Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem ... · Magic square mulai dipakai dan diartikan dalam berbagai cara ... sebagai sebuah permasalahan Sistem Persamaan Linear

PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2011

ABSTRAK RISMANTO FERNANDUS SIRINGO RINGO. Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Dibimbing oleh N. K. Kutha Ardana dan Teduh W. M.

Magic square adalah suatu susunan bilangan dari 1 sampai 𝑛2 ke dalam kotak-kotak sebanyak n × n sedemikian sehingga jumlah dari tiap kolom, baris, dan diagonalnya sama. Magic square telah dipelajari sejak abad 20 SM dalam sebuah buku catatan dari China bernama Lo Shu. Magic square mulai dipakai dan diartikan dalam berbagai cara hingga dibahas dan dipelajari secara ilmiah sejak tahun 1300. Magic square secara khusus dipelajari dalam tulisan ilmiah ini sebagai sebuah permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Solusi dari magic square akan dicari mulai dari magic square berukuran 1 × 1 sampai dengan 5 × 5. Pencarian solusi dilakukan dengan penyederhanaan SPL interpretasi dari magic square oleh operasi baris dasar pada matriks koefisiennya. Dengan bantuan software Mathematica 7.0 pada proses komputasinya, didapatkan seluruh solusi untuk kelima ukuran magic square. Operasi-operasi matriks juga akan digunakan untuk mendapatkan magic square baru dari yang sudah ada. Hasil yang didapatkan kemudian digunakan untuk mencari adanya pola ataupun algoritma yang dapat dibentuk untuk dipakai dalam mencari solusi secara umum.

Kata kunci: magic square, matriks, SPL, operasi baris dasar

ABSTRACT RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO. Finding solution for Magic Square as Linear Equation System (LES) Problems. Supervised by N. K. Kutha Ardana and Teduh W. M.

Magic square is an arrangement of numbers from 1 to into n × n squares such that the sum of each rows, columns and diagonals are same. The magic square has been studied for a long time, in a note from China called Lo Shu. The magic square has been used and interpreted into many ways and has been discussed and studied scientifically since 1300. The magic square especially studied in this paper as a Linear Equation System (LES). Solutions for the magic square are searched from magic square sized 1 × 1 to 5 × 5. The solutions were searched by simplifying the LES interpretation of the magic square by basic row operations of the coefficient matrix. All solutions for five size of magic squares were obtained using Mathematica 7.0 sofware in the computational process. The matrix operations also used to obtain new magic square from the existing ones. The results then used for searching pattern or algorithm which can be used to look for the general solutions.

Keywords: magic square, matrix, LES, basic row operation.

PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO

Skripsi Sebagai salah satu syarat memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2011

Judul Skripsi : Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL)

Nama : Rismanto Fernandus Siringo-ringo NIM : G54103005

Menyetujui,

Pembimbing I,

Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc NIP. 19640823 198903 1 001

Pembimbing II,

Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si NIP. 19740915 199903 2 001

Mengetahui, Ketua Departemen Matematika,

Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 28 Januari 1985 dari bapak Jasman Siringo-ringo dan Ibu Rumiris Tobing. Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Bandar Lampung dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI). Penulis melanjutkan studi di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah empat kali menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Komputasi Terapan baik untuk S1 dan S2. Penulis juga aktif dalam organisasi kampus seperti Tim Pendamping, Gumatika, Kemaki, dan terlibat dalam beberapa kepanitiaan seperti Pesta Sains, Retret, dan menjadi trainer atau peserta dalam beberapa pelatihan. Sejak tahun 2009 penulis menjadi pengajar olimpiade matematika di SMA Negeri 2 Cibinong dan SMA Kosgoro Bogor.

vii

DAFTAR ISI

Halaman I PENDAHULUAN.................................................................................................................. 1

1.1. Latar Belakang ............................................................................................................... 1 1.2. Tujuan ........................................................................................................................... 1 1.3. Ruang Lingkup............................................................................................................... 1

II LANDASAN TEORI ............................................................................................................. 1 III PEMBAHASAN .................................................................................................................... 2

3.1. Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL ............................. 2 3.2. Beberapa Operasi Matriks dari Magic Square ................................................................. 2

3.2.1. 𝑘𝑨.......................................................................................................................... 2 3.2.2. 𝑨 + 𝑘Jn .................................................................................................................. 3 3.2.3. 𝑨 +𝑩 .................................................................................................................... 3 3.2.4. 𝑨𝑩 ......................................................................................................................... 3

3.3. Penyelesaian Magic Square Untuk 𝒏 =1, 2, 3, 4, 5 ......................................................... 3 3.3.1. Penyelesaian untuk 𝑛 = 1 ....................................................................................... 3 3.3.2. Penyelesaian untuk 𝑛 = 2 ....................................................................................... 3 3.3.3. Penyelesaian untuk 𝑛 = 3 ....................................................................................... 4 3.3.4. Penyelesaian untuk 𝑛 = 4 ....................................................................................... 5 3.3.5. Penyelesaian untuk 𝑛 = 5 ....................................................................................... 7

IV SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................................. 11 4.1. Simpulan ...................................................................................................................... 11 4.2. Saran............................................................................................................................ 11

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 11 LAMPIRAN .............................................................................................................................. 12

viii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Bentuk umum magic square ........................................................................................ 2 Gambar 2. Magic square 1 × 1 ..................................................................................................... 3 Gambar 3. Magic square 2 × 2 ..................................................................................................... 3 Gambar 4. Magic square 3 × 3 ..................................................................................................... 4 Gambar 5(a-h). Solusi magic square 3 × 3 .................................................................................... 5 Gambar 6. Magic square 4 × 4 ..................................................................................................... 5 Gambar 7. Magic square 5 × 5 ..................................................................................................... 7 Gambar 8(a,b). Contoh magic square berukuran 5 × 5 ............................................................... 10

ix

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Contoh sanggahan untuk jumlah diagonal matriks 𝑪 = 𝑨𝑩 .................................... 13 Lampiran 2. Row reduce menggunakan Mathematica 7.0 ........................................................... 14 Lampiran 3. Sintaks Mathematica 7.0 dalam mencari seluruh solusi magic square

berukuran 4 × 4 dari SPL yang sudah disederhanakan. ..................................................... 16

1

I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Magic square telah dipelajari sejak abad

20 sebelum masehi. Catatan pertama sekitar tahun 1000 sebelum masehi terdapat di China yaitu sebuah buku bernama Lo Shu. Pada abad ke-9 sebelum masehi, astrolog Arab menggunakannya dalam menghitung horoskop (Andrews, 1917). Sekitar waktu yang sama di India magic square tidak hanya digunakan dalam konteks matematika misalnya resep pembuatan parfum dan penghitungan kelahiran dalam bidang medis. Pada abad ke-2 sebelum masehi, magic square berukuran 4 × 4 muncul yang sering dihubungkan dengan praktek religius (Ballew, 2006).

Magic square mulai tersebar di dunia barat sekitar tahun 1300 setelah masehi. Magic square secara khusus telah menarik perhatian pada matematikawan amatir dan penggemar teka-teki karena konsepnya yang mudah dipahami.

Meskipun konsep magic square mudah

dipahami dan telah dipelajari dalam waktu yang lama, sampai saat ini magic square belum ditemukan solusi umumnya atau algoritma umum untuk menyelesaikannya. 1.2. Tujuan

Di dalam tulisan ilmiah ini akan dipelajari mengenai magic square sebagai sebuah permasalahan SPL. Kemudian akan dicari magic square baru menggunakan operasi matriks serta keterkaitan setiap ukuran magic square berdasarkan jumlah solusi, pola penyelesaian SPL, dan yang lainnya untuk mengetahui apakah memungkinkan menciptakan suatu algoritma umum penyelesaian magic square berukuran 𝑛 × 𝑛. 1.3. Ruang Lingkup

Magic square dapat dikembangkan sampai berukuran berapapun. Dalam tulisan ilmiah ini, penulis membatasi pembahasan dan pencarian pola untuk magic square berukuran sampai dengan 5 × 5.

