Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE
KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh :
Skolastika Augustia Sarasvati
NIM: 133114026
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
THE PARAMETER ESTIMATION OF RAYLEIGH DISTRIBUTION USING
LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD
A Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by:
Skolastika Augustia Sarasvati
Student Number: 133114026
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu memberkati dan memberikan
kemudahan lewat orang-orang baik hati yang berada di sekelilingku terutama dalam
perjuanganku menyelesaikan skripsi ini.
Kedua orangtuaku Bonaventura Saptono Arko dan Teresia Atik Solikhati
Adik-adikku, yaitu Ano, Awgia, Sekal, Zita.
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing skripsi yang terbaik.
Semua orang yang akan membaca skripsi saya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Distribusi Rayleigh dengan parameter tunggal memiliki satu parameter yaitu
parameter 𝑏. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dapat dilakukan dengan
berbagai metode. Dalam skripsi ini dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh
dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square
Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).
Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih
garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat
Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan
Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi
likelihood.
Pendugaan parameter distribusi Rayleigh diterapkan pada data tinggi gelombang
terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Rata-Rata
Kuadrat Galat (Mean Square Error) dipilih sebagai kriteria pembanding kedua metode
penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah
metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat yang minimum. Dari hasil penerapan
pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang
menunjukkan bahwa Metode Kemungkinan Maksimum lebih baik dalam menduga
parameter distribusi Rayleigh.
Kata kunci: distribusi Rayleigh, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil,
Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
Rayleigh distribution with single parameter has a parameter namely parameter b.
The parameter of Rayleigh distribution can be estimated using several methods. In this
final assignment, writter will estimated the parameter estimation of Rayleigh
distribution using two methods which are Least Square Method and Maximum
Likelihood Method. In general, Least Square Method estimate the parameter by
selecting the regression line that best fit among all data which minimizes the Sum of
Square Error. Meanwhile the concept of Maximum Likelihood Method is to estimate
the parameter distribution that maximizes the likelihood function.
The parameter estimation of Rayleigh distribution is implemented on the data of
the annual biggest wave’s height in Kalukalukuang Island’s offshore, South Sulawesi.
Mean Square Error is chosen as the comparasm criteria for both methods. Method
which has minimum Mean Square Error is the best one. From our attempts on the
annual biggest wave’s height data in Kalukalukuang Island’s offshore shows that
Maximum Likelihood Method is a better method to estimate the parameter of Rayleigh
distribution.
Keywords: Rayleigh distribution, parameter estimation, Least Square Method,
Maximum Likelihood Method, Mean Square Error
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan karunia-
Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Skripsi yang berjudul “Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh Dengan
Metode Kuadrat Terkecil Dan Kemungkinan Maksimum” ini diajukan untuk
memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mendapat
banyak dukungan dan bantuan dalam proses menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh
karena itu, dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir
yang dengan penuh kesabaran telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran
serta memberikan masukan, arahan, bimbingan, dan nasihat kepada penulis.
2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi.
3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil ketua program studi
Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu memberikan
arahan yang berkaitan dengan perkuliahan.
4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains
dan Teknologi.
5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si.,
M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc.,
Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati
Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen program studi matematika yang telah
membagikan ilmu dan pengalaman selama masa perkuliahan.
6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains
dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administrasi.
7. Kedua orang tuaku yang selalu memberikan doa, semangat, dukungan, arahan,
dan nasihat sampai skripsi ini selesai.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................................. iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .......................................................... vii
ABSTRAK ................................................................................................................. viii
ABSTRACT ................................................................................................................. ix
KATA PENGANTAR .................................................................................................. x
DAFTAR ISI ............................................................................................................... xii
DAFTAR TABEL ...................................................................................................... xiv
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................. xv
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1
A. Latar Belakang ..................................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................................ 2
C. Batasan Masalah .................................................................................................. 3
D. Tujuan Penulisan ................................................................................................. 3
E. Manfaat penulisan ................................................................................................ 3
F. Metode Penulisan................................................................................................. 4
G. Sistematika Penulisan .......................................................................................... 4
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 6
A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 6
B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya................................................................. 13
C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen ........................................................... 18
D. Pendugaan Parameter......................................................................................... 23
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
E. Selang Kepercayaan........................................................................................... 25
F. Ukuran Penduga Yang Baik .............................................................................. 29
G. Metode Kuadrat Terkecil ................................................................................... 31
H. Metode Kemungkinan Maksimum .................................................................... 35
I. Uji Kolmogorov-Smirnov .................................................................................. 39
J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov .................... 41
BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN
METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM .......... 44
A. Distribusi Rayleigh ............................................................................................ 44
B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter ............................................. 47
C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil .. 49
D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan
Maksimum ......................................................................................................... 51
E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh ............................................... 53
Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh .............................................................. 58
BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH 61
A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat
Terkecil (Least Squared Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan
di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. ........................................ 61
B. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode
Kemungkinan Maksimum ................................................................................. 65
C. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov .................... 69
D. Perbandingan Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan
Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum .................... 71
BAB V PENUTUP ...................................................................................................... 73
A. Kesimpulan ........................................................................................................ 73
B. Saran .................................................................................................................. 74
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 75
LAMPIRAN .............................................................................................................. 756
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Data Contoh 2.10 ........................................................................................ 34
Tabel 2.2 Data Contoh 2.13 ........................................................................................ 42
Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13 ................................................. 42
Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut .......... 62
Tabel 4.2 Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov pada data tinggi gelombang laut. 69
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma ..................................................................... 17
Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square ................................................................ 18
Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90 ............ 28
Gambar 2. 4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil ........................................................ 35
Gambar 2. 5 Grafik 𝐹0(𝑥𝑖) dan 𝐹𝑛(𝑥𝑖) ..................................................................... 43
Gambar 3. 1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai b = 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2, 3.
..................................................................................................................................... 45
Gambar 3. 2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh ......................... 46
Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala b = 1.715623 ..... 65
Gambar 4. 2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayeligh dengan b = 1.757045 67
Gambar 4. 3 Grafik 𝐹0(𝑥𝑖) dan 𝐹𝑛(𝑥𝑖) ..................................................................... 70
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Rayleigh adalah salah satu
distribusi peluang kontinu yang biasa digunakan dalam pemodelan data
kelangsungan hidup. Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada
tahun 1880. Distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang oseanografi dan
dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal
radio yang diterima. Distribusi ini juga merupakan distribusi penting dalam
statistik dan diterapkan di beberapa bidang seperti kesehatan, pertanian, biologi,
dan ilmu-ilmu lainnya.
Variabel acak 𝑋 dikatakan mempunyai distribusi Reyleigh dengan satu
parameter 𝑏 bila fungsi densitasnya
𝑓(𝑥; 𝑏) =𝑥
𝑏2𝑒(−𝑥2
2𝑏2), 𝑥 ≥ 0, 𝑏 > 0
Pendugaan parameter merupakan salah satu persoalan yang penting dalam
bidang statistika. Pendugaan adalah bidang dari statistika yang berhubungan
dengan menduga nilai-nilai karakteristik dari populasi (parameter) berdasarkan
data yang diukur atau data empiris yang memiliki komponen acak. Pendugaan
parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan
menggunakan nilai-nilai dari sampel. Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu
penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation).
1. Penduga titik (Point Estimation)
Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-
baiknya menduga parameter yang sebenarnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
2. Penduga Selang (Interval Estimation)
Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki
peluang yang besar akan memuat parameter sebenarnya.
Dalam skripsi ini, pendugaan parameter distribusi Rayleigh dilakukan
dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square
Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).
Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih
garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah
Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode
Kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang
memaksimumkan fungsi likelihood.
Selain itu, dalam skripsi ini juga akan dilakukan perbandingan Metode
Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum untuk menduga
parameter distribusi Rayleigh. Untuk menentukan metode mana yang lebih baik
dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh penulis akan menggunakan Rata-
Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) sebagai kriteria pembanding. Rata-Rata
Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga. Penduga (estimator) adalah
suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan
bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengukuran yang
termuat di dalam sampel. Metode yang terbaik dalam menduga parameter
distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat
minimum.
B. Rumusan Masalah
Masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah:
1. Bagaimana sifat-sifat distribusi Rayleigh?
2. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat
Terkecil?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
3. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode
Kemungkinan Maksimum?
4. Bagaimana memilih metode terbaik dalam pendugaan parameter distribusi
Rayleigh?
C. Batasan Masalah
Skripsi ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:
1. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas
penduga titik dan penduga selang distribusi Rayleigh dengan satu parameter.
2. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas
pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil dan
Metode Kemungkinan Maksimum.
3. Penulis tidak membahas perluasan dari distribusi Rayleigh.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah dapat menduga parameter distribusi
Rayleigh satu parameter dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan
Metode Kemungkinan Maksimum.
E. Manfaat penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Dapat mempelajari metode untuk pendugaan parameter distribusi Rayleigh
yaitu dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan
Maksimum.
2. Dapat mengetahui seberapa baik Metode Kuadrat Terkecil dan Metode
Kemungkinan Maksimum dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh
dengan satu parameter.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode
studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-
jurnal yang berkaitan dengan distribusi Rayleigh dan metode-metode yang
digunakan dalam pendugaan parameter.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Distribusi Probabilitas
B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya
C. Momen dan Fungsi Pembangkit Moment
D. Penduga Parameter
E. Selang Kepercayaan
F. Ukuran Penduga Yang Baik
G. Metode Kuadrat Terkecil
H. Metode Kemungkinan Maksimum
I. Uji Kolmogorov-Smirnov
J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov
BAB III ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN ME-
TODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM
A. Distribusi Rayleigh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
B. Sifat-Sifat Distribusi Rayleigh
C. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat
Terkecil
D. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan
Maksimum
BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI
RAYLEIGH
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
LANDASAN TEORI
Dalam proses pembuatan skripsi ini diperlukan beberapa konsep dan teori yang
mendukung dalam ilmu statistika. Berikut akan dijelaskan beberapa teori yang
berkaitan dengan pendugaan parameter, antara lain distribusi probabilitas, distribusi
Gamma dan sifat-sifatnya, momen dan fungsi pembangkit momen, pendugaan
parameter, selang kepercayaan dan sebagainya.
A. Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas berkaitan erat dengan variabel random, jenis distribusi
probabilitas, fungsi distribusi kumulatif dan karakteristik distribusi probabilitas
yang akan dijelaskan pada subbab ini.
1. Variabel Random
Definisi 2.1
Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang
sampel.
Huruf kapital, misalnya 𝑋, adalah notasi untuk variabel random dan huruf kecil
𝑥, menyatakan nilainya.
Definisi 2.2
Variabel 𝑋 dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga
terbilang. Jika tidak memenuhi hal tersebut maka variabel acak 𝑋 dikatakan
kontinu.
Contoh:
a. Banyaknya mahasiswa matematika setiap tahun mulai dari tahun 2010.
b. Banyaknya kecelakaan mobil di Kabupaten Magelang setiap bulan selama
satu tahun.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
2. Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas
diskrit yang dilambangkan dengan 𝑝(𝑥) dan distribusi probabilitas kontinu
(fungsi densitas) yang dilambangkan dengan 𝑓(𝑥).
a. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.3
Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑝(𝑥)) adalah distribusi probabilitas dari
variabel random diskrit 𝑋 jika
1) 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥
2) ∑ 𝑝(𝑥) = 1𝑥
Contoh 2.1
Distribusi Geometrik
𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 , 𝑥 = 1, 2, 3, . . .
Akan ditunjukkan bahwa distribusi Geometrik memenuhi definisi 2.3
1) Diketahui 𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 untuk 𝑥 = 1, 2, 3, .. maka diperoleh
𝑝(𝑥) positif untuk setiap 𝑥. Jadi terbukti 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥.
2) Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan 𝑎 merupakan suku
pertama dan 𝑟 merupakan rasio antar suku adalah 𝑆∞ =𝑎
1− 𝑟. Dengan
menggunakan jumlah deret tak hingga dari deret geometri 𝑆∞ =𝑎
1− 𝑟 maka
diperoleh 𝑎 = 𝑝 dan 𝑟 = 1 − 𝑝 sehingga
∑𝑝(𝑥) = 𝑝
1 − (1 − 𝑝)= 1.
𝑥
b. Distribusi Probabilitas Kontinu
Dalam beberapa literatur istilah distribusi probabilitas kontinu disebut juga
fungsi densitas (density function).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.4
Fungsi 𝑓(𝑥) adalah distribusi probabilitas untuk variabel random kontinu 𝑋,
jika
1) 𝑓(𝑥) ≥ 0,untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅
2) ∫ 𝑓(𝑥)∞
−∞𝑑𝑥 = 1
Contoh 2.2
a) Distribusi Normal
𝑓(𝑥) = 1
𝜎 √2𝜋exp [−(
1
2𝜎2) ((𝑥 − 𝜇)2)] , −∞ < 𝑥 < ∞
Akan ditunjukkan bahwa distribusi Normal memenuhi definisi 2.4
1) Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) ≥ 0.
2) ∫1
𝜎 √2𝜋exp [− (
1
2𝜎2) ((𝑥 − 𝜇)2)] 𝑑𝑥 =
∞
−∞∫
1
𝜎 √2𝜋 𝑒−
1
2 (𝑥−𝜇
𝜎)2
𝑑𝑥 = 1.∞
−∞
Misalkan 𝑚 =𝑥−𝜇
𝜎 , 𝑑𝑚 =
𝑑𝑥
𝜎 , 𝜎 𝑑𝑚 = 𝑑𝑥,
misalkan 𝑄 = ∫1
𝜎 √2𝜋𝑒−(
1
2)𝑚2
𝜎 𝑑𝑚∞
−∞
𝑄2 = (∫1
√2𝜋𝑒−(
12)𝑚2
𝑑𝑚∞
−∞
)(∫1
√2𝜋𝑒−(
12)𝑛2 𝑑𝑛
∞
−∞
)
= 1
2𝜋∬𝑒−(
12)(𝑚2+𝑛2) 𝑑𝑚 𝑑𝑛
∞
−∞
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑟 ≤ ∞
𝑚 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑛 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑄2 = 1
2𝜋∫ ∫ 𝑒−(
12)(𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃+ 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃)|𝐽|𝑑𝑟 𝑑𝜃
∞
0
2𝜋
0
|𝐽| = |
𝜕𝑚
𝜕𝜃
𝜕𝑚
𝜕𝑟𝜕𝑛
𝜕𝜃
𝜕𝑛
𝜕𝑟
| = |−𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 cos 𝜃𝑟 cos 𝜃 sin 𝜃
|
= |(−𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃)(sin 𝜃) − (𝑟 cos 𝜃)(cos 𝜃)|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
= |−𝑟 𝑠𝑖𝑛2𝜃 − 𝑟 𝑐𝑜𝑠2𝜃| = |−𝑟| |𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃| = 𝑟
𝑄2 = 1
2𝜋∫ ∫ 𝑒−(
12)𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃+ 𝑠𝑖𝑛2𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
∞
0
2𝜋
0
= 1
2𝜋∫ ∫ 𝑒−(
1
2)𝑟2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
∞
0
2𝜋
0
Misal 𝑤 = 𝑟2, 𝑑𝑤 = 2𝑟 𝑑𝑟,𝑑𝑤
2= 𝑟 𝑑𝑟
= 1
2𝜋∫ [∫ 𝑒−(
12)𝑤 𝑑𝑤
2
∞
0
]2𝜋
0
𝑑𝜃
=1
2𝜋∫
1
2
2𝜋
0
|−2 𝑒−12𝑤 |
0
∞
𝑑𝜃
=1
2𝜋∫ −(0 − 1)𝑑𝜃2𝜋
0
= 1
2𝜋∫ −(−1)𝑑𝜃2𝜋
0
= 1
2𝜋∫ 1 𝑑𝜃 =
1
2𝜋|𝜃|0
2𝜋 2𝜋
0
=1
2𝜋 (2𝜋 − 0) = 1
Jadi,
𝑄2 = 1 → 𝑄 = ∫1
𝜎 √2𝜋𝑒−(
12)𝑚2
𝜎 𝑑𝑚∞
−∞
= 1.
b) Distribusi Eksponensial
𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒−𝜆 𝑥, 𝜆 > 0, 𝑥 ≥ 0
Akan ditunjukkan bahwa distribusi Eksponensial memenuhi definisi 2.4
1) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) ≥ 0.
2) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝜆𝑒−𝜆 𝑥𝑑𝑥∞
0
∞
−∞
= |𝜆𝑒−𝜆 𝑥 (−1
𝜆) |
0
∞
= −(|𝑒−𝜆 𝑥 |0
∞)
= −(0 − 1) = 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
3. Fungsi Ditribusi Kumulatif
Definisi 2.5
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah va-
riabel random diskrit dan kontinu 𝑋 didefinisikan sebagai berikut
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
{
∑ 𝑝(𝑥)
∀𝑋≤𝑥
, jika 𝑋 diskrit
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
−∞
, jika 𝑋 kontinu
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas
Distribusi probabilitas dicirikan oleh adanya konstanta mean dan variansi
yang merupakan karakteristiknya.
a. Mean
Definisi 2.6
Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random X dino-
tasikan sebagai 𝜇 atau 𝐸(𝑋) didefinisikan sebagai
𝐸(𝑋) =
{
∑𝑥𝑝(𝑥)
∀𝑥
,jika 𝑋 diskrit
∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞
−∞
, jika 𝑋 kontinu
b. Variansi
Definisi 2.7
Jika 𝑋 adalah variabel random, maka variansi dari 𝑋 ditulis 𝑉(𝑋) didefini-
sikan sebagai
𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2].
Teorema 2.1
𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Bukti:
𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2]
= 𝐸(𝑋2 − 2𝑋𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋))2
= 𝐸(𝑋2) − 2𝐸(𝑋)𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋))2
𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 ∎
Contoh 2.3
a) Jika 𝑥 berdistribusi Geometrik
𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 , 𝑥 = 1, 2, 3, . . .
Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Geometrik
𝐸(𝑋) =∑𝑥𝑝(𝑥)
∀𝑥
=∑𝑥 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1∞
𝑥=1
= 𝑝∑𝑥(1 − 𝑝)𝑥−1∞
𝑥=1
𝐸(𝑋) = 𝑝[1 + 2(1 − 𝑝) + 3(1 − 𝑝)2 + 4(1 − 𝑝)3+. . . ]
(1 − 𝑝)𝐸(𝑋) = 𝑝[(1 − 𝑝) + 2(1 − 𝑝)2 + 3(1 − 𝑝)3 + 4(1 − 𝑝)4+. . . ]
𝐸(𝑋)(1 − (1 − 𝑝)) = 𝑝[1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2 + (1 − 𝑝)3 + (1 − 𝑝)4+. . . ].
Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan 𝑎 merupakan suku
pertama dan 𝑟 merupakan rasio antar suku adalah 𝑆∞ =𝑎
1− 𝑟. Dengan
menggunakan deret geometri tersebut diperoleh 𝑎 = 𝑝 dan 𝑟 = 1 − 𝑝
sehingga jumlah deret tak hingga dari 𝑝[1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2 +
(1 − 𝑝)3 + (1 − 𝑝)4+. . . ] dapat ditulis kembali menjadi
𝐸(𝑋)𝑝 = 𝑝
1 − (1 − 𝑝)
𝐸(𝑋)𝑝 = 1.
Jadi, 𝐸(𝑋) =1
𝑝.
Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi
Geometrik
𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Telah ditunjukkan pada contoh di atas berdasarkan definisi 2.6 bahwa
𝐸(𝑋) =1
𝑝,
maka untuk mencari 𝑉 (𝑋) yang perlu dihitung terlebih dahulu adalah
𝐸(𝑋2) =∑𝑥2𝑝(𝑥)
∀𝑥
=∑𝑥2 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1∞
𝑥=1
= 𝑝∑𝑥2(1 − 𝑝)𝑥−1∞
𝑥=1
Misalkan 𝑞 = 1 − 𝑝, 𝑝 = 1 − 𝑞,∑ 𝑥2(𝑞)𝑥−1 = 1+ 𝑞
(1− 𝑞)3∞𝑥=1
= 𝑝∑𝑥2(𝑞)𝑥−1∞
𝑥=1
= 𝑝 ( 1 + 𝑞
(1 − 𝑞)3) = 𝑝 (
1 + 1 − 𝑝
𝑝3) =
2 − 𝑝
𝑝2.
Jadi, variansi distribusi Geometrik adalah
𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 =2 − 𝑝
𝑝2− (
1
𝑝)2
= 2 − 𝑝
𝑝2−1
𝑝2=1 − 𝑝
𝑝2.
b) Jika 𝑥 berdistribusi Normal
𝑓(𝑥) = 1
𝜎 √2𝜋exp [−(
1
2𝜎2) ((𝑥 − 𝜇)2)] , −∞ < 𝑥 < ∞
Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Normal
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞
−∞
=1
𝜎 √2𝜋∫ 𝑥 𝑒−
12 (𝑥−𝜇𝜎
)2
𝑑𝑥 ∞
−∞
=1
𝜎 √2𝜋∫ 𝑥 𝑒
−12𝜎2
(𝑥−𝜇)2𝑑𝑥
∞
−∞
Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 𝜇, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥, 𝑥 = 𝑦 + 𝜇
𝐸(𝑋) =1
𝜎 √2𝜋 ∫ (𝑦 + 𝜇) 𝑒
−12𝜎2
(𝑦)2𝑑𝑦
∞
−∞
= 𝜇 +1
𝜎 √2𝜋∫ 𝑦 𝑒
−1
2𝜎2 (𝑦)2
𝑑𝑦∞
−∞= 𝜇.
Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Normal
𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)2] = ∫ (𝑥 − 𝜇)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞
−∞
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
=1
𝜎 √2𝜋∫ (𝑥 − 𝜇)𝑒
−(12𝜎2
)((𝑥−𝜇)2) 𝑑𝑥
∞
−∞
Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 𝜇, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥, 𝑥 = 𝑦 + 𝜇,
=1
𝜎 √2𝜋∫ (𝑦2)𝑒
−(12𝜎2
)((𝑦)2) 𝑑𝑦
∞
−∞
Misal 𝑢 = 𝑦, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦, 𝑑𝑣 = 𝑦𝑒−(
1
2𝜎2)((𝑦)2)
𝑑𝑦, 𝑣 = −𝜎2𝑒−(
1
2𝜎2)((𝑦)2)
=1
𝜎 √2𝜋| 𝑦 (−𝜎2𝑒
−(12𝜎2
)((𝑦)2))|0
∞
−1
𝜎 √2𝜋∫ −𝜎2𝑒
−(12𝜎2
)(𝑦2)𝑑𝑦
∞
−∞
= 0 + 𝜎2. 1
= 𝜎2.
Jadi, variansi dari distribusi Normal adalah 𝑉(𝑋) = 𝜎2.
B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya
Definisi 2.8
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai
𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞
0
Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistika karena dapat
digunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi
pembangkit momen, variansi, rata-rata dan momen.
Teorema 2.2
Fungsi Gamma memiliki sifat
1. 𝛤(𝛼) = (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1) untuk setiap 𝛼 > 1
Bukti:
Berdasarkan definisi 2.8
𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞
0
,
misalkan 𝑢 = 𝑥𝛼−1maka 𝑑𝑢 = (𝛼 − 1)𝑥𝛼−2 dan 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥 maka 𝑣 = −𝑒−𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
𝛤(𝛼) = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢∞
0
= lim𝑏→∞
[−𝑥𝛼−1𝑒−𝑥]0𝑏 −∫ −(𝛼 − 1)𝑥𝛼−2𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
= lim𝑏→∞
[−𝑥𝛼−1𝑒−𝑥]0𝑏 + (𝛼 − 1)∫ 𝑥𝛼−2𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
= lim𝑏→∞
[−𝑥𝛼−1𝑒−𝑥]0𝑏 + (𝛼 − 1)∫ 𝑥(𝛼−1)−1𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
0
= lim𝑏→∞
(𝑏𝛼−1
𝑒𝑏) + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1)
= − lim𝑏→∞
[exp ((𝛼 − 1) ln 𝑏)
𝑒𝑏] + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1)
= − lim𝑏→∞
[exp ((𝛼 − 1) ln 𝑏 − 𝑏)] + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1)
= − lim𝑏→∞
{exp [(𝛼 − 1)𝑏 (ln 𝑏)
𝑏− 1)]} + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1)
= (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1).
2. 𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)! Dengan 𝑛 bilangan bulat positif.
Bukti:
Berdasarkan sifat Gamma
𝛤(𝛼) = (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1),
sehingga diperoleh
𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)𝛤(𝑛 − 1)
= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝛤(𝑛 − 2)
= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)𝛤(𝑛 − 3)
= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)… (3)(2)(1)𝛤(1) (2.1)
Berdasarkan definisi 2.8 maka diperoleh
𝛤(1) = ∫ 𝑥1−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
= lim𝑝→∞
∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥𝑝
0
= lim𝑝→∞
[−𝑒−𝑥]0𝑝
= 1
Persamaan (2.1) menjadi
𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)… (3)(2)(1)𝛤(1) = (𝑛 − 1)!.
3. 𝛤 (1
2) = √𝜋
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa 𝛤 (1
2) = √𝜋
Berdasarkan definisi 2.8
𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥,∞
0
misalkan 𝑥 = 𝑢2, 𝑑𝑥 = 2𝑢 𝑑𝑢
𝛤(𝛼) = ∫ 𝑢2𝛼−2𝑒−𝑢2 2𝑢 𝑑𝑢
∞
0
= 2∫ 𝑢2𝛼−2𝑒−𝑢2 𝑢 𝑑𝑢
∞
0
= 2∫ 𝑢2𝛼−1𝑒−𝑢2 𝑑𝑢
∞
0
ketika 2𝛼 − 1 = 0 maka 𝛼 =1
2,
sehingga diperoleh
𝛤 (1
2) = ∫ 𝑒−𝑢
2 𝑑𝑢
∞
0
[𝛤 (1
2)]2
= [𝛤 (1
2)] [𝛤 (
1
2)]
= (2∫ 𝑒−𝑢2 𝑑𝑢
∞
0
)(2∫ 𝑒−𝑣2 𝑑𝑣
∞
0
)
= 4 ∫ ∫ 𝑒−(𝑢2+𝑣2) 𝑑𝑢
∞
0𝑑𝑣
∞
0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Integral tersebut dapat diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi
integral polar. Misalkan 𝑢 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑣 = 𝑟 sin 𝜃 maka
𝑢2 + 𝑣2 = 𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
= 𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃)
= 𝑟2
[𝛤 (1
2)]2
= 4∫ ∫ 𝑒−𝑟2 𝑑𝑢
𝜋2
0
𝑑𝑣∞
0
= 4∫ ∫ 𝑒−𝑟2 𝑟𝑑𝑟
𝜋2
0
𝑑𝑣∞
0
= 4(∫ 𝑑𝜃
𝜋2
0
)(∫ 𝑒−𝑟2 𝑟𝑑𝑟
∞
0
)
misalkan 𝑠 = 𝑟2, 𝑑𝑠 = 2𝑟 𝑑𝑟
= 4 (𝜋
2)(−
1
2lim𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠 𝑑𝑠𝑏
0
)
= −𝜋 lim𝑏→∞
[−𝑒−𝑠]0𝑏
= −𝜋(0 − 1)
= 𝜋.
Definisi 2.9
Sebuah variabel random 𝑋 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 >
0 dan 𝛽 > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas 𝑋 adalah
𝑓(𝑥) = {𝑥𝛼−1𝑒
−𝑥𝛽
𝛽𝛼𝛤(𝛼), 𝑥 > 0, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0
0, selainnya
dengan 𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞
0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma
Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.1
Definisi 2.10
Misal 𝑣 adalah sebuah bilangan bulat positif. Sebuah variabel random 𝑋 dikatakan
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣 jika dan hanya jika 𝑋 merupakan
variabel random yang berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 =𝑣
2 dan 𝛽 = 2.
Fungsi densitasnya adalah
𝑓(𝑥) =
{
𝑥𝑣2−1𝑒−
𝑥2
2𝛼𝛤 (𝑣2), 𝑥2 > 0
0, selainnya
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
ß=1,a=2
ß=2,a=2
ß=3,a=2
ß=5,a=1
ß=9,a=0.5
ß=7.5,a=1
ß=0.5,a=1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square
Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.2
C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 2.11
Momen ke – 𝑘 dari variabel random 𝑋 di sekitar titik asal didefinisikan sebagai
𝐸(𝑋𝑘) dan dinotasikan dengan 𝜇′𝑘.
Contoh 2.4
Tentukan momen saat k=1 dan saat k=2.
Jawab:
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
v=1
v=2
v=3
v=4
v=6
v=9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Untuk k=1, 𝐸(𝑋) = 𝜇1′ = 𝜇. Untuk k=2, 𝐸(𝑋2) = 𝜇2
′. Hal ini dapat berguna saat
mencari variansi, berdasarkan Teorema 2.1 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2
= 𝜇2′ − 𝜇2.
Definisi 2.12
Fungsi pembangkit momen 𝑚(𝑡) untuk variabel random 𝑋 didefinisikan sebagai
𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥). Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah
konstanta positif 𝑏 berhingga untuk |𝑡| ≤ 𝑏.
Definisi 2.13
Fungsi Pembangkit Momen dari variabel random 𝑋 adalah 𝐸(𝑒𝑡𝑥) dan dinyatakan
dengan 𝑚𝑥(𝑡). Sehingga
𝑚𝑥(𝑡) =
{
∑𝑒𝑡𝑥 𝑓(𝑥),
∀𝑥
jika 𝑋 diskrit
∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥),∞
−∞
jika 𝑋 kontinu
Contoh 2.5
1. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Normal
𝑚𝑥(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥)∞
−∞
= ∫ 𝑒𝑡(𝑥−𝜇)1
𝜎√2𝜋𝑒−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2∞
0
𝑑𝑥
misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝜇
= ∫ 𝑒𝑡𝑢1
𝜎√2𝜋𝑒−(𝑢)2
2𝜎2∞
0
𝑑𝑥
=1
𝜎√2𝜋∫ 𝑒𝑡𝑢𝑒
−(𝑢)2
2𝜎2∞
0
𝑑𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
=1
𝜎√2𝜋∫ 𝑒
𝑡𝑢−(𝑢)2
2𝜎2∞
0
𝑑𝑥
=1
𝜎√2𝜋∫ 𝑒
−𝑢2
2𝜎2+2𝜎2𝑡𝑢2𝜎2
∞
0
𝑑𝑥
=1
𝜎√2𝜋∫ 𝑒
−12𝜎2
(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢)∞
0
𝑑𝑥
=𝑒𝑡
2𝜎2
2
𝑒𝑡2𝜎
2
2
1
𝜎√2𝜋∫ 𝑒
−12𝜎2
(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢)𝑑𝑥
∞
0
=1
𝜎√2𝜋𝑒𝑡
2𝜎2
2 ∫ 𝑒−𝑡2𝜎
2
2 ∙ 𝑒−
12𝜎2
(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢)∞
0
𝑑𝑥
=1
𝜎√2𝜋𝑒𝑡
2𝜎2
2 ∫ 𝑒−
12𝜎2
(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢+𝜎4𝑡2)∞
0
𝑑𝑥
= 𝑒𝑡2𝜎
2
2 ∫𝑒−
12𝜎2
(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢+𝜎4𝑡2)
𝜎√2𝜋
∞
0
𝑑𝑥
= 𝑒𝑡2𝜎
2
2 ∫1
𝜎√2𝜋𝑒−(𝑢−𝜎2𝑡)
2
2𝜎2∞
0
𝑑𝑥
= 𝑒𝑡2𝜎
2
2
Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Normal adalah 𝑚𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡2𝜎
2
2 .
2. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Gamma
𝑚𝑥(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥)∞
−∞
= ∫ 𝑒𝑡𝑥1
𝛽𝛼𝛤(𝛼)𝑥𝛼−1𝑒
−𝑥𝛽
∞
0
𝑑𝑥
= ∫1
𝛽𝛼𝛤(𝛼)𝑥𝛼−1 𝑒𝑡𝑥 𝑒
−𝑥𝛽
∞
0
𝑑𝑥
=1
𝛽𝛼𝛤(𝛼)∫ 𝑥𝛼−1 𝑒
𝑡𝑥−𝑥𝛽
∞
0
𝑑𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
=1
𝛽𝛼𝛤(𝛼)∫ 𝑥𝛼−1𝑒
−𝑥𝛽+𝑡𝑥
𝑑𝑥∞
0
=1
𝛽𝛼𝛤(𝛼)∫ 𝑥𝛼−1𝑒
−𝑥(1𝛽 − 𝑡)
𝑑𝑥∞
0
misalkan 1
𝑠=
1
𝛽− 𝑡
=1
𝛽𝛼𝛤(𝛼)∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥(
1𝑠 )𝑑𝑥
∞
0
=1
𝛽𝛼𝛤(𝛼)[𝛤(𝛼)𝑠(𝛼)]
=𝑠𝛼
𝛽𝛼
Ingat 1
𝑠=
1
𝛽− 𝑡 =
1−𝛽𝑡
𝛽, maka 𝑠 =
𝛽
1−𝛽𝑡
𝑠
𝛽=
𝛽1 − 𝛽𝑡
𝛽=
𝛽
1 − 𝛽𝑡∙1
𝛽=
1
1 − 𝛽𝑡
Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah
𝑚𝑥(𝑡) =𝑠𝛼
𝛽𝛼= (
𝑠
𝛽)𝛼
= (1
1 − 𝛽𝑡)𝛼
= (1 − 𝛽𝑡)−𝛼.
