PENGANTAR ANALISIS REAL

MATERI:

- Sistem Bilangan Real

- Barisan Bilangan Real

- Limit Fungsi

- Fungsi Kontinu

REFERENSI:

- Introduction to Real Analysis : Robert G. Bartle, Donald IR Sherbert

- Pengantar Analisis Real : Prof. Dr. Soeparna. D

SISTEM BILANGAN REAL

Definisi : Sistem bilangan R adalah suatu sistem aljabar yang

terhadap operasi jumlahan (+) & operasi perkalian ( ) mempunyai sifat-sifat

sebagai berikut:

A. (R, +) Grup komutatif, yaitu:

(A1). (Tertutup)

(A2). (Assosiatif)

(A.3). (Punya/ada elemen Netral )

(A.4). (Ada elemen Invers )

(A.5). (Komutatif)

B. (R-{0}, ) Grup Komutatif, yaitu

(M1). (Tertutup)

(M2). (Assosiatif)

(M3). (Ada elemen satuan)

(M4). (Ada el invers ditulis )

(M5). (komutatif)

C. distributif

Selanjutnya anggota disebut bilangan Real / bilangan nyata.

Teorema 1.

(a). Jika z dan maka z = 0

(b). Jika dengan dan maka

Bukti:

(a). Diketahui

Menurut (A4)

(A2)

(A4)

(A3)

(b).

(M4)

(M2)

(M4)

(M3)

Teorema 2.

(a). Jika maka

(b). Jika maka

Bukti :

(a).

(A4)

(A2)

(A4)

(A3)

(b). Latihan

Teorema 3:

Misal , maka

(a). Persamaan mempunyai penyelesaian tunggal

(b). Jika persamaan mempunyai penyelesaian tunggal

Bukti:

(a). Dengan (A2) (A4) & (A3) didapat

mempunyai penyelesaian

Misal juga penyelesaian, maka

(A4)

(A2)

(A4)

(A3)

(b). Latihan

Teorema 4.

Jika sebarang, maka

(a). (c).

(b). (d).

Bukti:

(a).

(b).

(c). Dari A4

(d). Dari diganti

Teorema 5

(a). Jika maka dan

(b). Jika maka

(c). Jika , maka atau

Bukti:

(a). ada

Andaikan , maka Kontradiksi.

Jadi

(b). sehingga dari yang diketahui:

(c). Misalkan harus dibuktikan .

Karena , maka . Oleh karena itu (diketahui)

SIFAT URUTAN DARI :

Terdapat sehingga memenuhi:

(1).

(2).

(3). , tepat satu berlaku : (sifat Trichotomi)

Selanjutnya P disebut himpunan bilangan riil positif.

Kesepakatan :

disebut bilangan Riil Positif, ditulis

disebut bilangan Riil Negatif, ditulis

disebut bilangan real non negatif, ditulis

disebut bilangan real non positif, ditulis

ditulis atau

atau

dan

dan

Teorema :

(1). dan

(2). Tepat satu berlaku :

(3). dan

Bukti:

(1). Karena dan , maka dan , sehingga

menurut (1) didapat . D.k.l

(2). Dengan Trichotomi, tepat satu berlaku :

(3). Andaikan , maka Kontradiksi dengan yang diketahui.

Teorema :

(1).

(2).

(3).

Bukti:

(1). Menurut sifat Trichotomi, untuk , maka atau

Dengan sifat urutan (2) atau Jadi

(2). Dari (1) : Jadi

(3). Dengan induksi matematika:

i) benar karena (2)

ii) Dianggap benar untuk

Karena maka dengan sifat urutan (1) :

.

Jadi

Teorema:

(1).

(2).

(3).

(4).

Bukti:

(1). Dari maka

(2). Karena maka dan

Dengan sifat urutan (1) :

(3). Dari dan , maka dan

Dengan sifat urutan (2) :

(4). Latihan.

