑚(𝑡), ∀𝑡 ∈ ℝ

Maka fungsi distribusi dari 𝑋𝑛 konvergen ke fungsi distribusi 𝑋 saat 𝑛 →

∞.

Bukti :

Bukti terdapat pada buku Williams, David. (1991). Probability With

Martingales. New York: Cambridge University Press. Halaman 185.

Teorema 2.13

Diketahui 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 bersifat saling bebas dan variabel acak berdistribusi

identik dengan 𝐸(𝑋𝑖) = 𝜇 dan 𝑉(𝑋𝑖) = 𝜎2 < ∞. Didefinisikan

𝑈𝑛 =∑ 𝑋𝑖 − 𝑛𝜇𝑛𝑖=1

𝜎√𝑛=�� − 𝜇

𝜎/√𝑛

dimana

�� =1

𝑛∑𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

Kemudian, fungsi distribusi dari 𝑈𝑛 konvergen menuju fungsi distribusi

Normal standar dengan 𝑛 →∞. Dengan kata lain

lim𝑛→∞

𝑃(𝑈𝑛 ≤ 𝑢) = ∫1

√2𝜋

𝑢

−∞

𝑒−𝑡2

2

untuk setiap nilai 𝑢.


30

Bukti :

Misalkan

𝑈𝑛 = √𝑛(�� − 𝜇

𝜎)

=1

√𝑛(∑

𝑋𝑖𝑛 − 𝑛𝜇

𝑛𝑖=1

𝜎)

=1

√𝑛(∑𝑍𝑖

𝑛

𝑖=1

)

dengan 𝑍𝑖 =𝑋𝑖−𝜇

𝜎

Karena variabel acak 𝑋𝑖 saling bebas dan berdistribusi identik, maka 𝑍𝑖, 𝑖 =

1,2, … , 𝑛 juga berdistribusi identik dengan 𝐸(𝑍𝑖) = 0 dan 𝑉(𝑍𝑖) = 1.

Karena fungsi pembangkit momen dari jumlahan variabel acak adalah

perkalian dari masing-masing fungsi pembangkit momennya, maka

𝑚∑𝑧𝑖(𝑡) = 𝑚𝑧1

(𝑡) × 𝑚𝑧2(𝑡) × …×𝑚𝑧𝑛

(𝑡)

= [𝑚𝑧1(𝑡)]

𝑛.

Selanjutnya akan dicari fungsi pembangkit momen untuk 𝑈𝑛 ,

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = 𝐸 (𝑒

𝑡1

√𝑛∑𝑍𝑖)

= 𝐸 (𝑒𝑡

√𝑛∑𝑍𝑖)

= 𝑚𝑍𝑖(𝑡

√𝑛)

= [𝑚𝑍1 (𝑡

√𝑛)]𝑛

Deret Taylor dari 𝑚𝑍1(𝑡) adalah

𝑚𝑍1(𝑡) = 𝑚𝑍1

(0) + 𝑚′𝑍1(0)𝑡 + 𝑚𝑍1

(𝜉)𝑡2

2 , 0 < 𝜉 < 𝑡.

Karena 𝑚𝑍1(0) = 𝐸(𝑒0𝑍1) = 𝐸(1) = 1 dan 𝑚′𝑍1(0) = 𝐸(𝑍1) = 0, maka

𝑚𝑍1(𝑡) = 1 +

𝑚"𝑧1(𝜉)

2 𝑡2 , 0 < 𝜉 < 𝑡.


31

Sehingga

𝑚𝑈𝑛(𝑡) =

[

1 +𝑚"𝑧1(𝜉𝑛)

2

(𝑡

√𝑛)2

2

] 𝑛

= [1 +𝑚"𝑧1(𝜉𝑛)

𝑡2

2𝑛

]

𝑛

, 0 < 𝜉𝑛 <𝑡

√𝑛 .

Ketika 𝑛 → ∞ , maka 𝜉𝑛 → 0 , sehingga

𝑚"𝑧1(𝜉𝑛)𝑡2

2→ 𝑚"𝑧1(0)

𝑡2

2

Karena 𝐸(𝑍12) = 𝑉(𝑍1) = 1, maka

𝑚"𝑧1(0)𝑡2

2=𝑡2

2𝐸(𝑍1

2) =𝑡2

2(𝑉(𝑍1 − [𝐸(𝑍1)]

2) =𝑡2

2 .

Jika lim𝑛→∞

𝑏𝑛 = 𝑏 , maka lim𝑛→∞

(1 +𝑏𝑛

𝑛)𝑛

= 𝑒𝑏 .

Sehingga

lim𝑛→∞

𝑚𝑈𝑛 = lim𝑛→∞

[1 +𝑚"𝑧1(𝜉𝑛)

𝑡2

2𝑛

]

𝑛

= 𝑒𝑡2

2 .

𝑒𝑡2

2 merupakan fungsi pembangkit momen bagi distribusi Normal Standar.

Menurut Teorema 2.12 Dapat disimpulkan bahwa 𝑈𝑛 memiliki fungsi

peluang yang konvergen ke fungsi peluang Normal Standar.

G. Estimasi Parameter Fungsi Distribusi

Definisi 2.25

Sebuah penduga (estimator) adalah aturan yang biasanya dalam bentuk

rumus untuk menghitung nilai dari suatu dugaan berdasarkan pengukuran-

pengukuran yang terkandung dalam sampel.


32

Contoh 2.9

Rata-rata sampel yang diperoleh dari 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dinyatakan dalam rumus

�� =1

𝑛∑𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

Rata-rata �� adalah salah satu penduga titik dari rata-rata populasi 𝜇.

Definisi 2.26 Metode Kemungkinan Maksimum

Misalkan fungsi kemungkinan bergantung pada 𝑘 buah parameter

𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘. Metode kemungkinan maksimum bertujuan memilih penduga

nilai-nilai dari parameter sedemikian hingga memaksimalkan fungsi

kemungkinan berupa

𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛|𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘).

Contoh 2.10

Sebuah eksperimen Binomial terdiri dari 𝑛 percobaan dengan hasil

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dengan 𝑥𝑖 = 1 jika percobaan ke-𝑖 sukses dan 𝑥𝑖 = 0 jika

percobaan ke-𝑖 gagal. Tentukan penduga kemungkinan maksimum bagi 𝑝

yang dinotasikan sebagai peluang suatu keberhasilan.

Jawab :

Fungsi kemungkinan dari sampel adalah peluang dari 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ,

sehingga

𝐿(𝑝) = 𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛|𝑝) = 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

dengan 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 .

Jika 𝑥 = 0, maka 𝐿(𝑝) = (1 − 𝑝)𝑛 dan 𝐿(𝑝) akan maksimum jika 𝑝 = 0.

dan 𝐿(𝑝) akan maksimum jika 𝑝 = 1. Untuk mempermudah perhitungan,

dilakukan tranformasi ln pada kedua sisi persamaan, sehingga diperoleh :


33

𝑙𝑛[𝐿(𝑝)] = 𝑙𝑛[𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑥]

= 𝑥 ln 𝑝 + (𝑛 − 𝑥) ln(1 − 𝑝)

Jika 𝑥 = 1,2, … , 𝑛 − 1, maka turunan dari ln[𝐿(𝑝)] terhadap 𝑝 dapat ditulis

sebagai berikut :

𝑑 𝑙𝑛[𝐿(𝑝)]

𝑑𝑝= 𝑥 (

1

𝑝) + (𝑛 − 𝑥)

−1

1 − 𝑝 .

Untuk 𝑥 = 1,2, … , 𝑛 − 1 , nilai 𝑝 yang memaksimalkan ln[𝐿(𝑝)] adalah

penyelesaian dari persamaan berikut :

𝑥

��−𝑛 − 𝑥

1 − ��= 0

𝑥 − 𝑛��

��(1 − ��)= 0

Penyelesaian dari persamaan diatas adalah 𝑥 − 𝑛�� = 0, sehingga didapat

�� =𝑥

𝑛 yang merupakan penduga bagi 𝑝.

Definisi 2.27 Metode Momen

Diketahui bahwa momen dengan urutan 𝑘 pada variabel acak dapat ditulis

berupa :

𝜇′𝑘 = 𝐸(𝑋𝑘).

Koresponden dari sampel momen urutan 𝑘 adalah rata-rata dengan bentuk

sebagai berikut :

𝑚𝑘′ =

1

𝑛∑𝑋𝑖

𝑘

𝑛

𝑖=1

Kemudian metode momen dilakukan dengan memilih estimasi pada nilai

parameter dimana estimasi tersebut merupakan solusi dari persamaan 𝜇′𝑘 =

𝑚𝑘′ untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑡, dimana 𝑡 adalah banyaknya parameter yang akan

diestimasi.

.


34

Contoh 2.11

Sampel acak dari 𝑛 pengamatan, 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dipilih dari populasi dimana

𝑋𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 memiliki fungsi peluang uniform pada interval (0, 𝜃)

dimana 𝜃 tidak diketahui. Gunakan metode momen untuk mengestimasi

parameter 𝜃.

Jawab :

Nilai dari 𝜇′1 untuk variabel acak uniform adalah

𝜇′1 = 𝜇 =𝜃

2 .

Koresponden dari sampel momen pertama adalah

𝑚′1 =1

𝑛∑𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

= ��

Kemudian dibuat persamaan antara koresponden populasi dan sampel

momen, sehingga didapat

𝜇′1 =𝜃

2= ��

Dengan metode momen untuk mengestimasi parameter 𝜃 didapat 𝜃 = 2��.

H. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik

Definisi 2.28

Misalkan 𝜃 adalah penduga titik dari parameter 𝜃, maka 𝜃 adalah penduga

tak bias jika 𝐸(𝜃) = 𝜃.

Definisi 2.29

Bias dari penduga titik 𝜃 didefinisikan sebagai 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃.

Definisi 2.30

Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik 𝜃 adalah


35

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2] .

Rata-Rata Kuadrat Galat dari sebuah penduga 𝜃 adalah fungsi dari variansi

dan biasnya.

Teorema 2.14

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2

Bukti :

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2]

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃) + 𝐸(𝜃) − 𝜃)2]

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2

+ 2(𝜃 − 𝐸(𝜃)) (𝐸(𝜃) − 𝜃) + (𝐸(𝜃) − 𝜃)2]

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2

] + 𝐸 [2 (𝜃 − 𝐸(𝜃)) (𝐸(𝜃) − 𝜃)] + 𝐸 [(𝐸(𝜃) − 𝜃)2]

Karena 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃 yang merupakan nilai konstanta, maka dapat

ditulis:

𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2

] + 𝐸 [2 (𝜃 − 𝐸(𝜃)) (𝐸(𝜃) − 𝜃)] + 𝐸 [(𝐸(𝜃) − 𝜃)2]

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2

] + 2(𝐸(𝜃) − 𝜃)𝐸[𝜃 − 𝐸(𝜃)] + (𝐸(𝜃) − 𝜃)2

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2

] + 2(𝐸(𝜃) − 𝜃) (𝐸(𝜃) − 𝐸(𝜃)) + (𝐵(𝜃))2

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2

] + (𝐵(𝜃))2

= 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2

Terbukti bahwa 𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2


36

BAB III

DISTRIBUSI PARETO

A. Sejarah Distribusi Pareto

Titik awal dalam diskusi tentang distribusi Pareto dan distribusi

yang mirip dengan Pareto adalah buku Ekonomi yang ditulis oleh Vilfredo

Pareto yang diterbitkan di Roma pada tahun 1897. Dari buku tersebut,

Pareto melakukan suatu observasi tentang jumlah penduduk dalam populasi

penduduk yang memiliki pendapatan lebih dari suatu nilai tertentu dan

membentuk suatu aproksimasi yang disebut dengan distribusi Pareto klasik.

Observasi yang dilakukan Pareto menunjukkan suatu fakta bahwa distribusi

pendapatan bersifat memiliki ekor panjang (heavy tail). Distribusi Pareto

dan beberapa distribusi lain yang erat hubungannya dengan Pareto sangat

fleksibel dengan suatu keluarga dari distribusi ekor panjang (heavy-tailed

distribution) yang dapat digunakan sebagai model distribusi pendapatan

serta berbagai macam distribusi sosial dan ekonomi lainnya. Pengembangan

dan penyempurnaan dari model Pareto akan berpengaruh dalam meneliti

sifat ketidakmerataan pada pendapatan dalam populasi penduduk. (Barry,

2015).

B. Model Distribusi Pareto

Definisi 3.1

Fungsi distribusi kumulatif Pareto dari variabel acak 𝑋 dapat didefinisikan

sebagai berikut :

𝐹(𝑥) =

{

1 − ( 𝑘

𝑥)𝑎

, 𝑥 > 𝑘

0, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎.

dengan parameter 𝑎, 𝑘 ∈ ℝ, 𝑎 > 0 dan 𝑘 > 0.


37

Gambar 3.1 Plot fungsi distribusi kumulatif Pareto 𝐹(𝑥) dengan 𝑘 = 1

dan variasi nilai 𝑎, yaitu 𝑎 = 1 dengan grafik warna merah, 𝑎 = 2 dengan

grafik warna biru dan 𝑎 = 3 dengan grafik warna hijau (dihasilkan oleh

perangkat lunak R yang dilampirkan pada lampiran A.1).

Gambar 3.2 Plot fungsi distribusi kumulatif Pareto 𝐹(𝑥) dengan 𝑎 = 1

dan variasi nilai 𝑎, yaitu 𝑘 = 1 dengan grafik warna merah, 𝑘 = 2 dengan

grafik warna biru dan 𝑘 = 3 dengan grafik warna hijau (dihasilkan oleh



38

Teorema 3.1

Suatu variabel acak berdistribusi Pareto dengan parameter 𝑎, 𝑘 > 0 jika

fungsi peluangnya

𝑓(𝑥) = {

𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑎+1 , 𝑥 > 𝑘


Bukti :

𝑓(𝑥) = 𝑑(𝐹(𝑥))

𝑑𝑥= 𝐹′(𝑥)

= −(−𝑎)𝑥−𝑎−1 𝑘𝑎

= 𝑎𝑥−(𝑎+1) 𝑘𝑎 =𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑎+1

fungsi 𝑓(𝑥) di atas adalah fungsi peluang karena memenuhi sifat sebagai

berikut :

1. Fungsi 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua x, −∞ < 𝑥 < ∞.

2. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1∞

−∞

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

= ∫𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑎+1 𝑑𝑥

∞

𝑘

= 𝑎𝑘𝑎 ∫ 𝑥−𝑎−1 𝑑𝑥∞

𝑘

= 𝑎𝑘𝑎 lim𝑙→∞

∫ 𝑥−𝑎−1 𝑑𝑥𝑙

𝑘


[𝑥−𝑎

−𝑎]𝑘

𝑙

=𝑎𝑘𝑎

−𝑎 [lim𝑙→∞

(𝑙−𝑎 − 𝑘−𝑎)]

= −𝑘𝑎 [−𝑘−𝑎]

= −𝑘𝑎 (−1

𝑘𝑎 ) = 1


39

Gambar 3.3 Plot fungsi peluang pareto 𝑓(𝑥) dengan 𝑘 = 1 dan variasi

nilai 𝑎, yaitu 𝑎 = 1 dengan grafik warna merah, 𝑎 = 2 dengan grafik

warna biru dan 𝑎 = 3 dengan grafik warna hijau (dihasilkan oleh


Gambar 3.4 Plot fungsi peluang pareto 𝑓(𝑥) dengan 𝑎 = 1 dan variasi

nilai 𝑘, yaitu 𝑘 = 1 dengan grafik warna merah, 𝑘 = 2 dengan grafik

warna biru dan 𝑘 = 3 dengan grafik warna hijau (dihasilkan oleh



40

Teorema 3.2

Nilai rata-rata 𝐸[𝑋] dari distribusi Pareto ada jika 𝑎 > 1 dan

𝐸[𝑋] =𝑎

𝑎 − 1 𝑘

Bukti :

𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑥𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑎+1 𝑑𝑥

∞

𝑘

= 𝑎𝑘𝑎∫ 𝑥−𝑎 𝑑𝑥∞

𝑘


∫ 𝑥−𝑎 𝑑𝑥𝑙

𝑘


[𝑥−𝑎+1

−𝑎 + 1]𝑘

𝑙

=𝑎𝑘𝑎

−𝑎 + 1 [lim𝑙→∞

(𝑙−𝑎+1 − 𝑘−𝑎+1)]

=𝑎𝑘𝑎

−𝑎 + 1 [−𝑘−𝑎+1]

= 𝑎𝑘𝑎𝑘−𝑎+1

𝑎 − 1

=𝑎𝑘

𝑎 − 1 , 𝑎 > 1

Teorema 3.3

Nilai Variansi dari distribusi Pareto ada jika 𝑎 > 2, yaitu :

𝑣𝑎𝑟(𝑋) =𝑎

(𝑎 − 1)2(𝑎 − 2)𝑘2

Bukti :

Dicari 𝐸[𝑋2] dari distribusi Pareto dengan perhitungan sebagai berikut :


41

𝐸[𝑋2] = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑥2𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑎+1

∞

𝑘

𝑑𝑥

= 𝑎𝑘𝑎∫ 𝑥−𝑎+1 𝑑𝑥∞

𝑘


∫ 𝑥−𝑎+1 𝑑𝑥𝑙

𝑘


[𝑥−𝑎+2

−𝑎 + 2]𝑘

𝑙

=𝑎𝑘𝑎

−𝑎 + 2 [lim𝑙→∞

(𝑙−𝑎+2 − 𝑘−𝑎+2)]

=𝑎𝑘𝑎

−𝑎 + 2 [−𝑘−𝑎+2]


𝑎 − 2

=𝑎𝑘2

𝑎 − 2

Selanjutnya dicari 𝑉𝑎𝑟(𝑋) dengan perhitungan sebagai berikut :

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋2] − 𝐸[𝑋]2


𝑎 − 2− (

𝑎𝑘

𝑎 − 1 )2

=𝑎𝑘2(𝑎 − 1)2 − 𝑎2𝑘2(𝑎 − 2)

(𝑎 − 1)2(𝑎 − 2)

=𝑎𝑘2((𝑎 − 1)2 − 𝑎(𝑎 − 2))

(𝑎 − 1)2(𝑎 − 2)

=𝑎𝑘2((𝑎2 − 2𝑎 + 1) − (𝑎2 − 2𝑎))

(𝑎 − 1)2(𝑎 − 2)

=𝑎𝑘2

(𝑎 − 1)2(𝑎 − 2) , 𝑎 > 2


42

Teorema 3.4 (Derivatif dari Distribusi Eksponensial menuju Distribusi

Pareto)

Jika 𝑌 berdistribusi eksponensial dengan intensitas 𝑎, maka 𝑥 = 𝑢𝑒𝑦

berdistribusi Pareto.