Teorema 2.3
Sifat-sifat Fungsi Pembangkit Momen
1. Jika 𝑋 adalah variabel random dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, maka
𝑚𝑐𝑋(𝑡) = 𝑚𝑋(𝑐𝑡).
2. Jika 𝑋 adalah variabel random dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, maka
𝑚𝑋+𝑐(𝑡) = 𝑒𝑐𝑡 ∙ 𝑚𝑥(𝑡).
3. Jika 𝑋 adalah variabel random dan 𝑎 & 𝑏 adalah dua buah konstanta, maka
𝑚(𝑋+𝑎)𝑏
(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡𝑏 ∙ 𝑚𝑥 (
𝑡
𝑏).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Bukti:
1. 𝑚𝑐𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒(𝑐𝑋)𝑡) = 𝐸(𝑒(𝑐𝑡)𝑋) = 𝑚𝑋(𝑐𝑡).
2. 𝑚𝑋+𝑐(𝑡) = 𝐸(𝑒(𝑋+𝑐)𝑡) = 𝐸(𝑒(𝑡𝑋)𝑒(𝑐𝑡)) = 𝑒𝑐𝑡 ∙ 𝑚𝑥(𝑡).
3. 𝑚(𝑋+𝑎)
𝑏
(𝑡) = 𝐸 (𝑒((𝑋+𝑎)
𝑏)𝑡) = 𝐸 (𝑒(
(𝑋𝑡+𝑎𝑡)
𝑏)) = 𝐸 (𝑒(
(𝑋𝑡)
𝑏)𝑒(
(𝑎𝑡)
𝑏)) = 𝑒
𝑎𝑡
𝑏 ∙ 𝑚𝑥 (𝑡
𝑏).
Teorema 2.4 Teorema Ketunggalan
Misalkan 𝑚𝑥(𝑡) dan 𝑚𝑦(𝑡) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel
acak 𝑋 dan 𝑌. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan 𝑚𝑥(𝑡) = 𝑚𝑦(𝑡)
untuk semua nilai dari 𝑡, maka 𝑋 dan 𝑌 mempunyai distribusi probabilitas yang
sama.
Bukti:
Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi.
Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan
menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu
𝜑𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑖𝑡𝑥),
dengan 𝑖 adalah bilangan kompleks.
Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen (FPM) adalah bentuk khusus dari
fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila 𝐹 dan 𝐺
adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu
∫ 𝑒𝑖𝑡𝑥𝑑𝐹(𝑥)∞
−∞
= ∫ 𝑒𝑖𝑡𝑥𝑑𝐺(𝑥) ∀𝑡 ∈ ℝ,∞
−∞
maka 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥). (Skripsi halaman 54).
Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi
pembangkit momen dengan fungsi probabilitas ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Teorema 2.5
Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi
pembangkit momen 𝑚𝑋1(𝑡),𝑚𝑋2
(𝑡), … ,𝑚𝑋𝑛(𝑡). Jika 𝑈 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛,
maka
𝑚𝑈(𝑡) = 𝑚𝑋1(𝑡) × 𝑚𝑋2
(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛(𝑡).
Bukti:
𝑚𝑈(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑈)
= 𝐸(𝑒𝑡(𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛))
= 𝐸(𝑒𝑡𝑋1𝑒𝑡𝑋2 …𝑒𝑡𝑋𝑛)
= 𝐸(𝑒𝑡𝑋1) × 𝐸(𝑒𝑡𝑋2) × …× 𝐸(𝑒𝑡𝑋𝑛)
= 𝑚𝑋1(𝑡) × 𝑚𝑋2
(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛(𝑡) ∎
D. Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter adalah bidang dari statistika yang berhubungan
dengan menduga nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur atau data
empiris yang memiliki komponen random. Pendugaan parameter adalah suatu
metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai
dari sampel.
Definisi 2.15
Parameter adalah suatu konstanta yang menggambarkan (merupakan karakteristik)
populasi.
Sebuah keluarga parametrik fungsi densitas adalah kumpulan fungsi densitas yang
diindeks oleh suatu kuantitas yang disebut parameter.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Contoh 2.6:
1. Populasi berdistribusi Normal dengan fungsi densitasnya adalah
𝑓(𝑥) = 1
𝜎 √2𝜋exp [− (
1
2𝜎2) ((𝑥 − 𝜇)2)] , −∞ < 𝑥 < ∞ memiliki parameter
𝜇 dan 𝜎2, dengan 𝜇 merupakan rata-rata populasi dan 𝜎2 merupakan variansi
populasi.
2. Populasi berdistribusi Eksponensial fungsi densitasnya adalah 𝑓(𝑥; 𝜆) =
𝜆𝑒−𝜆𝑥, dengan 𝜆 > 0. Maka untuk setiap 𝜆 > 0, 𝑓(𝑥; 𝜆) adalah fungsi densitas.
Kumpulan dari 𝑓(𝑥; 𝜆) adalah keluarga parametrik dari fungsi densitas.
Definisi 2.16
Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam suatu rumus yang
digunakan untuk menghitung nilai dari pendugaan yang didasarkan atas
pengukuran di dalam sampel.
Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik (point estimation) dan
penduga selang (interval estimation).
Definisi 2.17
Penduga Titik (Point Estimation)
Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya
menduga parameter yang sebenarnya.
Contoh 2.7
Rata-rata sampel yang dinyatakan dalam suatu rumus
�̅� =1
𝑛∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
merupakan salah satu penduga titik dari rata-rata populasi 𝜇.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Definisi 2.18
Penduga Selang (Interval Estimation)
Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang
besar akan memuat parameter sebenarnya.
E. Selang Kepercayaan
Penduga selang adalah metode yang digunakan untuk menghitung 2 nilai
yang akan membentuk titik-titik batas interval. Idealnya hasil dari interval akan
memiliki 2 sifat. Pertama ia akan memuat parameter 𝜃, kedua, intervalnya akan
relatif sempit. Kedua titik batas dari interval merupakan fungsi dari pengukuran
sampel yang akan bervariasi secara acak dari sampel yang satu dengan sampel
yang lain. Jadi, panjang dan letak dari interval bersifat random. Kita tidak dapat
secara pasti mengetahui letak dari parameter 𝜃, tapi kita tahu bahwa letaknya di
dalam selang tersebut. Jadi tujuan kita adalah ingin menentukan interval yang
relatif sempit tetapi mempunyai peluang yang besar untuk memuat parameter 𝜃.
Penduga selang sering disebut dengan Selang Kepercayaan (Confidence
Interval). Titik batas atas dan titik batas bawah dari selang kepercayaan disebut
juga batas atas dan batas bawah kepercayaan. Peluang bahwa selang kepercayaan
akan memuat parameter 𝜃 disebut koefisien kepercayaan. Dari sudut pandang
praktis, koefisien kepercayaan mengidentifikasi berapakah 𝑖 dalam sampling
berulang, selang yang terbentuk akan memuat parameter 𝜃 yang menjadi sasaran.
Contoh, misal koefisien kepercayannya 95% , artinya jika ada sampling sebanyak
100 kali maka 95 selang yang terbentuk akan memuat 𝜃. Jika diketahui bahwa
koefisien kepercayaan yang terkait dengan penduga itu tinggi, maka dapat
dipercaya bahwa setiap selang kepercayaan yang dibangun dengan menggunakan
hasil dari sampel tunggal akan memuat parameter 𝜃.
Misalkan 𝜃𝐿 dan 𝜃𝑈 secara berturut-turut merupakan batas atas dan batas
bawah selang kepercayaan random untuk parameter 𝜃.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Maka, jika 𝑃 (𝜃𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼 , peluang (1 − 𝛼) adalah koefisien
kepercayaan. Interval random yang didefinisikan dengan [𝜃𝐿 , 𝜃𝑈] disebut selang
kepercayaan dua sisi.
Memungkinkan juga untuk membentuk selang kepercayaan satu sisi batas bawah
yaitu
𝑃 (𝜃𝐿 ≤ 𝜃) = 1 − 𝛼,
selang kepercayaannya adalah [𝜃𝐿 , ∞). Dengan cara yang sama, dapat dibentuk
selang kepercayaan satu sisi batas atas yaitu
𝑃 (𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼,
selang kepercayaannya adalah (−∞, 𝜃𝑈].
Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan disebut
metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas
Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri:
1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃, dengan 𝜃 adalah
kuantitas yang tidak diketahui.
2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter 𝜃.
Jika distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui, maka logika berikut
dapat digunakan untuk bentuk penduga selang. Jika 𝑌 merupakan variabel
random, 𝑐 > 0 adalah konstan, dan 𝑃(𝑎 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏) = 0.7; maka jelas bahwa
𝑃(𝑐𝑎 ≤ 𝑐𝑌 ≤ 𝑐𝑏) = 0.7. Dengan cara yang sama untuk setiap konstan 𝑑,
𝑃(𝑎 + 𝑑 ≤ 𝑌 + 𝑑 ≤ 𝑏 + 𝑑) = 0.7. Peluang kejadian 𝑃(𝑎 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏) tidak
dipengaruhi dengan perubahan skala atau translasi dari 𝑌.
Contoh 2.8
Diberikan suatu populasi, dengan variabel random Y, memiliki distribusi
Eksponensial dengan mean θ. Dengan menggunakan 𝑌, buatlah selang
kepercayaan bagi 𝜃 dengan koefisien kepercayaan 0.90.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Jawab:
Fungsi densitas untuk Y adalah sebagai berikut
𝑓(𝑦) = {(1
θ) 𝑒−
𝑦θ , 𝑦 ≥ 0
0, selainnya
Dengan menggunakan metode Pivot, akan ditunjukkan bahwa U =𝑌
θ memenuhi
syarat sebagai kuantitas Pivot.
F𝑢(𝑢) = 𝑃(𝑈 ≤ 𝑢) = 𝑃 (𝑌
θ≤ 𝑢) = 𝑃(𝑌 ≤ θ𝑢) = F𝑌(θ𝑢) (2.2)
F𝑌(y) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑦
−∞
= ∫1
θ
𝑦
−∞
𝑒−𝑡θ𝑑𝑡 = 1 − 𝑒−
𝑦θ (2.3)
Dari (2.2) dan (2.3) diperoleh
F𝑌(θ𝑢) = 1 − 𝑒−𝑢𝜃θ = 1 − 𝑒−
𝑢θ
f𝑢(𝑢) = F𝑢′(𝑢) = F𝑌
′(θ𝑢) = 𝑒−𝑢
U =𝑌
θ adalah kuantitas Pivot, karena
1. U merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃 yang tidak
diketahui.
2. f𝑢(𝑢) tidak bergantung pada 𝜃.
Karena akan dibuat penduga selang dengan koefisien kepercayaan sama dengan
0.90, akan dicari 𝑎 dan 𝑏 untuk 𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan 𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90
𝑃(𝑈 < 𝑎) = ∫ 𝑒−𝑢𝑎
0𝑑𝑢 = 0.05 dan 𝑃(𝑈 > 𝑏) = ∫ 𝑒−𝑢
∞
𝑏𝑑𝑢 = 0.05
Maka, 1 − 𝑒−𝑎 = 0.05 𝑒−𝑏 = 0.05
𝑒−𝑎 = 1 − 0.05 𝑙𝑛(𝑒−𝑏) = ln(0.05)
𝑒−𝑎 = 0.95 −𝑏 = −2.99573
ln(𝑒−𝑎) = ln(0.95) 𝑏 = 2.99573
−𝑎 = −0.0512
𝑎 = 0.0512
Diperoleh 𝑎 = 0.0512 dan 𝑏 = 2.99573 sehingga 𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90
menjadi
𝑃(0.0512 ≤ 𝑈 ≤ 2.99573) = 0.90
𝑃 (0.0512 ≤𝑌
𝜃≤ 2.99573) = 0.90
𝑃 (0.0512
𝑌≤1
𝜃≤2.99573
𝑌) = 0.90
𝑃 (𝑌
0.0512≥ 𝜃 ≥
𝑌
2.99573) = 0.90
𝑃 (𝑌
2.99573≤ 𝜃 ≤
𝑌
0.0512) = 0.90
0.05
0.050.90
a b
𝑢
𝑓(𝑢)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Jadi, selang kepercayaan bagi 𝜃 dengan koefisien kepercayaan 0.90 adalah
𝑃 (𝑌
2.99573≤ 𝜃 ≤
𝑌
0.0512) = 0.90.
F. Ukuran Penduga Yang Baik
Penduga yang baik adalah penduga yang mendekati nilai parameter yang
sebenarnya. Ciri-ciri penduga yang baik adalah penduga yang tak bias atau
memiliki bias yang sekecil mungkin.
Bias dan Rata-rata Galat dari Penduga Titik
Definisi 2.19
Misalkan 𝜃 adalah penduga titik dari parameter 𝜃, maka 𝜃 adalah penduga tak
bias jika E(θ̂) = θ. Jika E(θ̂) ≠ θ, maka θ̂ disebut bias.
Definisi 2.20
Bias dari penduga titik 𝜃 didefinisikan sebagai 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃.
Contoh 2.9
Diberikan 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛 merupakan sampel random dari populasi memiliki
fungsi densitas sebagai berikut
𝑓(𝑦) = {(
1
θ + 1) 𝑒
−𝑦
(θ+1), 𝑦 > 0, 𝜃 > −1
0, selainnya
Tentukan penduga yang tak bias bagi 𝜃. Apakah �̅� merupakan penduga yang tak
bias bagi 𝜃?
Jawab:
Akan dicoba �̅� sebagai penduga 𝜃.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
𝐸(�̅�) = 𝐸 (∑ 𝑌𝑖𝑛𝑖=1
𝑛) =
1
𝑛𝐸 (∑𝑌𝑖
𝑛
𝑖=1
) =1
𝑛∑𝐸(𝑌𝑖) =
1
𝑛𝑛(𝜃 + 1) = 𝜃 + 1.
Jadi �̅� bias.
Biasnya dari �̅� adalah 1, maka
𝐸(�̅�) = 𝜃 + 1
𝐸(�̅� − 1) = 𝜃
Jadi, �̅� − 1 adalah penduga tak bias dari 𝜃.
Definisi 2.21
Rata-rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik 𝜃 adalah
𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃 )2].
Rata-rata Kuadrat Galat dari sebuah penduga 𝜃 adalah fungsi dari variansi dan
biasnya.
Teorema 2.6
𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)2]
Bukti:
𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2]
= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃)) + (𝐸(𝜃) − 𝜃)2]
= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃))2
+ 2(𝜃 − 𝐸 (𝜃)) (𝐸(𝜃) − 𝜃) + (𝐸(𝜃) − 𝜃)2]
= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃))2
] + 𝐸 [2 (𝜃 − 𝐸 (𝜃)) (𝐸(𝜃) − 𝜃)] + 𝐸 [(𝐸(𝜃) − 𝜃)2]
= 𝑉(𝜃) + 2𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃))𝐵(𝜃)] + [𝐵(𝜃)]2
= 𝑉(𝜃) + 2𝐵(𝜃)𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃))] + [𝐵(𝜃)]2
= 𝑉(𝜃) + 2𝐵(𝜃)𝐸 (𝜃) − 𝐸[𝐸(𝜃)] + [𝐵(𝜃)]2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
= 𝑉(𝜃) + 0 + [𝐵(𝜃)]2
= 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2 ∎
G. Metode Kuadrat Terkecil
Regresi linear adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui
hubungan antara variabel terikat (dependen;𝑌) dengan satu atau lebih variabel
bebas (independen;𝑋).
Definisi 2.22
Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
dengan 𝑌𝑖 = pengamatan ke- 𝑖 variabel dependen 𝑌
𝑋𝑖 = pengamatan ke- 𝑖 variabel independen 𝑥
𝛽0 = intersep (konstanta)
𝛽1 = parameter regresi
𝑢𝑖 = galat (error) dari pengamatan ke-𝑖
Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu
metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter
model regresi. Misalkan (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) pasangan sampel random berukuran 𝑛
pengamatan dari suatu populasi, berdasarkan definisi 2.22 maka persamaan garis
regresinya adalah
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 .
Metode Kuadrat Terkecil bertujuan untuk menentukan penduga dari 𝛽0 dan
𝛽1, yaitu 𝛽0̂ dan 𝛽1̂. Dengan asumsi 𝐸(𝑢𝑖) = 0 persamaan regresi akan diduga
dengan
𝑌�̂� = 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑋𝑖.
Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan dari 𝛽0 dan 𝛽1 yang
meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Definisi 2.23
Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE) didefinisikan sebagai berikut
𝑆𝑆𝐸 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦�̂�)2 = ∑[𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]
2.
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
Jumlah Kuadrat Galat (SSE) akan memiliki nilai minimum jika nilai 𝛽0̂ dan 𝛽1̂
memenuhi persamaan 𝜕𝑆𝑆𝐸
𝜕𝛽0̂= 0 dan
𝜕𝑆𝑆𝐸
𝜕𝛽1̂= 0. Dengan menggunakan turunan
parsial terhadap 𝛽0̂ dan 𝛽1̂, maka diperoleh
𝜕𝑆𝑆𝐸
𝜕𝛽0̂=𝜕( ∑ [𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]
2𝑛𝑖=1
𝜕𝛽0̂ = 0
= −∑2[𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]
𝑛
𝑖=1
= 0
= −2(∑𝑦𝑖 − ∑( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
) = 0
= (∑𝑦𝑖 − 𝑛𝛽0̂ − 𝛽1̂∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
) = 0
∑𝑦𝑖 = 𝑛𝛽0̂ + 𝛽1̂∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
(2.4)
dan
𝜕𝑆𝑆𝐸
𝜕𝛽1̂ =
𝜕( ∑ [𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]2𝑛
𝑖=1
𝜕𝛽1̂= 0
= −∑ 2[𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]𝑥𝑖𝑛𝑖=1 = 0
= −2(∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝛽0̂∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 − 𝛽1̂ ∑ 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛
𝑖=1 ) = 0
= (∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝛽0̂∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 − 𝛽1̂ ∑ 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 𝑛
𝑖=1 ) = 0
∑𝑥𝑖𝑦𝑖 = 𝛽0̂∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝛽1̂ ∑𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
(2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Persamaan (2.4) dan (2.5) dapat diselesaikan dengan metode Eliminasi maka
akan diperoleh 𝛽0̂ dan 𝛽1̂ sebagai berikut
𝛽1̂ = ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 −
1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1
∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −
1𝑛 (∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2
= ∑ (𝑌𝑖 − �̅�)𝑛𝑖=1 (𝑥𝑖 − �̅�)
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛𝑖=1
(2.6)
𝛽0̂ = −1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 +
1𝑛∑ 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1
∑ 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 − 1𝑛 (∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2
=
1𝑛∑ 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1 −
1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1
∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −
1𝑛 (∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2
=
1𝑛 ∑ 𝑦𝑖𝑛𝑖=1 (∑ 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 −
1𝑛 (∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2) − (∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 −
1𝑛∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1
𝑛𝑖=1 ) (
1𝑛 ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 )
∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −
1𝑛 (∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2
=
1𝑛∑ 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1 − (
1𝑛2 ∑ 𝑦𝑖(∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2𝑛
𝑖=1 ) − 1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖 + (
1𝑛2 ∑ 𝑦𝑖(∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2𝑛
𝑖=1 )𝑛𝑖=1
∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −
1𝑛 (∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2
=1
𝑛 ∑𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
−∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 −
1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1
∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −
1𝑛 (∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2
(1
𝑛 ∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
)
= �̅� − 𝛽1̂ �̅� (2.7)
Penduga 𝛽0̂ dan 𝛽1̂ pada persamaan (2.6) dan (2.7) adalah penduga yang
memiliki jumlah kuadrat galat yang paling minimum, maka 𝛽0̂ dan 𝛽1̂ adalah titik
minimum.
Contoh 2.10
Tentukan koefisien dari garis lurus dengan model 𝑦�̂� = 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖 untuk 𝑛 = 15
titik data yang diberikan dalam tabel di bawah ini dengan menggunakan Metode
Kuadrat Terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Tabel 2.1 Data Contoh 2.10
No Roe (𝑥𝑖) Gaji (𝑦𝑖)
1 14.1 1095
2 10.9 1001
3 23.5 1122
4 5.9 578
5 13.8 1368
6 20.0 1145
7 16.4 1078
8 16.3 1094
9 10.5 1237
10 26.3 833
11 25.9 567
12 26.8 933
13 14.8 1339
14 22.3 937
15 56.3 2011
Sumber data: Wooldridge, Jeffrey M. (2009). Introduction Econometrics (4th
Edition). South-Western: Cengage Learning. Halaman: 37.
Jawab:
Dengan menggunakan persamaan kuadrat terkecil yang dimiliki, maka diperoleh
hasil
𝛽1̂ = ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 −
1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1
∑ 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 − 1𝑛 (∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )2
= 361935.1 −
115(303.8)(16338)
8106.78 − 115(303.8)2
= 15.884
𝛽0̂ = �̅� − 𝛽1̂ �̅� = 1089.2 − (15.884 ∗ 20.25333) = 767.4784
Jadi, penyelesaiannya adalah �̂� = 767.4784 + 15.884 𝑥.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Gambar 2.4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil
Penyelesaian contoh 2.10 dan Grafik diproduksi dengan program R dapat
dilihat pada lampiran A.3.
H. Metode Kemungkinan Maksimum
Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan
dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga
bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak
diketahui banyaknya bola untuk setiap warna.
Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel
random menghasilkan dua bola merah, dapat disimpulkan bahwa jumlah bola
merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah
pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika
mengambil sampel tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu
bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara random adalah
0 10 20 30 40 50 60
05
00
10
00
15
00
20
00
X
Y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
(22)(10)
(32)
= 1
3
Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, peluang terpilihnya tiga bola
merah secara random adalah
(32)
(32)= 1
Oleh karena itu dipilih tiga sebagai perkiraan jumlah bola merah di dalam
kotak, karena perkiraan ini memaksimumkan peluang dari sampel yang diamati.
Tentu saja, ada kemungkinan bahwa kotak hanya berisi dua bola merah, tetapi hasil
yang diamati memberikan kepercayaan lebih bahwa ada tiga bola merah di dalam
kotak.
Contoh ini mengilustrasikan suatu metode untuk menemukan suatu penduga
yang dapat diaplikasikan di berbagai situasi. Metode ini disebut Metode
Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).
Definisi 2.24
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 adalah variabel random kontinu berukuran 𝑛 dengan fungsi
densitas 𝑓(𝑥; 𝜃) dan 𝜃 adalah parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood
dari sampel random adalah fungsi densitas bersama dari 𝑛 variabel random dan
merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood
dinotasikan dengan 𝐿 (𝑥|𝜃) dan didefinisikan sebagai 𝐿 (𝑥|𝜃) =
∏ 𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)𝑛𝑖=1 , dengan 𝑓(𝑥𝑖; 𝜃) adalah notasi fungsi probabilitas dari 𝑥𝑖 dengan
parameter 𝜃.
Definisi 2.25
Bila fungsi kemungkinan 𝐿 (𝜃) bergantung pada 𝑘 buah parameter yaitu
𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑘 maka tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah
menentukan penduga dari 𝜃 yang memaksimumkan 𝐿 (𝑥|𝜃) =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
𝐿 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 |𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑘 ) atau ekuivalen dengan memaksimumkan fungsi
log-likelihood 𝑙(𝑥|𝜃) dengan 𝑙 = ln 𝐿 (𝑥|𝜃).
Nilai parameter 𝜃 dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-
likelihood. Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial pertama
dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE 𝜃
merupakan penyelesaian persamaan 𝜕𝐿
𝜕𝜃= 𝜃. Misalkan terdapat 𝑘 parameter yang
tidak diketahui, maka pendugaan 𝜃𝑖 dengan Metode Kemungkinan Maksimum
𝜕𝐿
𝜕𝜃𝑖 = 0 dengan 𝑙 = ln(𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑘 ) dan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘.
Contoh 2.11
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 adalah sampel random berdistribusi Normal dengan rata-
rata 𝜇 dan variansi 𝜎2. Tentukan �̂� dan 𝜎2̂ dengan menggunakan Metode
Kemungkinan Maksimum.
Jawab:
𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan rata-
rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 maka fungsi probabilitas densitasnya didefinisikan sebagai
berikut
𝑓(𝑥) =1
𝜎 √2𝜋exp [− (
1
2𝜎2) ((𝑥𝑛 − 𝜇)2)] , − ∞ < 𝑥 < ∞
Berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh
𝐿 (𝜇|𝜎2) =∏𝑓(𝑥𝑖; 𝜇, 𝜎2)
𝑛
𝑖=1
= 𝑓(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 ; 𝜇, 𝜎2)
= 𝑓(𝑥1|𝜇, 𝜎2) × 𝑓(𝑥2|𝜇, 𝜎
2) × … × 𝑓(𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)
= [1
𝜎 √2𝜋exp (− (
1
2𝜎2) ((𝑥1 − 𝜇)2))] × …
×1
𝜎 √2𝜋exp (−(
1
2𝜎2) ((𝑥𝑛 − 𝜇)2))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
= (1
𝜎2 2𝜋)
𝑛2exp [−(
1
2𝜎2)∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2
𝑛
𝑖=1
]
Fungsi log-likelihood dari persamaan di atas adalah
ln[𝐿 (𝜇|𝜎2)] = ln {(1
𝜎2 2𝜋)
𝑛2exp [− (
1
2𝜎2)∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2
𝑛
𝑖=1
]}
=𝑛
2[ln (
1
𝜎2 2𝜋)] −
1
2𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛
𝑖=1
=𝑛
2ln 𝜎2 −
𝑛
2ln 2𝜋 −
1
2𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑛
𝑖=1
Penduga Kemungkinan Maksimum dari 𝜇 dan 𝜎2 adalah penduga yang
memaksimumkan ln[𝐿 (𝜇|𝜎2)], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap 𝜇
dan 𝜎2, maka diperoleh
∂ln[𝐿 (𝜇|𝜎2)]
𝜕𝜇=
1
𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
𝑛
𝑖=1
(2.6)
∂ln[𝐿 (𝜇|𝜎2)]
𝜕𝜎2= −
𝑛
2𝜎2+
1
2𝜎4 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛
𝑖=1
(2.7)
Jika persamaan (2.6) diselesaikan maka akan diperoleh
1
𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
𝑛
𝑖=1
= 0
∑(𝑥𝑖 − 𝜇)
𝑛
𝑖=1
= 0
∑𝑥𝑖 − 𝑛𝜇
𝑛
𝑖=1
= 0
�̂� = ∑ 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1
𝑛= �̅�
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
dan jika persamaan (2.7) diselesaikan maka akan diperoleh
−𝑛
2𝜎2+
1
2𝜎4 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛
𝑖=1
= 0
1
2𝜎4 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛
𝑖=1
=𝑛
2𝜎2
1
𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛
𝑖=1
= 𝑛
𝜎2̂ =1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛
𝑖=1
Dengan substitusi hasil dari persamaan (2.6) yaitu 𝜇 = �̅� maka hasil dari
persamaan (2.7) menjadi 𝜎2 =1
𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2.𝑛𝑖=1 Jadi, penduga kemungkinan
maksimum untuk �̂� dan 𝜎2̂ adalah �̂� = �̅� dan 𝜎2̂ =1
𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2.𝑛𝑖=1
I. Uji Kolmogorov-Smirnov
Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan
distribusi yang mendasari suatu kumpulan data. Uji kecocokan (goodness of fit
test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang
tidak diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Pada dasarnya uji ini mencakup
perhitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi dibawah distribusi
teoritisnya.
Misalkan variabel random 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 berasal dari distribusi yang tidak
diketahui 𝐹(𝑥), dan dimisalkan 𝑥(1) < 𝑥(2) < . . < 𝑥(𝑛) adalah statistik terurut,
akan diuji hipotesis bahwa 𝐹(𝑥) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu
𝐹𝑛(𝑥).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Definisi 2.26
Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥)
didefinisikan sebagai
𝐹𝑛(𝑥) = 1
𝑛∑1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥)
𝑛
𝑖=1
Contoh 2.12
Diberikan 10 sampel random yang memuat 𝑥1 = 0.621, 𝑥2 = 0.503, 𝑥3 =
0.203, 𝑥4 = 0.477, 𝑥5 = 0.710, 𝑥6 = 0.581, 𝑥7 = 0.329, 𝑥8 = 0.480, 𝑥9 =
0.554, 𝑥10 = 0.382.
Berdasarkan definisi 2.26 fungsi distribusi empirisnya adalah
𝐹𝑛(𝑥(𝑖)) = 1
𝑛∑1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥(𝑖))
𝑛
𝑖=1
Dengan 𝑥(𝑖) adalah statistik terurut dari 𝑥𝑖, 𝑖=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Maka akan
diperoleh
𝑥(𝑖) 0.203 0.329 0.382 0.477 0.480 0.503 0.554 0.581 0.621 0.71
𝐹𝑛(𝑥(𝑖)) 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
Definisi 2.27
Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov 𝐷𝑛 didefinisikan sebagai
𝐷𝑛 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝐷+, 𝐷−)
𝐷+ = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝐹𝑛(𝑥) − 𝐹0(𝑥(𝑖)))
𝐷− = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝐹0(𝑥(𝑖)) − 𝐹𝑛−1(𝑥𝑖))
Dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Hipotesis uji Kolmogorov-Smirnov adalah
𝐻0: 𝐹(𝑥) = 𝐹0(𝑥)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Untuk setiap 𝑥 dengan 𝐹0(𝑥) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui,
dan
𝐻1: 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0(𝑥)
Jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝛼(𝑛) yang diberikan oleh tabel Kolmogorov-Smirnov, maka 𝐻0
ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼. 𝐷𝛼(𝑛) adalah nilai kritis Kolmogorov-Smirnov
pada tingkat 𝛼 dan ukuran sampel 𝑛. Tabel 𝐷𝛼(𝑛) dapat dilihat pada lampiran A.4.
J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji Kolmogorov-Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji apakah data
berdistribusi Rayleigh atau tidak. Uji distribusi Rayleigh dengan Kolmogorov-
Smirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Rayleigh.
Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi Rayleigh adalah
sebagai berikut
1. 𝐻0 = data berdistribusi Rayleigh
2. 𝐻1= data tidak berdistribusi Rayleigh
3. Tentukan tingkat signifikansi 𝛼
4. Statistik Uji: 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)
5. Wilayah kritis
𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝛼(𝑛)
6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar
b) Hitunglah 𝐹0(𝑥) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi
Rayleigh
c) Berdasarkan definisi 2.26 hitunglah fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥)
d) Berdasarkan definisi 2.27 hitunglah nilai 𝐷+ dan 𝐷− dan tentukan
maksimum dari 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)
7. Kesimpulan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Contoh 2.13
Ujilah apakah data berikut berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 2
Tabel 2.2 Data Contoh 2.13
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝑥𝑖 2 0.2 1 1.8 2.7 5 3.6 1.4 4.7 1.5
No 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
𝑥𝑖 4.2 3 2.1 2.4 3.1 4 2.8 3.2 4.1 2.6
Jawab:
1. 𝐻0 = data berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 2
2. 𝐻1 = data tidak berdistribusi Rayleigh
3. Tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05
4. Statistik Uji: 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)
5. Wilayah kritis
𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝛼(𝑛) = 0.29408
6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar
b) Akan dihitung 𝐹0(𝑥) berdasarkan definisi fungsi distribusi kumulatif dari
distribusi Rayleigh, yaitu 𝐹(𝑥) = 1 − exp (−(𝑥2
2𝑏2))
c) Akan dihitung fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥) berdasarkan definisi 2.26
d) Akan dihitung nilai 𝐷+ dan 𝐷− berdasarkan definisi 2.27 dan menentukan
maksimum dari 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)
Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13
𝑖 𝑥(𝑖) 𝐹0(𝑥(𝑖)) 𝐹𝑛(𝑥(𝑖)) 𝐹𝑛−1(𝑥(𝑖)) 𝐷+ 𝐷−
1 0.20 0.0050 0.0500 0.0000 0.0450 0.0050
2 1.00 0.1175 0.1000 0.0500 -0.0175 0.0675
3 1.40 0.2173 0.1500 0.1000 -0.0673 0.1173
4 1.50 0.2452 0.2000 0.1500 -0.0452 0.0952
5 1.80 0.3330 0.2500 0.2000 -0.0830 0.1330
6 2.00 0.3935 0.3000 0.2500 -0.0935 0.1435
7 2.10 0.4238 0.3500 0.3000 -.0.0738 0.1238
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
8 2.40 0.5132 0.4000 0.3500 -0.1132 0.1632
9 2.60 0.5704 0.4500 0.4000 -0.1204 0.1704
10 2.70 0.5980 0.5000 0.4500 -0.0980 0.1480
11 2.80 0.6247 0.5500 0.5000 -0.0747 0.1247
12 3.00 0.6753 0.6000 0.5500 -0.0753 0.1253
13 3.10 0.6992 0.6500 0.6000 -0.0492 0.0992
14 3.20 0.7220 0.7000 0.6500 -0.0220 0.0720
15 3.60 0.8021 0.7500 0.7000 -0.0521 0.1021
16 4.00 0.8647 0.8000 0.7500 -0.0647 0.1147
17 4.10 0.8777 0.8500 0.8000 -0.0277 0.0777
18 4.20 0.8897 0.9000 0.8500 0.0103 0.397
19 4.70 0.9368 0.9500 0.9000 0.0132 0.0368
20 5.00 0.9561 1.000 0.9500 0.0439 0.0061
Maksimum 0.0450 0.1704
Gambar 2.5 Grafik 𝐹0(𝑥(𝑖)) dan 𝐹𝑛(𝑥(𝑖))
Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.5.