II LANDASAN TEORI

Definisi 1 Magic Square dan Bilangan Magic

Magic square adalah suatu susunan bilangan-bilangan 1, 2, 3, … , 𝑛2 ke dalam kotak-kotak berjumlah 𝑛 × 𝑛 sedemikian sehingga jumlah bilangan-bilangan di setiap baris, di setiap kolom, dan di kedua diagonal utama berjumlah sama yang disebut bilangan magic.

[Weisstein, 1999] Definisi 2 Persamaan Linear dan Sistem Persamaan Linear

Suatu persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 dengan 𝑎1, 𝑎2, ... , 𝑎𝑛, dan b adalah bilangan-bilangan real dan 𝑥1, 𝑥2, ... , 𝑥𝑛 adalah peubah.

Maka suatu sistem persamaan linear dari m persamaan dengan n peubah merupakan suatu sistem berbentuk

𝑎1,1𝑥1 + 𝑎1,2𝑥2 +⋯+ 𝑎1,𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎2,1𝑥1 + 𝑎2,2𝑥2 +⋯+ 𝑎2,𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮ 𝑎𝑚,1𝑥1 + 𝑎𝑚,2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚,𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 dengan 𝑎𝑖,𝑗 dan 𝑏𝑖 adalah bilangan-bilangan real serta 𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚 dan 𝑗 = 1,2,⋯ , 𝑛

Sistem-sistem dengan bentuk seperti ini disebut sebagai sistem persamaan linear 𝑚 × 𝑛.

[Leon, 2001] Definisi 3 Operasi Baris Dasar

Operasi baris dasar dari matriks A berukuran 𝑚 × 𝑛 yang diperbesar merupakan operasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem-sistem persamaan linear, yaitu:

1. Kalikan sebuah baris ke-i dari matriks A dengan konstanta k yang tidak sama dengan nol. Operasi ini dinotasikan dengan 𝐸𝑖(𝑘)(𝑨).

2. Pertukarkan baris ke-i dengan baris ke-j dari matriks A, dengan 𝑖 ≠ 𝑗. Operasi ini dinotasikan dengan 𝐸𝑖,𝑗(𝑨).

3. Tambahkan perkalian dari baris ke-j dengan konstanta 𝑘 ≠ 0, pada baris ke-i dari matriks A. Operasi ini dinotasikan dengan 𝐸𝑖,𝑗(𝑘)(𝑨).

dengan 𝑖, 𝑗 = 1,2,⋯ ,𝑚 dan k adalah bilangan real.

[Anton, 2007]

2

III PEMBAHASAN

3.1. Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL

Misalkan elemen dari baris ke-i dan

kolom ke-j adalah 𝑎𝑖 ,𝑗 maka magic square-nya secara umum adalah

𝑎1,1 𝑎1,2 ⋯ 𝑎1,𝑛

𝑎2,1 𝑎2,2 ⋯ 𝑎2,𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 ⋯ 𝑎𝑛,𝑛

Gambar 1. Bentuk umum magic square

dengan: 𝑎𝑖 ,𝑗 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛2} untuk 𝑖, 𝑗 ∈{1,2,3, … , 𝑛} ...(1) dan 𝑎𝑝,𝑞 = 𝑎𝑟,𝑠 ⟹ 𝑝 = 𝑟 ⋀ 𝑞 = 𝑠 untuk semua 𝑝,𝑞, 𝑟, 𝑠 ∈ {1,2,3, … ,𝑛} ...(2)

Persamaan (2) ini dimaksudkan untuk menjamin tidak ada angka yang terpakai dua kali, sehingga semua bilangan dari 1 sampai dengan 𝑛2 terpakai.

Bilangan magic untuk magic square tersebut adalah 𝑚 = ∑ 𝑎1,𝑗

𝑛𝑗=1 = ∑ 𝑎2,𝑗

𝑛𝑗=1 = ⋯ =

∑ 𝑎𝑛,𝑗𝑛𝑗=1 = ∑ 𝑎𝑖 ,1𝑛

𝑖=1 = ∑ 𝑎𝑖 ,2𝑛𝑖=1 = ⋯ =

∑ 𝑎𝑖,𝑛𝑛𝑖=1 = ∑ 𝑎𝑖 ,𝑖𝑛

𝑖=1 = ∑ 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 ...(3)

Jika seluruh elemen dari magic square dijumlahkan, maka ∑ ∑ 𝑎𝑖,𝑗𝑛

𝑗=1𝑛𝑖=1 = ∑ 𝑘𝑛2

𝑘=1 ...(4) Dari kedua persamaan (3) dan (4), maka

𝑛 × 𝑚 = 12 𝑛2(𝑛2 + 1)

⟺𝑚 = 12𝑛(𝑛2 + 1) ...(5)

Dengan menjabarkan persamaan (3), maka bentuk

⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎧

∑ 𝑎1,𝑗𝑛𝑗=1 = 𝑚

∑ 𝑎2,𝑗𝑛𝑗=1 = 𝑚

⋮∑ 𝑎𝑛,𝑗𝑛𝑗=1 = 𝑚

∑ 𝑎𝑖,1𝑛𝑖=1 = 𝑚

∑ 𝑎𝑖,2𝑛𝑖=1 = 𝑚

⋮ ∑ 𝑎𝑖,𝑛𝑛

𝑖=1 = 𝑚 ∑ 𝑎𝑖 ,𝑖𝑛

𝑖=1 = 𝑚∑ 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 = 𝑚

�

adalah sebuah Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan 2𝑛 + 2 persamaan dan 𝑛2

peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi

⎩⎪⎨

⎪⎧ ∑ 𝑎𝑖,𝑗𝑛

𝑗=1 = 𝑚; 𝑖 = 1,2, … ,𝑛 ∑ 𝑎𝑖,𝑗𝑛

𝑖=1 = 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑎𝑖,𝑖𝑛

𝑖=1 = 𝑚 ∑ 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 = 𝑚

�

Matriks dari SPL ini adalah

𝑲𝑨 = 𝒎 dengan 𝑲 = matriks koefisien berukuran (2𝑛 + 2) ×

𝑛2 𝑨 = (𝑎1,1 𝑎1,2 ⋯ 𝑎1,𝑛 𝑎2,1 𝑎2,2 ⋯

𝑎2,𝑛 ⋯𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 ⋯ 𝑎𝑛,𝑛)𝑇 𝒎 = vektor kolom berukuran 𝑛2 × 1 dengan

seluruh elemennya adalah nilai m. 3.2. Beberapa Operasi Matriks dari

Magic Square Beberapa operasi matriks diantaranya

adalah penjumlahan, perkalian skalar, perkalian vektor, dan invers. Pada bagian ini akan ditunjukkan apakah yang terjadi jika operasi-operasi tersebut dilakukan terhadap magic square.

