PENGUJIAN STRUKTUR MATEMATIKA GRUP BERBASIS

OSP (OPEN SOURCE PROGRAM)

Ngarap Im Manik, Don Tasman &Pretty Christyaningrum TurangJurs. Matematika BINUS University

Jl.Kebon Jeruk Raya no.27 Jakarta, IndonesiaEmail : manik@binus.edu

ABSTRAK

Struktur matematika grup merupakan bagian dari aljabar abstrak yang bermanfaat dalam pengembangan metode penyelesaian masalah yang bersifat abstrak yang sulit diuji dan direpresentasikan melalui operasi aljabar biasa. Sehubungan dengan hal di atas maka dikembangkan suatu program komputer berbasis open source yang dapat menguji dan membuktikan salah satu bentuk struktur matematika grup. Adapun bentuk grup yang dapat diuji dan dibuktikan meliputi jenis grup aperiodik, grup periodik, grup campuran, grup faktor, dan subgrup normal. Hasil pengembangan program menunjukkan bahwa pegujian terhadap beberapa jenis grup yang diuraikan di atas dapat dilakukan dengan baik dan sempurna dengan membutuhkan waktu yang relatif singkat jika diselesaikan secara manual. Dalam program ini, digunakan bahasa pemrograman Java dengan tujuan selain dapat dijalankan pada beberapa platform sistem operasi berbeda, juga dapat dipublikasikan secara bebas /gratis sehingga memungkinkan programmer atau peneliti lain mengembangkan program aplikasi ini dengan menambahkan fitur yang lebih bermanfaat.

Kata kunci: Grup Periodik, Grup Aperiodik, Grup Campuran, Grup Faktor Subgrup Normal.

PENDAHULUAN

Aljabar abstrak atau yang juga dikenal dengan struktur matematika merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan kajian kuantitas, hubungan, dan struktur yang terbentuk. Lebih spesifik, aljabar abstrak mempelajari struktur aljabar seperti grup, gelanggang (ring), dan lapangan (fields). Ilmu aljabar abstrak berkembang dengan pesat karena penerapan karakteristik dari bentuk-bentuk struktur aljabar tersebut banyak bermanfaat dalam pengembangan metode penyelesaian masalah yang bersifat abstrak dan sulit direpresentasikan melalui operasi aljabar biasa.[1]. Beberapa topik penelitian telah dilakukan sebelumnya yaitu oleh (Stefaan Caenepeel dan Alain Verschoren, 2009) tentang “Noncommutative Rings and Geometry” yang membahas non kumutatif ring melalui sebuah grup, serta (D.A.R. Wallace, 2004) melakukan pembuktian struktur aljabar ring dengan memanfaatkan teorema group. Demikian juga (Muzaffer Okur at all, 2011) telah mengembangkan model GAP (Group, Algorithm, Programming) untuk melakukan pembuktian sebuah group dan subgroup. Demikian pula dengan (Ngarap Im Manik, dkk 2010) telah melakukan perancangan piranti lunak untuk pembuktian grup khusus (Grup, SubGrup dan Homomorphisma grup) dengan menggunakan alat bantu perangkat lunak komputer. Demikian juga oleh Suryoto dan Iswati. (2008). K-Aljabar. Penelitian ini membahas mengenai struktur aljabar yang dibangun atas suatu grup sehingga sifat-sifat yang berlaku pada grup akan berlaku juga pada K-Aljabar. Jika grup terdapat subgrup dan homomorfisma grup, maka pada K-Aljabar terdapat K-Sub aljabar dan K-Homomorfisma. Nancy, S. (2009) Program Aplikasi Pengujian Grup.Dalam penelitian ini, program aplikasi hanya mencakup pembuktian struktur aljabar umum hingga grup abelian (komutatif). Selain itu, program sebelumnya hanya mendukung pengujian untuk sebuah sistem aljabar. Dan Andrew Saputra, (2010) Perancangan Program Aplikasi Pengujian Struktur Aljabar Grup Khusus (Abelian, Siklik, Homomorfisma, Isomorfisma, Monomorfisma, dan Epimorfisma). Dalam penelitian ini, program yang dirancang mempunyai kemampuan untuk menguji bentuk-bentuk grup khusus yang sebelumnya tidak dicakup, antara lain meliputi grup siklik, grup homomorfis, isomorfis, monomorfis, dan epimorfis. Selain itu, program dirancang untuk dapat melakukan pengujian terhadap 2 buah sistem aljabar secara simultan Dari semua penelitian di atas, yang membedakannya dengan penelitian ini terletak pada cakupan pengujiannya. Penelitian ini dirancang untuk dapat melakukan pengujian terhadap bentuk-bentuk grup khusus lainnya seperti grup aperiodik, grup periodik, grup campuran, grup faktor, dan subgrup normal. Selain itu, dilakukan juga perombakan ulang desain tampilan antarmuka (interface) sehingga memudahkan navigasi pengguna dalam beralih antar modul dalam program, userfriendly, dan efisien.