7. Kesimpulan
𝐻0 diterima sebab 𝐷𝑛 = 0.0.18949 ≤ 𝐷𝛼(𝑛) = 0.29408, maka data di atas
berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 2.
1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Xi
F
F0(xi)
Fn(xi)
𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−) = 0.1704
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
BAB III
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE
KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM
A. Distribusi Rayleigh
Definisi 3.1
Variabel random 𝑋 dikatakan mempunyai distribusi Rayleigh dengan satu
parameter bila fungsi probabilitasnya
𝑓(𝑥; 𝑏)={𝑥
𝑏2𝑒(−𝑥2
2𝑏2), 𝑥 ≥ 0, 𝑏 > 0
0, selainnya
dengan 𝑏 adalah parameter skala (scale parameter).
Berdasarkan definisi 2.4, akan ditunjukkan bahwa fungsi probabilitas distribusi
Rayleigh merupakan fungsi densitas.
1) 𝑓(𝑥, 𝑏) ≥ 0,untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅
Jelas bahwa 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅.
2) ∫ 𝑓(𝑥, 𝑏)∞
−∞𝑑𝑥 = 1
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ∫ 𝑓(𝑥)∞
−∞𝑑𝑥 = 1
Misalkan 𝑢 = (𝑥2
2𝑏2) maka 𝑑𝑢 =
1
𝑏2𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑥)∞
0
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
𝑏2𝑒−(
𝑥2
2𝑏2)
∞
0
𝑑𝑥
= lim𝑐→∞
∫ 𝑒−𝑢𝑑𝑢𝑐
0
= lim𝑐→∞
−𝑒−𝑢|0𝑐
= lim𝑐→∞
− 𝑒−𝑐 + 𝑒0 = 1.
Terbukti bahwa 𝑓(𝑥) adalah fungsi densitas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut
Gambar 3.1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai 𝑏 = 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2, 3.
Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.6
Definisi 3.3
Jika diketahui bahwa fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh seperti yang
diberikan pada definisi 3.2, maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi
Rayleigh dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka diperoleh
𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑥
0
𝑑𝑡
= ∫ 𝑡
𝑏2𝑒−(
𝑡2
2𝑏2)
𝑥
0
𝑑𝑡
Misalkan 𝑢 = (𝑡2
2𝑏2) maka 𝑑𝑢 =
1
𝑏2𝑡 𝑑𝑡
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
x
f(x)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
x
f(x)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
x
f(x)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
x
f(x)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
x
f(x)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
x
f(x)
b=0.5
b=0.8
b=1
b=1.5
b=2
b=3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑡
𝑏2𝑒−(
𝑡2
2𝑏2)
𝑥
0
𝑑𝑡
= ∫ 𝑒−𝑢𝑑𝑢𝑥
0
= ∫ exp(−𝑢) 𝑑𝑢𝑥
0
= −exp (−𝑢)|0𝑥
= −exp (−(𝑥2
2𝑏2))|
0
𝑥
= 1 − exp (−(𝑥2
2𝑏2)).
Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah 1 − exp (−(𝑥2
2𝑏2)).
Gambar 3.2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh
Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.7
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x
)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x
)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x
)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x
)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x
)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x
)
b=0.5
b=0.8
b=1
b=1.5
b=2
b=3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter
Karakteristik distribusi Rayleigh dicirikan dengan adanya konstanta rata-rata
(mean) dan variansi.
a. Rata-rata (Mean)
Berdasarkan definisi 2.6,
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 . 𝑓(𝑥)∞
−∞
𝑑𝑥
= lim𝑐→∞
∫ 𝑥𝑥
𝑏2𝑒−(
𝑥2
2𝑏2)
𝑐
0
𝑑𝑥
= 1
𝑏2 lim𝑐→∞
∫ 𝑥. 𝑥 𝑒−(
𝑥2
2𝑏2)
𝑐
0
𝑑𝑥
=1
𝑏2 [𝑥 ∫ 𝑥 𝑒
−(𝑥2
2𝑏2) 𝑑𝑥 ] − lim
𝑐→∞∫ 2 𝑒
−(𝑥2
2𝑏2) 𝑑𝑥
𝑐
0
= 1
𝑏2 [0 − (−𝑏2 lim
𝑐→∞∫ 𝑒
−(𝑥2
2𝑏2) 𝑑𝑥
𝑐
0
]
= 0 − lim𝑐→∞
∫ 𝑒−(
𝑥2
2𝑏2) 𝑑𝑥
𝑐
0
=√2𝜋𝑏2
√2𝜋𝑏2 lim𝑐→∞
∫ 𝑒−(
𝑥2
2𝑏2) 𝑑𝑥
𝑐
0
Dengan mengingat contoh 2.2 bahwa ∫1
𝜎 √2𝜋 𝑒−
1
2 (𝑥−𝜇
𝜎)2
𝑑𝑥 = 1,∞
−∞ atau
1
𝜎 √2𝜋∫ 𝑒−
1
2 (𝑥−𝜇
𝜎)2
𝑑𝑥 =1
𝜎 √2𝜋(𝜎 √2𝜋) = 1,
∞
−∞ maka ∫ 𝑒
−(𝑥2
2𝑏2) 𝑑𝑥
∞
0 akan memiliki
penyelesaian √2𝜋𝑏2
2, sehingga
=√2𝜋𝑏2
√2𝜋𝑏2 .√2𝜋𝑏2
2
= 𝑏√2𝜋
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
= 𝑏√𝜋
2.
Jadi, rata-rata distribusi Rayleigh adalah 𝐸(𝑋) = 𝑏√𝜋
2, dengan 𝜋 = 3,14.
b. Variansi
Berdasarkan teorema 2.1,
𝑉 (𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2,
diketahui 𝐸(𝑋) = 𝑏√𝜋
2, maka untuk mencari 𝑉 (𝑋) akan dihitung terlebih dahulu
𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2 . 𝑓(𝑥)∞
−∞
𝑑𝑥
= lim𝑐→∞
∫ 𝑥2𝑥
𝑏2𝑒−(
𝑥2
2𝑏2)
𝑐
0
𝑑𝑥
= 𝑥2 lim𝑐→∞
∫𝑥
𝑏2 𝑒−(
𝑥2
2𝑏2)𝑑𝑥
𝑐
0
− lim𝑐→∞
∫ 2𝑥 𝑥
𝑏2 𝑒−(
𝑥2
2𝑏2) 𝑑𝑥
𝑐
0
= 𝑥2 (1
2𝑏2(2𝑏2) 𝑒
−(𝑥2
2𝑏2)|0
∞
) − lim𝑐→∞
∫ 2𝑥 1
𝑏21
2 (2𝑏2)𝑒
−(𝑥2
2𝑏2) 𝑑𝑥
𝑐
0
= 0 − (−2 lim𝑐→∞
∫ 𝑥 𝑒−(
𝑥2
2𝑏2) 𝑑𝑥
𝑐
0
)
= 2 (−2𝑏2)1
2 𝑒
−(𝑥2
2𝑏2)|0
∞
= 0 − (−2𝑏2)
= 2𝑏2
sehingga diperoleh
𝑉 (𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 = 2𝑏2 − (𝑏√𝜋
2)
2
= 2𝑏2 − 𝑏2 𝜋
2= 𝑏2 (2 −
𝜋
2 ).
Jadi, variansi distribusi Rayleigh adalah 𝑉 (𝑋) = 𝑏2 (2 − 𝜋
2 ), dengan 𝜋 = 3,14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil
Pendugaan parameter distribusi Rayleigh yaitu menduga parameter skala 𝑏,
pendugaan parameter dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya
adalah Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat Terkecil adalah metode untuk
menduga parameter dari sebuah model linear.
Diketahui fungsi kumulatif distribusi Rayleigh adalah
𝐹(𝑥) = 1 − exp(−(𝑥2
2𝑏2)).
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh merupakan fungsi
nonlinear. Agar Metode Kuadrat Terkecil dapat digunakan untuk menduga
parameter distribusi Rayleigh maka persamaan tersebut harus diubah menjadi
persamaan linear dengan menggunakan transformasi logaritma sebagai berikut
𝐹(𝑥𝑖) = 1 − exp (−(𝑥2
2𝑏2))
exp (−(𝑥2
2𝑏2)) = 1 − 𝐹(𝑥𝑖)
ln (exp (−(𝑥2
2𝑏2))) = ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖))
− (𝑥2
2𝑏2) = ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖))
𝑥2 = −2𝑏2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖))
𝑥𝑖 = 𝑏√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)) (3.1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Persamaan 3.1 tersebut dapat diubah menjadi persamaan 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 dengan
𝑌𝑖 = 𝑥𝑖, 𝛽0 = 0, 𝛽1 = 𝑏, dan
𝑋𝑖 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)), dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Dalam skripsi ini penulis hanya menduga satu parameter saja maka berdasarkan
persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 yaitu
∑𝑦𝑖 = 𝑛𝛽0̂ + 𝛽1̂∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
∑𝑥𝑖𝑦𝑖 = 𝛽0̂∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝛽1̂ ∑𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
dan diketahui untuk β0̂ yang merupakan penduga dari β0 = 0 maka β0̂ tidak akan
dihitung, sehingga diperoleh persamaan berikut
∑𝑥𝑖𝑦𝑖 = 0∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝛽1̂ ∑𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
∑𝑥𝑖𝑦𝑖 = 0 + 𝛽1̂ ∑𝑥𝑖2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝛽1̂ = ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1
∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1
(3.2)
Karena 𝛽1̂ merupakan penduga dari 𝛽1 = 𝑏, maka 𝛽1̂ = �̂� kemudian nilai 𝑌𝑖 = 𝑥𝑖,
𝛽0 = 0, 𝛽1 = 𝑏, dan 𝑋𝑖 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)) disubstitusikan ke persamaan (3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
�̂� =
∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))
2
𝑛𝑖=1
=
∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
∑ (−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1
(3.3)
𝐹(𝑥𝑖) pada persamaan (3.3) tidak diketahui maka akan diduga dengan �̂�(𝑥𝑖).
Karena 1 − 𝐹(𝑥𝑖) > 0 maka 𝐹(𝑥𝑖) < 1 dengan demikian 𝐹(𝑥𝑖) diduga dengan
�̂�(𝑥𝑖) =𝑖
𝑛+1, bukan dengan
1
𝑛∑ 1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥)𝑛𝑖=1 sebagaimana definisi 2.26.
D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan
Maksimum
Metode Kemungkinan Maksimum merupakan salah satu metode yang
digunakan untuk menduga paramater. Prinsip dasar metode ini adalah menentukan
penduga parameter 𝜃, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan
parameter distribusi Rayleigh adalah menduga parameter skala 𝑏. Menurut definisi
3.2, fungsi distribusi probabilitas distribusi Rayleigh satu parameter adalah
𝑓(𝑥; 𝑏)={𝑥
𝑏2𝑒(−𝑥2
2𝑏2), 𝑥 ≥ 0, 𝑏 > 0
0, selainnya
Menurut definisi 2.24, fungsi likelihood adalah
𝐿 (𝑥|𝜃) =∏𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)
𝑛
𝑖=1
Oleh karena itu, fungsi likelihood untuk distribusi Rayleigh adalah
𝐿 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 |𝑏2) = ∏𝑓 (𝑥𝑖 ; 𝑏
2)
𝑛
𝑖=1
Untuk selanjutnya 𝐿 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 |𝑏2) akan ditulis dengan 𝐿. Misalkan
𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 merupakan sampel random dari 𝑛 observasi dari populasi Rayleigh,
maka fungsi kemungkinan maksimum untuk sampel tersebut yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
𝐿 =∏𝑥𝑖𝑏2
𝑛
𝑖=1
𝑒(−𝑥𝑖
2
2𝑏2)= ∏ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑏2𝑛 𝑒−∑𝑥𝑖
2
2𝑏2
=1
𝑏2𝑛 𝑒−∑𝑥𝑖
2
2𝑏2 ∏ 𝑥𝑖𝑛
𝑖=1 (3.3)
Penduga parameter �̂� dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-
likelihood-nya. Untuk menduga 𝑏 akan dilakukan pendugaan terhadap 𝑏2 terlebih
dahulu, yaitu 𝑏2̂. Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial
pertama dari fungsi log-likelihood-nya. Sebelum dicari turunan parsial pertamanya,
gunakan logaritma pada kedua ruas agar persamaan (3.3) tersebut menjadi
persamaan linear
ln 𝐿 = ln (1
𝑏2𝑛 𝑒−∑𝑥𝑖
2
2𝑏2 ∏ 𝑥𝑖𝑛
𝑖=1)
ln 𝐿 = −ln(𝑏2𝑛) + ln (𝑒−∑𝑥𝑖
2
2𝑏2 ) + ln (∏ 𝑥𝑖𝑛
𝑖=1)
ln 𝐿 = −𝑛 ln 𝑏2 +−∑𝑥𝑖
2
2𝑏2+ ∑𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
ln 𝐿 = −𝑛 ln 𝑏2 −∑𝑥𝑖
2
2𝑏2+ ∑𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
(3.4)
Setelah diperoleh persamaan linearnya, kemudian persamaan 3.4 akan dicari
turunan parsial pertamanya terhadap 𝑏2 dan nilai dari turunannya disama dengankan
nol, maka akan diperoleh
𝑑(ln 𝐿)
𝑑𝑏2=
𝑑
𝑑𝑏2(−𝑛 ln 𝑏2 −
∑𝑥𝑖2
2𝑏2+ ∑𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
) = 0
=𝑑
𝑑𝑏2(−𝑛 ln 𝑏2) +
𝑑
𝑑𝑏2(−
∑𝑥𝑖2
2𝑏2) +
𝑑
𝑑𝑏2(∑𝑙𝑛 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
) = 0
= −𝑛
𝑏2+∑𝑥𝑖
2
2𝑏4= 0 (3.5)
Persamaan 3.5 tersebut mempunyai penyelesaian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
−𝑛
𝑏2+∑𝑥𝑖
2
2𝑏4= 0
𝑛
𝑏2=∑𝑥𝑖
2
2𝑏4
1
𝑏2=∑𝑥𝑖
2
2𝑏4𝑛
𝑏2̂ = ∑ 𝑥𝑖
2
2𝑛 (3.6)
Karena 𝑏2̂ merupakan penduga dari 𝑏2̂ = ∑𝑥𝑖
2
2𝑛, maka penduga bagi 𝑏 adalah
�̂� = √∑𝑥𝑖2
2𝑛.
E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh
Akan dicari fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh karena akan
berguna untuk mencari fungsi densitas dari 𝑏2̂. Berdasarkan definisi 2.13, maka
diperoleh
𝑚𝑥2(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡𝑥2
∞
−∞
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 𝑒𝑡𝑥2 𝑥
𝑏2𝑒−𝑥2
2𝑏2∞
−∞
𝑑𝑥
= lim𝑐→∞
∫1
𝑏2𝑥 𝑒𝑡𝑥
2 𝑒−𝑥2
2𝑏2𝑐
0
𝑑𝑥
= 1
𝑏2lim𝑐→∞
∫ 𝑥 𝑒𝑡𝑥2−
𝑥2
2𝑏2𝑐
0
𝑑𝑥
= 1
𝑏2lim𝑐→∞
∫ 𝑥 𝑒−𝑥2
2𝑏2+𝑡𝑥2
𝑐
0
𝑑𝑥
= 1
𝑏2lim𝑐→∞
∫ 𝑥 𝑒−𝑥2(
12𝑏2
− 𝑡)𝑐
0
𝑑𝑥
Misalkan 1
𝑤=
1
2𝑏2− 𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
= 1
𝑏2lim𝑐→∞
∫ 𝑥 𝑒−𝑥2(1𝑤)
𝑐
0
𝑑𝑥
Misalkan 𝑢 = 𝑥2, 𝑥 = √𝑢, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥, 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
2𝑥=
𝑑𝑢
2√𝑢
= 1
𝑏2lim𝑐→∞
∫ √𝑢 𝑒−𝑢(
1𝑤)
𝑐
0
𝑑𝑢
2√𝑢
= 1
2𝑏2lim𝑐→∞
∫ 𝑒−𝑢(1𝑤)𝑑𝑢
𝑐
0
= 1
2𝑏2𝜞(1)𝑤
= 𝑤
2𝑏2
Ingat 1
𝑤=
1
2𝑏2− 𝑡 =
1− 2𝑏2𝑡
2𝑏2, sehingga, 𝑤 =
2𝑏2
1− 2𝑏2𝑡.