Jika 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square, Jn adalah matriks 𝑛 × 𝑛 yang semua elemennya adalah 1, dan 𝑘 adalah suatu bilangan asli, maka akan dicari beberapa bentuk berikut

i. 𝑘𝑨 ii. 𝑨 + 𝑘Jn

iii. 𝑨 +𝑩 iv. 𝑨𝑩

3.2.1. 𝑘𝑨

Misalkan 𝑨 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic 𝑚𝐴. Misalkan 𝑪 = 𝑘𝑨, maka 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑘𝑎𝑖 ,𝑗 dan akibatnya

∑ 𝑐𝑖 ,𝑗𝑛𝑗=1 =∑ 𝑘𝑎𝑖 ,𝑗 = 𝑘 ∑ 𝑎𝑖,𝑗 =𝑛

𝑗=1𝑛𝑗=1 𝑘𝑚𝐴;

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑖,𝑗𝑛𝑖=1 =∑ 𝑘𝑎𝑖,𝑗 = 𝑘∑ 𝑎𝑖,𝑗 =𝑛

𝑖=1𝑛𝑖=1 𝑘𝑚𝐴;

untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑖,𝑖𝑛𝑖=1 = ∑ 𝑘𝑎𝑖,𝑖𝑛

𝑖=1 = 𝑘∑ 𝑎𝑖 ,𝑖𝑛𝑖=1 =

𝑘𝑚𝐴 ∑ 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 = ∑ 𝑘𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗

𝑛𝑗=1 =

𝑘∑ 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 = 𝑘𝑚𝐴

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa 𝑘𝑨 juga merupakan magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐶 = 𝑘𝑚𝐴

…(6)

3

3.2.2. 𝑨 + 𝑘Jn Misalkan 𝑨 adalah magic square

berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic 𝑚𝐴. Misalkan 𝑪 = 𝑨 + 𝑘Jn, maka 𝑐𝑖 ,𝑗 = 𝑎𝑖 ,𝑗 + 𝑘 dan akibatnya

∑ 𝑐𝑖 ,𝑗𝑛𝑗=1 = ∑ (𝑎𝑖,𝑗 + 𝑘) =𝑛

𝑗=1∑ 𝑎𝑖 ,𝑗 + 𝑛𝑘 =𝑛𝑗=1 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘;

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑖,𝑗𝑛𝑖=1 = ∑ (𝑎𝑖,𝑗 + 𝑘) =𝑛

𝑖=1∑ 𝑎𝑖,𝑗 + 𝑛𝑘 =𝑛𝑖=1 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘;

untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑖,𝑖𝑛𝑖=1 = ∑ (𝑎𝑖 ,𝑖 + 𝑘)𝑛

𝑖=1 =∑ 𝑎𝑖,𝑖 + 𝑛𝑘𝑛𝑖=1 = 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘

∑ 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 = ∑ (𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 + 𝑘)𝑛

𝑗=1 =∑ 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 + 𝑛𝑘 = 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa 𝑨 + 𝑘Jn juga merupakan magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴 + 𝑛𝑘

3.2.3. 𝑨 +𝑩

Misalkan 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic masing-masing 𝑚𝐴 dan 𝑚𝐵. Misalkan 𝑪 = 𝑨 + 𝑩, maka 𝑐𝑖 ,𝑗 = 𝑎𝑖 ,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗 dan akibatnya

∑ 𝑐𝑖 ,𝑗𝑛𝑗=1 = ∑ (𝑎𝑖,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗𝑛

𝑗=1 ) =∑ 𝑎𝑖,𝑗 +𝑛𝑗=1 ∑ 𝑏𝑖,𝑗𝑛

𝑗=1 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵; untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

∑ 𝑐𝑖,𝑗𝑛𝑖=1 = ∑ (𝑎𝑖 ,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗)𝑛

𝑖=1 = ∑ 𝑎𝑖,𝑗𝑛𝑖=1 +

∑ 𝑏𝑖,𝑗𝑛𝑖=1 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵;

untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ∑ 𝑐𝑖,𝑖𝑛𝑖=1 = ∑ (𝑎𝑖,𝑖 + 𝑏𝑖,𝑖)𝑛

𝑖=1 = ∑ 𝑎𝑖 ,𝑖𝑛𝑖=1 +

∑ 𝑏𝑖,𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑚𝐴 +𝑚𝐵

∑ 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 = ∑ (𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗 +𝑛

𝑗=1𝑏𝑛−𝑗+1,𝑗) = ∑ 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑗

𝑛𝑗=1 +

∑ 𝑏𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa 𝑨 + 𝑩 juga merupakan magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴 +𝑚𝐵

3.2.4. 𝑨𝑩

Misalkan 𝑨 dan 𝑩 adalah magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bilangan magic masing-masing 𝑚𝐴 dan 𝑚𝐵 . Misalkan 𝑪 = 𝑨𝑩 maka 𝑐𝑖 ,𝑗 = ∑ 𝑎𝑖 ,𝑘𝑏𝑘,𝑗

𝑛𝑘=1 dan

akibatnya ∑ 𝑐𝑖 ,𝑗𝑛𝑗=1 = ∑ ∑ 𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑗

𝑛𝑘=1

𝑛𝑗=1 =

∑ �𝑎𝑖,𝑘 ∑ 𝑏𝑘,𝑗𝑛𝑗=1 �𝑛

𝑘=1 =∑ 𝑎𝑖 ,𝑘𝑛𝑘=1 𝑚𝐵 = 𝑚𝐵 ∑ 𝑎𝑖,𝑘𝑛

𝑘=1 =𝑚𝐵𝑚𝐴; untuk 𝑖 = 1,2, … ,𝑛

∑ 𝑐𝑖,𝑗𝑛𝑖=1 = ∑ ∑ 𝑎𝑖,𝑘𝑏𝑘,𝑗

𝑛𝑘=1

𝑛𝑖=1 =

∑ �𝑏𝑘,𝑗 ∑ 𝑎𝑖,𝑘𝑛𝑖=1 �𝑛

𝑘=1 = ∑ 𝑏𝑘,𝑗𝑚𝐴𝑛𝑘=1 =

𝑚𝐴 ∑ 𝑏𝑘,𝑗𝑛𝑘=1 = 𝑚𝐴𝑚𝐵;

untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 Contoh sanggahan berikut menunjukkan

bahwa jumlah diagonal pada 𝑨𝑩 tidak sama dengan 𝑚𝐴𝑚𝐵 (contoh lengkap untuk ukuran 3×3, 4×4, 5×5 terdapat pada Lampiran 1).

Misalkan

𝑨 = �4 9 23 5 78 1 6

� dan 𝑩 = �2 7 69 5 14 3 8

�

𝑨 dan 𝑩 adalah magic square dengan bilangan magic 𝑚𝐴 = 15 dan 𝑚𝐵 = 15, maka

∑ 𝑐𝑖,𝑖 = ∑ ∑ 𝑎𝑖 ,𝑘𝑏𝑘,𝑖3𝑘=1

3𝑖=1

3𝑖=1

= 261 ∑ 𝑐3−𝑗+1,𝑗

3𝑗=1 = ∑ ∑ 𝑎3−𝑗+1,𝑘𝑏𝑘,𝑗

3𝑘=1

3𝑗=1

= 165 ⟹ tidak sama dengan 𝑚𝐴𝑚𝐵 = 225

Hal ini mengakibatkan 𝑨𝑩 bukan merupakan magic square tetapi semi magic square yaitu magic square yang jumlah diagonalnya tidak sama dengan bilangan magic. Bilangan magic untuk semi magic square 𝑨𝑩 adalah 𝑚𝐴𝑚𝐵

3.3. Penyelesaian Magic Square Untuk

𝒏 =1, 2, 3, 4, 5 Mencari penyelesaian magic square

adalah mencari solusi dari SPL interpretasi magic square tersebut. Penyelesaian magic square untuk ukuran mulai dari 1 sampai dengan 5 akan dibahas sebagai permasalahan SPL masing-masing.

3.3.1. Penyelesaian untuk 𝒏 = 1

Untuk 𝑛 = 1 dengan jelas dapat langsung diketahui magic square-nya adalah

1

Gambar 2. Magic square 1 × 1

dan 𝑚 = 1.