Teorema :

Jika maka

Bukti :

Diketahui

Teorema:

Jika dan , untuk sebarang bilangan maka

Bukti:

Andaikan . Dengan Teorema sebelumnya, . Diambil bilangan

, maka . Kontradiksi dengan yang diketahui :

Pengandaian salah

Teorema (Teorema Ketidaksamaan Bernoulli)

dan maka

Bukti:

Dengan induksi matematika:

i) benar

ii) Dianggap benar untuk

iii)

.

HARGA MUTLAK

Definisi:

, Harga mutlak dari :

Teorema:

1.

2.

3.

4.

5.

Bukti:

1. Jelas dari definisi

2.

i)

ii)

iii)

3.

i) Jika salah satu 0a atau 0b , maka mudah dipahami

ii) Jika , maka

iii) Jika , maka

4. Dari diperoleh yang berakibat

yang ekuivalen dengan

5. Jelas bahwa dan oleh karena itu menurut (4) diperoleh

KETAKSAMAAN SEGITIGA

Bukti: Untuk

Diperoleh :

Akibat:

(1).

(2).

Bukti:

1). Untuk

(i)

(ii)

Sehingga

dari (i)

atau dari (ii)

Jadi

D.k.l

2).

Contoh:

Tentukan sehingga dengan

Jawab:

.

SIFAT KELENGKAPAN

Definisi:

(1). disebut batas atas (upper bound) dari S jika

(2). disebut batas bawah (lower bound) dari S jika

Jadi bukan batas atas dari jika

Contoh:

1).

1 adalah batas atas dari S karena

0 adalah batas bawah dari S karena

2).

0 batas bawah

Sebarang bilangan real u bukan batas atas karena ada

3).

1 batas atas dari

0 batas bawah dari

4).

Setiap bilangan real merupakan batas atas dan batas bawah

Definisi:

Himpunan dikatakan terbatas ke atas jika mempunyai batas atas

Himpunan dikatakan terbatas ke bawah jika mempunyai batas

bawah

Himpunan dikatakan terbatas jika terbatas ke atas dan terbatas ke

bawah.

Definisi:

. dikatakan batas atas terkecil (Supremum) = sup = bat dari jika

(1). atau u batas atas S.

(2). Jika v sebarang batas atas, maka

(3). Jika bukan batas atas S

(4). Jika , maka

dikatakan batas bawah terbesar (infimum) dari = bbt = inf jika =

(1). atau batas bawah S.

(2). Jika w sebarang batas bawah, maka

(3). Jika , maka bukan batas bawah

(4). Jika , maka

Contoh:

1).

1 Sup sebab :

i) atau 1 batas atas S.

ii) Jika sebarang bilangan , maka (v bukan batas

atas )

0 inf sebab

i) atau 0 batas bawah S.

ii) Jika , maka ,

( bukan batas bawah )

2).

25 sup 1S sebab

i).

ii). Jika , maka bukan batas atas sebab

Lemma : (1)

Bukti:

( ) Diketahui .

Diambil bilangan sebarang. Akibatnya .

Karena Sup , maka bukan batas atas . Jadi

.

( Diketahui batas atas dan suSs ,0 .

Diambil sebarang . Pilih bilangan . Dari yang diketahui,

Tetapi

bukan batas atas . Dengan demikian

Lemma-2

Contoh:

O = inf sebab

(1). (0 batas bawah)

(2). (dapat dipilih )

3= Sup sebab

(1). (3 batas atas )

(2).

Catatan :

1). Inf & sup tidak perlu jadi anggota Contoh :

2). Suatu himpunan bisa jadi punya batas bawah tapi tidak punya batas atas, dan

sebaliknya punya batas atas, tidak punya batas bawah. Misal:

Punya batas bawah tapi tidak punya batas atas

Punya batas atas tapi tidak punya batas bawah

SIFAT KELENGKAPAN

1. Setiap himpunan tak kosong & terbatas di atas dalam mempunyai supremum

dalam

2. Setiap himpunan tak kosong & terbatas di bawah dalam mempunyai infimum

dalam

LATIHAN

1). terbatas dalam

Buktikan

Bukti:

Misalkan

Dengan sifat kelengkapan , mempunyai supremum dalam

Mislkan , sehingga berlaku . Akibatnya .