𝑤
2𝑏2=
2𝑏2
1 − 2𝑏2𝑡2𝑏2
= 2𝑏2
1 − 2𝑏2𝑡 ∙
1
2𝑏2=
1
1 − 2𝑏2𝑡= (1 − 2𝑏2𝑡)−1
Jadi, fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh adalah
𝑚𝑥2(𝑡) = (1 − 2𝑏2𝑡)−1 (3.7)
Teorema 3.1
Distribusi probabilitas atau fungsi densitas dari 𝑏2̂ adalah sebagai berikut
𝑓(𝑏2̂) =
{
(𝑏2̂)
𝑛−1𝑒−𝑛𝑏2̂
𝑏2̂
(𝑏2̂
𝑛 )
𝑛
(𝑛 − 1)!
𝑏2 ≥ 0
0 𝑏2 < 0
Bukti:
Akan dicari fungsi pembangkit moment dari 𝑏2̂ =∑𝑥𝑖
2
2𝑛. Terlebih dahulu akan
dicari fungsi pembangkit momen dari ∑ 𝑋𝑖2𝑛
𝑖=1 , dengan 𝑋𝑖 merupakan sampel
random dari distribusi Rayleigh. Jika 𝑋𝑖 diasumsikan independen, maka 𝑚∑𝑋𝑖2(𝑡)
dapat dicari berdasarkan teorema 2.4 yaitu fungsi pembangkit momen dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
jumlahan variabel random yang independen sama dengan perkalian fungsi
pembangit momen dari masing-masing suku jumlah,
𝑚𝑈(𝑡) = 𝑚𝑋1(𝑡) × 𝑚𝑋2
(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛(𝑡).
Dari persamaan (3.7) diketahui fungsi pembangkit momen dari 𝑋𝑖 yang
merupakan sampel random distribusi Rayleigh yaitu
𝑚𝑥2(𝑡) = (1 − 2𝑏2𝑡)−1
maka
𝑚∑𝑋𝑖2(𝑡) = 𝑚𝑋1
(𝑡) × 𝑚𝑋2(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛
(𝑡)
= (1 − 2𝑏2𝑡)−1 × (1 − 2𝑏2𝑡)−1 × … × (1 − 2𝑏2𝑡)−1
= (1 − 2𝑏2𝜃)−𝑛
Dengan menggunakan teorema 2.3 sifat 1 dari fungsi pembangkit momen, yaitu
𝑚𝑐𝑔(𝑥)(𝑡) = 𝑚𝑔(𝑥)(𝑐𝑡)
dengan 𝑔(𝑥) merupakan fungsi dari 𝑥 dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, akhirnya
diperoleh fungsi pembangkit momen dari 𝑏2̂ =∑𝑥𝑖
2
2𝑛 sebagai berikut
𝑚𝑏2̂(𝑡) = 𝑚∑𝑥𝑖
2
2𝑛
(𝑡)
= 𝑚∑𝑥𝑖2 (
𝑡
2𝑛)
= (1 − 𝑏2𝑡
𝑛 )
−𝑛
Berdasarkan fungsi pembangkit momen dari 𝑏2̂ di atas dapat diidentifikasi bahwa
itu adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai tertentu.
Akan dicari nilai tertentu dari distribusi Gamma yang akan menghasilkan fungsi
pembangkit momen yang identik dengan fungsi pembangkit momen dari 𝑏2̂.
Pertama berdasarkan definisi 2.9 fungsi densitas dari distribusi Gamma adalah
𝑓(𝑥) = {𝑥𝛼−1𝑒
−𝑥𝛽
𝛽𝛼𝛤(𝛼) 𝑥 ≥ 0
0 𝑥 < 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Pada parameter 𝛼 dan 𝛽 akan dikenakan suatu nilai, misal 𝛼 = 𝑛 dan 𝛽 = 𝑏2
𝑛
dengan 𝑛 adalah ukuran sampel dan 𝑏2 adalah parameter distribusi Rayleigh.
Sehingga, distribusi Gamma akan menjadi
𝑓(𝑥) =
{
𝑥𝑛−1𝑒
−𝑥𝑏2
𝑛
(𝑏2
𝑛 )𝑛
𝛤(𝑛)
𝑥 ≥ 0
0 𝑥 < 0
Berdasarkan teorema 2.2 sifat ke-2 bahwa fungsi Gamma memiliki sifat 𝛤(𝑎) =
𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)! dengan 𝑛 selalu bilangan bulat positif, maka diperoleh
𝑓(𝑥) =
{
𝑥𝑛−1𝑒
−𝑛𝑥𝑏2
(𝑏2
𝑛 )𝑛
(𝑛 − 1)!
𝑥 ≥ 0
0 𝑥 < 0
Kemudian akan dicari fungsi pembangkit momen dari 𝑓(𝑥) sebagai berikut
𝑚𝑋(𝑡) = ∫𝑒𝑡𝑥𝑥𝑛−1 𝑒
−𝑛𝑥𝑏2
𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!
∞
0
𝑑𝑥
= ∫𝑥𝑛−1𝑒𝑡𝑥 𝑒
−𝑛𝑥𝑏2
𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!
∞
0
𝑑𝑥
= ∫𝑥𝑛−1𝑒
𝑡𝑥−𝑛𝑥𝑏2
𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!
∞
0
𝑑𝑥
= ∫𝑥𝑛−1𝑒
−𝑥(𝑛𝑏2−𝑡)
𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!
∞
0
𝑑𝑥
dengan memisalkan 1
𝑤= (
𝑛
𝑏2− 𝑡), maka diperoleh
= ∫𝑥𝑛−1𝑒−𝑥(
1𝑤)
𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!
∞
0
𝑑𝑥
= 𝛤(𝑛)𝑤𝑛
𝑏2𝑛𝑛−𝑛𝛤(𝑛)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
= 𝑤𝑛
𝑏2𝑛𝑛−𝑛
= (𝑤𝑛)𝑛
𝑏2𝑛
Ingat bahwa 1
𝑤= (
𝑛
𝑏2− 𝑡) =
𝑛−𝑏2𝑡
𝑏2 maka 𝑤 =
𝑏2
𝑛−𝑏2𝑡
(𝑤𝑛)𝑛
𝑏2𝑛=(
𝑏2
𝑛 − 𝑏2𝑡𝑛)
𝑛
𝑏2𝑛= (
𝑏2𝑛
𝑛 − 𝑏2𝑡)
𝑛
∙ 1
𝑏2𝑛=
𝑏2𝑛𝑛𝑛
(𝑛 − 𝑏2𝑡)𝑛∙ 1
𝑏2𝑛= (
𝑛
𝑛 − 𝑏2𝑡)𝑛
= (1
1 −𝑏2𝑡𝑛
)
𝑛
= (1 −𝑏2𝑡
𝑛)
−𝑛
Jadi,
𝑚𝑋(𝑡) = (𝑤𝑛)𝑛
𝑏2𝑛= (1 −
𝑏2𝑡
𝑛)
−𝑛
(3.6)
Telah ditujukkan bahwa persamaan 3.6 yang merupakan fungsi pembangkit
momen dari distribusi Gamma dengan nilai 𝛼 = 𝑛 dan 𝛽 = 𝑏2
𝑛 identik dengan
fungsi pembangkit momen dari 𝑏2̂. Oleh karena itu, menurut Teorema 2.3
(Teorema Ketunggalan) dapat disimpulkan bahwa fungsi densitas dari 𝑏2̂ adalah
fungsi densitas Gamma dengan 𝑎 = 𝑛 dan 𝑏 = 𝑏2
𝑛. Jadi, fungsi densitas dari 𝑏2̂
adalah
𝑓(𝑏2̂) =
{
(𝑏2̂)
𝑛−1𝑒−𝑛𝑏2̂
𝑏2̂
(𝑏2̂
𝑛 )
𝑛
(𝑛 − 1)!
𝑏2 ≥ 0
0 𝑏2 < 0
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh
Pendugaan selang atau selang kepercayaan distribusi Rayleigh adalah
menduga selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏, menduga selang kepercayaan
rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh. Metode yang sering digunakan untuk
mencari selang kepercayaan adalah Metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada
suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri:
1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝑏, dengan 𝑏 adalah
kuantitas yang tidak diketahui.
2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter 𝑏.
Karena Metode Pivot bergantung pada kuantitas Pivot maka dipilih variabel
random 𝑢 =𝑏2̂
𝑏2𝑚 dengan 𝑚 = 2𝑛 sebagai kuantitas Pivot. Untuk memenuhi ciri
kuantitas Pivot yang kedua maka akan dicari terlebih dahulu distribusi probabilitas
dari kuantitas Pivot.
Berdasarkan teorema 3.1 diketahui bahwa fungsi densitas dari 𝑏2̂ adalah sebagai
berikut
𝑓(𝑏2̂) =
{
(𝑏2̂)
𝑛−1𝑒−𝑛𝑏2̂
𝑏2̂
(𝑏2̂
𝑛 )
𝑛
(𝑛 − 1)!
𝑏2 ≥ 0
0 𝑏2 < 0
Telah dipilih variabel random 𝑢 = (𝑏2̂
𝑏2)𝑚, dengan 𝑚 = 2𝑛.
𝑓(𝑢) = {
(𝑢)𝑚2−1 𝑒
𝑢2
(𝑢)𝑚2 𝛤 (
𝑚2)
𝑢 ≥ 0
0 𝑢 < 0
Fungsi diatas berdasarkan definisi 2.10 dikenal sebagai distribusi 𝜒2 (Chi-Square)
dengan derajat bebas 𝑚. Oleh karena itu, 𝑓(𝑢) = 𝑓 [(𝑏2̂
𝑏2)𝑚] = 𝜒2(𝑢;𝑚), dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
𝑚 adalah derajat bebas. Karena variabel random 𝑢 =𝑏2̂
𝑏2𝑚 merupakan kuantitas
Pivot akan ditunjukan bahwa 𝑢 memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot yaitu
1. 𝑢 merupakan fungsi dari pengukuran sampel (melalui 𝑏2̂) dan parameter 𝑏 yang
tidak diketahui.
2. f𝑢(𝑢) tidak bergantung pada 𝑏
Jadi, 𝑢 memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot. Kemudian akan diproses untuk
memperoleh selang kepercayaan.
Selang Kepercayaan terhadap parameter 𝒃
Untuk membentuk selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏, terlebih dahulu akan
dibentuk selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏2. Karena distribusi probabilitas
dari kuantitas Pivot diketahui yaitu distribusi 𝜒2 (Chi-Square) dengan derajat
bebas 𝑚, maka selang kepercayaan 𝜒2 (Chi-Square) dapat digunakan untuk
membentuk selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏2.
Misalkan tingkat signifikansi sebesar 1 − 𝛼 = 0.95, maka selang kepercayaan
bagi 𝑏2 akan ditentukan sebagai berikut
Pr [𝜒2(0.025;𝑚) < 𝑏2̂
𝑏2𝑚 < 𝜒2(0.975;𝑚) ] = 0.95
Pr [𝑏2̂𝑚
𝜒2(0.975;𝑚)< 𝑏2 <
𝑏2̂𝑚
𝜒2(0.025;𝑚) ] = 0.95
Karena 𝑏2̂ =∑𝑥𝑖
2
2𝑛=
∑𝑥𝑖2
𝑚, kemudian diperoleh
Pr [∑𝑥𝑖
2
𝜒2(0.975;𝑚)< 𝑏2 <
∑𝑥𝑖2
𝜒2(0.025;𝑚) ] = 0.95
Untuk bentuk umum dari setiap tingkat signifikansi 𝛼 diperoleh
Pr
[
∑ 𝑥𝑖2
𝜒2 ((1 + (1 − 𝛼))
2 ; 2𝑛)
< 𝑏2 <∑𝑥𝑖
2
𝜒2 ((1 − (1 − 𝛼))
2 ; 2𝑛)
]
= 1 − 𝛼
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Jadi, selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏 untuk bentuk umum dari setiap
signifikansi 𝛼 adalah
Pr
[
√(∑𝑥𝑖2
𝜒2 ((2 + 𝛼)
2 ; 2𝑛)) < 𝑏 < √(
∑𝑥𝑖2
𝜒2 ((𝛼)2 ;𝑚)
)
]
= 1 − 𝛼.
Selang Kepercayaan terhadap rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh
Diketahui bahwa rata-rata distribusi Rayleigh misalkan adalah 𝜇 = 𝑏√𝜋
2 dan
variansi adalah 𝜎2 = 𝑏2 (2 − 𝜋
2 ). Dengan menggunakan selang kepercayaan
terhadap parameter 𝑏2 untuk bentuk umum dari setiap signifikansi 𝛼, hal ini
memungkinkan untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi rata-rata 𝜇 = 𝑏√𝜋
2,
yaitu
Pr
[
(𝜋∑𝑥𝑖
2
2𝜒2 [(2 + 𝛼)
2 ; 2𝑛])
12⁄
< 𝜇 < (𝜋∑𝑥𝑖
2
2𝜒2 [(𝛼)2 ; 2𝑛]
)
12⁄
]
= 1 − 𝛼
dan variansi 𝜎2 = 𝑏2 (2 − 𝜋
2 )
Pr [(2 −
𝜋2)∑𝑥𝑖
2
𝜒2 ((2 + 𝛼)
2 ; 2𝑛)< 𝜎2 <
(2 −𝜋2)∑𝑥𝑖
2
𝜒2 ((𝛼)2 ; 2𝑛)
] = 1 − 𝛼
Jadi diperoleh selang kepercayaan bagi 𝑏, rata-rata (𝜇), dan variansi (𝜎2), yang
merupakan parameter dasar dari distribusi Rayleigh.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
BAB IV
PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH
Pada Bab IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada kasus
data tinggi gelombang laut. Data yang digunakan dalam pendugaan parameter
distribusi Rayleigh adalah data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai
P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas
Pantai P.Kalukalukuang dikutip dari “Pengolahan Data Angin dan Pasang Surut”
Laporan Tugas Akhir (Kl-4020) Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe
Deck On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan.
A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat
Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan
di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan.
Tabel 4.1 di bawah ini berupa data sebaran gelombang laut di Lepas Pantai
P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang menyajikan informasi mengenai jumlah
kejadian satu-tahunan variasi tinggi gelombang laut. Data yang digunakan adalah
data tinggi gelombang laut terbesar berdasarkan arah angin dalam periode 14 tahun
(1991-2004) dengan jumlah sampel 𝑛 = 14. Tujuan dari subbab ini adalah menduga
parameter 𝑏 dari data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai
P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut
dalam (m)
Gelombang Terbesar Tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang
(Diramal Berdasarkan Data Angin dari Stasiun Makassar)
No Tahun Utara Selatan Barat
Daya Barat
Barat
Laut
Tinggi
Gelombang
Terbesar
(𝑥𝑖) 1 1991 0.56 0.23 0.34 1.27 1.13 1.27
2 1992 1.61 0.67 0.49 1.49 0.94 1.61
3 1993 0.69 0.94 1.09 2.47 1.03 2.47
4 1994 1.38 1.27 1.94 1.00 1.68 1.94
5 1995 1.2 0.56 0.76 1.45 1.27 1.45
6 1996 1.13 0.41 0.56 1.80 2.00 2.00
7 1997 1.09 0.41 0.58 1.16 4.04 4.04
8 1998 0.94 0.55 0.50 1.00 1.68 1.68
9 1999 3.49 0.59 0.93 1.29 1.48 3.49
10 2000 1.16 0.4 0.44 1.00 1.38 1.38
11 2001 2.1 0.59 0.95 1.06 2.24 2.24
12 2002 2.36 0.76 1.09 2.15 1.34 2.36
13 2003 1.48 1.28 1.47 2.33 3.15 3.15
14 2004 1.29 0.65 1.19 2.75 3.54 3.54
1. Transformasi Model Regresi Distribusi Rayleigh
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah fungsi nonlinear. Oleh
karena itu, dilakukan transformasi ke fungsi linear dengan menggunakan
transformasi logaritma. Berdasarkan persamaan 3.1 transformasi logaritma dari
distribusi Rayleigh adalah
𝑥 = 𝑏√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖))
Data tinggi gelombang yang mengikuti distribusi Rayleigh akan ditransformasikan
dalam bentuk regresi linear sederhana yang diberikan oleh
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽1𝑥𝑖
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
dengan 𝑌𝑖 = 𝑥𝑖, 𝛽0 = 0, 𝛽1 = 𝑏, dan 𝑋𝑖 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)), dengan 𝑖 =
1,2, … , 𝑛, 𝑥𝑖= tinggi gelombang laut terbesar.