Secara otomatis, magic square di atas adalah satu-satunya solusi untuk 𝑛 = 1.

3.3.2. Penyelesaian untuk 𝒏 = 2

Untuk 𝑛 = 2 , magic square-nya adalah

𝑎1,1 𝑎1,2

𝑎2,1 𝑎2,2


4

dan nilai 𝑚 = 12 2 (22 + 1) = 5

SPL dari magic square ini adalah

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

𝑎1,1 + 𝑎1,2 = 5𝑎2,1 + 𝑎2,2 = 5𝑎1,1 + 𝑎2,1 = 5𝑎1,2 + 𝑎2,2 = 5𝑎1,1 + 𝑎2,2 = 5𝑎2,1 + 𝑎1,2 = 5

�

Dalam bentuk matriks:

⎝

⎜⎜⎛

1 1 0 00 0 1 11 0 1 00 1 0 11 0 0 10 1 1 0⎠

⎟⎟⎞�

𝑎1,1𝑎1,2𝑎2,1𝑎2,2

� =

⎝

⎜⎜⎛

555555⎠

⎟⎟⎞

Bentuk ringkasnya adalah

⎝

⎜⎜⎛

1 1 0 00 0 1 11 0 1 00 1 0 11 0 0 10 1 1 0

�

�

555555⎠

⎟⎟⎞

Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris

⎝

⎜⎜⎛

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

�

�

5 2⁄5 2⁄5 2⁄5 2⁄

00

⎠

⎟⎟⎞

Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑎1,1 = 5 2⁄𝑎1,2 = 5 2⁄𝑎2,1 = 5 2⁄𝑎2,2 = 5 2⁄

�

SPL ini kontradiksi dengan persamaan (2) bahwa tidak boleh ada elemen yang sama, sehingga untuk 𝑛 = 2, magic square tidak memiliki solusi. 3.3.3. Penyelesaian untuk 𝒏 = 3

Untuk 𝑛 = 3, magic square-nya adalah

𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3

𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3

𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3


dan nilai 𝑚 = 12 3 (32 + 1) = 15


⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧

𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎1,3 = 15𝑎2,1 + 𝑎2,2 + 𝑎2,3 = 15𝑎3,1 + 𝑎3,2 + 𝑎3,3 = 15𝑎1,1 + 𝑎2,1 + 𝑎3,1 = 15𝑎1,2 + 𝑎2,2 + 𝑎3,2 = 15𝑎1,3 + 𝑎2,3 + 𝑎3,3 = 15𝑎1,1 + 𝑎2,2 + 𝑎3,3 = 15𝑎1,3 + 𝑎2,2 + 𝑎3,1 = 15

�

Dalam bentuk matriks:

⎝

⎜⎜⎜⎜⎛

1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 11 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 0 1 0 1 0 0⎠

⎟⎟⎟⎟⎞

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑎1,1𝑎1,2𝑎1,3𝑎2,1𝑎2,2𝑎2,3𝑎3,1𝑎3,2𝑎3,3

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎛

1515151515151515

⎠

⎟⎟⎟⎟⎞


⎝

⎜⎜⎜⎜⎛

1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 11 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 11 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 0 1 0 1 0 0

�

�

�

1515151515151515⎠

⎟⎟⎟⎟⎞


⎝

⎜⎜⎜⎜⎛

1 0 0 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 −1 −10 0 0 1 0 0 0 −1 −20 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 20 0 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0

�

�

�

1010−5−10

520150

⎠

⎟⎟⎟⎟⎞


1,1 3,3

1,2 3,2

1,3 3,2 3,3

2,1 3,2 3,3

2,2

2,3 3,2 3,3

3,1 3,2 3,3

1010

52 10

52 20

15

a aa a

a a aa a a

aa a a

a a a

+ = + = − − = − − − = − = + + = + + =

Dari SPL yang sudah disederhanakan di atas, langsung didapatkan nilai untuk 𝑎2,2 yaitu 5. Hal ini berarti kotak tengah dari solusi untuk magic square berukuran 3 × 3, haruslah diisi dengan angka 5.

5

Dari SPL tersebut pula didapatkan 6 persamaan berikut

1,1 3,3

1,2 3,2

1,3 3,2 3,3

2,1 3,2 3,3

2,3 3,2 3,3

3,1 3,2 3,3

1010

510 2

20 215

a aa aa a aa a aa a aa a a

= − = − = − + + = − + + = − −

= − − …(7)

Keenam persamaan ini menunjukkan enam peubah yang bergantung pada peubah lain yaitu 𝑎1,1, 𝑎1,2, 𝑎1,3, 𝑎2,1, 𝑎2,3, 𝑎3,1 dan dua parameter yaitu 𝑎3,2 dan 𝑎3,3.

Perhatikan bahwa dari kedelapan peubah ini, haruslah ada 4 bilangan ganjil, dan 4 bilangan genap, dan hal ini hanya diberikan oleh pasangan 𝑎3,2 ganjil dan 𝑎3,3 genap.

Perhatikan juga bahwa 1 ≤ 𝑎3,1 ≤ 9 dan 𝑎3,1 + 𝑎3,2 + 𝑎3,3 = 15 mengakibatkan 6 ≤ 𝑎3,2 + 𝑎3,3 ≤ 14. Dengan demikian pasangan-pasangan �𝑎3,2,𝑎3,3� yang memungkinkan memberikan solusi untuk magic square berukuran 3 × 3 adalah (1,6), (1,8), (3,4), (3,6), (3,8), (7,2), (7,4), (7,6), (9,2), dan (9,4). Dari kesepuluh pasangan ini, yang memenuhi sistem persamaan (7) hanyalah pasangan-pasangan (1,6), (1,8), (3,4), (3,8), (7,2), (7,6), (9,2), dan (9,4).

Kedelapan solusi tersebut dalam bentuk tabel adalah: �𝑎3,2,𝑎3,3� 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,3 𝑎3,1

(1,6) 4 9 2 3 7 8 (1,8) 2 9 4 7 3 6 (3,4) 6 7 2 1 9 8 (3,8) 2 7 6 9 1 4 (7,2) 8 3 4 1 9 6 (7,6) 4 3 8 9 1 2 (9,2) 8 1 6 3 7 4 (9,4) 6 1 8 7 3 2

Kedelapan magic square tersebut adalah

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Gambar 5(a-h). Solusi magic square 3 × 3

Perhatikan bahwa kedelapan solusi magic square ini adalah tidak unik. Semuanya adalah permutasi dari refleksi atau rotasi dari 1 buah solusi. Sehingga pada dasarnya magic square berukuran 3 × 3 memiliki 1 solusi unik. 3.3.4. Penyelesaian untuk 𝒏 = 4


𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎1,4

𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎2,4

𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 𝑎3,4

𝑎4,1 𝑎4,2 𝑎4,3 𝑎4,4


dan nilai 𝑚 = 12 4 (42 + 1) = 34


⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎧𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎1,3 + 𝑎1,4 = 34𝑎2,1 + 𝑎2,2 + 𝑎2,3 + 𝑎2,4 = 34𝑎3,1 + 𝑎3,2 + 𝑎3,3 + 𝑎3,4 = 34𝑎4,1 + 𝑎4,2 + 𝑎4,3 + 𝑎4,4 = 34𝑎1,1 + 𝑎2,1 + 𝑎3,1 + 𝑎4,1 = 34𝑎1,2 + 𝑎2,2 + 𝑎3,2 + 𝑎4,2 = 34𝑎1,3 + 𝑎2,3 + 𝑎3,3 + 𝑎4,3 = 34𝑎1,4 + 𝑎2,4 + 𝑎3,4 + 𝑎4,4 = 34𝑎1,1 + 𝑎2,2 + 𝑎3,3 + 𝑎4,4 = 34𝑎4,1 + 𝑎3,2 + 𝑎2,3 + 𝑎1,4 = 34