Oleh karena itu –u adalah batas bawah dari .

Dengan sifat kelengkapan, mempunyai infimum dalam

Misalkan

Dalam hal ini: ................ (1)

Di pihak lain : sehingga berlaku yaitu batas atas

dari dan ........ (2).

Dari (1) & (2) didapat atau sup

2). batas atas dengan . Buktikan

Bukti : Jika maka sehingga

3).

Buktikan : (1). bukan batas atas .

(2). batas atas ,

Bukti :

Untuk

Karena batas S, maka bukan batas atas & batas atas ,

Teorema :

(i). Jika terbatas ke atas, maka sup

(ii). Jika terbatas ke bawah, maka inf

Bukti:

(i). Karena dan terbatas ke atas, maka juga terbatas ke atas. Diambil

sebarang batas atas himpunan .

Karena , maka juga merupakan batas atas . Jadi sup merupakan batas atas

himpunan . Akibatnya :

Sup sup

(ii). Latihan

Teorema :

Jika dan terbatas, maka

(i). sup sup + sup

(ii). Inf inf + inf

Bukti :

(i). Misal = sup dan =sup . Oleh karena itu dan

. Akibatnya , batas atas

sehingga sup = sup + sup

(ii) Bukti sejalan

Tugas : (1)

, terbatas ke atas.

Didefinisikan, ,

Buktikan : sup

Sifat Archimedes :

Akibat :

dan bilangan riil positif, maka

(i).

(ii).

(iii).

Bukti : Diketahui y dan z bil riil positif.

(i). Ambil . Dengan sifat archimedes, sehingga

(ii). Khususnya , (i) menjadi atau yn 10

(iii). Misal

, karena sifat archimedes

, karena mempunyai elemen terkecil maka mempunyai elemen terkecil.

Misal elemen terkecil, maka .

Teorema (eksistensi ) : bilangan riil positif sehingga =2.

Teorema Kerapatan:

Jika dan bilangan real sehingga , maka bilangan ras sehingga

Bukti :

Misalkan . Ambil . Dengan sifat archimedes, sehingga

Jadi atau

Untuk , maka sehingga atau

Oleh karena itu : . Jadi .

Akibat :

Jika dan bilangan real sehingga , maka bilangan irasional p sehingga

ypx .

Bukti:

Dari maka yang masing-masing di . Menurut teorema kerapatan,

bilangan rasional sehingga . Sehingga .

KETAKSAMAAN CAUCHY

Jika , bilangan real, maka

Lebih lanjut, jika tidak semua , maka tanda ”=” di dalam berlaku jika hanya jika

s.d.h

Bukti:

Didefinisikan

Jelas bahwa

Dengan demikian

Dengan

Sehingga tidak mungkin mempunyai 2 akar yang berbeda. Oleh karena itu

Jadi

Lebih lanjut,

Jika , maka

Dengan demikian mempunyai satu akar kembar yaitu

jika , maka

.

Tugas 2 = . Buktikan inf

Tugas 3 = . Buktikan sup , inf

Tugas 4 = . Buktikan 1 = sup , -1 = inf

Tugas 5 = . Buktikan

(i). batas atas

(ii). bukan batas atas

BARISAN BILANGAN RIIL

Definisi : Barisan bilangan riil X adalah dari N ke .

Notasi barisan : .

Bilangan-bilangan riil yang dihasilkan disebut unsur barisan, ditulis .

Contoh-Contoh barisan

1). barisan konstan (semua unsurnya ).

2). .

3). .