Misalkan untuk 𝑖 = 1
𝑥1 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥1))
𝑌1 = 𝑥1
Dengan langkah yang sama, maka akan di dapatkan 𝑥2 dan 𝑌2 sampai 𝑥14 dan 𝑌14.
2. Pendugaan Parameter
Berdasarkan persamaan 3.2 penduga dari 𝑏 adalah
�̂� =
∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
∑ (−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1
karena 1 − 𝐹(𝑥𝑖) > 0 maka 𝐹(𝑥𝑖) < 1 dengan demikian 𝐹(𝑥𝑖) diduga dengan yaitu
�̂�(𝑥𝑖) =𝑖
𝑛+1, bukan dengan
1
𝑛∑ 1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥)𝑛𝑖=1 sebagaimana definisi 2.26.
Jadi pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat
Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di
Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang diduga dengan �̂�, sehingga
diperoleh hasil
�̂� =
∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
∑ (−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1
= 43.65052
25.44296
= 1.715623
sehingga fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh diperoleh sebagai berikut
𝑓(𝑥) =𝑥
(1.715623)2𝑒(
−𝑥2
2(1.715623)2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode
Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar
tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R
dapat dilihat pada lampiran A.8.
Arti 𝑓(𝑥) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi
Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) menyatakan
distribusi peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung
peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu
𝑓(𝑥) =∫𝑥
(1.715623)2𝑒(
−𝑥2
2(1.715623)2)
2.3
2
𝑑𝑥 =1
1.715623∫ 𝑥𝑒
−𝑥2
5.88672
2.3
2
𝑑𝑥
Misal 𝑢 =−𝑥2
5.88672 maka 𝑑𝑢 =
−2𝑥
5.88672𝑑𝑥 ,
5.88672
−2𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, lalu akan dihitung
terlebih dahulu
∫𝑥 𝑒−𝑥2
5.88672 𝑑𝑥 = ∫𝑥 𝑒𝑢5.88672
−2𝑥 𝑑𝑢 =
5.88672
−2∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = −2.94336 𝑒𝑢 + 𝑐
= −2.94336 𝑒−𝑥2
5.88672 + 𝑐
sehingga
𝑓(𝑥) =1
1.715623∫ 𝑥𝑒
−𝑥2
18.99
2.3
2
𝑑𝑥 = −2.94336
1.715623(𝑒
−𝑥2
5.88672)|2
2.3
= −1.715623 (𝑒−2.32
5.88672 − (𝑒−22
5.88672))
= −1.715623(𝑒−0.8986 − (𝑒−0.6794))
= −1.715623(0.40713 − 0.50692)
= −1.715623(−0.09979)
= 0.171202
Jadi, peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] adalah
0.171202.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 1.715623
Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.9.
B. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode
Kemungkinan Maksimum
Pendugaan parameter distribusi Rayleigh juga dapat dilakukan dengan
menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Prinsip dasar Metode
Kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang
memaksimumkan fungsi likelihood. Berdasarkan persamaan 3.3 fungsi likelihood
dari distribusi Rayleigh adalah
𝐿 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 ; 𝑏2) = ∏𝑓 (𝑥𝑖 , 𝑏
2) =1
𝑏2𝑛 𝑒−∑𝑥𝑖
2
2𝑏2 ∏ 𝑥𝑖𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.1
00
.15
0.2
00
.25
0.3
00
.35
Xi
f
dist Rayleigh
data asli
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Berdasarkan persamaan 3.6 penduga dari 𝑏 yaitu
�̂� = √∑𝑥𝑖2
2𝑛
Pendugaan parameter data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas
Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan Metode Kemungkinan
Maksimum dilakukan dengan Ms. Excel, berikut ini adalah hasil pendugaan
parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum
�̂� = √∑𝑥𝑖2
2𝑛= √
86.4418
2 ∙ 14= 1.757045.
Jadi fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh adalah
𝑓(𝑥)=𝑥
(1.757045)2𝑒(
−𝑥2
2(1.757045)2)
Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode
Kemungkinan Maksimum pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas
Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R dapat dilihat pada
lampiran A.10.
Arti 𝑓(𝑥) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi
Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum menyatakan distribusi
peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung peluang
terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu
𝑓(𝑥) =∫𝑥
(1.757045)2𝑒(
−𝑥2
2(1.757045)2)
2.3
2
𝑑𝑥 =1
1.757045∫ 𝑥𝑒
−𝑥2
6.174414
2.3
2
𝑑𝑥
Misal 𝑢 =−𝑥2
6.174414 maka 𝑑𝑢 =
−2𝑥
6.174414𝑑𝑥 ,
6.174414
−2𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, lalu akan
dihitung terlebih dahulu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
∫𝑥 𝑒−𝑥2
6.174414 𝑑𝑥 = ∫𝑥 𝑒𝑢6.174414
−2𝑥 𝑑𝑢 =
6.174414
−2∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = −3.0872 𝑒𝑢 + 𝑐
= −3.0872 ∙ 𝑒−𝑥2
6.174414 + 𝑐
sehingga
𝑓(𝑥) =1
1.757045∫ 𝑥𝑒
−𝑥2
6.174414
2.3
2
𝑑𝑥 = −3.0872
1.757045(𝑒
−𝑥2
6.174414)|2
2.3
= −1.757045 (𝑒−2.32
6.174414 − (𝑒−22
6.174414))
= −1.757045(𝑒−0.85676 − (𝑒−0.64783))
= −1.757045(0.424535 − 0.523179)
= −1.757045(−0.098644)
= 0.17332194
Jadi, peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] adalah
0.17332194.
Gambar 4. 2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayeligh dengan 𝑏 = 1.757045
Grafik diatas diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.11
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.1
00
.15
0.2
00
.25
0.3
00
.35
Xi
f
dist Rayleigh
data asli
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Selang Kepercayaan terhadap parameter 𝒃
Dalam skripsi ini juga akan dibahas selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏
untuk bentuk umum dari setiap signifikansi 𝛼 = 0.05 dan tingkat kepercayaan 1 −
𝛼 = 0.95 pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.
Kalukalukuang, Sulawesi Selatan adalah
Pr
[
√
(
∑𝑥𝑖2
𝜒2 ((1 + (1 − 𝛼))
2 ; 2𝑛))
< 𝑏 <
√
(
∑𝑥𝑖2
𝜒2 ((1 − (1 − 𝛼))
2 ;𝑚))
]
= 0.95
Pr
[
√
(
86.4418
𝜒2 ((2 − 0.05)
2 ; 2(14)))
< 𝑏 <
√
(
86.4418
𝜒2 ((0.05)2 ; 2(14))
)
]
= 0.95
Pr [√(86.4418
𝜒2(0.975; 28)) < 𝑏 < √(
86.4418
𝜒2(0.025; 28)) ] = 0.95
Dengan melihat tabel Chi-Square (𝜒2) pada lampiran A.12 maka diperoleh
Pr [√(86.4418
44.461) < 𝑏 < √(
86.4418
15.308) ] = 0.95.
Pr[ √1.9442𝑏 < √5.6468 ] = 0.95.
Pr[1.39434 < 𝑏 < 2.37629 ] = 0.95.
Berarti kita percaya bahwa 95% bahwa nilai 𝑏 pada data tinggi gelombang
terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan diantara
1.39434 < 𝑏 < 2.37629.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
C. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov
Pengujian ini dilakukan untuk mengecek bahwa model yang telah diduga
berdistribusi Rayleigh. Data tinggi gelombang laut pada data tinggi gelombang
terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan akan
diperiksa apakah data tersebut merupakan data yang berdistribusi Rayleigh dengan
menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov. Dengan langkah-langkah sebagai
berikut
1. 𝐻0 = data berdistribusi Rayleigh dengan skala parameter 𝑏 = 1.757045
2. 𝐻1= data tidak berdistribusi Rayleigh
3. Tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05
4. Statistik Uji:
𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)
5. Wilayah kritis
𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0.34890
6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar
b) Akan dihitung 𝐹0(𝑥) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari
distribusi Rayleigh, yaitu 𝐹(𝑥) = 1 − exp (−(𝑥2
2𝑏2))
c) Berdasarkan definisi 2.26 akan dihitung fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥)
d) Berdasarkan definisi 2.27 akan dihitung nilai 𝐷+ dan 𝐷− dan menentukan
maksimum dari 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)
Tabel 4.2 Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov pada data tinggi gelombang laut
1 1.27 0.2299 0.0714 0.0000 -0.1585 0.2299
2 1.38 0.2654 0.1429 0.0714 -0.1225 0.1940
3 1.45 0.2886 0.2143 0.1429 -0.0743 0.1457
4 1.61 0.3428 0.2857 0.2143 -0.0571 0.1285
5 1.68 0.3669 0.3571 0.2857 -0.0097 0.0812
6 1.94 0.4564 0.4286 0.3571 -0.0278 0.0993
7 2.00 0.4768 0.5000 0.4286 0.0232 0.0483
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
8 2.24 0.5563 0.5714 0.5000 0.0151 0.0563
9 2.36 0.5943 0.6429 0.5714 0.0486 0.0228
10 2.47 0.6277 0.7143 0.6429 0.0866 -0.0151
11 3.15 0.7995 0.7857 0.7143 -0.0138 0.0852
12 3.49 0.8609 08571 0.7857 -0.0038 0.0752
13 3.54 0.8686 0.9286 0.8571 0.0600 0.0115
14 4.04 0.9289 1.0000 0.9286 0.0711 0.0003
Maksimum 0.0866 0.2299
Gambar 4. 3 Grafik 𝐹0(𝑥(𝑖)) dan 𝐹𝑛(𝑥(𝑖))
Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.13
7. Kesimpulan
𝐻0 diterima sebab 𝐷𝑛 = 0.2299 ≤ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0.34890, maka data diatas
berdistribusi Rayleigh dengan skala parameter 𝑏 = 1.757045.
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
xi
f0
Grafik F0(xi)
Grafik Fn(xi)
𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−) = 0.2299
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
D. Perbandingan Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan
menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan
Maksimum
Dalam skripsi ini penulis akan membandingan pendugaan parameter
distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan
Maksimum dengan menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square
Error). Dalam Jurnal Comparation of Estimation of Parameters for The
Rayleigh Distribution, menyatakan bahwa Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean
Square Error) dapat dihitung sebagai berikut
𝑀𝑆𝐸 =1
𝑛∑[�̂�(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]
2𝑛
𝑖=1
(4.1)
dengan 𝐹(𝑥𝑖) =𝑖
𝑛+1 dan �̂�(𝑥𝑖) = 1 − exp(− (
𝑥2
2𝑏2)).
Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah
metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang
minimum.
Berdasarkan pendugaan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di
Lepas Pantai P. Kalukalukuang menggunakan Metode Kuadrat Terkecil
diperoleh �̂� = 1.715623 dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum
diperoleh �̂� = 1.757045. Akan dilakukan perbandingan metode yang terbaik
dengan menggunakan hasil MSE yang akan dihitung berdasarkan persamaan
(4.1).
Berdasarkan persamaan (4.1), MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah
𝑀𝑆𝐸 =1
𝑛∑[�̂�(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]
2= 0.062033
𝑛
𝑖=1
sedangkan MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah
𝑀𝑆𝐸 =1
𝑛∑[�̂�(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]
2= 0.060726
𝑛
𝑖=1
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Perhitungan MSE dengan Program R dilampirkan pada lampiran A.14
Berdasarkan hasil perhitungan MSE di atas maka dapat dilihat bahwa MSE
yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum. Maka
metode yang terbaik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data
tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang adalah
Metode Kemungkinan Maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Distribusi Rayleigh adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu yang
diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Hal yang paling penting
dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Dalam skripsi ini
pendugaan parameter distribusi Rayleigh menggunakan dua metode, yakni Metode
Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum
(Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah
mengestimasi parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua
data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error).
Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah mengestimasi
parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood.
Pendugaan parameter 𝑏 dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square
Method) untuk distribusi Rayleigh yang diduga dengan �̂� dapat dirumuskan
sebagai
�̂� =
∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
∑ (−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1
.
Sedangkan pendugaan parameter 𝑏 dengan Metode Kemungkinan
Maksimum (Maximum Likelihood Method) untuk distribusi Rayleigh yang diduga
dengan �̂� dapat dirumuskan sebagai
�̂� = √∑𝑥𝑖2
2𝑛.
Pendugaan parameter distribusi Rayleigh diterapkan pada data tinggi
gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang. Pendugaan
parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di
Lepas Pantai P. Kalukalukuang dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
(Least Square Method) diperoleh �̂� = 1.715623 yang berarti tinggi gelombang
1.715623 meter memiliki nilai peluang terbesar, sedangkan pendugaan parameter
dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood
Method) diperoleh �̂� = 1.757045.
Untuk menentukan metode yang terbaik dalam pendugaan parameter
distribusi Rayleigh penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square
Error) sebagai kriteria pembanding. Metode yang terbaik dalam menduga
parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat
Galat (Mean Square Error) yang paling minimum. Dari hasil penerapan
pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar
tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang menunjukkan bahwa Metode
Kemungkinan Maksimum lebih baik dalam menduga parameter distribusi
Rayleigh, karena memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang
minimum.
B. Saran
1. Dalam skripsi ini hanya dibahas distribusi Rayleigh dengan parameter tunggal,
bagi pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini penulis menyarankan untuk
membahas lebih lanjut tentang distribusi Rayleigh, misalnya distribusi Rayleigh
dengan dua parameter.
2. Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah pendugaan parameter distribusi
Rayleigh dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)
dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method), bagi
pembaca yang ingin melanjutkan dapat menggunakan metode lain dalam
menduga parameter distribusi Rayleigh.
3. Dalam penulisan skripsi ini hanya menggunakan satu data, bagi pembaca yang
ingin melanjutkan penelitian ini penulis menyarankan untuk menggunakan lebih
dari satu data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
DAFTAR PUSTAKA
Al Mayali, Dr. Yahya Mahdi. & Al Shaibani, Irtifaa Abul Kadhum. (2013). A
Comparison for Some of the Estimators of Rayleigh Distribution with Simulation.
Journal of Kerbala University, 11 (4).
Bain, Lee J., Engelhardt, Max. (1992). Introduction To Probability and Mathematical
Statistics. Duxbury Press: Brooks/Cole.
Best, D.J., Rayner, J.C.W & Thas, O. (2008). Easily applied tests of fit for the Rayleigh
distribution. The Indian Journal of Statistics, 72 (2) :254-263.
Evans, M., et al. Statistical Distributions. Third edition. New York: John Wiley &
Sons, Inc.
Fall, Prof. D. Joyce. (2014). Moments and the moment generating function. Math 217
Probability and Statistics. Lecture note.
Hoffman, Dan., Karst, Otto J. (1975). The Theory of the Rayleigh Distribution and
Some of Its Application. Journal of Ship Research, 9(3): 172-191.
Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi.
Mahdi, Smail. & Cenac, Myrtene. (2006). Estimating and Assessing the Parameters of
The Logistic and Rayleigh Distributions from Three Methods of Estimation. Carrib
J Math Comput Sci, 13: 25-34.
Mkolesia, A.C., et al. (2016). Estimation of the Rayleigh Distribution Parameter.
Transylvanian Review Journal, 24(8) 1158-1163.
Ullah, Ehsan., Shahzad, Mirza N. (2016). “Transmutation of the two parameters
Rayleigh distribution”. International Journal of Advanced Statistics and
Probability, 4(2): 95-101.
Wackerley, D. D., Mendenhall, W. & Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics
with Applications. Duxbury: Thomson Brooks/Cole.
Walck, Christian. (2007). Hand-book on Statistical Distributions for Experimentalists.
Stockholm: University of Stockholm.
W. J. Conover. (1999). Practical Nonparametric Statistical. 3rd Edition. New York:
John Wiley & Sons, Inc. pp. 428-433.
Wooldrige, Jeffrey M. (2009). Introduction Econometrics (4th Edition). South-
Western: Cengage Learning.
