Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK
MENGANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN
PERSENTASE PENDUDUK MISKIN
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika
Oleh:
Yulita Putri Lokang
NIM 153114028
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
APPLICATION OF DURBIN SPATIAL REGRESSION ANALYSIS TO
ANALYZE FACTORS WHICH IS RELATED TO
THE PERCENTAGE OF POOR PEOPLE
THESIS
Presented as Partial Fulfilment of the Requirements
To Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics
By:
Yulita Putri Lokang
Student Number: 153114028
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTEMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUKMENGANALISIS FAKTOR.FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN
PERSENTASE PENDUDUK MISKIN
/*,
(k.Ig. Aris :11Juni 2019
osnJJroFr&,\'
-4t
Ill
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK
MENGANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN
PERSENTASE PENDUDUK MISKIN
Disiapkan dan ditulis oleh:
Yulita Putri Lokang
NIM: 153114028
Panitia Pengrrji
Nama Len
Ketua: YG.
Sekretaris: Dr.
Anggota: Ir. Ig.
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
udi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph. D.)
IV
tanggal 18 Juli
Srrstrriart l)an ttia Pcrrgtrj i
oeynKesS
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini dipersembahkan untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertai segala proses
dalam hidup terutama proses penyelesaian skripsi ini.
Kedua orang tua, yaitu Andreas Leu Lokang dan Maria Lusia Ngaga
Saudari Yustina Lastri Lokang dan Roswita N. L. Lokang
Semua orang yang selalu mendoakan dan menyemangati saya
Serta almamater yang saya banggakan.
“Kerjakan apa yang bisa kamu kerjakan hari ini, karena menunda pekerjaan 1 hari
sama dengan menunda kesuksesan 1 minggu”
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahr.r,a skripsi yang saya turis ini
tidak memuat karya atau bagian karva orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan dan daftar pustaka. sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 05 iuni 2019
Penulis
O*/\,Yulita Putri Lokang
VI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Persentase penduduk miskin adalah persentase penduduk yang memiliki rata-rata
pengeluaran perkapita perbulan di bawah garis kemiskinan (GK). Garis
kemiskinan merupakan penjumlahan garis kemiskinan makanan (GKM) dengan
garis kemiskinan non makanan (GKNM). Berdasarkan data Badan Pusat Statistik
(BPS) pada bulan maret 2018, persentase penduduk miskin di Jawa Tengah sebesar
11.32% dan merupakan provinsi dengan persentase penduduk miskin terbesar
kedua di pulau Jawa. Metode yang dapat digunakan untuk memodelkan masalah
persentase penduduk miskin ini adalah analisis regresi Spasial Durbin. Dalam
penelitian ini, digunakan metode kemungkinan maksimum untuk pendugaan
parameternya. Metode ini digunakan karena dapat memaksimumkan probabilitas
kejadian dari masing-masing parameter yang diduga. Dari 6 variabel independen
yang berhubungan dengan persentase penduduk miskin, hanya ada 4 variabel
independen yang dapat dimodelkan menggunakan regresi spasial Durbin yaitu
angka partisipasi sekolah usia 16-18 tahun, inflasi, usia harapan hidup saat lahir,
dan indeks pembangunan manusia. Hal ini dikarenakan terdapat autokorelasi
spasial pada 4 variabel independen tersebut. Uji Indeks Moran merupakan uji yang
digunakan untuk mengetahui ada tidaknya autokorelasi spasial. Berdasarkan
analisis regresi Spasial Durbin diperoleh variabel independen yang berpengaruh
signifikan pada 𝛼 = 5% adalah usia harapan hidup dan indeks pembangunan manusia. Kebaikan model menggunakan analisis regresi spasial Durbin yang
dihitung dengan mencari nilai 𝑅2 adalah sebesar 68.4%. Dengan 𝑅2yang cukup tinggi ini menunjukkan bahwa usia harapan hidup dan indeks pembangunan
manusia dapat menjadi indikator yang cukup baik untuk menganalisis persentase
penduduk miskin di provinsi Jawa Tengah.
Kata Kunci: persentase penduduk miskin, regresi spasial Durbin, Uji Indeks
Moran, Kemungkinan maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
The poor people are residents who have an average monthly per capita expenditure
below the poverty line (GK). The poverty line is the sum of the food poverty line
(FPL) with the non-food poverty line (NFPL). Based on data from the Central
Statistics Agency (BPS) in March 2018, the percentage of poor people in Central
Java was 11.32% and was the province with the second largest percentage of poor people on the island of Java. The method that can be used to model the percentage
problem of poor people is Spatial Durbin regression analysis. In this study, the
maximum likelihood method for estimating parameters is used. This method is used
because it can maximize the probability of occurrence of each parameter that is
suspected. From the 6 independent variables related to the percentage of poor
people, there are only 4 independent variables that can be modeled using the
Durbin spatial regression, that are school participation rates aged 16-18 years,
inflation, life expectancy at birth, and the human development index. This is
because there are spatial autocorrelations in the 4 independent variables. The
Moran Index test is a test used to determine whether there is spatial
autocorrelation. Based on the Spatial Durbin regression analysis, the independent
variables that have a significant effect on 𝛼 = 5% are life expectancy and human development index. The goodness of the model using Durbin spatial regression
analysis which is calculated by finding the value of 𝑅2 is 68.4%. With a relatively
high 𝑅2, it shows that life expectancy and the human development index can be quite good indicators for analyzing the percentage of poor people in the province
of Central Java.
Keywords: percentage of poor people, Spatial Durbin regression, Moran Index test,
maximum likelihood.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAHUI.{TUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :
Nama : Yulita Putri Lokang
NIM : 153114028Demi pengembangan ilmu pengetahuan. saya memberikan kepada perpustakaanUniversitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang beriudul:
PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUKMENGANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN
PERSENTASE PENDUDUK MISKIN
Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikankepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data.
mendistribusikannya secara terbatas, dan mempubikasikannya di internet ataumedia lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta iiin dari saya maupunmemberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagaupenulis.
Dernikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya'
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 23 Juli 2019
Yang menyatakan
(Yulita Putri Lokang)
lx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala
berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan
baik. Skripsi yang berjudul “Penerapan Analisis Regresi Spasial Durbin untuk
Menganalisis Faktor-Faktor yang Berhubungan dengan Persentase Penduduk
Miskin” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika
pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, penulis telah
menerima bantuan baik secara moril maupun materil dari berbagai pihak. Oleh
karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang dengan
penuh kesabaran telah memberikan bimbingan, nasihat, dan arahan kepada
penulis.
2. Bapak Sudi Mungkasi, Ph. D. selaku Dekan Fakultas Sains dan Tekonlogi
sekaligus Dosen Pembimbing Akademik yang telah memberikan semangat dan
motivasi kepada penulis.
3. Bapak Hartono, Ph. D. selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan
banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.
4. Bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada
penulis selama masa perkuliahaan di Universitas Sanata Dharma.
5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains
dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran,
serta admisnistratif bagi penulis selama masa perkuliahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
6. Bapa dan Mama yang penulis cintai dan banggakan, kakak Yustina Lastri
Lokang dan adik Roswita N.L. Lokang yang telah memberikan dukungan dan
selalu mendoakan penulis dalam menyelesaikan studi dengan baik.
7. Teman-teman angkatan 2015 Program Studi Matematika yang telah
memberikan dukungan dan semangat dalam perkuliahaan terlebih dalam
penyusunan skripi ini.
8. Saudara dan sahabat tercinta: Ulfia, Rista, Ansi, Lita, Selly, Meme, Ica, Micu,
Riska, Sari, yesi, Meri yang telah memberikan semangat dalam penyelesaian
skripsi ini.
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
memberikan doa, bantuan, dorongan, dan motivasi sehingga skripsi ini dapat
terselesaikan.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, maka
saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi
penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua
pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.