METODE

Untuk dapat melakukan pengujian struktur matematika grup dilakukan dengan merancang sebuah perangkat lunak komputer berbasis open source., yang secara umum meliputi kegiatan atau tahapan analysist – design – coding(construction) – testing – maintenance. Sistem dibuat dan dirancang sedemikian rupa agar menghasilkan sebuah aplikasi program yang efisien dan mudah digunakan oleh pengguna serta dapat memberikan hasil keluaran yang jelas dan mudah dipahami pengguna program aplikasi tersebut.[3] Langkah awal yang dilakukan sebelum membuat perangkat lunak adalah merancangnya terlebih dahulu. Perancangan perangkat lunak adalah disiplin manajerial dan teknis yang berkaitan dengan pembuatan dan pemeliharaan produk perangkat lunak secara sistematis, termasuk pengembangan dan modifikasinya, yang dilakukan pada waktu yang tepat dan dengan pertimbangan faktor biaya.

Langkah pertama yang perlu dilakukan oleh pengguna adalah memasukkan data dan elemen sistem aljabar yang dibutuhkan program untuk proses pengujian sifat. Pengguna akan memasukkan data dan elemen pada himpunan yang akan diuji. Pengguna dapat memasukkan data untuk satu atau dua buah himpunan sesuai kebutuhan. Jika pengguna ingin menguji sampai

sifat grup faktor, homomorfisma, dan subgrup normal, maka pengguna perlu memasukkan data elemen untuk kedua himpunan. Selain itu pengguna juga perlu memasukkan hasil operasi untuk tiap pasang elemen himpunan tersebut ke dalam tabel Cayley yang akan di-generate oleh program. Setelah data elemen dan hasil operasi dari tiap sistem aljabar selesai dimasukkan pengguna, secara otomatis program melakukan pengolahan data. Hasil dari proses pengolahan data ini adalah berupa sifat-sifat umum dari operasi aljabar yang telah teruji, mulai dari sifat tertutup, asosiatif, ada tidaknya elemen identitas, ada tidaknya invers bagi setiap elemen dalam sistem aljabar, serta sifat komutatif. Selanjutnya, program akan melakukan pengujian untuk klasifikasi struktur aljabar umum sesuai dengan definisi. Pengujian sifat-sifat umum dan pengujian klasifikasi struktur aljabar umum harus dilakukan terlebih dahulu sebelum pengguna dapat melakukan pengujian untuk klasifikasi bentuk-bentuk struktur aljabar khusus.[5]

Jika pengujian sifat-sifat umum dan pengujian klasifikasi struktur aljabar umum telah membuktikan bahwa sistem aljabar tersebut adalah sebuah grup, maka pengguna dapat melanjutkan instruksi program untuk menguji beberapa bentuk grup khusus, yaitu siklik, berhingga (aperiodik, periodik, dan campuran), faktor, subgrup normal, dan homomorfisma. Pada pengujian homomorfisma pengolahan data akan berjalan jika kedua sistem aljabar yang di-input terbukti sebagai grup. Selain itu pada uji homomorfisma juga akan diuji bentuk derivatif homomorfisma, yakni sifat isomorfisma, monomorfisma, dan epimorfisma. Pada pengujian subgrup normal dan grup faktor pengolahan data akan berjalan jika sistem aljabar terbukti merupakan grup serta sistem aljabar lainnya merupakan subgrup dari grup tersebut. Secara garis besar sistem pengujian dimaksud dapat dilihat pada gambar 1.[4][6]