Bukti :

Dengan metode perubahan variabel, didapat :

𝑃(𝑋 < 𝑥)

= 𝑃(𝑋 < 𝑢𝑒𝑦)

= 𝑃 (𝑋

𝑈< 𝑒𝑦)

= 𝑃 (𝑒𝑦 <𝑥

𝑢)

= 𝑃 (ln 𝑒𝑦 < 𝑙𝑛 𝑥

𝑢)

= 𝑃 (𝑦 < ln𝑥

𝑢)

Berdasarkan Teorema 2.4, fungsi distribusi kumulatif dari distribusi

Eksponensial adalah 1 − 𝑒−𝑦𝑎. Melalui substitusi pada fungsi peluang

diatas, didapat :

𝐹(𝑦) = 1 − 𝑒−𝑦𝑎

= 1 − 𝑒−𝑎 ln𝑥𝑢

= 1 − 𝑒−(ln𝑥𝑢)𝑎

= 1 − (𝑥

𝑢)𝑎

yang merupakan distribusi Pareto dengan parameter (𝑥, 𝑎).

C. Estimasi Parameter Distribusi Pareto

1. Metode Kemungkinan Maksimum

Fungsi kemungkinan maksimum 𝐿 untuk distribusi Pareto adalah

sebagai berikut :


43

𝐿(𝑘, 𝑎|𝑥) = ∏𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑖𝑎+1

𝑛

𝑖=1

= 𝑎𝑛𝑘𝑛𝑎 ∑𝑥𝑖−(𝑎+1)

𝑛

𝑖=1

; 0 < 𝑘 ≤ min{𝑥𝑖} , 𝑎 > 0

Pendugaan dengan metode kemungkinan maksimum untuk 𝑘 dan 𝑎

dilakukan dalam bentuk nilai dari 𝑘 dan 𝑎 agar menghasilkan 𝐿 sebesar

mungkin dari data yang dimiliki. Memaksimumkan 𝐿 dapat dilakukan

dengan menetapan nilai 𝑘 sedemikian hingga 𝑘 tidak lebih besar

daripada nilai terkecil dari 𝑥 pada suatu data, sehingga dapat ditulis :

�� = min{𝑥𝑖}

Untuk memaksimumkan 𝐿 dilakukan tranformasi dengan ln 𝐿 karena

fungsi logaritma adalah fungsi bijektif dengan nilai 𝑎 yang

memaksimumkan 𝐿 sekaligus memaksimumkan ln 𝐿, sehingga dapat

ditulis :

𝑙𝑛 𝐿(𝑘, 𝑎|𝑥) =∑ln

𝑛

𝑖=1

(𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑖𝑎+1 )

= 𝑛 𝑙𝑛(𝑎) + 𝑎𝑛 ln(k) − (𝑎 + 1)∑ln(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

Kemudian turunan terhadap 𝑎 dari 𝐿𝑛 𝐿 dibuat sama dengan 0 untuk

memaksimumkan L, sehingga didapat :

𝑑 𝑙𝑛 𝐿(𝑘, 𝑎|𝑥)

𝑑𝑎=𝑛

��+ 𝑛 ln(𝑘) −∑ln(𝑥𝑖) = 0

𝑛

𝑖=1

𝑛

��=∑ln(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

− 𝑛 ln(𝑘)

1

��=∑ ln(𝑥𝑖) 𝑛𝑖=1 − 𝑛 ln(𝑘)

𝑛

�� = 𝑛

∑ ln(𝑥𝑖) 𝑛𝑖=1 − 𝑛 ln(𝑘)

Jadi �� adalah penduga kemungkinan maksimum dari 𝑎.


44

2. Metode Momen

Jika diketahui 𝑋 berdistribusi Pareto (𝑘, 𝑎), maka didapat nilai rata-rata

berupa 𝐸(𝑋). Proses menentukan estimasi dari 𝑎 dengan metode momen

adalah sebagai berikut :

Nilai dari 𝜇′1 untuk variabel acak berdistribusi Pareto adalah

𝜇′1 = 𝐸(𝑋) =𝑎𝑘

𝑎 − 1 .

Koresponden dari sampel momen pertama adalah

𝑚′1 =1

𝑛∑𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

= ��.

Kemudian dibuat persamaan dengan 𝜇′1 = 𝑚′1, sehingga didapat

𝐸(𝑋) = 1

𝑛∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

�� =𝑎𝑘

𝑎 − 1

𝑎𝑘 = ��𝑎 − ��

�� = ��𝑎 − 𝑎𝑘

�� = 𝑎(�� − 𝑘)

sehingga didapat penduga momen dari 𝑎, yaitu

𝑎�� = ��

�� − 𝑘

yang bergantung pada 𝑘.

Namun karena nilai 𝑘 tidak diketahui, maka penduga 𝑎�� diatas tidak

bisa dijadikan penduga bagi 𝑎. Petersen (2000) mulai memodifikasi

metode momen, yaitu jika rata-rata sampel sama dengan nilai harapan

dari distribusi Pareto dan jika 𝑥1 adalah sampel minimum yang

ditetapkan bernilai sama dengan nilai harapan dari nilai minimum dari

sampel berukuran 𝑛 yang berdistribusi Pareto (𝑘, 𝑎), maka didapat dua

persamaan, yaitu :

�� =𝑎𝑘

𝑎 − 1


45

dan

𝑥1 =𝑛𝑎𝑘

𝑛𝑎 − 1

Persamaan kedua didapat dengan metode statistik terurut (order

statistics), yaitu :

Dicari fungsi peluang dari sampel minimum 𝑥1 yang berdistribusi

Pareto. Jika fungsi peluang dari 𝑥1 dinotasikan sebagai 𝑔(1)(𝑥), maka

dengan metode statistik terurut (order statistics) didapat :

𝑔(1)(𝑥) = 𝑛[1 − 𝐹(𝑥)]𝑛−1𝑓(𝑥)

dengan 𝐹(𝑥) adalah fungsi distribusi kumulatif Pareto dan 𝑓(𝑥) adalah

fungsi peluang dari distribusi Pareto. Jadi didapat :

𝑔(1)(𝑥) = 𝑛 [1 − (1 − ( 𝑘

𝑥)𝑎

)]

𝑛−1𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑎+1

=𝑛𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑎+1[( 𝑘

𝑥)𝑎

]

𝑛−1

= 𝑛𝑎𝑘𝑎𝑥−(𝑎+1)𝑘𝑎(𝑛−1)𝑥−𝑎(𝑛−1)

= 𝑛𝑎𝑘𝑎+𝑎𝑛−𝑎𝑥−𝑎−1−𝑎𝑛+𝑎

= 𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛𝑥−𝑎𝑛−1.

Kemudian dari fungsi peluang 𝑔(1)(𝑥) yang didapat, dicari nilai

harapan dari nilai minimum dari sampel berukuran 𝑛 yang berdistribusi

Pareto dengan 𝐸[𝑋(1)] = 𝑥1 dengan perhitungan sebagai berikut :

𝑥1 = ∫ 𝑥 𝑔(1)(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑥 (𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛𝑥−𝑎𝑛−1) 𝑑𝑥∞

𝑘

= 𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛∫ 𝑥−𝑎𝑛 𝑑𝑥∞

𝑘

= 𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 [ 𝑥−𝑎𝑛+1

−𝑎𝑛 + 1 ]

𝑥 = ∞

𝑥 = 𝑘


46

= 𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 [0 −𝑘−𝑎𝑛+1

−𝑎𝑛 + 1]

= 𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛𝑘−𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 − 1

=𝑛𝑎𝑘

𝑛𝑎 − 1 .

Jadi didapat

𝑥1 =𝑛𝑎𝑘

𝑛𝑎 − 1

Gunakan kedua persamaan untuk menghasilkan penduga dari 𝑎 dan 𝑘

dengan penyelesaian sebagai berikut :

�� =𝑎𝑘

𝑎 − 1

𝑘 =(𝑎 − 1)��

𝑎

Substitusi persamaan 𝑘 diatas ke dalam persamaan 𝑥1, yaitu :

𝑥1 =𝑛𝑎𝑘

𝑛𝑎 − 1

𝑥1 =𝑛𝑎 (

(𝑎 − 1)��𝑎 )

𝑛𝑎 − 1

𝑥1 = 𝑛��(𝑎 − 1)

𝑛𝑎 − 1

𝑛𝑎𝑥1 − 𝑥1 = 𝑛𝑎�� − 𝑛��

𝑛𝑎�� − 𝑛𝑎𝑥1 = 𝑛�� − 𝑥1

𝑎(𝑛�� − 𝑛𝑥1) = 𝑛�� − 𝑥1

sehingga didapat penduga momen dari 𝑎, yaitu :

𝑎�� = 𝑛�� − 𝑥1𝑛(�� − 𝑥1)

Karena 𝑎 dapat diestimasi berdasarkan nilai harapan dari distribusi

Pareto dan sampel minimum 𝑥1, maka penduga dari 𝑘 juga dapat

ditentukan, yaitu dari persamaan 𝑥1 didapat :

𝑘�� =(𝑛𝑎�� − 1)𝑥1

𝑛𝑎�� .