Yogyakarta, 05 Juni 2019
Penulis
(Yulita Putri Lokang)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ..................................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................................ iii
HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................................... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................................... vi
ABSTRAK ....................................................................................................................... vii
ABSTRACT .................................................................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ........................................ ix
KATA PENGANTAR ....................................................................................................... x
DAFTAR ISI.................................................................................................................... xii
DAFTAR TABEL ........................................................................................................... xv
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................................... xvi
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................................. 1
1.1 Latar Belakang Masalah .................................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................ 2
1.3 Tujuan Penulisan .............................................................................................. 3
1.4 Manfaat Penulisan ............................................................................................ 3
1.5 Batasan Masalah ............................................................................................... 4
1.6 Metode Penulisan .............................................................................................. 4
1.7 Sistematika Penulisan ....................................................................................... 4
BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................................... 7
2.1 Teori Dasar Statistika ....................................................................................... 7
2.2 Matriks ............................................................................................................. 13
2.3 Turunan Matriks ............................................................................................ 14
2.4 Analisis Regresi ............................................................................................... 17
2.4.1. Model Regresi linear sederhana ................................................................ 17
2.4.2. Model Regresi Linear Berganda ............................................................... 18
2.5 Pendugaaan Parameter .................................................................................. 18
2.5.1. Definisi ...................................................................................................... 19
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
2.5.2. Macam-macam penduga: .......................................................................... 19
2.5.3. Sifat Penduga ............................................................................................ 20
2.6 Metode Maximum Likelihood (Kemungkinan Maksimum) ........................ 24
2.6.1. Fungsi Likelihood ...................................................................................... 25
2.6.2. Penduga Kemungkinan Maksimum .......................................................... 26
2.7 Estimasi Parameter Regresi Linear Menggunakan Metode Kemungkinan maksimum ................................................................................................................... 27
2.7.1. Estimasi Parameter 𝛽 ................................................................................ 29
2.7.2. Estimasi Parameter 𝜎2 .............................................................................. 30
2.8 Uji Asumsi Klasik ........................................................................................... 31
2.8.1. Uji Multikolinearitas ................................................................................. 31
2.8.2. Uji Heteroskedastisitas .............................................................................. 32
2.8.3. Uji Normalitas ........................................................................................... 32
2.8.4. Uji Autokorelasi ........................................................................................ 34
2.9 Menentukan Faktor-faktor yang Berpengaruh Signifikan ......................... 35
2.10 Teori Ekonomi ................................................................................................. 36
2.10.1. Persentase Penduduk Miskin .................................................................... 36
2.10.2. Hubungan angka partisipasi sekolah dengan persentase penduduk miskin
36
2.10.3. Hubungan Tingkat Partisipasi Angkatan Kerja dengan Persentase
Penduduk Miskin ...................................................................................................... 37
2.10.4. Hubungan Inflasi dengan Persentase Penduduk Miskin ........................... 39
2.10.5. Hubungan Rata-rata Lama Sekolah dengan Persentase Penduduk Miskin40
2.10.6. Hubungan Usia Harapan Hidup Saat Lahir dengan Persentase Penduduk
Miskin 40
2.10.7. Hubungan Indeks Pembangunan Manusia dengan Persentase Penduduk
Miskin 41
BAB III MODEL REGRESI SPASIAL DURBIN DAN ESTIMASINYA ................ 43
3.1. Latar Belakang Analisis Regresi Spasial Durbin ......................................... 43
3.2. Model Regresi Spasial Durbin ....................................................................... 43
3.3. Estimasi parameter dengan Metode Maksimum Likelihood ...................... 46
3.3.1. Estimasi Parameter 𝜷 ................................................................................ 48
3.3.2. Estimasi Parameter 𝜎2 .............................................................................. 53
3.3.3. Estimasi parameter 𝜌 ................................................................................. 54
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
3.4. Matriks Pembobot Spasial ............................................................................. 56
3.5. Autokorelasi Spasial ....................................................................................... 67
BAB IV PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK
MENGANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN
PERSENTASE PENDUDUK MISKIN ......................................................................... 74
4.1. Deskripsi Data ................................................................................................. 74
4.2. Langkah-langkah analisis............................................................................... 74
4.3. Hasil .................................................................................................................. 75
4.3.1. Matriks Pembobot Spasial ........................................................................ 75
4.3.2. Uji Autokorelasi Spasial ........................................................................... 79
4.3.3. Peta Persebaran ......................................................................................... 81
4.3.4. Uji Asumsi Klasik ..................................................................................... 88
4.3.5. Estimasi Parameter yang berkaitan ........................................................... 90
4.3.6. Menghitung Nilai Kebaikan Model .......................................................... 96
4.3.7. Uji Signifikansi Variabel .......................................................................... 96
4.4. Pembahasan ..................................................................................................... 97
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................................ 100
5.1. Kesimpulan ..................................................................................................... 100
5.2. Saran ............................................................................................................... 101
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 102
LAMPIRAN................................................................................................................... 104
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 4. 1 Daerah yang Bertetangga ..................................................................... 77
Tabel 4. 2 Uji Indeks Moran ................................................................................. 81
Tabel 4. 3 Tabel VIF ............................................................................................. 88
Tabel 4. 4 Nilai Galat untuk 35 Kabupaten/Kota .................................................. 94
Tabel 4. 5 Signifikansi Parameter ......................................................................... 97
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4. 1 Peta Provinsi Jawa Tengah ............................................................... 76
Gambar 4. 2 Peta Persebaran Persentase Penduduk Miskin Tahun 2017 ............. 82
Gambar 4. 3 Peta Persebaran Angka Partisipasi Sekolah Tahun 2017 ................. 83
Gambar 4. 4 Peta Persebaran Inflasi Tahun 2017 ................................................. 84
Gambar 4. 5 Peta Persebaran Usia Harapan Hidup Tahun 2017 .......................... 85
Gambar 4. 6 Peta Persebaran indeks pembangunan manusia tahun 2017 ............ 86
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Statistika adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari tentang
bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi
dan mempresentasikan suatu data. Dalam statistika, banyak metode yang
digunakan untuk menganalisis data. Salah satu yang paling sering digunakan
adalah analisis regresi.
Analisis regresi spasial adalah metode untuk mendapatkan informasi dari
pengamatan yang dipengaruhi oleh lokasi. Sebagai ilustrasi, data produk yang
dihasilkan oleh suatu perusahaan berdasarkan banyaknya karyawan merupakan
contoh data yang tidak dipengaruhi oleh lokasi, sedangkan banyaknya orang
yang bertahan dari suatu penyakit di berbagai daerah dalam suatu negara
merupakan contoh data yang dipengaruhi oleh lokasi. Data yang digunakan
dalam analisis regresi spasial adalah data cross section atau data panel. Data
cross section adalah data yang merupakan hasil pengukuran dari obyek yang
berbeda pada waktu yang sama. Data panel merupakan data gabungan data
cross section dan data runtun waktu. Data runtun waktu adalah data yang
dipetakan dalam lebih dari satu waktu pada satu obyek. Pada regresi spasial,
pengaruh spasial lag, yaitu nilai seberapa pengaruh suatu daerah terhadap
daerah lain yang berdekatan, hanya pada variabel terikat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Pada kenyataannya, dalam beberapa persoalan statistika, pengaruh daerah
yang berdekatan tidak terjadi hanya pada variabel terikat, melainkan pada
variabel bebas juga. Adapun kasus khusus dari analisis regresi spasial adalah
analisis regresi spasial Durbin.
Dalam bidang Ekonomi, ilmu statistik sangat sering digunakan. Metode
analisis regresi spasial Durbin merupakan salah satu metode statistik yang
dapat diterapkan untuk memodelkan permasalahan di bidang Ekonomi. Salah
satu permasalahan Ekonomi yang masih menjadi persoalan besar di Indonesia
adalah kemiskinan. Berdasarkan data Badan Pusat Statistik (BPS) pada bulan
Maret 2018, Jawa Tengah merupakan provinsi dengan persentase penduduk
miskin terbesar kedua di pulau Jawa, yaitu jumlah penduduk miskin yang
mencapai 3.9 juta orang dengan tingkat kemiskinan yang cukup besar yaitu
11.32%. Oleh karena itu, dalam skripsi ini penulis mengangkat judul
“Penerapan Regresi Spasial Durbin untuk Menganalisis Faktor-Faktor yang
Berhubungan dengan Persentase Penduduk Miskin di Jawa Tengah”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka rumusan masalah
yang akan dibahas adalah
1. Bagaimana kerangka teori analisis regresi spasial Durbin?
2. Bagaimana pengaruh dependensi spasial terhadap masing-masing faktor
yang berhubungan dengan kemiskinan?
3. Berapa nilai dugaan parameter 𝜌, 𝜷?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
4. Bagaimana persamaan model regresi spasial Durbin untuk data kemiskinan
di Jawa Tengah tersebut?
5. Faktor apa saja yang secara spasial memengaruhi persentase penduduk
miskin di Jawa Tengah?
1.3 Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan skripsi ini
adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui kerangka teoritis model regresi spasial Durbin
2. Mengetahui ada tidaknya pengaruh spasial terhadap masing-masing faktor
yang berhubungan dengan kemiskinan.
3. Memperoleh nilai dugaan parameter 𝜌 dan 𝛽.
4. Memperoleh persamaan model regresi spasial Durbin untuk data
kemiskinan di Jawa Tengah.
5. Mengetahui faktor-faktor yang secara spasial memengaruhi persentase
penduduk miskin di Jawa Tengah.
1.4 Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Memperluas wawasan penulis mengenai penerapan analisis regresi spasial
Durbin dalam menganalisis faktor-faktor yang berhubungan dengan
persentase penduduk miskin di Jawa Tengah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
2. Menambah pengetahuan pembaca tentang penerapan analisis regresi
spasial Durbin dan salah satu penerapannya dalam bidang ekonomi.
3. Mengetahui faktor-faktor yang secara spasial memengaruhi persentase
penduduk miskin di Jawa Tengah agar dapat ditindak lanjut.
1.5 Batasan Masalah
Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas salah satu penerapan regresi
spasial Durbin yaitu mengenai faktor-faktor yang behubungan dengan
persentase penduduk miskin di Jawa Tengah dengan mencari nilai dugaan
parameter 𝜌, 𝜷 serta dengan melakukan uji t untuk mengetahui faktor-faktor
apa saja yang berpengaruh signifikan terhadap persentase penduduk miskin di
Jawa Tengah. Teori-teori yang terdapat dalam skripsi ini juga hanya teori-teori
yang berkaitan langsung dengan skripsi.
1.6 Metode Penulisan
Metode penulisan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka yaitu
dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang
berkaitan dengan analisis regresi spasial Durbin, serta proses perhitungan
menggunakan program R.
1.7 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Tujuan Penulisan
1.4 Manfaat Penulisan
1.5 Batasan Masalah
1.6 Metode Penulisan
1.7 Sistematika penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Teori Dasar Statistika
2.2 Matriks
2.3 Turunan Matriks
2.4 Analisis Regresi
2.5 Pendugaan Parameter
2.6 Metode Maksimum Likelihood
2.7 Estimasi Parameter Regresi Linear Menggunakan Metode Maksimum
Likelihood
2.8 Uji Asumsi Klasik
2.9 Menentukan Faktor-faktor yang Berpengaruh Signifikan
2.10 Teori Ekonomi
BAB III MODEL REGRESI SPASIAL DURBIN DAN ESTIMASINYA
3.1 Latar Belakang Analisis Regresi Spasial Durbin
3.2 Model Regresi Spasial Durbin
3.3 Estimasi Parameter dengan Metode Maksimum Likelihood
3.4 Matriks Pembobot Spasial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
3.5 Autokorelasi Spasial
BAB IV PENERAPAN ANALISIS REGRESI SPASIAL DURBIN UNTUK
MENGANALISIS FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN
DENGAN PERSENTASE PENDUDUK MISKIN
4.1 Deskripsi Data
4.2 Langkah-langkah Analisis
4.3 Hasil Penelitian
4.4 Pembahasan
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Dasar Statistika
A. Variabel acak
Definisi 2.1
Variabel acak adalah fungsi bernilai rill dimana domainnya adalah ruang
sampel.
Definisi 2.2
Variabel acak 𝑌 disebut diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak
berhingga terbilang. Selain dari itu, disebut variabel acak kontinu.