Gambar 1. Flow Chart Sistem Kontrol Modul

HASIL & PEMBAHASAN

Untuk mengevaluasi kinerja sistem apakah dapat melakukan pengujian dengan tepat atau tidak akan dilakukan percobaan pada 2 himpunan berbeda, yaitu :1. Sistem Aljabar (G,*) terdiri dari:

Himpunan G = {0, 1, 2}Operasi “*” didefinisikan sebagai operasi penjumlahan modulo 3

2. Sistem Aljabar (H,#) terdiri dari:Himpunan permutasi H = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)}Operasi “#” didefinisikan sebagai operasi komposisi

Pengujian ManualPertama didefinisikan hasil operasi dari masing-masing sistem aljabar pada tabel Cayley. Untuk operasi penjumlahan modulo 3 pada tabel G seluruh kemungkinan hasil operasinya adalah sebagai berikut.

Tabel 1 Operasi Penjumlahan Modulo 3* 0 1 2

0 0 1 21 1 2 02 2 0 1

Sedangkan untuk operasi komposisi pada himpunan permutasi H, seluruh kemungkinan hasil operasinya adalah seperti pada tabel 2.

Tabel 2. Operasi Komposisi pada Himpunan Permutasi# (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3)(1) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3)(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 3) (2 3) (1 2)(1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3)(1 2) (1 2) (2 3) (1 3) (1) (1 3 2) (1 2 3)(1 3) (1 3) (1 2) (2 3) (1 2 3) (1) (1 3 2)(2 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1 3 2) (1 2 3) (1)

Lalu dimulai pengujian sifat untuk klasifikasi struktur aljabar umum. sebagai berikut:

1. TertutupUntuk sistem aljabar (G,*), seluruh kemungkinan hasil operasi ada dalam jangkauan elemen himpunan G. Demikian pula untuk sistem aljabar (H,#), seluruh kemungkinan hasil operasi ada dalam jangkauan elemen himpunan H. Terbukti operasi pada (G,*) dan operasi pada (H,#) berifat tertutup

2. AsosiatifUntuk sistem aljabar (G,*) dilakukan pengujian pada semua kemungkinan pasangan operasi.

Tabel 3. Beberapa hasil Uji Asosiatif (G,*)0*(0*0) = 0*0 = 0 Equal to 0 = 0*0 = (0*0)*00*(0*1) = 0*1 = 1 Equal to 1 = 0*1 = (0*0)*11*(0*0) = 1*0 = 1 Equal to 1 = 1*0 = (1*0)*01*(0*1) = 1*1 = 2 Equal to 2 = 1*1 = (1*0)*12*(0*0) = 2*0 = 2 Equal to 2 = 2*0 = (2*0)*02*(2*2) = 2*1 = 0 Equal to 0 = 1*2 = (2*2)*2

Terbukti operasi pada sistem aljabar (G,*) bersifat asosiatif.

Demikian pula dilakukan pengujian sifat asosiatif untuk semua kemungkinan pasangan operasi pada sistem aljabar (H,#) sebagai berikut. Untuk memudahkan pembacaan pada tabel digunakan simbol pengganti bagi elemen-elemen, yaitu :(1) menjadi 1; (1 2) menjadi 12 ; (1 2 3) menjadi 123; (1 3) menjadi 13;(2 3) menjadi 23dan (1 3 2) menjadi 132;

Tabel 4. Beberapa Hasil Uji Asosiatif (H,#)1#(1#1) = 1#1 = 1   sama dengan 1 = 1#1 = (1#1)#1

1#(1#123) = 1#123 = 123 sama dengan 123 = 1#123 = (1#1)#123

1#(1#132) = 1#132 = 132   sama dengan 132 = 1#132 = (1#1)#132

1#(1#12) = 1#12 = 12 sama dengan 12 = 1#12 = (1#1)#12............. 23#(23#13) = 23#123 = 13   sama dengan 13 = 1#13 = (23#23)#13

23#(23#23) = 23#1 = 23   sama dengan 23 = 1#23 = (23#23)#23

Terbukti operasi pada sistem aljabar (H,#) bersifat asosiatif. Sehingga (G,*) dan (H,#) memenuhi sifat tertutup dan asosiatif. Maka (G,*) dan (H,#) memenuhi syarat semigrup.