.

4).

Definisi :

Jika barisan bilangan riil

Didefiniskan :

Jumlah barisan

Selisih barisan

Hasil kali barisan

Jika

Jika , maka hasil bagi adalah

barisan

Definisi:

Barisan bilangan riil dikatakan konvergen dalam , jika terdapat

sehingga berlaku

.

Notasi: .

Note:

Contoh:

1).

Bukti:

Diberikan sebarang bilangan

Dengan sifat archimedes,

Untuk ,

2).

Bukti =

Diberikan sebarang bilangan

Dengan sifat archimedes, ,

.

3).

Bukti :

Diberikan sebarang bilangan

Dipilih bilangan sehingga

Akibatnya untuk :

Definisi:

Barisan bilangan riil dikatakan terbatas jika sehingga

Contoh:

1.

terbatas.

2.

3.

Catatan:

tidak terbatas jika

Contoh

1)

(sifat archimedes)

Jadi sehingga

Dengan kata lain tak terbatas.

2)

Tidak ada sehingga

Jadi tidak terbatas.

Teorema

Jika konvergen, maka terbatas.

Bukti

Misal . Hal ini berarti untuk , terdapat sehingga jika berakibat

Untuk :

Diambil M = maks

Akibatnya:

Teorema

Jika dan konvergen, maka

(1) konvergen dan

(2) konvergen dan

(3) konvergen dan

(4) konvergen dan

Bukti

Misal dan

(1)

Diberikan bilangan sebarang. Karena , maka terdapat bilangan

sehingga jika berlaku

Akibatnya

konvergen ke .

(2)

Diberikan bilangan sebarang

Karena , maka terdapat sehingga jika berlaku

Karena , maka terdapat sehingga jika berlaku

Pilih k = maks , akibatnya untuk berlaku

.

(3)

Diberikan sebarang

Karena , maka terdapat sehingga untuk setiap :

.

konvergen, maka terbatas. Jadi ada sehingga .

Karena maka terdapat sehingga untuk setiap :

.

Dipilih k = maks . Akibatnya jika :

.

Contoh:

Teorema (Uji Rasio)

Diberikan barisan bilangan riil positif sehingga (ada). Jika maka

konvergen dan 0lim~

nn

x .

Contoh:

1). .

Jadi konvergen dan .

2).

Jadi tidak konvergen.

Teorema

Jika maka

Bukti:

Andaikan , maka .

Diketahui . Diambil bilangan , maka terdapat sehingga jika :

Kontradiksi dengan .

Teorema

Jika maka

Bukti:

Diketahui , maka . Akibatnya

.

Teorema Apit

Jika .

Bukti:

Dengan teorema sebelumnya:

Jadi .

Definisi:

Barisan dikatakan :

(a) Naik monoton (monotonic increasing/non decreasing/tidak turun) jika

.

(b) Turun monoton (monotonic decreasing/non increasing/tidak naik) jika

.

(c) Monoton jika naik monoton/turun monoton.

Contoh:

1).

Jadi turun monoton.

2).

. Jadi naik monoton.

3).

tidak monoton

Teorema Kekonvergenan Monoton

Misal barisan monoton.

konvergen jika dan hanya jika terbatas.

Dalam hal ini:

(a). Jika naik monoton, maka .

(b). Jika turun monoton, maka .

Bukti:

Diketahui konvergen. Menurut teorema sebelumnya, terbatas.

Diketahui monoton dan terbatas.

Misal naik monoton , jadi

Misalkan x = sup , maka untuk setiap , terdapat sehingga

Karena naik monoton, maka untuk :

Diperoleh untuk :

Jadi .

Catatan:

Untuk menyelidiki kekonvergenan suatu barisan, maka kita cukup memperhatikan ekor

dari barisan tersebut, yaitu barisan bagian dari barisan tersebut yang dimulai dari suatu

urutan tertentu.