Kartikasari, Yualita. (2008). Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe Deck
On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan. Skripsi. Program
Studi Teknik Kelautan. Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan. Institut Teknologi
Bandung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
LAMPIRAN
Lampiran A.1 : Grafik Distribusi Gamma dengan program R
> library(VGAM)
Loading required package: stats4
Loading required package: splines
> x<-seq(0,15,length.out=1000)
> plot(x, dgamma(x,shape=1,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =
"f(x)", col="red")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dgamma(x,shape=2,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =
"f(x)", col="orange")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dgamma(x,shape=3,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =
"f(x)", col="yellow")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dgamma(x,shape=5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =
"f(x)", col="green")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dgamma(x,shape=9,scale=0.5), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =
"f(x)", col="black")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dgamma(x,shape=7.5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =
"f(x)", col="blue")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dgamma(x,shape=0.5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =
"f(x)", col="violet")
> legend("topright",c("β=1,α=2","β=2,α=2","β=3,α=2","β=5,α=1","β=9,α=0.5",
"β=7.5,α=1","β=0.5,α=1"),col=c("red","orange","yellow","green","black","blue","vi
olet"),lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Lampiran A.2: Grafik Distribusi Chi-Square dengan program R
> library(VGAM)
> x<-seq(0,10,length.out=1000)
> plot(x, dchisq(x,df=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)",
col="brown")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dchisq(x,df=2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)",
col="green")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dchisq(x,df=3), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="blue")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dchisq(x,df=4), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)",
col="violet")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dchisq(x,df=6), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)",
col="black")
> par(new=TRUE)
> plot(x, dchisq(x,df=9, ncp = 1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)",
col="red")
> legend("topright",c("v=1","v=2","v=3","v=4","v=6","v=9"),col=c("brown","green",
"blue","violet","black","red"),lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Lampiran A.3: Penyelesaian contoh 2.10 dengan program R
> data=read.csv(file.choose(),header=T)
> data
X Y
1 3 5
2 7 11
3 11 21
4 15 16
5 18 16
6 27 28
7 29 27
8 30 25
9 30 35
10 31 30
11 31 40
12 32 32
13 33 34
14 33 32
15 34 34
16 36 37
17 36 38
18 36 34
19 37 36
20 38 38
21 39 37
22 39 36
23 39 45
24 40 39
25 41 41
26 42 40
27 42 44
28 43 37
29 44 44
30 45 46
31 46 46
32 47 49
33 50 51
> x=data[,1]
> y=data[,2]
> plot(x,y, xlab="X", ylab="Y", ylim=c(0,60), xlim=c(0,60), pch=15, col="blue")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
> g=myline.fit <- lm(y ~ x)
> g
Call:
lm(formula = y ~ x)
Coefficients:
(Intercept) x
3.8296 0.9036
> abline(g)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Lampiran A.4: Tabel Kolmogorov-Smirnov
n α=0.20 α=0.10 α=0.05 α=0.02 α=0.01
1 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995
2 0,684 0,776 0,842 0,900 0,929
3 0,565 0,636 0,708 0,785 0,829
4 0,493 0,565 0,624 0,689 0,734
5 0,447 0,509 0,563 0,627 0,669
6 0,410 0,468 0,519 0,577 0,617
7 0,381 0,436 0,483 0,538 0,576
8 0,359 0,410 0,454 0,507 0,542
9 0,339 0,387 0,430 0,480 0,513
10 0,323 0,369 0,409 0,457 0,486
11 0,308 0,352 0,391 0,437 0,468
12 0,296 0,338 0,375 0,419 0,449
13 0,285 0,325 0,361 0,404 0,432
14 0,275 0,314 0,349 0,390 0,418
15 0,266 0,304 0,338 0,377 0,404
16 0,258 0,295 0,327 0,366 0,392
17 0,250 0,286 0,318 0,355 0,381
18 0,244 0,279 0,309 0,346 0,371
19 0,237 0,271 0,301 0,337 0,361
20 0,232 0,265 0,294 0,329 0,352
21 0,226 0,259 0,287 0,321 0,344
22 0,221 0,253 0,281 0,314 0,337
23 0,216 0,247 0,275 0,307 0,330
24 0,212 0,242 0,269 0,301 0,323
25 0,208 0,238 0,264 0,295 0,317
26 0,204 0,233 0,259 0,290 0,311
27 0,200 0,229 0,254 0,284 0,305
28 0,197 0,225 0,250 0,279 0,300
29 0,193 0,221 0,246 0,275 0,295
30 0,190 0,218 0,242 0,270 0,290
35 0,177 0,202 0,224 0,251 0,269
40 0,165 0,189 0,210 0,235 0,252
45 0,156 0,179 0,198 0,222 0,238
50 0,148 0,170 0,188 0,211 0,226
55 0,142 0,162 0,180 0,201 0,216
60 0,136 0,155 0,172 0,193 0,207
65 0,131 0,149 0,166 0,185 0,199
70 0,126 0,144 0,160 0,179 0,192
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
75 0,122 0,139 0,154 0,173 0,185
80 0,118 0,135 0,150 0,167 0,179
85 0,114 0,131 0,145 0,162 0,174
90 0,111 0,127 0,141 0,158 0,169
95 0,108 0,124 0,137 0,154 0,165
100 0,106 0,121 0,134 0,150 0,161
Pendekatan n > 100 1.07
√𝑛
1.22
√𝑛
1.36
√𝑛
1.52
√𝑛
1.63
√𝑛
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Lampiran A.5 : Program R untuk Gambar 2.5
> data=read.csv(file.choose(),header=T)
> data
i Xi Fxi Fn Fn.1 D. D..1
1 1 0.2 0.004987521 0.05 0.00 0.04501248 0.004987521
2 2 1.0 0.117503097 0.10 0.05 -0.01750310 0.067503097
3 3 1.4 0.217295462 0.15 0.10 -0.06729546 0.117295462
4 4 1.5 0.245160398 0.20 0.15 -0.04516040 0.095160398
5 5 1.8 0.333023189 0.25 0.20 -0.08302319 0.133023189
6 6 2.0 0.393469340 0.30 0.25 -0.09346934 0.143469340
7 7 2.1 0.423770926 0.35 0.30 -0.07377093 0.123770926
8 8 2.4 0.513247744 0.40 0.35 -0.11324774 0.163247744
9 9 2.6 0.570442642 0.45 0.40 -0.12044264 0.170442642
10 10 2.7 0.597978617 0.50 0.45 -0.09797862 0.147978617
11 11 2.8 0.624688901 0.55 0.50 -0.07468890 0.124688901
12 12 3.0 0.675347533 0.60 0.55 -0.07534753 0.125347533
13 13 3.1 0.699182046 0.65 0.60 -0.04918205 0.099182046
14 14 3.2 0.721962700 0.70 0.65 -0.02196270 0.071962700
15 15 3.6 0.802101301 0.75 0.70 -0.05210130 0.102101301
16 16 4.0 0.864664717 0.80 0.75 -0.06466472 0.114664717
17 17 4.1 0.877696547 0.85 0.80 -0.02769655 0.077696547
18 18 4.2 0.889749475 0.90 0.85 0.01025052 0.039749475
19 19 4.7 0.936787297 0.95 0.90 0.01321270 0.036787297
20 20 5.0 0.956063066 1.00 0.95 0.04393693 0.006063066
> xi=data[ ,2]
> f0=data[ ,3]
> fn=data[ ,4]
> plot(xi,f0, xlab="Xi", ylab="F",type="l",col="blue")
> lines(xi,fn,col="red")
> legend("topleft",c("F0(xi)","Fn(xi)"),col=c("blue","red"),pch=21:22,lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Lampiran A.6: Program untuk Gambar 3.1
> library(VGAM)
Loading required package: stats4
Loading required package: splines
> x<-seq(0,8,length.out=1000)
> plot(x, drayleigh(x, scale = 0.5), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",
col="black")
> par(new=TRUE)
> plot(x, drayleigh(x, scale = 0.8), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab =
"f(x)",col="magenta")
> par(new=TRUE)
> plot(x, drayleigh(x, scale = 1), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab =
"f(x)",col="blue")
> par(new=TRUE)
> plot(x, drayleigh(x, scale = 1.5), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",
col="green")
> par(new=TRUE)
> plot(x, drayleigh(x, scale = 2), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",
col="red")
> par(new=TRUE)
> plot(x, drayleigh(x, scale = 3), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",
col="yellow")
>
legend("topright",c("b=0.5","b=0.8","b=1","b=1.5","b=2","b=3"),col=c("black","ma
genta","blue", "green","red","yellow"),pch=21:22,lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Lampiran A.7 : Program untuk Gambar 3.2
> x<-seq(0,8,length.out=1000)
> f <- function(x,b){ 1-exp(-(x^2)/2*b^2)}
> plot(x,f(x,0.5), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="black")
> par(new=TRUE)
> plot(x,f(x,0.8), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="magenta")
> par(new=TRUE)
> plot(x,f(x,1), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="blue")
> par(new=TRUE)
> plot(x,f(x,1.5), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="green")
> par(new=TRUE)
> plot(x,f(x,2), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="red")
> par(new=TRUE)
> plot(x,f(x,3), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="yellow")
>legend("bottomright",c("b=0.5","b=0.8","b=1","b=1.5","b=2","b=3"),col=c("black",
"magenta","blue", "green","red","yellow"),pch=21:22,lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Lampiran A.8 : Program untuk penyelesaian pendugaan dengan Metode
Kuadrat Terkecil
> data=read.csv(file.choose(),header=T)
> data
gelombang F.xi.
1 1.27 0.06666667
2 1.61 0.13333333
3 2.47 0.20000000
4 1.94 0.26666667
5 1.45 0.33333333
6 2.00 0.40000000
7 4.04 0.46666667
8 1.68 0.53333333
9 3.49 0.60000000
10 1.38 0.66666667
11 2.24 0.73333333
12 2.36 0.80000000
13 3.15 0.86666667
14 3.54 0.93333333
> xi=data[,1]
> Fxi=data[,2]
> atas=(sqrt((-2)*log(1-Fxi)))*xi
> bawah=((-2)*log(1-Fxi))
> b=(sum(atas))/(sum(bawah))
> b
[1] 1.715623
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Lampiran A.9 : Program untuk Gambar 4.1
> data=read.csv(file.choose(),header=T)
> data
gelombang
1 1.27
2 1.38
3 1.45
4 1.61
5 1.68
6 1.94
7 2.00
8 2.24
9 2.36
10 2.47
11 3.15
12 3.49
13 3.54
14 4.04
> b=1.715623
> xi=data[,1]
> fMKT=xi/(b^2)*(exp((-xi^2)/(2*b^2)))
> plot(xi,fMKT, xlab="Xi", ylab="f",col="blue",type="o")
> x=seq(0,4.04,length.out=14)
> f=x/(b^2)*(exp((-x^2)/(2*b^2)))
> lines(x,f,col="red",type="l")
> legend("topright",c("dist Rayleigh","data asli"),col=c("red",
"blue"),pch=22:21,lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Lampiran A.10 : Program untuk penyelesaian pendugaan dengan Metode
Kemungkinan Maksimum
> data=read.csv(file.choose(),header=T)
> data
gelombang F.xi.
1 1.27 0.06666667
2 1.61 0.13333333
3 2.47 0.20000000
4 1.94 0.26666667
5 1.45 0.33333333
6 2.00 0.40000000
7 4.04 0.46666667
8 1.68 0.53333333
9 3.49 0.60000000
10 1.38 0.66666667
11 2.24 0.73333333
12 2.36 0.80000000
13 3.15 0.86666667
14 3.54 0.93333333
> xi=data[,1]
> Fxi=data[,2]
> xi_kuadrat=xi^2
> n=14
> b=sqrt((sum(xi_kuadrat))/(2*n))
> b
[1] 1.757045
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Lampiran A.11 : Program untuk Gambar 4.2
> data=read.csv(file.choose(),header=T)
> data
gelombang
1 1.27
2 1.38
3 1.45
4 1.61
5 1.68
6 1.94
7 2.00
8 2.24
9 2.36
10 2.47
11 3.15
12 3.49
13 3.54
14 4.04
> b=1.757045
> xi=data[,1]
> fMKM=xi/(b^2)*(exp((-xi^2)/(2*b^2)))
> plot(xi,fMKM, xlab="Xi", ylab="f",col="green",type="o")
> x=seq(0,4.04,length.out=14)
> f=x/(b^2)*(exp((-x^2)/(2*b^2)))
> lines(x,f,col="black",type="l")
>legend("topright",c("dist Rayleigh","data asli"),col=c("green", "black"),pch=22:21,
lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Lampiran A.12 : Tabel Chi-Square
d.f. 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01
1 0 0 0 0 0.02 2.71 3.84 5.02 6.63
2 0.01 0.02 0.05 0.1 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21
3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34
4 0.21 0.3 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28
5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09
6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.2 10.64 12.59 14.45 16.81
7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09
9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21
11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72
12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 18.55 21.03 23.34 26.22
13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14
15 4.6 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25 27.49 30.58
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.3 28.85 32
17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81
19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.2 30.14 32.85 36.19
20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57
22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29
24 9.89 10.86 12.4 13.85 15.66 33.2 36.42 39.36 42.98
26 11.16 12.2 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64
28 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28
30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.6 40.26 43.77 46.98 50.89
32 15.13 16.36 18.29 20.07 22.27 42.58 46.19 49.48 53.49
34 16.5 17.79 19.81 21.66 23.95 44.9 48.6 51.97 56.06
38 19.29 20.69 22.88 24.88 27.34 49.51 53.38 56.9 61.16
42 22.14 23.65 26 28.14 30.77 54.09 58.12 61.78 66.21
46 25.04 26.66 29.16 31.44 34.22 58.64 62.83 66.62 71.2
50 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 63.17 67.5 71.42 76.15
55 31.73 33.57 36.4 38.96 42.06 68.8 73.31 77.38 82.29
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
60 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 74.4 79.08 83.3 88.38
65 39.38 41.44 44.6 47.45 50.88 79.97 84.82 89.18 94.42
70 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 85.53 90.53 95.02 100.43
75 47.21 49.48 52.94 56.05 59.79 91.06 96.22 100.84 106.39
80 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 96.58 101.88 106.63 112.33
85 55.17 57.63 61.39 64.75 68.78 102.08 107.52 112.39 118.24
90 59.2 61.75 65.65 69.13 73.29 107.57 113.15 118.14 124.12
95 63.25 65.9 69.92 73.52 77.82 113.04 118.75 123.86 129.97
100 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 118.5 124.34 129.56 135.81
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Lampiran A.13 : Program untuk Gambar 4.3
> data=read.csv(file.choose(),header=T)
> data
i Xi f0 Fn Fn.1 D. D..1
1 1 1.27 0.2299 0.0714 0.0000 -0.1585 0.2299
2 2 1.38 0.2654 0.1429 0.0714 -0.1225 0.1940
3 3 1.45 0.2886 0.2143 0.1429 -0.0743 0.1457
4 4 1.61 0.3428 0.2857 0.2143 -0.0571 0.1285
5 5 1.68 0.3669 0.3571 0.2857 -0.0097 0.0812
6 6 1.94 0.4564 0.4286 0.3571 -0.0278 0.0993
7 7 2.00 0.4768 0.5000 0.4286 0.0232 0.0483
8 8 2.24 0.5563 0.5714 0.5000 0.0151 0.0563
9 9 2.36 0.5943 0.6429 0.5714 0.0486 0.0228
10 10 2.47 0.6277 0.7143 0.6429 0.0866 -0.0151
11 11 3.15 0.7995 0.7857 0.7143 -0.0138 0.0852
12 12 3.49 0.8609 0.8571 0.7857 -0.0038 0.0752
13 13 3.54 0.8686 0.9286 0.8571 0.0600 0.0115
14 14 4.04 0.9289 1.0000 0.9286 0.0711 0.0003
> f0=data[,3]
> fn=data[ ,4]
> xi=data[,2]
> plot(xi,f0,type="l",col="blue")
> lines(xi,fn,col="red")
>legend("topleft",c("Grafik F0(xi)","Grafik Fn(xi)"), cex=0.8,col=c("blue","red"),
pch=21:22, lty=1:2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Lampiran A.14 : Perhitungan MSE untuk data tinggi gelombang terbesar di
Pantai P. Kalukalukuang
> data=read.csv(file.choose(),header=T)
> data
gelombang F.xi.
1 1.27 0.06666667
2 1.61 0.13333333
3 2.47 0.20000000
4 1.94 0.26666667
5 1.45 0.33333333
6 2.00 0.40000000
7 4.04 0.46666667
8 1.68 0.53333333
9 3.49 0.60000000
10 1.38 0.66666667
11 2.24 0.73333333
12 2.36 0.80000000
13 3.15 0.86666667
14 3.54 0.93333333
> xi=data[,1]
> Fxi=data[,2]
> b=1.715623
> FMKT=1-exp(-((xi^2)/(2*b^2)))
> n=14
> MSE=(1/n)*sum((Fxi-FMKT)^2)
> MSE
[1] 0.06203295
> bMLE=1.757045
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
> FMLE=1-exp(-((xi^2)/(2*bMLE^2)))
> MSE2=(1/n)*sum((Fxi-FMLE)^2)
> MSE2
[1] 0.06072646
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI