Pengantar Statistika Matematika i(2)

UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2013/2014

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

MATA KULIAH : PSM 1

Hari/Tgl : Jumat 27 juni 2014

Buku Tertutup

Dosen : Dr. Abdurakhman

Waktu 2 jam

1. Diketahui X adalah variabel random berdistribusi Poisson dengan parameter dan

P(X=1) = P(X=2). Hitunglah ..

a) Berapakah nilai

b) P( 1 ≤ X < 5)

2. Dipunyai variabel random X ~ Exp( )

a) Carilah nilai harapannya, E(X)

b) Carilah nilai variansinya, V(X)

1. Misalkan X peubah acak dengan MX(t) sebagai fungsi pembangkit momen.

Didefinisikan f(t) = lnMX(t). Tunjukkan bahwa f’’(0) = Var(X)

2. Diketahui bahwa Mgf dari distribusi normal dengan mean μ dan variansi σ2 adalah

Mx(t) =

Tunjukkan bahwa ukuran skewnws atau kemencengan dari ditribusi normal sama

dengan nol, yang berarti bahwa distribusi normal adalah simetris dengan menggunakan

sifat Mgf. Ukuran skewness adalah E(X-μ)3/σ3

3. Dipunyai fungsi gamma (bukan pdf), Γ(n) adalah

Γ(n) =

Tunjukkan bahwa

Γ(n) = n-1!

4. Dipunyai pdf Gamma ( , k) adalah

f( , k) = untuk nilai x>0

a) Untuk Mgf dari pdf di atas

b) Dari nilai Mgf di atas, hitunglah nilai mean dan variansinya

5. Dipunyai pdf bersama variabel random X dan Y adalah sbb: f(x,y) = untuk nilai

0 ≤ x ≤ y, dan > 0

a) Carilah pdf marginal X dan distribusi

b) Carilah pdf marginal Y dan distribusinya

6. Carilah estimasi parameter distribusi Gamma (α,β) pada soal no.5 di atas dengan

metode moment




PENGANTAR STATISTIKA MATEMATIKA I

Closed Book, 2 jam

Sri Haryatmi Kartiko

1. Variabel random independen Binomial BIN(1,p).

a) Tunjukkan konvergen dalam probabilitas ke , bukti

lengkap.

b) Cari pdf dari dan pdf pendekatan dari

2. Variabel random X, Ymempunyai pdf bersama

dan nol untuk x yang lain.

a) Cari c dan

b) Cari

c)

d)

e)

3. Konstruksikan lengkap dengan buktinya.

a) Distribusi dari distribusi Normal dengan mean dan variansi .

b) Distribusi student’s t dengan derajat bebas .

c) Teorema limit pusat.

4. Variabel random iid untuk .

a) Gambar pdf, cdf x, cari mean, median dan modusnya.

b) Cari pdf maxi Xi

c) Cari distribusi limit dari mini Xi dan maxi Xi

UJIAN AKHIR SEMESTER IV TAHUN AKADEMIK 2013/2014

PRODI STATISTIKA – JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MIPA - UNIVERSITAS GADJAH MADA

Matakuliah : Pengantar Statistika Matematika I

Kelas : B

Hari/tanggal : Jum’at, 27 Juni 2014

Waktu : 120 menit

Ruang : S2.02

Dosen : Dr. Gunardi, M.Si.

Sifat Ujian : Buku tertutup

Petunjuk Umum : Kerjakan soal-soal ujian pada lembar jawaban yang disediakan. Soal

terdiri dari 2 bagian: Pilihan Ganda (10 soal), dan Uraian (2 soal). Tulis nama, tanda

tangan dan nomor mahasiswa

Bagian 1. Tuliskan nomor dan huruf jawabannya saja (A,B,C atau D) pada lembar

jawaban. Mohon tulis nomor jawaban soal secara urut untuk mempermudah koreksi. Untuk

tiap nomor, nilai 6 jika benar, -1 jika salah, 0 jika kosong.