Definisi:

Misal barisan bilangan riil.

M : bilangan asli, Ekor – M dari Y adalah barisan:

Contoh:

.

Teorema:

Misal barisan bilangan riil dan .

Ekor – M dari Y, konvergen Y konvergen.

Dalam hal ini .

Contoh:

1).

terbatas dan turun monoton, maka menurut TKM :

2). Diketahui barisan dengan

Tunjukkan konvergen.

Bukti:

Claim (naik monoton).

Dibuktikan dengan induksi matematika

(benar)

Dianggap benar untuk n = k. Jadi

Dibuktikan benar untuk n = k + 1

Jadi .

Claim (terbatas)

(benar)

Dianggap benar untuk n = k. Jadi

Dibuktikan benar untuk n = k + 1

.

Jadi D.k.l terbatas.

Karena naik monoton dan terbatas, maka menurut TKM, konvergen dan

. Ekor – 1 dari .

Karena konvergen ke y, maka juga konvergen ke y.

Jadi,

.

.

Definisi :

Diketahui barisan bilangan real dan barisan bilangan asli naik monoton,

yaitu .

disebut barisan bagian dari X .

Contoh:

barisan bagian X

barisan bagian X

bukan barisan bagian X

Catatan: Ekor barisan merupakan barisan bagian.

Teorema:

Jika konvergen ke x, maka sebarang barisan bagian X konvergen ke x.

Bukti:

Diambil sebarang. Karena , maka

Karena barisan bilangan asli naik, maka . Akibatnya sehingga

.

Teorema (Kriteria Divergen)

Jika barisan bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i). divergen (tidak konvergen ke )

(ii).

(iii).

Contoh: divergen

Bukti: Andaikan konvergen ke x, maka barisan bagian konvergen ke x,

tetapi

n1 divergen

Ingat : konvergen terbatas

terbatas belum tentu konvergen, contoh terbatas tetapi tidak

konvergen.

Teorema Bolzano Weierstrass:

Setiap barisan bilangan real terbatas mempunyai barisan bagian konvergen.

Contoh:

X terbatas

.

Teorema : Diketahui terbatas. Jika , maka . (#)

BARISAN CAUCHY (BC)

Definisi : Barisan disebut BC jika :

Contoh:

1).

Diambil sebarang

Dipilih sehingga

Akibatnya untuk

.

2).

Diambil sebarang

Dipilih sehingga

Akibatnya

.

3).

Diambil

Diperoleh:

Teorema:

(a). terbatas

(b).

Bukti:

(a). Karena maka untuk ,

Akibatnya

Diambil M = maks

Diperoleh

.

(b). Diambil sebarang.

Karena

.

, maka terbatas. Menurut teorema BW, barisan bagian dari

sehingga .

Karena :

.

Akibatnya untuk :

.

Contoh:

Diketahui

Tunjukkan konvergen dan selanjutnya tentukan konvergen ke mana.

Jawab:

Perhatikan bahwa:

:

:

(cek dengan induksi).

Diperoleh:

Diberikan sebarang. Pilih .

Akibatnya

. Menurut teorema sebelumnya, konvergen.

Perhatikan untuk barisan bagian suku ganjil

Jadi menurut teorema (#)

LIMIT FUNGSI

Definisi

c disebut titik limit A jika ,

dimana = persekitaran titik c.

Contoh

1)

sehingga titik limit A, 2 bukan titik limit A sebab

ada sehingga

2)

.

Untuk .

Jadi 0 Limit A.

Teorema

c titik limit .

Bukti

Diketahui c titik limit A

. Jadi .

Akibatnya dan , atau

Dengan demikian diperoleh .

Karena dan , maka menurut teorema apit: .

Jadi

Diketahui . Hal ini berarti untuk setiap , terdapat

sehingga untuk setiap

Jadi . Dengan demikian, atau

.

Definisi

, c titik limit A.

