pencerminan_-refleksiss

8/12/2019 pencerminan_-refleksiss

1/31

PENCERMINAN ( Refleksi )

Definisi

Pencerminan terhadap garis s,dilambangkan dengan M s , adalah suatu

pemetaan yang memenuhi :untuk sebarang A dibidang V berlakuMs (A) = A , jika A di s

= B, sedemikian sehingga s adalah

sumbu AB, jika A tidak di s.


2/31

Rumus Pencerminan ( I ) Misal s garis dengan persamaan

s : ax + by + c = 0. Jika P x,y) diluar s dan P x,y)=M s P) ,

maka PP s sehingga harus dipenuhi :

(*)

02

)'(2

)'( c y yb x xa

Kemudian titik tengah PP terletak pada s,

sehingga berlaku : **)


3/31

Dari *) dan **) diperoleh bx - ay = bx ay ax + by = -ax by 2c , sehingga

22)(2

' bacbyaxb

y y

22)(2

' bacbyaxa

x x


4/31

Rumus Pencerminan ( II )

Misal s persamaan garis yang dinyatakan

dalam persamaan bentuk normal :s : xcos + ysin - p =0 , dengan p adalah

jarak s terhadap pusat sumbu dan besarsudut yang dibentuk oleh garis yang tegaklurus s dengan sumbu X.

Tampak bahwa antara persamaan garis dalambentuk normal dan persamaan garis padarumus pencerminan I terdapat hubungan :a = cos , b = sin dan c = -p.


5/31


6/31

. p s

O


7/31

Tampak bahwa antara persamaan garis dalam bentuk

normal dan persamaan garis pada rumus

pencerminan I terdapat hubungan : a = cos ,

b = sin dan c = -p.

Dengan menggantikan nilai-nilai a = cos , b = sin dan c = -p pada rumus pencerminan I diperoleh :

x =-x cos2 -y sin 2 + 2p cos y =-x sin 2 + y cos 2 + 2p sin


8/31

x =-x cos2 -y sin 2 + 2p cos

y =-x sin 2 + y cos 2 + 2p sin

sin

cos2

2cos2sin

2sin2cos

'

' p

y

x

y

x


9/31

Rumus Pencerminan III

Misal g suatu garis yang dinyatakan dalam

persamaan :

g : y = x tan .

P(x,y) y = x tan

- P(x,y)

-


10/31

Misalkan P(x,y) = Mg(P) , maka diperoleh :

x = OPcos (2- ) = OP(cos2 cos +sin2 sin )

= OP(cos2 ('OP

x))+sin2 (

'OP y

))

= x cos2 + y sin2 y = OPsin (2 - ) = OP(sin2 cos - cos2 sin )

= x sin2 - y cos2


11/31

Akhirnya diperoleh rumus pencerminan terhadap garis g

dengan persamaan g : y = x tan sebagai berikut.

x = x cos2 + y sin2

y = x sin2 - y cos2 atau dalam bentuk matriks :

y

x

cos2-sin2

sin2cos2

y'

x'


12/31

Teorema Pencerminan adalah suatu isometri.

Dibuktikan secara geometris Untuk sebarang dua titik dan garis

beberapa kasus yang mungkin adalah.1.

B

A=A

B

2.A

B

A

B


13/31

.

.3.

A=A

B

B

4. AB

A

B

5.B

B

A

A


14/31

Teorema

Pencerminan adalah suatu involusi

Titik tetap dari pencerminan M s adalah

semua titik pada s, sedangkan garis tetapdari M s adalah garis s dan semua garis yangtegak lurus pada s.


15/31

s

A

P E

t

A D A

Jika s tegak lurus t dan P= s,t) , maka M t Ms =HP.


16/31

Bukti

Ambil sebarang titik A di bidang V.

Misal A=Ms(A) dan A=Ms(A) .

Diperoleh A=(MsMs)(A).Karena P pada s maka |PA|=|PA|. Juga karena P pada t,

|PA|=|PA|. Akibatnya diperoleh |PA|=|PA|.


17/31

Misalkan D titik tengah AA dan E titik tengah AA,

maka m(


18/31

. Teorema Jika dua garis a,b dengan

a//b, maka M bMa =S CD dengan |CD|=2

x jarak a,b) dan CD a.

ab

B

P

A

P

D

P


19/31

. Teorema Jika dua garis a,b dengan

a//b, maka M bMa =S CD dengan |CD|=2

x jarak a,b) dan CD a.

abP

B

P

A

P

D

P

Bukti


20/31

Bukti

Misal s adalah sebarang garis sedemikian sehingga

s a dan misal A=(a,s) serta B=(b,s). Dari teorema

sebelumnya telah diperoleh M s M a =H A dan M b M s =H B

, sehingga :

M b M a = M b I M a

= M b (M s M s )M a

= M b M s M s M a = (M b M s )(M s M a )

= H B H A

= S CD dengan |CD|= 2 |AB|

Jadi terbukti jika dua garis a,b dengan a//b, maka

M b M a =S CD dengan |CD|=2 x jarak (a,b) dan CD a.


21/31

Suatu geseran SAB selalu dapatdinyatakan sebagai hasil kali duapencerminan Ms dan Mt dengan s//t dan s

AB, sedangkan jarak s,t) adalah |AB|.

A

B

s

t


22/31

Bukti

Dari titik-titik A dan B yang diketahui, diperolehAB

yang tertentu. Misal s adalah sebarang ga

sedemikian sehingga sAB, dan t sebarang garis

dengan t//s dan jarak (s,t)= |AB|. Dari teorem

sebelumnya dapat dengan mudah ditunjukk

bahwa hasil kali MtMs tak lain adalah SAB.

Dik h i i ik i ik A B d i d


23/31

Diketahui titik-titik A,B, dan garis t dengant AB seperti terlihat dibawah ini .

. A

. B

t

a. Lukis s sedemikian sehingga SAB = MsMt.

b. Lukis p sedemikian sehingga SAB=MtMp

s

p


24/31

.A

.B

t


25/31

Misal

A=(10, 1), B=(-2,7) dan garis l denganpersamaan l y= 2x + 10

Tentukan persamaan garis s, sehingga

l s AB

sl AB

M M S

M M S


26/31

Diketahui garis MN dan titik-titik A d

disatu pihak terhadap MN.Tentukan titik P pada MN sedemikian s

m(


27/31

M

N

A .B .

P


28/31

A

B

M P N

B


29/31

Andaikan titik P telah diperoleh, yang berarti

m(


30/31

. P. P


31/31

Documents

pencerminan_-refleksiss