1. Misalkan X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas b(4, ½), maka fungsi

pembangkit momen faktorial untuk X(Kx(t) = E(tx)) adalah

A. ( ½ + ½ t2) B. ( ½ + ½ t)4 C. ( ¼ + ¼ t2)2 D. ( ¼ + ¼ t)4

2. Berdasarkan no. 1, Kx(2)(1) adalah

A. E(X) B. E(X2) C. Var(X) D. E(X(X-1))

3. Berdasarkan no. 1, E(X(X-1)) adalah

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

4. Y adalah variabel random dengan fungsi densitas

f(y) = k(1-y)4 0<y<1

maka k adalah

A. 4 B. 5 C. 1/5 D. ¼

5. Berdasarkan no. 4, Sebuah polis asuransi kumpulan mempunyai manfaat asuransi

kepada karyawan dari sebuah perusahaan kecil. Nilai V dari klaim yang diajukan dalam

satu tahun ditunjukkan oleh V = 100.000Y. Hitunglah probabilitas bersyarat bahwa V

melebihi 40.000, diberikan V melebihi 10.000

A. 0,08 B. 0,13 C. 0,17 D. 0,2

6. Misalkan T menunjukkan variabel waktu gagal operasi dari sistem pabrik yang

mempunyai fungsi distribusi kumulatif

F(t) = 1- ( 2/t )2 , t >2

Mengakibatkan biaya perusahaan adalah Y = T2. Tentukan fungsi densitas dari Y untuk

y>4

A. 4/y2 B. 4/y C. 2/y2 D. (2/y)2

7. Misalkan X1 dan X2 adalah sampel random ukuran 2 dari distribusi N (µ , σ2 ). Misalkan

Y1 = X1 + X2 dan Y1 = X1 + 2X2 maka fungsi densitas bersama Y1 dan Y2 adalah normal

bivariat dengan koefisien korelasi

A. 0,6 B. 0,7 C. 2/ D. 3/

8. Misalkan X1, X2, dan X3 adalah sampel random ukuran 3 dari distribusi eksponensial

dengan mean β maka fungsi pembangkit momen dari adalah

A. (1 - )-3 B. (1 - )3 C. (1 - )-3 D. (1 - )3

9. Misalkan X1, X2, ........, Xn adalah sampel random ukuran n dari distribusi dengan pdf

f(x) = < x < ∞

Misalkan Y1 = min (X1, X2, ........, Xn ) maka Zn = n (Y1 – ) konvergen ke distribusi

A. Gamma (α = 2 , β = 2)

B. Gamma (α = 2 , β = 1)

C. Gamma (α = 1 , β = 1)

D. Gamma (α = 1 , β = 2)

10. Misalkan Wn adalah variabel random dengan mean µ dan variansi dimana p > 0, µ

dan b adalah konstan (tidak tergantung n) maka Wn konvergen dalam probabilitas ke :

A. b B. p C. D. µ

Bagian II. Tulislah jawaban saudara dengan jelas pada lembar jawaban. Untuk tiap nomor

maksimal 20

7. Misalkan Un dan Vn konvergen dalam probabilitas ke c dan d. Buktikan bahwa

(a) Un + Vn konvergen dalam probabilitas ke c + d

(b) UnVn konvergen dalam probabilitas ke cd

(c) konvergen dalam probabilitas k

8. Misalkan n adalah mean sampel random ukuran n dari distribusi eksponensial dengan

mean 1, buktikan bahwa Yn = ( n -1 ) konvergen dalam distribusi ke N(0,1).

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2013/2014




Closed Book, 2 jam


Kamis, 24 April 2014

1. Variabel random Xi , i = 1, …., n independen Normal .

a) Cari distribusi dari .

b) Cari distribusi dari dan

2. Variabel random X, Y mempunyai pdf bersama

dan nol untuk x yang lain

a) Cari c dan F( x , y )

b) Cari Cov( X, Y ) dan Cov( ax + b, cY + d )

c)

d)

e)

3. Konstruksikan lengkap dengan buktinya,

a) Distribusi bila X kontinu dengan CDF F ( X ).

b) Distribusi dari Y, bila , jangan lupa cari

c dulu dan menunjukkan bahwa f(y) benar merupakan pdf.

c) X1 dan X2 iid Eksponensial E(1), . Apakah Y1

dan Y2 independen? Jelaskan!

4. Variabel random iid dengan pdf untuk

.

a) Gambar pdf, cdf x, cari mean, median dan modusnya.

b) Cari pdf max

c) Cari distribusi dari min

Keterangan : Soal ini diketik berdasarkan naskah soal aslinya. Tidak ada ralat apapun yang

disampaikan dosen terkait pada naskah soal aslinya.