3. Elemen identitasUntuk sistem aljabar (G,*) terdapat elemen identitas gabungan, e = 0.0*0 = 0 ; 1*0 = 0*1 = 1; 2*0 = 0*2 = 2Untuk sistem aljabar (H,#) juga terdapat elemen identitas gabungan, e = (1)(1)#(1) = (1) ; (1 2 3)#(1) = (1)#(1 2 3) = (1 2 3) ; (1 3 2)#(1) = (1)#(1 3 2) = (1 3 2)(1 2)#(1) = (1)#(1 2) = (1 2); (1 3)#(1) = (1)#(1 3)=(1 3) dan (2 3)#(1)=(1)#(2 3) = (2 3)(G,*) dan (H,#) memenuhi sifat semigrup dan memiliki elemen identitas. Maka (G,*) dan (H,#) memenuhi syarat monoid.

4. InversSetiap elemen dalam sistem aljabar (G,*) memiliki invers.Invers 0 adalah 0 ; Invers 1 adalah 2 ; Invers 2 adalah 1Setiap elemen dalam sistem aljabar (H,#) juga memiliki invers.Invers (1) adalah (1) ; Invers (1 2 3) adalah (1 3 2); Invers (1 3 2) adalah (1 2 3)Invers (1 2) adalah (1 2) ; Invers (1 3) adalah (1 3) dan Invers (2 3) adalah (2 3)(G,*) dan (H,#) memenuhi sifat Monoid dan tiap elemennya memiliki invers. Maka (G,*) dan (H,#) memenuhi syarat Grup.

5. KomutatifUntuk sistem aljabar (G,*) dilakukan pengujian terhadap semua kemungkinan pasangan operasi sebagai berikut.

Tabel 5. Hasil Uji Komutatif (G,*)0*0 = 0   sama dengan 0 = 0*00*1 = 1   sama dengan 1 = 1*00*2 = 2 sama dengan 2 = 2*01*0 = 1 sama dengan 1 = 0*12*0 = 2 sama dengan 2 = 0*22*1 = 0 sama dengan 0 = 1*22*2 = 1 sama dengan 1 = 2*2

Terbukti operasi pada (G,*) memenuhi sifat komutatif.

Demikian pula untuk sistem aljabar (H,#) dilakukan pengujian terhadap semua kemungkinan pasangan operasi, di mana terbukti operasi pada (H,#) tidak memenuhi sifat komutatif.

Grup Abelian (Komutatif)Karena (G,*) memenuhi sifat komutatif, maka (G,*) merupakan grup abelian (komutatif). Sebaliknya grup (H,#) tidak memenuhi sifat komutatif maka grup (H,#) bukan merupakan grup abelian (komutatif).

Grup SiklikUntuk sistem aljabar (G,*) dilakukan pengujian operasi tiap elemen dengan dirinya sendiri sebagai berikut.

0 = 0*0 0 = 1*1*1 0 = 2*2*21 = 1*1*1*1 1 = 2*22 = 1*1 2 = 2*2*2*2

Ada elemen 1 dan 2 yang hasil operasi dengan dirinya sendiri dapat menghasilkan seluruh elemen dalam himpunan G, maka (G,*) adalah grup siklik.Demikian pula untuk sistem aljabar (H,#) dilakukan pengujian operasi tiap elemen dengan dirinya sendiri sebagai berikut.

(1) = (1)#(1) (1) = (1 2 3)#(1 2 3)#(1 2 3)(1 2 3) = (1 2 3)#(1 2 3)#(1 2 3)#(1 2 3)(1 3 2) = (1 2 3)#(1 2 3)

(1) = (1 3 2)#(1 3 2)#(1 3 2) (1) = (1 2)#(1 2)(1 2 3) = (1 3 2)#(1 3 2) (1 2) = (1 2)#(1 2)#(1 2)(1 3 2) = (1 3 2)#(1 3 2)#(1 3 2)#(1 3 2)

(1) = (1 3)#(1 3) (1) = (2 3)#(2 3)(1 3) = (1 3)#(1 3)#(1 3) (2 3) = (2 3)#(2 3)#(2 3)

Tidak ada elemen pada grup H yang hasil operasi dengan dirinya sendiri dapat menghasilkan seluruh elemen dalam himpunan H, maka (H,#) bukan Grup Siklik.[7]

Grup Aperiodik dan PeriodikBerikut adalah order unsurnya pada grup (G,*):

Karena order unsur-unsurnya berhingga maka grup (G,*) adalah grup periodik.Dilakukan uji yang sama pada grup (H,#). Berikut adalah order unsurnya:

Karena order unsur-unsurnya berhingga maka grup (H,#) adalah grup periodik.

