Pendules Couples

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Pendules Couples

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  • ETUDE DE PENDULES COUPLES

    B. AMANA et J.-L. LEMAIRE

  • -Etude de Pendules Coupls. Page - 2

    ETUDE DE PENDULES COUPLESModes et frquences propres

    I. Buts de l'tude

    Il s'agit dans ces expriences d'tudier les modes de vibration de pendulescoupls. Les frquences propres seront directement mesures et on observera l'effetdu couplage sur leurs valeurs. Il sera possible d'tudier l'effet des conditions initialessur les modes observs.

    Le systme pourra comporter deux, trois ou plusieurs pendules coupls. Cespendules pourront tre identiques ou non.

    Si on dispose de plusieurs postes de travail (carte d'acquisition +ordinateur) ilpeut tre intressant de comparer les rsultats obtenus simultanment sur chacun despendules coupls.

    Ce TP peut galement servir tudier les caractristiques de fonctionnementde la transforme de Fourier (TF) sur les signaux enregistrs: frquenced'chantillonnage, dure de l'enregistrement .., ainsi que sur des signaux simuls.

    Le dispositif exprimental propos peut facilement tre adapt l'tude desoscillations forces d'un systme de pendules coupls.

    2

  • -Etude de Pendules Coupls. Page - 3

    II. Prsentation thorique

    Seul un bref rappel thorique correspondant aux expriences sera prsent iciainsi que les principales relations ncessaires leur interprtation. Tous les rsultatsne seront pas dmontrs, le soin est laiss au lecteur de les tablir compltement sincessaire.

    Un des systmes proposs est reprsent sur la figure 1. Il est constitu de troispendules identiques de masses M et de moment d'inertie I par rapport aux points desuspension O1, O2 et O3. Le centre de masse d'un pendule est appel Gi, et L =OiGi. Les pendules sont coupls au moyen de ressorts identiques de constante derappel k et de masse ngligeable face la masse des pendules. Les ressorts sont fixs une distance d du point de suspension des pendules. Les deux ressorts extrmes,identiques aux prcdents servent obtenir un couplage nul lorsque les pendules sontverticaux (ils ne sont pas indispensables, mais les calculs sont diffrents, sans).

    3

  • -Etude de Pendules Coupls. Page - 4

    . . . .

    .

    d L

    k k k k

    1 23

    1 2 3

    . .G1

    G2 G3

    Alimentation

    Entres logiques

    Sysam Eurosmart

    PCCarte d'acquisition

    Fichiers sur DD

    Codeur qque

    Codeur 1 Codeur 2 Codeur 3

    M M M

    Pendules coupls Informatiss

    J.L. Lemaire Universit de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon

    Figure 1

    Roue codeuseAlimentation

    Entres logiques

    4

  • -Etude de Pendules Coupls. Page - 5

    BNC (Oscillo)

    Entres logiques SYSAM

    Voie 0 Voie 1Masse

    Secteur

    Connecteur DIN 6 vers le pendule

    Dtail des branchements

    Roue codeuseAlimentation

    Entres logiques

    Sysam Eurosmart

    PCCarte d'acquisition

    Pendule Informatis pdagogique

    Fichiers sur DD

    J.L. Lemaire Universit de Cergy-Pontoise Observatoire de Paris-Meudon

    Figure 2 5

  • -Etude de Pendules Coupls. Page - 6

    II.1. Systme de 2 pendules coupls (par 1 seul ressort)

    On obtient, de faon classique, l'quation diffrentielle du mouvement d'un pendule,dans l'hypothse des petits angles d'oscillation, l'aide du thorme du momentcintique, soit:

    I 1 = MgL1 + kd2 (2 1 )

    Les deux quations correspondant aux deux pendules coupls (par 1 seul ressort maissans liaison gauche et droite avec une paroi fixe) forment un systme d'quationscouples:

    MgL + kd2

    I1

    kd2

    I2 + 1 = 0

    kd2

    I1 +

    MgL + kd2

    I2 + 2 = 0

    Ce systme peut s'crire sous forme matricielle en utilisant les matrices:

    =12

    et =

    1 2

    En posant: 0 =MgL

    I et =

    kd2

    MgL le systme s'crit:

    02A + = 0 o A=

    (1 + ) (1 + )

    La matrice A a pour valeurs propres 1 et 1 + 2

    A ces deux valeurs propres correspondent les frquences propres

    f1 = f0 f2 = f0 1 + 2

    Il apparat vident que le mode correspondant la frquence f1 sera obtenu seullorsque les deux pendules sont lchs l'instant initial d'angles gaux avec desvitesses identiques. Le systme se comporte ds lors comme un pendule unique, lesressorts de couplage ne jouant aucun rle.On peut montrer que l'autre mode est obtenu lorsque les deux pendules sont lchs l'instant initial avec des angles opposs et avec des vitesses de mme module mais desens opposs.

    6

  • -Etude de Pendules Coupls. Page - 7

    Remarque: On pourra traiter, titre d'exercice le cas de 2 pendules coupls, avec liaison surles parois (comme sur la figure 1), soit directement soit selon la mthode quivalente

    indique en II.3. f1 = f0 1 + f2 = f0 1 + 3

    II.2. Lagrangien du systme de 3 pendules coupls

    (consulter pour plus de dtails, entre autres, le livre de Mcanique de Pierre Brousse- collection U - librairie Armand Colin.

    Soit S un systme matriel de solides dont la position priori est fonction de nparamtres indpendants qi et ventuellement du temps t. L'nergie cintique dusystme S, fonction des (2n +1) variables q i , q i , t est dsigne par T. La forcegnralise de l'union des efforts sur chaque solide est note Qi{ }. Alors toutmouvement qi (t) sous l'action des efforts considrs satisfait aux n quations deLagrange:

    d

    dt

    T q i

    Tqi

    = Qi (1)

    Dans le cas particulier o les efforts exercs sur S ne dpendent que des qi et de t , etdonc drivent d'une fonction de force (c'est--dire lorsqu'il existe une fonctiondiffrentiable U(q,t) telle que la force gnralise de ces efforts soit le gradient de U

    dans Rn ) soit Qi = Uqi

    (2)

    L'quation (1) devient:d

    dt

    T q i

    Tqi

    = Uqi

    (3)

    ou encored

    dt

    L q i

    Lqi

    = 0 (3')

    o L (q, q , t) = T (q, q , t) U (q, t) est appel le lagrangien du systme.

    Les coordonnes gnralises qui permettent de dcrire la dynamique du systmesont les angles i (i=1,2,3) (voir figure 1).

    De plus, dans toute la suite, on ngligera les frottements.

    L'nergie cintique du systme vaut:

    7

  • -Etude de Pendules Coupls. Page - 8

    T =1

    2I ( 1)

    2 + ( 2)2 + ( 3 )

    2( ) (4)

    L'nergie potentielle du systme est la somme des nergies potentielles des masses etdes ressorts.

    Pour un dplacement i , la masse pendulaire Mi est dplace d'une hauteurhi = L (1 cosi) d'o une nergie potentielle de Wi = Mg L (1 cos i).

    L'nergie potentielle de chacun des ressorts vaut:

    ressort 1 Wp1 =1

    2k x1

    2 avec x1 = d.1

    ressort 2 Wp2 =1

    2k (x1 x2)

    2 avec x2 = d.2

    ressort 3 Wp3 =1

    2k (x2 x3)

    2 avec x3 = d.3

    ressort 4 Wp4 =1

    2k x3

    2

    D'o l'nergie potentielle totale qui vaut:

    U = Mg L(3 cos1 cos2 cos3 ) +1

    2kd2 1

    2 + (1 2)2 + (2 3)

    2 + 32( )(5)

    Ainsi le lagrangien L vaut:

    L =1

    2I ( 1)

    2 + ( 22) + ( 3)

    2( ) MgL(3 cos1 cos2 cos3)

    1

    2k d2 12 + (1 2)

    2 + (2 3)2 + 3

    2[ ] (6)

    II.3. Equations du mouvement du systme de 3 pendules coupls

    On considre les mouvements limits aux petits angles i .

    En appliquant la formule (3') o les qi sont remplacs par les i , on obtient lesquations suivantes dcrivant la dynamique du systme:

    8

  • -Etude de Pendules Coupls. Page - 9

    I 1 + (MgL + 2kd2)1 kd

    22 = 0

    I 2 kd21 + (MgL + 2kd

    2 )2 kd23 = 0

    I 3 kd22 + (MgL + 2kd

    2 )3 = 0.

    (7)

    Pour dterminer les frquences propres, il est avantageux d'utiliser un formalismematriciel; les 3 quations prcdentes peuvent tre mises sous la forme:

    I 0 0

    0 I 0

    0 0 I

    1 2 3

    +

    MgL + 2 kd2 kd2 0

    kd2 MgL + 2 kd2 kd2

    0 kd2 MgL + 2 kd2

    123

    =0

    0

    0

    (8)

    ou encore avec des notations plus concises:M + K = 0

    o M est la matrice des moments d'inertie et K la matrice des rigidits.

    On introduit pour simplifier les critures ultrieures la quantit =kd2

    MgL

    En utilisant les quations aux dimensions, dterminer les dimensions de .En fait, est un paramtre proportionnel au couplage k.Rcrire la matrice de [K] en fonction de .Dterminer la matrice dynamique [A] dfinie par: A[ ] = M[ ]1 K[ ] .

    II.4. Frquences propres du systme de 3 pendules coupls

    En rsolvant l'quation caractristique:A[ ] 1[ ] = 0 (voir cours d'Algbre de L2),

    o 1 est la matrice identit, on obtient les valeurs propres de la matrice A qui valent:

    1 =MgL

    I(1 + 2 2 )

    2 =MgL

    I(1 + 2 )

    3 =MgL

    I(1 + 2 + 2 )

    (9)

    Les valeurs propres sont en fait les carrs des pulsations propres.

    9

  • -Etude de Pendules Coupls. Page - 10

    En appelant 0 =MgL

    Ila pulsation propre d'un pendule libre, les 3 pulsations

    propres du systme sont:

    1 = 0 1 + (2 2 )

    2 = 0 1 + 2

    3 = 0 1 + (2 + 2 )

    ou encore, en introduisant les frquences fi donnes par fi =i2

    :

    f1 = f 1 + (2 2 )

    f2 = f 1 + 2

    f3 = f 1 + (2 + 2 )

    (10)

    On vrifie aisment que 2 f22 = f1

    2 + f 32 (11)

    Les trois vecteurs propres associs aux valeurs propres dtermines plus hautsont:

    V1 =

    1

    2

    1

    V2 =1

    0

    1

    V3 =

    1

    21

    et permettent d'crire la solution des quations de mouvement couples.Les 6 constantes d'intgration ncessaires la connaissance complte du mouvement(A, B, C, 1, 2, 3) peuvent tre dtermines l'aid