JURUSAN MATEMATIKA

FMIPA UGM

HARI/TANGGAL : KAMIS, 24-04-2014

WAKTU : 120 MENIT

DOSEN PENGUJI : DR. GUNARDI, MSI

CATATAN : CLOSED BOOK

1. Diketahui kotak I berisi 6 bola merah dan 4 bola biru. Diambil secara random 5 bola

dari kotak i tanpa pengembalian, selanjutnya dimasukkan ke kotak II yang kosong.

Diambil secara random sebuah bola dari kotak II diperoleh bola warna biru, berapa

peluang 5 bola yang diambil dari kotak I adalah 3 bola warna merah dan 2 bola warna

biru?

2. Diketahui X adalah variabel random berdistribusi geometrik(p). Tentukan

E[x(x-1)(x-2)(x-3)]

3. Diketahui X adalah variabel dengan fungsi densitas

, 0< x < ∞

Jika E(x) = 4, Tentukan P(X<4,5)

4. Misalkan x1 dan x2 variabel random kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f(x1x2) =

4(x1-x1x2) untuk 0<x1<1 , 0<x2<1. Tentukan:

a. E(x12x2)

b. korelasi antara x1 dan x2

c. E(x1|x2)




Mata Kuliah : Pengantar Statistika dan Matematika I

Tanggal : 24 April 2014

Waktu : 120 menit

Dosen : Dr. Abdurkhman, M.Si

1. Diketahui X adalah variabel random berdistribusi Poisson dengan parameter λ dan

P(X=1) = P(X=2). Hitunglah

a. P(X>3)

b. P(1≤x<5)

2. Diketahui X~ Bin(n;p)

a. Carilah E(X)

b. Find E[X(X-1)]

c. Find var(X)

3. Carilah formula mgf dari variabel random poisson

a. Hitunglah E(X)

b. Hitunglah V(X)

4. Diketahui X adalah variabel random berdistribusi normal standard

a. Tunjukka bahwa Var(X)=1

b. Carilah Mgf dari X

c. Jika dipunyai transformasi Y=miu+sigma*X, carilah Mgf Y

d. Dari Mgf Y diatas, carilah pdf dari Y

5. Dipunyai fungsi pdf bersama variabel random X dan Y sebagai berikut

f(x,y)=λ2 , 0≤x≤y, λ>0

a. Carilah pdf marginal X

b. Carilah pdf marginal Y

c. Hitunglah korelasi v.r. X dan Y

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2012/2013



MATA KULIAH : PSM I

Hari/Tgl : Senin 24-Juni 2013

13.00 sd 15.00, Ruang U2.04

Buku Tertutup

Dosen: Dr. Abdurakhman

1. Diketahui X adalah variabel random berdistribusi Poisson dengan parameter dan

P(X=1)=P(X=2). Hitunglah . . .

a). P(X>3)

b). P(1≤X<5)

2. Suatu variabel random X mempunyai fungsi kepadatan

, x = 1, 2, 3 . . .

Carilah peluang X bernilai ganjil

3. Dipunyai variabel random X~Exp( ). Carilah nilai harapannya, E(X).

4. Diberikan fungsi Gamma seperti di bawah ini

Tunjukkan sifat-sifat yang bisa anda turunkan dari fungsi Gamma tersebut

5. Variabel random X mengikuti pdf Gamma (α, β). Carilah

a. Fungsi pembangkit momen X

b. Nilai harapan X, E(X), berdasarkan hasil a

c. Nilai variansi X, var(X), berdasarkan hasil a

6. Misalkan X mempunyai distribusi normal standard

a. Carilah fungsi pembangkit momen X

b. Carilah nilai harapan X, E(X) dan variansi X, V(X).

c. Jika dipunyai transformasi variabel random Y = µ + σX. Carilah nilai harapan

dan variansi Y

7. Carilah estimasi parameter distribusi Gamma (α,β) pada soal no. 5 di atas dengan

metode momen




Mata kuliah : PSM I

Hari dan tanggal : Senin, 15 April 2013

Tempat : Ruang U2.04 (sesi 3)

Waktu : 2 jam

Dosen : Dr.Gunardi,M.Si.

CLOSE BOOK

1. Misal X suatu variable random dengan fungsi kumulatif F. Median dari X adalah

nilai tengah m dimana F(m)=1/2. Carilah nilai m untuk distribusi uniform [a,b].