Fungsi f dikatakan mempunyai limit di c jika terdapat dengan sifat untuk setiap

, terdapat sehingga untuk setiap berlaku :

.

Ditulis:

Contoh

1)

Bukti

Diberikan bilangan sebarang.

Dipilih . Akibatnya untuk setiap berlaku:

.

2)

Bukti

Diberikan sebarang.

Dipilih . Akibatnya untuk setiap berlaku:

3)

Bukti

Untuk :

Sehingga

Diberikan sebarang. Pilih

Akibatnya untuk :

Teorema (kriteria barisan untuk limit)

Bukti

Diketahui , artinya

Diambil sebarang .

Untuk di atas, terdapat sehingga jika berakibat

.

Akibatnya untuk :

.

Andaikan . Hal ini berarti

tetapi . Dengan demikian, tetapi

.

Jadi barisan dan tetapi

.

D.k.l L. Kontradiksi yang diketahui.

Kriteria Divergen

Diberikan dan titik limit A.

(a) tetapi L.

(b) tidak ada tetapi divergen.

Contoh

1)

Ambil

Tetapi

tidak ada.

2)

Ambil dan

Tetapi

tidak ada.

3).

Ambil

- 8.

tidak ada.

Definisi

(1)

(2)

(3)

Teorema Limit Fungsi

c titik limit A

Jika dan , maka

(1)

(2)

(3)

(4)

Bukti

(1) Ambil sebarang barisan sehingga

Akibatnya

(2) Ambil sebarang barisan

Karena maka

dan

Akibatnya

Contoh

1)

dan tidak ada

2) tidak ada

tidak ada,

tidak ada

3)

tidak ada

Karena tidak ada, ada, tidak ada

Karena ada, tidak ada.

Teorema

ada

Bukti

Misalkan . Andaikan

Diambil . Terdapat sehingga untuk setiap

berlaku

Kontradiksi dengan

Teorema apit

Diberikan

c titik limit A.

Jika dan

, maka .

FUNGSI KONTINU

Definisi:

Atau:

Fungsi kontinu di c jika

(1). ada

(2).

(3).

Contoh:

1).

Kesimpulan : kontinu di 1.

2).

Kesimpulan : tidak kontinu di 1.

Catatan:

Fungsi dikatakan kontinu pada jika kontinu di setiap titik anggota .

Fungsi yang tidak kontinu dinamakan fungsi diskontinu.

Teorema:

kontinu di .

Bukti: analog pada teorema kriteria barisan untuk limit.

Teorema:

diskontinu di

Contoh:

1).

Untuk c rasional,

Diambil barisan bilangan irrasional dengan

irrasional . Akibatnya

Jadi diskontinu di c rasional.

Untuk c irrasional,

Diambil barisan bilangan rasional dengan

rasional . Akibatnya

Jadi diskontinu di c irrasional.

2). kontinu

rasional

Buktikan

Bukti:

Cukup dibuktikan

Diambil sebarang x irrasional. Karena kontinu pada , maka kontinu di x.

Diambil barisan bilangan rasional . Akibatnya .

Di lain pihak, . Jadi

Dengan ketunggalan limit, maka , irrasional.

3).

Tentukan titik-titik kekontinuan dari

Jawab:

Misal kontinu di c.

Diambil sebarang barisan , maka .

Karena maka rasional dan irrasional juga konvergen ke c.

Dengan demikian:

Di lain pihak, dan barisan bagian dari . Karena kontinu di c,

maka

Dengan ketunggalan limit barisan :

.

Teorema:

, .

Jika dan masing-masing kontinu di c, maka

(i). .

(ii).

(iii). .

(iv). .

Teorema:

Misal

adalah fungsi-fungsi dengan .

Jika kontinu di dan kontinu di , maka kontinu di .

Bukti:

Diambil sebarang barisan

Karena kontinu di , maka

Karena kontinu di maka yang berarti .

