PNDULO DE KATER

OBJETIVO Calcular la aceleracin de la gravedad mediante un pndulo reversible de Kater. Estudiando el concepto de momento de inercia y su relacin con otros conceptos dinmicos. FUNDAMENTO TERICO Un pndulo de Kater es un ejemplo de pndulo compuesto o fsico, por ello, es un cuerpo rgido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal, que no pasa por su centro de masa. En consecuencia, la posicin de este cuerpo est determinada, en cualquier instante de tiempo, por el ngulo que dicho cuerpo forma con la vertical, tal como se indica en la figura adjunta. As, debemos notar que cuando este cuerpo est desviado de su posicin de equilibrio, tal como se ve en la figura, acta sobre el mismo un par de fuerzas (la normal y el peso), cuyo momento tiene una magnitud dada por:M z = mgl sen

donde el signo negativo debe entenderse como que este momento es opuesto a la rotacin, es decir, es un momento recuperador. Si el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de suspensin ZZ es designado por I, al aplicar el teorema del momento angular tenemos que:

M z = I&& = mgl sen

&& + mgl sen = 0 I

Considerando slo pequeas oscilaciones, es posible poner que sen , entonces tenemos: && + mgl = 0 I notando que esta ecuacin corresponde a un movimiento armnico simple cuyo periodo es:T = 2 I mgl (1)

A la vista de la ecuacin (1) es fcil observar que un pndulo simple cuya longitud de hilo fuera:

=

I ml

tendra el mismo periodo que este pndulo fsico. En lo concerniente al periodo de las oscilaciones de un pndulo fsico, la masa del mismo puede suponerse concentrada en un punto 0, cuya distancia al eje de suspensin es . Tal punto recibe el nombre de centro de suspensin. Si hacemos pasar el eje de suspensin por el punto 0, de modo que sea paralelo al eje anterior, el punto 0 pasa a ser ahora el punto de suspensin en tanto que el punto 0 pasa a ser el centro de oscilacin, por ello se dice que 0 y 0 son conjugados. Esta propiedad es la que se aprovecha para construir un pndulo de Kater. Adems debemos notar que en la expresin (1) puede aplicarse el teorema de Steiner para sustituir el valor del momento de inercia I, en funcin del momento de inercia IG con respecto a un eje paralelo al eje ZZ, que pase por el centro de masa del cuerpo (punto G), teniendo entonces: I = I G + ml 2 = mK 2 + ml 2

T = 2

K 2 + l2 gl

(2)

Considerando como cuerpo rgido el pndulo de Kater ilustrado en la figura adjunta, podemos aplicar la frmula (2) a los puntos E1 y E2, teniendo:T1 = 22 K 2 + h1 2 gh1

T2 = 2

K2 + h2 2 2 gh 2

si ambos puntos fueran conjugados T1 sera igual a T2. En la prctica es muy difcil obtener la situacin exacta del centro de oscilacin, asociado a un punto de suspensin dado, para garantizar esta igualdad. No obstante, s es posible obtener la situacin de un punto prximo al centro de oscilacin, en este caso los periodos T1 y T2 no son iguales pero si parecidos. En esta situacin, podemos poner:2 gh1 T1 2 = K 2 + h1

4 4

2

2 gh 2T2 2

= K2 + h2 2

2 2 4 2 h1 T1 h 2T2 = 2 g h1 h 2 2

2 2 2 2 4 2 T1 + T2 T1 T2 = + g 2( h1 + h 2 ) 2( h1 h 2 )

(3)

Debemos notar que la diferencia (h1-h2) no debe ser nunca pequea, pues no podramos aplicar esta frmula. Esto es fcil de evitar con las dos masas diferentes acopladas a los extremos de la barra. Por otra parte, T1 y T2 son parecidos por lo que esta diferencia ser2

mucho menor que la diferencia (h1-h2), evitando de nuevo problemas con el denominador. Hay que notar tambin que el trmino asociado a la diferencia de los periodos ser siempre una pequea correccin.MTODO

1.- Como pndulo de Kater se utilizar una barra homognea provista de dos masas en los extremos, tal como se indica en la figura anterior. Las cuchillas de los extremos (o la abrazadera deslizante) permiten el apoyo adecuado de la barra, para que la misma pueda oscilar libremente. 2.- Las cuchillas (o la abrazadera) deben ser fijadas a una cierta distancia, midiendo esta distancia h = h1 + h2. 3.- Hgase oscilar la barra con una pequea amplitud y determnese el periodo midiendo el tiempo de 20 oscilaciones. Antese este resultado con su error. 4.- A continuacin realizamos la misma experiencia invirtiendo el pndulo. Antese este resultado con su error. 5.- Cambiando las cuchillas de lugar (o la abrazadera), reptase el procedimiento de los apartados 2 a 4, de tal forma que se consigan periodos similares. 6.- Cuando se disponga de valores similares del periodo, empleamos la expresin (3) para calcular la gravedad con su error. Las distancias h1 y h2 necesarias para evaluar (3), se miden respecto del centro de masas, tal como se ha indicado en la figura anterior.

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