B. Distribusi Probabilitas
1. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.3
Himpunan pasangan terurut (𝑦, 𝑝(𝑦)) adalah fungsi probabilitas atau
distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit jika untuk setiap
kemungkinan nilai 𝑦:
1) 𝑝(𝑦) ≥ 0
2) ∑𝑦𝑝(𝑦) = 1
2. Distribusi Probabilitas Kontinu
Definisi 2.4
Fungsi 𝑓(𝑦) adalah fungsi kepadatan probabilitas (densitas) untuk variabel
acak kontinu 𝑌, jika:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
1) 𝑓(𝑦) ≥ 0, ∀𝑦 ∈ ℝ
2) ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 1∞
−∞
Definisi 2.5
Dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 disebut saling bebas jika memenuhi salah satu dari
3 sifat di bawah ini:
1) Peluang bersyarat A yang diberikan oleh B sama dengan peluang
bersyarat A. Secara matematis, ditulis:
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)
2) Peluang bersyarat B yang diberikan oleh A sama dengan peluang
bersyarat B. Secara matematis, ditulis:
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵)
3) Peluang irisan A dan B sama dengan peluang A dikalikan peluang B.
Secara matematis, ditulis:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
C. Nilai Harapan
Definisi 2.6
Misalkan 𝑌 adalah variabel acak. Nilai harapan dari 𝑌, dinotasikan dengan
𝐸(𝑌) didefinisikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
𝐸(𝑌) =
{
∑𝑦𝑃(𝑦)
𝑦
∫ 𝑦𝑓(𝑦)𝑑𝑦∞
−∞
; Jika 𝑌 adalah variabel acak diskrit
; Jika 𝑌 adalah variabel acak kontinu
D. Variansi
Definisi 2.7
Jika 𝑌 adalah sebuah variabel acak dengan rata-rata 𝐸(𝑌) = 𝜇, variansi
dari sebuah variabel acak 𝑌 didefinisikan sebagai:
𝑉(𝑌) = 𝐸[(𝑌 − 𝜇)2]
Standar deviasi dari 𝑌 adalah akar dari 𝑉(𝑌).
Teorema 2.1
𝑉(𝑌) = 𝐸(𝑌2) − 𝜇2
Bukti:
𝑉(𝑌) = 𝐸[(𝑌 − 𝜇)2]
= 𝐸(𝑌2 − 2𝜇𝑌 + 𝜇2)
= 𝐸(𝑌2) − 2𝜇𝐸(𝑌) + 𝐸(𝜇2)
= 𝐸(𝑌2) − 2𝜇2 + 𝜇2
= 𝐸(𝑌2) − 𝜇2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Contoh 2.1
Misalkan diberikan distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit 𝑌
seperti pada tabel di bawah ini. Carilah rata-rata, variansi, dan standar
deviasi dari 𝑌
𝑦 𝑝(𝑦)
0 1/8
1 1/4
2 3/8
3 1/4
Penyelesaian:
Berdasarkan definisi 2.6 dan 2.7,
𝜇 = 𝐸(𝑌) = ∑𝑦𝜌(𝑦)
3
𝑦=0
= (0) (1
8) + (1) (
1
4) + (2) (
3
8) + (3) (
1
4) = 1.75
𝑉(𝑌) = 𝐸[(𝑌 − 𝜇)2] = ∑(𝑦 − 𝜇)2𝑝(𝑦)
3
𝑦=0
= (0 − 1.75)2 (1
8) + (1 − 1.75)2 (
1
4) + (2 − 1.75)2 (
3
8) + (3 − 1.75)2 (
1
4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
= 0.9375
𝑆𝑑 = +√𝑉(𝑌) = 0.97
Teorema 2.2
Jika 𝑌 adalah variabel acak dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, maka 𝐸(𝑐) = 𝑐
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑦)
𝐸(𝑐) =∑𝑐𝑝(𝑦) = 𝑐∑𝑝(𝑦) = 𝑐(1) = 𝑐
𝑦𝑦
Untuk variabel acak kontinu dengan probabilitas 𝑓(𝑦)
𝐸(𝑐) = ∫ 𝑐𝑓(𝑦) 𝑑𝑦∞
−∞
= 𝑐(1) = 𝑐
Teorema 2.3
Jika 𝑌 adalah variabel acak, 𝑔(𝑌) adalah fungsi dari 𝑌, dan 𝑐 adalah suatu
konstanta, maka:
𝐸[𝑐𝑔(𝑌)] = 𝑐𝐸[𝑔(𝑌)]
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit
𝐸[𝑐𝑔(𝑌)] =∑𝑐𝑔(𝑦)𝑝(𝑦) = 𝑐∑𝑔(𝑦)𝑝(𝑦) = 𝑐𝐸[𝑔(𝑌)]
𝑦𝑦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Untuk variabel acak kontinu
𝐸[𝑐𝑔(𝑌)] = ∫ 𝑐𝑔(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑐∫ 𝑔(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑐𝐸[𝑔(𝑌)]∞
−∞
∞
−∞
Teorema 2.4
Jika 𝑌 adalah variabel acak dan 𝑔1(𝑌), 𝑔2(𝑌), …𝑔𝑘(𝑌) adalah 𝑘 fungsi
dari 𝑌, maka:
𝐸[𝑔1(𝑌) + 𝑔2(𝑌) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑌)] = 𝐸[𝑔1(𝑌)] + 𝐸[𝑔2(𝑌)] +⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑌)]
Bukti:
Untuk Variabel acak diskrit:
𝐸[𝑔1(𝑌) + 𝑔2(𝑌) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑌)] = ∑[𝑔1(𝑦) + 𝑔2(𝑦) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑦)]𝑝(𝑦)
𝑦
= ∑𝑔1(𝑦)𝑝(𝑦) +∑𝑔2(𝑦)𝑝(𝑦)
𝑦
+⋯
𝑦
+∑𝑔𝑘(𝑦)𝑝(𝑦)
𝑦
= 𝐸[𝑔1(𝑌)] + 𝐸[𝑔2(𝑌)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑌)]
Untuk Variabel acak kontinu:
𝐸[𝑔1(𝑌) + 𝑔2(𝑌) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑌)] = ∫ [𝑔1(𝑌) + 𝑔2(𝑌) +⋯+ 𝑔𝑘(𝑌)]∞
−∞
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
= ∫ 𝑔1(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑔2(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦
∞
−∞
+⋯∞
−∞
+∫ 𝑔𝑘(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦∞
−∞
= 𝐸[𝑔1(𝑌)] + 𝐸[𝑔2(𝑌)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑌)]
2.2 Matriks
Definisi 2.8
Matriks adalah suatu kumpulan bilangan (sering disebut elemen-elemen)
yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang,
yang panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris
(Supranto, 2014).
Apabila suatu matriks 𝐴 terdiri dari 𝑚 baris dan 𝑛 kolom, maka matriks
𝐴 dapat ditulis sebagai berikut:
𝐴𝑚𝑥𝑛 =
[ 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑗 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑗 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑗 𝑎𝑚𝑛]
dengan 𝑖 = 1,2, … ,𝑚 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan cara menukar elemen
pada baris dengan elemen pada kolom. Transpose matriks 𝐴 disimbolkan
dengan 𝐴𝑡 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
2.3 Turunan Matriks
Misalkan ada dua matriks A dan X, 𝑨 = [
𝑎1𝑎2⋮𝑎𝑛
] dan 𝑿 = [
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
]
maka
𝑨𝒕𝑿 = [𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛] [
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
] = 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯ 𝑎𝑛𝑥𝑛
Selanjutnya, turunan parsial dari 𝑨𝑻𝑿 masing-masing terhadap 𝑥𝑖 adalah
sebagai berikut:
𝜕(𝑨𝒕𝑿)
𝜕𝑥1= 𝑎1
𝜕(𝑨𝒕𝑿)
𝜕𝑥2= 𝑎2
⋮
𝜕(𝑨𝒕𝑿)
𝜕𝑥𝑛= 𝑎𝑛
Dari hasil di atas, dapat dilihat bahwa turunan parsial tersebut merupakan
elemen-elemen dari vektor 𝑨. Secara matematis, dapat ditulis:
𝜕(𝑨𝒕𝑿)
𝜕𝒙= 𝑨 = [𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ]
Untuk mencari turunan dari bentuk kuadrat 𝑿𝒕𝑨𝑿, sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
𝑿𝒕𝑨𝑿 = [𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛] [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
] [
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
]
= 𝑎11𝑥12 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + 2𝑎13𝑥1𝑥3 +⋯+ 2𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛
+𝑎22𝑥22 + 2𝑎23𝑥2𝑥3 + …+ 2𝑎2𝑛𝑥2𝑥𝑛
⋮
+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛2
Keterangan: A adalah matriks simetris, yang mana 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖
Oleh karena itu, diperoleh:
𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)
𝜕𝑥1=
2(𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛)
𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)
𝜕𝑥2=
2(𝑎12𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛)
⋮
𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)
𝜕𝑥𝑛=
2(𝑎1𝑛𝑥1 + 𝑎2𝑛𝑥2 + 𝑎3𝑛𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛)
Secara umum, dapat ditulis:
𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)
𝜕𝒙= 2𝑨𝑿
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
atau
𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)
𝜕𝒙= 2𝑿𝒕𝑨
Contoh 2.2
Misalkan diketahui matriks-matriks di bawah ini:
𝑨 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
] , 𝑿 = [
𝑥1𝑥2𝑥3]
𝑨 merupakan matriks simetris, yaitu 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 dengan 𝑖 = 𝑗 = 1, 2, 3
𝑿𝒕𝑨𝑿 = [𝑥1 𝑥2 𝑥3] [
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
] [
𝑥1𝑥2𝑥3]
sehingga,
𝑿𝒕𝑨𝑿 = 𝑎11𝑥12 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + 2𝑎13𝑥1𝑥3 + 𝑎22𝑥2
2 + 2𝑎23𝑥2𝑥3
+ 𝑎33𝑥32
𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)
𝜕𝑥1= 2(𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3)
𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)
𝜕𝑥2= 2(𝑎12𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3)
𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)
𝜕𝑥3= 2(𝑎13𝑥1 + 𝑎23𝑥2 + 𝑎33𝑥3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Dapat ditulis:
𝜕(𝑿𝒕𝑨 𝑿)
𝜕𝒙= 2 [
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
] [
𝑥1𝑥2𝑥3] = 2𝑨𝑿
2.4 Analisis Regresi
Definisi 2.9
Analisis regresi adalah analisis pengaruh satu atau lebih variabel independen
(𝑋) terhadap satu variabel dependen (𝑌).