�

6 1 8

7 5 3

2 9 4

8 1 6

3 5 7

4 9 2

4 3 8

9 5 1

2 7 6

8 3 4

1 5 9

6 7 2

2 7 6

9 5 1

4 3 8

6 7 2

1 5 9

8 3 4

2 9 4

7 5 3

6 1 8

4 9 2

3 5 7

8 1 6

6

Dalam bentuk matriks

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑎1,1𝑎1,2𝑎1,3𝑎1,4𝑎2,1𝑎2,2𝑎2,3𝑎2,4𝑎3,1𝑎3,2𝑎3,3𝑎3,4𝑎4,1𝑎4,2𝑎4,3𝑎4,4⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

34343434343434343434⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞


⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

�

�

�

34343434343434343434⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞


⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 −1 −10 1 0 0 0 0 0 −1 0 1 −1 −1 0 0 −1 −20 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 1 1 0 1 2 20 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 1 0 −1 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 20 0 0 0 0 0 1 −1 0 1 0 −1 0 −1 −1 −20 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�

�

�

−34−3468340

68−3434340 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞


1,1 2,4 3,4 4,2 4,3 4,4

1,2 2,4 3,2 3,3 3,4 4,3 4,4

1,3 2,4 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

1,4 2,4 3,4 4,4

2,1 2,4 3,2 3,3

2,2 2,4 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

2,

342 34

2 2 68340

2 68

a a a a a aa a a a a a a

a a a a a a a aa a a aa a a a

a a a a a a aa

− − − − − = −− + − − − − = −

+ − + + + + + =+ + + =+ − − =

+ + + + + + =3 2,4 3,2 3,4 4,2 4,3 4,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

2 343434

a a a a a aa a a aa a a a

− + − − − − = − + + + = + + + =

7

SPL ini ekivalen dengan

1,1 2,4 3,4 4,2 4,3 4,4

1,2 2,4 3,2 3,3 3,4 4,3 4,4

1,3 2,4 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

1,4 2,4 3,4 4,4

2,1 2,4 3,2 3,3

2,2 2,4 3,3 3,4 4,2 4,3 4,4

2,

342 34

2 2 6834

2 68

a a a a a aa a a a a a aa a a a a a a aa a a aa a a aa a a a a a aa

= + + + + −= − + + + + −= − + − − − − − += − − − += − + += − − − − − − +

3 2,4 3,2 3,4 4,2 4,3 4,4

3,1 3,2 3,3 3,4

4,1 4,2 4,3 4,4

2 343434

a a a a a aa a a aa a a a

= − + + + + − = − − − + = − − − +

Dari SPL tersebut terlihat bahwa terdapat 9 peubah yang bergantung pada peubah lain (𝑎1,1, 𝑎1,2, 𝑎1,3, 𝑎1,4, 𝑎2,1, 𝑎2,2, 𝑎2,3, 𝑎3,1, dan 𝑎4,1) dan terdapat 7 parameter (𝑎2,4, 𝑎3,2, 𝑎3,3, 𝑎3,4, 𝑎4,2, 𝑎4,3, dan 𝑎4,4).

Semua permutasi untuk nilai-nilai parameter ini diuji dengan menggunakan software Mathematica 7.0 dengan pengujinya adalah persamaan (2) yaitu tidak ada elemen yang bernilai sama. Sintaks dari program tersebut terdapat pada Lampiran 3 dengan banyaknya solusi 7040. 3.3.5. Penyelesaian untuk 𝒏 = 5


𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎1,4 𝑎1,5

𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎2,4 𝑎2,5

𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 𝑎3,4 𝑎3,5

𝑎4,1 𝑎4,2 𝑎4,3 𝑎4,4 𝑎4,5

𝑎5,1 𝑎5,2 𝑎5,3 𝑎5,4 𝑎5,5


dan nilai 𝑚 = 12 5 (52 + 1) = 65


⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎧𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎1,3 + 𝑎1,4 + 𝑎1,5 = 65𝑎2,1 + 𝑎2,2 + 𝑎2,3 + 𝑎2,4 + 𝑎2,5 = 65𝑎3,1 + 𝑎3,2 + 𝑎3,3 + 𝑎3,4 + 𝑎3,5 = 65𝑎4,1 + 𝑎4,2 + 𝑎4,3 + 𝑎4,4 + 𝑎4,5 = 65𝑎5,1 + 𝑎5,2 + 𝑎5,3 + 𝑎5,4 + 𝑎5,5 = 65𝑎1,1 + 𝑎2,1 + 𝑎3,1 + 𝑎4,1 + 𝑎5,1 = 65𝑎1,2 + 𝑎2,2 + 𝑎3,2 + 𝑎4,2 + 𝑎5,2 = 65𝑎1,3 + 𝑎2,3 + 𝑎3,3 + 𝑎4,3 + 𝑎5,3 = 65𝑎1,4 + 𝑎2,4 + 𝑎3,4 + 𝑎4,4 + 𝑎5,4 = 65𝑎1,5 + 𝑎2,5 + 𝑎3,5 + 𝑎4,5 + 𝑎5,5 = 65𝑎1,1 + 𝑎2,2 + 𝑎3,3 + 𝑎4,4 + 𝑎5,5 = 65𝑎1,5 + 𝑎2,4 + 𝑎3,3 + 𝑎4,2 + 𝑎5,1 = 65

�


⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎧

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

�

�

�

�

656565656565656565656565⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

8


⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1 0 0 0 0 0 0 −

12

0 −1 0 −12

12

−12

−1 0 0 −12

0 −1 0 −1 −1 −1 −1

0 1 0 0 0 0 0 −12

0 −1 012

−12

−12

−1 0 1 −12

−1 −1 0 0 −1 −1 −20 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 1 0 −1 0 1 1 0 1 1 2 20 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 012

0 1 0 −12

−32

−12

0 0 −1 −12

−1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 112

0 1 012

12

12

1 0 012

1 1 0 1 1 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 −1 0 −1 −1 −1 −20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�

�

�

�

�

−195

2

−195

265

13065

−652

3252

−656565650 ⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫


1951 1 1 1 11,1 2,3 2,5 3,2 3,3 3,4 3,5 4,3 4,5 5,2 5,3 5,4 5,52 2 2 2 2 2

1951 1 1 1 11,2 2,3 2,5 3,2 3,3 3,4 3,5 4,2 4,3 4,4 4,5 5,3 5,4 5,52 2 2 2 2 2

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3

1,4 2

265

a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a

a a a a aa a

− − − + − − − − − − − − = −− − + − − − + − − − − − − = −

+ + + + =+ ,5 3,3 3,4 3,5 4,2 4,4 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5

1,5 2,5 3,5 4,5 5,53 651 1 1 1

2,1 2,3 2,5 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,42 2 2 2 2 21 1 1 1 1

2,2 2,3 2,5 3,2 3,3 3,4 3,5 4,3 4,42 2 2 2 2

2 2 13065

a a a a a a a a a aa a a a a

a a a a a a a a aa a a a a a a a a a

− + + − + + + + + + =+ + + + =

+ + − − − − − − = −+ + + + + + + + + 325

5,2 5,3 5,4 5,5 2

2,4 2,5 3,3 3,5 4,2 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5

22 65

656565

a a aa a a a a a a a a a

a a a a aa a a a aa a a a a

+ + + =

− + − + − − − − − = − + + + + = + + + + =

+ + + + =

SPL di atas ekivalen dengan

1951 1 1 1 11,1 2,3 2,5 3,2 3,3 3,4 3,5 4,3 4,5 5,2 5,3 5,4 5,52 2 2 2 2 2

1951 1 1 1 11,2 2,3 2,5 3,2 3,3 3,4 3,5 4,2 4,3 4,4 4,5 5,3 5,4 5,52 2 2 2 2 2

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3

1,4 2

265

a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a aa a a a aa a

= + + − + + + + + + + + −= + − + + + − + + + + + + −= − − − − += − ,5 3,3 3,4 3,5 4,2 4,4 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5

1,5 2,5 3,5 4,5 5,53 651 1 1 1

2,1 2,3 2,5 3,2 3,3 3,4 4,2 4,3 4,42 2 2 2 2 21 1 1 1 1

2,2 2,3 2,5 3,2 3,3 3,4 3,5 4,3 4,42 2 2 2 2

2 2 13065

a a a a a a a a a aa a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a

+ − − + − − − − − − += − − − − += − − + + + + + + −= − − − − − − − − 325

5,2 5,3 5,4 5,5 2

2,4 2,5 3,3 3,5 4,2 4,5 5,2 5,3 5,4 5,5

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5

22 65

656565

a a a aa a a a a a a a a aa a a a aa a a a aa a a a a

− − − − +

= − + − + + + + + − = − − − − + = − − − − +

= − − − − +

SPL ini memperlihatkan bahwa

terdapat 11 peubah yang bergantung pada peubah lain (𝑎1,1, 𝑎1,2, 𝑎1,3, 𝑎1,4, 𝑎1,5, 𝑎2,1, 𝑎2,2, 𝑎2,4, 𝑎3,1, 𝑎4,1, dan 𝑎5,1) dan terdapat 14 parameter (𝑎2,3, 𝑎2,5, 𝑎3,2, 𝑎3,3, 𝑎3,4, 𝑎3,5, 𝑎4,2, 𝑎4,3, 𝑎4,4, 𝑎4,5, 𝑎5,2, 𝑎5,3, 𝑎5,4, dan 𝑎5,5).

Parameter sebanyak 14 ini tidak memungkinkan dilakukan pengujian untuk semua permutasi dari nilai-nilainya.

H.B. Meyer (2010) melakukan proses yang sama dan berusaha mendapatkan banyaknya solusi untuk magic square berukuran 5 × 5. Hasil dari pereduksian SPL yang dilakukannya ditampilkan dalam Teorema 1 berikut

9

Teorema 1:

1,5 1,1 1,2 1,3 1,4

2,5 2,1 2,2 2,3 2,4

3,5 3,1 3,2 3,3 3,4

4,2 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 4,1

4,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3

6565652 65325 4 2 2 2 2 2 2

a a a a aa a a a aa a a a aa a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a

= − − − −= − − − −= − − − −= + + + + − + − + −= − − − − − − − − − − − 3,4 4,1 4,4

4,5 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 4,4

5,1 1,1 2,1 3,1 4,1

5,2 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 4,1

5,3 1,1 1,2

2 22 2 19565130 2 24 2

a a aa a a a a a a a a a a a a aa a a a aa a a a a a a a a a a aa a a

− −= + + + + + + + + + + + + −= − − − −= − − − − − − + − − − −= + + 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 4,1 4,4

5,4 1,4 2,4 3,4 4,4

5,5 1,1 2,2 3,3 4,4

2 2 2 2 2 2 2606565

a a a a a a a a aa a a a aa a a a a

+ + + + + + + + − = − − − −

= − − − −

Dalam proses pencarian solusi ini, Meyer (2010) juga mendapatkan beberapa batasan tambahan yang digunakan untuk mengurangi panjangnya proses komputasi, yaitu: Teorema 2: 55 ≤ 3�𝑎1,1 + 𝑎2,2� + 2�𝑎1,2 + 𝑎2,1� ≤ 205 karena 𝑎1,2,𝑎2,1 ≥ 1 dan 𝑎1,2,𝑎2,1 ∈{1,2,⋯ ,25} dan 𝑎1,2 ≠ 𝑎2,1 maka 3 ≤ 𝑎1,2 +𝑎2,1 dan dari Teorema 2

58 ≤ 55 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 ≤ 3�𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 + 𝑎2,2�

583≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 + 𝑎2,2

Karena 𝑎1,1,𝑎1,2,𝑎2,1,𝑎2,2 ∈ ℤ+ maka 20 ≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 + 𝑎2,2

Dan dengan mengganti masing-masing 𝑎𝑖,𝑗 dengan 26− 𝑎𝑖,𝑗 maka

20 ≤ �26− 𝑎1,1�+ �26− 𝑎1,2�+ �26− 𝑎2,1�+ �26− 𝑎2,2�

−84 ≤ −𝑎1,1 − 𝑎1,2 − 𝑎2,1 − 𝑎2,2 Akibat 1:

20 ≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,2 + 𝑎2,1 + 𝑎2,2 ≤ 84

Teorema 3: 218 ≤ 3�𝑎1,1 + 𝑎2,2 + 𝑎3,3�

+ 2�𝑎1,2 + 𝑎1,3 + 𝑎1,5+ 𝑎2,3 + 𝑎3,1 + 𝑎3,2)≤ 328

Teorema 4: (Jumlah pojok)

26 ≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,5 + 𝑎5,1 + 𝑎5,5 ≤ 78 Akibat 2: (jumlah “X”) 52 ≤ 𝑎1,1 + 𝑎1,5 + 2𝑎3,3 + 𝑎5,1 + 𝑎5,5 ≤ 104 Karena 𝑎𝑖 ,𝑗 ∈ {1, 2, 3, … , 𝑛2} ∀𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛}

dan 𝑎𝑘,𝑙 = 𝑎𝑚,𝑛 ⟹ 𝑘 = 𝑚 ⋀ 𝑙 = 𝑛

untuk semua 𝑘, 𝑙,𝑚,𝑛 ∈ {1,2,3, … ,𝑛} maka 𝑎1,1

2 + 𝑎1,22 +⋯+ 𝑎5,5

2

= 12 + 22 + ⋯+ 252 Dengan menyubtitusikan 𝑎1,5, 𝑎2,5, 𝑎3,5, 𝑎4,2, 𝑎4,3, 𝑎4,5 𝑎5,1 𝑎5,2 𝑎5,3 𝑎5,4 dan 𝑎5,5 pada Teorema 1 ke persamaan di atas, didapatkan

Teorema 5:

𝑎4,4 =1

12�1495 − 19𝑎1,1 − 9𝑎1,2 − 7𝑎1,3 − 10𝑎1,4 − 9𝑎2,1 − 11𝑎2,2 − 3𝑎2,3 − 2𝑎2,4 − 9𝑎3,1

− 5𝑎3,2 − 5𝑎3,3 − 6𝑎3,4 − 8𝑎4,1 ± √𝐷� dengan D adalah bilangan kuadrat berikut

10

𝐷 = −215𝑎1,12 − 111𝑎1,2

2 − 71𝑎1,32 − 68𝑎1,4

2 − 87𝑎2,12 − 71𝑎2,2

2 − 39𝑎2,32 − 68𝑎2,4

2

− 87𝑎3,12 − 47𝑎3,2

2 − 95𝑎3,32 − 36𝑎3,4

2 − 80𝑎4,12

+ 𝑎1,1�−258𝑎1,2 − 190𝑎1,3 − 172𝑎1,4 − 210𝑎2,1 − 134𝑎2,2 − 30𝑎2,3+ 124𝑎2,4 − 210𝑎3,1 − 98𝑎3,2 + 70𝑎3,3 − 12𝑎3,4 − 200𝑎4,1)+ 𝑎1,2�−138𝑎1,3 − 132𝑎1,4 − 126𝑎2,1 − 90𝑎2,2 − 18𝑎2,3 + 84𝑎2,4 − 126𝑎3,1− 78𝑎3,2 + 66𝑎3,3 − 12𝑎3,4 − 120𝑎4,1)+ 𝑎1,3�−100𝑎1,4 − 90𝑎2,1 − 62𝑎2,2 − 30𝑎2,3 + 52𝑎2,4 − 50𝑎3,2 + 22𝑎3,3− 12𝑎3,4 − 90𝑎3,1 − 80𝑎4,1)+ 𝑎1,4�−84𝑎2,1 − 44𝑎2,2 − 12𝑎2,3 + 40𝑎2,4 − 84𝑎3,1 − 44𝑎3,2 + 52𝑎3,3− 24𝑎3,4 − 80𝑎4,1)+ 𝑎2,1�−90𝑎2,2 − 42𝑎2,3 + 36𝑎2.4 − 126𝑎3,1 − 54𝑎3,2 + 42𝑎3,3 − 12𝑎3,4− 120𝑎4,1)+ 𝑎2,2�−54𝑎2,3 − 4𝑎2,4 − 66𝑎3,1 − 58𝑎3,2 − 34𝑎3,3 − 12𝑎3,4 − 40𝑎4,1�+ 𝑎2,3�−36𝑎2,4 − 18𝑎3,1 − 18𝑎3,2 − 42𝑎3,3 − 12𝑎3,4�+ 𝑎2,4�60𝑎3,1 + 20𝑎3,2 − 76𝑎3,3 − 24𝑎3,4 + 80𝑎4,1�+ 𝑎3,1�−78𝑎3,2 + 18𝑎3,3 − 36𝑎3,4 − 120𝑎4,1�+ 𝑎3,2�−22𝑎3,3 − 36𝑎3,4 − 40𝑎4,1� + 𝑎3,3�−36𝑎3,4 + 80𝑎4,1�+ 22750𝑎1,1+ 15210𝑎1,2 + 11830𝑎1,3 + 10660𝑎1,4 + 13650𝑎2,1 + 10790𝑎2,2 + 5070𝑎2,3− 2860𝑎2,4 + 13650𝑎3,1 + 8450𝑎3,2 + 650𝑎3,3 + 3900𝑎3,4 + 10400𝑎4,1− 791375

Dua magic square berikut ini menunjukkan bahwa 𝑎1,1,𝑎1,2,𝑎1,3,𝑎1,4,𝑎2,1,𝑎2,2,𝑎2,3,𝑎2,4, 𝑎3,1,𝑎3,2,𝑎3,3,𝑎3,4, dan 𝑎4,1 tidak secara lengkap menentukan magic square, namun oleh Teorema 5 terdapat maksimal 2 magic square yang memiliki kesamaan ini karena hanya ada 2 nilai 𝑎4,4 yang mungkin.

20 1 13 23 8

4 21 14 2 24

6 22 12 16 9

10 18 15 5 17

25 3 11 19 7

(a)

20 1 13 23 8

4 21 14 2 24

6 22 12 16 9

10 18 11 7 19

25 3 15 17 5

(b) Gambar 8(a,b). Contoh magic square

berukuran 5 × 5

Dengan batasan-batasan yang diberikan oleh Teorema 1 sampai dengan 5 ini maka terdapat 2,202,441,792 banyaknya solusi untuk magic square berukuran 5 × 5 (Meyer, 2010).

11

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1. Simpulan Magic squre dapat diselesaikan

menggunakan metode SPL. Operasi-operasi matriks sperti penjumlahan, perkalian dengan skalar dapat digunakan untuk mencari magic square baru dari yang sudah ada, tetapi perkalian matriks hanya menghasilkan semi magic square.

Banyaknya solusi dari magic square berukuran 𝑛 × 𝑛 bertambah dengan sangat cepat seiring dengan bertambahnya n. Banyaknya solusi untuk magic square berukuran 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, dan 5 × 5 berturut-turut adalah 1, 0, 8, 7.040, dan 2.202.441.792. Barisan ini tidak memperlihatkan adanya pola.

Bentuk-bentuk matriks yang dihasilkan melalui operasi-operasi baris dasar pada setiap ukuran magic square juga tidak memperlihatkan adanya pola yang dapat digunakan untuk mencari solusi magic square berukuran lebih besar.

4.2. Saran

Dalam tulisan ilmiah ini belum dibahas mengenai metode-metode yang saat ini popular digunakan untuk mencari contoh solusi untuk magic square berukuran besar. Jika ada penulis selanjutnya yang ingin membahas mengenai magic square dapat mempelajari dan mengembangkan metode-metode tersebut.

DAFTAR PUSTAKA

Andrews, W. S. 1917. Magic Square and Cubes 2nd edition. Open Court Publishing Company.

Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer.

Edisi Kelima. Terjemahan Pantur Silaban & I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta.

Ballew, P. 2006. Magic Square Report

http://www.pballew.net/MagSqRep.doc [30 Agustus 2010]

Leon, S. J. 2001. Aljabar Linear dan

Aplikasinya. Edisi Kelima. Terjemahan Alit Bondan. Erlangga, Jakarta

Meyer, H. B. “Some Theory Concerning 5×5 magic squares”, http://www.hbmeyer.de/backtrack/mq5/mag5the.htm [04 November 2010]

Weisstein, Eric W. “Magic Square” from

MathWorld-A Wolfram Web Resource http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html [25 Juli 2010]

http://www.pballew.net/MagSqRep.doc

http://www.hbmeyer.de/backtrack/mq5/mag5the.htm

http://www.hbmeyer.de/backtrack/mq5/mag5the.htm

http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html

http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html

LAMPIRAN

13

Lampiran 1. Contoh sanggahan untuk jumlah diagonal matriks 𝑪 = 𝑨𝑩

Jumlah diagonal 𝑪 adalah ∑ 𝑐𝑖 ,𝑖𝑛𝑖=1 dan ∑ 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗

𝑛𝑗=1 . Karena 𝑪 = 𝑨𝑩, maka

𝑐𝑖 ,𝑗 = ∑ 𝑎𝑖 ,𝑘𝑏𝑘,𝑗𝑛𝑘=1

dan akibatnya

∑ 𝑐𝑖,𝑖 = ∑ ∑ 𝑎𝑖 ,𝑘𝑏𝑘,𝑖𝑛𝑘=1

𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1

∑ 𝑐𝑛−𝑗+1,𝑗𝑛𝑗=1 = ∑ ∑ 𝑎𝑛−𝑗+1,𝑘𝑏𝑘,𝑗

𝑛𝑘=1

𝑛𝑗=1

a. Ukuran 3 × 3 Misalkan

𝑨 = �4 9 23 5 78 1 6

� dan 𝑩 = �2 7 69 5 14 3 8

�


∑ 𝑐𝑖,𝑖 = ∑ ∑ 𝑎𝑖 ,𝑘𝑏𝑘,𝑖3𝑘=1

3𝑖=1

3𝑖=1

= 261 ∑ 𝑐3−𝑗+1,𝑗

3𝑗=1 = ∑ ∑ 𝑎3−𝑗+1,𝑘𝑏𝑘,𝑗

3𝑘=1

3𝑗=1

= 165

⟹ tidak sama dengan 𝑚𝐴𝑚𝐵 = 225

b. Ukuran 4 × 4 Misalkan

𝑨 = �1 2 15 16

12 14 3 513 7 10 48 11 6 9

� dan 𝑩 = �16 14 13 12 4 13 155 9 8 12

11 7 10 6

�


∑ 𝑐𝑖,𝑖 = ∑ ∑ 𝑎𝑖 ,𝑘𝑏𝑘,𝑖4𝑘=1

4𝑖=1

4𝑖=1

= 1236 ∑ 𝑐4−𝑗+1,𝑗

4𝑗=1 = ∑ ∑ 𝑎4−𝑗+1,𝑘𝑏𝑘,𝑗

4𝑘=1

4𝑗=1

= 1326


c. Ukuran 5 × 5 Misalkan

𝑨 =

⎝

⎜⎛

17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 22

10 12 19 21 311 18 25 2 9 ⎠

⎟⎞

dan 𝑩 =

⎝

⎜⎛

20 1 13 23 84 21 14 2 246 22 12 16 9

10 18 15 5 1725 3 11 19 7 ⎠

⎟⎞


∑ 𝑐𝑖,𝑖 = ∑ ∑ 𝑎𝑖 ,𝑘𝑏𝑘,𝑖5𝑘=1

5𝑖=1

5𝑖=1

= 3875 ∑ 𝑐5−𝑗+1,𝑗

5𝑗=1 = ∑ ∑ 𝑎5−𝑗+1,𝑘𝑏𝑘,𝑗

5𝑘=1

5𝑗=1

= 4575


14

Lampiran 2. Row reduce menggunakan Mathematica 7.0

1.a. row reduce untuk magic square berukuran :