2. Fungsi pembangkit moment dari variable acak x dan y yang independent masing-

masing adalah Mx(t)=exp(2kt2) dan My(t)=exp(2t+t2). Diketahui bahwa variansi Y

sama dengan variansi X. Nilai k adalah

3. Misalkan X mempunyai distribusi normal standard

a. Tuliskan fungsi pembangkit moment X

b. Carilah nilai harapan X, E(X) dan variansi X, V(X)

c. Jika dipunyai transformasi variable random Y=µ + σX, carilah

fungsi pembangkit moment Y

d. Carilah nilai harapan dan variansi

4. Diketahui bahwa Y̴ uniform [0,1]. Selanjutnya dipunyai transformasi variabel

X= ln(1-Y). Carilah distribusi dari variable random X

5. X dan Y memiliki fungsi kepadatan probabilitas bersama

F(x,y) =

1. Carilah fungsi kepadatan marginal f(x) dan f(y).

2. Apakah variabel random X dan Y saling independen?

6. Untuk fungsi kepadatan probabilitas bersama soal no.5, berapakah peluang

P(X<Y)?





Closed Book, 2 jam

Sri Haryatmi Kartiko Senin, 15 April 2013

1. Variabel random X dan Y mempunyai pdf bersama

a) Cari c dan

b) Cari

c) Hitung

d) dan

2. Pdf variabel random X adalah untuk . Variabel

random baru Y didefinisikan sebagai , cari pdf Y, dan tunjukkan

memenuhi syarat pdf.


a) Cari c dan pdf bersama S = X + Y dan T = X

b) Apakah S dan T independen?

4. Sampel random berasal dari distribusi Exponensial E(1)

a) Cari pdf

b) Cari pdf




STATISTIKA MATEMATIKA 1

Closed Book, 2 jam


1. Variabel random independen Binomial BIN (1,p).

(a) Tunjukkan konvergen dalam probabilitas ke p(1 – p). bukti lengkap.

(b) Cari pdf dari dan pdf pendekatan dari


.

Dan nol untuk x yang lain.

(a) Cari c dan F(x,y)

(b) Cari Cov(2X-3, 4Y-5)

(c)

(d) P(Y>0,5 | X = 0,5)

(e) V(Y|x)

3. Konstruksikan lengkap dengan buktinya

(a) Distribusi X2(n) dari distribusi Normal dengan mean dan variansi

(b) Distribusi Student’s t dengan derajat bebas v

(c) Teorema Limit Pusat

4. Variabel random iid untuk

(a) Gambar pdf, cdf x, cari mean, mesian dan modus nya.

(b) Cari pdf maxi Xi

(c) Cari distribusi limit dari mini Xi dan maxi Xi




PENGANTAR STATISTIK MATEMATIK 1

CLOSED BOOK, 2 JAM

Prof. Sri Haryatmi Kartiko

1. Variabel random , i=1, … , n independen Normal N( ).

(a) Cari distribusi dari

(b) Tunjukkan konvergen dalam probabilitas ke


f(x,y)=c, 0<x<2, 0<y<

dan nol untuk x yang lain.

(a) Cari c dan F(x,y)

(b) Cari Cov(X,Y)

(c)

(d) P( Y > 0,1 | X=0,8)

(e) Var (Y | x)

3. Konstruksikan lengkap dengan buktinya.

(a) Distribusi dari distribusi Normal dengan mean dan variansi

(b) Distribusi t

(c) Teorema limit pusat

4. Variabel random , i=1, … , n iid dengan pdf f(x) = untuk 0 ≤ x < .

(a) Gambar pdf, cdf x, cari mean, median , dan modusnya.

(b) Cari pdf

(c) Cari distribusi limit dari




Program studi : Matematika

Mata Pelajaran : Pengantar Statistika Matematika 1

Waktu : 20 menit

Sifat : Catatan Terbuka

Penguji : Suryo Guritno

1. Jika X adalah suatu peubah acak kontinu dengan

(x) = k , untuk x > 0

Tentukan k agar (x) merupakan fungsi padat peluang (kontinu) dan

hitunglah P (0,5 ≤ X );

Tentukan fungsi pembangkit moment dari X;

Hitunglah rerata (=mean) dan variansi X mengunakan hasil dalam butir 1.b;

a. Tentukan Median dan Modus dari X

2. Jika dari 12 TV berwarna yang 2 diantaranya rusak. 3 TV dipilih secara

random untuk dikirim ke suatu hotel, berapakah banyaknya TV rusak yang

“diharapkan” terpilih dalam pengiriman tersebut?

3. Jika X,Y adalah peubah acak – peubah acak dengan :

(x,y) =

Tentukan fungsi padat peluang Z = X + Y

4. Jika X dan Y adalah vector random yang saling bebas dan masing-masing

berdistribusi independent multivariate normal dengan

= = = =

Dengan terlebih dahulu menuliskan fungsi momen dari vector random

berdistribusi multivariat normal, gunakan untuk

a. Menentukan distribusi dari 3X – 2Y;

b. Menentukan distribusi dari AX , jika A =

Catatan : semua tugas supaya dikumpulkan bersama pekerjaan ujian!

SELAMAT BEKERJA




PENGANTAR STATISTIK MATEMATIK 1

CLOSED BOOK, 2 JAM

Prof. Sri Haryatmi Kartiko


f(x,y)=c untuk 0<y< 0<x<2

b. Cari c supaya f(x,y) merupakan pdf

c. Apakah X dan Y independen, hitung

d. Hitung P(0,1<y<0,7) dan P(0,1<y<0 | x=o,5), apakah hasilnya konsisten dengan

1b?

2. Bila sampel random dari pdf Bin(1,p) dan sampel

random dari pdf N( )

(a.) Cari pdf dari

(b.) Cari pdf dari

3. X mempunyai pdf , dan Y berdistribusi U(-1,1)

(a.) Cari pdf dari Y2

(b.) Cari pdf dari X2, dengan mencari c lebih dulu

4. X1 dan X2 iid Eksponetial EXP(1). Cari pdf dari Y1 = X1 - X2 dan Y1 = X1 + X2,

Apakah keduanya independen ?

UJIAN SISIPAN SEMESTER GENAP TAHUN 2011-2012



Program studi : Matematika dan Statistika

Mata Pelajaran : Pengantar Statistika dan Matematika

Waktu : 120 menit

Sifat : Catatan Terbuka (1 lembar folio)


Hari,Tanggal : Jumat, 20 April 2012

1. Jika

Merupakan fungsi padat peluang bersama.

a. Tentukan k;

b. Tentukan fungsi padat peluang marginal dari masing-masing peubah acak X

dan Y;

c. Apakah X dan Y saling bebas? Jelaskan jawaban Saudara!

d. Tentukan fungsi padat peluang bersyarat dari Y, jika X=2;

2. Jika peubah acak X dan Y mempunyai fungsi padat peluang bersama

a. Dengan terlebih dahulu mencari harga k, tentukan E ;

b. Tentukan kovariansi dari peubah acak X dan Y.

3. Jika dan X dan Y adalah vektor random yang masing-masing berdistribusi saling

bebas multivariat normal dengan

, , ,

Menggunakan fungsi pembangkit moment

a. Tentukan distribusi dari 3X-2Y’

b. Tentukan distribusi dari AX, jika A=

SELAMAT BEKERJA

UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TAHUN AKADEMIK 2010/2011



STATSTIKA MATEMATIKA 1

Closed books

Waktu : 120 menit

Dosen : Sri Haryatmi Kartiko

1.Variabel random Xi, i = 1,2,3....,n independen normal N ( ).

a) Cari distribusi dari

b) Tunjukkan konvergen dalam probabilitas ke

2.Variabel random X,Y mempunyai pdf bersama

Dan nol untuk x yang lain,

a) Cari c dan F(x,y)

b) Cari Cov(X,Y)

c)

d) P(Y>0,5/X = 0,5)

e) E(Y/x)

3.Konstruksikan lengkap dengan buktinya

a) Distribusi (n) dari distribusi normal dengan mean dan variansi

b) Distribusi t

c) Teorema limit pusat

4.Variabel random Xi, i = 1,....,n iid dengan pdf untuk 0 ≤ x <

a) Gambar pdf,cdf x,cari mean,median dan modusnya

b) Cari pdf

c) Cari distribusi Limit dari dan

UJIAN TENGAH SEMESTER TAHUN 2010/2011

MATA UJIAN : PENGANTAR STATISTIKA MATEMATIKA I

HARI/TANGGAL : 14 APRIL 2011

WAKTU : 120 MENIT

SIFAT : TERTUTUP

DOSEN : DR GUNARDI, M.Si

1. Bowl I contains 5 red chips and 3 blue chips. Four of these 8 chips are selected at random

and without replacement and put in bowl II, which was originally empty. One chip is then

drawn at random from bowl II. Relative to the hypothesis that this is blue, find the

conditional probability that 2 red chips and 2 blue chips are transffered from bowl I to bowl

II

2. Diketahui X adalah variabel random berdistribusi Normal dengan mean µ dan variansi 2.

Tentukan

3. X1 dan X2 adalah variabel random berdistribusi normal bivariat dengan µ1=30, µ2=50,

1=3, 2=4 dan p=0,7. Tentukan

a.

b.

4. Diketahui X1, X2, X3 adalah variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean .

Bila Y=min(X1, X2, X3), tentukan densitas Y.

5. Misalkan n(x) dan N(x) adalah p.d.f dan CDF distribusi n(0,1). Jika Y adalah variabel

random dengan p.d.f g(y)=n(y)/[N(b)-N(a)], a<y<b. Tentukan E(Y).

UJIAN TENGAH SEMESTER II FMIPA UGM TH 2009/2010

Mata Kuliah : Pengantar Statistika Matematika 1

Hari/Tgl : Jum’at / 23 April 2010

Waktu : 120 menit

Sifat : Buku Tertutup

Dosen : Dr. Gunardi, M.Si

1. Tunjukkan bahwa jika

Score:30

2. Diketahui T distribusi eksponensial

a. Tentukan fungsi pembangkit momennya

b. Tentukan mean dan variansi T

Score:30

3. Diketahui X adalah variabel random berdistribusi normal dengan mean µ dan

variansi . Tentukan E (|X-µ|) dan var (|X-µ|)

Score:40

UJIAN AKHIR SEMESTER II FMIPA UGM TH 2009/2010


Hari/Tgl : Sabtu / 26 Juni 2010

Waktu : 120 menit


Dosen : Dr. Gunardi, M.Si

1. Misalkan x1 dan x2 variabel random kontinu dengan fungsi kepadatan peluang

f(x1,x2) = 4(x1-x1x2) untuk 0 <x1< 1, 0< x2 <1, tentukan :

a. E(x12x2)

b. E(x1|x2)

Score: 20

2. Misalkan x variabel random dengan fungsi kepadatan peluang f(x) -

2<x<

a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari x

b. Berdasarkan a tentukan E(x) dan var(x)

Score:20

3. Misalkan x variabel random dengan fungsi pembangkit momen :

a. Tentukan fungsi massa peluang dari x

b. Tentukan P(x=2)

Score: 20

4. Diketahui X hitunglah

a.

b.

Score: 20

5. Let Sn2 denote the variance of a random sample of size n from a distribution that is

n ( ). Prove that n Sn2/(n-1) converges stochastically to (Score: 20)

UJIAN TENGAH SEMESTER II FMIPA UGM TH 2008/2009


Hari/Tgl : Jum’at / 17 April 2009

Waktu : 120 menit


Dosen : Prof. Dr. Sri Haryatmi, M.Sc

1. f(x,y) = c , 0 < 2y < x

0 < x < 2

a. Cari c supaya f (x,y) merupakan pdf

b. Hitung P (0,1 < y < 0,7 | x=0,5)

c. Hitung F (x,y)

d. Hitung P ( y < x/4 )

2. Buktikan

a) -1 < P < 1

b) Var ( ) =

c) M∑ai xi (t) =

d) Teorema limit pusat

3. f(x) =

cari pdf Y = x2

4. variabel random dari distribusi eksponensial

Y = max (Xi) 1≤ i ≤n

Cari pdf dari Y untuk n

5. Buktikan

UJIAN AKHIR SEMESTER II FMIPA UGM TH 2007/2008


Hari/Tgl : Selasa / 30 Oktober 2007

Waktu : 120 menit


Dosen : Dr. Gunardi / Dr. Abdurakhman

1. Diketahui X adalah variabel random berdistribusi Poisson dengan parameter λ dan

P(X=1)=P(X=2). Hitunglah:

a. P(x > 3)

b. P(1 ≤ x < 5)

Score:15

2. The survival time (in days) of a white rat that was subjected to a certain level of X-

ray radiation is a random variabel X Find:

a. P(X≤15)

b. P(15<X<20)

c. The expected survival time.