2.4.1. Model Regresi linear sederhana
Definisi 2.10
Model regresi linear sederhana adalah model regresi linear yang melibatkan
hanya satu variabel independen. Bentuk umum persamaan regresi linear
sederhana adalah:
𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽𝑥𝑖 + 𝜀𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.1)
Keterangan:
𝑦𝑖 = nilai pengamatan ke −𝑖 variabel dependen
𝛽0 = intersep (intercept) yaitu parameter yang menunjukkan besarnya nilai
variabel dependen ketika nilai variabel independen sama dengan nol
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
𝛽 = parameter regresi (slope) yaitu parameter yang menunjukkan besarnya
nilai perubahan variabel dependen karena perubahan satu satuan
variabel independen
𝑥𝑖 = nilai pengamatan ke −𝑖 variabel independen
𝜀𝑖 = galat (error) pengamatan ke – 𝑖
2.4.2. Model Regresi Linear Berganda
Definisi 2.11
Model regresi linear berganda adalah model regresi linear yang melibatkan
lebih dari satu variabel independen. Bentuk umum persamaan regresi linear
berganda, adalah:
𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 +⋯+𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 (2.2)
dengan 𝑘 menyatakan banyaknya variabel independen.
2.5 Pendugaaan Parameter
Pendugaan parameter merupakan salah satu pokok bahasan dalam
statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter yang tidak
diketahui berdasarkan data yang berasal dari sampel random.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
2.5.1. Definisi
Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang biasanya dinyatakan dengan
rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga
𝑥 berdasarkan pengukuran sampel. Sebagai contoh,
�̅� =1
𝑛∑𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
adalah salah satu kemungkinan penduga dari rata-rata populasi 𝜇.
2.5.2. Macam-macam penduga:
Adapun 2 macam penduga, yaitu:
1) Penduga Titik
Penduga titik adalah penduga dari sebuah parameter populasi 𝜃 yang
dinyatakan dengan sebuah bilangan tunggal. Sebagai contoh, akan dicari
nilai penduga 𝜃, kemudian berdasarkan data sampel yang digunakan,
diperoleh nilai 𝜃 = 0.25. Artinya, 𝜃 merupakan penduga titik dari 𝜃.
2) Penduga Interval
Penduga interval adalah penduga dari sebuah parameter populasi
yang dinyatakan dengan dua buah bilangan yang merupakan batas bawah
dan batas atas interval. Sebagai contoh, parameter 𝜃 diduga dengan
interval 0.05 ≤ 𝜃 ≤ 0.5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
2.5.3. Sifat Penduga
Penduga yang baik adalah penduga yang memenuhi sifat-sifat di bawah
ini:
1) Tak bias
Tujuan dalam melakukan pendugaan adalah memperoleh nilai penduga
yang mendekati nilai sebenarnya atau dengan kata lain, penduga yang
diperoleh bersifat tak bias.
Definisi 2.12
Misalkan 𝜃 adalah sebuah penduga dari parameter 𝜃, maka 𝜃 adalah
penduga tak bias dari 𝜃 jika 𝐸(𝜃) = 𝜃. Jika 𝐸(𝜃) ≠ 𝜃, maka 𝜃 adalah
penduga bias.
Definisi 2.13
Bias dari penduga titik 𝜃 didefinisikan sebagai 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃
Contoh 2.3
Misalkan 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 adalah sampel acak dengan 𝐸(𝑌𝑖) = 𝜇 dan 𝑉(𝑌𝑖) =
𝜎2. Tunjukkan bahwa
𝑆2 =1
𝑛∑ (𝑌𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
adalah penduga bias dari 𝜎2 dan
𝑆∗2 =1
𝑛 − 1∑(𝑌𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
adalah penduga tak bias dari 𝜎2. Keterangan: �̅� =1
𝑛∑ 𝑌𝑖 𝑛𝑖=1
Jawab:
∑(𝑌𝑖 − �̅�)2
𝑛
𝑖=1
= ∑(𝑌𝑖2 − 2𝑌𝑖�̅� + �̅�
2)
𝑛
𝑖=1
= ∑𝑌𝑖2 − 2∑𝑌𝑖�̅�
𝑛
𝑖=1
+ ∑ �̅�2𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
= ∑𝑌𝑖2 − 2�̅�
𝑛
𝑖=1
∑𝑌𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑛�̅�2
= ∑𝑌𝑖2 − 2�̅�
𝑛
𝑖=1
. 𝑛�̅� + 𝑛�̅�2
= ∑𝑌𝑖2 − 𝑛�̅�2
𝑛
𝑖=1
𝐸 [∑(𝑌𝑖 − �̅�)2
𝑛
𝑖=1
] = 𝐸 (∑𝑌𝑖2 − 𝑛�̅�2
𝑛
𝑖=1
)
= 𝐸 (∑𝑌𝑖2
𝑛
𝑖=1
) − 𝐸(𝑛�̅�2)
= ∑ 𝐸(𝑌𝑖2)𝑛𝑖=1 − 𝐸(𝑛�̅�
2) (2.3)
Dengan menggunakan rumus variansi variabel acak, yaitu:
𝑉(𝑌) = 𝐸(𝑌2) − [𝐸(𝑌)]2,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
diperoleh:
𝑉(𝑌𝑖) = 𝐸(𝑌𝑖2) − [𝐸(𝑌𝑖)]
2 dan 𝑉(�̅�) = 𝐸(�̅�2) − [𝐸(�̅�)]2
atau
𝐸(𝑌𝑖2) = 𝑉(𝑌𝑖) + [𝐸(𝑌𝑖)]
2 = 𝜎2 + 𝜇2
𝐸(�̅�2) = 𝑉(�̅�) + [𝐸(�̅�)]2 =𝜎2
𝑛+ 𝜇2
sehingga:
∑𝐸(𝑌𝑖2)
𝑛
𝑖=1
− 𝐸(𝑛�̅�2) = ∑(𝜎2 + 𝜇2) − 𝑛 (𝜎2
𝑛+ 𝜇2)
𝑛
𝑖=1
= 𝑛(𝜎2 + 𝜇2) − 𝜎2 − 𝑛𝜇2
= 𝑛𝜎2 − 𝜎2
= (𝑛 − 1)𝜎2
Oleh karena itu, persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi:
𝐸 [∑(𝑌𝑖 − �̅�)2
𝑛
𝑖=1
] =∑𝐸(𝑌𝑖2)
𝑛
𝑖=1
− 𝐸(𝑛�̅�2) = (𝑛 − 1)𝜎2
Untuk 𝑆2 =1
𝑛∑ (𝑌𝑖 − �̅�)
2 𝑛𝑖=1
𝐸(𝑆2) =1
𝑛𝐸 [∑(𝑌𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
] =1
𝑛(𝑛 − 1)𝜎2
Karena 𝐸(𝑆2) ≠ 𝜎2, maka terbukti bahwa 𝑆2 =1
𝑛∑ (𝑌𝑖 − �̅�)
2 𝑛𝑖=1 adalah
penduga bias bagi 𝜎2.
Untuk 𝑆∗2 =1
𝑛−1∑ (𝑌𝑖 − �̅�)
2 𝑛𝑖=1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
𝐸(𝑆∗2) =1
𝑛 − 1𝐸 [∑(𝑌𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
] =1
𝑛 − 1(𝑛 − 1)𝜎2 = 𝜎2
Karena 𝐸(𝑆∗2) = 𝜎2, maka terbukti bahwa 𝑆∗2 =1
𝑛−1∑ (𝑌𝑖 − �̅�)
2 𝑛𝑖=1
adalah penduga tak bias bagi 𝜎2.
Definisi 2.14
Rata-rata kuadrat galat (Mean Square Error) dari penduga titik 𝜃 adalah
𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2]
Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga titik 𝜃 adalah fungsi dari
variansi dan biasnya.
Teorema 2.5
𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)2]
Bukti
𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2] = 𝐸[𝜃
2 + 𝜃2 − 2𝜃𝜃]
= 𝐸(𝜃2) + 𝐸(𝜃2) − 2𝜃𝐸(𝜃)
= 𝐸(𝜃2) − [𝐸(𝜃)]2+ [𝐸(𝜃)]
2+ 𝐸(𝜃2) − 2𝜃𝐸(𝜃)
= 𝐸(𝜃2) − [𝐸(𝜃)]2+ [𝐸(𝜃)]
2+ 𝜃2 − 2𝜃𝐸(𝜃)
= 𝑉(𝜃) + [𝐸(𝜃) − 𝜃]2
= 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
2) Efisien atau Variansinya Minimum
Definisi 2.15
Diberikan 2 penduga tak bias dari parameter 𝜃, yaitu 𝜃1 dan 𝜃2 dengan
variansi berturut-turut 𝑉(𝜃1) dan 𝑉(𝜃2), maka efisiensi 𝜃1 terhadap 𝜃2
dinotasikan dengan 𝑒𝑓𝑓(𝜃1, 𝜃2) didefinisikan sebagai berikut:
𝑒𝑓𝑓(𝜃1, 𝜃2) =𝑉(𝜃2)
𝑉(𝜃1)
Jika 𝜃1 dan 𝜃2 adalah penduga tak bias dari parameter 𝜃, 𝑒𝑓𝑓(𝜃1, 𝜃2) >
1 hanya jika 𝑉(𝜃2) > 𝑉(𝜃1). Hal ini menunjukkan bahwa 𝜃1 lebih
efisien dibandingkan 𝜃2 karena variansinya lebih kecil. Dengan kata lain,
dapat dikatakan bahwa penduga yang baik adalah penduga yang
variannya paling minimum. Misalkan, 𝑒𝑓𝑓(𝜃1, 𝜃2) = 1.8. Hal ini
menunjukkan bahwa 𝑉(𝜃2) > 𝑉(𝜃1). Artinya, 𝜃1 lebih efisien
dibandingkan 𝜃2 karena variansinya lebih kecil.
2.6 Metode Maximum Likelihood (Kemungkinan Maksimum)
Metode kemungkinan maksimum adalah suatu metode yang digunakan
untuk mencari koefisien regresi sehingga probabilitas kejadian dari variabel
dependen semaksimum mungkin. Dalam metode ini, diasumsikan probabilitas
galatnya berdistribusi normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
2.6.1. Fungsi Likelihood
Definisi 2.16
Fungsi likelihood dari 𝑛 variabel random 𝑋1, 𝑋2, …𝑋𝑛 didefinisikan sebagai
fungsi kepadatan bersama dari 𝑛 variabel random. Jika 𝑋1, 𝑋2, …𝑋𝑛 adalah
sampel acak dari fungsi kepadatan 𝑓(𝑋; 𝜃), maka fungsi likelihoodnya
adalah 𝑓(𝑥1; 𝜃)𝑓(𝑥2; 𝜃) …𝑓(𝑥𝑛; 𝜃)
Definisi 2.17
Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi normal jika dan hanya jika untuk 𝜎 >
0 dan −∞ < 𝜇 < ∞, fungsi densitas dari 𝑋 adalah
𝑓(𝑋) =1
𝜎√2𝜋𝑒−
12(𝑥−𝜇𝜎)2
, −∞ < 𝑥 < ∞
Contoh 2.4
Misalkan 𝑋1, 𝑋2, …𝑋𝑛 adalah sampel random dari distribusi normal dengan
rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2. Carilah fungsi likelihoodnya.
Jawab:
Karena diasumsikan bahwa 𝑋1, 𝑋2, … 𝑋𝑛 berdistribusi normal, maka:
𝑓(𝑥𝑖|𝜇, 𝜎2) =
1
√2𝜋𝜎2exp [−
1
2𝜎2(𝑥𝑖 − 𝜇)
2]
Oleh karena itu, fungsi likelihoodnya adalah
𝐿(𝜇, 𝜎2) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
= 𝑓(𝑥1|𝜇, 𝜎2)𝑓(𝑥2|𝜇, 𝜎
2) …𝑓(𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)
= {1
√2𝜋𝜎2exp [−
1
2𝜎2(𝑥1 − 𝜇)
2]}… {1
√2𝜋𝜎2exp [−
1
2𝜎2(𝑥𝑛 − 𝜇)
2]}
= (1
2𝜋𝜎2)
𝑛2exp [−
1
2𝜎2∑(𝑥1 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
]
Jadi, fungsi likelihoodnya adalah
𝐿(𝜇, 𝜎2) = (1
2𝜋𝜎2)
𝑛
2exp [−
1
2𝜎2∑ (𝑥1 − 𝜇)
2𝑛𝑖=1 ].
2.6.2. Penduga Kemungkinan Maksimum
Penduga kemungkinan maksimum merupakan salah satu cara untuk
mengestimasi parameter-parameter yang tidak diketahui dengan cara
memaksimumkan fungsi likelihood. Memaksimumkan fungsi tersebut
dilakukan dengan cara melakukan diferensiasi atau mencari turunan fungsi
likelihood terhadap setiap parameter yang tidak diketahui dan setiap
turunannya disamakan dengan nol. Untuk mempermudah perhitungan, fungsi
likelihood ditransformasi ke bentuk logaritma natural. Hal ini dapat
dilakukan karena transformasi logaritma natural adalah menaik. Oleh karena
itu, memaksimumkan fungsi likelihood sama saja dengan memaksimumkan
fungsi likelihood yang telah ditransformasi ke bentuk logaritma natural.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
2.7 Estimasi Parameter Regresi Linear Menggunakan Metode
Kemungkinan maksimum
Berdasarkan persamaan (2.2), diperoleh:
𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 +⋯+𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖
Bentuk umum model regresi linear tersebut dapat diuraikan menjadi:
𝑦1 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋11 + 𝛽2𝑋12 +⋯+𝛽𝑘𝑋1𝑘 + 𝜀1
𝑦2 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋21 + 𝛽2𝑋22 +⋯+𝛽𝑘𝑋2𝑘 + 𝜀2
⋮
𝑦𝑛 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑛1 + 𝛽2𝑋𝑛2 +⋯+𝛽𝑘𝑋𝑛𝑘 + 𝜀𝑛
Dalam notasi matriks dapat ditulis menjadi:
[
𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛
] = [
1 𝑋11 𝑋12 … 𝑋1𝑘1 𝑋21 𝑋22 … 𝑋2𝑘11
⋮𝑋𝑛1
⋮ ⋮ ⋮𝑋𝑛2 … 𝑋𝑛𝑘
] [
𝛽0𝛽1⋮𝛽𝑘
] + [
𝜀1 𝜀2⋮𝜀𝑛
] (2.3)
Misalkan
𝒀 = [
𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛
] , 𝑿 = [
1 𝑋11 𝑋12 … 𝑋1𝑘1 𝑋21 𝑋22 … 𝑋2𝑘11
⋮𝑋𝑛1
⋮ ⋮ ⋮𝑋𝑛2 … 𝑋𝑛𝑘
] , 𝜷 = [
𝛽0𝛽1⋮𝛽𝑘
], dan 𝜺 = [
𝜀1 𝜀2⋮𝜀𝑛
]
Maka persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi
𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 (2.3.1)
atau dapat ditulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
𝜺 = 𝒀 − 𝑿𝜷 (2.3.2)
Keterangan:
𝒀 = Vektor variabel dependen berukuran 𝑛x1
𝑿 = Matris variabel independen berukuran 𝑛x(𝑘 + 1), dengan 𝑘 adalah
banyaknya variabel independen
𝜷 = vektor parameter regresi berukuran (𝑘 + 1)x1
𝜺 = Vektor galat berukuran 𝑛x1
Karena diasumsikan probabilitasnya berdistribusi normal, maka dapat ditulis:
𝑓(𝒀|𝜷, 𝜎2) = (1
√2𝜋𝜎2)n
exp [−1
2𝜎2(𝒀 − 𝑿𝜷)𝑡(𝒀 − 𝑿𝜷)]
= (1
√2𝜋𝜎2)n
exp [−1
2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 𝒀𝒕𝑿𝜷 − 𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]
= (1
√2𝜋𝜎2)n
exp [−1
2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)] (2.4)
Karena 𝒀𝒕𝑿𝜷 merupakan matriks berukuran 1𝑥1, maka berlaku:
𝒀𝒕𝑿𝜷 = (𝒀𝒕𝑿𝜷)𝒕 = 𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀.
Berdasarkan persamaan (2.4), diperoleh fungsi likelihoodnya adalah sebagai
berikut:
𝐿(𝛽, 𝜎2|𝑌) = (1
√2𝜋𝜎2)n
exp [−1
2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
= (1
(2𝜋)𝑛2(𝜎2)
𝑛2
) exp [−1
2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]
maka log likelihoodnya adalah
𝑙𝑛 𝐿(𝜷, 𝜎2|𝒀)
= 𝑙𝑛 {(1
(2𝜋)𝑛2(𝜎2)
𝑛2
) exp [−1
2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]}
= 𝑙𝑛 (1
(2𝜋)𝑛2(𝜎2)
𝑛2
) 𝑙𝑛 exp [−1
2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]
= −𝑙𝑛 ((2𝜋)𝑛
2(𝜎2)𝑛
2)+ 𝑙𝑛 exp [−1
2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]
= −𝑙𝑛(2𝜋)𝑛2 − 𝑙𝑛(𝜎2)
𝑛2 + 𝑙𝑛 exp [−
1
2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)]
= −𝑛
2ln(2𝜋) −
𝑛
2ln (𝜎2) −
1
2𝜎2(𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷)
= −𝑛
2ln(2𝜋) −
𝑛
2ln (𝜎2) −
1
2𝜎2𝒀𝒕𝒀 +
1
2𝜎22𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 −
1
2𝜎2𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷 (2.5)
2.7.1. Estimasi Parameter 𝛽
Parameter 𝜷 dapat diestimasi dengan memaksimumkan persamaan
(2.5) yaitu dengan cara mencari turunan persamaan (2.5) terhadap 𝜷
kemudian menyamakan dengan nol, diperoleh:
𝜕𝑙𝑛 𝐿
𝜕𝜷= 0 − 0 − 0 +
1
𝜎2𝑿𝒕𝒀 −
1
2𝜎22𝑿𝒕𝑿𝜷
= 1
𝜎2𝑿𝒕𝒀 −
1
𝜎2𝑿𝒕𝑿𝜷 (2.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Selanjutnya persamaan (2.6) disamakan dengan nol, diperoleh:
𝜕𝑙𝑛 𝐿
𝜕𝜷= 0
1
𝜎2𝑿𝒕𝒀 −
1
𝜎2𝑿𝒕𝑿𝜷 = 0
1
𝜎2𝑿𝒕𝑿𝜷 =
1
𝜎2𝑿𝒕𝒀
𝜷 = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝒀 (2.7)
Jadi, estimasi untuk parameter 𝜷 adalah
�̂� = (𝑿𝒕𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝒀
2.7.2. Estimasi Parameter 𝜎2
Parameter 𝜎2 dapat diestimasi dengan memaksimumkan persamaan
(2.5) yaitu dengan cara mencari turunan persamaan (2.5) terhadap 𝜎2
kemudian menyamakan dengan nol, diperoleh:
𝜕𝑙𝑛 𝐿
𝜕𝜎2= 0 −
𝑛
2𝜎2+
1
2(𝜎2)2𝒀𝒕𝒀 −
1
(𝜎2)2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 +
1
2(𝜎2)2𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷
𝑛
2𝜎2=
1
2(𝜎2)2𝒀𝒕𝒀 −
1
(𝜎2)2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 +
1
2(𝜎2)2𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷
𝑛𝜎2
2(𝜎2)=
1
2(𝜎2)2𝒀𝒕𝒀 −
1
2(𝜎2)22𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 +
1
2(𝜎2)2𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷
𝑛𝜎2 = 𝒀𝒕𝒀 − 2𝜷𝒕𝑿𝒕𝒀 + 𝜷𝒕𝑿𝒕𝑿𝜷
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
𝑛𝜎2 = (𝒀 − 𝑿𝜷)𝒕(𝒀 − 𝑿𝜷)
𝜎2 = 1
𝑛[(𝒀 − 𝑿𝜷)𝒕(𝒀 − 𝑿𝜷)]
Jadi, estimasi untuk parameter 𝜎2 adalah
𝜎2̂ =1
𝑛[(𝒀 − 𝑿𝜷)𝒕(𝒀 − 𝑿𝜷)]
2.8 Uji Asumsi Klasik
2.8.1. Uji Multikolinearitas
Definisi 2.18
Multikolinearitas adalah hubungan linear antarvariabel bebas
(Kurniawan, 2016). Hal ini mengakibatkan apabila nilai suatu variabel bebas
berubah, maka nilai variabel bebas yang lain ikut berubah.
Menurut Widarjono (2013), salah satu cara yang dapat dilakukan
untuk mendeteksi ada tidaknya multikolinearitas adalah dengan melihat nilai
VIF (Variance Inflation Factor) data yang akan diolah. Secara matematis,
𝑉𝐼𝐹 =1
(1 − 𝑟122 )
dengan 𝑟12 menyatakan besarnya korelasi antara variabel bebas yang satu
dengan variabel bebas yang lain, yang mana 0 ≤ 𝑟12 ≤ 1 . Apabila data
tersebut memiliki kolinearitas yang tinggi, maka nilai 𝑟12 mendekati 1.
Namun apabila data tersebut memiliki kolinearitas yang kecil, maka nilai
𝑟12 mendekati 0. Dari rumus di atas, dapat dilihat hubungan antara 𝑉𝐼𝐹 dan
𝑟12, yaitu apabila nilai 𝑟12 makin besar menuju 1, maka nilai 𝑉𝐼𝐹 juga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
semakin besar dan apabila nilai 𝑟12 makin kecil menuju 0, maka nilai 𝑉𝐼𝐹
juga semakin kecil. Oleh karena itu, data yang baik adalah data yang nilai
kolinearitasnya kecil. Dengan kata lain, Menurut Widarjono (2013) jika
nilai 𝑉𝐼𝐹 > 10 maka dapat disimpulkan bahwa ada gejala multikolinearitas
pada data tersebut.
2.8.2. Uji Heteroskedastisitas
Definisi 2.19
Heteroskedastisitas merupakan masalah regresi yang dikarenakan variansi
galat tidak konstan.
Salah satu uji yang dapat digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya
heteroskedastisitas pada suatu data adalah uji Breusch-Pagan (BP). Nilai BP
dapat diperoleh dengan bantuan program 𝑅. Selanjutnya nilai BP yang
diperoleh dibandingkan dengan nilai pada tabel chi-square (𝓍2), dengan
tingkat signifikansi(𝛼) yang telah ditentukan dengan derajat df, yaitu nilai
yang menyatakan banyaknya variabel bebas. Apabila nilai BP < nilai chi-
square maka dapat dikatakan bahwa tidak terdapat gejala heteroskedastisitas.
Data yang baik adalah data yang tidak ada gejala heteroskedastisitas.
2.8.3. Uji Normalitas
Menurut Gujarati (2003), data yang baik adalah data yang galatnya
berdistribusi normal. Salah satu uji yang digunakan untuk mendeteksi apakah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
galat berdistribusi normal atau tidak adalah uji Jarque-Bera. Uji Jarque-Bera
dapat dinyatakan sebagai:
𝐽𝐵 =𝑛
6(𝑆2 +
(𝑘 − 3)2
4)
dengan
𝑆 =
1𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
3𝑛𝑖=1
(1𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛𝑖=1 )
32
𝐾 =
1𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
4𝑛𝑖=1
(1𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛𝑖=1 )
2
𝑥 = data yang akan diuji kenormalan
𝑛 = ukuran sampel
Pengujian menggunakan uji Jarque-Bera dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻0: Galat berdistribusi normal
𝐻1: Galat tidak berdistribusi normal
Selanjutnya, nilai JB dibandingkan dengan nilai pada tabel chi-square dengan
derajat bebas dua. Jika nilai JB lebih besar dari nilai chi-square, maka 𝐻0
ditolak yang berarti galat tidak berdistribusi normal dan jika sebaliknya maka
berarti galat berdistribusi normal. Penentuan 𝐻0 ditolak atau diterima juga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
dapat dilakukan dengan melihat nilai 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒, yaitu apabila 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 >
𝛼 (yang telah ditentukan) maka 𝐻0 diterima.
2.8.4. Uji Autokorelasi
Definisi 2.20
Autokorelasi adalah hubungan antar nilai-nilai yang berurutan dari variabel
yang sama.
Salah satu cara yang digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya
autokorelasi pada data yang digunakan adalah uji Durbin-Watson (DW). Nilai
DW dapat diperoleh dengan bantuan program 𝑅.
Pengujian menggunakan uji Durbin-Watson dengan hipotesis sebagai
berikut:
𝐻0: Tidak ada autokorelasi
𝐻1: Ada autokorelasi
Adapun kaidah keputusan Durbin-Watson, sebagai berikut:
1) Jika 0 < 𝐷𝑊 < 𝐷𝐿 maka keputusan yang diambil adalah 𝐻0 ditolak yang
artinya tidak ada autokorelasi positif.
2) Jika 𝐷𝐿 ≤ 𝐷𝑊 ≤ 𝐷𝑈 maka keputusan tidak dapat diambil
3) Jika 4 − 𝐷𝐿 < 𝐷𝑊 < 4 maka keputusan yang diambil adalah 𝐻0 ditolak
yang artinya tidak ada autokorelasi negatif.
4) Jika 4 − 𝐷𝑈 ≤ 𝐷𝑊 ≤ 4 − 𝐷𝐿 maka keputusan tidak dapat diambil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
5) Jika 𝐷𝑈 < 𝐷𝑊 < 4 − 𝐷𝑈 maka keputusan yang diambil adalah 𝐻0
diterima yang artinya tidak ada autokorelasi positif atau negatif.
Keterangan: 𝐷𝐿 merupakan batas bawah dan 𝐷𝑈 merupakan batas atas yang
dapat dilihat pada tabel Durbin-Watson yang terdapat pada lampiran.
2.9 Menentukan Faktor-faktor yang Berpengaruh Signifikan
Untuk menentukan apakah suatu faktor variabel independen
berpengaruh signifikan terhadap variabel dependen, digunakan uji t dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1) Menentukan Hipotesis awal (𝐻0)
2) Menentukan Hipotesis akhir (𝐻1)
3) Menentukan Tingkat Signifikansi (𝛼)
4) Menghitung nilai statistik uji yang secara matematis dirumuskan:
𝑡 =�̂�𝑖
𝑠𝑒(�̂�𝑖)
Dengan 𝑠𝑒(�̂�𝑖) = √𝑣𝑎𝑟(�̂�𝑖) dan �̂�𝑖 menyatakan penduga parameter
ke- 𝑖.
5) Menentukan keputusan yang akan diambil, berdasarkan kriteria
sebagai berikut: 𝐻0 ditolak apabila |𝑡| > 𝑡𝛼2(𝑑𝑓)
dengan, nilai 𝑡𝛼2(𝑑𝑓) ditentukan dengan melihat tabel 𝑡, dengan
𝑑𝑓 = 𝑛 − 𝑘
6) Mengambil Kesimpulan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
2.10 Teori Ekonomi
2.10.1. Persentase Penduduk Miskin
Menurut badan pusat statistik, penduduk miskin adalah penduduk yang
memiliki rata-rata pengeluaran perkapita perbulan dibawah garis
kemiskinan
[(https://jateng.bps.go.id/subject/23/kemiskinan.html#subjekViewTab1)
diakses pada tanggal 18 april 2019]. Nilai garis kemiskinan diperoleh
dengan menjumlahkan nilai garis kemiskinan makanan (GKM) dan garis
kemiskinan non makanan (GKNM). Secara matematis, dapat ditulis:
𝐺𝐾 = 𝐺𝐾𝑀 + 𝐺𝐾𝑁𝑀
Garis Kemiskinan Makanan (GKM) merupakan nilai pengeluaran
kebutuhan minimum makanan yang disetarakan dengan 2100 kilokalori
perkapita perhari. Garis Kemiskinan Non Makanan (GKNM) adalah
kebutuhan minimum untuk perumahan, sandang, pendidikan dan kesehatan.
Persentase penduduk miskin di suatu daerah dihitung dengan rumus:
Persentase penduduk miskin =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑚𝑖𝑠𝑘𝑖𝑛
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘𝑥100%
2.10.2. Hubungan angka partisipasi sekolah dengan persentase penduduk miskin
Menurut Badan Pusat Statistik (BPS), Angka Partisipasi sekolah
didefinisikan sebagai Proporsi dari semua anak yang masih sekolah pada
suatu kelompok umur tertentu terhadap penduduk dengan kelompok umur
yang sesuai [(https://sirusa.bps.go.id/index.php?r=indikator/view&id=10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
https://jateng.bps.go.id/subject/23/kemiskinan.html#subjekViewTab1https://sirusa.bps.go.id/index.php?r=indikator/view&id=10
37
diakses pada tanggal 18 april 2019]. Sejak Tahun 2009, Pendidikan Non
Formal (Paket A, Paket B, dan Paket C) turut diperhitungkan. Badan Pusat
Statistik mengklasifikasi angka partisipasi sekolah ke dalam 4 kelompok,
yaitu APS 7-12 tahun, APS 13-15 tahun, APS 16-18 tahun, dan APS 19-24
tahun. Perhitungan nilai APS adalah sebagai berikut:
APS usia tertentu =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡𝑥100%
Sebagai contoh,
APS 16-18 tahun =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 16−18 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 16−18 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛𝑥100%
Angka partisipasi sekolah merupakan salah satu indikator yang
digunakan untuk mengukur pendidikan di suatu daerah. Semakin tinggi
angka partisipasi sekolah semakin besar pula jumlah penduduk yang
berkesempatan mengenyam pendidikan. Hal ini dapat meningkatkan
pengetahuan penduduk. Dengan peningkatan pengetahuan, diharapkan
semakin banyak penduduk yang bekerja atau berpeluang membuka
lapangan kerja agar semakin banyak penduduk yang mempunyai
pendapatan. Pendapatan yang layak dapat menurunkan persentase
penduduk miskin suatu daerah.
2.10.3. Hubungan Tingkat Partisipasi Angkatan Kerja dengan Persentase Penduduk
Miskin
Badan Pusat Statistik mendefinisikan tingkat partisipasi angkatan
kerja sebagai persentase penduduk usia 15 tahun ke atas yang merupakan
angkatan kerja. Sukirno (2007:18) menyatakan bahwa angkatan Kerja
adalah jumlah tenaga kerja yang terdapat dalam suatu perekonomian pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
suatu waktu tertentu. Secara matematis tingkat partisipasi angkatan kerja
dapat dihitung menggunakan rumus:
𝑇𝑃𝐴𝐾 =𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 𝑥 100%
Faktor-faktor yang mempengaruhi besar TPAK menurut Simanjuntak
(2001:45) adalah sebagai berikut :
1) Penduduk yang masih sekolah dan mengurus rumah tangga. Semakin
banyak penduduk yang bersekolah dan mengurus rumah tangga, maka
semakin kecil jumlah angkatan kerja, sehingga semakin kecil pula
TPAKnya.
2) Jenis kelamin. TPAK antara laki-laki dan perempuan berbeda, biasanya
TPAK perempuan lebih rendah dibandingkan dengan TPAK laki-laki,
hal ini erat kaitanya dengan sistem nilai masyarakat, bahwa laki-laki
memikul kewajiban utama untuk mencari nafkah.
3) Tingkat umur. Penduduk yang berumur muda umumnya tidak
mempunyai tanggung jawab sebagai pencari nafkah untuk keluarga,
karena mereka pada umumnya bersekolah.
4) Tingkat upah. Semakin tinggi tingkat upah dalam masyarakat, semakin
banyak anggota keluarga yang tertarik masuk pasar kerja, maka semakin
banyak jumlah angkatan kerja yang mengakibatkan semakin tinggi juga
TPAKnya.
5) Tingkat pendidikan. Semakin banyak penduduk yang bersekolah maka
jumlah angkatan kerja semakin kecil sehingga TPAKnya rendah. Selain
itu, semakin tinggi tingkat pendidikan semakin banyak peluang yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
disediakan untuk bekerja dan nilai waktunya semakin mahal. Secara
umum tingginya partisipasi angkatan kerja salah satunya disebabkan oleh
rendahnya pendapatan, sehingga masyarakat lebih memilih bekerja dari
pada bersekolah dan mengurus rumah tangga.
Berdasarkan rumus TPAK, dapat dilihat bahwa TPAK berbanding lurus
dengan angkatan kerja. Artinya semakin tinggi angkatan kerja maka
semakin tinggi pula nilai TPAK. Semakin tinggi angkatan kerja, diharapkan
masyarakat memperoleh pendapatan untuk memenuhi kebutuhan hidupnya.
Semakin banyak masyarakat yang dapat memenuhi kebutuhan hidupnya
erat kaitannya dengan penurunan persentase penduduk miskin.
2.10.4. Hubungan Inflasi dengan Persentase Penduduk Miskin
Menurut Badan Pusat Statistik, inflasi adalah kecenderungan naiknya
harga barang dan jasa pada umumnya yang berlangsung secara terus
menerus. Jika harga barang dan jasa di dalam negeri meningkat, maka
inflasi mengalami kenaikan. Naiknya harga barang dan jasa tersebut
menyebabkan turunnya nilai uang. Dengan demikian, inflasi dapat juga
diartikan sebagai penurunan nilai uang terhadap nilai barang dan jasa secara
umum. Peningkatan harga barang dan jasa dapat menyebabkan turunnya
daya beli masyarakat. Turunnya daya beli masyarakat ini dapat menjadi
indikator naiknya persentase penduduk miskin. Hal ini menunjukkan
semakin tinggi inflasi, maka persentase penduduk miskin naik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
2.10.5. Hubungan Rata-rata Lama Sekolah dengan Persentase Penduduk Miskin
Badan Pusat Statistik mendefinisikan rata-rata lama sekolah sebagai
jumlah tahun belajar penduduk usia 15 tahun ke atas yang telah diselesaikan
dalam pendidikan formal (tidak termasuk tahun yang mengulang)
[(https://sirusa.bps.go.id/index.php?r=indikator/view&id=11) diakses pada
tanggal 18 april 2019]. Secara matematis, rata-rata lama sekolah dihitung
menggunakan rumus:
Rata-rata lama sekolah =1
𝑃15+∑ (𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 𝑘𝑒 − 𝑖)𝑃15+𝑖=1
dengan 𝑃15+ = jumlah penduduk berusia 15 tahun ke atas
Tobing (dalam Atmanti, 2005), mengemukakan bahwa orang yang
memiliki tingkat pendidikan lebih tinggi (diukur dengan lamanya waktu
untuk sekolah) akan memiliki pekerjaan dan upah yang lebih baik dibanding
dengan orang yang pendidikannya lebih rendah. Upah yang lebih baik inilah
yang diharapkan dapat menurunkan persentase penduduk miskin.
2.10.6. Hubungan Usia Harapan Hidup Saat Lahir dengan Persentase Penduduk
Miskin
Usia harapan hidup saat lahir didefinisikan sebagai perkiraan rata-rata
lamanya hidup akan dicapai oleh seseorang yang dihitung sejak ia lahir
[(https://jateng.bps.go.id/subject/26/indeks-pembangunan-
manusia.html#subjekViewTab1) diakses pada tanggal 18 april 2019].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
https://sirusa.bps.go.id/index.php?r=indikator/view&id=11https://jateng.bps.go.id/subject/26/indeks-pembangunan-manusia.html#subjekViewTab1https://jateng.bps.go.id/subject/26/indeks-pembangunan-manusia.html#subjekViewTab1
41
Menurut Badan Pusat Statistik, usia harapan hidup digunakan untuk
mengevaluasi kinerja pemerintah dalam meningkatkan kesejahteraan
penduduk pada umumnya, dan meningkatkan derajat kesehatan pada
khususnya. Usia Harapan Hidup yang rendah di suatu daerah harus diikuti
dengan program pembangunan kesehatan, dan program sosial lainnya
termasuk kesehatan lingkungan, kecukupan gizi dan kalori termasuk
program pemberantasan kemiskinan.
Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Kumalasari (2011)
diperoleh hasil bahwa usia harapan hidup berbanding terbalik dengan
persentase penduduk miskin yaitu apabila usia harapan hidup meningkat
maka persentase penduduk miskin turun. Hal ini dapat dijelaskan bahwa
usia harapan hidup yang tinggi mempunyai peluang besar seseorang dalam
meningkatkan produktivitas untuk memperoleh pendapatan yang tinggi. Hal
inilah yang dapat menurunkan persentase penduduk miskin.
2.10.7. Hubungan Indeks Pembangunan Manusia dengan Persentase Penduduk
Miskin
Indeks Pembangunan Manusia (IPM) nilai yang dibentuk oleh tiga
dimensi dasar yaitu umur panjang dan hidup sehat, pengetahuan, dan
standar hidup layak. Secara matematis, perhitungan nilai indeks
pembangunan manusia adalah sebagai berikut:
𝐼𝑃𝑀 = √𝐼𝑘𝑒𝑠𝑒ℎ𝑎𝑡𝑎𝑛𝑥𝐼𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑖𝑘𝑎𝑛𝑥𝐼𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
𝐼𝑘𝑒𝑠𝑒ℎ𝑎𝑡𝑎𝑛 =𝐴𝐻𝐻 − 𝐴𝐻𝐻𝑚𝑖𝑛
𝐴𝐻𝐻𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝐴𝐻𝐻𝑚𝑖𝑛
𝐼𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑖𝑘𝑎𝑛 =𝐼𝐻𝐿𝑆 + 𝐼𝑅𝐿𝑆
2
𝐼𝐻𝐿𝑆 =𝐻𝐿𝑆 − 𝐻𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛
𝐻𝐿𝑆𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝐻𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛
𝐼𝑅𝐿𝑆 =𝑅𝐿𝑆 − 𝑅𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛
𝑅𝐿𝑆𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑅𝐿𝑆𝑚𝑖𝑛
𝐼𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛 =𝐼𝑛(𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛) − 𝐼𝑛(𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛min)
𝐼𝑛(𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛maks) − 𝐼𝑛(𝑝𝑒𝑛𝑔𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛min)
Keterangan:
𝐴𝐻𝐻 = Angka Harapan Hidup
𝐻𝐿𝑆 = Harapan Lama Sekolah
𝑅𝐿𝑆 = Rata-rata Lama Sekolah
Menurut Badan Pusat Statistik indeks pembangunan manusia
menjelaskan bagaimana penduduk dapat mengakses hasil pembangunan
dalam memperoleh pendapatan, kesehatan, pendidikan. Indeks
pembangunan manusia dijadikan tolak ukur kualitas sumber daya manusia.
Rendahnya IPM menunjukkan rendahnya produktivitas kerja
yang berimbas pada rendahnya perolehan pendapatan. Sehingga dengan
rendahnya pendapatan menyebabkan tingginya persentase penduduk
miskin.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
BAB III
MODEL REGRESI SPASIAL DURBIN DAN ESTIMASINYA
3.1. Latar Belakang Analisis Regresi Spasial Durbin
Hukum pertama tentang geografi dikemukakan oleh W Tobler dalam
Schanbenberger dan Gotway (2005), yaitu: “Everything is related to
everything else, but near thing are more related than distant thing”. Yang
berarti : segala sesuatu saling berhubungan satu dengan yang lainnya, tetapi
sesuatu yang dekat lebih mempunyai pengaruh daripada sesuatu yang jauh.
Pemikiran ini yang mendasari munculnya teori spasial. Teori spasial
menjelaskan bahwa data spasial dari suatu daerah dipengaruhi oleh daerah lain
di sekitarnya. Data spasial adalah data yang memuat adanya informasi lokasi
atau geografis dari suatu wilayah. Nilai pengaruh suatu wilayah terhadap
wilayah lain disekitarnya dapat dinyatakan dalam suatu matriks yang
dinamakan matriks pembobot spasial.
3.2. Model Regresi Spasial Durbin
Definisi 3.1
Model regresi spasial Durbin adalah model regresi yang memperhatikan
pengaruh spasial baik pada variabel dependen maupun pada variabel
independennya. Secara matematis, model umum dari regresi spasial Durbin
adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
𝑦𝑖 = �̂�∑ 𝑤𝑖𝑗𝑦𝑗 + 𝛽0𝑖 + ∑ 𝛽1𝑘𝑥𝑘𝑖 + ∑ 𝛽2𝑘 ∑ 𝑤𝑖𝑗𝑥𝑘𝑗 + 𝜀𝑖𝑛𝑗=1
𝑙𝑘=1
𝑙𝑘=1
𝑛𝑗=1 (3.1)
dengan:
𝑦𝑖 = nilai variabel dependen pada daerah ke-i
𝑦𝑗 = nilai variabel dependen pada daerah ke-j
�̂� = penduga parameter pengaruh spasial variabel dependen, yang
menunjukkan tingkat pengaruh spasial dari suatu daerah terhadap daerah
lain di sekitarnya
𝑤𝑖𝑗 = nilai pembobot spasial yang menyatakan hubungan antara daerah i
dengan daerah j
𝛽0𝑖 = Intersep
𝛽1𝑘 = nilai parameter regresi tanpa pembobot spasial untuk variabel
independen ke- k
𝛽2𝑘 = nilai parameter regresi dengan pembobot spasial untuk variabel
independen ke- k
𝑥𝑘𝑖 = nilai variabel independen ke-k untuk daerah ke-i
𝑥𝑘𝑗 = nilai variabel independen ke-k untuk daerah ke-j
Dalam notasi matriks, persamaan (3.1), dapat ditulis menjadi:
𝒀 = 𝝆𝑾𝒀 + 𝜷𝟎 +𝑿𝜷𝟏 +𝑾𝑿𝜷𝟐 + 𝜺 (3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Keterangan:
𝒀 = Vektor variabel terikat berukuran 𝑛𝑥1
𝝆 = Parameter spasial lag variabel dependen, yang menunjukkan tingkat
korelasi pengaruh spasial dari suatu wilayah terhadap wilayah lain di
sekitarnya
𝑾 = Matriks pembobot spasial berukuran 𝑛𝑥𝑛
𝜷𝟎 = Vektor intersep berukuran 𝑛𝑥1
𝑿 = Matriks variabel bebas berukuran 𝑛𝑥𝑘
𝜷𝟏 = Vektor parameter regresi tanpa mariks spasial terbobot berukuran 𝑘𝑥1
𝜷𝟐 = Vektor parameter regresi dengan matriks spasial terbobot berukuran 𝑘𝑥1
𝜺 = Vektor galat berukuran 𝑛𝑥1
𝑛 = banyaknya daerah yang diamati
𝑘 = banyaknya variabel independen
Untuk mempermudah perhitungan, persamaan (3.2) ditulis menjadi:
𝒀 = 𝝆𝑾𝒀 + 𝒁𝜷 + 𝜺 (3.3.1)
atau
𝒀 − 𝝆𝑾𝒀 = 𝒁𝜷 + 𝜺
(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 = 𝒁𝜷 + 𝜺
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
𝒀 = (𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺) (3.3.2)
Keterangan:
𝒁 = Matriks berukuran [𝑛x(2𝑘 + 1)], yang mana elemen-elemennya
merupakan gabungan vektor satu, matriks 𝑋, dan matriks WX yaitu
matriks yang merupakan hasil kali matriks 𝑊 dan matriks 𝑋. Secara
matematis dapat ditulis sebagai berikut:
𝒁 = [𝑨 𝑿 𝑾𝑿]
dengan A adalah vektor satu yaitu vektor yang seluruh elemennya
bernilai satu yang berukuran (𝑛x1).
𝜷 = Vektor berukuran (2𝑘 + 1)x1, dengan 𝜷 = [
𝜷𝟎𝜷𝟏𝜷𝟐
]
3.3. Estimasi parameter dengan Metode Maksimum Likelihood
Tujuan dari analisis regresi adalah menduga parameter regresi. Dalam
model regresi spasial Durbin, ada 3 parameter yang harus diduga yaitu parameter
𝜌, 𝛽. Metode Maksimum Likelihood adalah salah satu metode yang dapat
digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter tersebut. Dengan
menggunakan metode ini juga akan diduga parameter 𝜎2 yang akan digunakan
untuk mencari variansi masing-masing variabel yang dibutuhkan untuk uji
signifikansi parameter. Metode ini mengasumsikan galat berdistribusi normal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
dengan nilai harapan galat sama dengan nol. Berdasarkan persamaan (3.3.1),
dapat ditulis:
𝜺 = 𝒀 − 𝝆𝑾𝒀 − 𝒁𝜷
𝜺 = (𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷 (3.4)
Fungsi likelihood untuk model regresi spasial Durbin adalah:
𝐿(𝜌, 𝜷, 𝜎2|𝒀) = (1
2𝜋𝜎2)
𝑛
2 (𝐽)𝑒𝑥𝑝 (−1
2𝜎2(𝜀𝑡𝜀)) (3.5)
Dengan 𝐽 = |𝜕𝜀
𝜕𝑦| = |𝑰 − 𝝆𝑾|
Selanjutnya, persamaan (3.4) disubstitusi ke persamaan (3.5) sehingga
diperoleh:
𝐿(𝜌, 𝜷, 𝜎2|𝒀) = (1
2𝜋𝜎2)
𝑛
2 (|𝑰 − 𝝆𝑾|)𝑒𝑥𝑝 (−1
2𝜎2[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 −
𝒁𝜷]𝒕[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷] ) (3.6)
maka, logaritma natural dari persamaan (3.6), dapat ditulis sebagai berikut:
ln(𝐿) =𝑛
2𝑙𝑛 (
1
2𝜋𝜎2) + ln|𝑰 − 𝝆𝑾| −
1
2𝜎2[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕
[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷] (3.7)
atau
ln(𝐿) = −𝑛
2𝑙𝑛(2𝜋) −
𝑛
2𝑙𝑛(𝜎2) + ln|𝑰 − 𝝆𝑾| −
1
2𝜎2[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕
[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷] (3.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
3.3.1. Estimasi Parameter 𝜷
Parameter pertama yang perlu dilakukan estimasi adalah 𝜷 . Estimasi
parameter ini, dapat ditunjukkan dengan memaksimumkan logaritma natural
pada persamaan (3.8) dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap 𝜷 dan
menyamakan dengan nol. Secara matematis, dapat ditulis:
𝜕(ln(𝐿))
𝜕𝜷= 0
𝜕(ln(𝐿))
𝜕𝜷=
𝜕 (−𝑛2ln (2𝜋) −
𝑛2ln (𝜎2) + ln|𝑰 − 𝝆𝑾| −
12𝜎2
[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷])
𝜕𝜷
0 =𝜕(−
𝑛
2ln (2𝜋)−
𝑛
2ln (𝜎2)+ln|𝑰−𝝆𝑾|−
1
2𝜎2[(𝑰−𝝆𝑾)𝒀− 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰−𝝆𝑾)𝒀− 𝒁𝜷])
𝜕𝜷
0 =𝜕(−
1
2𝜎2[(𝑰−𝝆𝑾)𝒀− 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰−𝝆𝑾)𝒀− 𝒁𝜷])
𝜕𝜷 (3.9)
Perhatikan pada pembilang ruas kanan
[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]
= [((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)𝒕− 𝜷𝒕𝒁𝒕] [(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]
= ((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) − 𝜷𝒕𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) − ((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)
𝒕𝒁𝜷 +
𝜷𝒕𝒁𝒕𝒁𝜷 (3.10)
Karena 𝜷𝒕𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) merupakan matriks berukuran 1𝑥1, sehingga
diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)𝑻𝒁𝜷 = [𝜷𝑻𝒁𝑻((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)]𝑻 = [𝜷𝑻𝒁𝑻((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)]
Oleh karena itu, persamaan (3.10) dapat ditulis menjadi
[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷]𝒕[(𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀 − 𝒁𝜷] =
((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) − 𝟐𝜷𝒕𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) + 𝜷𝒕𝒁𝒕𝒁𝜷 (3.11)
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.9) dan (3.11), diperoleh:
0 = −1
2𝜎2(−2 𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) + 2𝒁𝒕𝒁𝜷 )
0 =1
𝜎2 (𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀) − 𝒁𝒕𝒁𝜷 )
atau
𝒁𝒕𝒁𝜷 = 𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)
𝜷 = (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕((𝑰 − 𝝆𝑾)𝒀)
Jadi, estimasi untuk parameter 𝜷 adalah
�̂� = (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀 (3.12.1)
atau
�̂� = (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝒀 − 𝝆(𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝑾𝒀 (3.12.2)
Berdasarkan persamaan (3.3.2), diperoleh:
𝐸(𝒀) = 𝐸[(𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺)]
𝐸(𝒀) = 𝐸((𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏)𝐸((𝒁𝜷 + 𝜺)) = 𝐸[(𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏][𝐸(𝒁𝜷) + 𝐸(𝜺)]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Karena 𝐸(𝜺) = 0, diperoleh:
𝐸(𝒀) = (𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏𝒁𝜷 (3.13)
Teorema 3.1
Penduga tak bias dari �̂� adalah 𝜷, dengan �̂� = (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀. Secara
matematis, dapat ditulis:
𝐸(�̂�) = 𝜷
Bukti:
𝐸(�̂�) = 𝐸((𝒁𝒕𝒁)−1𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀)
= 𝐸((𝒁𝒕𝒁)−1𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾))𝐸(𝒀)
= 𝐸((𝒁𝒕𝒁)−1𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾))𝐸((𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏𝒁𝜷)
= 𝜷 (3.14)
Terbukti bahwa penduga �̂� tak bias.
Teorema 3.2
Variansi �̂� adalah variansi yang paling minimum diantara penduga tak bias
linear yang lain. Secara matematis, dapat ditulis:
𝑣𝑎𝑟 �̂� ≤ 𝑣𝑎𝑟 �̂�∗
Bukti:
Karena berdasarkan persamaan (3.14), 𝐸(�̂�) = 𝜷, maka:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
𝑣𝑎𝑟 �̂� = 𝐸 ((�̂� − 𝑬(�̂�)) (�̂� − 𝑬(�̂�))𝑡
) = 𝐸 ((�̂� − 𝜷)(�̂� − 𝜷)𝒕)
= 𝐸 (((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀) − 𝜷)((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)𝒀) − 𝜷)𝑡)
Berdasarkan persamaan (3.3.2), 𝑌 = (𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺), maka:
𝑣𝑎𝑟 �̂� = 𝐸 (((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)(𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺)
− 𝜷)((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕(𝑰 − �̂�𝑾)(𝑰 − 𝝆𝑾)−𝟏(𝒁𝜷 + 𝜺) − 𝜷)𝒕)
𝑣𝑎𝑟 �̂� = 𝐸(((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝒁𝜷 + (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺
− 𝜷)((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝒁𝜷 + (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺 − 𝜷)𝒕)
= 𝐸 (((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺)((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺)𝒕)
= 𝐸 ((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺𝜺𝒕(𝒁𝒕)𝒕((𝒁𝒕𝒁)−𝟏)𝒕)
= 𝐸((𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝜺𝜺𝒕𝒁(𝒁𝒕𝒁)−𝟏)
= (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕𝑬(𝜺𝜺𝒕)𝒁(𝒁𝒕𝒁)−𝟏
= (𝒁𝒕𝒁)−𝟏𝒁𝒕�̂�2𝒁(𝒁𝒕𝒁)−𝟏
= (𝒁𝒕𝒁)−𝟏�̂�2 (3.15)
Akan ditunjukkan 𝑣𝑎𝑟 �̂� ≤ 𝑣𝑎𝑟 �̂�∗
Misalka