47

D. Distribusi Pareto Sebagai Anggota Keluarga Distribusi Eksponensial

Teorema 3.5

Distribusi Pareto tergolong dalam distribusi keluarga Eksponensial sebagai

fungsi peluang yang berbentuk :

𝑓(𝑥) = 𝐶(𝜃) 𝑒𝑥𝑝 [∑𝑄𝑖(𝜃)𝑡𝑖(𝑥)

𝑛

𝑖=1

] ℎ(𝑥),

dengan

𝜃 = 𝑎

𝐶(𝜃) = 𝑎𝑘𝑎

𝑄𝑖(𝜃) = −(𝑎 + 1)

𝑡𝑖(𝑥) = ln 𝑥

ℎ(𝑥) = 1

Bukti :

Dimisalkan 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) adalah sampel acak dari distribusi Pareto.

Berdasarkan fungsi peluang distribusi Pareto pada teorema 3.1, didapat

perhitungan sebagai berikut :

𝑓(𝑥) =𝑎𝑘𝑎

𝑥𝑖𝑎+1 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

= 𝑎𝑘𝑎

𝑒𝑥𝑝[(𝑎 + 1) ln 𝑥𝑖 ]

= 𝑎𝑘𝑎𝑒𝑥𝑝[−(𝑎 + 1) ln 𝑥𝑖]

= 𝐶(𝜃) 𝑒𝑥𝑝 [∑𝑄𝑖(𝜃)𝑡𝑖(𝑥)

𝑛

𝑖=1

] ℎ(𝑥)

dengan

𝜃 = 𝑎

𝐶(𝜃) = 𝑎𝑘𝑎

𝑄𝑖(𝜃) = −(𝑎 + 1)

∑𝑡𝑖(𝑥)

𝑛

𝑖=1

= ln 𝑥𝑖

ℎ(𝑥) = 1


48

Jadi, menurut definisi 2.24 tentang distribusi keluarga eksponensial,

distribusi Pareto tergolong dalam distribusi keluarga eksponensial.

E. Parameter Tunggal pada Distribusi Pareto

Berdasarkan Definisi 3.1, distribusi Pareto memiliki dua parameter,

yaitu 𝑎 dan 𝑘. Umumnya, kedua parameter tersebut sudah diestimasi dari

data dengan 𝑘 didefinisikan sebagai batas bawah dari data yang ada.

Meskipun terdapat kasus tertentu dimana nilai 𝑘 harus diestimasi, dalam

pengaplikasian untuk semua asuransi, nilai 𝑘 akan dipilih terlebih dahulu

untuk memodelkan kerugian (loss) dimana nilainya sudah melebihi batas

yang sudah ditentukan dari ukuran (size) yang sudah dipilih sebelumnya.

Jika suatu data dinormalisasi, yaitu membagi setiap data dengan

batas bawah yang telah dipilih, maka batas bawah dari data yang

dinormalisasi tersebut bernilai 1 (𝑘 = 1) dan parameter yang ada tidak perlu

dinyatakan secara eksplisit. Jadi, fungsi kumulatif distribusi Pareto dari

Normalisasi pada data dengan parameter tunggal 𝑎 dapat ditulis sebagai

berikut :

𝐹(𝑥) = 1 − 𝑥−𝑎 , 𝑎 > 0

dan fungsi peluang dari distribusi Pareto dengan parameter tunggal 𝑎 adalah

:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−(𝑎+1)

Nilai rata-rata dari distribusi Pareto dengan parameter tunggal 𝑎 adalah :

𝐸(𝑋) =𝑎

𝑎 − 1 , 𝑎 > 1

F. Estimasi Parameter Tunggal pada Distribusi Pareto

Dimisalkan sebuah himpunan berisi data sebanyak 𝑛 dimana setiap

datanya lebih dari atau sama dengan 𝐾 yang dapat dinormalisasi dengan

membagi setiap data yang ada dengan 𝐾. Dinotasikan himpunan data

dengan (𝑋𝑖), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Estimasi parameter tunggal 𝑎 pada distribusi

Pareto berdasarkan metode kemungkinan maksimum adalah :

�� =𝑛

∑ ln 𝑥𝑖


49

dan alternatif rumus estimasi parameter tunggal 𝑎 adalah :

�� =𝑛

ln∏𝑥𝑖

dengan 𝑥𝑖 adalah data yang sudah dinormalisasi. Kedua rumus diatas

bersifat ekuivalen atau memiliki nilai yang hampir sama (Philbrick, 1985).

Estimasi parameter tunggal 𝑎 pada distribusi Pareto juga dapat

dilakukan dengan metode momen, yaitu dengan menentukan nilai rata-rata

dari data yang sudah dinormalisasi, didapat :

𝑎�� = 𝑥��

𝑥�� − 1 .

Contoh 3.1 :

Disimulasikan 25 data pseudo-random kerugian dari distribusi pareto

dengan 𝑎 = 1 dan batas bawahnya sebesar $25.000. Berikut tabel data

mengenai besarnya kerugian beserta Normalisasinya (Philbrick, 1985):

Tabel 3.1 Simulasi Data Kerugian dan Normalisasinya

No Besarnya Kerugian Normalisasi Besarnya

Kerugian

1 69.976 2,799

2 62.913 2,517

3 25.766 1,031

4 39.800 1,592

5 97.739 3,910

6 36.356 1,454

7 139.665 5,587

8 34.749 1,390

9 45.716 1,829

10 96.353 3,854

11 1.847.213 73,889

12 25.231 1,009

13 48.057 1,922

14 31.744 1,270

15 98.882 3,955

16 209.031 8,361

17 214.700 8,588

18 396.323 15,853


50

19 32.772 1,311

20 45.190 1,808

21 32.044 1,282

22 55.843 2,234

23 99.601 3,984

24 29.900 1,196

25 60.463 2,419

Berdasarkan contoh 3.1 diatas, estimasi parameter dari 𝑎 adalah :

�� =𝑛

∑ ln 𝑥𝑖=

25

26,16= 0,955

Estimasi parameter juga dapat dilakukan dengan metode momen yaitu dengan

menggunakan rumus rata-rata distribusi Pareto untuk data yang dinormalisasi. Jika

rumus tersebut sama dengan rata-rata sampel pada Contoh 3.1, maka didapat :

𝑎�� = 𝑥��

𝑥�� − 1=

6,202

6,202 − 1

𝑎�� = 1,192.

Contoh 3.2 :

Berikut 40 data kerugian akibat bencana terkait angin topan di Andhra Pradesh

India pada tahun 1977 beserta Normalisasinya :

Tabel 3.2 Data Kerugian Akibat Bencana Angin Topan Tahun 1977

No Besarnya Kerugian Normalisasi

1 2.000.000 1

2 2.000.000 1

3 2.000.000 1

4 2.000.000 1

5 2.000.000 1

6 2.000.000 1

7 2.000.000 1

8 2.000.000 1

9 2.000.000 1

10 2.000.000 1


51

11 2.000.000 1

12 2.000.000 1

13 3.000.000 1,5

14 3.000.000 1,5

15 3.000.000 1,5

16 3.000.000 1,5

17 4.000.000 2

18 4.000.000 2

19 4.000.000 2

20 5.000.000 2,5

21 5.000.000 2,5

22 5.000.000 2,5

23 5.000.000 2,5

24 6.000.000 3

25 6.000.000 3

26 6.000.000 3

27 6.000.000 3

28 8.000.000 4

29 8.000.000 4

30 9.000.000 4,5

31 15.000.000 7,5

32 17.000.000 8,5

33 22.000.000 11

34 23.000.000 11,5

35 24.000.000 12

36 24.000.000 12

37 25.000.000 12,5

38 27.000.000 13,5

39 32.000.000 16

40 43.000.000 21,5

Dari data diatas hanya terdapat klaim dengan nilai 2.000.000 atau lebih. Estimasi

𝑎 dengan metode kemungkinan maksimum adalah :

�� =𝑛

∑ ln 𝑥𝑖=

40

40,971= 0,976


52

Jika estimasi 𝑎 dilakukan dengan metode momen, maka didapat perhitungan

sebagai berikut :

𝑎�� = 𝑥��

𝑥�� − 1=

4,6125

4,6125 − 1

𝑎�� = 1,27.

G. Uji Kolmogorov-Smirnov

Uji Kolmogorov-Smirnov adalah salah satu dari uji kecocokan (goodness fit

test) dalam menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data (atau

variabel acak). Uji Kolmogorov-Smirnov hanya dapat digunakan untuk menguji

kecocokan suatu data dengan distribusi peluang kontinu seperti distribusi Normal,

Log-Normal, Eksponensial, Weibull, dll.

Uji Kolmogorov-Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data

berdistribusi Pareto atau tidak. Uji distribusi Pareto dengan Kolmogorov-Smirnov

dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Pareto.

Misalkan variabel acak kontinu yang saling bebas, yaitu 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 berasal dari

distribusi yang tidak diketahui 𝐹(𝑥) dan misalkan variabel acak terurut 𝑋𝑖 dengan

𝑛 data terurut, yaitu 𝑋(1), 𝑋(2), … , 𝑋(𝑛) dimana 𝑋(1) ≤ 𝑋(2) ≤ … ≤ 𝑋(𝑛). Akan

diuji hipotesis bahwa 𝐹(𝑥) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu 𝐹0(𝑥).

Untuk melakukan uji Kolmogorov-Smirnov diperlukan informasi dari sampel

dengan data asli untuk membentuk suatu distribusi empiris yang akan dibandingkan

dengan distribusi teoritis.