1.b. row reduce untuk magic square berukuran :

1.c. row reduce untuk magic square berukuran :

RowReduce

1 1 0 0 5

0 0 1 1 5

1 0 1 0 5

0 1 0 1 5

1 0 0 1 5

0 1 1 0 5

MatrixForm

1 0 0 05

2

0 1 0 05

2

0 0 1 05

2

0 0 0 15

2

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

RowReduce

1 1 1 0 0 0 0 0 0 15

0 0 0 1 1 1 0 0 0 15

0 0 0 0 0 0 1 1 1 15

1 0 0 1 0 0 1 0 0 15

0 1 0 0 1 0 0 1 0 15

0 0 1 0 0 1 0 0 1 15

1 0 0 0 1 0 0 0 1 15

0 0 1 0 1 0 1 0 0 15

MatrixForm

1 0 0 0 0 0 0 0 1 10

0 1 0 0 0 0 0 1 0 10

0 0 1 0 0 0 0 1 1 5

0 0 0 1 0 0 0 1 2 10

0 0 0 0 1 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 1 0 1 2 20

0 0 0 0 0 0 1 1 1 15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

RowReduce

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 34

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 34

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 34

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 34

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 34

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 34

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 34

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 34

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 34

0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 34

MatrixForm

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 34

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 2 34

0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2 68

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 34

0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 68

0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 2 34

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 34

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 34

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15

1.d. row reduce untuk magic square berukuran :

RowReduce

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 65

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 65

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 65

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 65

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 65

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 65

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 65

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 65

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 65

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 65

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 65

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 65

MatrixForm

1 0 0 0 0 0 0 1

20 1 0

1

2

1

2

1

21 0 0

1

20 1 0 1 1 1 1

195

2

0 1 0 0 0 0 0 1

20 1 0

1

2

1

2

1

21 0 1

1

21 1 0 0 1 1 2

195

2

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 65

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 2 2 130

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 65

0 0 0 0 0 1 01

20 1 0 1

2 3

2 1

20 0 1 1

21 0 0 0 0 0 0 65

2

0 0 0 0 0 0 11

20 1 0

1

2

1

2

1

21 0 0

1

21 1 0 1 1 1 2

325

2

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 2 65

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 65

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 65

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 65

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

16

Lampiran 3. Sintaks Mathematica 7.0 dalam mencari seluruh solusi magic square berukuran 4 × 4

dari SPL yang sudah disederhanakan.

Keluaran dari program in i adalah seluruh solusi solusi magic square berukuran yang

cukup panjang, yaitu 7040 baris. Hal ini menunjukkan bahwa banyaknya solusi adalah 7040.

Solusi-solusi tersebut dalam bentuk Short adalah

a 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;

b ;

i 0;

Forj1 1, j1 17, j1,

a2, 4 j1;

Forj2 1, j2 17, j2,

IfMemberQa, j2, 2, Continue, a3, 2 j2;

Forj3 1, j3 17, j3,


Forj4 1, j4 17, j4,


Forj5 1, j5 17, j5,


Forj6 1, j6 17, j6,


Forj7 1, j7 17, j7,


a1, 1 a2, 4 a3, 4 a4, 2 a4, 3 a4, 4 34;

a1, 2 a2, 4 a3, 2 a3, 3 a3, 4 a4, 3 2 a4, 4 34;

a1, 3 a2, 4 a3, 2 a3, 3 a3, 4 a4, 2 2 a4, 3

2 a4, 4 68;

a1, 4 a2, 4 a3, 4 a4, 4 34;

a2, 1 a2, 4 a3, 2 a3, 3;

a2, 2 a2, 4 a3, 3 a3, 4 a4, 2 a4, 3 2 a4, 4 68;

a2, 3 a2, 4 a3, 2 a3, 4 a4, 2 a4, 3 2 a4, 4 34;

a3, 1 a3, 2 a3, 3 a3, 4 34;

a4, 1 a4, 2 a4, 3 a4, 4 34;

IfCounta, 1, 2Counta, 2, 2Counta, 3, 2Counta, 4, 2Counta, 5, 2

Counta, 6, 2Counta, 7, 2Counta, 8, 2Counta, 9, 2Counta, 10, 2

Counta, 11, 2Counta, 12, 2Counta, 13, 2Counta, 14, 2Counta, 15, 2

Counta, 16, 2 1,

b Unionb, a;

i;

Printi, " ", a;

;

a1, 1 0; a1, 2 0; a1, 3 0; a1, 4 0; a2, 1 0; a2, 2 0;

a2, 3 0; a3, 1 0; a4, 1 0;

a4, 4 0;

; a4, 3 0;

; a4, 2 0;

; a3, 4 0;

; a3, 3 0;

; a3, 2 0;

; a2, 4 0;

17

Shortb, 10

1, 2, 15, 16, 12, 14, 3, 5, 13, 7, 10, 4, 8, 11, 6, 9,

1, 2, 15, 16, 13, 14, 3, 4, 12, 7, 10, 5, 8, 11, 6, 9,

1, 2, 16, 15, 13, 14, 4, 3, 12, 7, 9, 6, 8, 11, 5, 10,

1, 3, 14, 16, 10, 13, 4, 7, 15, 6, 11, 2, 8, 12, 5, 9,

1, 3, 14, 16, 12, 13, 4, 5, 15, 8, 9, 2, 6, 10, 7, 11,

1, 3, 14, 16, 15, 13, 4, 2, 10, 6, 11, 7, 8, 12, 5, 9,

1, 3, 14, 16, 15, 13, 4, 2, 12, 8, 9, 5, 6, 10, 7, 11,

7026, 16, 14, 3, 1, 2, 4, 13, 15, 5, 9, 8, 12, 11, 7, 10, 6,

16, 14, 3, 1, 2, 4, 13, 15, 7, 11, 6, 10, 9, 5, 12, 8,

16, 14, 3, 1, 5, 4, 13, 12, 2, 9, 8, 15, 11, 7, 10, 6,

16, 14, 3, 1, 7, 4, 13, 10, 2, 11, 6, 15, 9, 5, 12, 8,

16, 15, 1, 2, 4, 3, 13, 14, 5, 10, 8, 11, 9, 6, 12, 7,

16, 15, 2, 1, 4, 3, 14, 13, 5, 10, 7, 12, 9, 6, 11, 8,

16, 15, 2, 1, 5, 3, 14, 12, 4, 10, 7, 13, 9, 6, 11, 8

Documents

Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem ... · Magic square mulai dipakai dan diartikan dalam berbagai cara ... sebagai sebuah permasalahan Sistem Persamaan Linear