Contoh:

1).

kontinu di 0

kontinu di

kontinu di 0

2).

Fungsi kontinu di 0 tetapi fungsi diskontinu di

diskontinu di 0.

KONTINU SERAGAM

Contoh

1. Diberikan

Diambil sebarang dan .

Dipilih

Akibatnya berlaku

Jadi f kontinu di c.

Karena sebarang, maka f kontinu pada .

2.

Diberikan sebarang

Diambil .

Jika maka

Sehingga

Pilih

Akibatnya berlaku

Jadi g kontinu di c. Akibatnya g kontinu ada .

Definisi

Misal

dikatakan kontinu seragam pada A jika untuk setiap , terdapat

sehingga untuk setiap dengan berlaku

.

Pada contoh (1) f kontinu seragam sedang contoh (2) f kontinu (kontinu biasa).

Kriteria Kontinu Tak Seragam

Misal

Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen

(i) f kontinu tak seragam pada A

(ii) tetapi

(iii) tetapi

atau

tetapi

Contoh

1.

Diambil

tetapi

g kontinu tak seragam pada

2.

Diambil

f kontinu tak seragam pada .

3.

Diambil sebarang dan

Dipilih

Akibatnya berlaku

Jadi f kontinu seragam pada

Teorema Kontinu Seragam

Jika f kontinu pada selang tertutup terbatas , maka f kontinu seragam pada I.

Contoh

f kontinu pada , tertutup terbatas maka f kontinu seragam pada .

Definisi

f dikatakan fungsi Lipschitz (memenuhi kondisi Lipschitz) pada A jika terdapat

sehingga untuk setiap :

Teorema

Jika f memenuhi kondisi Lipschitz pada A, maka f kontinu seragam pada A.

Bukti

Diketahui f fungsi Lipschitz pada A, artinya terdapat sehingga

Diambil sebarang. Pilih . Akibatnya

Contoh

h fungsi Lipschitz pada

h kontinu seragam pada

Kebalikan teorema diatas belum tentu benar. Fungsi kontinu seragam belum tentu fungsi

Lipschitz.

Contoh penyangkal:

f kontinu seragam pada (kenapa?) tetapi f bukan fungsi Lipschitz pada .

Misal f fungsi Lipschitz pada , berarti ada sehingga

Tetapi,

kontradiksi.

Teorema

kontinu seragam

Barisan Cauchy di dalam X.

maka Barisan Cauchy di dalam Y.

Bukti

Diberikan sebarang. Karena kontinu seragam, maka terdapat

sehingga berlaku

Karena Barisan Cauchy di dalam X, maka untuk di atas, terdapat

sehingga untuk

Akibatnya untuk

Contoh

tidak kontinu seragam pada .

Diambil barisan .

Barisan Cauchy tetapi bukan Barisan Cauchy.

Jadi tidak kontinu seragam pada .

Teorema

f kontinu seragam pada jika dan hanya jika f dapat dierluas menjadi fungsi

kontinu pada .

Bukti

Karena f kontinu pada maka f kontinu seragam pada . Akibatnya f kontinu

seragam pada .

Diketahui f kontinu seragam pada .

Akan dibuktikan f dapat diperluas menjadi fungsi kontinu di dan .

Tanpa mengurangi keumuman, ditunjukkan .

Untuk titik , bukti analog.

Bilangan adalah titik limit dari , maka terdapat sehingga .

Akibatnya Barisan Cauchy, oleh karena itu Barisan Cauchy sehingga

konvergen.

Jadi

Jika sebarang, maka

Dengan kekontinuan seragam dari f ,

.

Karena diperoleh nilai yang sama untuk setiap barisan yang konvergen ke , maka dari

kriteria barisan untuk limit, f mempunyai limit L di .

Jika didefinisikan , maka f kontinu di .

Argumen yang sama dapat dilakukan untuk .

Jadi f dapat diperluas menjadi fungsi yang kontinu pada .