Untuk menguji hipotesis distribusi tertentu diperlukan rumusan hipotesis sebagai

berikut :

𝐻0: 𝐹(𝑥) = 𝐹0(𝑥)

untuk setiap 𝑥 dengan 𝐹0(𝑥) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan

𝐻1: 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0(𝑥)


53

Selanjutnya kriteria penolakan 𝐻0 didasarkan pada statistik uji, yaitu uji

Kolmogorov-Smirnov. Distribusi empiris dicari terlebih dahulu sebelum dilakukan

uji Kolmogorov-Smirnov.

Definisi 3.2

Fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥) didefinisikan sebagai berikut :

𝐹𝑛(𝑥) =𝑗

𝑛

untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.

Definisi 3.3

Statistik uji Kolmogorov-Smirnov 𝐷𝑛 didefinisikan sebagai berikut :

𝐷𝑛 = 𝑚𝑎𝑥(𝐷𝑛+, 𝐷𝑛

−)

dengan

𝐷𝑛+ = 𝑚𝑎𝑥 (𝐹𝑛(𝑥) − 𝐹0(𝑋(𝑗)))

𝐷𝑛− = 𝑚𝑎𝑥 (𝐹0(𝑋(𝑗)) − 𝐹𝑛−1(𝑥))

dengan

𝐹𝑛−1(𝑥) =𝑗 − 1

𝑛

Daerah kritis dalam pengujian hipotesis dengan uji Kolmogorov-Smirnov adalah

jika 𝐷𝑛 lebih dari 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dimana nilai 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 didapat pada lampiran C.3, maka 𝐻0

ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼.

Contoh 3.3

Diberikan data tekanan darah sistolik dari 30 orang dengan data sebagai berikut:


54

Tabel 3.3 Data Tekanan Darah Sistolik

No Tekanan Darah Sistolik

1 140

2 140

3 150

4 130

5 160

6 140

7 150

8 130

9 150

10 170

11 160

12 190

13 170

14 160

15 150

16 150

17 170

18 160

19 150

20 140

21 200

22 140

23 140

24 130

25 140

26 130

27 160

28 150

29 140

30 110

Selidikilah apakah data tekanan darah sistolik tersebut berdistribusi Normal atau

tidak dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov dengan tingkat signifikansi

𝛼 = 5%!

Jawab :


55

Langkah-langkah pengujian hipotesis distribusi Normal dengan uji Kolmogorov-

Smirnov adalah sebagai berikut :

1. H0 : data berdistribusi Normal

H1 : data tidak berdistribusi Normal

2. Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%. Jadi 𝛼 = 0.05.

3. Statistik Uji


−)

4. Hitunglah fungsi 𝐹0(𝑥) berdasarkan tabel 𝑍 distribusi Normal pada

lampiran C.2 dengan perhitungan 𝑍 adalah

𝑍 =𝑥𝑗 − ��

𝜎

5. Daerah keputusan :

H0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0,242. Nilai 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 didapat pada lampiran

C.3.

6. Perhitungan

Dilakukan perhitungan nilai 𝐷𝑛 dengan hasil sebagai berikut:

𝑗 𝑥𝑗 𝑍 𝐹0(𝑥𝑗) 𝐹𝑛(𝑥𝑗) 𝐹𝑛−1(𝑥𝑗) 𝐷𝑛+ 𝐷𝑛

−

1 110 -2,176 0,015 0,033 0,000 0,018 0,015

2 130 -1,088 0,140 0,067 0,033 -0,073 0,107

3 130 -1,088 0,140 0,100 0,067 -0,040 0,073

4 130 -1,088 0,140 0,133 0,100 -0,007 0,040

5 130 -1,088 0,140 0,167 0,133 0,027 0,007

6 140 -0,544 0,295 0,200 0,167 -0,095 0,128

7 140 -0,544 0,295 0,233 0,200 -0,061 0,095

8 140 -0,544 0,295 0,267 0,233 -0,028 0,061

9 140 -0,544 0,295 0,300 0,267 0,005 0,028

10 140 -0,544 0,295 0,333 0,300 0,039 -0,005

11 140 -0,544 0,295 0,367 0,333 0,072 -0,039

12 140 -0,544 0,295 0,400 0,367 0,105 -0,072

13 140 -0,544 0,295 0,433 0,400 0,139 -0,105

14 150 0,000 0,500 0,467 0,433 -0,033 0,067


56


−) = 0,167

7. Kesimpulan

Karena 𝐷𝑛 = 0,167 ≤ 0,242 , maka H0 diterima. Jadi data sistolik

berdistribusi normal.

Gambar 3.5 Grafik fungsi distribusi Normal dan fungsi empiris dengan 𝐹0(𝑥𝑗)

pada garis merah, 𝐹𝑛(𝑥𝑗) pada garis hijau, dan 𝐹𝑛−1(𝑥𝑗) pada garis biru

(dihasilkan oleh perangkat lunak R yang dilampirkan pada lampiran A.3).

15 150 0,000 0,500 0,500 0,467 0,000 0,033

16 150 0,000 0,500 0,533 0,500 0,033 0,000

17 150 0,000 0,500 0,567 0,533 0,067 -0,033

18 150 0,000 0,500 0,600 0,567 0,100 -0,067

19 150 0,000 0,500 0,633 0,600 0,133 -0,100

20 150 0,000 0,500 0,667 0,633 0,167 -0,133

21 160 0,544 0,705 0,700 0,667 -0,005 0,039

22 160 0,544 0,705 0,733 0,700 0,028 0,005

23 160 0,544 0,705 0,767 0,733 0,061 -0,028

24 160 0,544 0,705 0,800 0,767 0,095 -0,061

25 160 0,544 0,705 0,833 0,800 0,128 -0,095

26 170 1,088 0,860 0,867 0,833 0,007 0,027

27 170 1,088 0,860 0,900 0,867 0,040 -0,007

28 170 1,088 0,860 0,933 0,900 0,073 -0,040

29 190 2,176 0,985 0,967 0,933 -0,018 0,052

30 200 2,720 0,997 1,000 0,967 0,003 0,030

Maksimum 0,167 0,128


57

Selanjutnya diverifikasi dengan menggunakan perangkat lunak R

1. H0 : data berdistribusi Normal

H1 : data tidak berdistribusi Normal

2. Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%. Jadi 𝛼 = 0,05.

3. Statistik Uji

Statistik uji dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smirnov pada perangkat

lunak R didefinisikan dengan program sebagai berikut :

ks.test(Tekanan_Darah_Sistolik,"pnorm",mean=mean(Tekanan_Dara

h_Sistolik),sd=sd(Tekanan_Darah_Sistolik)

4. Wilayak kritis

H0 ditolak jika nilai 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼

5. Perhitungan

Hasil pengujian data pada perangkat lunak R diperoleh nilai 𝐷 =

0.16667 dan 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.3752.

6. Kesimpulan

Karena 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼, maka H0 diterima. Jadi data tekanan darah

sistolik berdistribusi Normal (sama dengan kesimpulan sebelumnya).

> ks.test(Tekanan_Darah_Sistolik,"pnorm",mean=mean(Tekanan_

Darah_Sistolik),sd=sd(Tekanan_Darah_Sistolik))

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: Tekanan_Darah_Sistolik

D = 0.16667, p-value = 0.3752

alternative hypothesis: two-sided


58

H. Uji Distribusi Pareto Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov

Uji Kolmogorov-Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data

berdistribusi Pareto atau data tidak berdistribusi Pareto.

Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi Pareto adalah sebagai

berikut :

1. H0 : data berdistribusi Pareto (Pareto(𝑘, 𝑎))

H1 : data tidak berdistribusi Pareto

2. Tentukan tingkat signifikansi 𝛼

3. Statistik uji


−)

4. Hitunglah 𝐹0(𝑥) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi

Pareto

5. Hitunglah fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥)

6. Hitunglah nilai 𝐷𝑛+ dan 𝐷𝑛

− dan tentukan maksimum dari 𝐷𝑛, yaitu 𝐷𝑛 =

𝑚𝑎𝑥(𝐷𝑛+, 𝐷𝑛

−)


H0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙

8. Kesimpulan

Contoh 3.4 :

Dengan menggunakan data kerugian pada Tabel 3.1, tentukan penduga parameter

𝑎 dan 𝑘 dan ujilah dengan Kolmogorov-Smirnov apakah data berdistribusi Pareto

dengan parameter yang sudah diduga sebelumnya!

Hasil pendugaan parameter Pareto dari data kerugian di atas dengan Metode

Kemungkinan Maksimum adalah sebagai berikut :


�� = 25.231

�� = 𝑛

∑ ln(𝑥𝑖) 𝑛𝑖=1 − 𝑛 ln(𝑘)

�� =25

279,3288801 − 25 × ln (25231)


59

�� = 0,964

Dari pendugaan parameter Pareto di atas, akan diuji apakah data berdistribusi

Pareto dengan parameter 𝑘 = 25231 dan 𝑎 = 0,964. Langkah-langkah pengujian

distribusi Pareto dengan uji Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut :

1. H0 : data berdistribusi Pareto dengan 𝑘 = 25231 dan 𝑎 = 0,964


2. Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%. Jadi 𝛼 = 0,05

3. Statistik Uji


−)

4. Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Pareto adalah

𝐹(𝑥) = 1 − ( 𝑘

𝑥)𝑎

, 𝑥 > 𝑘


6. H0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0,264. Nilai 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 didapat pada lampiran

C.3.