Subgrup NormalH = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)}bukan merupakan himpunan bagian dari G={0,1,2} maka H bukan merupakan subgrup dari G sehingga tidak dapat dibuktikan. Begitupula sebaliknya, G={0,1,2} bukan merupakan himpunan bagian dari H = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3) maka G bukan merupakan subgrup dari H sehingga tidak dapat dibuktikan.

Grup FaktorSalah satu syarat dari grup faktor adalah grup tersebut memiliki subgrup normal namun karena pembuktian sebelumnya (G,*) dan (H,#) keduanya bukan merupakan subgrup normal, maka grup factor tidak dapat dibuktikan.

Pengujian dengan AplikasiSeperti contoh sistem aljabar di atas, sekarang akan diproses dengan menggunakan

program aplikasi pengujian yang telah dikembangan untuk melihat apakah program aplikasi dapat memberikan hasil yang tepat, sesuai dengan pengujian secara manual. Pertama-tama, perlu di-input elemen dari masing-masing sistem aljabar, seperti berikut.

Gambar 2. Input Elemen Masing HimpunanSetelah tiap elemen hasil operasi selesai di-input, tombol Finish perlu ditekan. Kemudian program akan menuju pada tampilan selanjutnya.

Berikut adalah tampilan hasil pengujian himpunan A dan himpunan B terhadap grup khusus.

Gambar 3. Hasil Uji Grup Siklik

Gambar 4. Hasil Uji Grup Komutatif

Gambar 5. Hasil Uji Grup Periodik dan Aperiodik

Gambar 6. Hasil Uji Subgrup Normal

Gambar 7. Hasil Uji Grup Faktor

Dengan melihat perbandingan hasil antara pengujian secara manual dengan pengujian melalui program aplikasi, dapat dilihat bahwa program aplikasi dapat memberikan hasil pengujian yang tepat, sama dengan pengujian secara manual.

KESIMPULAN

Dari analisis dan pengujian terhadap contoh kasus sistem aljabar, dapat disimpulkan bahwa program pengujian dapat memberikan hasil yang tepat, sesuai dengan sifat-sifat yang ada. Program aplikasi ini jauh lebih efisien dibandingkan dengan melakukan pengujian secara manual sehingga waktu pengerjaan yang ditempuh lebih singkat. Program ini dinilai dapat memenuhi tujuannya karena pengguna mudah memahami klasifikasi sistem aljabar beserta sifat-sifatnya karena program memberikan penjelasan hasil pengujian secara bertahap, detail, dan jelas.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bergstra, J.A and Tucker, J.V, 2008, Division Safe Calculation in Totalised Fields, Theory Computer System, Vol 43, 01 p 410-424

[2] Carlson, D., 2003, The Teaching and Learning of Tertiary Algebra, Prosiding Seminar Nasional Aljabar dan Pengajaran Aljabar di Perguruan Tinggi, Jogjakarta.

[3] Lethbridge, timoty C, Laganiere, Robert, 2002. Object Oriented Software Engineering: practical Software Developmnet Using UML and Java, McGraw-Hill, New York.

[4] Okur, M, 2006. Computer Applications in Teaching Abstract Algebra, International Journal of Applied Science and Technology, Vol 1, No.1, March 2011, p 20-27

[5] Pevtsova, et al. 2009. Varieties for Modules of Quantum Elementary Abelian Groups. Algebras and Representation Theory Vol.12 No.2-5 p74-86

[6] Turban, Efraim, Rainer, R Kelly Jr, Potter, Richard E, 2004. Introduction to Information Technology. John Wiley and Sons, London

[7] Wallace, D. A. R. 2004. The algebraic stucture of group rings.,Bulletin of American Mathematical Society vol. 1 No. 2 .

[8] Weisstein, et al. 2009. Noncommutative Rings and Geometry. Algebras and Representation Theory vol. 12 No. 2-5. p 15-25