Score:30

3. Let

a. Derive the MGF of X

b. Find the FMGF of X

c. Find E(X)

d. Find E[X(X-1)]

e. Find var(X)

Score:25

4. Suppose that X has a standard normal distribution.

a. Prove that V(X)=1 using gamma function

b. Find the moment generating function of X

c. If Y= miu + sigma*X, then find the mgf of Y

Score:30

UJIAN AKHIR SEMESTER I 2005/2006

Mata Kuliah : Pengantar Statistika Matematika I

Hari/Tgl : Senin, 2 Januari 2006

Waktu : 120 menit

Sifat : Buku Terbuka


1. Ditentukan bahwa suatu eksperimen adalah mengamati derajat akademik seorang

tenaga pengajar yang dilanjutkan dengan menanyakan kategori penghasilannya.

Jika derajat akademik yang mungkin adalah {Sarjana, Magister, Doktor} dan

ketegori penghasilan yang mungkin adalah Cukup bila derajat akademiknya

Sarjana dan Lebih jika derajat akademiknya magister atau Doktor, dan seorang

tenaga pengajar dipiluh secara (acak) random.

a. Tentukan ruang sampel dari kelas eksperimen di atas

b. Berapakah peluang mendapat seorang tenaga pegajarberderajat akademik

Magister, peluang mendapat seorang tenaga pengajar berpenghasilan Lebih,

dan peluang mendapat seorang tenaga pengajar berderajat Sarjana atau

berpenghasilan Lebih

c. Apakah peristiwa/kejadian mendapatkan seorang tanpa pengajar berderajat

akademik tertentu dan berpenghasilan tertentu saling bebas / independen?

Jelaskan jawaban Saudara.

2. Ditentukan bahwa penghasilan populasi tenaga pengajar di suatu perguruan tinggi

berdistribusi eksponensial dengan parameter λ=750 ribu rupiah.

a. Jika suatu samplacak sederhana berukuran 100 diambil, dan dihitung rata-

rata penghasilannya, hitunglah peluang rata-rata tersebut :

i. Antara 725 ribu dan 775 ribu

ii. Kurang dari 729 ribu

iii. Paling sedikit 950 ribu

b. Jelaskan arti dari jawaban dari butir a.

c. Jika dari populasi tenaga pengajar tersebut diatas diketahui bahwa 10%

mempunyai penghasilan terendah, berapakah penghasilan tertinggi tenaga

pengajar berpenghasilan terendah.

3. Misal suatu variabel random X berdistribusi Gamma, dengan parameter α =1 dan

β=2

a. Tuliskan fungsi densitasnya;

b. Tulis fungsi pembangkit momennya;

c. Gunakan hasil butir b. untuk menghitung mean dan variansi variabel

random tersebut diatas

d. Memperhatikan fungsi densitanya, apakah hubungan abtara distribusi

gamma dan distribusi eksponensial?

4. Jika variabel random X dan Y masing-masing berdistribusi normal standar, dan

saling independen.

a. Tentukan distribusi variabel random 3X + 2Y;

b. Apakah hasil dalam butir a. akan berubah jika X dan Y tidak saling

independen? Jelaskan jawaban Saudara!

c. Jika dari populasi variabel random X di ambil sampel random berukuran

100 dan dihitung rata-ratanya, apakah rata-rata tersebut tak bias untuk rata-

rata X? Jelaskan jawaban Saudara.

UJIAN SISIPAN

Mata Kuliah : Pengantar Statistika Matematika I

Waktu : 120 menit

Sifat : Buku Terbuka

1. Sebuah mata uang dilempar 3 kali

A = dapat M pada lemparan I

B = dapat B pada lemparan III

C = dapat mata yang sama pada lemparan kedua dan ketiga.

a. Tentukan runag sampel S, peristiwa A, B, dan C

b. Hitunglah P(A), P(B), dan P(C) jika P(M) = 1/3

c. Hitunglah P(A B C)

2. Jika peuabah acak X berdistribusi geometrik,

a. Tuliskan fungsi densitasnya

b. Hitunglah reratanya

c. Hitunglah deviasi standarnya

3. Diketahui bahwa suatu populasi normal mempunyai rerata µ = 80 dan variansi σ2 =

16. Jika diambil sampel random berukuran 16 dari populasi tersebut, hitunglah:

a.

b.

c.

Documents

Pengantar Statistika Matematika i(2)