7. Perhitungan


𝑗 𝑥𝑗 𝐹0(𝑥𝑗) 𝐹𝑛(𝑥𝑗) 𝐹𝑛−1(𝑥𝑗) 𝐷𝑛+ 𝐷𝑛

−

1 25.231 0,000 0,04 0,00 0,040 0,000

2 25.766 0,020 0,08 0,04 0,060 -0,020

3 29.900 0,151 0,12 0,08 -0,031 0,071

4 31.744 0,199 0,16 0,12 -0,039 0,079

5 32.044 0,206 0,20 0,16 -0,006 0,046

6 32.772 0,223 0,24 0,20 0,017 0,023

7 34.749 0,265 0,28 0,24 0,015 0,025

8 36.356 0,297 0,32 0,28 0,023 0,017

9 39.800 0,356 0,36 0,32 0,004 0,036

10 45.190 0,430 0,40 0,36 -0,030 0,070


60

11 45.716 0,436 0,44 0,40 0,004 0,036

12 48.057 0,463 0,48 0,44 0,017 0,023

13 55.843 0,535 0,52 0,48 -0,015 0,055

14 60.463 0,569 0,56 0,52 -0,009 0,049

15 62.913 0,586 0,60 0,56 0,014 0,026

16 69.976 0,626 0,64 0,60 0,014 0,026

17 96.353 0,725 0,68 0,64 -0,045 0,085

18 97.739 0,729 0,72 0,68 -0,009 0,049

19 98.882 0,732 0,76 0,72 0,028 0,012

20 99.601 0,734 0,80 0,76 0,066 -0,026

21 139.665 0,808 0,84 0,80 0,032 0,008

22 209.031 0,870 0,88 0,84 0,010 0,030

23 214.700 0,873 0,92 0,88 0,047 -0,007

24 396.323 0,930 0,96 0,92 0,030 0,010

25 1.847.213 0,984 1,00 0,96 0,016 0,024


Sehingga didapat :


−) = 0,085

7. Kesimpulan

Karena 𝐷𝑛 = 0,085 < 0,264, maka H0 diterima. Jadi data kerugian diatas

berdistribusi Pareto dengan parameter 𝑘 = 25231 dan 𝑎 = 0,964.


61


Metode Kemungkinan Maksimum dan fungsi empiris dengan 𝐹0(𝑥𝑗)) pada garis

merah, 𝐹𝑛(𝑥𝑗) pada garis hijau, dan 𝐹𝑛−1(𝑥𝑗) pada garis biru (dihasilkan oleh


Selanjutnya contoh 3.4 diverifikasi dengan menggunakan perangkat lunak R yang

proes programnya di lampirkan di lampiran B.1. Paremeter diduga (diestimasi)

terlebih dahulu sebelum melakukan uji Kolmogorov-Smirnov.

1. H0 : data berdistribusi Pareto



3. Statistik Uji

Statistik uji dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smirnov pada perangkat lunak

R.

4. Wilayah kritis

H0 ditolak jika 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼

5. Perhitungan

Hasil pengujian data pada R adalah sebagai berikut:


62

Hasil dari perangkat lunak R menunjukan nilai 𝐷 = 0,08520485 dan 𝑝 −

𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0,96634.

6. Kesimpulan

Karena 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0,05 , maka H0 diterima. Jadi data kerugian di atas

berdistribusi Pareto dengan parameter 𝑘 = 25231 dan 𝑎 = 0,9640166.

Hasil pendugaan parameter Pareto dari data kerugian di atas dengan Metode

Momen adalah sebagai berikut :

𝑎�� = 𝑛�� − 𝑥1𝑛(�� − 𝑥1)

= 25 × 155041 − 25231

25 × (155041 − 25231)

= 1,1865

𝑘�� =(𝑛𝑎�� − 1)𝑥1

𝑛𝑎��

=(25 × 1,1865 − 1)25231

25 × 1,1865

= 24380,464

Dari pendugaan parameter Pareto diatas, akan diuji apakah data berdistribusi Pareto

dengan parameter 𝑘 = 24380,46 dan 𝑎 = 1,1865. Langkah-langkah pengujian

distribusi Pareto dengan uji Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut :

> pareto.test(Besarnya_Kerugian,B)

$k

[1] 25231

$a

[1] 0.9640166

$D

D

0.08520485

$p

[1] 0.96634


63

1. H0 : data berdistribusi Pareto dengan 𝑘 = 24380,46 dan 𝑎 = 1,1865


2. Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%. Jadi 𝛼 = 0.05.

3. Statistik Uji


−)

4. Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Pareto adalah

𝐹(𝑥) = 1 − ( 𝑘

𝑥)𝑎

, 𝑥 > 𝑘


6. H0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0,264. Nilai 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 didapat pada

lampiran C.3

7. Perhitungan


𝑗 𝑥𝑗 𝐹0(𝑥𝑗) 𝐹𝑛(𝑥𝑗) 𝐹𝑛−1(𝑥𝑗) 𝐷𝑛+ 𝐷𝑛

−

1 25.231 0,040 0,04 0,00 0,000 0,040

2 25.766 0,063 0,08 0,04 0,017 0,023

3 29.900 0,215 0,12 0,08 -0,095 0,135

4 31.744 0,269 0,16 0,12 -0,109 0,149

5 32.044 0,277 0,20 0,16 -0,077 0,117

6 32.772 0,296 0,24 0,20 -0,056 0,096

7 34.749 0,343 0,28 0,24 -0,063 0,103

8 36.356 0,378 0,32 0,28 -0,058 0,098

9 39.800 0,441 0,36 0,32 -0,081 0,121

10 45.190 0,519 0,40 0,36 -0,119 0,159

11 45.716 0,526 0,44 0,40 -0,086 0,126

12 48.057 0,553 0,48 0,44 -0,073 0,113

13 55.843 0,626 0,52 0,48 -0,106 0,146

14 60.463 0,660 0,56 0,52 -0,100 0,140

15 62.913 0,675 0,60 0,56 -0,075 0,115


64

16 69.976 0,714 0,64 0,60 -0,074 0,114

17 96.353 0,804 0,68 0,64 -0,124 0,164

18 97.739 0,807 0,72 0,68 -0,087 0,127

19 98.882 0,810 0,76 0,72 -0,050 0,090

20 99.601 0,812 0,80 0,76 -0,012 0,052

21 139.665 0,874 0,84 0,80 -0,034 0,074

22 209.031 0,922 0,88 0,84 -0,042 0,082

23 214.700 0,924 0,92 0,88 -0,004 0,044

24 396.323 0,963 0,96 0,92 -0,003 0,043

25 1.847.213 0,994 1,00 0,96 0,006 0,034


Dari perhitungan diatas, didapat:


−) = 0,164

8. Kesimpulan

Karena 𝐷𝑛 = 0,164 < 0,264, maka H0 diterima. Jadi data kerugian diatas

berdistribusi Pareto dengan parameter 𝑘 = 24380,46 dan 𝑎 = 1,1865.


Metode Momen dan fungsi empiris dengan 𝐹0(𝑥𝑗) pada garis merah, 𝐹𝑛(𝑥𝑗) pada

garis hijau, dan 𝐹𝑛−1(𝑥𝑗) pada garis biru (dihasilkan oleh perangkat lunak R yang

dilampirkan pada lampiran A.5)


65

Selanjutnya contoh 3.4 diverifikasi dengan menggunakan perangkat lunak R yang

proes programnya di lampirkan di lampiran B.1. Paremeter diduga (diestimasi)

terlebih dahulu sebelum melakukan uji Kolmogorov-Smirnov.

1. H0 : data berdistribusi Pareto



3. Statistik Uji

Statistik uji dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smirnov pada perangkat

lunak R.

4. Wilayah kritis

H0 ditolak jika 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼

5. Perhitungan

Hasil pengujian data pada R adalah sebagai berikut:

Hasil dari perangkat lunak R menunjukan nilai 𝐷 = 0,1641998 dan 𝑝 −

𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0,53229.

6. Kesimpulan

Karena 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0,05 , maka H0 diterima. Jadi data kerugian di atas

berdistribusi Pareto dengan parameter 𝑘 = 24380,46 dan 𝑎 =

1,186594.

> pareto.test2(Besarnya_Kerugian)

$k2

[1] 24380.46

$a2

[1] 1.186594

$D2

D

0.1641998

$p

[1] 0.53229


66

I. Kriteria Statistis pada Penduga Fungsi Distribusi Kumulatif Pareto

Untuk membandingkan Metode Kemungkinan Maksimum dan

Metode Momen dalam menduga parameter distribusi Pareto, penulis

menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error).

Definisi 3.4

Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran dari keakuratan dari penduga dan

didefinisikan sebagai:

𝑀𝑆𝐸 =∑[��(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]2

𝑛

𝑖=1

dengan

��(𝑥𝑖) = 1 − ( 𝑘

𝑥

)

��

𝐹(𝑥𝑖) =𝑖

𝑛 + 1

Perhitungan Rata-Rata Kuadrat Galat pada definisi 3.4 berlaku

untuk semua distribusi peluang kontinu. Metode yang terbaik dalam

menduga parameter distribusi Pareto adalah metode yang memiliki Rata-

Rata Kuadrat Galat paling minimum (Lei, 2008).

Pada Contoh 3.4 mengenai data kerugian, dengan menggunakan

Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh parameter 𝑘 = 25231 dan

𝑎 = 0,964, dan menggunakan Metode Momen diperoleh 𝑘 = 24.380,46

dan 𝑎 = 1,1865.

Berdasarkan Definisi 3.4, maka MSE dari Metode Kemungkinan

Maksimum adalah

𝑀𝑆𝐸 =∑[��(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]2

𝑛

𝑖=1

= 0,02196769

dan MSE dari Metode Momen adalah


67

𝑀𝑆𝐸 =∑[��(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]2

𝑛

𝑖=1

= 0,1993354

Perhitungan MSE di atas dilakukan dengan perangkat lunak R pada

lampiran B.2.

Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (MSE), MSE yang

paling minimum adalah MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum. Jadi

metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Pareto dari data

kerugian pada tabel 3.1 adalah Metode Kemungkinan Maksimum.


68

BAB IV

PENERAPAN DISTRIBUSI PARETO

A. Data dan Sumbernya

Data yang digunakan untuk tugas akhir ini adalah data jumlah

pendapatan perorangan daerah Texas tahun 1969 (Texas county data). Data

bersumber dari buku “Pareto Distribution Second Edition” karya Barry C.

Arnold tahun 2015. Tabel tentang data jumlah pendapatan perorangan

daerah Texas tahun 1969 dapat dilihat di lampiran C.1.

Gambar 4.1 Histogram dari data jumlah pendapatan perorangan di Texas pada

tahun 1969.

Dari Histogram tersebut terlihat bahwa sebagian besar penduduk tergolong

dalam pendapatan rendah dengan persentase lebih dari 90% (distribusi

miring ke kanan).


69

B. Estimasi Model Distribusi Pareto

Estimasi model distribusi Pareto dibatasi pada estimasi dua

parameter (𝑘 dan 𝑎) dengan metode kemungkinan maksimum dan metode

momen. Data yang digunakan adalah data pendapatan perorang daerah

Texas tahun 1969.

1. Berdasarkan Metode Kemungkinan Maksimum, penduga parameter

𝑘 dan 𝑎 pada distribusi Pareto adalah sebagai berikut :


�� = 𝑛

∑ ln(𝑥𝑖) 𝑛𝑖=1 − 𝑛 𝑙𝑛(𝑘)

sehingga diperoleh

�� = 20,2

�� = 139

586,0583337 − 139 × ln (20,2)

= 0,826060967

Jadi penduga 𝑘 dan 𝑎 adalah �� = 20,2 dan �� = 0,826060967

Dengan demikian fungsi peluang dari distribusi Pareto adalah

𝑓(𝑥𝑖) =0,826060967 × 20,20,826060967

𝑥𝑖1,826060967

Gambar 4.2 Grafik fungsi peluang distribusi Pareto dengan �� = 20,2 dan

�� = 0,826060967 (dihasilkan oleh perangkat lunak R yang dilampirkan

pada lampiran A.6).


70

Dengan galat yang sangat kecil, penampilan grafik penduga dengan

metode kemungkinan maksimum seperti berhimpit dengan data asli.

2. Berdasarkan Metode Momen, penduga parameter 𝑘 dan 𝑎 pada

distribusi Pareto adalah sebagai berikut :

�� = 𝑛�� − 𝑥1

𝑛(�� − 𝑥1)

�� =(𝑛�� − 1)𝑥1

𝑛��

sehingga diperoleh

�� = 139 × 210,6978417 − 20,2

139 × (210,6978417 − 20,2)

= 1,105275084

�� =(139 × 1,105275084 − 1) × 20,2

139 × 1,105275084

= 20,06851803

Jadi penduga 𝑘 dan 𝑎 adalah �� = 20,06851803 dan �� = 1,105275084.

Dengan demikian fungsi peluang dari distribusi Pareto adalah

𝑓(𝑥𝑖) =1,105275084 × 20,068518031,105275084

𝑥𝑖1,105275084


71

Gambar 4.3 Grafik fungsi peluang distribusi Pareto dengan �� =

20,06851803 dan �� = 1,105275084 (dihasilkan oleh perangkat lunak R

yang dilampirkan pada lampiran A.7).

Dengan galat yang sangat kecil, penampilan grafik penduga dengan metode

momen pun seperti berhimpit dengan data asli.

Berdasarkan tampilan grafik gambar 4.2 dan gambar 4.3 dapat

disimpulkan bahwa penduga fungsi distribusi Pareto dari kedua metode di

atas mendekati data asli. Oleh karena itu diperlukan metode yang lebih

eksak untuk membandingkan kebaikan kedua metode.

C. Uji Kecocokan Penduga Parameter Distribusi Pareto

Untuk memastikan secara lebih eksak apakah data jumlah

pendapatan perorangan di Texas sungguh-sungguh berdistribusi Pareto,

maka dilakukan uji Kolmogorov-Smirnov. Berdasarkan parameter

distribusi Pareto yang didapat dari metode kemungkinan maksimum,

berikut adalah hasil uji Kolmogorov-Smirnov pada data pendapatan Texas

dengan perangkat lunak R yang berdasarkan program pada lampiran B.1:


72

1. Metode kemungkinan maksimum

Dengan tingkat signifikansi sebesar 5% (𝛼 = 0,05), karena nilai 𝑝 −

𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0,54391 > 𝛼, maka dapat disimpulkan bahwa data jumlah

pendapatan perorangan daerah Texas berdistribusi Pareto dengan parameter

𝑘 = 20,2 dan 𝑎 = 0,826061.

2. Metode momen

> pareto.test2(Pendapatan_texas_1969,B)

$k2

[1] 20.06852

$a2

[1] 1.105275

$D2

D

0.1466529

$p

[1] 0.05065

> pareto.test(Pendapatan_texas_1969,B)

$k

[1] 20.2

$a

[1] 0.826061

$D

D

0.05695499

$p

[1] 0.54391


73

Dengan tingkat signifikansi sebesar 5% (𝛼 = 0,05), karena nilai 𝑝 −

𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0,05065 > 𝛼, maka dapat disimpulkan bahwa data jumlah

pendapatan perorangan daerah Texas berdistribusi Pareto dengan parameter

𝑘 =20,06852 dan 𝑎 =1.105275.

D. Perbandingan Metode Kemungkian Maksimum dan Metode Momen

Pendugaan parameter pada data pendapatan daerah Texas dengan

Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh �� = 20,2 dan �� =

0,826060967. Sedangkan pendugaan parameter pada data pendapatan

daerah Texas dengan Metode Momen diperoleh �� = 20,06851803 dan

�� = 1,105275084.

Berdasarkan definisi 3.4, MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum

adalah

𝑀𝑆𝐸 = ∑[��(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]2

𝑛

𝑖=1

= 0,05412131

dan MSE dari Metode Moment adalah

𝑀𝑆𝐸 = ∑[��(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]2

𝑛

𝑖=1

= 1,245626

Perhitungan MSE diatas dilakukan dengan perangkat lunak R pada

lampiran B.3.

Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (MSE), MSE

yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum.

Jadi metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Pareto dari

data pendapatan daerah Texas pada lampiran C.1 adalah Metode

Kemungkinan Maksimum.


74

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Distribusi Pareto adalah salah satu distribusi peluang kontinu. Distribusi

Pareto tergolong dalam keluarga distribusi Eksponensial seperti distribusi peluang

kontinu lainnya, yaitu distribusi binomial, distribusi Normal, distribusi geometrik,

distribusi eksponensial, dan distribusi Poisson. Hal yang paling penting dalam

mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter.

Metode Kemungkinan Maksimum adalah metode penduga yang

memaksimumkan fungsi Likelihood 𝐿(𝜃|𝑋). Sedangkan metode momen adalah

metode penduga yang didasarkan pada momen pada suatu sampel yang dapat

dijadikan sebagai penduga yang sesuai dengan momen pada suatu populasi.

Secara umum pendugaan parameter distribusi Pareto dilakukan pada dua

parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum dan Metode Momen.

Pendugaan parameter distribusi Pareto juga dapat dilakukan pada satu parameter

saja jika suatu data dilakukan normalisasi, yaitu membagi setiap data dengan batas

bawah yang telah dipilih, sehingga batas bawah dari data yang dinormalisasi

tersebut bernilai 1 yang merupakan nilai parameter 𝑘. Akibatnya, pendugaan

parameter distribusi Pareto dilakukan hanya pada satu parameter, yaitu 𝑎 dimana

parameter tersebut dapat diduga dengan berbagai metode, termasuk Metode

Kemungkinan Maksimum dan Metode Momen.

Dalam menduga parameter distribusi Pareto dengan dua parameter

digunakan data jumlah pendapatan perorangan daerah Texas pada tahun 1969.

Pendugaan parameter mengunakan data data jumlah pendapatan perorangan daerah

Texas dengan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh �� = 20,2 dan �� =

0,826060967. Sedangkan pendugaan parameter dengan menggunakan Metode

Momen diperoleh �� = 20,06851803 dan �� = 1,105275084.


75

Dalam membandingkan metode terbaik dalam pendugaan parameter

distribusi Pareto dengan dua parameter digunakan perbandingan Rata-Rata Kuadrat

Galat (Mean Square Error). Metode yang terbaik adalah metode yang memiliki

Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Metode terbaik dalam pendugaan mengunakan

data jumlah pendapatan perorangan daerah Texas adalah Metode Kemungkinan

Maksimum.

B. Saran

Penulis menyarankan beberapa hal sebagai berikut:

1. Membahas lebih lanjut tentang distribusi Pareto, misalnya distribusi Pareto

tipe II, III, dan IV.

2. Menggunakan metode lain dalam menduga parameter distribusi Pareto

seperti Metode Bayes, Metode Statistik Terurut, dll.

3. Membahas lebih lanjut tentang aplikasi distribusi Pareto, misalnya aplikasi

distribusi Pareto di bidang aktuaris.


76

DAFTAR PUSTAKA

Arnold, B. C. (2015). Pareto Distributions Second Edition. Washington: CRC

Press.

Brazauskas, V. (2003). Favorable Estimators for Fitting Pareto Models A Study

Using Goodness of Fit Measures with Actual Data. Astin Bulletin, 33(2):

365-381.

Karobia, R. J. (2015). Modelling Extreme Claims Using Generalised Pareto

Distribution Family in an Insurance Company. Nairobi: University of

Nairobi.

Lei, Y. (2008). Evaluation of three methods for estimating the Weibull distribution

parameters of Chinese pine (Pinus tabulaeformis). Journal of Forest

Science, 54(12): 566-571.

Petersen, J. L. (2000). Estimating the Parameters of a Pareto Distribution.

Missoula: University of Montana.

Philbrick, S. W. (1985). A Practical Guide to the Single Parameter Pareto

Distribution. PCAS, 62(1): 44-84.

Rytgaard, M. (1990). Estimation in the Pareto Distribution. ASTIN Bulletin: The

Journal of the IAA, 20(2): 201-216.

Silvey, S. D. (1975). Statistical Inference. London: Chapman and Hall.

Wackerly, D. D. (2008). Mathematical Statistics with Applications, Seventh

Edition. Boston: Thomson Brooks.

Walpole, R. E. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists Ninth

Edition. San Antonio: Prentice Hall.

Williams, D. (1991). Probability With Martingales . New York: Cambridge

University Press.


77


77

LAMPIRAN

Lampiran A.1 : Perangkat Lunak R untuk Gambar 3.1

> ppareto <- function(x, a, k) ifelse(x > k , 1 - ((k/x)**a), 0 )

> x=seq(from=1, to=10,by=0.01)

> k=1

> a=1

> a2=2

> a3=3

> plot(x,ppareto(x,a,k),type="l",ylab="F(x)",ylim=c(0,1),col="red",xlim=c(0,10))

> lines(x,ppareto(x,a2,k),type="l",col="blue")

> lines(x,ppareto(x,a3,k),type="l",col="green")

> legend("bottomright",c("a=1","a=2","a=3"),cex=0.5

+ ,col=c("red","blue","green"),pch=1,lty=1:1,pt.cex=1)


> k2=2

> k3=3

> plot(x,ppareto(x,a,k),type="l",xlab="x",ylab="F(x)",col="red",ylim=c(0,1),xli

m=c(0,10))

> lines(x,ppareto(x,a,k2),type="l",col="blue")

> lines(x,ppareto(x,a,k3),type="l",col="green")

> legend("bottomright",c("k=1","k=2","k=3"),cex=0.4



> dpareto <- function(x, a, k) ifelse(x > k , a*k**a/(x**(a+1)), 0)

> x=seq(from=1, to=10,by=0.01)

> k=1

> a=1


78

> a2=2

> a3=3

> plot(x,dpareto(x,a,k),type="l",ylab="f(x)",ylim=c(0,3),xlim=c(0,5),col="red")

> lines(x,dpareto(x,a2,k),type="l",col="blue")

> lines(x,dpareto(x,a3,k),type="l",col="green")

> legend("topright",c("a=1","a=2","a=3"),cex=0.5



> k2=2

> k3=3

> plot(x,dpareto(x,a,k),type="l",xlab="x",ylab="f(x)",col="red",ylim=c(0,1),xlim

=c(0,5))

> lines(x,dpareto(x,a,k2),type="l",col="blue")

> lines(x,dpareto(x,a,k3),type="l",col="green")

> legend("topright",c("k=1","k=2","k=3"),cex=0.45



> plot(Fo.x.,type="l",col="red",xlab="Xj",ylab="F")

> lines(Fn.x.,type="l",col="green")

> lines(Fn.1.x.,type="l",col="blue")

> legend("bottomright",c("F0(Xj)","Fn(Xj)","Fn-1(Xj)"),cex=0.5

+ ,col=c("red","green","blue"),pch=1,lty=1:1,pt.cex=1)


> attach(plot_fungsi_kerugian)

> plot(F0.xj.,type="l",col="red",xlab="Xj",ylab="F")

> lines(Fn.xj.,type="l",col="green")

> lines(Fn.1.xj.,type="l",col="blue")


79



Lampiran A.7: Perangkat Lunak R untuk Gambar 3.7

> attach(plot_fungsi2_kerugian)

> plot(FM0.xj.,type="l",col="red",xlab="Xj",ylab="F")

> lines(Fn.xj.,type="l",col="green")

> lines(Fn.1.xj.,type="l",col="blue")



Lampiran A.8: Perangkat Lunak R untuk Gambar 4.2

> xi=data_texas[,1]

> n<-length(xi)

> fMLE= 0.826060967*20.2^(0.826060967)/(xi^(1.826060967))

> plot(xi,fMLE,col="red",type="o")

> lines(x,f,type="l",col="blue")

> legend("topright",c("distPareto","data_asli"),cex=0.7,col=c("blue","red")

+ ,pch=10:22,lty=1:3)


> fMOM= 1.105275084*20.06851803^(1.105275084)/(xi^(2.105275084))

> plot(xi,fMOM,col="red",type="o")

> fMOM=1.105275084*20.06851803^(1.105275084)/(x^(2.105275084))

> lines(x,fMOM,type="l",col="green")

> legend("topright",c("distPareto","data_asli"),cex=0.7,col=c("green","red")

+ ,pch=10:22,lty=1:3)


80

Lampiran B.1 : Uji Kolmogorov-Smirnov pada Penduga Parameter Distribusi

Pareto

> dpareto <- function(x, k, a) ifelse(x > k , a*k**a/(x**(a+1)), 0)

> ppareto <- function(q, k, a) ifelse(q > k , 1 - (k/q)**a, 0 )

> qpareto <- function(p, k, a) ifelse(p < 0 | p > 1, NaN, k*(1-p)**(-1/a))

> rpareto <- function(n, k, a) qpareto(runif(n), k, a)

>

> pareto.mle <- function(x)

+ {

+ k <- min(x)

+ a <- length(x)/(sum(log(x))-length(x)*log(k))

+ return( list(k = k, a = a))

+ }

>

> pareto.test <- function(x, B = 1e3)

+ {

+ a <- pareto.mle(x)

+

+ # KS statistic

+ D <- ks.test(x, function(q) ppareto(q, a$k, a$a))$statistic

+

+ # estimating p value with parametric bootstrap

+ B <- 1e5

+ n <- length(x)

+ emp.D <- numeric(B)

+ for(b in 1:B)

+ {

+ xx <- rpareto(n, a$k, a$a);

+ aa <- pareto.mle(xx)

+ emp.D[b] <- ks.test(xx, function(q) ppareto(q, aa$k, aa$a))$statistic


81

+ }

+

+ return(list(k = a$k, a = a$a, D = D, p = sum(emp.D > D)/B))

+ }

> pareto.mom <- function(x)

+ {

+ a2 <- (length(x)*mean(x)-min(x))/(length(x)*(mean(x)-min(x)))

+ k2 <- ((length(x)*a2-1)*min(x))/(length(x)*a2)

+ return( list(k2 = k2, a2 = a2))

+ }

> pareto.test2 <- function(x, B = 1e3)

+ {

+ m<- pareto.mom(x)

+

+ # KS statistic

+ D2 <- ks.test(x, function(q) ppareto(q, m$k2, m$a2))$statistic

+

+ # estimating p value with parametric bootstrap

+ B <- 1e5

+ n <- length(x)

+ emp.D2 <- numeric(B)

+ for(b in 1:B)

+ {

+ xx2 <- rpareto(n, m$k2, m$a2);

+ aa2 <- pareto.mom(xx2)

+ emp.D2[b] <- ks.test(xx2, function(q) ppareto(q, aa2$k2, aa2$a2)

)$statistic

+ }

+


82

+ return(list(k2 = m$k2, a2 = m$a2, D2 = D2, p = sum(emp.D2 > D2)

/B))

+ }

Lampiran B.2 : Perhitungan MSE data pendapatan daerah Texas dengan R

berdasarkan Metode Kemungkinan Maksimum

> xi2=data_texas[,1]

> j2=1:139

> k3=20.2

> a3=0.826060967

> Fxi2=j2/140

> R3=(k3/xi2)â3

> Fx_MLE2=1-R3

> S3=(Fx_MLE2-Fxi2)^2

> MSE_MLE2=sum(S3)

> MSE_MLE2

[1] 0.05412131

Lampiran B.3 : Perhitungan MSE data pendapatan daerah Texas dengan R

Metode Kemungkinan Maksimum

> xi2=data_texas[,1]

> j2=1:139

> k3=20.2

> a3=0.826060967

> Fxi2=j2/140

> R3=(k3/xi2)â3

> Fx_MLE2=1-R3

> S3=(Fx_MLE2-Fxi2)^2

> MSE_MLE2=sum(S3)

> MSE_MLE2

[1] 0.05412131


83

Metode Momen

> k4=20.06852

> a4=1.105275

> R4=(k4/xi2)â4

> Fx_MOM2=1-R4

> S4=(Fx_MOM2-Fxi2)^2

> MSE_MOM2=sum(S4)

> MSE_MOM2

[1] 1.245626

Lampiran C.1 : Data Jumlah Pendapatan Perorangan daerah Texas tahun 1969

dalam jutaan dolar


84

Lampiran C.2 : Tabel Distribusi Normal


85


86

Lampiran C.3 : Tabel nilai 𝑫 pada Uji Kolmogorov-Smirnov


Documents

PERBANDINGAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DAN …